Existența unui triunghi egal cu cel dat. Întrebări de test pentru §1

„Aria unui triunghi” - BC - baza. AN1 - înălțime. AC este baza. HH - înălțime. Aria unui triunghi. Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei și înălțimii sale. Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul catetelor sale. Teorema. Dacă înălțimile a două triunghiuri sunt egale, atunci ariile lor sunt legate ca bazele lor.

„Existența autonomă a omului” - Ernest Henry SHACKLETON - explorator englez al Antarcticii. 1874 – 1922. Existenţă autonomă forţată. Factori care influențează o persoană în condiții de existență autonomă forțată. Eu Natural. Seara scrie în jurnal, iar noaptea moare dintr-un infarct. Previzibil (voluntar).

"Triunghi isoscel" - Baza. Latură. BD - înălțime. Triunghi echilateral. Bisectoare. Median triunghi isoscel, trasă la bază, este înălțimea și bisectoarea. Înălţime. ВD - bisectoare. Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și altitudinea.

„Programul Triunghi” - sponsori ai programului: Proiect de parteneriat cu Compania de Televiziune de Stat și Radiodifuziune „Saratov”, Studio „STV” și ARMC „Sofit”. Pachet publicitar (pentru programele Triunghi noi, timp de o săptămână): Bugetul pentru fiecare dintre programele Triunghi este de aproximativ 200 de mii de ruble/. Programul TV „Triunghi”. Nu există reclame de la terți în program! Publicul țintă.

„Tipuri de triunghiuri” - Punctele sunt numite vârfuri, iar segmentele sunt numite laturi. Tipuri de triunghiuri. Pe baza lungimii comparative a laturilor, se disting următoarele tipuri de triunghiuri. În funcție de dimensiunea unghiurilor, se disting următoarele tipuri.

„Rezolvarea triunghiurilor, nota 9” - Valorile păcatului depind? din raza cercului? C. Rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare. Nodul 1: coordonatele punctului A (OA cos C; OA sin C). Rezolvarea triunghiurilor arbitrare. Unitatea 2: aria triunghiului în formă trigonometrică S? = ? a b sin C, 1. Dă definiția păcatului?, ca ? 2. Cum se schimba: sin?, cos??

Întrebări de testare pentru §1.

Proprietățile de bază ale celor mai simple figuri geometrice.

Intrebarea 1. Dați exemple de forme geometrice.
Răspuns: Exemple de forme geometrice: triunghi, pătrat, cerc.

Intrebarea 2. Numiți-le pe cele principale figuri geometrice la suprafata.
Răspuns: Principalele figuri geometrice dintr-un plan sunt un punct și o dreaptă.

Întrebarea 3. Cum sunt desemnate punctele și liniile?
Răspuns: Punctele sunt desemnate cu majuscule latine: A, B, C, D, …. Liniile directe sunt desemnate cu litere latine mici: a, b, c, d, ….
O linie dreaptă poate fi notată cu două puncte aflate pe ea. De exemplu, linia a din figura 4 poate fi etichetată AC, iar linia b poate fi etichetată BC. Fig.4

Întrebarea 4. Formulați proprietățile de bază ale apartenenței punctelor și liniilor.
Răspuns: Indiferent de linie, există puncte care aparțin acestei linii și puncte care nu îi aparțin.
Prin oricare două puncte poți trage o linie dreaptă și doar una.
Întrebarea 5. Explicați ce este un segment de dreaptă cu capete în aceste puncte.
Răspuns: Un segment este o parte a unei linii care constă din toate punctele acestei linii situate între două puncte date. Aceste puncte se numesc capetele segmentului. Un segment este indicat prin indicarea capetelor sale. Când spun sau scriu: „segment AB”, ei înseamnă un segment cu capete în punctele A și B.

Întrebarea 6. Precizați proprietatea de bază a locației punctelor pe o dreaptă.
Răspuns: Din trei puncte Pe o linie dreaptă, unul și numai unul se află între celelalte două.

Întrebarea 7. Formulați proprietățile de bază ale segmentelor de măsurare.
Răspuns: Fiecare segment are o anumită lungime mai mare decât zero. Lungimea unui segment este egală cu suma lungimilor părților în care este împărțit la oricare dintre punctele sale.
Întrebarea 8. Care este distanța dintre două puncte date?
Răspuns: Lungimea segmentului AB se numește distanța dintre punctele A și B.
Întrebarea 9. Ce proprietăți are împărțirea unui plan în două semiplane?
Răspuns:Împărțirea unui plan în două semiplane are următoarea proprietate. Dacă capetele unui segment aparțin aceluiași semiplan, atunci segmentul nu intersectează dreapta. Dacă capetele unui segment aparțin unor semiplane diferite, atunci segmentul intersectează o dreaptă.

Întrebarea 10. Formulați proprietatea de bază a locației punctelor în raport cu o dreaptă pe un plan.
Răspuns: O linie dreaptă împarte un plan în două semiplane.

Întrebarea 11. Ce este o semilinie sau o rază? Care semi-linii se numesc complementare?
Răspuns: O semilinie sau rază este o parte a unei linii care constă din toate punctele acestei linii situate pe o parte a unui punct dat. Acest punct se numește punctul de pornire al semi-liniei. Semilinii diferite ale aceleiași drepte care au un punct de plecare comun sunt numite complementare.

Întrebarea 12. Cum sunt desemnate jumătățile de linii?
Răspuns: Liniile semidreapte, ca și liniile drepte, sunt desemnate cu litere latine mici.
Întrebarea 13. Ce figură se numește unghi?
Răspuns: Un unghi este o figură care constă dintr-un punct - vârful unghiului - și două semi-linii diferite care emană din acest punct - laturile unghiului.

Întrebarea 14. Cum este indicat unghiul?
Răspuns: Un unghi se desemnează fie indicând vârful său, fie indicând laturile sale, fie indicând trei puncte: vârful și două puncte de pe laturile unghiului. Cuvântul „unghi” este uneori înlocuit cu un semn.
Întrebarea 15. Ce unghi se numește unghi drept?
Răspuns: Dacă laturile unui unghi sunt semilinii suplimentare ale unei drepte, atunci unghiul se numește dezvoltat.

Întrebarea 16. Explicați ce înseamnă expresia: „O jumătate de dreaptă trece între laturile unui unghi”.
Răspuns: Vom spune că fasciculul trece printre laturi unghi dat, dacă provine de la vârful său și intersectează un segment cu capete pe laturile unghiului.
Întrebarea 17.În ce unități se măsoară unghiurile și cu ce instrument? Explicați cum se efectuează măsurarea.
Răspuns: Unghiurile sunt măsurate în grade cu ajutorul unui raportor.

Întrebarea 18. Formulați proprietățile de bază ale unghiurilor de măsurare.
Răspuns: Fiecare unghi are o anumită măsură de grad mai mare decât zero. Unghiul de rotire este de 180°. Gradul de măsurare a unui unghi este egal cu suma gradelor de măsură ale unghiurilor în care este împărțit de orice rază care trece între laturile sale.
Întrebarea 19. Formulați proprietățile de bază ale așezării segmentelor și unghiurilor.
Răspuns: Pe orice jumătate de linie de la punctul său de pornire, puteți reprezenta un segment de o lungime dată și numai unul. Din orice semi-linie, într-un semiplan dat, puteți pune un unghi cu o măsură dată de grad mai mică de 180° și doar unul.
Întrebarea 20. Ce este un triunghi?
Răspuns: Un triunghi este o figură care constă din trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi. Punctele sunt numite vârfuri ale triunghiului, iar segmentele sunt numite laturi.

Întrebarea 21. Care este unghiul unui triunghi la un vârf dat?
Răspuns: Unghi triunghiul ABC la vârful A este unghiul format de semidreptele AB și AC. Se determină și unghiurile triunghiului la vârfurile B și C.

Întrebarea 22. Care segmente se numesc egale?
Răspuns: Segmentele se numesc egale dacă lungimile lor sunt egale.
Întrebarea 23. Ce unghiuri se numesc egale?
Răspuns: Unghiurile sunt numite egale dacă gradele lor sunt egale.
Întrebarea 24. Care triunghiuri se numesc egale?
Răspuns: Triunghiurile se numesc congruente dacă laturile lor corespunzătoare sunt egale și unghiurile corespunzătoare sunt egale. În acest caz, unghiurile corespunzătoare trebuie să fie opuse laturilor corespunzătoare.
Întrebarea 25. După cum se arată în figură, triunghiuri egale laturile si unghiurile corespunzatoare?
Răspuns:În desen, segmentele egale sunt de obicei marcate cu una, două sau trei linii, iar unghiurile egale cu unul, două sau trei arce.

Întrebarea 26. Folosind figura 23, explicați existența unui triunghi egal cu acesta.
Răspuns: Să avem un triunghi ABC și o rază a (Fig. 23, a). Să mutăm triunghiul ABC astfel încât vârful său A să fie aliniat cu începutul razei a, vârful B să fie pe raza a și vârful C să fie într-un semiplan dat în raport cu raza a și extensia sa. Vom desemna vârfurile triunghiului nostru în această nouă poziție A 1, B 1, C 1 (Fig. 23, b).
Triunghiul A 1 B 1 C 1 este egal cu triunghiul ABC.
Întrebarea 27. Ce drepte se numesc paralele? Ce semn este folosit pentru a indica linii paralele?
Răspuns: Două drepte se numesc paralele dacă nu se intersectează. Pentru a indica paralelismul dreptelor se folosește semnul ||. a||b.

Întrebarea 28. Precizați principala proprietate a dreptelor paralele.
Răspuns: Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este posibil să se deseneze în plan cel mult o dreaptă paralelă cu cea dată.
Întrebarea 29. Dați un exemplu de teoremă.
Răspuns: Dacă o dreaptă care nu trece prin niciunul dintre vârfurile unui triunghi intersectează una dintre laturile sale, atunci ea intersectează doar una dintre celelalte două laturi.

Întrebări de testare pentru §2. Unghiuri adiacente și verticale.

Intrebarea 1. Ce unghiuri se numesc adiacente?
Răspuns: Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.
În figura 31, unghiurile (a 1 b) și (a 2 b) sunt adiacente. Au latura b în comun, iar laturile a 1 și a 2 sunt semilinii suplimentare.

Intrebarea 2. Demonstrați că suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Răspuns: Teorema 2.1. Suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Dovada. Fie ca unghiul (a 1 b) și unghiul (a 2 b) să fie date unghiuri adiacente (vezi Fig. 31). Raza b trece între laturile a 1 și a 2 ale unui unghi drept. Prin urmare, suma unghiurilor (a 1 b) și (a 2 b) este egală cu unghiul desfășurat, adică 180°. Q.E.D.

