Eficiența este un criteriu asimptotic. Proprietăţi asimptotice de simetrie şi criterii de acord bazate pe caracterizări Criterii de selecţie asimptotice

Control optim >> Cu un control optim, împărțim toate costurile în două grupuri mari: – „de rutină” – cheltuieli obișnuite, – cheltuieli unice sau nestandard. Controlul optim poate fi utilizat numai după câteva luni de control detaliat.

480 de ruble. | 150 UAH | 7,5 USD ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Disertație - 480 RUR, livrare 10 minute, non-stop, șapte zile pe săptămână și sărbători

Kolodzey Alexander Vladimirovici. Proprietăți asimptotice ale criteriilor de acord pentru testarea ipotezelor într-o schemă de selecție fără returnare, bazată pe umplerea celulelor într-o schemă de plasare generalizată: disertație... Candidat la Științe Fizice și Matematice: 01.01.05.- Moscova, 2006.- 110 p.: bolnav. RSL OD, 61 07-1/496

Introducere

1 Entropia și distanța informațională 36

1.1 Definiții și notații de bază 36

1.2 Entropia distribuțiilor discrete cu așteptări matematice limitate 39

1.3 Metrica logaritmică generalizată pe o mulțime de distribuții discrete 43

1.4 Compactitatea funcțiilor cu un set numărabil de argumente. 46

1.5 Continuitatea informației distanță Kullback - Leibler - Sanov 49

1.6 Concluzii 67

2 Probabilități de abateri mari 68

2.1 Probabilități de abateri mari ale funcțiilor de la numărul de celule cu o umplere dată 68

2.1.1 Teorema limitei locale 68

2.1.2 Teorema limitei integrale 70

2.1.3 Distanța informațiilor și probabilitățile de abateri mari ale statisticilor separabile 75

2.2 Probabilități de abateri mari ale statisticilor separabile care nu satisfac condiția Cramer 81

2.3 Concluzii 90

3 Proprietățile asimptotice ale criteriilor de bunăstare a potrivirii 92

3.1 Criterii de consimțământ pentru selecția fără design de returnare. 92

3.2 Eficiența relativă asimptotică a criteriilor de bunăstare a potrivirii 94

3.3 Criterii bazate pe numărul de celule din machetele generale 95

3.4 Concluzii 98

Concluzia 99

Literatura 103

Introducere în lucrare

Obiectul cercetării și relevanța temei. În teorie analiza statistica secvențe discrete, un loc special este ocupat de criteriile de bunătate pentru testarea unei ipoteze nule posibil complexe, care este aceea pentru o secvență aleatorie pQ)?=i astfel încât

Хі Є Ім,і= 1,...,n, Ім = (о, і,..., M), pentru orice і = 1,..., n, și pentru orice k Є їm probabilitate de eveniment ( Хі = k) nu depinde de r Aceasta înseamnă că secvența (Хі)f =1 este într-un anumit sens staționară.

Într-o serie de probleme aplicate, secvența (X() =1) este considerată a fi o secvență de culori de bile atunci când alegeți fără a reveni până la epuizare dintr-o urna care conține rik - 1 > 0 bile de culoare k, k Є їm - Vom nota mulţimea de astfel de selecţii T(n 0 - 1, ...,p/ - 1 Fie urna să conţină n - 1 bile, m n-l= (n fc -l).

Să notăm cu r (k) _ r (fc) r (fc) succesiunea numerelor de bile de culoare k din eșantion. Se consideră șirul h« = (^,...,)). M fc) =ri fc) , ^ = ^-^ = 2,...,^-1, _ (fc)

Secvența h^ se determină folosind distanțele dintre locurile bilelor vecine de culoare k în așa fel încât *Ф = n.

Setul de secvențe h(fc) pentru toate k Є їм determină în mod unic șirul (Х()^ =1. Secvențele h k pentru diferite k sunt dependente unele de altele. În special, oricare dintre ele este determinată în mod unic de toate celelalte. Dacă cardinalitatea mulțimii 1m este 2, atunci succesiunea de culori a bilelor este determinată în mod unic de succesiunea h() de distanțe dintre locurile bilelor vecine de aceeași culoare fixă ​​Fie N - 1 bile de culoare 0 într-o urnă care conține n - 1 bile de două culori diferite Putem stabili o corespondență unu-la-unu între mulțimea M(N-l,n - N) și un set de 9\ Пі m vectori h(n, N). ) = (hi,..., /i#) cu componente întregi pozitive astfel încât

Mulțimea 9\n,m corespunde mulțimii tuturor partițiilor distincte ale unui întreg pozitiv n în N termeni ordonați.

Specificând o anumită distribuție de probabilitate pe mulțimea de vectori 9R n d, obținem distribuția de probabilitate corespunzătoare pe mulțimea Wl(N - l,n - N). Mulțimea V\n,y este o submulțime a mulțimii 2J n,iv de vectori cu componente întregi nenegative care satisfac (0.1). În lucrarea de disertație, distribuțiile formei vor fi considerate distribuții de probabilitate pe mulțimea vectorilor

P(%, N) = (r b..., r N)) = P(& = r„, u = 1,..., N\ & = n), (0.2) unde 6 > , lg - variabile aleatoare întregi independente nenegative.

Distribuțiile de forma (0.2) în /24/ se numesc scheme generalizate pentru plasarea n particule în N celule. În special, dacă variabilele aleatoare b...,lr din (0.2) sunt distribuite conform legilor lui Poisson cu parametrii Ai,...,Alr, respectiv, atunci vectorul h(n,N) are o distribuție polinomială cu probabilitățile de rezultate

Ri = t--~t~> ^ = 1,---,^-

Li + ... + l^

Dacă variabilele aleatoare i> >&v din (0.2) sunt distribuite identic conform legii geometrice V(Zi = k)= P k - 1 (l-p),k=l,2,..., unde p este oricare în intervalul 0

După cum sa menționat în /14/,/38/, un loc special în testarea ipotezelor despre distribuția vectorilor de frecvență h(n, N) = (hi,..., h^) în schemele generalizate pentru plasarea n particule în N celule este ocupat de criteriile construite pe baza statisticilor de forma ad%,lo) = L(i (o.z)

Фк «%,%..;$, (0.4) unde /j/, v = 1,2,... și ф sunt câteva funcții cu valoare reală,

Mg = E1(K = g), g = 0,1,.... 1/=1

Cantitățile // r din /27/ au fost numite numărul de celule care conțineau exact r particule.

Statisticile de forma (0,3) în /30/ se numesc statistici separabile (separabile aditiv). Dacă funcțiile /„ din (0.3) nu depind de u, atunci astfel de statistici au fost numite în /31/ statistici separabile simetrice.

Pentru orice r, statistica /x r este o statistică separabilă simetrică. Din egalitate

DM = DFg (0,5) rezultă că clasa de statistici separabile simetrice în h u coincide cu clasa funcții liniare din brad. Mai mult, clasa funcțiilor de forma (0.4) este mai largă decât clasa statisticilor separabile simetrice.

H 0 = (Rao(n,A0) este o succesiune de ipoteze nule simple că distribuția vectorului h(n,N) este (0.2), unde variabilele aleatoare i,...,ln și (0.2) sunt distribuiți identic și P(ti = k)=p k ,k = 0,l,2,..., parametrii n, N se modifică în regiunea centrală.

