В медицината, в здравеопазването много често се използват знаци, изразени с числа, които могат да приемат различни числови стойности за различни единици от населението, често повтарящи се за няколко единици. Във всеки даден набор и при дадени специфични условия този признак се характеризира с определена стойност (ниво), която се различава от стойността на този признак в друг набор, при наличие на други условия. Пулсът, кръвното налягане, телесната температура, продължителността на временната неработоспособност, продължителността на престоя в болницата се различават (различават) при пациентите дори с една и съща диагноза.

Стойността на изследваната черта може да приеме или дискретни (прекъснати), или непрекъснати числови стойности. Примери за дискретни стойности, в които стойностите се изразяват като цели числа: броят на децата в семейството, броя на пациентите в отделението, броя на легло-дни, броя на всички медицински изделия в заведението, пулс. Примери за непрекъснато променящи се стойности, когато стойностите са изразени като дробни стойности, могат постепенно да се превърнат една в друга: височина, телесно тегло, температура, кръвно налягане.

Стойностите, получени по време на изследването, първо се записват на случаен принцип, тоест в реда, в който изследователят ги получава. Серия, в която се сравняват опциите за подреждане (във възходящ или низходящ ред) и съответните им честоти, се нарича вариационен.Наричат ​​се отделни количествени изрази на даден признак настроики(V) и числата, показващи колко често се повтарят тези опции - честоти(R).

За обобщена числена характеристика на изследваната черта се изчисляват средните стойности за съвкупността от субекти, чието предимство се крие във факта, че една стойност характеризира голям агрегатхомогенни явления.

Има няколко вида средни: средна аритметична, средна геометрична, средна хармонична, прогресивна средна, средна хронологична. В допълнение към тези средни стойности, понякога специални средни стойности от относителен характер - мода и медиана - се използват като обобщаващи стойности на вариационния ред.

Модата (Mo) е най-често повтаряният вариант. Медиана (Me) - стойността на вариацията, която разделя вариационния ред наполовина; от двете му страни е равен бройопция.

Най-често използваното е средноаритметичното. Средноаритметичната стойност, която се изчислява във вариационна серия, където всяка опция се среща само веднъж (или всички опции се появяват с една и съща честота), се нарича проста средна аритметика.Определя се по формулата:

M - средноаритметично;

V-стойността на вариационния признак;

n е общият брой на наблюденията.

Ако една или повече опции се повтарят в изследваната серия, тогава се изчислява претеглената средна аритметична стойност. Това отчита тежестта на всяка опция и колкото по-голяма е честотата на тази опция, толкова по-голямо ще бъде влиянието й върху средната аритметична стойност. Изчисляването на такава средна стойност се извършва по формулата.

§ 6. Цифрови и буквени изрази. Формула

Събиране, изваждане, умножение, деление - аритметични операции (или аритметични операции). Тези аритметични операции съответстват на знаците на аритметичните операции:

+ (Прочети " плюс") - знакът на операцията за добавяне,

- (Прочети " минус") - знакът на операцията на изваждане,

∙ (Прочети " умножете") - знакът на операцията за умножение,

: (Прочети " разделям") е знакът на операцията на разделяне.

Извиква се запис, състоящ се от числа, свързани помежду си със знаци на аритметични операции числов израз.Скобите могат да присъстват и в числов израз. Например запис 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) е числов израз.

Резултатът от извършване на операции с числа в числов израз се извиква стойността на числов израз. Извършването на тези действия се нарича изчисляване на стойността на числов израз. Преди да напишете стойността на числов израз, поставете знак за равенство"=". Таблица 1 показва примери за числови изрази и техните значения.

маса 1

Запис, състоящ се от цифри и малки букви на латинската азбука, свързани помежду си чрез знаци на аритметични операции, се нарича буквален израз. Този запис може да съдържа скоби. Например вписването а +б - 3 ∙° Се буквален израз. Вместо букви в буквален израз, можете да замените различни числа. В този случай значението на буквите може да се промени, така че буквите в буквалния израз също се наричат променливи.