Întrebarea 3. Demonstrați că dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.
Răspuns:

Din teoremă 2.1 Rezultă că, dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile lor adiacente sunt egale.
Să presupunem că unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale. Trebuie să demonstrăm că unghiurile (a 2 b) și (c 2 d) sunt de asemenea egale. Suma unghiurilor adiacente este de 180°. De aici rezultă că a 1 b + a 2 b = 180° și c 1 d + c 2 d = 180°. Prin urmare, a 2 b = 180° - a 1 b și c 2 d = 180° - c 1 d. Deoarece unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale, obținem că a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Din proprietatea tranzitivității semnului egal rezultă că a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Întrebarea 4. Ce unghi se numește drept (acut, obtuz)?
Răspuns: Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept. Un unghi mai mic de 90° se numește unghi ascuțit. Un unghi mai mare de 90° și mai mic de 180° se numește obtuz.

Întrebarea 5. Demonstrați că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.
Răspuns: Din teorema privind suma unghiurilor adiacente rezultă că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Întrebarea 6. Ce unghiuri se numesc verticale?
Răspuns: Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare ale laturilor celuilalt.

Întrebarea 7. Demonstrați că unghiurile verticale sunt egale.
Răspuns: Teorema 2.2. Unghiurile verticale sunt egale.
Dovada. Fie (a 1 b 1) și (a 2 b 2) unghiurile verticale date (Fig. 34). Unghiul (a 1 b 2) este adiacent unghiului (a 1 b 1) și unghiului (a 2 b 2). De aici, folosind teorema privind suma unghiurilor adiacente, concluzionăm că fiecare dintre unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) completează unghiul (a 1 b 2) la 180°, adică. unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) sunt egale. Q.E.D.

Întrebarea 8. Demonstrați că dacă, atunci când două drepte se intersectează, unul dintre unghiuri este drept, atunci și celelalte trei unghiuri sunt drepte.
Răspuns: Să presupunem că liniile AB și CD se intersectează în punctul O. Să presupunem că unghiul AOD este de 90°. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°, obținem că AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Unghiul COB este vertical față de unghiul AOD, deci sunt egali. Adică unghiul COB = 90°. Unghiul COA este vertical la unghiul BOD, deci sunt egali. Adică unghiul BOD = 90°. Astfel, toate unghiurile sunt egale cu 90°, adică toate sunt unghiuri drepte. Q.E.D.

Întrebarea 9. Ce drepte se numesc perpendiculare? Ce semn este folosit pentru a indica perpendicularitatea dreptelor?
Răspuns: Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept. Perpendicularitatea dreptelor este indicată prin semnul ⊥.. Înregistrare A⊥b citește: „Linia a este perpendiculară pe dreapta b.”

Întrebarea 10. Demonstrați că prin orice punct de pe o dreaptă puteți trage o dreaptă perpendiculară pe acesta și numai una.
Răspuns: Teorema 2.3. Prin fiecare linie puteți trage o linie perpendiculară pe ea și numai una.
Dovada. Fie a o dreaptă dată și A un punct dat pe ea. Să notăm cu a 1 una dintre semiliniile dreptei a cu punctul de plecare A (Fig. 38). Să scădem un unghi (a 1 b 1) egal cu 90° din semilinia a 1. Atunci linia dreaptă care conține raza b 1 va fi perpendiculară pe dreapta a.

Să presupunem că există o altă dreaptă, care trece tot prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Să notăm cu c 1 semilinia acestei drepte situată în același semiplan cu raza b 1 . Unghiurile (a 1 b 1) și (a 1 c 1), fiecare egal cu 90°, sunt așezate într-un semiplan de la semilinia a 1. Dar din semi-linie un 1 poate fi pus într-un semiplan dat doar un unghi egal cu 90°. Prin urmare, nu poate exista o altă dreaptă care trece prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 11. Ce este perpendicular pe o dreaptă?
Răspuns: O perpendiculară pe o dreaptă dată este un segment de dreaptă perpendicular pe o dreaptă dată, care are unul dintre capete în punctul de intersecție. Acest capăt al segmentului se numește bază perpendicular.

Întrebarea 12. Explicați în ce constă dovada prin contradicție.
Răspuns: Metoda de demonstrare pe care am folosit-o în teorema 2.3 se numește demonstrație prin contradicție. Această metodă de demonstrare constă în a face mai întâi o presupunere opusă a ceea ce afirmă teorema. Apoi, raționând, bazându-ne pe axiome și teoreme dovedite, ajungem la o concluzie care contrazice fie condițiile teoremei, fie una dintre axiome, fie o teoremă demonstrată anterior. Pe această bază, concluzionăm că presupunerea noastră a fost incorectă și, prin urmare, afirmația teoremei este adevărată.

Întrebarea 13. Care este bisectoarea unui unghi?
Răspuns: Bisectoarea unui unghi este o rază care emană din vârful unghiului, trece între laturile sale și împarte unghiul la jumătate.

Întrebări de test pentru § 3.Semne de egalitate a triunghiurilor.

Intrebarea 1. Demonstrați primul semn că triunghiurile sunt egale. Ce axiome sunt folosite în demonstrarea teoremei 3.1?
Răspuns: Primul semn al egalității triunghiurilor este Teorema 3.1. (un semn de egalitate a triunghiurilor pe două laturi și unghiul dintre ele). Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt egale, respectiv, cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
Dovada. Fie triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 să aibă unghiul A= unghiul A 1, AB=A 1 B 1, AC=A 1 C 1 (Fig. 44). Orez. 44.
Să demonstrăm că triunghiurile sunt congruente. Fie A 1 B 2 C 2 un triunghi egal cu triunghiul ABC, cu vârful B 2 pe raza A 1 B 1 și vârful C 2 în același semiplan relativ la dreapta A 1 B 1, unde se află vârful C 1 ( Fig. 45, a). Deoarece A 1 B 1 = A 1 B 2, vârful B 2 coincide cu vârful B 1 (Fig. 45, b). Deoarece unghiul B 1 A 1 C 1 = unghiul B 2 A 1 C 2, atunci raza A 1 C 2 coincide cu raza A 1 C 1 (Fig. 45, c). Deoarece A 1 C 1 = A 1 C 2, vârful C 2 coincide cu vârful C 1 (Fig. 45, d).
Deci, triunghiul A 1 B 1 C 1 coincide cu triunghiul A 1 B 2 C 2, ceea ce înseamnă că este egal cu triunghiul ABC. Teorema a fost demonstrată.
La începutul demonstrației, desenați un triunghi A 1 B 2 C 2 egal cu triunghiul ABC cu vârful B 2 pe raza A 1 B 1 și vârful C 2 în același semiplan relativ la dreapta A 1 B 1, unde vârful C 1 se află (fig. 45, a ). Un astfel de triunghi există conform axiomei despre existența unui triunghi egal cu cel dat (oricare ar fi triunghiul, există un triunghi egal cu acesta într-o locație dată relativ la o semi-linie dată).
Atunci coincidența vârfurilor B 1 și B 2 este afirmată pe baza că A 1 B 1 = A 1 B 2. Axioma segmentelor de întârziere este folosită aici (pe orice jumătate de linie de la punctul său de pornire, puteți lăsa deoparte un segment de o lungime dată și doar unul).
În continuare, coincidența razelor A 1 C 2 și A 1 C 1 se afirmă pe baza că ∠B 2 A 1 C 1 = ∠B 2 A 1 C 2 . Aici folosim axioma așezării unghiurilor (din orice semi-linie într-un semiplan dat, puteți amâna un unghi cu o anumită măsură de grad mai mică de 180° și doar unul). În sfârșit, se confirmă coincidența vârfurilor C 1 și C 2, deoarece A 1 C 1 = A 2 C 2. Aici se folosește din nou axioma segmentelor de întârziere (pe orice jumătate de linie de la punctul său de pornire puteți lăsa deoparte un segment de o lungime dată și doar unul).
Deci, în demonstrația Teoremei 3.1 se folosesc axiomele pentru a pune deoparte segmentele și unghiurile și axioma despre existența unui triunghi egal cu cel dat.

Intrebarea 2. Formulați și demonstrați al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor.
Răspuns: Al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor este teorema 3.2 (un criteriu pentru egalitatea triunghiurilor de-a lungul unei laturi și unghiurilor adiacente). Dacă o latură și unghiurile ei adiacente ale unui triunghi sunt egale, respectiv, cu o latură și unghiurile ei adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
Dovada. Fie ABC și A 1 B 1 C 1 două triunghiuri în care AB = A 1 B 1 , unghiul A = unghiul A 1 și unghiul B = unghiul B 1 (Fig. 47). Să demonstrăm că triunghiurile sunt congruente.
Fie A 1 B 2 C 2 un triunghi egal cu triunghiul ABC, cu vârful B 2 pe raza A 1 B 1 și vârful C 2 în același semiplan relativ la dreapta A 1 B 1 unde se află vârful C 1.
Deoarece A 1 B 2 = A 1 B 1, atunci vârful B 2 coincide cu vârful B 1. Deoarece unghiul B 1 A 1 C 2 = unghiul B 1 A 1 C 1 și unghiul A 1 B 1 C 2 = unghiul A 1 B 1 C 1, atunci raza A 1 C 2 coincide cu raza A 1 C 1, iar raza B 1 C 2 coincide cu raza B 1 C 1. Rezultă că vârful C 2 coincide cu vârful C 1 .
Deci, triunghiul A 1 B 1 C 1 coincide cu triunghiul A 1 B 2 C 2 și, prin urmare, este egal cu triunghiul ABC. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 3. Care triunghi se numește isoscel? Care laturi ale unui triunghi isoscel se numesc laturi laterale? Care parte se numește bază?
Răspuns: Un triunghi se numește isoscel dacă cele două laturi ale sale sunt egale. Aceste laturi egale sunt numite laturi, iar a treia latură se numește baza triunghiului.

Întrebarea 4. Demonstrați că într-un triunghi isoscel unghiurile de bază sunt egale.
Răspuns: Teorema 3.3 (proprietatea unghiurilor unui triunghi isoscel).Într-un triunghi isoscel, unghiurile de bază sunt egale.
Dovada. Fie ABC un triunghi isoscel cu baza AB (Fig. 48). Să demonstrăm că unghiul său A = unghiul B.

Triunghiul CAB este egal cu triunghiul CBA conform primului criteriu de egalitate a triunghiurilor. Într-adevăr, CA= CB, CB= CA, unghiul C= unghiul C. Din egalitatea triunghiurilor rezultă că unghiul A= unghiul B. Se demonstrează teorema.

Întrebarea 5. Care triunghi se numește echilateral?
Răspuns: Un triunghi în care toate laturile sunt egale se numește echilateral.

Întrebarea 6. Demonstrați că dacă două unghiuri dintr-un triunghi sunt egale, atunci acesta este isoscel.
Răspuns: Teorema 3.4 (testul unui triunghi isoscel). Dacă două unghiuri dintr-un triunghi sunt egale, atunci acesta este isoscel.
Dovada. Fie ABC un triunghi în care unghiul A = unghiul B (Fig. 50). Să demonstrăm că este isoscel cu baza AB.

