Lăsați două L și M pe plan în sistemul de coordonate cartezia sunt stabilite prin ecuații comune: L: A 1 x + B 1 Y + C 1 \u003d 0, M: A 2 x + B 2 Y + C2 \u003d 0

Vectori normali la date direct: \u003d (A 1, B 1) - la o linie dreaptă L,

\u003d (A 2, B 2) - la o linie dreaptă m.

Fie J unghiul dintre l și m.

Deoarece unghiurile cu laturi reciproc perpendiculare sunt fie egale, fie în cantitatea de p, atunci , adică cos J \u200b\u200b\u003d.

Deci, am demonstrat următoarea teoremă.

Teorema. Fie J un unghi între doi direct în avion și lăsați aceste seturi directe în sistemul de coordonate carteziene cu ecuații comune A 1 x + B 1 Y + C 1 \u003d 0 și 2 x + B2 Y + C 2 \u003d 0. Apoi cos j \u003d. .

Exerciții.

1) Ieșire formula pentru a calcula unghiul dintre drept, dacă:

(1) Ambele linii drepte sunt setate parametrice; (2) ambele directe sunt stabilite prin ecuații canonice; (3) Unul direct este stabilit parametric, cealaltă este o ecuație comună; (4) Ambele linii drepte sunt date de o ecuație a coeficientului unghiular.

2) Fie J unghiul dintre doi direct în avion și lăsați aceste seturi directe să fie stabilite de sistemul de coordonate cartesian prin ecuațiile y \u003d k 1 x + b 1 și y \u003d k2 x + b 2.

Apoi tg j \u003d.

3) Explorați amenajarea reciprocă a două directe specificate de ecuațiile comune în sistemul de coordonate carteziene și completați tabelul:

Distanța de la punct la Direct pe avion.

Să presupunem în planul din sistemul de coordonate carteziene, linia dreaptă L este stabilită de Axa de ecuație generală + cu + C \u003d 0. Vom găsi distanța de la punctul M (x 0, Y 0) la o linie dreaptă L.

Distanța de la punctul M până la o linie dreaptă L este lungimea hm-ului perpendicular (H ", Hm ^ L).

Vector și vector de normal pentru a direcționa l colinear, deci | | \u003d | | | | și | | \u003d.

Lăsați coordonatele punctului H (X, Y).

Deoarece punctul H este deținut de o linie dreaptă L, apoi ax + by + c \u003d 0 (*).

Coordonatele vectorilor și: \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (a, b).

| | = = =

(C \u003d -AX - de, a se vedea (*))

Teorema. Lăsați dreptul L să fie administrat în sistemul de coordonate cartesian cu axul total de ecuație + cu + C \u003d 0. Apoi distanța de la punctul M (x 0, Y 0) la acest director este calculată prin formula: R (m; L) \u003d. .

Exerciții.

1) Ieșire la formula pentru a calcula distanța de la punct la dreapta, dacă: (1) este un parametru direct specificat; (2) ecuațiile canonice directe; (3) Direct este stabilit de ecuația cu un coeficient unghiular.

2) Scrieți ecuația cercului referitor la linia dreaptă 3x - y \u003d 0, cu centrul la punctul Q (-2.4).

3) Scrieți ecuațiile unghiurilor directe de divizare formate prin intersecția de 2x + y - 1 \u003d 0 și x + y + 1 \u003d 0, în jumătate.

§ 27. Sarcina analitică a unui avion în spațiu

Definiție. Vector normal la plan Vom numi un vector nonzero, orice reprezentant este perpendicular pe acest avion.

Cometariu. Este clar că, dacă cel puțin un reprezentant vector este perpendicular pe plan, atunci toți ceilalți reprezentanți ai vectorului sunt perpendiculari în acest avion.

Lăsați sistemul de coordonate Cartian setat în spațiu.

Fie ca un avion A, \u003d (A, B, C) - vectorul normal la acest plan, punctul M (x 0, Y 0, Z 0) aparține planului A.

Pentru orice punct N (x, Y, Z) al planului un vector și ortogonal, adică produsul lor scalar este zero: \u003d 0. Scriem ultima egalitate în coordonate: a (x - x 0) + b ( Y - Y 0) + C (Z - Z 0) \u003d 0.

