Forma matriceală

Sistem ecuatii lineare poate fi reprezentat sub formă de matrice ca:

sau, conform regulii de înmulțire a matricei,

AX = B.

Dacă la o matrice A se adaugă o coloană de termeni liberi, atunci A se numește matrice extinsă.

Metode de rezolvare

Metodele directe (sau exacte) vă permit să găsiți o soluție într-un anumit număr de pași. Metodele iterative se bazează pe utilizarea unui proces iterativ și permit obținerea unei soluții ca urmare a aproximărilor succesive.

Metode directe

  • Metoda de baleiaj (pentru matrici triagonale)
  • Descompunerea sau metoda Cholesky rădăcini pătrate(pentru matrici simetrice și hermitiene definite pozitive)

Metode iterative

Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare în VBA

Opțiune Explicit Sub rewenie() Dim i Ca Integer Dim j Ca Integer Dim r() Ca Double Dim p Ca Double Dim x() Ca Double Dim k Ca Integer Dim n Ca Integer Dim b() Ca fișier Dublu Dim Ca Integer Dim y () Ca fișier dublu = FreeFile Deschide „C:\data.txt” Pentru intrare Ca fișier Intrare #fișier, n ReDim x(0 To n * n - 1 ) Ca Double ReDim y(0 To n - 1 ) Ca Double ReDim r(0 La n - 1 ) Ca dublu Pentru i = 0 La n - 1 Pentru j = 0 La n - 1 Introduceți # fișier, x(i * n + j) Următorul j Introduceți # fișier, y(i) Următorul i Închide #fișier Pentru i = 0 La n - 1 p = x(i * n + i) Pentru j = 1 La n - 1 x(i * n + j) = x(i * n + j) / p Următorul j y (i) = y(i) / p Pentru j = i + 1 To n - 1 p = x(j * n + i) Pentru k = i To n - 1 x(j * n + k) = x(j * n + k) - x(i * n + k) * p Următorul k y(j) = y(j) - y(i) * p Următorul j Următorul i „Matrice triunghiulară superioară Pentru i = n - 1 La 0 Pasul -1 p = y(i) Pentru j = i + 1 La n - 1 p = p - x(i * n + j) * r(j) Următorul j r(i) = p / x(i * n + i) Următorul i " Mișcare inversă Pentru i = 0 To n - 1 MsgBox r(i) Următorul i "End Sub

Vezi si

Legături

Note


Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce este „SLAU” în alte dicționare:

    SLAU- un sistem de ecuații algebrice liniare... Dicționar de abrevieri și abrevieri

    Acest termen are alte semnificații, vezi Slough (sensuri). Orașul și unitatea unitară Slough Slough Country ... Wikipedia

    - (Slough) un oraș din Marea Britanie, ca parte a centurii industriale care înconjoară Londra Mare, pe calea ferata Londra Bristol. 101,8 mii locuitori (1974). Inginerie mecanică, electrică, electronică, auto și chimică... ... Marea Enciclopedie Sovietică

    Slough- (Slough)Slough, un oraș industrial și comercial din Berkshire, sud. Anglia, la vest de Londra; 97.400 locuitori (1981); Industria ușoară a început să se dezvolte în perioada dintre războaiele mondiale... Țările lumii. Dicţionar

    Slough: Slough (ing. Slough) un oraș din Anglia, în comitatul Berkshire SLAOU Sistem de ecuații algebrice liniare ... Wikipedia

    Stema municipiului Röslau ... Wikipedia

    Orașul Bad Vöslau Stema Bad Vöslau ... Wikipedia

    Metodele de proiecție pentru rezolvarea SLAE-urilor sunt o clasă de metode iterative în care problema proiectării unui vector necunoscut pe un anumit spațiu este în mod optim relativ la un alt anumit spațiu. Cuprins 1 Enunțarea problemei ... Wikipedia

    Orașul Bad Vöslau Bad Vöslau Țara AustriaAustria ... Wikipedia

    Un sistem fundamental de soluții (FSS) este un set de soluții liniar independente ale unui sistem omogen de ecuații. Cuprins 1 Sisteme omogene 1.1 Exemplul 2 Sisteme eterogene ... Wikipedia

Cărți

  • Probleme directe și inverse de restaurare a imaginii, spectroscopie și tomografie cu MatLab (+CD), Sizikov Valery Sergeevich. Cartea prezintă utilizarea aparatului de ecuații integrale (IE), a sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) și a sistemelor de ecuații liniare-neliniare (SLNE), precum și a software-ului...