Triunghiul ABC este egal cu triunghiul BAC conform celui de-al doilea criteriu de egalitate a triunghiurilor. Într-adevăr, AB=BA, unghiul B= unghiul A, unghiul A= unghiul B. Din egalitatea triunghiurilor rezultă că AC= BC. Deci, prin definiție, triunghiul ABC este isoscel. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 7. Explicați ce este teorema inversă. Dă un exemplu. Este inversul adevărat pentru fiecare teoremă?
Răspuns: Teorema 3.4 se numește inversul teoremei 3.3. Concluzia teoremei 3.3 este o condiție a teoremei 3.4. Iar condiția teoremei 3.3 este concluzia teoremei 3.4. Nu orice teoremă are o inversă, adică dacă o anumită teoremă este adevărată, atunci teorema inversă poate fi falsă. Să explicăm acest lucru folosind exemplul teoremei unghiurilor verticale. Această teoremă poate fi formulată după cum urmează: dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale. Teorema inversă ar fi: dacă două unghiuri sunt egale, atunci ele sunt verticale. Și acest lucru, desigur, nu este adevărat. Două unghiuri egale nu trebuie să fie verticale.

Întrebarea 8. Care este înălțimea unui triunghi?
Răspuns:Înălţime a unui triunghi scăpat dintr-un vârf dat se numește perpendiculară trasă din acest vârf pe o dreaptă care conține latura opusă a triunghiului (Fig. 51, a-b).

Întrebarea 9. Care este bisectoarea unui triunghi?
Răspuns:Bisectoare a unui triunghi desenat dintr-un vârf dat se numește segmentul bisectoarei unghiului triunghiului, legând acest vârf cu un punct de pe latura opusă (Fig. 52, a).

Întrebarea 10. Care este mediana unui triunghi?
Răspuns:Median a unui triunghi desenat dintr-un vârf dat se numește segment care leagă acest vârf de mijlocul laturii opuse a triunghiului (Fig. 52, b).

Întrebarea 11. Demonstrați că într-un triunghi isoscel mediana trasată la bază este bisectoarea și altitudinea.
Răspuns: Teorema 3.5 (proprietatea medianei unui triunghi isoscel).Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este bisectoarea și altitudinea.
Dovada. Fie ABC un triunghi isoscel dat cu baza AB și CD mediana trasată la bază (Fig. 53). Triunghiurile CAD și CBD sunt egale conform primului semn de egalitate a triunghiurilor. (Laturile lor AC și BC sunt egale deoarece triunghiul ABC este isoscel. Unghiurile CAD și CBD sunt egale ca unghiurile de bază ale unui triunghi isoscel. Laturile AD și BD sunt egale deoarece D este punctul mijlociu al segmentului AB.)
Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea unghiurilor: unghi ACD = unghi BCD, unghi ADC = unghi BDC. Deoarece unghiurile ACD și BCD sunt egale, CD este o bisectoare. Deoarece unghiurile ADC și BDC sunt adiacente și egale, sunt unghiuri drepte, deci CD este altitudinea triunghiului.

Întrebarea 12. Demonstrați al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor.
Răspuns: Al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor este Teorema 3.6 (test pentru egalitatea triunghiurilor pe trei laturi). Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Dovada. Fie ABC și A 1 B 1 C 1 două triunghiuri în care AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 (Fig. 55). Trebuie să demonstrați că triunghiurile sunt congruente.
Să presupunem că triunghiurile nu sunt egale. Atunci unghiul lor A nu = unghiul A 1, unghiul B nu = unghiul B 1, unghiul C nu = unghiul C 1. Altfel ar fi egali pe prima bază.
Fie A 1 B 1 C 2 un triunghi egal cu triunghiul ABC, al cărui vârf C 2 se află în același semiplan cu vârful C 1 relativ la dreapta A 1 B 1 (vezi Fig. 55).
Fie D punctul de mijloc al segmentului C 1 C 2 . Triunghiurile A 1 C 1 C 2 și B 1 C 1 C 2 sunt isoscele cu o bază comună C 1 C 2. Prin urmare, medianele lor A 1 D și B 1 D sunt înălțimi. Aceasta înseamnă că liniile A 1 D și B 1 D sunt perpendiculare pe dreapta C 1 C 2. Liniile A 1 D și B 1 D nu coincid, deoarece punctele A 1, B 1, D nu se află pe aceeași dreaptă. Dar prin punctul D al dreptei C 1 C 2 se poate trasa o singură dreaptă perpendiculară pe aceasta. Am ajuns la o contradicție. Teorema a fost demonstrată.

Întrebări de testare pentru §4.Suma unghiurilor triunghiulare.

Intrebarea 1. Demonstrați că două drepte paralele cu o a treia sunt paralele.
Răspuns: Teorema 4.1. Două drepte paralele cu o a treia sunt paralele.
Dovada. Fie dreptele a și b paralele cu dreapta c. Să presupunem că a și b nu sunt paralele (Fig. 69). Atunci ele nu se intersectează la un punct C. Aceasta înseamnă că două drepte trec prin punctul C paralel cu dreapta c. Dar acest lucru este imposibil, deoarece printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este posibil să se tragă cel mult o dreaptă paralelă cu cea dată. Teorema a fost demonstrată.

Intrebarea 2. Explicați ce unghiuri se numesc unghiuri interioare unilaterale. Ce unghiuri se numesc unghiuri interioare încrucișate?
Răspuns: Perechile de unghiuri care se formează atunci când liniile AB și CD se intersectează cu secantele AC au nume speciale.
Dacă punctele B și D se află în același semiplan în raport cu dreapta AC, atunci unghiurile BAC și DCA se numesc unghiuri interne unilaterale (Fig. 71, a).
Dacă punctele B și D se află în semiplanuri diferite în raport cu dreapta AC, atunci unghiurile BAC și DCA se numesc unghiuri transversale interne (Fig. 71, b).

Întrebarea 3. Demonstrați că dacă unghiurile interioare ale unei perechi sunt egale, atunci unghiurile interioare ale celeilalte perechi sunt de asemenea egale, iar suma unghiurilor interioare ale fiecărei perechi este 180°.
Răspuns: Secanta AC formează cu dreptele AB și CD două perechi de unghiuri interne unilaterale și două perechi de unghiuri interne transversale. Unghiurile interioare încrucișate ale unei perechi, de exemplu, unghiul 1 și colțul 2, sunt adiacente unghiurilor interioare încrucișate ale altei perechi: unghiul 3 și unghiul 4 (Fig. 72). Orez. 72

Prin urmare, dacă unghiurile interioare ale unei perechi sunt congruente, atunci unghiurile interioare ale celeilalte perechi sunt de asemenea egale.
O pereche de unghiuri interioare încrucișate, de exemplu unghiul 1 și unghiul 2, și o pereche de unghiuri interne unilaterale, de exemplu unghiul 2 și unghiul 3, au un unghi în comun - unghiul 2 și alte două unghiuri sunt adiacente : unghiul 1 și unghiul 3.
Prin urmare, dacă unghiurile transversale interne sunt egale, atunci suma unghiurilor interne este de 180°. Și invers: dacă suma unghiurilor interne care se intersectează este egală cu 180°, atunci unghiurile interne care se intersectează sunt egale. Q.E.D.

Întrebarea 4. Demonstrați un test pentru drepte paralele.
Răspuns: Teorema 4.2 (test pentru drepte paralele). Dacă unghiurile transversale interne sunt egale sau suma unghiurilor interne unilaterale este egală cu 180°, atunci liniile sunt paralele.
Dovada. Fie ca liniile drepte a și b să formeze unghiuri transversale interne egale cu secanta AB (Fig. 73, a). Să presupunem că dreptele a și b nu sunt paralele, ceea ce înseamnă că se intersectează într-un punct C (Fig. 73, b). Orez. 73

Secanta AB împarte planul în două semiplane. În unul dintre ele se află punctul C. Să construim un triunghi BAC 1, egal cu triunghiul ABC, cu vârful C 1 într-un alt semiplan. Prin condiție, unghiurile transversale interne pentru paralela a, b și secanta AB sunt egale. Deoarece unghiurile corespunzătoare ale triunghiurilor ABC și BAC 1 cu vârfurile A și B sunt egale, ele coincid cu unghiurile interne situate transversal. Aceasta înseamnă că linia AC 1 coincide cu linia a, iar linia BC 1 coincide cu linia b. Se dovedește că două drepte diferite a și b trec prin punctele C și C 1. Și acest lucru este imposibil. Aceasta înseamnă că liniile a și b sunt paralele.
Dacă liniile a și b și transversala AB au suma unghiurilor interne unilaterale egală cu 180°, atunci, după cum știm, unghiurile interne situate transversal sunt egale. Aceasta înseamnă, conform celor dovedite mai sus, liniile a și b sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 5. Explicați ce unghiuri se numesc unghiuri corespunzătoare. Demonstrați că dacă unghiurile transversale interne sunt egale, atunci unghiurile corespunzătoare sunt de asemenea egale și invers.

Răspuns: Dacă pentru o pereche de unghiuri transversale interne un unghi este înlocuit cu unul vertical, atunci obținem o pereche de unghiuri care se numesc unghiurile corespunzătoare acestor drepte cu o transversală. Ceea ce trebuia explicat.
Din egalitatea unghiurilor interioare situate în cruce urmează egalitatea unghiurilor corespunzătoare și invers. Să presupunem că avem două drepte paralele (deoarece, prin condiție, unghiurile interne aflate unul peste altul sunt egale) și o transversală, care formează unghiurile 1, 2, 3. Unghiurile 1 și 2 sunt egale ca unghiuri interne situate unul peste altul. Și unghiurile 2 și 3 sunt egale cu verticale. Se obține: ∠1 = ∠2 și ∠2 = ∠3. Din proprietatea tranzitivității semnului egal rezultă că ∠1 = ∠3.

3. Afirmația inversă se dovedește în mod similar.
De aici obținem semnul că liniile drepte sunt paralele la unghiurile corespunzătoare. Și anume: liniile drepte sunt paralele dacă unghiurile corespunzătoare sunt egale. Q.E.D.

Întrebarea 6. Demonstrați că printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată puteți trage o dreaptă paralelă cu acesta. Câte drepte paralele cu o anumită dreaptă pot fi trase printr-un punct care nu se află pe această dreaptă?

Răspuns: Problema (8). Având în vedere o dreaptă AB și un punct C care nu se află pe această dreaptă. Demonstrați că prin punctul C puteți trasa o dreaptă paralelă cu dreapta AB.
Soluţie. Linia AC împarte planul în două semiplane (Fig. 75). Punctul B se află într-una dintre ele. Să adăugăm unghiul ACD de la semi-linia CA la un alt semiplan, egal cu unghiul CAB. Apoi liniile AB și CD vor fi paralele. De fapt, pentru aceste linii și secantele AC, unghiurile interioare BAC și DCA sunt încrucișate. Și deoarece sunt egale, dreptele AB și CD sunt paralele. Q.E.D. Comparând enunțul problemei 8 și axioma IX (proprietatea principală a dreptelor paralele), ajungem la o concluzie importantă: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este posibil să se tragă o dreaptă paralelă cu acesta și doar una.