Lăsați -Ex 0 - cu 0 - CZ 0 \u003d D, apoi AX + BY + CZ + D \u003d 0.

Luați punctul spre (X, Y), astfel încât axul + cu + CZ + D \u003d 0. Deoarece D \u003d -AX 0 - cu 0 - CZ 0, atunci A (x - x 0) + b (Y-Y 0) + C (Z - Z 0) \u003d 0. Deoarece coordonatele segmentului de direcție \u003d (x - x 0, y - y 0, z - z 0), atunci cea de-a doua egalitate înseamnă că ^, și, în consecință, k "a.

Deci, am dovedit următoarea teoremă:

Teorema. Orice plan din spațiul din sistemul de coordonate cartesian poate fi setat de ecuația axului de tip + by + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B2 + C2 ≠ 0), unde (a, b, c) - coordonatele vectorului normal la acest plan.

Adevărat și invers.

Teorema. Orice ecuație a AX + BY + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) Într-un sistem de coordonate decarțiene, coordonatele stabilește un plan, în timp ce (A, B, C) - coordonatele vectorului de normal față de acest avion.

Dovezi.

Luați punctul M (x 0, Y0, Z 0) astfel încât axul 0 + cu 0 + CZ 0 + D \u003d 0 și Vector \u003d (A, B, C) (Q).

Prin punctul M perpendicular pe vector trece avionul (și numai unul). Conform teoremei anterioare, acest plan este specificat de AX + BY + CZ + D \u003d 0 ecuație.

Definiție. Ecuația formei ax + cu + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) este numită ecuația comună a avionului.

Exemplu.

Scriem ecuația planului care trece prin punctele M (0,2,4), N (1, -1,0) și K (-1,0,5).

1. Vom găsi coordonatele vectorului normal în avion (MNK). Deoarece produsul vectorial este vectori ortogonali și, apoi vectorul colinear.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

'\u003d (-11, 3, -5).

Deci, ca vector de normal, luăm vectorul \u003d (-11, 3, -5).

2. Vom folosi rezultatele primei teoreme acum:

ecuația acestui plan A (x - x 0) + C (Y-Y0) + C (Z-Z 0) \u003d 0, unde (a, B, C) - coordonatele vectorului normal (x 0 , Y 0, Z 0) - Coordonatele punctului avionului situate în plan (de exemplu, punctele M).

11 (x - 0) + 3 (Y-2) - 5 (Z-4) \u003d 0

11x + 3Y - 5Z + 14 \u003d 0

Răspuns: -11x + 3Y - 5Z + 14 \u003d 0.

Exerciții.

1) Scrieți ecuația planului dacă

(1) Planul trece prin litera M (-2.3.0) paralel cu planul 3x + y + z \u003d 0;

(2) Planul conține o axă (ox) și perpendiculară pe planul X + 2Y - 5Z + 7 \u003d 0.

2) Scrieți ecuația planului care trece prin datele de trei puncte.

§ 28. Sarcina analitică de jumătate de spațiu *

Cometariu*. Lăsați un plan fixat. Sub sempesionvom înțelege setul de puncte situate pe o parte a acestui plan, adică două puncte se află într-o jumătate de spațiu dacă segmentul care leagă acest lucru nu intersectează acest avion. Acest avion este numit granița acestei jumătăți de spațiu. Combinarea acestui plan și a spațiului se va numi Închis jumătate de spațiu.

Lăsați sistemul de coordonate Cartian să fie fixat în spațiu.

Teorema. Lăsați planul A să fie setați de Axa de ecuație generală + cu + CZ + D \u003d 0. Apoi una din cele două jumătăți de spatii la care spațiul A se împarte spațiul este dat de inegalitatea Ax + By + CZ + D\u003e 0 , iar al doilea spațiu este dat de AX + BY + Inegalitatea CZ + D.< 0.

Dovezi.

Voi amâna vectorul normal \u003d (a, b, c) în plan A pe punctul M (x 0, Y 0, Z 0) situată pe acest plan: \u003d, m "A, Mn ^ a. Avionul împărți spațiul în două halfrspace: B 1 și B 2. Este clar că punctul N aparține uneia dintre aceste jumătăți de spații. Fără restricționarea generalității, vom presupune că n b 1.

