“Сфера на политиката” - Отношенията на социалните актьори относно държавната власт. Научно-теоретичен. Процесът на взаимодействие между политика и икономика. Заедно с държавата. Регулирането на обществените отношения е обусловено от обществените интереси. Процесът на взаимодействие между политика и морал. Силата на държавата, убеждаване, стимулиране.

„Геометрия на призмата“ – дадена е правилна четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1. Евклид вероятно го е смятал за въпрос на практически ръководствав геометрията. Правата призма е призма, чийто страничен ръб е перпендикулярен на основата. Призма в геометрията. Според свойството на 2 тома, V=V1+V2, тоест V=SABD h+SBDC h=(SABD+SBDC) h. Така че триъгълниците A1B1C1 и ABC са равни по три страни.

„Обем на призма“ - Как да намерим обема на права призма? Обемът на оригиналната призма е равен на произведението S · h. Основни стъпки при доказване на теоремата за пряката призма? Площ S на основата на оригиналната призма. Задържане на височина триъгълник ABC. Задача. Права призма. Цели на урока. Концепцията за призма. Обем на права призма. Решението на проблема. Призмата може да бъде разделена на прави триъгълни призми с височина h.

„Сферична повърхност“ - Марс. Топката топка ли е? Топка и сфера. Земята. Енциклопедия. Ние подкрепяме нашия училищен отбор по бейзбол. Венера. Уран. Има ли топка на снимката? Малко история. атмосфера. Реших да похарча малко проучване……. Сатурн. Готови ли сте да отговорите на въпросите?

Темата „Различни задачи върху многостени, цилиндър, конус и топка” е една от най-трудните в курса по геометрия за 11. клас. Преди да решават геометрични задачи, те обикновено изучават съответните раздели от теорията, които се използват при решаването на задачи. В учебника на С. Атанасян и др. по тази тема (стр. 138) могат да се намерят дефиниции само на многостен, описан около сфера, многостен, вписан в сфера, сфера, вписана в многостен, и сфера, описана около сфера. полиедър. IN методически препоръкитози учебник (вж. книгата „Изучаване на геометрия в 10–11 клас“ от С. М. Саакян и В. Ф. Бутузов, стр. 159) казва какви комбинации от тела се разглеждат при решаването на задачи № 629–646 и обръща внимание на факта, че „ при решаването на конкретен проблем, на първо място, е необходимо да се гарантира, че учениците добре разбират относителните позиции на телата, посочени в условието. Следва решението на задачи № 638(а) и № 640.

Като се има предвид всичко казано по-горе и фактът, че най-трудните проблеми за учениците са съчетаването на топка с други тела, е необходимо да се систематизират съответните теоретични принципи и да се предадат на учениците.

Дефиниции.

1. Топката се нарича вписана в многостен, а многостенът описан около топка, ако повърхността на топката докосва всички страни на многостена.

2. Топка се нарича описана около многостен, а многостен - вписан в топка, ако повърхността на топката минава през всички върхове на многостена.

3. За топка се казва, че е вписана в цилиндър, пресечен конус (конус), а за цилиндър, пресечен конус (конус) се казва, че е вписан около топката, ако повърхността на топката докосва основите (основата) и всички образуващите на цилиндъра, пресечен конус (конус).

(От това определение следва, че големият кръг на топка може да бъде вписан във всяко осово сечение на тези тела).

4. За топка се казва, че е описана около цилиндър, пресечен конус (конус), ако окръжностите на основите (основен кръг и връх) принадлежат на повърхността на топката.

(От това определение следва, че около всяко аксиално сечение на тези тела може да се опише окръжността на по-голяма окръжност на топката).

Общи бележки за позицията на центъра на топката.

1. Центърът на топка, вписана в полиедър, лежи в точката на пресичане на ъглополовящите равнини на всички двустенни ъгли на многостена. Той се намира само вътре в полиедъра.

2. Центърът на топка, описана около полиедър, лежи в пресечната точка на равнини, перпендикулярни на всички ръбове на многостена и минаващи през техните среди. Може да се намира вътре, на повърхността или извън полиедъра.

Комбинация от сфера и призма.

1. Топка, вписана в права призма.

Теорема 1. Сфера може да бъде вписана в права призма тогава и само ако в основата на призмата може да се впише окръжност и височината на призмата е равна на диаметъра на тази окръжност.

Следствие 1.Центърът на сфера, вписана в права призма, лежи в средата на височината на призмата, минаваща през центъра на окръжността, вписана в основата.

