Елементарна робота сил в електростатичному полі

Перемістимо позитивний точковий заряд в поле заряду на малу відстань з точки N в ціль В, Рисунок 10.

малюнок 10

При малому переміщенні,, де . З малюнка видно, що . За визначенням з механіки, елементарна робота

З урахуванням (6):

(10)

Оскільки - нескінченно-мала величина, зміною сили всередині інтерваламожно знехтувати.

Робота в електростатичному полі при переміщенні точкового заряду на кінцеве відстань

Нехай заряд перемістився з точки 1 в точку 2, рисунок 11, на відстань, порівнянне з і, по довільній траєкторії. Знайдемо величину роботи А, Користуючись результатом формулою (10). Для цього досить проінтегрувати ліву частину виразу від 0до А, а праву - від до. В результаті отримаємо:

(11)

Змінивши знак правої частини (11) і порядок вирахування в дужках, отримаємо остаточну формулу

(12)

З (12) випливають важливі слідства:

1. Робота в електростатичному полі не залежить від форми траєкторії руху заряду.

2. Знак роботи визначається:

а) знаками зарядів,

б) знаком круглої дужки, який, в свою чергу залежить від співвідношення між і.

3. У будь-якому випадку якщо, роботу роблять сили електростатичного поля; якщо, робота відбувається зовнішніми силами неелектричної природи, Що діють проти сил електричного поля.

Малюнок 11 Малюнок 12

Робота в електростатичному полі при переміщенні точкового заряду по замкненій траєкторії

Перемістимо заряд в поле заряду по траєкторії. Робота, при такому переміщенні складається з роботи з переміщення по траєкторії (рисунок 12).

(13)

і роботи по переміщенню по траєкторії:

(14)

На малюнку 12 точка, відповідна відстані - будь-яка точка траєкторії. Складаючи (14) і (13), отримаємо:

4. Характеристики електричного поля: потенціал, різниця потенціалів. Еквіпотенціальні поверхні, зв'язок потенціалу з напруженістю. Доказ: Еквіпотенціальна поверхні перпендикулярні вектору (силових лініях).

Потенціал - енергетичний параметр електростатичного поля

Малюнок 11 Малюнок 12

Згідно малюнку 11, в точці 1 і в точці 2 на заряд діють сили , . Отже, в кожній з цих точок заряд володіє енергією, - відповідно, оскільки сили, здатні здійснити роботи,. Вважаючи заряд незамкненою системою, що знаходиться в полі заряду, за визначенням енергії, маємо:

(16)

Згідно (14),

(17)

Оскільки, за умовою задачі, крім заряду ніякі інші заряди не впливають на, відповідно до (17):



(18)

Отже, якщо два будь-яких точкових заряди знаходяться на відстані, енергія їх взаємодії, малюнок 13:

Рісунок13

(19)

Розділимо (19) на величину:

Величина, як і напруженість поля (9), не залежить від величини і є параметром електричного поля заряду, в якому знаходиться заряд .

Відношення енергії до величини заряду називається потенціалом тієї точки поля, в якій знаходиться заряд.

(21)

В системі СІ потенціал вимірюється в вольтах (В).

З (21) випливає, що знак потенціалу визначається знаком заряду, що створює цей потенціал.

Для потенціалів також справедливий принцип суперпозиції. Якщо потенціал створюється не одним, а N точковими зарядами в точці «А», його величина дорівнює сумі алгебри потенціалів, створених кожним із зарядів.

Взаємозв'язок напруженості електричного поля з потенціалом

Помістимо пробний заряд на відстані від заряду , малюнок 14. У точці «А» заряд створює поле з напруженістю і потенціалом.

Малюнок 14 Малюнок 15

Як випливає з малюнка 15, поле заряду , як всякого іншого точкового заряду, є центральним. У будь-якому центральному полі сила дорівнює зміні (градієнту) енергії, взятому з протилежним знаком

У нашому випадку, згідно (8) і (24),

(27)

отже,

(28)

Скорочуючи на, отримуємо значення напруженості електричного поля в точці А, (рисунок 14). Вона дорівнює градієнту потенціалу в тій же точці, взятому з негативним знаком:



У тривимірному просторі формула (29) набуває вигляду

(30)

Напрямок вектора показує напрямок найшвидшого зростання потенціалу. Таким чином, вектор напруженості електричного поля спрямований завжди в сторону якнайшвидшого зменшення потенціалу.

Згідно (29) розмірність напруженості можна уявити в вольтах, виділених на метр:.

Еквіпотенціальні поверхні - це поверхні, у всіх точках яких потенціал має одне і те ж значення. Ці поверхні доцільно проводити так, щоб різниця потенціалів між сусідніми поверхнями була однаковою. Тоді за густотою еквіпотенційних поверхонь можна наочно судити про значення напруженості поля в різних точках. Величина напруженості більше там, де гущі еквіпотенціальні поверхні. Як приклад на малюнку 2 приведено двовимірне зображення електростатичного поля.

