Va fi util pentru fiecare student care se pregătește pentru examenul de stat unificat la matematică să repete subiectul „Găsirea unui unghi între linii drepte”. După cum arată statisticile, la trecerea testului de certificare, sarcinile din această secțiune de stereometrie provoacă dificultăți pentru cantitate mare elevi. În același timp, sarcinile care necesită găsirea unghiului dintre liniile drepte se găsesc în Examenul de stat unificat atât pentru nivel de profil. Aceasta înseamnă că toată lumea ar trebui să le poată rezolva.

Momente de bază

Există 4 tipuri în spațiu poziție relativă Drept Ele pot coincide, se intersectează, pot fi paralele sau se intersectează. Unghiul dintre ele poate fi acut sau drept.

Pentru a găsi unghiul dintre linii în examenul de stat unificat sau, de exemplu, în rezolvare, școlarii din Moscova și din alte orașe pot folosi mai multe moduri de a rezolva problemele din această secțiune de stereometrie. Puteți finaliza sarcina folosind construcții clasice. Pentru a face acest lucru, merită să învățați axiomele și teoremele de bază ale stereometriei. Elevul trebuie să fie capabil să raționeze logic și să creeze desene pentru a aduce sarcina la o problemă planimetrică.

De asemenea, puteți utiliza metoda vectorului de coordonate folosind formule, reguli și algoritmi simpli. Principalul lucru în acest caz este să efectuați corect toate calculele. Perfecționați-vă abilitățile în rezolvarea problemelor din stereometrie și din alte domenii curs şcolar te va ajuta proiect educațional„Șkolkovo”.

Dacă pe o dreaptă în spațiu notăm două puncte arbitrare M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2), atunci coordonatele acestor puncte trebuie să satisfacă ecuația dreptei. obtinut mai sus:

În plus, pentru punctul M 1 putem scrie:

.

Rezolvând împreună aceste ecuații, obținem:

.

Aceasta este ecuația unei drepte care trece prin două puncte din spațiu.

Ecuații generale ale unei drepte în spațiu.

Ecuația unei drepte poate fi considerată drept ecuația dreptei de intersecție a două plane.

Ecuații generale ale unei drepte sub formă de coordonate:

Sarcina practică este adesea de a reduce ecuațiile liniilor drepte la vedere generala la forma canonică.

Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct arbitrar pe linie și numerele m, n, p.

În acest caz, vectorul de direcție al dreptei poate fi găsit ca produs vectorial al vectorilor normali față de planurile date.

Exemplu. Găsiți ecuația canonică dacă linia este dată sub forma:

Pentru a găsi un punct arbitrar pe o dreaptă, luăm coordonatele sale x = 0 și apoi înlocuim această valoare în sistemul de ecuații dat.

Acestea. A(0, 2, 1).

Aflați componentele vectorului de direcție al dreptei.

Apoi ecuațiile canonice ale dreptei:

Exemplu. Aduceți în formă canonică ecuația unei drepte dată sub forma:

Pentru a găsi un punct arbitrar pe o dreaptă, care este linia de intersecție a planurilor de mai sus, luăm z = 0. Atunci:

;

2x – 9x – 7 = 0;

Se obține: A(-1; 3; 0).

Vector direct: .

Unghiul dintre planuri.

Unghiul dintre două plane din spațiu  este legat de unghiul dintre normalele acestor plane  1 prin relația:  =  1 sau  = 180 0 -  1, adică.

cos = cos 1 .

Să determinăm unghiul  1. Se știe că planurile pot fi specificate prin relațiile:

, Unde

(A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2). Găsim unghiul dintre vectorii normali din produsul lor scalar:

.

Astfel, unghiul dintre plane se găsește prin formula:

Alegerea semnului cosinusului depinde de ce unghi între planuri ar trebui găsit - acut sau adiacent acestuia obtuz.

Condiții de paralelism și perpendicularitate a planurilor.

Pe baza formulei obținute mai sus pentru găsirea unghiului dintre plane, se pot găsi condițiile de paralelism și perpendicularitate a planurilor.