Следствие 2.В частност една топка може да бъде вписана в прави линии: триъгълни, правилни, четириъгълни (в които сумите на противоположните страни на основата са равни една на друга) при условие H = 2r, където H е височината на призма, r е радиусът на окръжността, вписана в основата.

2. Сфера, описана около призма.

Теорема 2. Сфера може да бъде описана около призма тогава и само ако призмата е права и около нейната основа може да бъде описана окръжност.

Следствие 1. Центърът на сфера, описана около права призма, лежи в средата на височината на призмата, прекарана през центъра на окръжност, описана около основата.

Следствие 2.Топка, по-специално, може да бъде описана: близо до правилна триъгълна призма, близо до правилна призма, близо до правоъгълен паралелепипед, близо до правилна четириъгълна призма, в която сумата от противоположните ъгли на основата е равна на 180 градуса.

От учебника на Л.С.Атанасян могат да се предложат задачи № 632, 633, 634, 637(а), 639(а,б) за съчетанието на топка и призма.

Комбинация от топка с пирамида.

1. Топка, описана близо до пирамида.

Теорема 3. Топка може да се опише около пирамида тогава и само ако около нейната основа може да се опише кръг.

Следствие 1.Центърът на сфера, описана около пирамида, лежи в точката на пресичане на права линия, перпендикулярна на основата на пирамидата, минаваща през центъра на окръжност, описана около тази основа, и равнина, перпендикулярна на всеки страничен ръб, прекаран през средата на този ръб.

Следствие 2.Ако страничните ръбове на пирамидата са равни един на друг (или еднакво наклонени към равнината на основата), тогава около такава пирамида може да се опише топка.Центърът на тази топка в този случай лежи в точката на пресичане на височината на пирамидата (или нейното продължение) с оста на симетрия на страничния ръб, лежащ в равнината, страничен ръб и височина.

Следствие 3.Една топка, по-специално, може да бъде описана: близо до триъгълна пирамида, близо до правилна пирамида, близо до четириъгълна пирамида, в която сборът на противоположните ъгли е 180 градуса.

2. Топка, вписана в пирамида.

Теорема 4. Ако страничните стени на пирамидата са еднакво наклонени към основата, тогава в такава пирамида може да се впише топка.

Следствие 1.Центърът на топка, вписана в пирамида, чиито странични стени са еднакво наклонени към основата, лежи в точката на пресичане на височината на пирамидата с ъглополовящата на линейния ъгъл на всеки двустенен ъгъл в основата на пирамидата, страната от които е височината на страничната повърхност, изтеглена от върха на пирамидата.

Следствие 2.Можете да поставите топка в правилна пирамида.

От учебника на Л.С.Атанасян могат да се предложат задачи № 635, 637(б), 638, 639(в), 640, 641 за комбинацията топка с пирамида.

Комбинация от топка с пресечена пирамида.

1. Топка, описана около правилна пресечена пирамида.

Теорема 5. Около всяка правилна пресечена пирамида може да се опише сфера. (Това условие е достатъчно, но не е необходимо)

2. Топка, вписана в правилна пресечена пирамида.

Теорема 6. Топка може да бъде вписана в правилна пресечена пирамида тогава и само ако апотемата на пирамидата е равна на сбора от апотемите на основите.

Има само една задача за комбинацията топка с пресечена пирамида в учебника на Л. С. Атанасян (№ 636).

Комбинация от топка с кръгли тела.

Теорема 7. Сфера може да бъде описана около цилиндър, пресечен конус (прав кръг) или конус.

Теорема 8. Топка може да бъде вписана в (прав кръгов) цилиндър тогава и само ако цилиндърът е равностранен.

Теорема 9. Можете да поставите топка във всеки конус (прав кръг).

Теорема 10. Топка може да бъде вписана в пресечен конус (права окръжност) тогава и само ако нейният генератор е равен на сбора от радиусите на основите.

От учебника на Л.С.Атанасян могат да се предложат задачи № 642, 643, 644, 645, 646 за съчетанието на топка с кръгли тела.

За по-успешно изучаване на материала по тази тема е необходимо да се включат устни задачи в уроците:

1. Ръбът на куба е равен на a. Намерете радиусите на топките: вписани в куба и описани около него. (r = a/2, R = a3).