Considerăm unele P Є (0,1) și o secvență, în general vorbind, de alternative complexe n = (H(n,N)) astfel încât să existe un n

P(fm > OpAR)) >: 0-Vom respinge ipoteza Hq(ti,N) dacă fm > a s m((3). Dacă există o limită jim ~1nP(0l > a n, N (P)) = ШН ), unde probabilitatea pentru fiecare N este calculată sub ipoteza #o(n,iV), atunci valoarea j (fi,lcl) se numește în /38/ indicele criteriului φ în punctul (/?, H). Ultima limită poate, în general, să nu existe. Așadar, în lucrarea de disertație, pe lângă indicele de criteriu, se ia în considerare valoarea lim (_IlnP(tor > a N (J3))) =if(P,P), pe care autorul lucrării de disertație, prin analogie, numit indicele inferior al criteriului φ în punctul (/3,H) . Aici și mai jos, lim adg, lim a# jV-уо ЛГ-оо înseamnă, respectiv, limitele inferioare și superioare ale secvenței (odg) pentru N -> yu,

Dacă există un indice de criteriu, atunci indicele criteriului coincide cu acesta. Indicele inferior al criteriului există întotdeauna. Cu cât este mai mare valoarea indicelui de criteriu (indicele criteriului), cu atât este mai bun criteriul statistic în acest sens. În /38/, problema construirii criteriilor de concordanță pentru planurile generalizate cu cea mai mare valoare a indicelui criteriului din clasa criteriilor care resping ipoteza Ho(n,N) a fost rezolvată pentru unde m > 0 este un număr fix, secvența de unități constante este selectată pe baza valorilor date ale puterii criteriului pentru o secvență de alternative, ft t - funcție reală a t + 1 argumente.

Indicii criterii sunt determinați de probabilitățile de abateri mari. După cum sa arătat în /38/, asimptoticele aproximative (până la echivalența logaritmică) ale probabilităților de abateri mari ale statisticilor separabile atunci când condiția Cramer pentru variabila aleatoare /() este îndeplinită este determinată de Kull-Bak-Leibler- Distanța informațională Sanov (variabila aleatoare q satisface condiția Cramer, dacă pentru unele # > 0 funcția generatoare a momentelor Me f7? este finită în intervalul \t\

Problema probabilităților abaterilor mari ale statisticilor de la un număr nelimitat de fi r , precum și a statisticilor separabile arbitrare care nu satisfac condiția Cramer, a rămas deschisă. Acest lucru nu ne-a permis să rezolvăm în sfârșit problema construirii criteriilor de testare a ipotezelor în scheme de plasare generalizate cu cea mai mare rată de convergență a probabilității unei erori de primul fel la zero cu alternative de abordare din clasa criteriilor bazate pe statistici de forma (0,4). Relevanța cercetării disertației este determinată de necesitatea de a finaliza soluția problemei specificate.

Scopul lucrării de disertație este de a construi criterii de acord cu cea mai mare valoare a indicelui criteriului (indicele criteriului) pentru testarea ipotezelor din schema de selecție fără revenire în clasa criteriilor care resping ipoteza U(n, N) pt. 0(iv"iv"-""" o """)>CiV " (0 " 7) unde φ este o funcție a numărului numărabil de argumente, iar parametrii n, N se modifică în regiunea centrală.

În conformitate cu scopul studiului, au fost stabilite următoarele sarcini: să investigheze proprietățile entropiei și distanța informațională a lui Kull-Bak - Leibler - Sanov pentru distribuții discrete cu un număr numărabil de rezultate; investigați probabilitățile de abateri mari ale statisticilor de forma (0,4); studiați probabilitățile de abateri mari ale statisticilor separabile simetrice (0,3) care nu satisfac condiția Cramer; - găsiți astfel de statistici încât criteriul acordului construit pe baza lui pentru testarea ipotezelor în schemele de plasare generalizate să aibă cea mai mare valoare a indicelui din clasa criteriilor din forma (0,7).

Noutate științifică: este dat conceptul de metrică generalizată - o funcție care admite valori infinite și satisface axiomele identității, simetriei și inegalității triunghiulare. Se găsește o metrică generalizată și se indică seturi pe care funcțiile de entropie și distanță de informații, definite pe o familie de distribuții discrete cu un număr numărabil de rezultate, sunt continue în această metrică; în schema de plasare generalizată s-a găsit o asimptotică grosieră (până la echivalență logaritmică) pentru probabilitățile de abateri mari ale statisticilor de forma (0,4), satisfăcând forma corespunzătoare a condiției Cramer; în schema de plasare generalizată, s-a găsit o asimptotică grosieră (până la echivalență logaritmică) pentru probabilitățile de abateri mari ale statisticilor separabile simetrice care nu satisfac condiția Cramer; în clasa de criterii de forma (0,7) se construiește un criteriu cu cea mai mare valoare a indicelui criteriului.

Valoare științifică și practică. Lucrarea rezolvă o serie de întrebări despre comportamentul probabilităților de abateri mari în schemele de plasare generalizate. Rezultatele obţinute pot fi utilizate în proces educațional după specialitate statistici matematiceși teoria informației, în studiul procedurilor statistice pentru analiza secvențelor discrete și au fost utilizate în /3/, /21/ în justificarea securității unei clase. sisteme informatice. Dispozitii invocate in aparare: reducerea problemei de testare a ipotezei dintr-o singura secventa de culori de bile din faptul ca aceasta secventa se obtine ca urmare a unei alegeri fara a reveni pana la epuizarea bilelor dintr-o urna ce contine bile de doua culori. , iar fiecare astfel de alegere are aceeași probabilitate, la construirea criteriilor de acord pentru a testa ipoteze în aspectul generalizat corespunzător; continuitatea entropiei și funcțiile de distanță informațională Kullback-Leibler-Sanov pe un simplex infinit-dimensional cu metrica generalizată logaritmică introdusă; o teoremă asupra asimptoticii brute (până la echivalența logaritmică) a probabilităților de abateri mari ale statisticilor separabile simetrice care nu satisfac condiția Cramer în schema de plasare generalizată în cazul semi-exponențial; o teoremă de asimptotică brută (până la echivalența logaritmică) a probabilităților de abateri mari pentru statisticile de forma (0,4); - construirea unui criteriu de bunăstare a potrivirii pentru testarea ipotezelor în planuri generalizate cu cea mai mare valoare a indicelui din clasa criteriilor din forma (0,7).

Aprobarea lucrării. Rezultatele au fost prezentate la seminariile Departamentului de Matematică Discreta a Institutului de Matematică care poartă numele. V. A. Steklov RAS, departamentul de securitate a informațiilor al ITM&VT numit după. S. A. Lebedev RAS și la: cel de-al cincilea Simpozion rusesc de matematică aplicată și industrială. Sesiunea de primăvară, Kislovodsk, 2 - 8 mai 2004; a șasea conferință internațională de la Petrozavodsk „Metode probabilistice în matematică discretă” 10 - 16 iunie 2004; A doua Conferință Internațională „Sisteme și tehnologii informaționale (IST” 2004)”, Minsk, 8 - 10 noiembrie 2004;

Conferința internațională „Modern Problems and new Trends in Probability Theory”, Cernăuți, Ucraina, 19 - 26 iunie 2005.

Principalele rezultate ale lucrării au fost utilizate în lucrarea de cercetare „Apologie”, realizată de ITMiVT RAS. S. A. Lebedeva în interesul Serviciul federal privind controlul tehnic și de export al Federației Ruse și au fost incluse în raportul privind implementarea etapei de cercetare /21/. Unele rezultate ale disertației au fost incluse în raportul de cercetare „Dezvoltarea problemelor matematice ale criptografiei” al Academiei de Criptografie a Federației Ruse pentru 2004 /22/.

Autorul își exprimă recunoștința profundă conducătorului științific, doctorul în științe fizice și matematice Ronzhin A. F. și consultantului științific, doctorul în științe fizice și matematice, cercetător principal A. V. Knyazev. Autorul își exprimă recunoștința doctorului în științe fizice și matematice, profesorul A. M. Zubkov și Candidatul de științe fizice și matematice Științe matematice I. A. Kruglov pentru atenția acordată lucrării și o serie de comentarii valoroase.