Pentru ca planele să fie perpendiculare, este necesar și suficient ca cosinusul unghiului dintre plane să fie egal cu zero. Această condiție este îndeplinită dacă:

Planele sunt paralele, vectorii normali sunt coliniari:  .Această condiție este îndeplinită dacă: .

Unghiul dintre liniile drepte în spațiu.

Să fie date două linii în spațiu. Ecuațiile lor parametrice sunt:

Unghiul dintre drepte  și unghiul dintre vectorii de direcție  ai acestor drepte sunt legate prin relația:  =  1 sau  = 180 0 -  1. Unghiul dintre vectorii de direcție se găsește din produsul scalar. Prin urmare:

.

Condiții de paralelism și perpendicularitate a dreptelor în spațiu.

Pentru ca două drepte să fie paralele, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari, adică. coordonatele lor corespunzătoare erau proporţionale.

Acest material este dedicat unui astfel de concept precum unghiul dintre două linii care se intersectează. În primul paragraf vom explica ce este și o vom arăta în ilustrații. Apoi ne vom uita la modalitățile în care puteți găsi sinusul, cosinusul acestui unghi și unghiul în sine (vom lua în considerare separat cazurile cu un plan și spațiu tridimensional), vom da formulele necesare și vom arăta cu exemple exact modul în care sunt utilizate în practică.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pentru a înțelege care este unghiul format atunci când două drepte se intersectează, trebuie să ne amintim însăși definiția unghiului, perpendicularității și punctului de intersecție.

Definiția 1

Numim două drepte care se intersectează dacă au un punct comun. Acest punct se numește punctul de intersecție a două drepte.

Fiecare linie dreaptă este împărțită de un punct de intersecție în raze. Ambele linii drepte formează 4 unghiuri, dintre care două sunt verticale și două sunt adiacente. Dacă știm măsura unuia dintre ele, atunci le putem determina pe cele rămase.

Să presupunem că știm că unul dintre unghiuri este egal cu α. În acest caz, unghiul care este vertical în raport cu acesta va fi, de asemenea, egal cu α. Pentru a găsi unghiurile rămase, trebuie să calculăm diferența 180 ° - α. Dacă α este egal cu 90 de grade, atunci toate unghiurile vor fi unghiuri drepte. Liniile care se intersectează în unghi drept sunt numite perpendiculare (un articol separat este dedicat conceptului de perpendicularitate).

Aruncă o privire la poză:

Să trecem la formularea definiției principale.

Definiția 2

Unghiul format din două drepte care se intersectează este măsura celui mai mic dintre cele 4 unghiuri care formează aceste două drepte.

Din definiție trebuie trasă o concluzie importantă: dimensiunea unghiului în acest caz va fi exprimată de oricare numar realîn intervalul (0, 90). Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci unghiul dintre ele va fi în orice caz egal cu 90 de grade.

Capacitatea de a găsi măsura unghiului dintre două drepte care se intersectează este utilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Metoda de rezolvare poate fi aleasă din mai multe opțiuni.

Pentru început, putem lua metode geometrice. Dacă știm ceva despre unghiurile suplimentare, atunci le putem raporta la unghiul de care avem nevoie folosind proprietățile figurilor egale sau similare. De exemplu, dacă cunoaștem laturile unui triunghi și trebuie să calculăm unghiul dintre liniile pe care sunt situate aceste laturi, atunci teorema cosinusului este potrivită pentru rezolvarea acesteia. Dacă avem condiția triunghi dreptunghic, atunci pentru calcule vom avea nevoie și de cunoștințe despre sinus, cosinus și tangenta unui unghi.

Metoda coordonatelor este, de asemenea, foarte convenabilă pentru rezolvarea problemelor de acest tip. Să explicăm cum să-l folosim corect.

Avem un sistem de coordonate dreptunghiular (cartezian) O x y, în care sunt date două drepte. Să le notăm cu literele a și b. Liniile drepte pot fi descrise folosind unele ecuații. Liniile originale au un punct de intersecție M. Cum se determină unghiul necesar (să-l notăm α) între aceste drepte?