Замествайки числа вместо букви в буквалния израз и изчислявайки стойността на получения числов израз, те намират стойността на буквален израз, като се имат предвид стойностите на буквите(за дадените стойности на променливите). Таблица 2 показва примери за буквални изрази.

Литерален израз може да няма стойност, ако при заместване на стойностите на буквите се получи числов израз, чиято стойност за естествени числане може да бъде намерен. Такъв числов израз се нарича неправилноза естествени числа. Те също така казват, че значението на такъв израз " недефиниран"за естествени числа и самия израз "няма смисъл". Например буквалният израз а-бняма значение за a = 10 и b = 17. Всъщност за естествените числа минусът не може да бъде по-малък от изваждането. Например, като имате само 10 ябълки (a = 10), не можете да подарите 17 от тях (b = 17)! Таблица 2 (колона 2) показва пример за буквален израз. По аналогия попълнете напълно таблицата.

таблица 2


За естествени числа изразът 10 -17 грешно (няма смисъл), т.е. разликата 10 -17 не може да се изрази като естествено число. Друг пример: не можете да разделите на нула, така че за всяко естествено число b, частното b:0 неопределено.

Математическите закони, свойства, някои правила и съотношения често се записват в буквална форма (т.е. под формата на буквален израз). В тези случаи буквалният израз се нарича формула. Например, ако страните на седмоъгълник са равни а,б,° С,д,д,е,ж, след това формулата (буквалният израз) за изчисляване на нейния периметър стризглежда като:

p=а +b +c +d+e +f +ж

За a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметърът на седмоъгълника е p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

За a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметърът на друг седемоъгълник е p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Блок 6.1. Речник

Съставете речник на новите термини и дефиниции от § 6. За да направите това, в празни клеткипопълнете думите от списъка с термини по-долу. В таблицата (в края на блока) посочете номерата на термините в съответствие с номерата на кадрите. Препоръчително е преди да попълните клетките на речника, внимателно да прегледате отново § 6.

4. Резултатът от извършване на операции над числата в числово изражение.

  1. Стойността на числов израз, който е резултат от заместване на променливи в литерален израз.
  1. Числов израз, чиято стойност за естествени числа не може да бъде намерена.

10. Числов израз, чиято стойност за естествени числа може да се намери.

  1. Азбука, чиито малки букви се използват за писане на буквални изрази.

Списък с термини и дефиниции


Таблица с отговори

Блокиране6 .2. Съвпада

Свържете задачата в лявата колона с решението в дясната. Запишете отговора във формата: 1a, 2d, 3b ...

V Опция 1

V вариант 2


Блок 3. Фасетов тест. Цифрови и азбучни изрази

Фасетираните тестове заменят колекциите от задачи по математика, но се сравняват благоприятно с тях, тъй като могат да бъдат решени на компютър, да се проверят решенията и веднага да се разбере резултатът от работата. Този тест съдържа 70 задачи. Но можете да решавате проблеми по избор, за това има таблица за оценка, която показва прости задачии по-трудно. По-долу е даден тест.

  1. Даден е триъгълник със страни ° С,д,м,изразено в cm
  2. Даден е четириъгълник със страни б,° С,д,мизразено в m
  3. Скоростта на автомобила в км/ч е б,времето за пътуване в часове е д
  4. Разстояние, изминато от турист мчаса, е Скм
  5. Разстоянието, изминато от турист, движещ се със скорост мкм/ч е бкм
  6. Сборът от две числа е по-голям от второто с 15
  7. Разликата е по-малка от намалената със 7
  8. Пътническият лайнер има две палуби с еднакъв брой пътнически места. Във всеки от редовете на палубата мседалки, редове на палубата на нповече от седалки подред
  9. Петя е на m години Маша е на n години, а Катя е k години по-малка от Петя и Маша заедно
  10. m=8, n=10, k=5
  11. m=6, n=8, k=15
  12. t=121, x=1458