2. Може ли да се опише сфера (топка) около: а) куб; б) правоъгълен паралелепипед; в) наклонен паралелепипед с правоъгълник в основата си; г) прав паралелепипед; д) наклонен паралелепипед? (а) да; б) да; в) не; г) не; г) не)

3. Вярно ли е, че около всяка триъгълна пирамида може да се опише сфера? (да)

4. Възможно ли е да се опише сфера около всяка четириъгълна пирамида? (Не, не близо до четириъгълна пирамида)

5. Какви свойства трябва да има една пирамида, за да се опише сфера около нея? (В основата му трябва да има многоъгълник, около който може да се опише кръг)

6. Пирамида е вписана в сфера, чийто страничен ръб е перпендикулярен на основата. Как да намерим центъра на сфера? (Центърът на сферата е пресечната точка на две геометрични точки на точки в пространството. Първият е перпендикуляр, прекаран към равнината на основата на пирамидата, през центъра на окръжност, описана около нея. Вторият е равнина перпендикулярен на даден страничен ръб и прекаран през средата му)

7. При какви условия може да се опише сфера около призма, в основата на която е трапец? (Първо, призмата трябва да е права, и второ, трапецът трябва да е равнобедрен, за да може да се опише окръжност около него)

8. На какви условия трябва да отговаря призмата, за да бъде описана сфера около нея? (Призмата трябва да е права, а основата й да е многоъгълник, около който може да се опише окръжност)

9. Около триъгълна призма е описана сфера, чийто център е извън призмата. Кой триъгълник е основата на призмата? (Тъп триъгълник)

10. Възможно ли е да се опише сфера около наклонена призма? (Не, не можеш)

11. При какво условие центърът на сфера, описана около права триъгълна призма, ще бъде разположен върху една от страничните стени на призмата? (Основата е правоъгълен триъгълник)

12. Основата на пирамидата е равнобедрен трапец.Ортогоналната проекция на върха на пирамидата върху равнината на основата е точка, разположена извън трапеца. Възможно ли е да се опише сфера около такъв трапец? (Да, можете. Фактът, че ортогоналната проекция на върха на пирамидата се намира извън нейната основа, няма значение. Важното е, че в основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец- многоъгълник, около който може да се опише кръг)

13. В близост до правилна пирамида е описана сфера. Как е разположен центърът й спрямо елементите на пирамидата? (Центърът на сферата е върху перпендикуляр, прекаран към равнината на основата през нейния център)

14. При какво условие центърът на сфера, описана около права триъгълна призма, лежи: а) вътре в призмата; б) извън призмата? (В основата на призмата: а) остроъгълен триъгълник; б) тъп триъгълник)

15. Около правоъгълен паралелепипед с ръбове 1 dm, 2 dm и 2 dm е описана сфера. Изчислете радиуса на сферата. (1,5 dm)

16. В какъв пресечен конус може да се побере сфера? (В пресечен конус, в чието аксиално сечение може да се впише окръжност. Аксиалното сечение на конуса е равнобедрен трапец, сборът от неговите основи трябва да бъде равен на сбора от неговите странични страни. С други думи, сборът от радиусите на основите на конуса трябва да бъде равен на генератора)

17. В пресечен конус е вписана сфера. Под какъв ъгъл се вижда образуващата на конуса от центъра на сферата? (90 градуса)

18. Какво свойство трябва да притежава правата призма, за да може в нея да бъде вписана сфера? (Първо, в основата на права призма трябва да има многоъгълник, в който може да бъде вписан кръг, и второ, височината на призмата трябва да е равна на диаметъра на кръга, вписан в основата)

19. Дайте пример за пирамида, която не може да се побере в сфера? (Например, четириъгълна пирамида с правоъгълник или успоредник в основата си)

20. В основата на права призма има ромб. Възможно ли е да се постави сфера в тази призма? (Не, невъзможно е, тъй като по принцип е невъзможно да се опише кръг около ромб)

21. При какво условие може да се впише сфера в права триъгълна призма? (Ако височината на призмата е два пъти радиуса на окръжността, вписана в основата)

22. При какво условие може да се впише сфера в правилна четириъгълна пресечена пирамида? (Ако напречното сечение на дадена пирамида е равнина, минаваща през средата на страната на основата, перпендикулярна на нея, тя е равнобедрен трапец, в който може да се впише окръжност)

23. В триъгълна пресечена пирамида е вписана сфера. Коя точка от пирамидата е центърът на сферата? (Центърът на сферата, вписана в тази пирамида, е в пресечната точка на три бисектрални равнини на ъгли, образувани от страничните стени на пирамидата с основата)