Să începem prin a formula principiul de bază al găsirii unui unghi în condiții date.

Știm că conceptul de linie dreaptă este strâns legat de concepte precum un vector de direcție și un vector normal. Dacă avem o ecuație a unei anumite drepte, putem lua din ea coordonatele acestor vectori. Putem face acest lucru pentru două linii care se intersectează simultan.

Unghiul subtins de două drepte care se intersectează poate fi găsit folosind:

  • unghiul dintre vectorii de direcție;
  • unghiul dintre vectorii normali;
  • unghiul dintre vectorul normal al unei linii și vectorul direcție al celeilalte.

Acum să ne uităm la fiecare metodă separat.

1. Să presupunem că avem o dreaptă a cu un vector de direcție a → = (a x, a y) și o dreaptă b cu un vector de direcție b → (b x, b y). Acum să reprezentăm doi vectori a → și b → din punctul de intersecție. După aceasta vom vedea că fiecare va fi situat pe propria linie dreaptă. Apoi avem patru opțiuni pentru aranjarea lor relativă. Vezi ilustrația:

Dacă unghiul dintre doi vectori nu este obtuz, atunci va fi unghiul de care avem nevoie între liniile care se intersectează a și b. Dacă este obtuz, atunci unghiul dorit va fi egal cu unghiul adiacent unghiului a →, b → ^. Astfel, α = a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° , și α = 180 ° - a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .

Pe baza faptului că cosinusurile unghiurilor egale sunt egale, putem rescrie egalitățile rezultate astfel: cos α = cos a →, b → ^, dacă a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, dacă a →, b → ^ > 90 °.

În al doilea caz s-au folosit formule de reducere. Prin urmare,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Să scriem ultima formulă în cuvinte:

Definiția 3

Cosinusul unghiului format din două drepte care se intersectează va fi egal cu modulul cosinusului unghiului dintre vectorii săi de direcție.

Forma generală a formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) arată astfel:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Din aceasta putem deriva formula pentru cosinusul unghiului dintre două drepte date:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Apoi unghiul în sine poate fi găsit folosind următoarea formulă:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Aici a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor date.

Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.

Exemplul 1

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan, sunt date două drepte care se intersectează a și b. Ele pot fi descrise prin ecuațiile parametrice x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R și x 5 = y - 6 - 3. Calculați unghiul dintre aceste drepte.

Soluţie

Avem o ecuație parametrică în starea noastră, ceea ce înseamnă că pentru această linie putem nota imediat coordonatele vectorului său de direcție. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm valorile coeficienților pentru parametru, adică. dreapta x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R va avea un vector de direcție a → = (4, 1).

A doua linie este descrisă folosind ecuația canonică x 5 = y - 6 - 3. Aici putem lua coordonatele de la numitori. Astfel, această dreaptă are un vector de direcție b → = (5 , - 3) .

Apoi, trecem direct la găsirea unghiului. Pentru a face acest lucru, pur și simplu înlocuiți coordonatele existente ale celor doi vectori în formula de mai sus α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Obținem următoarele:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Răspuns: Aceste linii drepte formează un unghi de 45 de grade.

Putem rezolva o problemă similară găsind unghiul dintre vectorii normali. Dacă avem o dreaptă a cu un vector normal n a → = (n a x , n a y) și o dreaptă b cu un vector normal n b → = (n b x , n b y), atunci unghiul dintre ele va fi egal cu unghiul dintre n a → și n b → sau unghiul care va fi adiacent lui n a →, n b → ^. Această metodă este prezentată în imagine:

Formulele pentru calcularea cosinusului unghiului dintre liniile care se intersectează și acest unghi în sine folosind coordonatele vectorilor normali arată astfel:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n de y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici n a → și n b → denotă vectorii normali ai două drepte date.