  1. Стойността на този израз
  2. Буквалният израз за периметъра е
  3. Периметърът се изразява в сантиметри
  4. Формула за изминатото разстояние s на автомобила
  5. Формула за скорост v, туристически движения
  6. Формула за време t, туристически движения
  7. Изминато разстояние с автомобил в километри
  8. Туристическа скорост в километри в час
  9. Време за пътуване в часове
  10. Първото число е...
  11. Извадено равно....
  12. Израз за повечетопътници, за които лайнерът може да превозва кполети
  13. Най-големият брой пътници, които един самолет може да превози кполети
  14. Буквен израз за възрастта на Катя
  15. Възрастта на Катя
  16. Координатата на точка B, ако координатата на точка C е т
  17. Координатата на точка D, ако координатата на точка C е т
  18. Координатата на точка А, ако координатата на точка С е т
  19. Дължината на отсечката BD на числовата права
  20. Дължината на отсечката CA на числовата права
  21. Дължината на отсечката DA на числовата права

Отговори (равно, има формата, недефиниран):

а) 1; б)s=б ∙д; в 9; г) 40; д)b +c +d+m; д) 7; ж) изразът няма смисъл (неправилно) за естествени числа; з) 2 ∙м (m +н) ∙k; и) (m +н)-k; й) 6; к) 15; m) 3760; м)t - 3; о) фигурата не може да бъде триъгълник; н) 22; R) t - 3 ∙ 7; в) 0; г) 32; y) 59600; е) 6019; х) 2880; в) 10378; з) 1440; w) не е възможно да се дели на нула; ш) 13; s) 1800; д) 496; й) 2; и) 12; аа) 14; бб) 5; в) 35; дд) 79200; нея) 1900 г.; lj) 118; zz) 18; ii) 12800; kk) 98; ll) 1458; мм) v=° С:m; nn) 100; oo) 19900; стр.)t =б:m; pp) 2520; ss)c +d+m; tt)х; yy) 1579; ff)t+2; xx) 10206; вв) 135; чч)t + 2 ∙ 7; шш) 7 ∙х; schw)х - 2; yy) 7 ∙х - 2 ∙ 7; ъъъ)t+x ∙ 7; yuyu) 10192; у а)t+х; ааа) 123; bbb) 1456; www) 10327.


ПОКАЗАТЕЛИ ЗА ТЕСТ.Брой задачи 70, време за изпълнение 2 - 3 часа, общо точки: 1 ∙ 22 + 2 ∙ 24 + 3 ∙ 24 = 142. За фасетовия тест може да се използва следната скала за оценка.

Образователна игра Dungeon Treasure

На игралното поле е илюстрация към книгата на Р. Киплинг "Маугли". На пет сандъка има катинарчета, на обратната им страна е посочен броят на точките, получени от отбора, ако успее да „отваря сандъка“. Това число е различно за всеки от сандъците: за дърво - 1 точка, за калай - 2, за мед - 3, за сребро - 4, за злато - 5. За да отворите сандъка, трябва да изпълните задачата "Бяла кобра" .

Задачата е обща за всички сандъци

Прочетете как са изразходвани парите на всеки от сандъците и направете буквален израз за тези пари. След това заменете стойностите на променливите и изчислете количеството пари, което първоначално е било в сандъка. Този номер трябва да бъде въведен в отговор на компютърната версия на играта. Заключени отговори!

Дървен сандък. Беше купен акниги на цена от 50 рубли, бкартини на цена от 250 рубли, дстолове на цена от 300 рубли. В сандъка са останали 250 рубли. Стойности на променлива: a = 40, b = 8, d = 20.

Тенекиен сандък. Закупен за ремонт на училище дкг боя на цена от 120 рубли, кторби цимент на цена от 200 рубли, млампи на цена от 280 рубли. В сандъка все още има останала сума пари, като в дървен сандък, но закръглена до най-близката хиляда. Стойности променливи: d = 12, k = 16, m = 25.

Меден сандък. От този сандък те взеха сумата на тенекиената ракла, закръглена до стотици. Ако му отчетете 5200 рубли, тогава с тези пари можете да купите ммаси по цена нрубли и 5 компютъра за цената Ррубли. Стойности на променлива: м = 10,n= 400 (рубли), p= 6000 (рубли).