Structura și conținutul lucrării.

Primul capitol examinează proprietățile entropiei și ale distanței informaționale pentru distribuțiile pe mulțimea numerelor întregi nenegative.

În primul paragraf al primului capitol sunt introduse notații și sunt date definițiile necesare. În special, se folosește următoarea notație: x = (:ro,i, ---) - un vector de dimensiuni infinite cu un număr numărabil de componente;

Н(х) - -Ex^oXvlnx,; trunc m (x) = (x 0,x 1,...,x t,0,0,...); SI* = (x, x u > 0, u = 0,1,..., E~ o x„ 0,v = 0,l,...,E? =Q x v = 1); fi 7 = (x Є O, L 0 vx v = 7); %] = (хЄП,Эо»х и

16 mі = e o ** v \ &c = Ue>1 | 5 є Q 7) o

Este clar că mulțimea Vt corespunde unei familii de distribuții de probabilitate pe mulțimea de numere întregi nenegative, P 7 - unei familii de distribuții de probabilitate pe mulțimea de numere întregi nenegative cu așteptare matematică 7 - Dacă y Є Q, atunci pentru є > 0 multimea va fi notata cu O e (y)

Оє(у) - (х eO,x v

În al doilea paragraf al primului capitol, este demonstrată o teoremă privind mărginirea entropiei distribuțiilor discrete cu așteptări matematice limitate.

Teorema 1. Despre mărginirea entropiei distribuțiilor discrete cu așteptare matematică mărginită. Pentru orice beton armat 7

Dacă x Є fi 7 corespunde unei distribuții geometrice cu o distribuție matematică 7; adică

7 x„ = (1- р)р\ v = 0,1,..., unde р = --,

1 + 7 atunci egalitatea H(x) = F(1) este valabilă.

Enunțul teoremei poate fi privit ca rezultatul unei aplicări formale a metodei lui Lagrange a multiplicatorilor condiționali în cazul unui număr infinit de variabile. Teorema că singura distribuție pe mulțime (k, k + 1, k + 2,...) cu o așteptare matematică dată și entropie maximă este o distribuție geometrică cu o așteptare matematică dată este dată (fără demonstrație) în /47 /. Autorul a dat însă dovezi stricte.

Al treilea paragraf al primului capitol oferă definiția unei metrici generalizate - o metrică care permite valori infinite.

Pentru x,y Є Гі funcția p(x,y) este definită ca minim є > O cu proprietatea y v e~ e

Dacă un astfel de є nu există, atunci se presupune că p(x,y) = oo.

Se demonstrează că funcția p(x,y) este o metrică generalizată asupra familiei de distribuții pe mulțimea numerelor întregi nenegative, precum și pe întreaga mulțime Ci*. În loc de e în definiția metricii p(x,y), puteți utiliza orice alt număr pozitiv, altul decât 1. Valorile rezultate vor diferi printr-o constantă multiplicativă. Să notăm cu J(x, y) distanța informațională

Aici și mai jos se presupune că 0 In 0 = 0,01n ^ = 0. Distanța informațională este definită pentru astfel de x, y încât x v - 0 pentru toate și astfel încât y v = 0. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci vom presupunem J (S,y) = co. Fie A C $1. Apoi vom nota J(Ay)="mU(x,y).

Să punem J(Jb,y) = 00.

În al patrulea paragraf al primului capitol este dată definiția compactității funcțiilor definite pe mulțimea P*. Compactitatea unei funcții cu un număr numărabil de argumente înseamnă că, cu orice grad de precizie, valoarea funcției poate fi aproximată cu valorile acestei funcții în punctele în care doar un număr finit de argumente este diferit de zero. Se dovedește compactitatea funcțiilor de entropie și distanță informațională.

Pentru orice 0

Dacă pentru oarecare 0 0 funcţia \(x) = J(x,p) este compactă pe mulţimea 7 ] P O g (p).

Al cincilea paragraf al primului capitol discută proprietățile distanței informaționale definite pe un spațiu infinit-dimensional. Față de cazul finit-dimensional, situația cu continuitatea funcției de distanță informațională se modifică calitativ. Se arată că funcția distanță informațională nu este continuă pe mulțimea Г2 în nici una dintre metricile pi(,y)= E|z„-i/„|, (

00 \ 2 p 2 (x,y) = sup (x^-ij^.

Valabilitatea următoarelor inegalități este dovedită pentru funcțiile de entropie H(x) și distanța informațională J(x,p):

1. Pentru orice x, x" Є fi \H(x) - H(x")\

2. Dacă pentru unele х,р є П există є > 0 astfel încât х є О є (р), atunci pentru orice X і Є Q \J(x,p) - J(x",p)\

Din aceste inegalități, ținând cont de Teorema 1, rezultă continuitatea uniformă a funcțiilor de entropie și distanță informațională pe submulțimile corespunzătoare fi din metrica p(x,y), și anume,

Pentru orice 7 astfel încât 0

Dacă pentru vreo 7o, O

20 atunci pentru orice 0 0 funcția \p(x) = J(x t p) este uniform continuă pe mulțimea 7 ] P O є (p) în metrica p(x,y).

Este dată o definiție a funcției non-extreme. Condiția non-extremă înseamnă că funcția nu are extreme locale sau funcția ia minime locale ( maxime locale) aceleasi valori. Condiția non-extremă slăbește cerința absenței extremelor locale. De exemplu, funcţia păcatului x pe platou numere reale are extreme locale, dar satisface condiția non-extremă.

Fie pentru vreo 7 > 0, regiunea A este dată de condiție

А = (хЄЇ1 1 ,ф(х) >а), (0.9) unde Ф(х) este o funcție cu valoare reală, а este o constantă reală, inf Ф(х)

Și 3y, a apărut întrebarea, n P „ în ce condiții „a „ φ pentru i_ „ara- q metri n, N în regiunea centrală, ^ -> 7, pentru toate valorile lor suficient de mari vor exista astfel de non -numere întregi negative ko, k\, ..., k n, ce ko + hi + ... + k n = N,

21 k\ + 2/... + nk n - N

Kq k\ k n . ^"iv"-"iv" 0 " 0 "-")>a -

Se dovedește că pentru aceasta este suficient să se ceară ca funcția φ să fie neextremă, compactă și continuă în metrica p(x,y), și, de asemenea, că pentru cel puțin un punct x satisface (0.9), pentru unele є > 0 există un moment finit de gradul 1 + є Ml + = і 1+є x și 0 pentru orice u = 0,1,....

În al doilea capitol, studiem asimptoticele aproximative (până la echivalența logaritmică) ale probabilității abaterilor mari ale funcțiilor de la D = (fio,..., cn, 0,...) - numărul de celule cu un anumit completarea regiunii centrale de variaţie a parametrilor N,n . Asimptoticele aproximative ale probabilităților de abateri mari sunt suficiente pentru a studia indicii criteriilor de bunăstare a potrivirii.

Fie variabilele aleatoare ^ din (0.2) să fie distribuite identic și

Р(Сі = к)=рьк = 0.1,... > P(z) - funcția generatoare a variabilei aleatoare i - converge într-un cerc cu raza 1

22 Să notăm p(.) = (p(ad = o),P№) = i),...).

Dacă există o soluție z 1 la ecuație

M(*) = 7, atunci este unic /38/. În cele ce urmează vom presupune că Pjfc>0,fc = 0,l,....

În primul paragraf al primului paragraf al celui de-al doilea capitol există asimptotice ale logaritmilor probabilităților de forma -m^1nP(th) = ^,...,/ = K)-

Se demonstrează următoarea teoremă.