Exemplul 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, două linii drepte sunt date folosind ecuațiile 3 x + 5 y - 30 = 0 și x + 4 y - 17 = 0. Găsiți sinusul și cosinusul unghiului dintre ele și mărimea acestui unghi în sine.

Soluţie

Liniile originale sunt specificate folosind ecuații de linii normale de forma A x + B y + C = 0. Notăm vectorul normal ca n → = (A, B). Să găsim coordonatele primului vector normal pentru o linie și să le scriem: n a → = (3, 5) . Pentru a doua linie x + 4 y - 17 = 0, vectorul normal va avea coordonatele n b → = (1, 4). Acum să adăugăm valorile obținute la formulă și să calculăm totalul:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Dacă cunoaștem cosinusul unui unghi, atunci putem calcula sinusul acestuia folosind identitatea trigonometrică de bază. Deoarece unghiul α format din drepte nu este obtuz, atunci sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

În acest caz, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Răspuns: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Să analizăm ultimul caz - găsirea unghiului dintre drepte dacă cunoaștem coordonatele vectorului de direcție al unei drepte și vectorul normal al celeilalte.

Să presupunem că dreapta a are un vector de direcție a → = (a x , a y) , iar dreapta b are un vector normal n b → = (n b x , n b y) . Trebuie să setăm acești vectori deoparte de punctul de intersecție și să luăm în considerare toate opțiunile pentru pozițiile lor relative. Vezi in poza:

Dacă unghiul dintre vectorii dați nu este mai mare de 90 de grade, se dovedește că va completa unghiul dintre a și b la un unghi drept.

a → , n b → ^ = 90 ° - α dacă a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Dacă este mai mică de 90 de grade, atunci obținem următoarele:

a → , n b → ^ > 90 ° , apoi a → , n b → ^ = 90 ° + α

Folosind regula egalității cosinusurilor de unghiuri egale, scriem:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pentru a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pentru a → , n b → ^ > 90 ° .

Prin urmare,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Să formulăm o concluzie.

Definiția 4

Pentru a găsi sinusul unghiului dintre două drepte care se intersectează pe un plan, trebuie să calculați modulul cosinusului unghiului dintre vectorul de direcție al primei linii și vectorul normal al celei de-a doua.

Să notăm formulele necesare. Aflarea sinusului unui unghi:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Găsirea unghiului în sine:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici a → este vectorul de direcție al primei linii, iar n b → este vectorul normal al celei de-a doua.

Exemplul 3

Două drepte care se intersectează sunt date de ecuațiile x - 5 = y - 6 3 și x + 4 y - 17 = 0. Aflați unghiul de intersecție.

Soluţie

Luăm coordonatele ghidului și ale vectorului normal din ecuațiile date. Rezultă a → = (- 5, 3) și n → b = (1, 4). Luăm formula α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 și calculăm:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Vă rugăm să rețineți că am luat ecuațiile din problema anterioară și am obținut exact același rezultat, dar într-un mod diferit.

Răspuns:α = a r c sin 7 2 34

Să prezentăm o altă modalitate de a găsi unghiul dorit folosind coeficienții unghiulari ai liniilor drepte date.

Avem o linie a, care este definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuația y = k 1 x + b 1, și o linie b, definită ca y = k 2 x + b 2. Acestea sunt ecuații ale dreptelor cu pante. Pentru a găsi unghiul de intersecție, folosim formula:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, unde k 1 și k 2 sunt pantele dreptelor date. Pentru a obține această înregistrare s-au folosit formule pentru determinarea unghiului prin coordonatele vectorilor normali.

Exemplul 4

Există două drepte care se intersectează într-un plan, date de ecuațiile y = - 3 5 x + 6 și y = - 1 4 x + 17 4. Calculați valoarea unghiului de intersecție.