Întrebarea 7. Demonstrați că dacă două drepte sunt intersectate de o a treia linie, atunci unghiurile interne care se intersectează sunt egale, iar suma unghiurilor interne unilaterale este 180°.

Răspuns: Teorema 4.3 (inversul teoremei 4.2). Dacă două drepte paralele se intersectează cu o a treia linie, atunci unghiurile interne care se intersectează sunt egale, iar suma unghiurilor interne unilaterale este 180°.
Dovada. Fie a și b drepte paralele și c o dreaptă care le intersectează în punctele A și B. Să tragem o dreaptă a 1 prin punctul A astfel încât unghiurile transversale interne formate de transversala c cu dreptele a 1 și b să fie egale (Fig. 76). Conform principiului paralelismului dreptelor, liniile a 1 și b sunt paralele. Și deoarece doar o singură dreaptă trece prin punctul A, paralelă cu dreapta b, atunci linia a coincide cu dreapta a 1. Aceasta înseamnă că unghiurile transversale interne formate de o transversală cu drepte paralele a și b sunt egale. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 8. Demonstrați că două drepte perpendiculare pe o a treia sunt paralele. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.
Răspuns: Din teorema 4.2 rezultă că două drepte perpendiculare pe o a treia sunt paralele.
Să presupunem că oricare două drepte sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă. Aceasta înseamnă că aceste linii se intersectează cu a treia linie la un unghi egal cu 90°. Din proprietatea unghiurilor formate atunci când drepte paralele se intersectează cu o transversală, rezultă că dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.

Întrebarea 9. Demonstrați că suma unghiurilor unui triunghi este 180°.

Răspuns: Teorema 4.4. Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.
Dovada. Fie ABC triunghi dat. Să tragem o dreaptă prin vârful B paralelă cu dreapta AC. Să marchem punctul D pe el, astfel încât punctele A și D să se afle pe părțile opuse ale dreptei BC (Fig. 78). Unghiurile DBC și ACB sunt congruente ca unghiuri interioare încrucișate formate de transversala BC cu drepte paralele AC și BD. Prin urmare, suma unghiurilor unui triunghi la vârfurile B și C este egală cu unghiul ABD.
Și suma tuturor celor trei unghiuri ale unui triunghi este egală cu suma unghiurilor ABD și BAC. Deoarece acestea sunt unghiuri interioare unilaterale pentru paralele AC și BD și secante AB, suma lor este 180°. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 10. Demonstrați că orice triunghi are cel puțin două unghiuri ascuțite.
Răspuns:Într-adevăr, să presupunem că triunghiul are un singur unghi ascuțit sau deloc colțuri ascuțite. Atunci acest triunghi are două unghiuri, fiecare dintre ele fiind de cel puțin 90°. Suma acestor două unghiuri nu este mai mică de 180°. Dar acest lucru este imposibil, deoarece suma tuturor unghiurilor unui triunghi este de 180°. Q.E.D.

Întrebarea 11. Ce este un unghi exterior al unui triunghi?
Răspuns: Unghiul extern al unui triunghi la un vârf dat este unghiul adiacent unghiului triunghiului la acest vârf (Fig. 79).

Întrebarea 12. Demonstrați că unghiul exterior al unui triunghi egal cu suma două unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia.

Răspuns: Teorema 4.5. Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.
Dovada. Fie ABC triunghiul dat (Fig. 80). Prin teorema privind suma unghiurilor unui triunghi, ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Rezultă că ∠A + ∠B = 180° - ∠C. În partea dreaptă a acestei egalități se află gradul de măsură a unghiului extern al triunghiului la vârful C. Teorema este demonstrată.

Întrebarea 13. Demonstrați că un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi interior care nu este adiacent acestuia.
Răspuns: Din teorema 4.5 rezultă că unghiul exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi interior care nu este adiacent acestuia.

Întrebarea 14. Care triunghi se numește triunghi dreptunghic?
Răspuns: Un triunghi se numește dreptunghic dacă are un unghi drept.

Întrebarea 15. Care este suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic?
Răspuns: Deoarece suma unghiurilor unui triunghi este de 180°, un triunghi dreptunghic are un singur unghi drept. Celelalte două unghiuri ale unui triunghi dreptunghic sunt acute. Suma unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic este 180° - 90° = 90°.

Întrebarea 16. Care latură a unui triunghi dreptunghic se numește ipotenuză? Care laturi se numesc picioare?

Răspuns: Latura opusă a unui triunghi dreptunghic unghi drept, se numește ipotenuză, celelalte două laturi se numesc catete (Fig. 82).

Întrebarea 17. Formulați un test pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare de-a lungul ipotenuzei și catetei.

Răspuns: Dacă ipotenuza și catetul unui triunghi dreptunghic sunt, respectiv, egale cu ipotenuza și catetul altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Întrebarea 18. Demonstrați că, din orice punct care nu se află pe o dreaptă dată, puteți lăsa o perpendiculară pe această dreaptă și numai una.

Răspuns: Teorema 4.6. Din orice punct care nu se află pe o anumită linie, puteți arunca o perpendiculară pe această linie și numai una.
Dovada. Fie a o dreaptă dată și A un punct care nu se află pe ea (Fig. 85). Să tragem o dreaptă perpendiculară printr-un punct al dreptei a. Acum să desenăm o dreaptă b paralelă cu ea prin punctul A. Va fi perpendiculară pe dreapta a, deoarece linia a, fiind perpendiculară pe una dintre drepte paralele, este și ea perpendiculară pe cealaltă. Segmentul AB al dreptei b este perpendiculara trasată de la punctul A la dreapta a.
Să demonstrăm unicitatea perpendicularei AB. Să presupunem că există o altă AC perpendiculară. Atunci triunghiul ABC va avea două unghiuri drepte. Și acest lucru, după cum știm, este imposibil. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 19. Cum se numeste distanta de la un punct la o dreapta?
Răspuns: Lungimea unei perpendiculare trasate de la un punct dat la o linie dreaptă se numește distanța de la punct la linie dreaptă.

Întrebarea 20. Explicați care este distanța dintre liniile paralele.
Răspuns: Distanța dintre liniile paralele este distanța de la orice punct de pe o dreaptă la o altă linie.

Întrebări de testare pentru §5. Construcții geometrice.

Intrebarea 1. Ce este un cerc, centrul unui cerc, raza?
Răspuns: Un cerc este o figură care constă din toate punctele planului care sunt echidistante de un punct dat. Acest punct se numește centrul cercului. Distanța de la punctele unui cerc până la centrul său se numește rază. Raza se mai numește și orice segment care leagă un punct dintr-un cerc cu centrul său.

Intrebarea 2. Ce este o coardă a unui cerc? Care coardă se numește diametru?
Răspuns: Un segment care leagă două puncte dintr-un cerc se numește coardă. Coarda care trece prin centru se numește diametru.

Întrebarea 3. Ce cerc se numește cerc circumscris unui triunghi?
Răspuns: Un cerc se numește circumscris unui triunghi dacă trece prin toate vârfurile sale.

Întrebarea 4. Demonstrați că centrul unui cerc circumscris unui triunghi se află la intersecția bisectoarelor perpendiculare la laturile triunghiului.
Răspuns: Teorema 5.1. Centrul unui cerc circumscris unui triunghi este punctul de intersecție al perpendicularelor pe laturile triunghiului trasate prin mijlocul acestor laturi.
Dovada. Fie ABC triunghiul dat și O centrul cercului circumscris în jurul lui (Fig. 93). Triunghiul AOC este isoscel: laturile sale OA și OC sunt egale ca raze. OD mediană a acestui triunghi este și înălțimea acestuia. Prin urmare, centrul cercului se află pe o dreaptă perpendiculară pe latura AC și care trece prin punctul său de mijloc. În același mod, se demonstrează că centrul cercului se află perpendicular pe celelalte două laturi ale triunghiului. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 5. Care linie se numește tangentă la un cerc?
Răspuns: O dreaptă care trece printr-un punct dintr-un cerc perpendicular pe raza trasată la acest punct se numește tangentă. În acest caz, acest punct de pe cerc se numește punct de tangență.

Întrebarea 6. Ce înseamnă: cercurile se ating într-un punct dat?
Răspuns: Se spune că două cercuri având un punct comun se ating în acest punct dacă au o tangentă comună în acest punct (Fig. 97).

Întrebarea 7. Care contact al cercurilor se numește extern și care se numește intern?
Răspuns: Tangența cercurilor se numește internă dacă centrele cercurilor se află pe o parte a tangentei lor comune (Fig. 97, a). Tangenta cercurilor se numește externă dacă centrele cercurilor se află pe laturile opuse ale tangentei lor comune (Fig. 97, b).

Întrebarea 8. Ce cerc se numește înscris într-un triunghi?
Răspuns: Se spune că un cerc este înscris într-un triunghi dacă atinge toate laturile sale.

Întrebarea 9. Demonstrați că centrul unui cerc înscris într-un triunghi se află la intersecția bisectoarelor sale.
Răspuns: Teorema 5.2. Centrul unui cerc înscris într-un triunghi este punctul de intersecție al bisectoarelor acestuia.
Dovada. Fie ABC triunghiul dat, O centrul cercului înscris în el, D, E și F punctele de contact ale cercului cu laturile (Fig. 98). Triunghiuri dreptunghiulare AOD și AOE sunt egale în ipotenuză și catete. Au o ipotenuză comună AO, iar catetele OD și OE sunt egale ca raze. Din egalitatea triunghiurilor rezultă că unghiurile OAD și OAE sunt egale. Aceasta înseamnă că punctul O se află pe bisectoarea triunghiului desenat din vârful A. Se dovedește în același mod că punctul O se află pe celelalte două bisectoare ale triunghiului. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 10. Explicați cum să construiți un triunghi folosind trei laturi.
Răspuns: Problema 5.1. Construiți un triunghi cu laturile date a, b, c (Fig. 99, a).
Soluţie. Folosind o riglă, trageți o linie dreaptă arbitrară și marcați un punct arbitrar B pe ea (Fig. 99, b). Folosind o deschidere a compasului egală cu a, descriem un cerc cu centrul B și raza a. Fie C punctul de intersecție cu dreapta. Acum, cu o deschidere de busolă egală cu c, descriem un cerc din centrul B, iar cu o deschidere de busolă egală cu b, descriem un cerc din centrul C. Fie A punctul de intersecție al acestor cercuri. Să desenăm segmentele AB și AC. Triunghiul ABC are laturile egale cu a, b, c. Ceea ce trebuia explicat.