Сребърен сандък. От сребърния сандък те взеха парична сума, равна на сумата в медния сандък, закръглена до най-близката хиляда. Тогава те отчетоха 12 000 рубли и купиха хмикроскопи по цена грубли и rхимически комплекти по цена zрубли . Стойности на променливи: x = 15, y = 8600 (rub), r = 16, z =1500 (rub).

Златен сандък. За парите на този сандък беше ремонтиран кабинетът по математика, който взе сума пари, равна на парите на сребърния сандък. Предвидено беше да се купят за фитнеса с останалите пари: постелки на цена r(рубли) , топки върху p(рубли), спортно облекло на цена z(рубли). Всеки от артикулите кнеща . Въпреки това цената на топката и формата се увеличи с мрубли. Затова трябваше да взема заем от 5200 рубли. Стойности на променливи: k = 20 , r = 3200, m = 200, p = 400, z = 1200.

iʞwɐε ɐн и mıqw doɔdʎʞ ǝɯiɓǝʚɐн wɐҺɐɓɐε ʞ ıqɯǝʚɯo qɯɐнεʎ ıqƍоɯҺ

Образователна игра "Уроците на Леополд"

На различни места на игралното поле мишките Fat Man и Genius устройват засади, те са номерирани на терена. Само пет засади. Задръжте курсора на мишката върху номера на засадата и вземете задачи. Въведете отговорите си в полетата на екрана. Ако отговорите са верни, значи засадата е намерена и мишките молят Леополд за прошка. В случай на грешка, играта трябва да се повтори.

Капан №1

Идентифицирайте всеки от незащрихованите удари и въведете отговора. Използвайте наклонени черти, за да пишете дроби. Например: 1/2, 1/3, 1/4 и т.н.

Капан №2

Преобразувайте в арабски цифри и решете:

  1. IX+III=?
  2. VI- IV=?
  3. II + X1 = ?
  4. X - V = ?

Капан №3

Решете веригата

Заменете стойностите на променливите във вашия отговор. При каква стойност на променливата a е литералният израз 4 ?

Капан №4

Решете веригата

4 става невалиден, ако всички променливи са естествени числа ?

Капан №5

Решете веригата

Заменете стойностите на променливите във вашия отговор. При каква стойност на променливата с литерален израз 4 става невалиден, ако всички променливи са естествени числа ?

Отговори на играта "Уроците на Леополд"

Капан 1: 1/2, 1/3, 2/3, 7/8.

Капан 2. 12, 2, 13 5.

Капан 3. 6

Капан 4. 15.

Числовите стойности на стойностите в текста трябва да бъдат посочени с необходимата степен на точност, докато в редица стойности е задължително да се подравнят броят на десетичните знаци. Недопустимо е да се дават следните серии от стойности: 10; двадесет; 16,7; 13.14. Този ред трябва да изглежда така: 10.00; 20.00 часа; 16,70; 13.14. Текстът на произведението не трябва да дава стойности, в които броят на значимите цифри е повече от три. Не трябва да въвеждате 86.7897. За използване в текста на произведението е по-добре стойността да се закръгли до 86.8. Още по-добре е стойностите да бъдат изразени като цели числа. Затова в икономическите изчисления по-често се използват проценти, изразени като цяло число, даващи достатъчна точност, а при описание на социално-икономическите процеси - промиле.

В текста на работата, числовите стойности на количествата с обозначение на единици физически величинии броещите единици трябва да бъдат записани с числа, а числото без обозначение на физически величини и бройните единици от едно до девет - с една дума. Например: „Документите се вземат пет пъти, докато общият размер на паричните документи трябва да бъде най-малко 9 рубли“, „Извадката се извършва 15 пъти“. Недопустимо е отделянето на единица физическа величина от числова стойност (прехвърлянето им на различни редове или страници), с изключение на единиците физически величини, поставени в таблици.

Ако текстът за характеризиране на индикатора съдържа диапазон от числови стойности, изразени в същите мерни единици, тогава измерванията на единицата се посочват след последната числова стойност на диапазона, например: „броят на надплащанията в сума от 100 до 500 рубли.

Ако текстът на произведението съдържа редица числови стойности, изразени в едни и същи мерни единици, тогава мерните единици се посочват само след последната числова стойност, например: "200, 300, 4000 рубли".