Înapoi la școală, fiecare dintre noi a studiat ecuațiile și, cel mai probabil, sistemele de ecuații. Dar nu mulți oameni știu că există mai multe modalități de a le rezolva. Astăzi vom analiza în detaliu toate metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare care constau din mai mult de două egalități.

Poveste

Astăzi se știe că arta de a rezolva ecuații și sistemele lor își are originea în Babilonul și Egiptul antic. Cu toate acestea, egalitățile în forma lor familiară au apărut după apariția semnului egal „=", care a fost introdus în 1556 de matematicianul englez Record. Apropo, acest semn a fost ales dintr-un motiv: înseamnă două segmente paralele egale. Și este adevărat cel mai bun exemplu egalitatea nu poate fi inventată.

Fondatorul modernului denumiri de litere necunoscute și semne de grade este un matematician francez, însă notația sa era semnificativ diferită de cea de astăzi. De exemplu, el a notat un pătrat al unui număr necunoscut cu litera Q (lat. „quadratus”) și un cub cu litera C (lat. „cubus”). Această notație pare incomod acum, dar la acea vreme era cel mai ușor de înțeles mod de a scrie sisteme de ecuații algebrice liniare.

Cu toate acestea, un defect în metodele de soluție din acea perioadă a fost că matematicienii considerau doar rădăcini pozitive. Poate că acest lucru se datorează faptului că valori negative nu avea niciunul aplicație practică. Într-un fel sau altul, matematicienii italieni Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano și Raphael Bombelli au fost primii care au numărat rădăcinile negative în secolul al XVI-lea. Iar forma modernă, principala metodă de soluție (prin discriminant) a fost creată abia în secolul al XVII-lea datorită lucrării lui Descartes și Newton.

La mijlocul secolului al XVIII-lea, matematicianul elvețian Gabriel Cramer a găsit Metoda noua pentru a ușura rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Această metodă a fost numită ulterior după el și o folosim și astăzi. Dar despre metoda lui Cramer vom vorbi puțin mai târziu, dar deocamdată să discutăm despre ecuațiile liniare și metodele de rezolvare a acestora separat de sistem.

Ecuatii lineare

Ecuațiile liniare sunt cele mai simple ecuații cu o variabilă (variabile). Ele sunt clasificate drept algebrice. scrie la vedere generala deci: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Va trebui să le reprezentăm în această formă atunci când compilăm sisteme și matrice mai târziu.

Sisteme de ecuații algebrice liniare

Definiția acestui termen este: este un set de ecuații care au cantități comune necunoscute și o soluție comună. De regulă, la școală toată lumea a rezolvat sisteme cu două sau chiar trei ecuații. Dar există sisteme cu patru sau mai multe componente. Să ne dăm seama mai întâi cum să le scriem, astfel încât să fie convenabil să le rezolvăm în viitor. În primul rând, sistemele de ecuații algebrice liniare vor arăta mai bine dacă toate variabilele sunt scrise ca x cu indicele corespunzător: 1,2,3 și așa mai departe. În al doilea rând, toate ecuațiile ar trebui reduse la formă canonică: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

După toți acești pași, putem începe să vorbim despre cum să găsim soluții la sistemele de ecuații liniare. Matricele vor fi foarte utile pentru aceasta.

Matrici

O matrice este un tabel care constă din rânduri și coloane, iar la intersecția lor se află elementele sale. Ar putea fi fie valori specifice, sau variabile. Cel mai adesea, pentru a indica elemente, sub acestea sunt plasate indicele (de exemplu, un 11 sau un 23). Primul index înseamnă numărul rândului, iar al doilea - numărul coloanei. Pe matrice se pot efectua diverse operații, ca pe orice alt element matematic. Astfel, puteți:

2) Înmulțiți o matrice cu orice număr sau vector.

3) Transpune: transformă rândurile matricei în coloane, iar coloanele în rânduri.

4) Înmulțiți matrice dacă numărul de rânduri ale uneia dintre ele este egal cu numărul de coloane ale celeilalte.