Doveim că B1 este dată de jumătate de spațiu B1 este dată de inegalitatea Ax + by + CZ + D\u003e 0.

1) Luați punctul K (X, Y, Z) în spațiul B 1. Unghiul de ð NMK este unghiul dintre vectori și - ascuțiți, astfel încât produsul scalar al acestor vectori este pozitiv:\u003e 0. Scriem această inegalitate în coordonatele: a (x - x 0) + b (Y - Y 0) ) + C (z - z 0)\u003e 0, adică AX + BY + CY - Ax 0 - cu 0 - C Z 0\u003e 0.

Deoarece m Î B 1, apoi axul 0 + cu 0 + C Z 0 + D \u003d 0, așa -AX 0 - cu 0 - C Z 0 \u003d D. În consecință, ultima inegalitate poate fi scrisă ca: AX + BY + CZ + D\u003e 0.

2) Luați punctul L (x, Y) astfel încât AX + BY + CZ + D\u003e 0.

Rescrieți inegalitatea, înlocuirea D ON (-AX 0 - cu 0 - C Z 0) (de la Mîb 1, apoi ax 0 + cu 0 + C Z 0 + D \u003d 0): a (x - x 0) + b (Y - Y 0) + C (Z - Z 0)\u003e 0.

Vectorul cu coordonate (x - x 0, y - y 0, z - z 0) este un vector, astfel încât expresia a (x - x 0) + b (y-y 0) + c (z - z 0) poate fi înțeleasă ca un produs scalar al vectorilor și. Deoarece produsul scalar al vectorilor și pozitiv, unghiul dintre ele este acut și punct l b 1.

În mod similar, se poate dovedi că semestrul B 2 este dat de inegalitatea Ax + by + CZ + D< 0.

Comentarii.

1) Este clar că dovada celor de mai sus nu depinde de alegerea punctului M în avionul A.

2) Este clar că același spațiu se poate stabili de diverse inegalități.

Adevărat și invers.

Teorema. Orice inegalitate liniară a AX + by + CZ + D\u003e 0 (sau ax + by + cz + d< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Dovezi.

Axa de ecuație + cu + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) în spațiu se stabilește un plan A (vezi § ...). După cum sa dovedit în teorema anterioară, una dintre cele două jumătăți de spații, la care planul împarte spațiul este așezat în inegalitate Ax Ax + by + CZ + D\u003e 0.

Comentarii.

1) Este clar că spațiul închis închis poate fi stabilit prin inegalitatea liniară ne-strictă, iar orice inegalitate liniară non-strictă în sistemul de coordonate carteziene stabilește o jumătate de spațiu închis.

2) Orice polhedron convex poate fi solicitat ca intersecție a spațiilor închise (limitele care sunt avioane care conțin marginile poliedronului), adică analitic, sistemul de inegalități liniare non-strategice.

Exerciții.

1) Dovediți cele două teoreme prezentate pentru un sistem de coordonate de afinitate arbitrare.

2) Este adevărat că orice sistem de inegalități liniare non-strategice este stabilit de un poligon convex?

Exercitiul.

1) Explorați aranjamentul reciproc al două avioane date de ecuațiile generale în sistemul de coordonate carteziene și completați tabelul.

Definiție

Forma geometrică constând din toate punctele de plan încheiate între cele două raze dintr-un punct se numește colț plat.

Definiție

Un unghi între douătrecere Drept Mărimea celui mai mic unghi de plan la trecerea datelor directe este numit. Dacă două paralele drepte, unghiul dintre ele este acceptat egal cu zero.

Amploarea unghiului dintre două intersectări drepte (dacă unghiurile de plane în radiani) poate lua valori de la zero la $ \\ dfrac (\\ pi) (2) $.

Definiție

Un unghi între două părți transversale drepte Se numește valoarea egală cu colțul dintre două intersecții drepte, paralele. Unghiul dintre $ A $ și $ B $ este notat de $ \\ unghi (a, b) $.

Corectitudinea definiției definiției rezultă din următoarea teoremă.

Teorema pe colțurile plate cu laturi paralele

Valorile a două colțuri plate convexe cu partide paralele paralele și egale sunt egale.