Întrebarea 11. Explicați cum să trasați un unghi egal cu un unghi dat dintr-o semi-linie dată într-un semiplan dat.
Răspuns: Problema 5.2. Scădeți dintr-o semi-linie dată într-un semiplan dat un unghi egal cu un unghi dat.
Soluţie. Să desenăm un cerc arbitrar cu centrul său la vârful A al unui unghi dat (Fig. 100,a). Fie B și C punctele de intersecție ale cercului cu laturile unghiului. Cu raza AB desenăm un cerc cu centrul în punctul O - punctul de plecare al acestei semi-linii (Fig. 100, b). Să notăm punctul de intersecție al acestui cerc cu această semi-dreaptă ca B 1 . Să descriem un cerc cu centrul B 1 și raza BC. Punctul C 1 de intersecție a cercurilor construite în semiplanul indicat se află pe partea unghiului dorit. Pentru a-l demonstra, este suficient să remarcăm că triunghiurile ABC și OB 1 C 1 sunt congruente ca triunghiuri cu laturile, respectiv, egale. Unghiurile A și O sunt unghiurile corespunzătoare acestor triunghiuri. Ceea ce trebuia explicat.

Întrebarea 12. Explicați cum să împărțiți acest unghi la jumătate.
Răspuns: Problema 5.3. Construiți bisectoarea unghiului dat.
Soluţie. Din vârful A unui unghi dat, ca de la centru, descriem un cerc de rază arbitrară (Fig. 101). Fie B și C punctele de intersecție cu laturile unghiului. Din punctele B și C descriem cercuri cu aceeași rază. Fie D punctul lor de intersecție, diferit de A. Desenați o jumătate de dreaptă AD. Raza AD este bisectoare deoarece bisectează unghiul BAC. Aceasta rezultă din egalitatea triunghiurilor ABD și ACD, ale căror unghiuri DAB și DAC sunt corespondente. Ceea ce trebuia explicat.

Întrebarea 13. Explicați cum să împărțiți un segment de dreaptă în jumătate.
Răspuns: Problema 5.4.Împărțiți segmentul în jumătate.
Soluţie. Fie AB segmentul dat (Fig. 102). Din punctele A și B cu raza AB descriem cercuri. Fie C și C 1 punctele de intersecție ale acestor cercuri. Ele se află în semiplanuri diferite în raport cu linia dreaptă AB. Segmentul CC 1 intersectează linia AB într-un punct O. Acest punct este punctul de mijloc al segmentului AB. Într-adevăr, triunghiurile CAC 1 și CBC 1 sunt egale conform celui de-al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor. Aceasta înseamnă că unghiurile ACO și BCO sunt egale. Triunghiurile ACO și BCO sunt egale conform primului criteriu de egalitate a triunghiurilor. Laturile AO și BO ale acestor triunghiuri sunt corespunzătoare și, prin urmare, sunt egale. Astfel, O este punctul de mijloc al segmentului AB. Ceea ce trebuia explicat.

Întrebarea 14. Explicați cum să trasați o dreaptă perpendiculară pe o dreaptă dată printr-un punct dat.
Răspuns: Problema 5.5. Printr-un punct dat O trasează o dreaptă perpendiculară pe o dreaptă dată a.
Soluţie. Există două cazuri posibile:
1) punctul O se află pe linia a;
2) punctul O nu se află pe linia a.
Să luăm în considerare primul caz (Fig. 103).
Din punctul O desenăm un cerc de rază arbitrară. Intersectează linia a în două puncte: A și B. Din punctele A și B desenăm cercuri cu raza AB. Fie C punctul lor de intersecție. Linia necesară trece prin punctele O și C.
Perpendicularitatea dreptelor OC și AB rezultă din egalitatea unghiurilor la vârful O al triunghiurilor ACO și BCO. Aceste triunghiuri sunt răni conform celui de-al treilea semn al egalității triunghiurilor.
Să luăm în considerare al doilea caz (Fig. 104).
Din punctul O trasăm un cerc care intersectează linia a. Din punctele A și B desenăm cercuri cu aceeași rază. Fie O1 punctul de intersecție a acestora, situat într-un semiplan diferit de cel în care se află punctul O. Dreapta dorită trece prin punctele O și O1. Să demonstrăm.
Să notăm cu C punctul de intersecție al dreptelor AB și OO1. Triunghiurile AOB și AO1B sunt egale conform celui de-al treilea criteriu. Prin urmare, unghiul OAC este egal cu unghiul O1AC. Și atunci triunghiurile OAC și O1AC sunt egale conform primului criteriu. Aceasta înseamnă că unghiurile lor ACO și ACO1 sunt egale. Și din moment ce sunt adiacente, sunt drepte. Astfel, OC este o perpendiculară coborâtă de la punctul O la dreapta a. Ceea ce trebuia explicat.

Întrebarea 15. Care este locul punctelor echidistant de două puncte date?
Răspuns: Teorema 5.3. Locul punctelor echidistant de două puncte date este o dreaptă perpendiculară pe segmentul care leagă aceste puncte și care trece prin punctul său de mijloc.
Dovada. Fie A și B puncte date, a fi o dreaptă care trece prin punctul mijlociu O al segmentului AB perpendicular pe acesta (Fig. 105). Trebuie să dovedim că:
1) Fiecare punct al dreptei a este echidistant de punctele A și B;
2) Fiecare punct D al planului, echidistant de punctele A și B, se află pe dreapta a.
Faptul că fiecare punct C al dreptei a se află la aceeași distanță de punctele A și B rezultă din egalitatea triunghiurilor AOC și BOC. Aceste triunghiuri au unghiuri drepte la vârful O, latura OC este comună și AO = OB, deoarece O este punctul de mijloc al segmentului AB.
Să arătăm acum că fiecare punct D al planului, echidistant de punctele A și B, se află pe dreapta a. Luați în considerare triunghiul ADB. Este isoscel, deoarece AD=BD. În ea, DO este mediana. Conform proprietății unui triunghi isoscel, mediana trasată la bază este înălțimea. Aceasta înseamnă că punctul D se află pe linia a. Teorema a fost demonstrată.

Numiți tipul și faza diviziunii celulare prezentate în imagini. Ce procese ilustrează? La ce duc aceste procese?

Explicaţie.

1) Tipul si faza diviziunii: Meioza - profaza1.

2) Procese: încrucișare, schimb de regiuni omoloage ale cromozomilor. Schimb reciproc de secțiuni între cromozomi omologi (pereche).

3) Rezultat: noua combinatie alelele genelor, prin urmare, variabilitate combinativă

Notă:

la paragraful 2 a fost indicat procesul de „conjugare”, dar a fost eliminat din criterii, deoarece

Conjugarea cromozomilor este o reuniune temporară în perechi de cromozomi omologi, în timpul căreia poate avea loc un schimb de regiuni omoloage între ei (sau poate să nu aibă loc).

Explicație de la site-ul „utilizator” Evgeniy Sklyar- clarificări la punctul 2. De asemenea, vor fi considerate de către inspectori „ca corecte”

2) Procese: conjugarea (sinapsia) - apropierea si contactul cromozomilor omologi, crossing over - schimbul regiunilor omoloage ale cromozomilor.

3) Rezultat: o nouă combinație de alele genice, prin urmare, crescând eterogenitatea genetică a cromozomilor și, drept consecință, gameții (spori) rezultați.

Fără variabilitate combinativă, deoarece Se poate vorbi despre variabilitate doar judecând după o nouă generație de organisme.

Sinapsa- conjugarea cromozomilor, reunirea temporară în perechi a cromozomilor omologi, în timpul căreia se poate produce un schimb de regiuni omoloage între ei... (manual pentru clase de specialitate editat de Shumny)

Prin urmare, trecerea face parte din conjugare, cel puțin în termeni de timp.

Sursa: Examenul Unificat de Stat în Biologie 30.05.2013. Valul principal. Siberia. Opțiunea 4., Examen de stat unificat 2017

Oaspete 19.08.2015 17:20

Există o eroare în explicație. Figura prezintă procesul de încrucișare: 1. bivalent înainte de trecere, 2. bivalent după trecere.

NU EXISTĂ CONJUGAȚIE ÎN FIGURĂ.

Gulnara 01.06.2016 13:49

Crossing over este schimbul de secțiuni omoloage ale cromozomilor, de ce se scrie crossing over, schimbul de secțiuni de cromozomi omologi separat, separate prin virgule???

Natalia Evghenievna Bastannik

nu, acestea sunt trei procese diferite:

conjugare, încrucișare, schimb de regiuni cromozomiale omoloage

Svetlana Vasilieva 17.11.2016 02:56

Încrucișarea poate să apară fără conjugare???? Conjugarea (adunarea cromozomilor omologi) are loc întotdeauna, dar încrucișarea nu se întâmplă întotdeauna, doar în 30%! Încrucișarea este un contact de cromozomi omologi, după care are loc un schimb între secțiunile lor identice..... sau nu?

Natalia Evghenievna Bastannik

Care este esența întrebării?

Trecerea este cruce, schimb reciproc de secțiuni omoloage ale cromozomilor omologi ca urmare a ruperii și conexiunii într-o nouă ordine a firelor lor - cromatide; conduce la noi combinații de alele diferitelor gene.

De ce 30%??? Probabilitatea de încrucișare diferit, depinde de distanța dintre gene. 1% crossing over = 1M (Morganide).

Dacă a avut loc trecerea, aceasta nu înseamnă că va avea loc un schimb.

Secțiuni: Matematică

Obiective:

Educativ: rezumați cunoștințele pe tema studiată.

Dezvoltare: dezvoltarea capacității de a aplica materialul teoretic la rezolvarea problemelor; dezvolta gandire logica. Învață să gândești, să raționezi, să analizezi, să generalizezi.

Educațional: pentru a dezvolta abilitățile de a analiza și evalua propriile activități (stima de sine).

• Rezumă materialul studiat, stabilește motivația. Învățați elevii să construiască logic noua știință a GEOMETRIEI. Analizați structura formulării definiției și proprietăților figurilor (segmente și unghiuri prin analogie; semidreaptă și semiplan).
• Efectuați un sondaj oral de autoevaluare a elevilor.
• Efectuați munca independentă „Rezolvarea problemelor folosind desene gata făcute” (autoevaluare).
• Faceți o reflecție asupra rezultatelor obținute.
• Atribuiți teme în funcție de rezultatele lecției.

Echipament:

• Tablă interactivă, prezentare.
• Un triunghi tăiat din placaj.
• Funie cu noduri legate în secțiuni egale.
• Fișe pentru autoevaluarea activităților elevilor din lecție.

În timpul orelor

1. Moment de organizare, motivație pentru lecție, stabilirea scopurilor și obiectivelor (diapozitivul 1).

Planul lecției este raportat.