Să discutăm mai detaliat toate aceste tehnici, deoarece ne vor fi utile în viitor. Scăderea și adăugarea matricelor este foarte simplă. Deoarece luăm matrice de aceeași dimensiune, fiecare element al unui tabel se corelează cu fiecare element al celuilalt. Astfel, adunăm (scădem) aceste două elemente (este important ca ele să stea în aceleași locuri în matricele lor). Când înmulțiți o matrice cu un număr sau un vector, pur și simplu înmulți fiecare element al matricei cu acel număr (sau vector). Transpunerea este un proces foarte interesant. E foarte interesant să-l vezi uneori viata reala, de exemplu, la schimbarea orientării unei tablete sau a unui telefon. Pictogramele de pe desktop reprezintă o matrice, iar atunci când poziția se schimbă, aceasta se transpune și devine mai lată, dar scade în înălțime.

Să ne uităm la un alt proces precum: Deși nu vom avea nevoie de el, va fi totuși util să îl cunoaștem. Puteți înmulți două matrice numai dacă numărul de coloane dintr-un tabel este egal cu numărul de rânduri din celălalt. Acum să luăm elementele unui rând dintr-o matrice și elementele coloanei corespunzătoare a alteia. Să le înmulțim unul cu celălalt și apoi să le adunăm (adică, de exemplu, produsul elementelor a 11 și a 12 cu b 12 și b 22 va fi egal cu: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Astfel, se obține un element al tabelului și este completat în continuare folosind o metodă similară.

Acum putem începe să luăm în considerare modul în care este rezolvat un sistem de ecuații liniare.

metoda Gauss

Acest subiect începe să fie tratat în școală. Cunoaștem bine conceptul de „un sistem de două ecuații liniare” și știm cum să le rezolvăm. Dar dacă numărul de ecuații este mai mare de două? Acest lucru ne va ajuta

Desigur, această metodă este convenabilă de utilizat dacă faceți o matrice din sistem. Dar nu trebuie să o transformi și să o rezolvi în forma sa pură.

Deci, cum rezolvă această metodă sistemul de ecuații liniare gaussiene? Apropo, deși această metodă poartă numele lui, a fost descoperită în vremuri străvechi. Gauss propune urmatoarele: sa efectueze operatii cu ecuatii pentru a reduce in final intregul multime la o forma treptata. Adică este necesar ca de sus în jos (dacă este aranjat corect) de la prima ecuație la ultima necunoscută să scadă. Cu alte cuvinte, trebuie să ne asigurăm că obținem, să zicem, trei ecuații: în prima sunt trei necunoscute, în a doua sunt două, în a treia există una. Apoi din ultima ecuație găsim prima necunoscută, înlocuim valoarea acesteia în a doua sau în prima ecuație și apoi găsim celelalte două variabile.

Metoda Cramer

Pentru a stăpâni această metodă, este vital să ai abilitățile de a adăuga și scădea matrice și, de asemenea, trebuie să poți găsi determinanți. Prin urmare, dacă faci toate acestea prost sau nu știi deloc cum, va trebui să înveți și să exersezi.

Care este esența acestei metode și cum se face astfel încât să se obțină un sistem de ecuații liniare Cramer? Totul este foarte simplu. Trebuie să construim o matrice de coeficienți numerici (aproape întotdeauna) ai unui sistem de ecuații algebrice liniare. Pentru a face acest lucru, pur și simplu luăm numerele în fața necunoscutelor și le aranjam într-un tabel în ordinea în care sunt scrise în sistem. Dacă în fața numărului există un semn „-”, atunci notăm un coeficient negativ. Deci, am compilat prima matrice de coeficienți pentru necunoscute, fără a include numerele după semnele egale (în mod firesc, ecuația ar trebui redusă la forma canonică, când numai numărul este în dreapta și toate necunoscutele cu coeficienți sunt pe stanga). Apoi trebuie să creați mai multe matrice - câte una pentru fiecare variabilă. Pentru a face acest lucru, înlocuim fiecare coloană cu coeficienți din prima matrice pe rând cu o coloană de numere după semnul egal. Astfel, obținem mai multe matrice și apoi găsim determinanții acestora.

După ce am găsit determinanții, este o chestiune mică. Avem o matrice inițială și există mai multe matrice rezultate care corespund unor variabile diferite. Pentru a obține soluții ale sistemului, împărțim determinantul tabelului rezultat la determinantul tabelului inițial. Numărul rezultat este valoarea uneia dintre variabile. În mod similar, găsim toate necunoscutele.