Конвенционалните букви, изображения или знаци трябва да отговарят на приетите в действащото законодателство или държавните стандарти.

Правила за прилагане на формули

Текстът на работата обикновено използва математически формули, които използват обозначението на параметрите. Преди обозначението на параметъра се дава обяснението му, например: „коефициент на корелация на двойки r“. Формулите трябва да бъдат последователно номерирани с арабски цифри, които се изписват на ниво формула вдясно в скоби. Една формула е обозначена - "(1)". Допуска се номерирането на формулите в рамките на главата на дипломната работа или на въпроса. срочна писмена работа. В този случай номерът на формулата се състои от номера на главата или въпроса и номера на формулата, разделени с точка, например: "(3.1)". Позоваванията в текста на поредните номера на формулите са дадени в скоби, например "... във формула (1)".

Дешифрирането на символите, включени във формулата, трябва да се даде директно под формулата. Стойностите на всеки знак са дадени на нов ред в реда, в който са дадени във формулата. Първият ред на дешифрирането трябва да започва с думата "къде" без двоеточие след нея, например:

където r е коефициентът на корелация на двойката;

X Y- средната стойност на произведението на фактора по показателя;

* - средна стойност на индикатора;

U -средна стойност на фактора;

<т, - среднеквадратическое отклонение показателя; - среднеквадратическое отклонение фактора.

Разрешено е прехвърлянето на формулата на следващия ред само върху знаците на извършените операции. В този случай приложеният знак в началото на следващия ред се повтаря. При прехвърляне на формулата върху знака за умножение се използва знакът "x". Редът на представяне в текста на работата на математическите уравнения е същият като формулите.


Записването на условията на задачите с помощта на нотацията, приета в математиката, води до появата на така наречените математически изрази, които просто се наричат ​​изрази. В тази статия ще говорим подробно за числови, буквални и променливи изрази: ще дадем дефиниции и ще дадем примери за изрази от всеки тип.

Навигация в страницата.

Числови изрази - какво е това?

Запознаването с числови изрази започва почти от първите уроци по математика. Но името си - числови изрази - те официално придобиват малко по-късно. Например, ако следвате курса на M. I. Moro, тогава това се случва на страниците на учебник по математика за 2 клас. Там представянето на числовите изрази е дадено, както следва: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 и т.н. - това е всичко числови изрази, и ако извършим посочените действия в израза, тогава ще намерим стойност на израза.

Може да се заключи, че на този етап от изучаването на математиката числови изрази се наричат ​​записи, които имат математически смисъл, съставени от числа, скоби и знаци за събиране и изваждане.

Малко по-късно, след запознаване с умножението и деленето, записите на числови изрази започват да съдържат знаците "·" и ":". Ето няколко примера: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 и т.н.

А в гимназията разнообразието от записи за числови изрази нараства като снежна топка, търкаляща се по планина. В тях се появяват обикновени и десетични дроби, смесени числа и отрицателни числа, степени, корени, логаритми, синуси, косинуси и т.н.

Нека обобщим цялата информация в дефиницията на числов израз:

Определение.

Числово изразяванее комбинация от числа, знаци на аритметични операции, дробни черти, коренни знаци (радикали), логаритми, запис на тригонометрични, обратни тригонометрични и други функции, както и скоби и други специални математически символи, съставени в съответствие с правилата, приети в математика.

Нека обясним всички съставни части на изречената дефиниция.

Абсолютно всякакви числа могат да участват в числови изрази: от естествени до реални и дори сложни. Тоест в числови изрази може да се срещне

Със знаците на аритметичните операции всичко е ясно - това са знаците за събиране, изваждане, умножение и деление, съответно, имащи формата "+", "−", "·" и ":". В числови изрази може да присъства един от тези знаци, някои от тях или всички наведнъж и повече от веднъж. Ето примери за числови изрази с тях: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12−1/12.

Относно скоби, тогава има както числови изрази, в които има скоби, така и изрази без тях. Ако има скоби в числов израз, тогава те са основно

И понякога скоби в числови изрази имат някаква специфична, отделно посочена специална цел. Например, можете да намерите квадратни скоби, обозначаващи цялата част на числото, така че числовият израз +2 означава, че числото 2 се добавя към цялата част на числото 1,75.