Dovezi

Dacă sunt implementate unghiurile, atunci sunt egale cu $ \\ pi $. Dacă nu se desfășoară, vom amâna pe laturile respective ale colțurilor $ \\ unghiul AOB $ și $ \\ Angle AO_1O_1B_1 Segmente egale $ on \u003d O_1ON_1 $ și $ OM \u003d O_1M_1 $.

Four-Trigger $ O_1N_1NO $ este un paralelogram, deoarece părțile sale opuse de $ pe $ și $ O_1N_1 $ sunt egale și paralele. În mod similar, un $-declanșator $ O_1M_1MO $ este un paralelogram. Prin urmare, $ nn_1 \u003d oo_1 \u003d mm_1 $ și $ nn_1 \\ paralel oo_1 \\ paralel mm_1 $, prin urmare, $ nn_1 \u003d mm_1 $ și $ nn_1 \\ paralel mm_1 $ în tranzitivitate. Paralelogramele cu patru degete $ n_1m_1mn, deoarece părțile opuse sunt egale și paralele. Deci, segmentele de $ nm $ și $ n_m_1 $ sunt egale. Triunghiurile $ pe $ și $ O_1N_1M_1 $ sunt egale cu cel de-al treilea semn al egalității triunghiurilor, înseamnă că colțurile corespunzătoare ale $ \\ unghiul nom $ și $ \\ angle n_1o_1m_1 $ sunt egale.

dar. Fie ca doi direct direct, deoarece a fost indicat în capitolul 1 formează diferite unghiuri pozitive și negative care pot fi atât ascuțite, cât și stupide. Cunoașterea uneia dintre aceste colțuri vom găsi cu ușurință oricare altul.

Apropo, toate aceste colțuri au o valoare numerică de tangent, la fel, diferența poate fi numai în semn

Ecuații directe. Numărul de proiecție a vectorilor de ghidare a primului și al doilea unghi drept între acești vectori este egal cu unul dintre unghiurile formate de liniile drepte. Prin urmare, sarcina este redusă la definirea unghiului dintre vectori, ajungem

Pentru simplitate, poate fi convenit la un unghi între două directe pentru a înțelege unghiul pozitiv acut (cum ar fi, de exemplu, în figura 53).

Apoi, tangentul acestui unghi va fi întotdeauna pozitiv. Astfel, dacă un semn minus este minus pe partea dreaptă a formulei (1), atunci trebuie să o aruncăm, adică să mențin doar o valoare absolută.

Exemplu. Definiți unghiul între drept

Prin formula (1) avem

din. Dacă este indicat, care din partea unghiului este începutul și, care se termină, apoi numărăm direcția unghiului împotriva unei săgeții în sensul acelor de ceasornic, putem formula formula (1) pentru a extrage ceva mai mult. Deoarece este ușor să vă asigurați că din fig. 53 Semnul rezultat în partea dreaptă a formulei (1) va indica care dintre ele este ascuțită sau proastă - unghiul formează al doilea drept de la primul.

(Într-adevăr, din fig, 53, vedem că unghiul dintre primii și celui de-al doilea vector de ghidare sau este egal cu colțul dorit între drept sau diferă de ± 180 °.)

d. Dacă direct sunt paralele, apoi paralele și vectorii lor de ghidare, aplicând starea paralelismului a două vectori pe care o vom obține!

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul a două linii drepte.

Exemplu. Drept

paralel din cauza

e. Dacă direct este perpendicular pe ghidul lor, vectorii sunt, de asemenea, perpendiculari. Aplicând condiția perpendicularității celor doi vectori, obținem condiția pentru perpendicularitatea celor două nume directe și anume

Exemplu. Drept

perpendicular datorită faptului că

Datorită condițiilor de paralelism și perpendicularitate, vom rezolva următoarele două sarcini.

f. Prin punct petreceți o linie dreaptă în paralel

Decizia se desfășoară astfel. Deoarece direcția dorită este paralelă cu aceasta, atunci pentru vectorul său de ghidare, puteți lua același lucru cu acest director, adică vectorul cu proiecții A și V. și apoi ecuația locului este scrisă în formă (§ 1)

Exemplu. Ecuația este îndreptată direct prin punctul (1; 3) în paralel direct

vor fi următoarele!