Teorema 2. Teorema locală brută asupra probabilităților de abateri mari. Fie n, N -* co astfel încât - ->7>0

Enunțul teoremei rezultă direct din formula pentru distribuția comună /to, A*b / în /26/ și următoarea estimare: dacă valorile întregi nenegative fii,fi2,/ satisfac condiția /I1 + 2 // 2 + ... + 71/ = 71, atunci numărul de valori diferite de zero dintre ele este 0(l/n). Aceasta este o estimare aproximativă și nu pretinde a fi nouă. Numărul de τ diferit de zero în schemele de layout generalizate nu depășește valoarea umplerii maxime a celulelor, care în regiunea centrală, cu o probabilitate tinde spre 1, nu depășește valoarea 0(\np) /25/, /27/. Cu toate acestea, estimarea rezultată 0(y/n) este satisfăcută cu probabilitatea 1 și este suficientă pentru a obține asimptotice brute.

În al doilea paragraf al primului paragraf al celui de-al doilea capitol se găsește valoarea limitei unde adg este o succesiune de numere reale convergente către unele a Є R, φ(x) este o funcție cu valoare reală. Se demonstrează următoarea teoremă.

Teorema 3. Teorema integrală brută asupra probabilităților abaterilor mari. Fie îndeplinite condițiile teoremei 2, pentru unele r > 0, (> 0) funcția reală φ(x) este compactă, uniform continuă în metricul p pe mulțime

A = 0 rH (p(r 1))nP bn] și satisface condiția de neextremalitate pe mulțimea Г2 7 . Dacă pentru o constantă a astfel încât inf f(x)

24 există un vector p a fi 7 P 0 r (p(z 7)); astfel încât

Ф(ra) > а J(( (x) >а,хЄ П 7 ),р(2; 7)) = J(p a ,p(^y)), mo pentru orice succesiune а^ convergentă către а, ^ -^\nP(f(^,^,...)>a m) = Pr a,p(r,)). (0,11)

Cu restricții suplimentare asupra funcției φ(x), distanța informațională J(pa,P(zy)) din (2.3) poate fi calculată mai precis. Și anume, următoarea teoremă este adevărată. Teorema 4. Despre distanța informațională. Lasă pentru vreo 0

Indiferent dacă unele r > 0, C > 0, funcția reală φ(x) și derivatele sale parțiale de ordinul întâi sunt compacte și uniform continue în metrica generalizată p(x, y) pe mulțime

A = O g (p)PP bn] , există T > 0, R > 0 astfel încât pentru toate \t\ O p v v 1+ z u exp(i--f(x))

0(p(gaL)) = a, / h X v \Z,t) T, u= oX LJ (Z,t)

Atunci p(z a , t a) Є ft, u J((z Є Л,0(ж) = а),р) = J(p(z a ,t a),p) d _ 9 = 7111 + t a «-^ OFaL)) - În 2Wexp( a --0(p(g a,i a))). j/=0 CnEi/ ^_o CX(/

Dacă funcția f(x) este o funcție liniară și funcția fix) este definită folosind egalitatea (0.5), atunci condiția (0.12) se transformă în condiția Cramer pentru variabila aleatoare f(,(z)). Condiția (0.13) este o formă a condiției (0.10) și este folosită pentru a demonstra prezența în domenii a formei (x Є Г2, φ(x) > a) a cel puțin un punct din 0(n, N) pentru toate suficient de mare n, N.

Fie v ()(n,iV) = (/гі,...,/ijv) vectorul de frecvență în structura generalizată (0.2). Ca un corolar al teoremelor 3 și 4, se formulează următoarea teoremă.

Teorema 5. Teorema integrală brută privind probabilitățile abaterilor mari ale statisticilor separabile simetrice într-o schemă de alocare generalizată.

Fie n, N -> ω astfel încât jfr - 7» 0 0,R > 0 astfel încât pentru toate \t\ Atunci pentru orice succesiune a# care converge către a, 1 iv =

Această teoremă a fost demonstrată pentru prima dată de A.F. Ronzhin în /38/ folosind metoda punctului de șa.

În al doilea paragraf al celui de-al doilea capitol se studiază probabilitățile de abateri mari ale statisticilor separabile în plasarea generalizată a cxj^iax în cazul neîndeplinirii condiției Cramer pentru variabila aleatoare /((z)). Condiția lui Cramer pentru variabila aleatoare f(,(z)) nu este îndeplinită, în special dacă (z) este o variabilă aleatoare Poisson și /(x) = x 2. Rețineți că condiția lui Cramer pentru statisticile separabile în sine în schemele de alocare generalizate este întotdeauna îndeplinită, deoarece pentru orice n, N fix numărul de rezultate posibile în aceste scheme este finit.

După cum s-a menționat în /2/, dacă condiția Cramer nu este îndeplinită, atunci pentru a găsi asimptoticele probabilităților de abateri mari ale sumelor de variabile aleatoare distribuite identic, este necesar să se îndeplinească condiții suplimentare pentru modificarea corectă a distribuției. a termenului. Lucrarea (consideră cazul corespunzător îndeplinirii condiției (3) în /2/, adică cazul șapte exponențial. Fie P(i = k) > O pentru toate

28 k = 0,1,... iar funcția p(k) = -\nP(^ = k), poate fi continuată până la o funcție de argument continuu - o funcție care variază în mod regulat de ordinul p, 0 oo P(tx) , r v P(t )

Fie funcția f(x) pentru valori suficient de mari ale argumentului o funcție pozitivă, strict crescătoare, variabilă în mod regulat de ordinul d>1, ^Pe restul axei numerelor

Apoi s. V. /(i) are momente de orice ordine și nu satisface condiția Cramer, ip(x) = o(x) ca x -> oo, iar următoarea teoremă 6 este valabilă Fie ca funcția ip(x) să fie monoton nedescrescătoare pentru x suficient de mare, funcția ^p nu crește monoton, n, N --> oo astfel încât jf - A, 0 b(z\), unde b(z) = M/(1(2)), există este o limită l(n,lg)) > cN] = "(c ~ b(zx))l b""ї

Din teorema b rezultă că, dacă condiția Cramer nu este îndeplinită, limita (^ lim ~\nP(L N (h(n,N)) > cN) = 0, "" Dv

L/-too iV şi care dovedeşte validitatea ipotezei exprimate în /39/. Astfel, valoarea indicelui criteriului acordului în schemele de plasare generalizate -^ când condiția Cramer nu este îndeplinită este întotdeauna egală cu zero. În acest caz, în clasa criteriilor, când condiția lui Cramer este îndeplinită, se construiesc criterii cu o valoare a indicelui diferită de zero. Din aceasta putem concluziona că folosind criterii ale căror statistici nu satisfac condiția Cramer, de exemplu, testul chi-pătrat într-o schemă polinomială, pentru a construi teste de bunătate de potrivire pentru testarea ipotezelor pentru alternative neconvergente în sensul indicat. este asimptotic ineficient. O concluzie similară a fost făcută în /54/ pe baza rezultatelor unei comparații dintre statisticile chi-pătrat și raportul de probabilitate maximă într-o schemă polinomială.

Al treilea capitol rezolvă problema construirii criteriilor de bunătate de potrivire cu cea mai mare valoare a indicelui criteriului (cea mai mare valoare a indicelui criteriului) pentru a testa ipotezele în scheme de plasare generalizate. Pe baza rezultatelor din primul și al doilea capitol privind proprietățile funcțiilor de entropie, distanța informațională și probabilitățile de abateri mari, în capitolul al treilea se găsește o funcție de forma (0.4) astfel încât criteriul de bunătate a potrivirii construit pe baza sa are cea mai mare valoare a indicelui exact din clasa de criterii luată în considerare. Se demonstrează următoarea teoremă. Teorema 7. Despre existența unui indice. Fie îndeplinite condițiile teoremei 3, 0,... - o succesiune de distribuții alternative, 0^(/3, iV) - numărul maxim pentru care, în ipoteza НР (lo, inegalitatea

P(φ(^^,...)>a φ (P,M))>(3, există o limită limjv-»oo o>φ(P, N) - a. Atunci în punctul (/3 , N) există un indice de criteriu f

Zff,K) = 3((φ(x) >a,xe ZD.P^)).