Перпендикулярний еквіпотенційної поверхні. Далі, перемістимося по нормалі до еквіпотенційної поверхні в бік зменшення потенціалу. В цьому випадку і з формули (21) випливає, що. Значить, вектор направлений по нормалі в сторону зменшення потенціалу.

лекція А.П.Зубарева

Робота сил поля по переміщенню заряду.

Потенціал і різниця потенціалів електричного поля.

Як випливає з закону Кулона, сила, що діє на точковий заряд q в електричному полі, створеному іншими зарядами, є центральній. Нагадаємо, що центральною називається сила, лінія дії якої спрямована по радіус-вектору, що з'єднує деяку нерухому точку О (центр поля) з будь-якою точкою траєкторії. З «Механіки» відомо, що всі центральні сили є потенційними. Робота цих сил не залежить від форми шляху переміщення тіла, на яке вони діють, і дорівнює нулю по будь-якому замкнутому контуру (шляху переміщення). У застосуванні до електростатичного поля (див. Малюнок) нижче:


.

Малюнок. До визначення роботи сил електростатичного поля.

Тобто, робота сил поля по переміщенню заряду q з точки 1 в точку 2 дорівнює за величиною і протилежна за знаком роботі по переміщенню заряду з точки 2 в точку 1, незалежно форми шляху переміщення. Отже, робота сил поля по переміщенню заряду може бути представлена \u200b\u200bрізницею потенційних енергій заряду в початковій і кінцевій точках шляху переміщення:

введемо потенціал електростатичного поля φ, задавши його як відношення:

, (Розмірність в СІ:).

Тоді робота сил поля по переміщенню точкового заряду q з точки 1 в точку 2 буде:

Різниця потенціалів називається електричною напругою. Розмірність напруги, як і потенціалу, [U] \u003d B.

Вважається, що на нескінченності електричні поля відсутні, і значить. Це дозволяє дати визначення потенціалу як роботи, яку потрібно зробити, щоб перемістити заряд q \u003d +1 з нескінченності в дану точку простору. Таким чином, потенціал електричного поля є його енергетичної характеристикою.

Зв'язок між напруженістю і потенціалом електричного поля. Градієнт потенціалу. Теорема про циркуляцію електричного поля.

Напруженість і потенціал - це дві характеристики одного і того ж об'єкта - електричного поля, тому між ними повинна існувати функціональна зв'язок. Дійсно, робота сил поля по переміщенню заряду q з однієї точки простору в іншу може бути представлена \u200b\u200bдвояким чином:

Звідки випливає, що

Це і є шукана зв'язок між напруженістю і потенціалом електричного поля в диференціальному вигляді.

- вектор, спрямований з точки з меншим потенціалом в точку з великим потенціалом (див. Малюнок нижче).


Малюнок. Вектори і gradφ.

При цьому модуль вектора напруженості дорівнює

З властивості потенційності електростатичного поля випливає, що робота сил поля по замкнутому контуру (φ 1 \u003d φ 2) дорівнює нулю:

тому можемо написати

Остання рівність відображає суть другий основний теореми електростатики - теореми про циркуляцію електричного поля, Згідно з якою циркуляція поля уздовж довільного замкнутого контуру дорівнює нулю. Ця теорема є прямим наслідком потенційностіелектростатичного поля.

Еквіпотенціальні лінії і поверхні і їх властивості.

Лінії і поверхні, всі крапки яких мають однаковий потенціал, називаються еквіпотенціальними. Їх властивості безпосередньо випливають з уявлення роботи сил поля і ілюструються на малюнку:


Малюнок. Ілюстрація властивостей еквіпотенційних ліній і поверхонь.

1) - робота по переміщенню заряду уздовж еквіпотенційної лінії (поверхні) дорівнює нулю, т. К..

При переміщенні заряду в електростатичному полі, що діють на заряд кулонівських сили, роблять роботу. Нехай заряд q 0 0 переміщається в поле заряду q0 з точки С в точку В уздовж довільної траєкторії (рис.1.12). На q 0 діє кулоновская сила

При елементарному переміщенні заряду d l, Ця сила здійснює роботу dA

Де  - кут між векторами і. величина d lcos \u003d dr є проекцією вектора на напрямок сили. Таким чином, dA \u003d Fdr,. Повна робота по переміщенню заряду з точки С в В визначається інтегралом , Де r 1 і r 2 - відстані заряду q до точок С і В. З отриманої формули слід, що робота, що здійснюються при переміщенні електричного заряду q 0 в поле точкового заряду q, не залежить від форми траєкторії переміщення, а залежить тільки від початкової і кінцевої точки переміщення .

У розділі динаміки показано, що поле, яке задовольняє цій умові, є потенційним. Отже, електростатичне поле точкового заряду - потенційне, А діючі в ньому сили - консервативні.