g. Prin intermediul punctului petrecut direct perpendicular pe acest director

Aici, vectorul de ghidare nu mai este potrivit pentru vectorul cu proiecții A și, iar vectorul trebuie făcut, perpendicular pe el. Proiecțiile acestui vector trebuie să fie selectate în consecință, în funcție de starea perpendicularității ambelor vectori, adică în funcție de condiție

Puteți efectua această condiție într-un nenumărate seturi de moduri, deoarece este o ecuație cu două necunoscute aici, dar cea mai ușoară cale de a lua, atunci ecuația este linia dreaptă dorită în formă

Exemplu. Ecuația este directă prin intermediul punctului (-7; 2) în direcția perpendiculară

vor fi următoarele (conform celei de-a doua formule)!

h. În acest caz, când liniile drepte sunt specificate de ecuațiile de vizualizare

rescrierea acestor ecuații, altfel avem

Sarcina 1.

Găsiți un unghi cosinus între $ \\ Frac (x + 3) (5) \u003d \\ frac (Y-2) (- 3) \u003d \\ frac (z-1) (4) $ și $ \\ Stânga \\ (\\ începe (începe matrice) (c) (x \u003d 2 \\ cdot t-3) \\\\ (Y \u003d -T + 1) \\\\ (Z \u003d 3 \\ cdot t + 5) \\ capătul (matrice) \\ dreapta. $.

Fie două linii drepte în spațiu: $ \\ frac (x-x_ (1)) (m_ (1)) \u003d \\ frac (y-y_ (1)) (n_ (1)) \u003d \\ frac (z- Z_ (1)) (P_ (1)) $ și $ \\ Frac (X - X_ (2)) (M_ (2)) \u003d \\ Frac (Y-Y_ (2)) (N_ (2)) \u003d \\ Frac (Z-Z_ (2)) (P_ (2)) $. Alegem în spațiu un punct arbitrar și petrecem două linii auxiliare drepte prin intermediul datelor. Unghiul dintre aceste directe este oricare dintre cele două unghiuri adiacente formate din auxiliare drepte. Cosina de unul dintre colțurile dintre drepte poate fi găsită în conformitate cu binecunoscuta Formula $ \\ COS \\ Phi \u003d \\ frac (M_ (1) \\ CDOT M_ (2) + N_ (1) \\ CDOT N_ (2) + P_ (1) \\ cdot p_ (2)) (\\ sqrt (m_ (1) ^ (2) + n_ (1) ^ (2) + p_ (1) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt (m_ (( 2) ^ (2) + n_ (2) ^ (2) + p_ (2) ^ (2))) $. Dacă valoarea este $ \\ COS \\ Phi\u003e 0 $, apoi un unghi acut între drepte, dacă $ \\ cos \\ phi

Ecuațiile canonice ale primului direct: $ \\ Frac (x + 3) (5) \u003d \\ frac (Y-2) (- 3) \u003d \\ frac (Z-1) (4) $.

Ecuațiile canonice ale celei de-a doua drepte pot fi obținute din parametric:

\ \ \

Astfel, ecuațiile canonice ale acestui director: $ \\ frac (x + 3) (2) \u003d \\ frac (y-1) (- 1) \u003d \\ frac (Z-5) (3) $.

Calculati:

\\ [\\ COS \\ PHI \u003d \\ Frac (5 \\ CDOT 2+ \\ stânga (-3 \\ dreapta) \\ CDOT \\ stânga (-1 \\ dreapta) +4 \\ cdot 3) (\\ sqrt (5 ^ (2) + \\ Stânga (-3 \\ dreapta) ^ (2) + 4 ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt (2 ^ (2) + \\ stânga (-1 \\ dreapta) ^ (2) + 3 ^ (2))) \u003d \\ Frac (25) (\\ sqrt (50) \\ cdot \\ sqrt (14)) \\ aprox 0,9449. \\]

Sarcina 2.

Primul director trece prin punctele specificate $ A \\ stânga (2, -4, -1 \\ dreapta) $ și $ b \\ stânga (-3,5,6 \\ dreapta) $, al doilea direct - prin punctele specificate $ C \\ stânga (1, -2.8 \\ dreapta) $ și $ d \\ stânga (6.7, -2 \\ dreapta) $. Găsiți distanța dintre acestea drepte.