Alte metode

Există câteva alte metode de obținere a soluțiilor sistemelor de ecuații liniare. De exemplu, așa-numita metodă Gauss-Jordan, care este folosită pentru a găsi soluții la sistem ecuații pătraticeși este, de asemenea, asociat cu utilizarea matricelor. Există și metoda Jacobi pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Este cel mai ușor de adaptat la un computer și este folosit în calcul.

Cazuri complexe

Complexitatea apare de obicei atunci când numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Atunci putem spune cu siguranță că fie sistemul este inconsecvent (adică nu are rădăcini), fie numărul soluțiilor sale tinde spre infinit. Dacă avem al doilea caz, atunci trebuie să scriem soluția generală a sistemului de ecuații liniare. Acesta va conține cel puțin o variabilă.

Concluzie

Aici ajungem la final. Să rezumam: ne-am dat seama ce sunt un sistem și o matrice și am învățat cum să găsim o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare. În plus, am luat în considerare și alte opțiuni. Am aflat cum să rezolvăm un sistem de ecuații liniare: metoda Gauss și am vorbit despre cazuri complexe și alte modalități de găsire a soluțiilor.

De fapt, acest subiect este mult mai amplu, iar dacă vrei să-l înțelegi mai bine, îți recomandăm să citești literatură de specialitate.

Sistemele de ecuații sunt utilizate pe scară largă în sectorul economic pentru modelarea matematică a diferitelor procese. De exemplu, la rezolvarea problemelor de management și planificare a producției, rute logistice (problema de transport) sau amplasarea echipamentelor.

Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în matematică, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.

Un sistem de ecuații liniare este două sau mai multe ecuații cu mai multe variabile pentru care este necesar să se găsească o soluție comună. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.

Ecuație liniară

Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea unei ecuații prin reprezentarea ei va arăta ca o dreaptă, toate punctele care sunt soluții ale polinomului.

Tipuri de sisteme de ecuații liniare

Cele mai simple exemple sunt considerate a fi sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.

F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.

Rezolvarea sistemului de ecuații - aceasta înseamnă găsirea valorilor (x, y) la care sistemul se transformă într-o egalitate adevărată sau stabilirea faptului că valorile adecvate ale lui x și y nu există.

O pereche de valori (x, y), scrisă ca coordonatele unui punct, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.

Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, ele se numesc echivalente.

Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme a căror latură dreaptă este egală cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul egal are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem este eterogen.

Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.

Când se confruntă cu sisteme, școlarii presupun că numărul de ecuații trebuie să coincidă în mod necesar cu numărul de necunoscute, dar nu este cazul. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile; pot fi oricâte dintre ele se dorește.

Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații

Nu există o metodă analitică generală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme; toate metodele se bazează pe soluții numerice. ÎN curs şcolar Matematica descrie în detaliu metode precum permutarea, adăugarea algebrică, substituția, precum și metodele grafice și matriceale, soluționate prin metoda Gauss.

Sarcina principală atunci când predați metode de soluție este de a învăța cum să analizați corect sistemul și să găsiți algoritmul optim de soluție pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorezi un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegi principiile utilizării unei anumite metode.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare ale programului de clasa a VII-a școală gimnazială destul de simplu și explicat în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primii ani de învățământ superior.

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției

Acțiunile metodei substituției au ca scop exprimarea valorii unei variabile în termenii celei de-a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o formă cu o variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem

Să dăm o soluție unui exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa 7 folosind metoda substituției:

După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimată prin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în ecuația a 2-a a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în a doua ecuație. . Soluţie acest exemplu nu provoacă dificultăţi şi vă permite să obţineţi valoarea Y. Ultimul pas este verificarea valorilor obţinute.

Nu este întotdeauna posibil să se rezolve un exemplu de sistem de ecuații liniare prin substituție. Ecuațiile pot fi complexe și exprimarea variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, rezolvarea prin înlocuire este, de asemenea, inadecvată.

Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:

Rezolvare folosind adunarea algebrică

Când se caută soluții pentru sisteme folosind metoda adunării, ecuațiile sunt adăugate termen cu termen și înmulțite cu diverse numere. Scopul final al operațiilor matematice este o ecuație într-o variabilă.