Якщо заряди q і q 0 одного знака, то робота сил відштовхування буде позитивною при їх видаленні і негативною при їх зближенні (в останньому випадку роботу здійснюють зовнішні сили). Якщо заряди q і q 0 різнойменні, то робота сил тяжіння буде позитивною при їх зближенні і негативною при видаленні друг від друга (останньому випадку роботу також здійснюють зовнішні сили).

Нехай електростатичне поле, в якому переміщається заряд q 0, створено системою зарядів q 1, q 2, ..., q n. Отже, на q 0 діють незалежні сили , рівнодіюча яких дорівнює їх векторній сумі. Робота А рівнодіюча сили дорівнює сумі алгебри робіт складових сил, , Де r i1 і r i2 - початковий і кінцевий відстані між зарядами q i і q 0.

Циркуляція вектора напруженості.

При переміщенні заряду по довільному замкненому шляху L робота сил електростатичного поля дорівнює нулю. Оскільки, кінцеве положення заряду одно початкового r 1 \u003d r 2, то і (гурток у знака інтеграла вказує на те, що інтегрування проводиться по замкнутому шляху). Так як і, то. Звідси отримуємо. Скоротивши обидві частини рівності на q 0, отримаємо або, де E l \u003d Ecos - проекція вектора Е на напрям елементарного переміщення. інтеграл називається циркуляцією вектора напруженості. Таким чином, циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контуру дорівнює нулю . Цей висновок є умова потенційності поля.

Потенційна енергія заряду.

У потенційному полі тіла володіють потенційної енергією і робота консервативних сил відбувається за рахунок зменшення потенційної енергії.

Тому роботу A 12 можна уявити, як різницю потенціальних енергій заряду q 0 в початковій і кінцевій точках поля заряду q :

Потенційна енергія заряду q 0, що знаходиться в полі заряду q на відстані r від нього дорівнює

Вважаючи, що при видаленні заряду на нескінченність, потенційна енергія перетворюється на нуль, отримуємо: const = 0 .

для однойменних зарядів потенційна енергія їх взаємодії ( відштовхування) позитивна, для різнойменних зарядів потенційна енергія з взаємодії ( тяжіння) негативна.

Якщо поле створюється системою n точкових зарядів, то потенційна енергія заряду q 0, що знаходиться в цьому полі, дорівнює сумі його потенціальних енергій, створюваних кожним із зарядів окремо:

Потенціал електростатичного поля.

Ставлення не залежить від пробного заряду q0 і є, енергетичної характеристикою поля, званої потенціалом :

потенціал φ в будь-якій точці електростатичного поля є скалярна фізична величина, Яка визначається потенційною енергією одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку.

потенціал електростатичного поля - скалярна величина, що дорівнює відношенню потенційної енергії заряду в полі до цього заряду:

Енергетична характеристика поля в даній точці. Потенціал не залежить від величини заряду, поміщеного в це поле.

Оскільки потенційна енергія залежить від вибору системи координат, то і потенціал визначається з точністю до постійної.

За точку відліку потенціалу вибирають в залежності від завдання: а) потенціал Землі, б) потенціал нескінченно віддаленої точки поля, в) потенціал негативної пластини конденсатора.

Слідство принципу суперпозиції полів (потенціали складаються алгебраїчно).

Потенціал чисельно дорівнює роботі поля по переміщенню одиничного позитивного заряду з даної точки електричного поля в нескінченність.

В СІ потенціал вимірюється в вольтах:

різниця потенціалів

напруга - різниця значень потенціалу в початковій і конечнойточках траєкторії.

напруга чисельно дорівнює роботі електростатичного поля при переміщенні одиничного позитивного заряду уздовж силових ліній цього поля.

Різниця потенціалів (напруга) не залежить від вибору

системи координат!

Одиниця різниці потенціалів

Напруга дорівнює 1 В, якщо при переміщенні позитивного заряду в 1 Кл уздовж силових ліній поле здійснює роботу в 1 Дж.

Зв'язок між напруженістю і напругою.

З доведеного вище: →

напруженість дорівнює градієнту потенціалу (швидкості зміни потенціалу вздовж напрямку d).

З цього співвідношення видно:

Еквіпотенціальні поверхні.

ЕПП - поверхні рівного потенціалу.

Властивості ЕПП:

Робота при переміщенні заряду вздовж еквіпотенційної поверхні не відбувається;

Вектор напруженості перпендикулярний до ЕПП в кожній її точці.

Вимірювання електричної напруги (різниці потенціалів)

Між стрижнем і корпусом - електричне поле. Вимірювання потенціалу кондуктора Вимірювання напруги на гальванічному елементі Електрометр дає більшу точність, ніж вольтметр.

Елементарна робота, що здійснюються силою F при переміщенні точкового електричного заряду з однієї точки електростатичного поля в іншу на відрізку шляху, за визначенням дорівнює

де - кут між вектором сили F і напрямком руху. Якщо робота виконується зовнішніми силами, то dA0. Інтегруючи останній вираз, отримаємо, що робота проти сил поля при переміщенні пробного заряду з точки "а" в точку "b" буде дорівнює

де - кулоновская сила, що діє на пробний заряд в кожній точці поля з напруженістю Е. Тоді робота

Нехай заряд переміщається в поле заряду q з точки "а", віддаленої від q на відстані в точку "b", віддалену від q на відстані (рис 1.12).

Як видно з малюнка тоді отримаємо

Як було сказано вище, робота сил електростатичного поля, що здійснюється проти зовнішніх сил, дорівнює за величиною і протилежна за знаком роботі зовнішніх сил, отже

Потенційна енергія заряду в електричному полі.Роботу, що здійснюються силами електричного поля при переміщенні позитивного точкового заряду qз положення 1 в положення 2, уявімо як зміна потенційної енергії цього заряду: ,

де W п1 і W п2 - потенційні енергії заряду q в положеннях 1 і 2. При малому переміщенні заряду q в поле, створюваному позитивним точковим зарядом Q, Зміна потенційної енергії дорівнює

.

При кінцевому переміщенні заряду q з положення 1 в положення 2, що знаходяться на відстанях r 1 і r 2 від заряду Q,

Якщо поле створено системою точкових зарядів Q 1 , Q 2, ¼, Q n, то зміна потенційної енергії заряду qв цьому полі:

.

Наведені формули дозволяють знайти лише зміна потенційної енергії точкового заряду q, А не саму потенційну енергію. Для визначення потенційної енергії необхідно домовитися, в якій точці поля вважати її рівною нулю. Для потенційної енергії точкового заряду q, Що знаходиться в електричному полі, створеному іншим точковим зарядом Q, отримаємо

,

де C - довільна постійна. Нехай потенційна енергія дорівнює нулю на нескінченно великій відстані від заряду Q (при r® ¥), тоді постійна C\u003d 0 і попередній вираз приймає вид

При цьому потенційна енергія визначається як робота переміщення заряду силами поля з даної точки в нескінченно віддалену.Що стосується електричного поля, створюваного системою точкових зарядів, потенційна енергія заряду q:

.

Потенційна енергія системи точкових зарядів.У разі електростатичного поля потенційна енергія служить мірою взаємодії зарядів. Нехай в просторі існує система точкових зарядів Q i(i = 1, 2, ... ,n). Енергіявзаімодействія всіх n зарядів визначиться співвідношенням

,

де r ij -відстань між відповідними зарядами, а підсумовування виробляється таким чином, щоб взаємодія між кожною парою зарядів враховувалося один раз.

Потенціал електростатичного поля.Поле консервативної сили може бути описано не тільки векторної функцією, але еквівалентне опис цього поля можна отримати, визначивши в кожній його точці відповідну скалярную величину. Для електростатичного поля такою величиною є потенціал електростатичного поля, Який визначається як відношення потенційної енергії пробного заряду q до величини цього заряду, j \u003d W п / q, Звідки випливає, що потенціал чисельно дорівнює потенційної енергії, яку має в даній точці поля одиничний позитивний заряд. Одиницею вимірювання потенціалу служить Вольт (1 В).

Потенціал поля точкового заряду Qв однорідноїізотропної середовищі з діелектричної проникністю e:

Принцип суперпозиції.Потенціал є скалярна функція, для неї справедливий принцип суперпозиції. Так для потенціалу поля системи точкових зарядів Q 1, Q 2 ¼, Q n маємо

,

де r i - відстань від точки поля, що володіє потенціалом j, до заряду Q i. Якщо заряд довільним чином розподілений в просторі, то

,

де r- відстань від елементарного обсягу d x, d y, d z до точки ( x, y, z), Де визначається потенціал; V - обсяг простору, в якому розподілений заряд.

Потенціал і робота сил електричного поля.Грунтуючись на визначенні потенціалу, можна показати, що робота сил електричного поля при переміщенні точкового заряду q з однієї точки поля в іншу дорівнює добутку величини цього заряду на різницю потенціалів в початковій і кінцевій точках шляху, A \u003d q (J 1 - j 2).
Якщо за аналогією з потенційною енергією вважати, що в точках, нескінченно віддалених від електричних зарядів - джерел поля, потенціал дорівнює нулю, то роботу сил електричного поля при переміщенні заряду q з точки 1 в нескінченність можна уявити як A ¥ = q j 1.
Таким чином, потенціал â даній точці електростатичного поля - це фізична величина, чисельно рівна роботі, яку здійснюють силами електричного поля при переміщенні одиничного позитивного точкового заряду з даної точки поля в нескінченно віддалену: J \u003d A ¥ / q.
У деяких випадках потенціал електричного поля наочніше визначається як фізична величина, чисельно рівна роботі зовнішніх сил проти сил електричного поля при переміщенні одиничного позитивного точкового заряду з нескінченності в дану точку. Останнє визначення зручно записати в такий спосіб:

В сучасній науці і техніці, особливо при описі явищ, що відбуваються в мікросвіті, часто використовується одиниця роботи і енергії, яка називається електрон-вольт (ЕВ). Це робота, що здійснюються при переміщенні заряду, рівного заряду електрона, між двома точками з різницею потенціалів 1 В: 1 еВ \u003d 1,60 × 10 -19 Кл × 1 В \u003d 1,60 × 10 -19 Дж.

Метод точкових зарядів.

Приклади застосування методу для розрахунку напруженості і потенціалу електростатичного поля.

Будемо шукати, яким чином пов'язані напруженість електростатичного поля, яка є його силовий характеристикою, І потенціал, який є його енергетична характеристика поля.

Робота по переміщенню одиничного точкового позитивного електричного заряду з однієї точки поля в іншу уздовж осі х за умови, що точки розташовані досить близько один до одного і x 2 -x 1 \u003d dx, дорівнює E x dx. Та ж робота дорівнює φ 1 -φ 2 \u003d dφ. Прирівнявши обидві формули, запишемо
(1)

де символ приватної похідної підкреслює, що диференціювання здійснюється тільки по х. Повторивши ці міркування для осей у і z, знайдемо вектор Е:

де i, j, k - одиничні вектори координатних осей х, у, z.
З визначення градієнта слід, що
або (2)

т. е. напруженість Е поля дорівнює градієнту потенціалу зі знаком мінус. Знак мінус говорить про те, що вектор напруженості Е поля спрямований в бік зменшення потенціалу.
Для графічного представлення розподілу потенціалу електростатичного поля, як і в випадку поля тяжіння, користуються еквіпотенціальними поверхнями - поверхнями, у всіх точках яких потенціал φ має однакове значення.
Якщо поле створюється точковим зарядом, то його потенціал, відповідно до формули потенціалу поля точкового заряду, φ \u003d (1 / 4πε 0) Q / r Таким чином, еквіпотенціальні поверхні в даному випадку - концентричні сфери з цетром в точковому заряді. Зауважимо також, лінії напруженості в разі точкового заряду - радіальні прямі. Значить, лінії напруженості в разі точкового заряду перпендикулярні еквіпотенціальною поверхнею.
Лінії напруженості завжди перпендикулярні до еквіпотенціальною поверхнею. Справді, всі крапки еквіпотенційної поверхні мають однаковий потенціал, тому робота по переміщенню заряду уздовж цієї поверхні дорівнює нулю, т. Е. Електростатичні сили, які діють на заряд, завжди спрямовані по перпендікурярам до еквіпотенціальною поверхнею. Значить, вектор Е завжди перпендикулярний до еквіпотенціальною поверхнею, А тому лінії вектора Е перпендикулярні цим поверхням.
Еквіпотенційних поверхонь навколо кожного заряду і кожної системи зарядів можна провести безліч. Але зазвичай їх проводять так, щоб різниці потенціалів між будь-якими двома сусідніми еквіпотенціальними поверхнями були рівні один одному. Тоді густота еквіпотенційних поверхонь наочно характеризує напруженість поля в різних точках. Там, де гущі розташовані ці поверхні, напруженість поля більше.
Значить, знаючи розташування ліній напруженості електростатичного поля, можна намалювати еквіпотенціальні поверхні і, навпаки, за відомим нам розташуванню еквіпотенційних поверхонь можна знайти в кожній точці поля напрямок і модуль напруженості поля. На рис. 1 як приклад показаний вид ліній напруженості (штрихові лінії) і еквіпотенційних поверхонь (суцільні лінії) полів позитивного точкового електричного заряду (а) і зарядженого металевого циліндра, який має на одному кінці виступ, а на іншому - западину (б).

Теорема Гаусса.

Потік вектора напруженості. Теорема Гаусса. Застосування теореми Гаусса для розрахунку електростатичних полів.

Потік вектора напруженості.
Число ліній вектора E, які пронизують деяку поверхню S, називається потоком вектора напруженості N E.

Для обчислення потоку вектора E необхідно розбити площа S на елементарні площадки dS, в межах яких поле буде однорідним (ріс.13.4).

Потік напруженості через таку елементарну площадку буде дорівнює за визначенням (ріс.13.5).

де - кут між силовий лінією і нормаллю до майданчика dS; - проекція майданчики dS на площину, перпендикулярну силовим лініям. Тоді потік напруженості поля через всю поверхню майданчика S дорівнюватиме

Разоб'ем весь обсяг, укладений всередині поверхні S на елементарні кубики типу зображених на рис. 2.7. Грані всіх кубиків можна розділити на зовнішні, що збігаються з поверхнею Sі внутрішні, які межують тільки з суміжними кубиками. Зробимо кубики настільки маленькими, щоб зовнішні межі точно відтворювали форму поверхні. потік вектора a через поверхню кожного елементарного кубика дорівнює

,

а сумарний потік через всі кубики, що заповнюють об'єм V,є

(2.16)

Розглянемо входить в останній вираз суму потоків dФ через кожен з елементарних кубиків. Очевидно, що в цю суму потік вектора a через кожну з внутрішніх граней увійде двічі.

Тоді повний потік через поверхню S \u003d S 1 + S 2 буде дорівнює сумі потоків через тільки зовнішні межі, оскільки сума потоків через внутрішню грань дасть нуль. За аналогією можна зробити висновок, що всі пов'язані з внутрішніх гранях члени суми в лівій частині виразу (2.16), скоротяться. Тоді, переходячи в силу елементарності розмірів кубиків від підсумовування до інтегрування, отримаємо вираз (2.15), де інтегрування проводиться по поверхні, що обмежує обсяг.

Замінимо відповідно до теореми Остроградського-Гаусса поверхневий інтеграл в (2.12) об'ємним

і представимо сумарний заряд як інтеграл від об'ємної щільності за обсягом

Тоді отримаємо такий вираз

Отримане співвідношення має виконуватися для будь-якого довільно обраного обсягу V. Це можливо тільки в тому випадку, якщо значення підінтегральної функцій в кожній точці об'єму однакові. Тоді можна записати

(2.17)

Останній вираз являє собою теорему Гаусса в диференціальної формі.

1. Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини. Нескінченна площина заряджена з постійною поверхневою щільністю + Σ (σ \u003d dQ / dS - заряд, який припадає на одиницю поверхні). Лінії напруженості перпендикулярні цій площині і спрямовані від неї в кожну зі сторін. Візьмемо в якості замкнутої поверхні циліндр, підстави якого паралельні зарядженої площини, а вісь перпендикулярна їй. Так як утворюють циліндра паралельні лініям напруженості поля (соsα \u003d 0), то потік вектора напруженості крізь бічну поверхню циліндра дорівнює нулю, а повний потік крізь циліндр дорівнює сумі потоків крізь його заснування (площі підстав рівні і для заснування Е n збігається з Е), т. е. дорівнює 2ES. Заряд, який міститься всередині побудованої циліндричної поверхні, дорівнює σS. Згідно з теоремою Гаусса, 2ES \u003d σS / ε 0, звідки

З формули (1) випливає, що Е не залежить від довжини циліндра, т. Е. Напруженість поля на будь-яких відстанях дорівнює по модулю, іншими словами, поле рівномірно зарядженої площини однорідно.

2. Поле двох нескінченних паралельних різнойменно заряджених площин (Рис. 2). Нехай площині заряджені рівномірно різними за знаком зарядами з поверхневими плотностями + σ і -σ. Поле таких площин будемо шукати як суперпозицію полів, які створював кожної з площин окремо. На малюнку верхні стрілки відповідають полю від позитивно зарядженої площини, нижні - від негативно зарядженої площини. Ліворуч і праворуч від площин поля віднімаються (оскільки лінії напруженості спрямовані назустріч один одному), значить тут напруженість поля E \u003d 0. В області між площинами E \u003d E + + E - (E + і E - знаходяться по формулі (1)), тому результуюча напруженість

Значить, результуюча напруженість поля в області між площинами описується залежністю (2), а поза об'ємом, який обмежений площинами, дорівнює нулю.

3. Поле рівномірно зарядженої сферичної поверхні. Сферична поверхня радіуса R із загальним зарядом Q заряджена рівномірно з поверхневою щільністю + Σ. Оскільки заряд розподілений равномернопо поверхні то поле, яке створювало їм, має сферичної симетрією. Значить лінії напруженості спрямовані радіально (рис. 3). Проведемо подумки сферу радіуса r, яка має загальний центр із зарядженою сферою. Якщо r\u003e R, ro всередину поверхні потрапляє весь заряд Q, який створює розглядається поле, і, по теоремі Гаусса, 4πr 2 E \u003d Q / ε 0, звідки

(3)

При r\u003e R поле зменшується з відстанню r за таким же законом, як у точкового заряду. Графік залежності Е від r наведено на рис. 4. Якщо r " 4. Поле об'ємно зарядженої кулі. Куля радіуса R із загальним зарядом Q заряджений рівномірно з об'ємною щільністю ρ (ρ \u003d dQ / dV - заряд, який припадає на одиницю об'єму). З огляду на міркування симетрії, аналогічні п.3, можна довести, що для напруженості поля поза кулі вийде той же результат, що і в разі (3). Усередині ж кулі напруженість поля буде інша. Сфера радіуса r "

Значить, напруженість поля поза рівномірно зарядженої кулі описується формулою (3), а всередині його змінюється лінійно з відстанню r "відповідно до залежності (4). Графік залежності Е від r для розглянутого випадку показаний на рис. 5.
5. Поле рівномірно зарядженого нескінченного циліндра (нитки). Нескінченний циліндр радіуса R (рис. 6) рівномірно заряджений з лінійної щільністю τ (τ \u003d -dQ / dt заряд, який припадає на одиницю довжини). З міркувань симетрії ми бачимо, що лінії напруженості будуть спрямовані по радіусах кругових перерізів циліндра з однаковою густотою на всі боки щодо осі циліндра. Подумки побудуємо в якості замкнутої поверхні коаксіальний циліндр радіуса r і висотою l. потік вектора Е крізь торці коаксіального циліндра дорівнює нулю (торці і лінії напруженості паралельні), а крізь бокову поверхню дорівнює 2πr lЕ. Використовуючи теорему Гаусса, при r\u003e R 2πr lЕ \u003d τ l/ Ε 0, звідки

якщо r

Електричний диполь.

Характеристики електричного диполя. Поле диполя. Диполь в електричному полі.

Сукупність двох рівних за величиною різнойменних точкових зарядів q, розташованих на деякій відстані один від одного, малому в порівнянні з відстанню до розглянутої точки поля називається електричним диполем. (Рис.13.1)

Твір називається моментом диполя. Пряма лінія, що з'єднує заряди називається віссю диполя. Зазвичай момент диполя вважається надісланим по осі диполя в сторону позитивного заряду.

електростатичне поле - ел. поле нерухомого заряду.
Fел, діюча на заряд, переміщує його, здійснюючи раборту.
В однорідному електричному полі Fел \u003d qE - постійна величина

Робота поля (ел. Сили) не залежить від форми траєкторії і на замкнутої траєкторії \u003d нулю.

електростатика (Від електро ... і статика) , розділ теорії електрики, в якому вивчається взаємодія нерухомих електричних зарядів. Воно здійснюється за допомогою електростатичного поля. Основний закон Е. - Кулона закон, що визначає силу взаємодії нерухомих точкових зарядів в залежності від їх величини і відстані між ними.

Електричні заряди є джерелами електростатичного поля. Цей факт висловлює Гаусса теорема. Електростатичне поле потенційно, т. Е. Робота сил, що діють на заряд з боку електростатичного поля, не залежить від форми шляху.

Електростатичне поле задовольняє рівнянням:

div D \u003d 4pr, rot Е = 0,

де D - вектор електричної індукції (див. Індукція електрична і магнітна), Е - напруженість електростатичного поля, r - щільність електричного заряду. Перше рівняння є диференціальну форму теореми Гаусса, а друге виражає потенційний характер електростатичного поля. Ці рівняння можна отримати як окремий випадок Максвелла рівнянь.

Типові завдання Е. - знаходження розподілу зарядів на поверхнях провідників по відомим повним зарядів або потенціалів кожного з них, а також обчислення енергії системи провідників по їх зарядів і потенціалів.

Для встановлення зв'язку між силовою характеристикою електричного поля  напруженістюі його енергетичної характеристикою  потенціаломрозглянемо елементарну роботу сил електричного поля на нескінченно малому переміщенні точкового заряду q: d A \u003d qEd l, Ця ж робота дорівнює убутку потенційної енергії заряду q: d A \u003d d W п \u003d  qd, де d - зміна потенціалу електричного поля на довжині переміщення d l. Прирівнюючи праві частини виразів, отримуємо: Ed l  d або в декартовій системі координат

E xd x + E yd y + E zd z \u003dd, (1.8)

де E x, E y, E z- проекції вектора напруженості на осі системи координат. Оскільки вираз (1.8) являє собою повний диференціал, то для проекцій вектора напруженості маємо

Еквіпотенціальна поверхню - поняття, яке застосовується до будь-якого потенційного векторному полю, наприклад, до статіческомуелектріческому полю або до ньютонову гравітаційного поля (гравітації). Еквіпотенціальна поверхню - це поверхня, на которойскалярний потенціал даного потенційного поля приймає постійне значення. Інше, еквівалентну, визначення - поверхня, в будь-якій своїй точці ортогональна силовим лініям поля.

Поверхня провідника в електростатики є еквіпотенційної поверхнею. Крім того, приміщення провідника на еквіпотенціальною поверхнею не викликає зміни конфігурації електростатичного поля. Цей факт використовується в методі зображень, який дозволяє розраховувати електростатичне поле для складних конфігурацій.

У гравітаційному полі рівень нерухомою рідини встановлюється по еквіпотенційної поверхні. Зокрема, за еквіпотенційної поверхні гравітаційного поля Землі проходить рівень океанів. Еквіпотенціальна поверхню рівня океанів, продовжена на поверхню Землі, називається геоидом і грає важливу роль в геодезії.

5.електрична ємність - характеристика провідника, міра його здатності накопичувати електричний заряд. У теорії електричних ланцюгів ємністю називають взаємну ємність між двома провідниками; параметр ємнісного елемента електричної схеми, представленого у вигляді двухполюсника. Така ємність визначається як відношення величини електричного заряду до різниці потенціалів між цими провідниками.

В системі СІ ємність вимірюється в Фарада. В системі СГС в сантиметрах.

Для одиночного провідника ємність дорівнює відношенню заряду провідника до його потенціалу в припущенні, що всі інші провідники бесконечноудалени і що потенціал нескінченно віддаленої точки прийнятий рівним нулю. У математичній формі це визначення має вигляд

де Q - заряд, U - потенціал провідника.

Ємність визначається геометричними розмірами і формою провідника і електричними властивостями довкілля (її діелектричною проникністю) і не залежить від матеріалу провідника. Наприклад, ємність проводить кулі радіуса R дорівнює (в системі СІ):

C \u003d 4πε 0 ε R.

Поняття ємності також відноситься до системи провідників, зокрема, до системи двох провідників, розділених діелектриком - конденсатору. В цьому випадку взаємна ємність цих провідників (обкладок конденсатора) буде дорівнює відношенню заряду, накопиченого конденсатором, до різниці потенціалів між обкладинками. Для плоского конденсатора ємність дорівнює:

де S - площа однієї обкладки (мається на увазі, що вони рівні), d - відстань між обкладинками, ε - відносна діелектрична проніцаемостьсреди між обкладинками, ε 0 \u003d 8.854 × 10 -12 Ф / м - електрична постійна.

При паралельному з'єднанні k конденсаторів повна місткість дорівнює сумі ємностей окремих конденсаторів:

C \u003d C 1+ C 2+ ... + C k.

При послідовному з'єднанні k конденсаторів складаються зворотні ємностей величини:

1 / C \u003d 1 / C 1+ 1 / C 2+ ... + 1 / C k.

Енергія електричного поля зарядженого конденсатора дорівнює:

W \u003d qU / 2 \u003d CU 2 /2 \u003d q 2/ (2C).

6. Електричний струм називаютьпостійним , Якщо сила струму і його напрямок не змінюються з плином часу.

Сила струму (Часто просто « струм») В провіднику - скалярна величина, що чисельно дорівнює заряду, що протікає в одиницю часу через сеченіепроводніка. Позначається буквою (в деяких курсах -. Не слід плутати з векторної щільністю струму):

Основною формулою, використовуваної для вирішення завдань, є Закон Ома:

§ для ділянки електричного кола:

Сила струму дорівнює відношенню напруги до опору.

§ для повної електричного кола:

Де E - ЕРС, R - зовнішній опір, r - внутрішній опір.

Одиниця виміру в СІ - 1 Ампер (А) \u003d 1 Кулон / секунду.

Для вимірювання сили струму використовують спеціальний прилад - амперметр (для приладів, призначених для вимірювання малих струмів, також використовуються назви міліамперметр, мікроамперметр, гальванометр). Його включають в розрив ланцюга в тому місці, де потрібно виміряти силу струму. Основні методи вимірювання сили струму: магнітоелектричний, електромагнітний і непрямий (шляхом вимірювання вольтметром напруги на відомому опорі).

У разі змінного струму розрізняють миттєву силу струму, амплитудную (пікову) силу струму і ефективну силу струму (рівну силі постійного струму, який виділяє таку ж потужність).

щільність струму - векторна фізична величина, що має сенс сили струму, що протікає через одиницю площі. Наприклад, при рівномірному розподілі щільності:

Струму по перетину провідника.

Серед умов, необхідних для існування електричного струму розрізняють:

· Наявність в середовищі вільних електричних зарядів

· Створення в середовищі електричного поля

сторонні сили - сили неелектричної природи, що викликають переміщення електричних зарядів всередині джерела постійного струму.
Сторонніми вважаються всі сили відмінні від кулонівських сил.

Електрорушійна сила (ЕРС), фізична величина, що характеризує дію сторонніх (непотенційного) сил в джерелах постійного або змінного струму; в замкнутому провідному контурі дорівнює роботі цих сил по переміщенню одиничного позитивного заряду уздовж контуру. якщо через E стр позначити напруженість поля сторонніх сил, то ЕРС в замкнутому контурі ( L) дорівнює , де dl - елемент довжини контура.

Потенційні сили електростатичного (або стаціонарного) поля не можуть підтримувати постійний струм в ланцюзі, т. К. Робота цих сил на замкнутому шляху дорівнює нулю. Проходження ж струму по провідниках супроводжується виділенням енергії - нагріванням провідників. Сторонні сили надають руху заряджені частинки всередині джерел струму: генераторів, гальванічних елементів, акумуляторів і т. Д. Походження сторонніх сил може бути різним. В генераторах сторонні сили - це сили з боку вихрового електричного поля, що виникає при зміні магнітного поля з часом, або Лоренца сила, що діє з боку магнітного поля на електрони в рухомому провіднику; в гальванічних елементах і акумуляторах - це хімічні сили і т. д. Едс визначає силу струму в ланцюзі при заданому її опорі (див. Ома закон) . Вимірюється ЕРС, як і напруга, ввольтах.