Așa că, băieți, continuăm să construim o nouă știință - GEOMETRIA. Acum vom repeta și generaliza cunoștințele pe care le aveți deja, vom face analogii acolo unde este posibil și vom continua să ne familiarizăm cu concepte noi. Și veți verifica singur modul în care aplicați cunoștințele dobândite atunci când rezolvați probleme. Veți învăța o mulțime de lucruri noi și interesante despre geometrie. La fiecare etapă a lecției te vei evalua. Introduceți rezultatele în tabel:

2. Repetiție (diapozitivele 2 -16).

1. Ce figuri și concepte geometrice sunt de bază (nedefinite)? Răspuns: Punct, linie, plan, distanță și set.
2. Câte linii pot fi trase prin perechi diferite de trei puncte care nu se află pe aceeași linie? Răspuns: Trei.
3. Câte linii pot fi trase prin diferite perechi de patru puncte, dintre care trei nu se află pe aceeași linie? Raspuns: 6.
4. Ce figură se numește rază (semi-linie) Răspuns: Dacă puneți un punct pe o dreaptă, aceasta va împărți linia în 2 raze începând din acest punct.
5. Ce figură se numește semiplan? Răspuns: Dacă trasezi o linie dreaptă pe un plan, aceasta va împărți planul în 2 semiplane (limita este o linie dreaptă trasată).
6. Ce figură se numește segment? Răspuns: Un segment este o parte a unei drepte mărginită de două puncte.
7. Cu ce ​​este egal un metru?Răspuns: O patruzeci de milione din meridianul parizian.
8. Care este lungimea unui segment? Răspuns: Lungimea unui segment este un număr pozitiv care arată de câte ori se încadrează un segment unitar și părțile sale într-un anumit segment.
9. Ce proprietăți îndeplinește lungimea unui segment Răspuns: Lungimea unui segment satisface următoarele proprietăți: Proprietatea 1. Lungimile segmentelor egale sunt egale. Proprietatea 2. Lungimea sumei segmentelor este egală cu suma lungimilor lor.
10. Ce figură se numește unghi? Răspuns: Un unghi este o parte a unui plan mărginită de două raze care emană dintr-un punct.
11. Ce arată valoarea gradului unui unghi? Răspuns: Valoarea gradului unui unghi arată de câte ori se încadrează un unghi de un grad și părțile sale în acest unghi.
12. Ce este: a) gradul; b) minut; c) secunda?Răspuns: a) O sută optzecea parte dintr-un unghi rotit; b) o şaizecime dintr-un grad; c) o şaizecime de minut.
13. Un unghi se numește drept dacă: Un unghi se numește acut dacă: Un unghi se numește obtuz dacă:
14. Ce proprietăți îndeplinește valoarea gradului unui unghi? Răspuns: Valoarea gradului unui unghi satisface următoarele proprietăți: Proprietatea 1. Valorile gradelor unghiurilor egale sunt egale. Proprietatea 2. Valoarea gradului a sumei unghiurilor este egală cu suma valorilor gradelor acestora.
15. Să repetăm ​​denumirea unui punct, a unei drepte, a unei raze, a unui unghi.

Elevii își acordă un punctaj pe o fișă pentru cunoștințele lor de teorie (autoevaluare).

3. Muncă independentă(diapozitivele 17-18).

Fiecare elev are pe birou o foaie de hârtie cu desene gata făcute pentru 10 probleme. Este necesar să scrieți pe scurt soluția problemelor pe tema „Unghiuri” (aplicarea proprietăților). Vezi Anexa 1. Toată lumea poate alege să rezolve oricare 5 probleme sau mai multe (în funcție de abilități și pregătire). Se alocă 8-10 minute pentru soluție. Apoi autotest. Există un slide cu răspunsuri pe tablă. Autoevaluare (listare pe o fișă de autocontrol).

Să ne odihnim (diapozitivul 19).

Privește cu atenție imaginea la sunetele muzicii lui Schnittke (30-40 de secunde). Din ce forme este facut? Da, majoritatea formelor sunt triunghiuri.

Învățarea de materiale noi.

Elevii, cunoscând în prealabil tema lecției, își exprimă dorințele despre ceea ce ar dori să învețe în lecția de astăzi.

Discuție asupra epigrafului, stabilirea obiectivelor pentru această etapă a lecției (diapozitivul 20).

Cea mai înaltă manifestare a spiritului este mintea.
Cea mai înaltă manifestare a rațiunii este geometria.
Celula de geometrie - triunghi.
El este la fel de inepuizabil ca universul.
DACĂ. Sharygin

Elevii arată triunghiuri în viața înconjurătoare. Ei încearcă să formuleze o definiție a unui triunghi. Căutarea și formularea științifică a definiției unui triunghi. Laturile și unghiurile triunghiului sunt afișate și etichetate. Se subliniază diferența în desemnarea unghiurilor și triunghiurilor. Un triunghi este un poligon cu trei laturi (sau trei unghiuri). Laturile unui triunghi sunt adesea indicate prin litere mici care corespund majusculelor reprezentând vârfurile opuse.

În orice triunghi:

1. Opus laturii mai mari se află unghiul mai mare și invers.

2. Unghiuri egale sunt opuse laturi egale și invers.

Sarcină: elevii au decis să pună o masă triunghiulară cu un picior în ceainăria lor. Unde ar trebui să fie baza piciorului? Un triunghi de placaj este în mâinile tale, iar prin încercare și eroare găsești cel mai stabil punct de aplicare al piciorului. Și dacă nu „din ochi”, ci științific? Care este numele și locația acestui punct? Sunt formulate definițiile medianei și centroidului.

Sunt luate în considerare tipurile de triunghiuri (pe unghiuri) și existența unui triunghi egal cu unul dat .

Figura prezintă triunghiul ABC și raza „a”.? Să mutăm triunghiul ABC astfel încât vârful său A să fie aliniat cu începutul razei „a”, vârful B să fie pe raza „a”, iar vârful C să fie într-un semiplan dat în raport cu raza „a” și continuarea acesteia. Vom desemna vârfurile triunghiului nostru în această nouă poziție ca A 1, B 1, C 1. Triunghiul A 1 B 1 C 1 este egal cu triunghiul ABC. Considerăm existența unui triunghi A 1 B 1 C 1 egal cu triunghiul ABC și situat în modul indicat față de o rază dată a ca fiind una dintre proprietățile de bază ale celor mai simple figuri.

Să formulăm această proprietate după cum urmează:

Oricare ar fi un triunghi, există un triunghi egal într-o locație dată în raport cu o semi-linie dată. Existența unui triunghi egal cu cel dat.

Două triunghiuri se numesc congruente dacă laturile lor corespunzătoare sunt egale și unghiurile corespunzătoare sunt egale. În acest caz, laturile corespunzătoare trebuie să se afle opuse unghiurilor corespunzătoare.
Considerăm existența unui triunghi egal cu acesta ca o axiomă. (S-ar părea că acest lucru este evident, dar nu poate fi dovedit!)

Amintiți-vă definiția perimetrului. Să rezolvăm problema.

Este necesar să îngrădiți un teren triunghiular. Se știe că există 47 de metri de gard. O parte a triunghiului este cu 7 metri mai mică decât cealaltă și de 2 ori mai mică decât a treia. Găsiți laturile triunghiului (secțiunea).

Discuție și rezolvare a problemei (desen, dat, găsi, rezolvare). Slide-urile 21-26.

Autoevaluarea acestei etape în fișa de autocontrol.

5. Teme pentru acasă(diapozitivul 27).

1. Studiați punctele 9 și 10. Repetați teoria pașilor 1-8.

2. Pagina 19 nr. 39, nr. 40

3. În plus (tipărit): a) Câte triunghiuri sunt prezentate în figură?

b) În câte părți împart planul poligoanele stea regulate prezentate în figură?

6. Acest lucru este interesant.

1. Elevilor li se arată două șipci, ale căror capete sunt prinse cu un cui. Acest design nu este rigid: prin deplasarea sau răspândirea capetelor, putem schimba unghiul dintre ele. Acum să luăm o altă șipcă și să-i fixăm capetele cu capetele libere ale primelor două șipci. Structura rezultată va fi deja rigidă. Este imposibil să se deplaseze sau să se depărteze oricare două laturi, adică nici un unghi nu poate fi schimbat. Proprietatea rigidității unui triunghi este utilizată pe scară largă în practică. Așadar, pentru a asigura stâlpul în poziție verticală, se pune un suport pe acesta. Același principiu este utilizat la instalarea suportului. (diapozitivele 28-30).

2. Pe 19 martie 2012, Turnul Şuhov de pe Shabolovka va împlini 90 de ani. Proprietatea rigidității triunghiului este utilizată pe scară largă în practică în construcția structurilor din fier. Linii de înaltă tensiune. Triunghiurile fac structurile fiabile. Triunghiuri în construcția podului (diapozitivele 31-33).

3. Din cele mai vechi timpuri, se cunoaște o metodă foarte simplă de construire a unghiurilor drepte pe sol.Această metodă a fost folosită cu mii de ani în urmă de către constructorii piramidelor egiptene. Trei elevi ies și trag triunghiul egiptean cu laturile 3, 4, 5 folosind o frânghie cu noduri legate la distanțe egale unul de celălalt (diapozitivele 34 - 35).

4. Slide-urile 36-43. Sunt prezentate diverse aplicații ale triunghiului în arhitectură, design, în determinarea locației epicentrului unui cutremur etc.

7. Reflecție. Rezumatul lecției.

Organizarea reflecției și feedback-ului, corectare rezultate intermediare. Crearea condițiilor pentru dezvoltarea capacității de a analiza rezultatele activităților proprii și de a stabili obiective fezabile.

1. Care este structura definirii unui concept nou?

2. Ce trebuie reținut și ce poate fi formulat prin analogie?

3. Crezi că scopul lecției a fost atins?

4. Ce nou ai învățat la lecție?

5. Ce ai vrea să repeți în lecțiile următoare?

6. Cum evaluezi munca ta la clasă? (preda fișe de autocontrol și autoevaluare).

Întocmirea unei „imagine” a activității din lecția: „Am învățat:”, „Am învățat:”, „Am putut:”, „Nu am reușit:”, analiza succesului acesteia: „Am fost capabil pentru că:”, „Nu a funcționat” pentru că:”, „Acasă și în lecția următoare trebuie să exersați:”

§ 1. PROPRIETĂȚI DE BAZĂ ALE FIGURILOR GEOMETRICE SIMPLE
1. FIGURI GEOMETRICE
Geometria este știința proprietăților figurilor geometrice. Cuvântul „geometrie” este greacă și tradus în rusă înseamnă „agrimensiune”. Acest nume este asociat cu utilizarea geometriei pentru măsurătorile pe sol.
Exemple de forme geometrice: triunghi, pătrat, cerc (Fig. 1).
Formele geometrice sunt foarte diverse. O parte a oricărei figuri geometrice este o figură geometrică. Unirea mai multor figuri geometrice este din nou o figură geometrică. În figura 2, figura din stânga este formată dintr-un triunghi și trei pătrate, iar figura din dreapta este formată dintr-un cerc și părți dintr-un cerc. Ne imaginăm că orice figură geometrică este compusă din puncte.
Geometria este utilizată pe scară largă în practică. Muncitorul, inginerul, arhitectul și artistul trebuie să știe asta. Într-un cuvânt, toată lumea ar trebui să cunoască geometria.
Geometria studiată în școală se numește euclidiană, numită după Euclid, care a creat un manual de matematică numit Elementele. Multă vreme, geometria a fost studiată folosind această carte.
Vom începe studiul nostru de geometrie cu planimetrie. Planimetria este o ramură a geometriei în care sunt studiate figurile de pe un plan.