24. Възможно ли е да се опише сфера около цилиндър (десен кръг)? (Да, можеш)

25. Възможно ли е да се опише сфера около конус, пресечен конус (прав кръг)? (Да, можете и в двата случая)

26. Може ли сфера да бъде вписана във всеки цилиндър? Какви свойства трябва да има един цилиндър, за да може да се постави сфера в него? (Не, не всеки път: аксиалното сечение на цилиндъра трябва да е квадратно)

27. Може ли сфера да бъде вписана във всеки конус? Как да определим позицията на центъра на сфера, вписана в конус? (Да, абсолютно. Центърът на вписаната сфера е в пресечната точка на височината на конуса и ъглополовящата на ъгъла на наклона на образуващата спрямо равнината на основата)

Авторът смята, че от трите урока за планиране по темата „Различни задачи върху полиедри, цилиндър, конус и топка“ е препоръчително да се посветят два урока на решаване на задачи за комбиниране на топка с други тела. Не се препоръчва да се доказват теоремите, дадени по-горе, поради недостатъчно време в клас. Можете да поканите студенти, които имат достатъчно умения за това, да ги докажат, като посочите (по преценка на учителя) хода или плана на доказването.

Полиедри, описани около сфера Многостен се нарича описан около сфера, ако равнините на всичките му лица докосват сферата. За самата сфера се казва, че е вписана в полиедъра. Теорема. Сфера може да бъде вписана в призма тогава и само ако в нейната основа може да бъде вписана окръжност и височината на призмата е равна на диаметъра на тази окръжност. Теорема. Можете да поставите сфера във всяка триъгълна пирамида и само в една.






Упражнение 1 Изтрийте квадрата и начертайте два успоредника, представляващи горната и долната страна на куба. Свържете върховете им с отсечки. Получете изображение на сфера, вписана в куб. Начертайте сфера, вписана в куб, както на предишния слайд. За да направите това, начертайте елипса, вписана в успоредник, получен чрез компресиране на кръг и квадрат 4 пъти. Маркирайте полюсите на сферата и допирателните точки на елипсата и успоредника.
























Упражнение 1 Сфера е вписана в права четириъгълна призма, в основата на който е ромб със страна 1 и остър ъгъл 60 o. Намерете радиуса на сферата и височината на призмата. Решение. Радиусът на сферата е равен на половината от височината на DG основата, т.е. Височината на призмата е равна на диаметъра на сферата, т.е.






Упражнение 4 В правилна четириъгълна призма е вписана сфера, в основата на която има четириъгълник, периметър 4 и площ 2. Намерете радиуса r на вписаната сфера. Решение. Имайте предвид, че радиусът на сферата е равен на радиуса на окръжността, вписана в основата на призмата. Нека се възползваме от факта, че радиусът на окръжност, вписана в многоъгълник, е равен на площта на този многоъгълник, разделена на неговия полупериметър. Получаваме,














Упражнение 3 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна триъгълна пирамида, страната на основата е 2, а двустенните ъгли при основата са 60°. Решение. Нека се възползваме от факта, че центърът на вписаната сфера е пресечната точка на ъглополовящите равнини на двустенните ъгли в основата на пирамидата. За радиуса на сферата OE е в сила следното равенство: Следователно,


Упражнение 4 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна триъгълна пирамида, чиито странични ръбове са равни на 1, а равнинните ъгли при върха са равни на 90°. Отговор: Решение. В тетраедъра SABC имаме: SD = DE = SE = От подобието на триъгълници SOF и SDE получаваме уравнение, чрез решаването на което намираме




Упражнение 1 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна четириъгълна пирамида, чиито ръбове са равни на 1. Нека използваме факта, че за радиуса r на окръжност, вписана в триъгълник, е валидна формулата: r = S/p, където S е площта, p е полупериметърът на триъгълника. В нашия случай S = p = Решение. Радиусът на сферата е равен на радиуса на окръжността, вписана в триъгълника SEF, в който SE = SF = EF=1, SG = Следователно,


Упражнение 2 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна четириъгълна пирамида, чиято основна страна е 1, а страничният ръб е 2. Нека използваме факта, че за радиуса r на окръжност, вписана в триъгълник, формулата важи: r = S/p, където S – площ, p – полупериметър на триъгълника. В нашия случай S = p = Решение. Радиусът на сферата е равен на радиуса на окръжността, вписана в триъгълника SEF, в който SE = SF = EF=1, SG = