Rečeno je, da ima funkcija znotraj
Regija D. lokalno maksimum(najmanj) Če je takšen soseski bralec
Za vsako točko
ki je izvedena neenakost

Če ima funkcija na točki
lokalni maksimum ali lokalni minimum, potem pravijo, da je na tej točki lokalni ekstrem(Or. Samo ekstremno).

Teorem. (potreben pogoj za obstoj ekstrema). Če diferencirane funkcije ekstremnega ekstrema na točki
, nato vsak zasebni derivat prvega reda iz funkcije na tej točki doda nič.

Točke, v katerih se imenujejo vsi zasebni derivati \u200b\u200bprvega odredbe o ničli stacionarne značilnosti funkcije
. Koordinate teh točk je mogoče najti z odločitvijo sistema od enačbe

.

Potreben pogoj za obstoj ekstremnega ekstrema v primeru diferencialne funkcije se lahko na kratko formulira na naslednji način:

Obstajajo primeri, ko so v rednih točkah nekateri zasebni derivati \u200b\u200bneskončne vrednosti ali ne obstajajo (medtem ko so ostali nič). Takšne točke se imenujejo kritične točke funkcije.Te točke je treba obravnavati tudi kot "sumljive" ekstremnega, pa tudi mirujoča.

V primeru dveh spremenljivk predpogoji Ekstruktura, in sicer enake ničnosti zasebnih derivatov (diferencial) na točki ekstrema, ima geometrično razlago: tangent.
na točki ekstremnega bi morala biti vzporedna z ravnino
.

20. Za zadostne pogoje za obstoj ekstrema

Izvajanje na neki točki zahtevanega pogoja obstoja ekstremnega ne zagotavlja prisotnosti ekstremnega ekstrema. Kot primer, lahko sprejmete diferencialno funkcijo, ki se razlikuje
. Oba zasebna derivata in funkcija sama po sebi privlači nič na točki.
. Vendar pa je v kateri koli soseski te točke pozitivna (velika
) in negativno (manjše
) Vrednosti te funkcije. Posledično, na tej točki, po definiciji, se ekstrem ne upošteva. Zato je treba vedeti dovolj pogojev, v katerih je točka, sumljiva na ekstremno, je ekstremna točka funkcije v študiji.

Razmislite o primeru funkcije dveh spremenljivk. Recimo, da je funkcija
določena je neprekinjeno in ima neprekinjene zasebne izvedene finančne instrumente do drugega naročila, vključno z v bližini določene točke.
ki je funkcija fiksne točke
To je, izpolnjuje pogoje

,
.

Predstavljamo zapis:

Teorem. (dovolj pogojev za obstoj ekstrema). Pustite funkcijo
izpolnjuje zgoraj navedene pogoje, in sicer: razlikovanje v nekem sosedstvu stacionarne točke
in dvakrat razlikovati na samem mestu
. Potem, če.


Če.
ta funkcija
na točki
doseže

lokalno maksimumza
in

lokalni minimumza
.

Na splošno, za funkcijo
zadosten pogoj za obstoj na točki
lokalnonajmanj(največje) je pozitivno(negativno) Opredelitev druge razlika.

Z drugimi besedami, naslednja izjava je prav.

Teorem. . Če na točki
za funkcijo

za vsakogar, ki ni enak hkrati nič
Nato na tej točki ima funkcija najmanj(podoben največje, če
).

Primer 18.Poiščite točke Lokalne funkcije Extrum

Sklep. Našli smo zasebne derivate in jih izvažamo na nič:

Reševanje tega sistema, najdemo dve točki možnega ekstrema:

Za to funkcijo bomo našli zasebne derivate drugega reda:

V prvi stacionarni točki in
Zato ta točka zahteva dodatno študijo. Pomeni funkcijo
na tej točki je nič:
Nadalje,

za

zvezek

za

Posledično v kateri koli soseski točke
funkcija
traja velike vrednosti
in manjše
, in potem, na točki
funkcija
Po definiciji nima lokalnega ekstrema.

V drugi stacionarni točki



zato, zato, ker
potem pa na točki
funkcija ima lokalno maksimalno.

Opredelitev: Točka X0 se imenuje lokalna največja (ali najmanjša) točka, če v nekem sosedstvu točke X0, funkcija traja največjo (ali najmanjšo) vrednost, tj. Za vse X iz neke soseske točke X0 se izvede stanje F (X0) F (X0) (ali F (X) F (X0)).

Maksimalne ali minimalne točke so združene skupni naslov - točke lokalne ekstremne funkcije.

Upoštevajte, da funkcija v točkah lokalnega ekstrema doseže največjo ali najmanjši pomen Samo na nekaterih lokalnih površinah. Morda obstajajo primeri, ko je vrednost t Weaxuin.

Zahtevani znak obstoja lokalne funkcije ekstrema

Teorem. . Če ima neprekinjeno delovanje y \u003d f (x) lokalni ekstrem na točki X0, potem na tej točki prvi derivat je bodisi nič ali ne obstaja, t.j. Lokalni ekstrem poteka na kritičnih točkah obrazca I.

V lokalnih ekstremnih točkah, bodisi tangencialne osi os 0x ali dve tangenti (glej sliko). Upoštevajte, da so kritične točke potrebne, vendar pomanjkanje lokalnega ekstrema. Lokalni ekstrem se odvija samo na kritičnih točkah tipa I, vendar se lokalni ekstrem poteka na vseh kritičnih točkah.

Na primer: kubični parabola y \u003d x3, ima kritično točko x0 \u003d 0, v kateri derivat y / (0) \u003d 0, vendar kritična točka x0 \u003d 0 ni ekstremna točka, in obstaja točka prelivanja (glej spodaj).

Zadosten znak obstoja lokalne funkcije ekstrema

Teorem. . Če med prehodom argumenta skozi kritično točko I rodu levo na desno od prvega derivata v / (x)

spremeni znak iz "+" v "-", stalna funkcija (X) v tej kritični točki ima lokalno maksimum;

spremeni znak iz "-" na "+", potem stalna funkcija (X) ima lokalni minimum v tej kritični točki

ne spreminja znaka, nato pa v tej kritični točki ni lokalnega ekstrema, obstaja točka invalid.

Za lokalno maksimum se območje povečanja funkcije (Y / 0) nadomesti z večjim območjem funkcije (Y / 0). Za lokalno minimum se zmanjša območje funkcije (Y / 0) nadomesti s površino povečanja funkcije (Y / 0).

Primer: Raziščite funkcijo y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 na monotoniji, ekstrem in zgradite graf funkcije.

Pošli bomo kritične točke iz rodu, ki določajo derivat (y /) in ga izenačimo z ničlo: na / \u003d 3x2 + 18x + 15 \u003d 3 (x2 + 6x + 5) \u003d 0

SVOJE SPEST Tri se zmanjšuje s pomočjo diskriminant:

x2 + 6x + 5 \u003d 0 (A \u003d 1, B \u003d 6, C \u003d 5) D \u003d, X1K \u003d -5, X2K \u003d -1.

2) Razbijemo številčno os s kritičnimi točkami za 3 območja in opredelimo znake derivata (Y /). Po teh znakih bomo našli področja monotonije (povečanje in zmanjšanje) funkcij in s spreminjanjem znakov za določitev točk lokalnega ekstrema (največje in minimalne).

Rezultati študije bodo predloženi v obliki tabele, iz katere se lahko narišejo naslednji sklepi:

  • 1. V intervalu / (- 10) 0 se funkcija monotonično poveča (znak derivata Y je bila ocenjena na kontrolni točki x \u003d -10, vzeta v tem intervalu);
  • 2. V intervalu (-5; -1) v / (- 2) 0 se funkcija monotonično zmanjšuje (znak derivata Y je bil ocenjen na kontrolni točki x \u003d -2, vzet v tem intervalu);
  • 3. V intervalu / (0) 0 se funkcija monotono poveča (znak derivata Y je bil ocenjen na kontrolni točki x \u003d 0, vzet v tem intervalu);
  • 4. Pri prehodu skozi kritično točko X1K \u003d -5 se derivat spremeni znak iz "+" na "-", zato je ta točka lokalna največja točka
  • (ymax (-5) \u003d (-5) 3 + 9 (-5) 2 +15 (-5) -9 \u003d -125 + 225 - 75 - 9 \u003d 16);
  • 5. Pri prehodu skozi kritično točko X2K \u003d -1 se derivat spremeni znak iz "-" na "+", zato je ta točka lokalna minimalna točka
  • (ymin (-1) \u003d -1 + 9 - 15 - 9 \u003d - 16).

x -5 (-5; -1) -1

3) Izdelava grafa za sledenje rezultatov študije z atrakcije dodatnih izračunov funkcij na kontrolnih točkah:

gradimo pravokotni koordinatni sistem OUHU;

pokažemo največje koordinate točk (-5; 16) in najmanj (-1; -16);

Če želite pojasniti graf, izračunamo vrednost funkcije na kontrolnih točkah, ki jih izberemo na levi in \u200b\u200bdesni na največjih točkah in najmanjšem in v povprečnem intervalu, na primer: Y (-6) \u003d (- 6) 3 +9 (-6) 2 + 15 (-6) -9 \u003d 9; y (-3) \u003d (- 3) 3 + 9 (-3) 2 + 15 (-3) -9 \u003d 0;

(0) \u003d -9 (-6; 9); (-3; 0) in (0; -9) - ocenjene kontrolne točke, ki se uporabljajo za izgradnjo urnika;

pokažite graf v obliki krivulje s končnosti na največji točki in končnosti navzdol na točki minimalnega in prehoda skozi izračunane kontrolne točke.

\u003e\u003e ekstremi

Ekstremna funkcija

Določanje ekstremnega ekstrema

Funkcija y \u003d f (x), ki se imenuje povečanje (spust) v nekaterih intervalu, če je na x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) > F (x 2)).

Če se diferencialna funkcija y \u003d f (x) na segmentu poveča (zmanjša), nato njegov derivat na tem segmentu f " (x)> 0

(f "(x)< 0).

Dot. x. približno imenovan medena mesta (najmanj) Funkcije f (x), če je soseska x O. Za vse, od katerih je verna neenakost f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

Najvišje in minimalne točke se imenujejo točke ekstremnegain vrednosti funkcije na teh točkah - to skrajnosti.

Točke ekstremnega

Zahtevani pogoji ekstrema . Če je točka x. približno je ekstremna točka f (x), potem bodisi f " (x o) \u003d 0 ali f(x o) ne obstaja. Takšne točke se imenujejo kritično Poleg tega je funkcija sama definirana na kritični točki. Ekstremno funkcijo je treba iskati med kritičnimi točkami.

Prvo zadostno stanje. Pustiti x. približno - kritična točka. Če F " (x) Pri prehodu skozi točko x. približno spremeni znak plus na minus, nato pa na točki x O. Funkcija ima največ, drugače, minimalno. Če med prehodom skozi kritično točko derivat ne spremeni znaka, nato pa na točki x. približno Ekstrem ni.

Drugo zadostno stanje. Naj bo funkcija F (X)
f " (x) v soseski točke x. približno in drugi derivat na samem mestu x O. . Če F "(x O.) = 0, >0 ( <0), то точка x O. To je točka lokalnega minimalnega (največje) funkcije F (x). Če \u003d 0, potem morate uporabiti prvo zadostno stanje, ali privabiti najvišje.

Na segmentu lahko funkcija Y \u003d F (X) doseže najmanjšo ali največjo vrednost ali na kritičnih točkah ali na koncih segmenta.

Primer 3.22.

Sklep.Ker f. " (

Naloge za iskanje funkcij Extrum

Primer 3.23. a.

Sklep. x. in y. y.
0 ≤ x.≤
\u003e 0, in kdaj x\u003e A / 4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Funkcije kV.. elf.).

Primer 3.24.p ≈.

Sklep.p P.
S "
R \u003d 2, N \u003d 16/4 \u003d 4.

Primer 3.22.Najdi Extreammas Funkcija F (X) \u003d 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Sklep.Ker f. " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (X -2) (X - 3), nato kritične točke funkcije X1 \u003d 2 in X2 \u003d 3. Ekstreme lahko le na teh točkah. Ker pri prehodu skozi točko X1 \u003d 2, se derivat spremeni znak plus na minus, nato pa na tej točki funkcija največja. Pri prehodu skozi točko x 2 \u003d 3 se derivat spremeni znak minus na plus, torej na točki x 2 \u003d 3 v funkciji. Izračunajte funkcijske vrednosti na točkah
x 1 \u003d 2 in x 2 \u003d 3, najdemo ekstremi funkcije: največja f (2) \u003d 14 in vsaj f (3) \u003d 13.

Primer 3.23.Potrebno je zgraditi pravokotno platformo v bližini kamnitih stene, tako da se izčrpa z žično mrežo s treh strani, in je na steni na steno. Za to je na voljo a. Vozne mrežne vzorce. S kakšnim razmerjem vidika bo imel najvišji kvadrat?

Sklep.Označite stran spletnega mesta x. in y. . Območje površine je enako S \u003d xy. Pustiti y. - To je dolžina strani, ki meji na steno. Potem, s pogojem, je treba izvesti enakost 2x + y \u003d a. Zato Y \u003d A - 2x in S \u003d X (A - 2x), kjer
0 ≤ x.≤ a / 2 (dolžina in širina mesta ne moreta biti negativna).S "\u003d a - 4x, a - 4x \u003d 0 pri x \u003d a / 4, od koder
Y \u003d A - 2 × A / 4 \u003d A / 2. Kolikor x \u003d A / 4 je edina kritična točka, preveri, ali se znak spreminja med prehodom skozi to točko. Z X A / 4 S "\u003e 0, in kdaj x\u003e A / 4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Funkcije S (A / 4) \u003d A / 4 (A - A / 2) \u003d A 2/8 (kV.. elf.). Ker je S stalna in njegove vrednosti na koncu S (0) in S (A / 2) so nič, najdena vrednost bo največja funkcija. Tako je najugodnejši razmerju vidika mesta pod temi pogoji problema y \u003d 2x.

Primer 3.24.Potrebno je, da se zaprti cilindrični rezervoar s kapaciteto v \u003d 16p ≈. 50 m 3. Kaj bi morale biti velikosti rezervoarja (radij in višina R), tako da se najmanjša količina materiala gre na njegovo proizvodnjo?

Sklep.Območje celotne površine valja je S \u003d 2str. R (r + h). Vemo, da je volumen valja v \u003dp R 2 H þ H \u003d V / P R2 \u003d 16 P / P R2 \u003d 16 / R2. Torej, S (R) \u003d 2str. (R2 + 16 / R). Poiščite derivat te funkcije:
S "(R) \u003d 2 P (2R-16 / R2) \u003d 4 P (R3 / R2). S " (R) \u003d 0 pri R3 \u003d 8, torej, torej,
R \u003d 2, N \u003d 16/4 \u003d 4.

$ E podzemlja matchbb (r) ^ (n) $. Rečeno je, da je $ f $ lokalno maksimum Na točki $ x_ (0) v e $, če je takšna soseska $ u $ točk $ x_ (0) $, da za vse $ x v $, neenakost je $ f levo (x \\ t Desno) LeqSlant F Leva (X_ (0) Desno) $.

Lokalni maksimum stroga Če je v okolici $ u $ mogoče izbrati tako, da za vse $ x v $, se razlikujejo od $ x_ (0) $, je bilo $ f levo (x desno)< f\left(x_{0}\right)$.

Opredelitev
Naj bo $ f $ dejanska funkcija na odprtem nizu $ e podmožnost matchbb (R) ^ (n) $. Rečeno je, da je $ f $ lokalni minimum Na točki $ x_ (0) v e $, če je takšna soseska $ u $ točk $ x_ (0) $, da za vse $ x v $, neenakost $ f levo (x \\ t Desno) Geqslant F levo (x_ (0) \\ t

Lokalni minimum se imenuje stroga, če je soseska $ u $ mogoče izbrati tako, da za vse $ x v $, ki se razlikujejo od $ x_ (0) $, je bil $ f left (x Levo (x_ (0) desno) $.

Lokalni ekstrem združuje koncepte lokalnega minimuma in lokalnega maksimuma.

Teorem (zahtevano stanje ekstremirne funkcije)
Naj bo $ f $ dejanska funkcija na odprtem nizu $ e podmožnost matchbb (R) ^ (n) $. Če je na točki $ x_ (0) v e $, ima funkcija $ f lokalni ekstrem in na tej točki, potem $$ Besedilo (D) F levo (X_ (0) Desno) \u003d 0. $$ Enakost nič Diferencial je enakovreden dejstvu, da so vsi nič, t.j. $$ DisplayStyle Frac (Delno f) (Delno x_ (I)) levo (X_ (0) \\ t \u003d 0. $$

V enodimenzionalnem primeru je. Označi $ PHI levo (T desno) \u003d F Levo (x_ (0) + Th Desno) $, kjer je $ H $ poljuben vektor. Funkcija $ PHI $ je opredeljena z dovolj majhnimi vrednostmi modula v $ T $. Poleg tega je po mnenju diferencialna, in $ (PHI) 'levo (T) \u003d besedilo (D) F levo (X_ (0) + TH) H $.
Naj se $ F $ ima lokalno največ na $ 0 $ točko. To pomeni, da funkcija $ PHI $ s $ T \u003d 0 $ ima lokalno maksimum in, glede na toorem kmetije, $ (PHI) 'levo (0 desno) \u003d 0 $.
Torej, imamo to $ DF levo (x_ (0) desno) \u003d 0 $, t.e. Funkcije $ f $ na točki $ x_ (0) $ je nič na kateri koli vektor $ H $.

Opredelitev
Točke, v katerih je diferencial nič, tj. Takšen, v katerem so vsi zasebni izvedeni finančni instrumenti nič, se imenujejo stacionarne. Kritične točke Funkcije $ F $ se imenujejo take točke, v katerih $ F $ ni diferencirana ali enaka nič. Če je točka mirujoča, potem še ne sledi, da ima na tej točki funkcija ekstrem.

Primer 1.
Naj $ F Levo (X, Y Desno) \u003d X ^ (3) + Y ^ (3) $. Nato $ DisplayStyle Frac (delni X) \u003d 3 CDOT X ^ (2) $, $ DisplaySyle Frac (delni F) (Delno y) \u003d 3 CDOT Y ^ (2 ) $, torej $ levo (0.0 desno) $ je stacionarna točka, vendar na tej točki funkcija nima ekstrem. Dejansko, $ F Leva (0.0 desno) \u003d 0 $, vendar je enostavno videti, da v kateri koli soseski $ levi točki (0,0 desno) $ funkcija ima tako pozitivne in negativne vrednosti.

Primer 2.
Funkcija je $ F Leva (X, Y Dew) \u003d x ^ (2) - Y ^ (2) $ Start - stacionarna točka, vendar je jasno, da na tej točki ni ekstrema.

Teorem (zadostno ekstremno stanje).
Pustite funkcijo $ F $ dvojno neprekinjeno diferenciranje na odprtem nizu $ e podmnožice MathBB (R) ^ (N) $. Naj $ X_ (0) v e $ - stacionarno točko in $$ DisplayStyle Q_ (x_ (0)) levo (h desnega) ekv. ) ^ n frac (delni ^ (2) f) (delno x_ (i) delno x_ (j)) levo (x_ (0) desno) h ^ (i) h ^ (j). $ Potem pa.

  1. Če $ Q_ (x_ (0)) $ -, potem funkcija $ f $ na $ x_ (0) $ ima lokalni ekstrem, in sicer minimalno, če je oblika pozitivno opredeljena, in maksimum, če je obrazec negativno opredeljen;
  2. Če je kvadratna oblika $ q_ (x_ (0)) $ nedoločen, potem funkcija $ f $ na $ x_ (0) $ nima ekstrem.

Uporabljamo razgradnjo s formulo Taylor (12,7 str. 292). Glede na to, da so posamezni derivati \u200b\u200bprvega reda na točki $ x_ (0) $ nič, dobimo $$ Displaystyle F levo (X_ (0) + H Desno) -F levo (X_ (0) \\ t ) \u003d Frac (1) (2) sum_ (i \u003d 1) ^ n sum_ (J \u003d 1) ^ n frac (delni ^ (2) f) (delno x_ (i) delno x_ ( j)) levo (x_ (0) + theta h) h ^ (i) h ^ (j), $$, kjer je $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $, in $ EPSILON LEVO (H DESA) Usnjarrow 0 $ z $ H Reschorow 0 $, potem bo desna stran pozitivna z vsemi vektor $ H $ dovolj majhna dolžina.
Torej, smo prišli na dejstvo, da je v nekaterih soseščini točke $ x_ (0) $ to je bila neenakost $ f levo (x desno)\u003e f levo (x_ (0) desno) $, če je samo $ x \\ neq x_ (0) $ (smo dal $ x \u003d x_ (0) + h $ desno). To pomeni, da ima na točki $ x_ (0) $ funkcija strog lokalni minimum in s tem dokazal prvi del našega izreka.
Recimo, da je $ Q_ (x_ (0)) $ nedoločen obrazec. Nato so vektorji $ H_ (1) $, $ H_ (2) $, kot je $ Q_ (x_ (0)) levo (H_ (1) desno) \u003d LAMBDA_ (1)\u003e 0 $, $ Q_ (x_ (0)) levo (H_ (2) desno) \u003d LAMBDA_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Potem dobimo $$ F levo (X_ (0) + TH_ (1) Desno) -F levo (X_ (0) Desno) \u003d Frac (1) (2) levo [t ^ (2) LAMBDA_ (1) + T ^ (2) | H_ (1) | ^ (2) EPSILON LEVO (TH_ (1) DESNO) \u003d FRAC (1) (2) T ^ (2) Levo [LAMBDA_ (1) + | H_ (1) | ^ (2) EPSILON LEVO (TH_ (1) DESNO). $$ Z dovolj majhnimi $ T\u003e 0 $ na desni strani je pozitiven. To pomeni, da v kateri koli soseski točke $ x_ (0) $, $ f $ funkcija ima vrednosti $ f levo (x desno) $, velik od $ F levo (x_ (0) \\ t Desno) $.
Podobno pridobivamo to v kateri koli soseski točke $ x_ (0) $ Funkcija $ F $ traja vrednosti, ki so manjša od $ F levo (X_ (0) \\ t To, skupaj s prejšnjim, pomeni, da na točki $ x_ (0) $ Funkcija $ F $ nima ekstremnega.

. \\ T zasebni primer Ta teorem za funkcijo $ f Levo (X, Y desno) $ dve spremenljivki, ki so definirani v neki soseski točke $ (x_ (0), y_ (0) desno) $ in imajo neprekinjene zasebne derivate soseska in druga naročila. Recimo, da je $ levo (x_ (0), y_ (0) desno) $ je stacionarna točka, in označuje $$ displaystyle a_ (11) \u003d frac (delno ^ (2) f) (delno x ^ (2)) levo (x_ (0), y_ (0) desno), A_ (12) \u003d frac (delno ^ (2) f) (delno x Delno y) levo (x_ ( 0), y_ (0) desno), A_ (22) \u003d frac (delni ^ (2) f) (delno y ^ (2)) levo (x_ (0), y_ (0) \\ t ) $$ Potem bo prejšnji izrek naslednjo obrazec.

Teorem.
Naj $ Delta \u003d A_ (11) CDOT A_ (22) - A_ (12) ^ $ 2. Nato:

  1. Če $ Delta\u003e 0 $, potem je funkcija $ F je $ levo (X_ (0), Y_ (0) Desno) $ Lokalni ekstrem, in sicer, vsaj če $ A_ (11)\u003e 0 $, in največja, če $ a_ (11)<0$;
  2. Če $ delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Primeri reševanja problemov

Algoritem za iskanje ekstremnih funkcij številnih spremenljivk:

  1. Najdemo stacionarne točke;
  2. Na vseh stacionarnih točkah najdemo 2. diferencialo naročila
  3. Uporaba zadostnega stanja za ekstremne funkcije številnih spremenljivk, menimo, da je 2. naročilo diferencial v vsaki stacionarni točki
  1. Raziščite funkcijo na ekstremnem $ f levo (x, y desnega) \u003d x ^ (3) + 8 cdot y ^ (3) + 18 cdot x - 30 cdot y $.
    Sklep

    Našli bomo zasebne izvedene finančne instrumente prvega reda: $$ DisplayStyle Frac (delni X) \u003d 3 CDOT X ^ (2) - 6 CDOT Y; $$$$ DisplayStyle Frac ( Delno f) (Delno Y) \u003d 24 CDOT Y ^ (2) - 6 CDOT X. $$ Izdelava in reševanje sistema: $$ DisplayStyle Začetek (primeri) Frac (delni F) \\ t x) \u003d 0 frac (delno F) (delno y) \u003d 0 end (exters) pravi prav (primeri) 3 cdot x ^ (2) - 6 cdot y \u003d 0 \\ t CDOT Y ^ (2) - 6 CDOT X \u003d 0 END (Ostra) Referarrow Začetek (primeri) X ^ (2) - 2 CDOT Y \u003d 0 4 CDOT Y ^ (2) - X \u003d 0 end (primeri) $ $ iz 2. enačbe Express $ x \u003d 4 cdot y ^ (2) $ - smo nadomestili v prvi enačbi: $$ DisplayStyle levo (4 cdot y ^ (2) \\ t Desno) ^ (2) -2 cdot y \u003d 0 $$$$ 16 cdot y ^ (4) - 2 cdot y \u003d 0 $$$$ 8 cdot y ^ (4) - y \u003d 0 $$ $$ y levo (8 cdot y ^ (3) -1 desno) \u003d 0 $ $, kot rezultat, smo dobili 2 stacionarnih točk:
    1) $ y \u003d 0, pravic x \u003d 0, m_ (1) \u003d levo (0, 0 desno) $;
    2) $ displaystyle 8 cdot y ^ (3) -1 \u003d 0 pravi pravica y ^ (3) \u003d frac (1) (8) pravi pravica y \u003d frac (1) (2) pravicarrow x \u003d 1 , M_ (2) \u003d levo (frac (1) (2), 1 desno) $
    Preverite izvajanje zadostnih pogojev ekstremov:
    $$ DisplayStyle Frac (delni ^ (2) f) (delno x ^ (2)) \u003d 6 CDOT X; Frac (delni ^ (2) f) (delno x Delno y) \u003d - 6; Frac (delni ^ (2) f) (delno y ^ (2)) \u003d 48 cdot y $$
    1) Za točko $ M_ (1) \u003d levo (0.0 desno) $:
    $$ DisplayStyle A_ (1) \u003d frac (delni ^ (2) f) (delno x ^ (2)) levo (0,0 desno) \u003d 0; B_ (1) \u003d frac (delni ^ (2) f) (delno x delno y) levo (0,0 desno) \u003d - 6; C_ (1) \u003d frac (delno ^ (2) f) (delno y ^ (2)) levo (0,0 desno) \u003d 0; $$
    $ A_ (1) cdot b_ (1) - c_ (1) ^ (2) \u003d -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) Za $ M_ (2) Point $:
    $$ DisplayStyle A_ (2) \u003d frac (delni ^ (2) f) (delno x ^ (2)) levo (1, frac (1) (2) desno) \u003d 6; B_ (2) \u003d frac (delno ^ (2) f) (delno x delno y) levo (1, frac (1) (2) desno) \u003d - 6; C_ (2) \u003d frac (delni ^ (2) f) (delno y ^ (2)) levo (1, frac (1) (2) desno) \u003d 24; $$
    $ A_ (2) CDOT B_ (2) - C_ (2) ^ (2) \u003d 108\u003e 0 $, to pomeni, da na točki $ m_ (2) $ je ekstrem, in od $ A_ (2)\u003e 0 $, to je minimalno.
    Odgovor: Point $Style M_ (2) Levo (1, Frac (1) (2) Desno) $ je točka minimalne funkcije $ F $.

  2. Raziščite funkcijo na ekstremnem $ f \u003d y ^ (2) + 2 cdot x cdot y - 4 cdot x - 2 cdot y - $ 3.
    Sklep

    Poiščite stacionarne točke: $$ DisplayStyle Frac (delni X) \u003d 2 CDOT Y - 4; $$$$ Displaystyle Frac (delni F) \u003d 2 CDOT Y + 2 CDOT X - 2. $$
    Rešili bomo tudi sistem: $$ DisplayStyle Začetek (primeri) Frac (Delno f) (Delno X) \u003d 0 Frac (delni F) (Delno y) \u003d 0 end (primeri ) Pravice pravic (primeri) 2 CDOT Y - 4 \u003d 0 2 CDOT Y + 2 CDOT X - 2 \u003d 0 END (ESTAS) Usnjarrow Začetek (primeri) Y \u003d 2 \\ t X \u003d 1 End (primeri) pravice X \u003d -1 $$
    $ M_ (0) levo (-1, 2 desno) $ - stacionarna točka.
    Preverite izvedbo zadostnega ekstremnega pogoja: $$ Displaystyle A \u003d frac (delno ^ (2) f) (delno x ^ (2)) levo (-1,2 desno) \u003d 0; B \u003d frac (delni ^ (2) f) (delno x Delno y) levo (-1,2 desno) \u003d 2; C \u003d frac (delni ^ (2) f) (delno y ^ (2)) levo (-1,2 desno) \u003d 2; $$
    $ A cdot b - c ^ (2) \u003d -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Odgovor: skrajnosti so odsotne.

Časovna omejitev: 0

Navigacija (samo zaposlitvene številke)

0 od 4 nalog

Informacije

Izpolnite ta test, da preizkusite svoje znanje o temah »lokalnih ekstremih funkcij številnih spremenljivk«.

Preizkus ste že opravili prej. Ne moreš ponovno zagnati.

Test je naložen ...

Za zagon preskusa se morate prijaviti ali registrirati.

Za začetek morate končati naslednji preskusi:

Rezultati

Pravi odgovori: 0 od 4

Tvoj čas:

Čas je potekel

Dosegli ste 0 od 0 točk (0)

Vaš rezultat je bil posnet v tabeli voditeljev

  1. Z odgovorom
  2. Z markerjem

    Naloga 1 od 4

    1 .
    Število točk: 1

    Raziščite funkcijo $ f $ za skrajnosti: $ f \u003d e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 cdot y ^ (2)) $

    Prav

    Narobe

  1. Naloga 2 od 4

    2 .
    Število točk: 1

    Ali obstaja ekstrem v funkciji $ f \u003d 4 + SQRT (((X ^ (2) + Y ^ (2)) ^ (2)) $

Spreminjanje funkcije na določeni točki in je opredeljena kot meja povečanja funkcije do prirastka argumenta, ki nagiba k nič. Da bi ugotovili, da uporablja tabelo izvedenih finančnih instrumentov. Na primer, izvedena funkcija y \u003d x3 bo enaka y '\u003d x2.

Ekslay ta derivat na nič (v tem primeru x2 \u003d 0).

Poiščite vrednost spremenljivke tega. To bodo vrednote, pri čemer bo ta derivat enak 0. Za to, nadomestiti samovoljne številke namesto X, v kateri vsi izraz postane nič. Na primer:

2-2x2 \u003d 0.
(1-x) (1 + x) \u003d 0
x1 \u003d 1, X2 \u003d -1

Pridobljene vrednosti nanesite na koordinatno neposredno in izračunajte znak derivata za vsako od dobljenih. Ugotovljene so koordinatne točke, ki so sprejete za začetek reference. Za izračun vrednosti v intervalih, nadomestne samovoljne vrednosti, primerne za merila. Na primer, za prejšnjo funkcijo v interval -1, lahko izberete vrednost -2. Od -1 do 1, lahko izberete 0, in za več kot 1 vrednosti, izberite 2. Namestite številke v derivatu in ugotovite izpeljan znak. V tem primeru bo derivat z X \u003d -2 -2 -0,24, t.j. Negativno in v tem intervalu bo znak minus. Če bo X \u003d 0, bo vrednost 2, na tej vrzeli pa je nameščen znak. Če je X \u003d 1, bo derivat tudi -0.24 in je minus.

Če, ko poteka skozi točko na koordinat neposredno, derivat spremeni svojo oznako od minus do plus, potem je to minimalna točka, in če je iz plus do minus, potem je to največja točka.

Video na temo

Koristen nasvet

Če želite najti derivat, obstajajo spletne storitve, ki štejejo želene vrednosti in izdajo rezultate. Na takih straneh lahko najdete izpeljavo do 5 naročil.

Viri:

  • Ena od storitev izračuna storitev
  • točka največje funkcije

Največje točke funkcije skupaj z najnižjimi točkami se imenujejo ekstremne točke. Na teh točkah funkcija spremeni naravo vedenja. Ekkraki so določeni v omejenih numeričnih intervalih in so vedno lokalni.

Navodilo

Postopek iskanja lokalnih ekstremov se imenuje funkcija in se izvede z analizo prve in druge izpeljane funkcije. Pred začetkom študije se prepričajte, da podani interval vrednosti argumenta pripada veljavnim vrednostim. Na primer, za funkcijo f \u003d 1 / x je vrednost argumenta X \u003d 0 nesprejemljiva. Ali za funkcijo Y \u003d TG (X), argument ne more imeti vrednosti X \u003d 90 °.

Poskrbite, da je funkcija Y diferencialjiva na vseh določenih segmentih. Poiščite prvi derivat y Funkcija se poveča, hitrost tega postopka je pozitivna. Pri prehodu skozi lokalno maksimum se funkcija začne zmanjševati, hitrost postopka spremembe funkcije pa je negativna. Prehod hitrosti spremembe funkcije preko nič na lokalni najvišji točki.