2. PUNCT ŞI DREPT
Principalele figuri geometrice dintr-un plan sunt un punct și o dreaptă. Punctele sunt de obicei desemnate cu majuscule latine: A, B, C, D, .... Liniile directe sunt indicate cu litere latine mici
În figura 3 vedeți punctul A și linia dreaptă o.
Linia dreaptă este infinită. În figură, înfățișăm doar o parte a liniei, dar imaginați-vă că este extinsă la infinit în ambele direcții.
Uitați-vă la Figura 4. Vedeți linii drepte a, b și punctele A, B, C. Punctele A și C se află pe linia dreaptă o. De asemenea, putem spune că punctele A și C aparțin dreptei o sau că linia o trece prin punctele A și C.
Punctul B se află pe linia b. Nu se află pe o linie dreaptă. Punctul C se află atât pe dreapta o cât și pe dreapta b. Liniile o și b se intersectează în punctul C. Punctul C este punctul de intersecție al dreptelor a vs. b.
În figura 5 vedeți cum se trasează o linie dreaptă folosind o riglă, trecând prin două puncte date A și B.
Vom numi următoarele proprietăți principalele proprietăți de apartenență a punctelor și liniilor pe un plan:
I. Indiferent de linie, există puncte care aparțin acestei linii și puncte care nu îi aparțin.
Prin oricare două puncte poți trage o linie dreaptă și doar una.
O linie dreaptă poate fi notată cu două puncte aflate pe ea. De exemplu, linia dreaptă o din Figura 4 poate fi desemnată AC, iar linia dreaptă b poate fi desemnată BC.
Problema (3). Două drepte pot avea două puncte de intersecție? Explică-ți răspunsul.
Soluţie. Dacă două drepte ar avea două puncte de intersecție, atunci două drepte ar trece prin aceste puncte. Dar acest lucru este imposibil, deoarece doar o singură linie dreaptă poate fi trasă prin două puncte. Aceasta înseamnă că două drepte nu pot avea două puncte de intersecție.
3. TĂIERE
Priviți figura 6. Vedeți linia dreaptă O și trei puncte A, B, C pe această linie dreaptă. Punctul B se află între punctele A și C, separă punctele A și C. De asemenea, putem spune că punctele A și C se află pe părți opuse ale punctului B. Punctele B și C se află de aceeași parte a punctului A, nu sunt separate. de punctul A Punctele A și B se află pe aceeași parte a punctului C.
Un segment este o parte a unei linii care constă din toate punctele acestei linii situate între două puncte date. Aceste puncte se numesc capetele segmentului. Un segment este indicat prin indicarea capetelor sale. Când spun sau scriu: „segment AB”, ei înseamnă un segment cu capete în punctele A și B.
În figura 7 vedeți segmentul AB. Face parte din AB drept. Această parte a liniei drepte este evidențiată cu o linie groasă. Punctul X al dreptei se află între punctele A și B, deci aparține segmentului AB. Punctul Y nu se află între punctele A și B, deci nu aparține segmentului AB.
1 Numărul dintre paranteze indică numărul sarcinii din lista de Sarcini dată la sfârșitul paragrafului.
Vom numi proprietatea principală a locației punctelor pe o linie următoarea proprietate:
II. Dintre cele trei puncte de pe o linie, unul și doar unul se află între celelalte două.
4. MĂSURAREA LUNGIMILOR
Pentru măsurarea segmentelor sunt folosite diverse instrumente de măsură. Cel mai simplu astfel de instrument este o riglă cu diviziuni pe el. În figura 8, segmentul AB este egal cu 10 cm, segmentul AC este egal cu 6 cm și segmentul BC este egal cu 4 cm Lungimea segmentului AB este egală cu suma lungimilor segmentelor AC și BC.
Vom numi următoarele proprietăți principalele proprietăți ale segmentelor de măsurare:
III. Fiecare segment are o anumită lungime mai mare decât zero. Lungimea unui segment este egală cu suma lungimilor părților în care este împărțit la oricare dintre punctele sale.
Aceasta înseamnă că dacă luăm orice punct C de pe segmentul AB, atunci lungimea segmentului AB este egală cu suma lungimilor segmentelor AC și BC. Lungimea segmentului AB se mai numește și distanța dintre punctele A și. ÎN.
5. SEMI-PLANURI
Priviți figura 9. Linia a împarte planul în două semiplane. Această partiție are următoarea proprietate. Dacă capetele unui segment aparțin aceluiași semiplan, atunci segmentul nu intersectează dreapta. Dacă capetele unui segment aparțin unor semiplane diferite, atunci segmentul intersectează o dreaptă.
În figura 9, punctele de la A la B se află într-unul dintre semiplanurile în care linia dreaptă a împarte planul. Prin urmare, segmentul AB nu intersectează linia c. Punctele C și D se află în semiplanuri diferite. Prin urmare, segmentul CD intersectează linia o.
Vom numi proprietatea principală a locației punctelor în raport cu o dreaptă dintr-un plan următoarea proprietate:
IV. O linie dreaptă împarte un plan în două semiplane.
Problema (17). Având o linie dreaptă și trei puncte A, B, C și C situate pe această dreaptă. Se știe că segmentul AB intersectează o dreaptă, dar segmentul AC nu o intersectează. Se intersectează segmentul de linie BC? Explică-ți răspunsul.
Soluţie. Linia dreaptă împarte planul în două semiplane (Fig. 10). Punctul A aparține unuia dintre ei. Segmentul AC nu intersectează linia. Aceasta înseamnă că punctul C se află în același semiplan cu punctul A.
Segmentul AB intersectează o dreaptă. Aceasta înseamnă că punctul B se află într-un alt semiplan.
Astfel, punctele B și C se află în semiplanuri diferite. Aceasta înseamnă că segmentul BC intersectează linia noastră dreaptă.
6. SEMI-DREPTA
Problema (20). Având în vedere o dreaptă o și punctele A, X, Y, Z de pe această dreaptă (Fig. 11). Se știe că punctele X și Y se află de aceeași parte a punctului A, punctele X și Z se află și ele de aceeași parte a punctului A. Cum sunt situate punctele Y și Z față de punctul A: pe aceeași parte sau pe opus laturi? Explică-ți răspunsul.
Soluţie. Să trasăm prin punctul A o dreaptă b, diferită de a. Împarte avionul în două semiplane. Punctul X aparține unuia dintre ele. Punctele Y și Zy se află în același semiplan deoarece segmentele XY și XZ nu intersectează linia b. Deoarece punctele Y și Z se află în același semiplan, segmentul YZ nu intersectează linia b și, prin urmare, nu conține punctul A. Adică punctele Y și Z se află de aceeași parte a punctului A.
O semilinie sau rază este o parte a unei linii care constă din toate punctele acestei linii situate pe o parte a unui punct dat. Acest punct se numește punctul de pornire al semi-liniei. Semilinii diferite ale aceleiași drepte care au un punct de plecare comun sunt numite complementare.
Liniile semidreapte, ca și liniile drepte, sunt desemnate cu litere latine mici. Puteți desemna o semi-linie cu două puncte: punctul inițial și un alt punct aparținând semi-liniei. În acest caz, punctul de plecare este plasat pe primul loc. De exemplu, semilinia, care este evidențiată cu o linie groasă în Figura 12, poate fi desemnată AB.
Problema (22). Punctul C este luat pe segmentul AB. Printre semi-dreptele AB, AC, CA și CB, numiți perechi de semi-drepte coincidente și semi-drepte suplimentare. Explicați Răspuns.
Soluție (Fig. 13). Aceste semi-linii au fie punctul A, fie punctul C ca punct de plecare.
Să considerăm mai întâi semi-drepte cu un punct inițial A (semi-drepte AB și AC). Punctul C se află între punctele A și B, deoarece în funcție de condițiile problemei aparține segmentului
AB. Aceasta înseamnă că punctul A nu se află între punctele B și C, adică punctele B și C se află de aceeași parte a punctului A. Prin urmare, semidreptele AB și AC sunt coincidente.
Să considerăm acum semi-linii cu punctul inițial C (semi-linii CA și CB). Punctul C separă punctele A și B. Prin urmare, punctele A și B nu pot aparține aceleiași semi-linii, ceea ce înseamnă că semi-liniile CA și CB sunt suplimentare.
7. UNGHI
Un unghi este o figură care constă dintr-un punct - vârful unghiului - și două semi-linii diferite care emană din acest punct - laturile unghiului.
În figura 14 vedeți un unghi cu vârful O și laturile a, b. Un unghi se desemnează fie indicând vârful său, fie indicând laturile sale, fie indicând trei puncte: vârful și două puncte de pe laturile unghiului. Cuvântul „unghi” este uneori înlocuit cu semnul Z.. Unghiul din figura 14 poate fi desemnat în trei moduri: LO, Z-(ob), AAOB. În al treilea mod de a desemna un unghi, litera care indică vârful este plasată în mijloc.
Dacă laturile unui unghi sunt semilinii suplimentare ale unei drepte, atunci unghiul se numește dezvoltat. În Figura 15 vedeți un unghi dezvoltat cu vârful O și laturile OA și OB.
Vom spune că o rază trece între laturile unui unghi dat dacă provine de la vârful său și intersectează un segment cu capete pe laturile unghiului. În figura 16, raza c trece între laturile unghiului (ob), deoarece provine de la vârful unghiului (ab) și intersectează segmentul AB cu capetele pe laturile sale.
In cazul unui unghi drept, consideram ca intre laturile unghiului trece orice raza care emana din varful sau si diferita de laturile sale.
Unghiurile sunt măsurate în grade cu ajutorul unui raportor. În figura 17, unghiul (ab) este de 120°. Semilinia c trece între laturile unghiului (ab). Unghiul (ac) este de 90° și unghiul (be) este de 30°. Unghiul (ab) este egal cu suma unghiurilor (ac) și (bc).
Vom numi următoarele proprietăți principalele proprietăți ale unghiurilor de măsurare:
V. Fiecare unghi are o anumită măsură de grad mai mare decât zero. Unghiul de rotire este de 180°. Gradul de măsurare a unui unghi este egal cu suma gradelor de măsură ale unghiurilor în care este împărțit de orice rază care trece între laturile sale.
Aceasta înseamnă că, dacă o rază c trece între laturile unui unghi (ab), atunci unghiul (ab) este egal cu suma unghiurilor (ac) și (bc).
Problema (25). Poate trece o rază c între laturile unui unghi (ab) dacă Z(oc) = 30°, A(cb) = 80°, A(ab) = 50°? -f Rezolvare: Dacă raza c trece între laturile unghiului (aproximativ), atunci după proprietatea de a măsura unghiurile ar trebui să fie: A(ac)-- gL(bc)= A(ab).
Dar 30° + 80° = 50°.
Aceasta înseamnă că raza c nu poate trece între laturile unghiului (ab).
8. SEGMENTE ȘI COLTURI CU PLATĂ POSTALĂ
Figura 18 arată cum, folosind o riglă pe o semi-linie o cu punctul de plecare A, puteți trasa un segment de o lungime dată (3 cm).
Priviți figura 19. Semilinia o, extinsă dincolo de punctul de plecare A, împarte planul în două semiplane. Figura arată cum să folosiți un raportor pentru a reprezenta un unghi cu o măsură de grad dată (60°) de la o semilinie o până la semiplanul superior.
Vom numi următoarele proprietăți principalele proprietăți de aranjare a segmentelor și unghiurilor:
VI. Pe orice jumătate de linie de la punctul său de pornire, puteți reprezenta un segment de o lungime dată și numai unul.
VII. Din orice semi-linie, într-un semiplan dat, puteți pune un unghi cu o măsură dată de grad mai mică de 180° și doar unul.
Problema (30). Pe raza AB există un segment AC, mai mic decât segmentul AZ. Care dintre cele trei puncte A, B, C se află între celelalte două? Explică-ți răspunsul.
Soluție (Fig. 20). Deoarece punctele B vs. C se află pe aceeași semi-linie cu punctul inițial A, apoi nu sunt separate de punctul A, adică punctul A nu se află între punctele B și C.
Poate punctul B să se afle între punctele A și C? Dacă s-ar afla între punctele A și C, atunci ar fi
AB+BC=AC.
Dar acest lucru este imposibil, deoarece conform condiției segmentul AC este mai mic decât segmentul AB.
Aceasta înseamnă că punctul B nu se află între punctele A și C.
Dintre cele trei puncte A, B, C, unul se află între celelalte două. Prin urmare, punctul C se află între punctele A și B.
9. TRIANGUL
Un triunghi este o figură care constă din trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi. Punctele sunt numite vârfuri ale triunghiului, iar segmentele sunt numite laturi.
În figura 21 vedeți un triunghi cu vârfurile A, B, C și laturile AB, BC, AC. Un triunghi este desemnat prin indicarea vârfurilor sale. În locul cuvântului „triunghi”, se folosește uneori semnul D. De exemplu, triunghiul din figura 21 este desemnat după cum urmează: DAVS.
Unghiul triunghiului ABC la vârful A este unghiul format din jumătăți de drepte AB și AC. Se determină și unghiurile triunghiului la vârfurile B și C.
Se spune că două segmente sunt egale dacă au aceeasi lungime. Se spune că două unghiuri sunt egale dacă au aceeași măsură unghiulară în grade.
Triunghiurile se numesc congruente dacă laturile lor corespunzătoare sunt egale și unghiurile corespunzătoare sunt egale. În acest caz, unghiurile corespunzătoare trebuie să fie opuse laturilor corespunzătoare.
În desen, segmentele egale sunt de obicei marcate cu una, două sau trei linii și unghiuri egale - cu unul, două sau trei arce.
Pentru a indica egalitatea triunghiurilor se folosește
semnul egal regulat: =. Intrarea AABC = AABC se citește astfel: „Triunghiul ABC este egal cu triunghiul ABC. În acest caz contează ordinea în care sunt scrise vârfurile triunghiului. Egalitatea AABC = aABC înseamnă că AA - AA, AB = AVi... . Dar egalitatea AABC-AVAC înseamnă cu totul altceva: AA = ABi AB = AA, ... .
Problema (38). Triunghiurile ABC și PQR sunt congruente. Se știe că latura AB are 10 m și unghiul C este de 90°. Care sunt latura PQ și unghiul R? Explică-ți răspunsul.
Soluţie. Deoarece triunghiurile ABC și PQR sunt egale, atunci ele au AB = PQ, AC = AR. Deci PQ = 10 m, AR = 90°.
10. EXISTENŢA UNUI TRIANGUL EGAL CU ACEST
Să avem un triunghi ABC și raza a (Fig. 23, a). Să mutăm triunghiul ABC astfel încât vârful său A să fie aliniat cu începutul razei a, vârful B să fie pe raza o, iar vârful C să fie într-un semiplan dat în raport cu raza a și continuarea ei. Vom desemna vârfurile triunghiului nostru în această nouă poziție A, B, C (Fig. 23.6).
Triunghiul ABC (egal cu triunghiul ABC.
Considerăm existența triunghiului ABC, egal cu triunghiul ABC și situat în modul indicat față de o rază dată a, ca fiind una dintre proprietățile de bază ale celor mai simple figuri. Vom formula această proprietate după cum urmează:
VIII. Oricare ar fi un triunghi, există un triunghi egal într-o locație dată în raport cu o semi-linie dată.
11. LINII PARALELE
Două drepte se numesc paralele dacă nu se intersectează.
Figura 24 arată cum, folosind un pătrat și o riglă, se trasează printr-un punct dat B o dreaptă b, paralelă cu o dreaptă dată o.
Pentru a indica paralelismul dreptelor se folosește semnul ||. Intrarea a||b spune: „Linia o este paralelă cu linia b”.
Proprietatea principală a dreptelor paralele este următoarea:
IX. Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este posibil să se deseneze în plan cel mult o dreaptă paralelă cu cea dată.
Problema (41). Poate o linie dreaptă care intersectează una (din două drepte paralele) să nu o intersecteze pe cealaltă? -" Explicați răspunsul.
Soluţie. Lasă un vs. b sunt drepte paralele, iar linia c intersectează linia a în punctul A (Fig. 25). Dacă linia c nu ar intersecta linia b, atunci două drepte ar trece prin punctul A care nu intersectează linia b: linia a și linia c. Dar datorită proprietății liniilor paralele, acest lucru este imposibil. Aceasta înseamnă că dreapta c, care intersectează dreapta o, trebuie să intersecteze și dreapta b, paralelă cu aceasta.
12. TEOREME ȘI DEFACERI
Corectitudinea unei afirmații despre proprietatea unei anumite figuri geometrice se stabilește prin raționament. Acest raționament se numește dovadă. Iar afirmația în sine care este demonstrată se numește teoremă. Să dăm un exemplu.
Teorema 1.1. Dacă o dreaptă care nu trece prin niciunul dintre vârfurile unui triunghi intersectează una dintre laturile sale, atunci ea intersectează doar una dintre celelalte două laturi.
Dovada. Lasă dreapta a să nu treacă prin niciunul dintre vârfurile triunghiului ABC și să-și intersecteze latura AB (Fig. 26). Linia dreaptă o împarte planul în două semiplane. Punctele A și B se află în semiplane diferite, deoarece segmentul AB intersectează dreapta o. Punctul C se află într-unul dintre aceste semiplane.
Dacă punctul C se află în același semiplan cu punctul A, atunci segmentul AC nu intersectează linia o, ci segmentul BC intersectează această dreaptă (Fig. 26, a).
Dacă punctul C se află în același semiplan cu punctul B, atunci segmentul AC intersectează dreapta o, dar segmentul BC nu (Fig. 26, b).
În ambele cazuri, linia dreaptă o intersectează doar unul dintre segmentele AC sau BC. Asta e toată dovada.
Orez. 26
Formularea teoremei constă de obicei din două părți. O parte vorbește despre ceea ce este dat. Această parte se numește condiția teoremei. Cealaltă parte vorbește despre ceea ce trebuie dovedit. Această parte se numește concluzia teoremei.
Condiția teoremei 1.1 este aceea că; vine
prin niciun vârf al triunghiului și intersectează una dintre laturile sale. Concluzia teoremei este că această dreaptă intersectează doar una dintre celelalte două laturi ale triunghiului.
13. AXIOME
Afirmațiile conținute în formulările proprietăților de bază ale celor mai simple figuri nu sunt dovedite și se numesc axiome. Cuvântul axiomă provine din cuvântul grecesc axios și înseamnă o afirmație care este dincolo de orice îndoială.
La demonstrarea teoremelor, este permisă utilizarea proprietăților de bază ale celor mai simple figuri, adică axiome, precum și proprietăți care au fost deja dovedite, adică teoreme dovedite. Nu pot fi folosite alte proprietăți ale figurilor, chiar dacă ni se par evidente.
La demonstrarea teoremelor, este permisă folosirea unui desen ca înregistrare geometrică a ceea ce exprimăm în cuvinte. Nu este permisă folosirea în raționament a proprietăților unei figuri vizibile în desen dacă nu le putem justifica pe baza axiomelor și teoremelor demonstrate anterior.
În geometrie, împreună cu cuvinte precum axiomă și teoremă, este folosit și cuvântul „definiție”. A defini ceva înseamnă a explica ce este.
De exemplu, ei spun: „Dați definiția unui triunghi”. La aceasta ei răspund: „Un triunghi este o figură care constă din trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi.”
Un alt exemplu: „Definește linii paralele”. Răspundem: „Liniile se numesc paralele dacă nu se intersectează”. Cunoașteți deja definițiile egalității segmentelor, egalității unghiurilor și egalității triunghiurilor.