Soluţie

Coeficienții unghiulari ai dreptelor noastre sunt egali cu k 1 = - 3 5 și k 2 = - 1 4. Să le adăugăm la formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 și să calculăm:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Răspuns:α = a r c cos 23 2 34

În concluziile acestui paragraf, trebuie menționat că formulele pentru găsirea unghiului prezentate aici nu trebuie învățate pe de rost. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți coordonatele ghidajelor și/sau ale vectorilor normali ai liniilor date și să le puteți determina folosind diferite tipuri de ecuații. Dar este mai bine să vă amintiți sau să scrieți formulele pentru calcularea cosinusului unui unghi.

Cum se calculează unghiul dintre liniile care se intersectează în spațiu

Calculul unui astfel de unghi poate fi redus la calcularea coordonatelor vectorilor de direcție și determinarea mărimii unghiului format de acești vectori. Pentru astfel de exemple se folosește același raționament pe care l-am dat mai înainte.

Să zicem că avem sistem dreptunghiular coordonate situate în spațiul tridimensional. Conține două drepte a și b cu un punct de intersecție M. Pentru a calcula coordonatele vectorilor de direcție, trebuie să cunoaștem ecuațiile acestor drepte. Să notăm vectorii de direcție a → = (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) . Pentru a calcula cosinusul unghiului dintre ele, folosim formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Pentru a găsi unghiul în sine, avem nevoie de această formulă:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exemplul 5

Avem o linie definită în spațiul tridimensional folosind ecuația x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Se știe că se intersectează cu axa O z. Calculați unghiul de interceptare și cosinusul acelui unghi.

Soluţie

Să notăm unghiul care trebuie calculat cu litera α. Să notăm coordonatele vectorului direcție pentru prima dreaptă – a → = (1, - 3, - 2) . Pentru aplicarea axei putem lua vector de coordonate k → = (0, 0, 1) ca ghid. Am primit datele necesare și le putem adăuga la formula dorită:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ca rezultat, am constatat că unghiul de care avem nevoie va fi egal cu a r c cos 1 2 = 45 °.

Răspuns: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Instrucțiuni

Notă

Perioadă functie trigonometrica Tangenta este egala cu 180 de grade, ceea ce inseamna ca unghiurile de panta ale dreptelor nu pot depasi, in valoare absoluta, aceasta valoare.

Sfaturi utile

Dacă coeficienții unghiulari sunt egali între ei, atunci unghiul dintre aceste drepte este 0, deoarece astfel de linii fie coincid, fie sunt paralele.

Pentru a determina valoarea unghiului dintre liniile care se intersectează, este necesar să mutați ambele linii (sau una dintre ele) într-o nouă poziție folosind metoda translației paralele până când se intersectează. După aceasta, ar trebui să găsiți unghiul dintre liniile care se intersectează rezultate.

Vei avea nevoie

  • Riglă, triunghi dreptunghic, creion, raportor.

Instrucțiuni

Deci, să fie dat vectorul V = (a, b, c) și planul A x + B y + C z = 0, unde A, B și C sunt coordonatele normalei N. Atunci cosinusul unghiului α dintre vectorii V și N este egal cu: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Pentru a calcula unghiul în grade sau radiani, trebuie să calculați funcția inversă față de cosinus din expresia rezultată, i.e. arccosin:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Exemplu: găsiți colţîntre vector(5, -3, 8) și avion, dat ecuație generală 2 x – 5 y + 3 z = 0. Rezolvare: notează coordonatele vectorului normal al planului N = (2, -5, 3). Înlocuiți toate valorile cunoscute în formula dată: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video pe tema

O dreaptă care are un punct comun cu un cerc este tangentă la cerc. O altă caracteristică a tangentei este că este întotdeauna perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact, adică tangenta și raza formează o linie dreaptă. colţ. Dacă dintr-un punct A sunt trase două tangente la un cerc AB și AC, atunci ele sunt întotdeauna egale între ele. Determinarea unghiului dintre tangente ( colţ ABC) se realizează folosind teorema lui Pitagora.