От дефиницията на числов израз също става ясно, че изразът може да съдържа , , log , ln , lg , обозначения или т.н. Ето примери за числови изрази с тях: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 и .

Делението в числови изрази може да се обозначи с . В този случай има числови изрази с дроби. Ето примери за такива изрази: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 и .

Като специални математически символи и обозначения, които могат да се намерят в числови изрази, ние даваме. Например, нека покажем числов израз с модул .

Какво представляват буквалните изрази?

Понятието за буквални изрази се дава почти веднага след запознаване с числови изрази. Вписва се така. В определен числов израз едно от числата не се записва, а на негово място се поставя кръг (или квадрат, или нещо подобно) и се казва, че кръгът може да бъде заменен с определено число. Нека вземем записа като пример. Ако поставите например числото 2 вместо квадрат, тогава ще получите числов израз 3 + 2. Така че вместо кръгове, квадратчета и т.н. се съгласиха да пишат писма и такива изрази с букви бяха наречени буквални изрази. Нека се върнем към нашия пример, ако в този запис вместо квадрат поставим буквата a, тогава получаваме буквален израз от формата 3+a.

Така че, ако допуснем наличието на букви в числов израз, които означават някои числа, тогава получаваме така наречения буквален израз. Нека дадем подходяща дефиниция.

Определение.

Израз, съдържащ букви, които означават някои числа, се нарича буквален израз.

От тази дефиниция става ясно, че по същество буквалният израз се различава от числов израз по това, че може да съдържа букви. Обикновено в буквалните изрази се използват малки букви от латинската азбука (a, b, c, ...), а когато се обозначават ъгли, малки букви от гръцката азбука (α, β, γ, ...).

И така, буквалните изрази могат да бъдат съставени от числа, букви и да съдържат всички математически символи, които могат да бъдат намерени в числови изрази, като скоби, коренни знаци, логаритми, тригонометрични и други функции и т.н. Отделно подчертаваме, че буквалният израз съдържа поне една буква. Но може да съдържа и няколко еднакви или различни букви.

Сега даваме няколко примера за буквални изрази. Например a+b е буквален израз с буквите a и b. Ето още един пример за буквалния израз 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. И ние даваме пример за буквален израз на сложна форма: .

Изрази с променливи

Ако в буквален израз буква означава стойност, която не приема нито една конкретна стойност, но може да приема различни стойности, тогава тази буква се нарича променливаи изразът се нарича променлив израз.

Определение.

Израз с променливие буквален израз, в който буквите (всички или някои) означават количества, които приемат различни стойности.

Например, нека в израза x 2 −1 буквата x може да приеме всякакви естествени стойности от интервала от 0 до 10, тогава x е променлива, а изразът x 2 −1 е израз с променливата x .

Струва си да се отбележи, че в един израз може да има няколко променливи. Например, ако разглеждаме x и y като променливи, тогава изразът е израз с две променливи x и y.

По принцип преходът от концепцията за буквален израз към израз с променливи се случва в 7-ми клас, когато започват да изучават алгебра. До този момент буквалните изрази са моделирали някои специфични задачи. В алгебрата те започват да разглеждат израза по-общо, без позоваване на конкретна задача, с разбирането, че този израз отговаря на огромен брой задачи.

В заключение на този параграф, нека обърнем внимание на още един момент: по появата на буквален израз е невъзможно да се разбере дали буквите, включени в него, са променливи или не. Следователно нищо не ни пречи да разглеждаме тези букви като променливи. В този случай разликата между термините "буквен израз" и "израз с променливи" изчезва.

Библиография.

  • математика. 2 клетки Proc. за общо образование институции с прил. към електрон. носител. В 2 часа, част 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Белтюкова и др.] - 3-то изд. - М.: Образование, 2012. - 96 с.: ил. - (Руско училище). - ISBN 978-5-09-028297-0.
  • математика: проучвания. за 5 клетки. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-во изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
  • алгебра:учебник за 7 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М. : Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.