ÎNTREBĂRI DE CONTROL
1. Dați exemple de forme geometrice.
2. Numiți formele geometrice de bază pe un plan.
3. Cum sunt desemnate punctele și liniile?
4. Formulați proprietățile de bază ale apartenenței punctelor și liniilor.
5. Explicați ce este un segment cu capete în aceste puncte.
6. Formulați proprietatea principală a locației punctelor pe o dreaptă.
7. Formulați proprietățile de bază ale segmentelor de măsurare.
8. Care este distanța dintre două puncte date?
9. Ce proprietăți are împărțirea unui plan în două semiplane?
10. Formulați proprietatea principală a locației punctelor în raport cu o dreaptă pe un plan.
11. Ce este o semilinie sau o rază? Care semi-linii se numesc complementare?
12. Cum sunt desemnate jumătățile de linii?
13. Ce figură se numește unghi?
14. Cum este indicat unghiul?
15. Ce unghi se numește desfășurat?
16. Explicați ce înseamnă expresia: „O jumătate de dreaptă trece între laturile unui unghi”.
17. În ce unități se măsoară unghiurile și cu ce unealtă? Explicați cum se efectuează măsurarea.
18. Formulați proprietățile de bază ale unghiurilor de măsurare.
19. Formulați proprietățile de bază ale trasării segmentelor și unghiurilor.
20. Ce este un triunghi?
21. Care este unghiul unui triunghi la un vârf dat?
22. Care segmente se numesc egale?
23. Ce unghiuri se numesc egale?
24. Care triunghiuri se numesc egale?
25. Cum sunt marcate în figură laturile și unghiurile corespunzătoare ale triunghiurilor egale?
26. Folosind figura 23, explicați existența unui triunghi egal cu acesta.
27. Ce drepte se numesc paralele? Ce semn este folosit pentru a indica linii paralele?
28. Formulați proprietatea principală a dreptelor paralele.
29. Dați un exemplu de teoremă.
KOHETS FRAGMEHTA