În acest caz, zf(0,th)N NP(e(2 7) = fc)"

Concluzia stabilește rezultatele obținute în relația acestora cu scopul general și sarcinile specifice propuse în disertație, formulează concluzii pe baza rezultatelor cercetării tezei, indică noutatea științifică, valoarea teoretică și practică a lucrării, precum și specificul sarcini științifice identificate de autor și a căror soluție pare relevantă .

Scurtă trecere în revistă a literaturii de specialitate pe tema de cercetare.

Teza examinează problema construirii criteriilor de acord în schemele de plasare generalizate cu cea mai mare valoare a indicelui criteriului din clasa funcțiilor de forma (0.4) cu alternative neconvergente.

Schemele de amenajare generalizate au fost introduse de V.F Kolchin în /24/. Cantitățile fi r din schema polinomială au fost numite numărul de celule cu r pelete și au fost studiate în detaliu în monografia de V. F. Kolchin, B. A. Sevastyanov, V. P. Chistyakov /27/. Valorile lui \i r în machetele generalizate au fost studiate de V.F Kolchin în /25/, /26/. Statisticile de forma (0,3) au fost luate în considerare pentru prima dată de Yu I. Medvedev în /30/ și au fost numite statistici separabile (separabile în mod aditiv). Dacă funcțiile /„ din (0.3) nu depind de u, astfel de statistici au fost numite în /31/ statistici separabile simetrice. Comportamentul asimptotic al momentelor statisticii separabile în schemele de alocare generalizate a fost obținut de G. I. Ivchenko în /9/. Teoremele limită pentru o schemă generalizată de aspect au fost, de asemenea, luate în considerare în /23/. Recenzii ale rezultatelor teoremelor limită și ale criteriilor de acord în scheme probabilistice discrete de tip (0,2) au fost date de V. A. Ivanov, G. I. Ivchenko, Yu I. Medvedev în /8/ și G. I. Ivchenko, Yu I. Medvedev, A.F. Ronzhin /14/. Criteriile de acord pentru machetele generalizate au fost luate în considerare de A.F. Ronzhin în /38/.

O comparație a proprietăților criteriilor statistice în aceste lucrări a fost efectuată din punct de vedere al eficienței relative asimptotice. S-a luat în considerare cazul ipotezelor convergente (contiguale) - eficiență în sensul lui Pitman și ipotezele neconvergente - eficiență în sensul lui Bahadur, Hodges - Lehman și Chernov. Comunicarea între diverse tipuri eficacitatea relativă a testelor statistice este discutată, de exemplu, în /49/. După cum rezultă din rezultatele lui Yu I. Medvedev în /31/ privind distribuția statisticilor separabile într-o schemă polinomială, criteriul bazat pe statistica chi-pătrat are cea mai mare putere asimptotică în ipotezele convergente din clasa statisticilor separabile pe frecvențele rezultatelor într-o schemă polinomială. Acest rezultat a fost generalizat de A.F. Ronzhin pentru circuite de tip (0,2) în /38/. I. I. Viktorova și V. P. Chistyakov în /4/ au construit un criteriu optim pentru o schemă polinomială din clasa funcțiilor liniare ale fi r. A.F.Ronzhin în /38/ a construit un criteriu care, având în vedere o succesiune de alternative care nu sunt apropiate de ipoteza nulă, minimizează rata logaritmică la care probabilitatea unei erori de primul fel tinde spre zero, în clasa statisticilor de forma (0,6). O comparație a performanței relative a statisticilor chi-pătrat și a raportului de probabilitate maximă în ipoteze de apropiere și neaproximare a fost efectuată în /54/. Teza a luat în considerare cazul ipotezelor neconvergente. Studierea eficacității statistice relative a criteriilor sub ipoteze neconvergente necesită studierea probabilităților de abateri extrem de mari - de ordinul 0(u/n). Pentru prima dată, o astfel de problemă pentru o distribuție polinomială cu un număr fix de rezultate a fost rezolvată de I. N. Sanov în /40/. Optimitatea asimptotică a testelor de bunătate a potrivirii pentru testarea ipotezelor simple și complexe pentru o distribuție multinomială în cazul unui număr finit de rezultate cu alternative neconvergente a fost luată în considerare în /48/. Proprietățile distanței informaționale au fost considerate anterior de Kullback, Leibler /29/,/53/ și I. II. Sanov /40/, precum și Hoeffding /48/. În aceste lucrări s-a luat în considerare continuitatea distanței informaționale pe spații cu dimensiuni finite în metrica euclidiană. O serie de autori au considerat o succesiune de spații cu dimensiune crescătoare, de exemplu, în lucrarea lui V. Prokhorov /37/ sau în lucrarea lui V. I. Bogachev, A. V. Kolesnikov /1/. Teoreme brute (până la echivalența logaritmică) privind probabilitățile de abateri mari ale statisticilor separabile în schemele de alocare generalizate în condiția Cramer au fost obținute de A.F. Roizhin în /38/. A. N. Timashev în /42/,/43/ a obținut integrale multidimensionale exacte (până la echivalență) și teoreme limită locale asupra probabilităților de abateri mari ale vectorului fir^n, N),..., fi rs (n,N) , unde s, gi,..., r s sunt numere întregi fixe,

Problemele statistice de testare a ipotezelor și de estimare a parametrilor într-o schemă de selecție fără retur într-o formulare ușor diferită au fost luate în considerare de G. I. Ivchenko, V. V. Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, unde problemele de estimare au fost rezolvate pentru o populație finită, când numărul elementelor sale este o cantitate necunoscută, s-a dovedit normalitatea asimptotică a statisticilor S multivariate din eșantioane independente într-o schemă de selecție fără reversie. Problema studierii variabilelor aleatoare asociate cu repetițiile în secvențele de studii independente a fost studiată de A. M. Zubkov, V. G. Mikhailov, A. M. Shoitov în /6/, /7/, /32/, /33/, / 34/. O analiză a principalelor probleme statistice de estimare și testare a ipotezelor în cadrul modelului general Markov-Pólya a fost efectuată de G. I. Ivchenko, Yu I. Medvedev în /13/, a cărei analiză probabilistică a fost dată în /11 /. O metodă pentru specificarea măsurilor de probabilitate neuniforme pe un set de obiecte combinatorii, care nu este reductibilă la schema de plasare generalizată (0,2), a fost descrisă în G. I. Ivchenko, Yu I. Medvedev /12/. O serie de probleme din teoria probabilităților, în care răspunsul poate fi obținut ca rezultat al calculelor folosind formule recurente, sunt indicate de A. M. Zubkov în /5/.

Inegalitățile pentru entropia distribuțiilor discrete au fost obținute în /50/ (citat din rezumatul lui A. M. Zubkov în RZhMat). Dacă (p n )Lo este o distribuție de probabilitate,

Рп = Е Рк, к=п A = supp^Pn+i

I + (In -f-) (X Rn - R n+1)

Рп= (x f 1)n+v n>Q. (0,15)

Rețineți că distribuția extremă (0.15) este o distribuție geometrică cu așteptarea matematică A, iar funcția F(X) a parametrului (0.14) coincide cu funcția așteptării matematice din teorema 1.