Instrucțiuni

Pentru a determina unghiul, trebuie să cunoașteți raza cercului OB și OS și distanța punctului de pornire al tangentei de la centrul cercului - O. Deci, unghiurile ABO și ACO sunt egale, raza OB este, de exemplu, 10 cm, iar distanța până la centrul cercului AO este de 15 cm. Determinați lungimea tangentei folosind formula în conformitate cu teorema lui Pitagora: AB = Rădăcină pătrată de la AO2 – OB2 sau 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

Să fie date linii drepte în spațiu lȘi m. Prin un punct A al spațiului tragem linii drepte l 1 || lȘi m 1 || m(Fig. 138).

Rețineți că punctul A poate fi ales în mod arbitrar; în special, se poate afla pe una dintre aceste linii. Dacă drept lȘi m intersectează, atunci A poate fi luat drept punct de intersecție al acestor drepte ( l 1 = lȘi m 1 = m).

Unghiul dintre liniile neparalele lȘi m este valoarea celui mai mic dintre unghiurile adiacente formate din linii care se intersectează l 1 Și m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Unghiul dintre liniile paralele este considerat egal cu zero.

Unghiul dintre liniile drepte lȘi m notat cu \(\widehat((l;m))\). Din definiție rezultă că dacă se măsoară în grade, atunci 0° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, iar dacă este în radiani, atunci 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Sarcină. Dat un cub ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 139).

Aflați unghiul dintre liniile drepte AB și DC 1.

Încrucișarea liniilor drepte AB și DC 1. Deoarece linia dreaptă DC este paralelă cu dreapta AB, unghiul dintre liniile drepte AB și DC 1, conform definiției, este egal cu \(\widehat(C_(1)DC)\).

Prin urmare, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direct lȘi m sunt numite perpendicular, dacă \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. De exemplu, într-un cub

Calculul unghiului dintre drepte.

Problema calculării unghiului dintre două drepte în spațiu se rezolvă în același mod ca și în plan. Să notăm cu φ mărimea unghiului dintre drepte l 1 Și l 2, iar prin ψ - mărimea unghiului dintre vectorii de direcție A Și b aceste linii drepte.

Atunci dacă

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Fig. 206.6), apoi φ = 180° - ψ. Evident, în ambele cazuri egalitatea cos φ = |cos ψ| este adevărată. Conform formulei (cosinusul unghiului dintre vectorii nenuli a și b este egal cu produsul scalar al acestor vectori împărțit la produsul lungimilor lor) avem

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

prin urmare,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Fie dreptele date de ecuațiile lor canonice

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Și \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Apoi unghiul φ dintre linii este determinat folosind formula

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Dacă una dintre linii (sau ambele) este dată de ecuații non-canonice, atunci pentru a calcula unghiul trebuie să găsiți coordonatele vectorilor de direcție ai acestor linii și apoi să utilizați formula (1).

Sarcina 1. Calculați unghiul dintre linii

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;şi\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Vectorii de direcție ai liniilor drepte au coordonate:

a = (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Folosind formula (1) găsim

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Prin urmare, unghiul dintre aceste linii este de 60°.

Sarcina 2. Calculați unghiul dintre linii

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) și \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cazuri) $$

În spatele vectorului ghid A Pe prima linie luăm produsul vectorial al vectorilor normali n 1 = (3; 0; -12) și n 2 = (1; 1; -3) planuri care definesc această dreaptă. Folosind formula \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) obținem

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

În mod similar, găsim vectorul direcție al celei de-a doua drepte:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Dar folosind formula (1) calculăm cosinusul unghiului dorit:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Prin urmare, unghiul dintre aceste linii este de 90°.

Sarcina 3.În piramida triunghiulară MABC, muchiile MA, MB și MC sunt reciproc perpendiculare (Fig. 207);

lungimile lor sunt respectiv 4, 3, 6. Punctul D este mijlocul [MA]. Aflați unghiul φ dintre liniile CA și DB.

Fie CA și DB vectorii de direcție ai dreptelor CA și DB.

Să luăm punctul M ca origine a coordonatelor. Prin condiția ecuației avem A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Prin urmare \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Să folosim formula (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Folosind tabelul cosinus, aflăm că unghiul dintre liniile drepte CA și DB este de aproximativ 72°.