Pentru Aplicații aceasta metoda sunt necesare practică și observație. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării atunci când există 3 sau mai multe variabile nu este ușoară. Adunarea algebrică este convenabilă de utilizat atunci când ecuațiile conțin fracții și zecimale.

Algoritm de rezolvare:

  1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un anumit număr. Ca rezultat al operației aritmetice, unul dintre coeficienții variabilei ar trebui să devină egal cu 1.
  2. Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
  3. Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.

Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile

O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul necesită găsirea unei soluții pentru nu mai mult de două ecuații; numărul de necunoscute ar trebui, de asemenea, să nu fie mai mare de două.

Metoda este folosită pentru a simplifica una dintre ecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată pentru necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este folosită pentru a determina variabila inițială.

Exemplul arată că prin introducerea unei noi variabile t a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la cea standard. trinom pătratic. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.

Este necesar să se afle valoarea discriminantului folosind formula binecunoscută: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt factorii polinomului. În exemplul dat, a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci există o soluție: x = -b / 2*a.

Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.

Metoda vizuală de rezolvare a sistemelor

Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații. Metoda constă în construirea graficelor fiecărei ecuații incluse în sistem pe axa de coordonate. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor vor fi soluția generală a sistemului.

Metoda grafică are o serie de nuanțe. Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare într-un mod vizual.

După cum se poate observa din exemplu, pentru fiecare linie s-au construit două puncte, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x, s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Punctele cu coordonatele (0, 3) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și legate printr-o linie.

Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.

Următorul exemplu necesită găsirea unei soluții grafice pentru un sistem de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.

După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.

Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, dar atunci când sunt construite devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie amintit că nu este întotdeauna posibil să spunem dacă un sistem are o soluție sau nu; este întotdeauna necesar să construiți un grafic.

Matricea și varietățile sale

Matricele sunt folosite pentru a scrie concis un sistem de ecuații liniare. O matrice este un tip special de tabel plin cu numere. n*m are n - rânduri și m - coloane.

O matrice este pătrată atunci când numărul de coloane și rânduri este egal. Un vector-matrice este o matrice de o coloană cu un număr infinit posibil de rânduri. O matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și alte elemente zero se numește identitate.

O matrice inversă este o matrice atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-o matrice unitară; o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală.

Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice

În raport cu sistemele de ecuații, coeficienții și termenii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere matriceale; o ecuație este un rând al matricei.

Se spune că un rând de matrice este diferit de zero dacă cel puțin un element al rândului nu este zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.

Coloanele matricei trebuie să corespundă strict variabilelor. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.

La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite secvenţial cu un număr.

Opțiuni pentru găsirea matricei inverse

Formula pentru găsirea matricei inverse este destul de simplă: K -1 = 1 / |K|, unde K -1 este matricea inversă și |K| este determinantul matricei. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.

Determinantul este ușor de calculat pentru o matrice de două câte două; trebuie doar să înmulțiți elementele diagonale între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei”, există o formulă |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puteți folosi formula sau vă puteți aminti că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numărul de coloane și rânduri de elemente să nu se repete în lucrare.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda matricei

Metoda matriceală de găsire a unei soluții vă permite să reduceți intrările greoaie atunci când rezolvați sisteme cu un număr mare de variabile și ecuații.

În exemplu, a nm sunt coeficienții ecuațiilor, matricea este un vector x n sunt variabile, iar b n sunt termeni liberi.

Rezolvarea sistemelor folosind metoda Gauss

În matematica superioară, metoda Gauss este studiată împreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a soluțiilor sistemelor se numește metoda soluției Gauss-Cramer. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi variabile ale sistemelor cu un număr mare de ecuații liniare.

Metoda Gauss este foarte asemănătoare cu soluțiile prin substituție și adunare algebrică, dar este mai sistematică. În cursul școlar, soluția prin metoda Gauss este utilizată pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a reduce sistemul la forma unui trapez inversat. Prin intermediul transformărilor și substituțiilor algebrice, valoarea unei variabile se găsește într-una din ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute, în timp ce 3 și 4 sunt, respectiv, cu 3 și 4 variabile.

După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.

În manualele școlare pentru clasa a 7-a, un exemplu de soluție prin metoda Gauss este descris după cum urmează:

După cum se poate observa din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații: 3x 3 -2x 4 =11 și 3x 3 +2x 4 =7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele x n.