Entropia distribuțiilor discrete cu așteptări matematice mărginite

Dacă există un indice de criteriu, atunci indicele criteriului coincide cu acesta. Indicele inferior al criteriului există întotdeauna. Cu cât este mai mare valoarea indicelui de criteriu (indicele criteriului), cu atât este mai bun criteriul statistic în acest sens. În /38/, a fost rezolvată problema construirii criteriilor de acord pentru planșe generalizate cu cea mai mare valoare a indicelui criteriului din clasa criteriilor care resping ipoteza Ho(n,N) pentru unde m 0 este un număr fix, succesiunea de unități constante este selectată pe baza puterii valorice date a criteriului pentru o secvență de alternative, ft - funcție reală a m + 1 argumente.

Indicii criterii sunt determinați de probabilitățile de abateri mari. După cum sa arătat în /38/, asimptoticele aproximative (până la echivalența logaritmică) ale probabilităților de abateri mari ale statisticilor separabile atunci când condiția Cramer pentru variabila aleatoare /() este îndeplinită este determinată de Kull-Bak-Leibler- Distanța informațională Sanov (variabila aleatoare q satisface condiția Cramer, dacă pentru ceva # 0 funcția generatoare a momentelor Mef7? este finită în intervalul \t\ Н /28/).

Problema probabilităților abaterilor mari ale statisticilor de la un număr nelimitat de brad, precum și a statisticilor separabile arbitrare care nu satisfac condiția Cramer, a rămas deschisă. Acest lucru nu ne-a permis să rezolvăm în sfârșit problema construirii criteriilor de testare a ipotezelor în scheme de plasare generalizate cu cea mai mare rată de convergență a probabilității unei erori de primul fel la zero cu alternative de abordare din clasa criteriilor bazate pe statistici de forma (0,4). Relevanța cercetării disertației este determinată de necesitatea de a finaliza soluția problemei specificate.

Scopul lucrării de disertație este de a construi criterii de acord cu cea mai mare valoare a indicelui criteriului (indicele criteriului) pentru testarea ipotezelor într-o schemă de selecție fără revenire în clasa criteriilor care resping ipoteza U(n, N) pt. unde φ este o funcție a numărului numărabil de argumente, iar parametrii n, N se modifică în regiunea centrală. În conformitate cu scopul studiului, au fost stabilite următoarele sarcini: - să investigheze proprietățile entropiei și distanța informațională a lui Kull-Bak - Leibler - Sanov pentru distribuții discrete cu un număr numărabil de rezultate; - studiază probabilitățile de abateri mari ale statisticilor de forma (0,4); - studiază probabilitățile de abateri mari ale statisticilor separabile simetrice (0,3) care nu satisfac condiția Cramer; - găsiți astfel de statistici încât criteriul acordului construit pe baza lui pentru testarea ipotezelor în schemele de plasare generalizate să aibă cea mai mare valoare a indicelui din clasa criteriilor din forma (0,7). Noutate științifică: - este dat conceptul de metrică generalizată - o funcție care admite valori infinite și satisface axiomele identității, simetriei și inegalității triunghiulare. Se găsește o metrică generalizată și se indică seturi pe care funcțiile de entropie și distanță de informații, definite pe o familie de distribuții discrete cu un număr numărabil de rezultate, sunt continue în această metrică; - în schema de plasare generalizată s-a găsit o asimptotică grosieră (până la echivalență logaritmică) pentru probabilitățile de abateri mari ale statisticilor de forma (0,4), satisfăcând forma corespunzătoare a condiției Cramer; - în schema de plasare generalizată s-a găsit o asimptotică grosieră (până la echivalență logaritmică) pentru probabilitățile de abateri mari ale statisticilor separabile simetrice care nu satisfac condiția Cramer; - în clasa criteriilor de forma (0,7) se construiește un criteriu cu cea mai mare valoare a indicelui criteriului. Valoare științifică și practică. Lucrarea rezolvă o serie de întrebări despre comportamentul probabilităților de abateri mari în schemele de plasare generalizate. Rezultatele obținute pot fi utilizate în procesul de învățământ la specialitățile de statistică matematică și teoria informației, în studiul procedurilor statistice de analiză a secvențelor discrete și au fost utilizate în /3/, /21/ pentru a justifica securitatea uneia. clasa sistemelor informatice. Dispozitii invocate in aparare: - reducerea problemei de testare a ipotezei dintr-o singura secventa de culori de bile din faptul ca aceasta secventa se obtine ca urmare a unei alegeri fara a reveni pana la epuizarea bilelor dintr-o urna ce contine bile de doua. culori, iar fiecare astfel de alegere are aceeași probabilitate, la construirea criteriilor de acord pentru a testa ipoteze în aspectul generalizat adecvat; - continuitatea funcțiilor de entropie și distanță informațională Kullback-Leibler-Sanov pe un simplex infinit-dimensional cu metrica generalizată logaritmică introdusă; - o teoremă asupra asimptoticii brute (până la echivalența logaritmică) a probabilităților de abateri mari ale statisticilor separabile simetrice care nu satisfac condiția Cramer în schema de plasare generalizată în cazul semi-exponențial;

Continuitatea distanței informaționale Kullback - Leibler - Sanov

Schemele de amenajare generalizate au fost introduse de V.F Kolchin în /24/. Cantitățile de brad din schema polinomială au fost numite numărul de celule cu r pelete și au fost studiate în detaliu în monografie de V. F. Kolchin, B. A. Sevastyanov, V. P. Chistyakov /27/. Valorile \ig în machetele generalizate au fost studiate de V.F Kolchin în /25/, /26/. Statisticile de forma (0,3) au fost luate în considerare pentru prima dată de Yu I. Medvedev în /30/ și au fost numite statistici separabile (separabile în mod aditiv). Dacă funcțiile /„ din (0.3) nu depind de u, astfel de statistici au fost numite în /31/ statistici separabile simetrice. Comportamentul asimptotic al momentelor statisticii separabile în schemele de alocare generalizate a fost obținut de G. I. Ivchenko în /9/. Teoremele limită pentru o schemă generalizată de aspect au fost, de asemenea, luate în considerare în /23/. Recenzii ale rezultatelor teoremelor limită și ale criteriilor de acord în scheme probabilistice discrete de tip (0,2) au fost date de V. A. Ivanov, G. I. Ivchenko, Yu I. Medvedev în /8/ și G. I. Ivchenko, Yu I. Medvedev, A.F. Ronzhin /14/. Criteriile de acord pentru machetele generalizate au fost luate în considerare de A.F. Ronzhin în /38/.

O comparație a proprietăților criteriilor statistice în aceste lucrări a fost efectuată din punct de vedere al eficienței relative asimptotice. S-a luat în considerare cazul ipotezelor convergente (contiguale) - eficiență în sensul lui Pitman și ipotezele neconvergente - eficiență în sensul lui Bahadur, Hodges - Lehman și Chernov. Relația dintre diferitele tipuri de teste statistice de performanță relativă este discutată, de exemplu, în /49/. După cum rezultă din rezultatele lui Yu I. Medvedev în /31/ privind distribuția statisticilor separabile într-o schemă polinomială, cea mai mare putere asimptotică în ipotezele convergente din clasa statisticilor separabile asupra frecvențelor rezultate într-o schemă polinomială are o criteriu bazat pe statistica chi-pătrat. Acest rezultat a fost generalizat de A.F. Ronzhin pentru circuite de tip (0,2) în /38/. I. I. Viktorova și V. P. Chistyakov în /4/ au construit un criteriu optim pentru o schemă polinomială din clasa funcțiilor liniare ale bradului. A.F.Ronzhin în /38/ a construit un criteriu care, având în vedere o succesiune de alternative care nu sunt apropiate de ipoteza nulă, minimizează rata logaritmică la care probabilitatea unei erori de primul fel tinde spre zero, în clasa statisticilor de forma (0,6). O comparație a performanței relative a statisticilor chi-pătrat și a raportului de probabilitate maximă în ipoteze de apropiere și neaproximare a fost efectuată în /54/. Teza a luat în considerare cazul ipotezelor neconvergente. Studierea eficacității statistice relative a criteriilor sub ipoteze neconvergente necesită studierea probabilităților de abateri extrem de mari - de ordinul 0(u/n). Pentru prima dată, o astfel de problemă pentru o distribuție polinomială cu un număr fix de rezultate a fost rezolvată de I. N. Sanov în /40/. Optimitatea asimptotică a testelor de bunătate a potrivirii pentru testarea ipotezelor simple și complexe pentru o distribuție multinomială în cazul unui număr finit de rezultate cu alternative neconvergente a fost luată în considerare în /48/. Proprietățile distanței informaționale au fost considerate anterior de Kullback, Leibler /29/,/53/ și I. II. Sanov /40/, precum și Hoeffding /48/. În aceste lucrări s-a luat în considerare continuitatea distanței informaționale pe spații cu dimensiuni finite în metrica euclidiană. O serie de autori au considerat o succesiune de spații cu dimensiune crescătoare, de exemplu, în lucrarea lui V. Prokhorov /37/ sau în lucrarea lui V. I. Bogachev, A. V. Kolesnikov /1/. Teoreme brute (până la echivalența logaritmică) privind probabilitățile de abateri mari ale statisticilor separabile în scheme de plasare generalizate în condiția Cramer au fost obținute de A. F. Roizhin în /38/. A. N. Timashev în /42/,/43/ a obținut integrale multidimensionale exacte (până la echivalență) și teoreme limită locale privind probabilitățile abaterilor mari ale unui vector

Studiul probabilităților de abateri mari atunci când condiția Cramer nu este îndeplinită pentru cazul variabilelor aleatoare independente a fost realizat în lucrările lui A. V. Nagaev /35/. Metoda distribuțiilor conjugate este descrisă de Feller /45/.

Problemele statistice de testare a ipotezelor și de estimare a parametrilor într-o schemă de selecție fără retur într-o formulare ușor diferită au fost luate în considerare de G. I. Ivchenko, V. V. Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, unde problemele de estimare au fost rezolvate pentru o populație finită, când numărul elementelor sale este o cantitate necunoscută, s-a dovedit normalitatea asimptotică a statisticilor S multivariate din eșantioane independente într-o schemă de selecție fără reversie. Problema studierii variabilelor aleatoare asociate cu repetițiile în secvențele de studii independente a fost studiată de A. M. Zubkov, V. G. Mikhailov, A. M. Shoitov în /6/, /7/, /32/, /33/, /34/. O analiză a principalelor probleme statistice de estimare și testare a ipotezelor în cadrul modelului general Markov-Pólya a fost efectuată de G. I. Ivchenko, Yu I. Medvedev în /13/, a cărei analiză probabilistică a fost dată în /11 /. O metodă pentru specificarea măsurilor de probabilitate neuniforme pe un set de obiecte combinatorii, care nu este reductibilă la schema de plasare generalizată (0,2), a fost descrisă în G. I. Ivchenko, Yu I. Medvedev /12/. O serie de probleme din teoria probabilităților, în care răspunsul poate fi obținut ca rezultat al calculelor folosind formule recurente, sunt indicate de A. M. Zubkov în /5/.

Distanța informațiilor și probabilitățile mari de abatere ale statisticilor separabile

Când condiția lui Cramer nu este satisfăcută, abaterile mari ale statisticilor separabile în schema de plasare generalizată în cazul șapte exponențial considerat sunt determinate de probabilitatea de abatere a unui termen independent. Când condiția lui Cramer este satisfăcută, acest lucru, așa cum este subliniat în /39/, nu este cazul. Observația 10. Funcția φ(x) este astfel încât așteptarea matematică a lui АН) este finită pentru 0 t 1 și infinită pentru t 1. Observația 11. Pentru statisticile separabile care nu îndeplinesc condiția Cramer, limita (2.14) este egal cu 0, ceea ce demonstrează validitatea ipotezei , exprimată în /39/. Observația 12. Pentru statistica chi-pătrat într-o schemă polinomială pentru n, ./V - co astfel încât - A, rezultă imediat din teoremă că Acest rezultat a fost obținut în /54/ direct. În acest capitol, în regiunea centrală a modificărilor parametrilor schemelor generalizate de plasare a particulelor în celule, asimptotice brute (până la echivalența logaritmică) a probabilităților de abateri mari ale statisticilor separabile aditiv de la numărul de celule și funcții de la numărul de au fost găsite celule cu o umplutură dată.

Dacă condiția lui Cramer este satisfăcută, atunci asimptotica aproximativă a probabilităților de abateri mari este determinată de asimptoticele aproximative ale probabilităților de a intra într-o succesiune de puncte cu coordonate raționale, convergând în sensul de mai sus către punctul în care extremul este atinsă distanța de informații corespunzătoare.

S-a luat în considerare cazul șapte exponențial de neîndeplinire a condiției lui Cramer pentru variabilele aleatoare f(i),..., f(k), unde b, k sunt variabile aleatoare independente care generează schema de descompunere generalizată (0.2), f (k) este o funcție în definiția statisticilor simetrice separabile aditiv în (0.3). Adică, s-a presupus că funcțiile p(k) = - lnP(i = k) și f(k) pot fi continuate cu funcții care variază în mod regulat ale unui argument continuu de ordinul p 0 și, respectiv, q 0 și p q. S-a dovedit că principala contribuție la asimptoticele brute a probabilităților de abateri mari ale statisticilor separabile în schemele de plasare generalizate este în mod similar făcută de asimptoticele brute ale probabilității de ionizare în secvența corespunzătoare de puncte. Este interesant de observat că anterior teorema privind probabilitățile de abateri mari pentru statisticile separabile a fost demonstrată folosind metoda punctului de șa, contribuția principală la asimptotice fiind făcută de un singur punct de șa. Cazul în care condiția de 2 kN nu este îndeplinită dacă condiția Cramer nu este îndeplinită rămâne neexplorat.

Dacă condiția lui Cramer nu este satisfăcută, atunci condiția specificată poate să nu fie îndeplinită numai în cazul p 1. După cum rezultă direct din logaritmul probabilităților corespunzătoare, pentru distribuția Poisson și distribuția geometrică p = 1. Din rezultatul asimptoticelor probabilităților de abateri mari atunci când condiția Cramer nu este îndeplinită, putem concluziona că criteriile ale căror statistici nu satisfac condiția Cramer au o rată semnificativ mai mică de tendință spre zero a probabilităților de erori ale al doilea tip cu o probabilitate fixă ​​a unei erori de primul fel și alternative neconvergente în comparație cu criteriile ale căror statistici satisfac condiția Cramer. Să se facă o selecție dintr-o urnă care conține N - 1 1 bile albe ip-JV 1 negre fără a reveni până la epuizarea completă. Legăm locurile bilelor albe din alegerea 1 i\ ... r -i n - 1 cu succesiunea distanțelor dintre bile albe vecine hi,..., h astfel: Atunci hv l,v =1,.. ,N,M EjLi i/ - n- Să definim o distribuție de probabilitate pe mulțimea vectorilor h = (hi,...,Ldr), setând V(hv = rv,v = l,...,N. ) unde i,...,lg - variabile aleatoare întregi nenegative independente (r.v.), adică se consideră schema de alocare generalizată (0,2). Distribuția vectorului h depinde de n,N, dar indicii corespunzători vor fi omiși acolo unde este posibil pentru a simplifica notația. Observația 14. Dacă fiecăreia dintre (]) modalități de selectare a bile dintr-o urnă i se atribuie aceeași probabilitate ( \) mn pentru orice r i,..., rg astfel încât r„ 1,u = l,...,N , T,v=\ru = n, probabilitatea ca distanțele dintre bilele albe adiacente din alegere să ia aceste valori

Criterii bazate pe numărul de celule din machetele generale

Scopul lucrării de disertație a fost de a construi criterii de bunătate pentru testarea ipotezelor într-o schemă de selecție fără a se întoarce dintr-o urna care conține bile de 2 culori. Autorul a decis să studieze statisticile bazate pe frecvențele distanțelor dintre bile de aceeași culoare. În această formulare, problema a fost redusă la problema testării ipotezelor într-un aspect generalizat adecvat.

Lucrarea de disertație a inclus: proprietățile entropiei și distanța de informații ale distribuțiilor discrete cu un număr nelimitat de rezultate cu o așteptare matematică limitată; - s-a obținut o asimptotică brută (până la echivalență logaritmică) a probabilităților de abateri mari ale unei clase largi de statistici într-o schemă de plasare generalizată; - pe baza rezultatelor obținute s-a construit o funcție de criteriu cu cea mai mare rată logaritmică de tendință la zero a probabilității unei erori de primul fel cu probabilitate fixă ​​a unei erori de al doilea fel și alternative neconvergente; - s-a dovedit că statisticile care nu îndeplinesc condiția Cramer au o rată mai mică de convergență la zero a probabilităților de abateri mari comparativ cu statisticile care îndeplinesc această condiție. Noutatea științifică a lucrării este următoarea. - este dat conceptul de metrică generalizată - o funcție care admite valori infinite și satisface axiomele identității, simetriei și inegalității triunghiulare. Se găsește o metrică generalizată și se indică seturi pe care funcțiile de entropie și distanță de informații, definite pe o familie de distribuții discrete cu un număr numărabil de rezultate, sunt continue în această metrică; - în schema de plasare generalizată s-a găsit o asimptotică grosieră (până la echivalență logaritmică) pentru probabilitățile de abateri mari ale statisticilor de forma (0,4), satisfăcând forma corespunzătoare a condiției Cramer; - în schema de plasare generalizată s-a găsit o asimptotică grosieră (până la echivalență logaritmică) pentru probabilitățile de abateri mari ale statisticilor separabile simetrice care nu satisfac condiția Cramer; - în clasa criteriilor de forma (0,7) se construiește un criteriu cu cea mai mare valoare a indicelui criteriului. Lucrarea rezolvă o serie de întrebări despre comportamentul probabilităților de abateri mari în schemele de plasare generalizate. Rezultatele obținute pot fi utilizate în procesul de învățământ la specialitățile de statistică matematică și teoria informației, în studiul procedurilor statistice de analiză a secvențelor discrete și au fost utilizate în /3/, /21/ pentru a justifica securitatea uneia. clasa sistemelor informatice. Cu toate acestea, o serie de întrebări rămân deschise. Autorul s-a limitat la a lua în considerare zona centrală de schimbare parametrii n,N scheme generalizate pentru plasarea n particule în celule /V. Dacă purtătorul distribuției variabilelor aleatoare care generează schema de aranjare generalizată (0.2) nu este o mulțime de forma r, r 4-1, r + 2,..., atunci când se demonstrează continuitatea funcției distanță informațională și studiind probabilitățile de abateri mari, este necesar să se ia în considerare structura aritmetică a unui astfel de purtător, care nu a fost luată în considerare în lucrarea autorului. Pentru aplicare practică criterii construite pe baza funcției propuse cu valoarea maximă a indicelui, este necesar să se studieze distribuția acesteia atât sub ipoteza nulă, cât și sub alternative, inclusiv convergente. De asemenea, este de interes transferul metodelor dezvoltate și generalizarea rezultatelor obținute către alte scheme probabilistice, altele decât schemele de plasare generalizate. Dacă //1,/ 2,-.. sunt frecvențele distanțelor dintre numerele rezultatului 0 într-o schemă binomială cu probabilități de rezultate roi 1 -POj, atunci se poate demonstra că în acest caz, din analiza formula de distribuție comună a valorilor \іт într-o schemă de plasare generalizată, dovedită în /26/, rezultă că distribuția (3.3), în general, nu poate fi reprezentată în cazul general ca o distribuție comună a valorilor cg în orice schemă generalizată de plasare a particulelor în celule. Această distribuție este un caz special de distribuții pe mulțimea de obiecte combinatorii introduse în /12/. Pare o sarcină urgentă transferarea rezultatelor lucrării de disertație pentru scheme de plasament generalizate în acest caz, despre care a fost discutat în /52/.

Testele exacte oferă două metode suplimentare pentru calcularea nivelurilor de semnificație pentru statisticile disponibile prin procedurile Tabele încrucișate și Testele neparametrice. Aceste metode, metoda exactă și metoda Monte Carlo, oferă un mijloc de obținere a rezultatelor exacte atunci când datele dumneavoastră nu îndeplinesc oricare dintre ipotezele de bază necesare pentru rezultate fiabile folosind metoda asimptotică standard. Disponibil numai dacă ați achiziționat opțiunile Exact Tests.

Exemplu. Rezultatele asimptotice obținute din seturi de date mici sau tabele rare sau dezechilibrate pot induce în eroare. Testele exacte vă permit să obțineți un nivel de semnificație precis fără a vă baza pe ipoteze care ar putea să nu fie îndeplinite de datele dvs. De exemplu, rezultatele unui examen de admitere pentru 20 de pompieri într-o localitate mică arată că toți cei cinci candidați albi au primit un rezultat de promovare, în timp ce rezultatele pentru candidații negri, asiatici și hispanici sunt mixte. Un chi-pătrat Pearson care testează ipoteza nulă că rezultatele sunt independente de rasă produce un nivel de semnificație asimptotică de 0,07. Acest rezultat conduce la concluzia că rezultatele examenului sunt independente de rasa candidatului. Cu toate acestea, deoarece datele conțin doar 20 de cazuri și celulele au frecvențe așteptate mai mici de 5, acest rezultat nu este demn de încredere. Semnificația exactă a chi-pătratului Pearson este 0,04, ceea ce duce la concluzia opusă. Pe baza semnificației exacte, ați concluziona că rezultatele examenului și rasa candidatului sunt legate. Aceasta demonstrează importanța obținerii unor rezultate exacte atunci când ipotezele metodei asimptotice nu pot fi îndeplinite. Semnificația exactă este întotdeauna de încredere, indiferent de dimensiunea, distribuția, rarătatea sau echilibrul datelor.

Statistici. Semnificație asimptotică. Aproximație Monte Carlo cu nivel de încredere sau semnificație exactă.

• Asimptotic. Nivelul de semnificație bazat pe distribuția asimptotică a unei statistici de test. De obicei, o valoare mai mică de 0,05 este considerată semnificativă. Semnificația asimptotică se bazează pe presupunerea că setul de date este mare. Dacă setul de date este mic sau slab distribuit, acesta poate să nu fie un bun indiciu al semnificației.
• Estimare Monte Carlo. O estimare imparțială a nivelului exact de semnificație, calculată prin eșantionarea repetată dintr-un set de referință de tabele cu aceeași dimensiunile și marginile rândurilor și coloanelor ca tabelul observat. Metoda Monte Carlo vă permite să estimați semnificația exactă fără a vă baza pe ipotezele necesare pentru metoda asimptotică. Această metodă este cea mai utilă atunci când setul de date este prea mare pentru a calcula semnificația exactă, dar datele nu îndeplinesc ipotezele metodei asimptotice.
• Corect. Probabilitatea rezultatului observat sau a unui rezultat mai extrem este calculată exact. , un nivel de semnificație mai mic de 0,05 este considerat semnificativ, indicând că de obicei există o relație între variabilele rând și coloană.