Lăsați unii în mod direct perpendicular pe $ AB $ și $ CD $ și le traversează la puncte $ M $ și, respectiv, $ N $. În aceste condiții, durata segmentului $ MN $ este egală cu distanța dintre $ $ AB $ și $ CD $.

Construiți $ \\ Overline Vector (AB) $:

\\ [\\ Supraline (ab) \u003d \\ stânga (-3-2 \\ dreapta) \\ CDOT \\ bare (i) + \\ stânga (5- \\ stânga (-4 \\ dreapta) \\ dreapta) \\ CDOT \\ BAR (J) + \\ Stânga (6- \\ stânga (-1 \\ dreapta) \\ dreapta) \\ CDOT \\ BAR (K) \u003d - 5 \\ CDOT \\ BAR (I) +9 \\ CDOT \\ BAR (J) +7 \\ CDOT \\ BAR (K ). \\]

Permiteți segmentului să descrie distanța dintre drept, trece prin punctul $ M \\ stânga (x_ (m), y_ (m), z_ (m) \\ dreapta) $ direct $ ab $.

Construiți vectorul $ \\ supraline (AM) $:

\\ [\\ Supraline (am) \u003d \\ stânga (x_ (m) -2 \\ dreapta) \\ cdot \\ bare (i) + \\ stânga (y_ (m) - \\ stânga (-4 \\ dreapta) \\ dreapta) \\ cdot \\ Bar (J) + \\ Stânga (Z_ (M) - \\ Stânga) \\ CDOT \\ BAR (K) \u003d \\] \\ [\u003d \\ stânga (x_ (m) -2 \\ dreapta) \\ CDOT \\ BAR (I) + \\ Stânga (y_ (m) +4 \\ dreapta) \\ cdot \\ bare (J) + \\ stânga (z_ (m) +1 \\ dreapta) \\ cdot \\ bara (k). \\]

Vectori $ \\ supraline (ab) $ și $ \\ supraline (am) $ coincide, prin urmare, ele sunt colinear.

Se știe că dacă vectorii $ \\ supraline (a) \u003d x_ (1) \\ cdot \\ supraline (i) + y_ (1) \\ cdot \\ supraline (J) + z_ (1) \\ cdot \\ supraline (k) $ și $ \\ Supraline (b) \u003d x_ (2) \\ cdot \\ supraline (i) + y_ (2) \\ cdot \\ supraline (j) + z_ (2) \\ cdot \\ supraline (k) $ colinear, atunci coordonatele lor sunt proporționale , atunci există $ \\ frac (x _ ((\\ it 2)) ((\\ it x) _ ((it 1))) \u003d \\ frac (y _ ((\\ it 2))) ((\\ it 2)) _ ((It 1))) \u003d \\ frac (z _ (_ _ (it 2)) ((\\ it z) _ ((it 1))) $.

$ \\ Frac (x_ (m) -2) (- 5) \u003d \\ frac (y_ (m) +4) (9) \u003d \\ frac (z_ (m) +1) (7) \u003d m $, unde $ m $ - rezultatul divizării.

De aici ajungem: $ x_ (m) -2 \u003d -5 \\ cdot m $; $ y_ (m) + 4 \u003d 9 \\ cdot m $; $ z_ (m) + 1 \u003d 7 \\ CDOT M $.

În cele din urmă, obținem expresii pentru coordonatele punctului de $ M $:

Construiți un vector $ \\ supraline (CD) $:

\\ [\\ Supraline (CD) \u003d \\ stânga (6-1 \\ dreapta) \\ cdot \\ bare (i) + \\ stânga (7- \\ stânga (-2 \\ dreapta) \\ dreapta) \\ CDOT \\ BAR (J) + \\ Stânga (-2-8 \\ dreapta) \\ cdot \\ bare (k) \u003d 5 \\ CDOT \\ BAR (I) +9 \\ CDOT \\ BAR (J) -10 \\ CDOT \\ BAR (K). \\]

Lăsați segmentul să descrie distanța dintre drept, trece prin punctul $ n \\ stânga (x_ (n), y_ (n), z_ (n) \\ dreapta) $ direct $ CD $.

Construiți vectorul $ \\ supraline (CN) $:

\\ [\\ Supraline (CN) \u003d \\ stânga (x_ (n) -1 \\ dreapta) \\ cdot \\ bare (i) + \\ stânga (y_ (n) - \\ stânga (-2 \\ dreapta) \\ dreapta) \\ cdot \\ Bar (J) + \\ stânga (Z_ (N) -8 \\ dreapta) \\ CDOT \\ bare (k) \u003d \\] \\ [\u003d \\ stânga (x_ (n) -1 \\ dreapta) \\ cdot \\ bara (i) + \\ stânga (y_ (n) +2 \\ dreapta) \\ cdot \\ bare (J) + \\ stânga (z_ (n) -8 \\ dreapta) \\ cdot \\ bare (k). \\]

Vectori $ \\ supraline (CD) $ și $ \\ supraline (CN) $ coincid, prin urmare, ele sunt colinear. Aplicați condiția vectorilor de colinearitate:

$ \\ Frac (x_ (n) -1) (5) \u003d \\ frac (y_ (n) +2) (9) \u003d \\ frac (z_ (n) -8) (- 10) \u003d n $, unde $ n $ - rezultatul divizării.

De aici primim: $ x_ (n) -1 \u003d 5 \\ cdot n $; $ y_ (n) + 2 \u003d 9 \\ cdot n $; $ z_ (n) -8 \u003d -10 \\ cdot n $.

În cele din urmă, obținem expresii pentru coordonatele punctului $ n $:

Construiți un vector $ \\ supraline (Mn) $:

\\ [\\ Supraline (Mn) \u003d \\ stânga (x_ (n) -x_ (m) \\ dreapta) \\ CDOT \\ bare (i) + \\ stânga (y_ (n) -y_ (m) \\ dreapta) \\ CDOT \\ Bar (j) + \\ stânga (Z_ (N) -Z_ (M) \\ dreapta) \\ CDOT \\ BAR (K). \\]

Înlocuim expresiile pentru coordonatele punctelor $ M $ și $ N $:

\\ [\\ Supraline (MN) \u003d \\ stânga (1 + 5 \\ cdot n- \\ stânga (2-5 \\ cdot m \\ dreapta) \\ dreapta) \\ dreapta) \\ dreapta) \\ CDOT \\ BAR (I) + \\] \\ [+ \\ stânga (- 2 + 9 \\ CDOT N- \\ stânga (-4 + 9 \\ cdot m \\ dreapta) \\ dreapta) \\ dreapta) \\ dreapta) \\ CDOT \\ BAR (J) + \\ stânga (8-10 \\ cdot n- \\ stânga (-1 + 7 \\ CDOT M \\ dreapta) \\ dreapta) \\ cdot \\ bar (k). \\]

După efectuarea acțiunilor, obținem:

\\ [\\ Supraline (Mn) \u003d \\ stânga (-1 + 5 \\ CDOT N + 5 \\ CDOT M \\ dreapta) \\ CDOT \\ BAR (I) + \\ Stânga (2 + 9 \\ CDOT N-9 \\ CDOT M \\ DREAPTA ) \\ CDOT \\ BAR (J) + \\ Stânga (9-10 \\ CDOT N-7 \\ CDOT M \\ dreapta) \\ CDOT \\ BAR (K). \\]

Deoarece direct $ AB $ și $ MN $ este perpendicular, atunci produsul scalar al vectorilor corespunzători este zero, adică, $ \\ supraline (ab) \\ cdot \\ supraline (Mn) \u003d 0 $:

\\ [- 5 \\ cdot \\ stânga (-1 + 5 \\ cdot n + 5 \\ cdot m \\ dreapta) +9 \\ CDOT \\ stânga (2 + 9 \\ cdot n-9 \\ cdot m \\ dreapta) +7 \\ cdot \\ Stânga (9-10 \\ cdot n-7 \\ cdot m \\ dreapta) \u003d 0; \\] \\

După efectuarea acțiunilor, obținem prima ecuație pentru a determina $ M $ și $ N $: $ 155 \\ CDOT M + 14 \\ CDOT n \u003d $ 86.

Deoarece direct $ CD $ și $ MN $ este perpendicular, atunci produsul scalar al vectorilor corespunzători este zero, adică, $ \\ supraline (CD) \\ cdot \\ supraline (Mn) \u003d 0 $:

\\ \\ [- 5 + 25 \\ CDOT N + 25 \\ CDOT M + 18 + 81 \\ CDOT N-81 \\ CDOT M-90 + 100 \\ CDOT N + 70 \\ CDOT M \u003d 0. \\]

După efectuarea acțiunilor, obținem cea de-a doua ecuație pentru a determina $ M $ și $ N $: $ 14 \\ CDOT M + 206 \\ CDOT N \u003d $ 77.

Noi găsim $ M $ și $ N $, rezolvând sistemul de ecuații $ \\ stânga \\ (\\ începe (matrice) (c) (155 \\ cdot m + 14 \\ cdot n \u003d 86) \\\\ (14 \\ cdot M + 206 \\ Cdot n \u003d 77) \\ capătul (matrice) \\ dreapta. $.

Folosim metoda CRY:

\\ [\\ Delta \u003d \\ Stânga | \\ BEAT (ARRAY) (CC) (155) & (14) \\\\ (14) & (206) \\ capătul (matrice) \\ dreapta | \u003d 31734; \\] \\ [\\ Delta _ (m) \u003d \\ Stânga | \\ BEAT (ARRAY) (CC) (86) & (14) \\\\ (77) & (206) \\ capătul (matrice) \\ dreapta | \u003d 16638; \\] \\ [\\ Delta _ (n) \u003d \\ stanga | \\ BEGE (matrice) (CC) (155) & (86) \\\\ (14) & (77) \\ capătul (matrice) \\ dreapta | \u003d 10731; ] \\

Noi găsim coordonatele punctelor $ M $ și $ N $:

\ \

In cele din urma:

În cele din urmă scrieți vectorul $ \\ supraline (Mn) $:

$ \\ Supraline (MN) \u003d \\ stânga (2,691- \\ stânga (-0,6215 \\ dreapta) \\ dreapta) \\ CDOT \\ BAR (I) + \\ Stânga (1,0438-0,787 \\ dreapta) \\ CDOT \\ BAR (J ) + \\ Stânga (4,618-2,6701 \\ dreapta) \\ CDOT \\ BAR (K) $ sau $ \\ supraline (Mn) \u003d 3,3125 \\ CDOT \\ BAR (I) +0,3251 \\ CDOT \\ BAR (J) +1.9479 \\ cdot \\ bar (k) $.

Distanța dintre $ $ AB $ și $ CD $ este lungimea $ \\ supraline (MN) $: $ d \u003d \\ sqrt (3,3125 ^ (2) + 0.3251 ^ (2) + 1,9479 ^ (2 )) \\ Aproximativ 3.8565 $ LIN. Unități.

Fiecare școală care se pregătește pentru examenul din matematică va ajuta la repetarea subiectului "Găsirea unghiului dintre drept". Așa cum arată statisticile, când testul de certificare este trecut, sarcina conform acestei secțiuni de stereometrie cauzează dificultăți într-un număr mare de studenți. În același timp, sarcinile care necesită găsirea unghiului între direct se găsesc în examen ca nivel de bază și profil. Aceasta înseamnă că toată lumea ar trebui să poată decide.

Repere

În spațiu, există 4 tipuri de locații reciproce directe. Ele pot coincide, se intersectează, să fie paralele sau de trecere. Unghiul dintre ele poate fi ascuțit sau drept.

Pentru a găsi unghiul între direct în utilizare sau, de exemplu, în rezolvare, elevii de la Moscova și alte orașe pot folosi mai multe modalități de a rezolva problemele din această secțiune a stereometriei. Puteți efectua sarcina de către clădirile clasice. Pentru aceasta merită să învățați axiomele principale și teoremele stereometriei. Școala trebuie să poată construi logic raționamentul și să creeze desene pentru a aduce sarcina planimetică.

De asemenea, puteți utiliza o metodă de coordonate vectoriale, aplicând formule simple, reguli și algoritmi. Principalul lucru în acest caz este să îndeplinească corect toate calculele. Jumătate de abilități de a rezolva problemele de stereometrie și alte secțiuni ale curajului de școală vă va ajuta proiectul educațional "Shkolkovo".