Teorema 5, care este menționată în text, afirmă că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.

Metoda Gauss este greu de înțeles de către elevi liceu, dar este una dintre cele mai interesante modalități de a dezvolta ingeniozitatea copiilor înscriși la programe de învățare avansată la cursurile de matematică și fizică.

Pentru ușurința înregistrării, calculele se fac de obicei după cum urmează:

Coeficienții ecuațiilor și termenilor liberi se scriu sub forma unei matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. separă partea stângă a ecuației de dreapta. Numerele romane indică numerele de ecuații din sistem.

Mai întâi notează matricea cu care se lucrează, apoi toate acțiunile efectuate cu unul dintre rânduri. Matricea rezultată se scrie după semnul „săgeată” și se continuă operațiile algebrice necesare până la obținerea rezultatului.

Rezultatul ar trebui să fie o matrice în care una dintre diagonale este egală cu 1 și toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la o formă unitară. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numere de ambele părți ale ecuației.

Această metodă de înregistrare este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea numeroaselor necunoscute.

Utilizarea gratuită a oricărei metode de soluție va necesita îngrijire și ceva experiență. Nu toate metodele sunt de natură aplicată. Unele metode de găsire a soluțiilor sunt mai de preferat într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopuri educaționale.

Exemplul 1. Găsiți o soluție generală și o soluție particulară a sistemului

Soluţie O facem folosind un calculator. Să scriem matricele extinse și principale:

Matricea principală A este separată printr-o linie punctată.Scriem sisteme necunoscute în partea de sus, ținând cont de posibila rearanjare a termenilor în ecuațiile sistemului. Determinând rangul matricei extinse, găsim simultan rangul matricei principale. În matricea B, prima și a doua coloană sunt proporționale. Dintre cele două coloane proporționale, doar una poate cădea în minorul de bază, așa că să mutăm, de exemplu, prima coloană dincolo de linia punctată cu semnul opus. Pentru sistem, aceasta înseamnă transferul de termeni din x 1 în partea dreaptă a ecuațiilor.

Să reducem matricea la formă triunghiulară. Vom lucra numai cu rânduri, deoarece înmulțirea unui rând de matrice cu un alt număr decât zero și adăugarea acestuia la un alt rând pentru sistem înseamnă înmulțirea ecuației cu același număr și adăugarea acesteia cu o altă ecuație, ceea ce nu schimbă soluția sistem. Lucrăm cu primul rând: înmulțim primul rând al matricei cu (-3) și adăugăm pe rândul al doilea și al treilea rând. Apoi înmulțiți prima linie cu (-2) și adăugați-o la a patra.

A doua și a treia linie sunt proporționale, prin urmare, una dintre ele, de exemplu a doua, poate fi tăiată. Acest lucru este echivalent cu tăierea celei de-a doua ecuații a sistemului, deoarece este o consecință a celei de-a treia.

Acum lucrăm cu a doua linie: înmulțiți-o cu (-1) și adăugați-o la a treia.

Minorul încercuit cu o linie punctată are ordinul cel mai înalt(dintre posibilele minore) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală), iar acest minor aparține atât matricei principale, cât și celei extinse, deci rangA = rangB = 3.
Minor este de bază. Include coeficienți pentru necunoscutele x 2 , x 3 , x 4 , ceea ce înseamnă că necunoscutele x 2 , x 3 , x 4 sunt dependente și x 1 , x 5 sunt libere.
Să transformăm matricea, lăsând doar baza minoră în stânga (care corespunde punctului 4 al algoritmului de soluție de mai sus).

Sistemul cu coeficienții acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma

Folosind metoda eliminării necunoscutelor găsim:
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Am obținut relații care exprimă variabilele dependente x 2, x 3, x 4 prin cele libere x 1 și x 5, adică am găsit o soluție generală:

Prin atribuirea oricăror valori necunoscutelor libere, obținem orice număr de soluții particulare. Să găsim două soluții speciale:
1) fie x 1 = x 5 = 0, apoi x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) pune x 1 = 1, x 5 = -1, apoi x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Astfel, am găsit două soluții: (0,1,-3,3,0) – o soluție, (1,4,-7,7,-1) – o altă soluție.

Exemplul 2. Explorați compatibilitatea, găsiți o soluție generală și una particulară pentru sistem

Soluţie. Să rearanjam prima și a doua ecuație pentru a avea una în prima ecuație și să scriem matricea B.

Obținem zerouri în a patra coloană operând cu primul rând:

Acum obținem zerourile din a treia coloană folosind a doua linie:

A treia și a patra linie sunt proporționale, astfel încât una dintre ele poate fi tăiată fără a schimba rangul:
Înmulțiți a treia linie cu (–2) și adăugați-o la a patra:

Vedem că rândurile matricelor principale și extinse sunt egale cu 4, iar rangul coincide cu numărul de necunoscute, prin urmare, sistemul are o soluție unică:
-x 1 =-3 → x 1 =3; x 2 =3-x 1 → x 2 =0; x 3 =1-2x 1 → x 3 =5.
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Exemplul 3. Examinați sistemul pentru compatibilitate și găsiți o soluție dacă există.

Soluţie. Compunem o matrice extinsă a sistemului.

Rearanjam primele două ecuații astfel încât să fie 1 în colțul din stânga sus:
Înmulțind prima linie cu (-1), adăugând-o la a treia:

Înmulțiți a doua linie cu (-2) și adăugați-o la a treia:

Sistemul este inconsecvent, deoarece în matricea principală am primit un rând format din zerouri, care este tăiat când se găsește rangul, dar în matricea extinsă rămâne ultimul rând, adică r B > r A .

Exercițiu. Investigați acest sistem de ecuații pentru compatibilitate și rezolvați-l folosind calculul matriceal.
Soluţie

Exemplu. Demonstrați compatibilitatea sistemului de ecuații liniare și rezolvați-l în două moduri: 1) prin metoda Gauss; 2) Metoda lui Cramer. (introduceți răspunsul sub forma: x1,x2,x3)
Soluție :doc :doc :xls
Răspuns: 2,-1,3.

Exemplu. Este dat un sistem de ecuații liniare. Demonstrați compatibilitatea acestuia. Găsiți o soluție generală a sistemului și o soluție particulară.
Soluţie
Răspuns: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Exercițiu. Găsiți soluțiile generale și particulare ale fiecărui sistem.
Soluţie. Studiem acest sistem folosind teorema Kronecker-Capelli.
Să scriem matricele extinse și principale:

1 1 14 0 2 0
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1
x 1x 2x 3x 4x 5

Aici matricea A este evidențiată cu caractere aldine.
Să reducem matricea la formă triunghiulară. Vom lucra numai cu rânduri, deoarece înmulțirea unui rând de matrice cu un alt număr decât zero și adăugarea lui la un alt rând pentru sistem înseamnă înmulțirea ecuației cu același număr și adăugarea acesteia cu o altă ecuație, ceea ce nu schimbă soluția sistem.
Să înmulțim prima linie cu (3). Înmulțiți a doua linie cu (-1). Să adăugăm a doua linie la prima:
0 -1 40 -3 6 -1
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1

Să înmulțim a doua linie cu (2). Înmulțiți a treia linie cu (-3). Să adăugăm a treia linie la a doua:
0 -1 40 -3 6 -1
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Înmulțiți a doua linie cu (-1). Să adăugăm a doua linie la prima:
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Minorul selectat are cel mai mare ordin (dintre posibili minori) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala inversă), iar acest minor aparține atât matricei principale, cât și celei extinse, prin urmare rang( A) = rang(B) = 3 Deoarece rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci sistemul este colaborativ.
Acest minor este de bază. Include coeficienți pentru necunoscutele x 1 , x 2 , x 3 , ceea ce înseamnă că necunoscutele x 1 , x 2 , x 3 sunt dependente (de bază) și x 4 , x 5 sunt libere.
Să transformăm matricea, lăsând doar baza minoră în stânga.
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -1 3 -6
2 3 -3 1 -3 2
x 1x 2x 3 x 4x 5
Sistemul cu coeficienții acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Folosind metoda eliminării necunoscutelor găsim:
Am obținut relații care exprimă variabilele dependente x 1 , x 2 , x 3 prin cele libere x 4 , x 5 , adică am găsit decizie comună:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
incert, deoarece are mai multe soluții.

Exercițiu. Rezolvați sistemul de ecuații.
Răspuns:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Prin atribuirea oricăror valori necunoscutelor libere, obținem orice număr de soluții particulare. Sistemul este incert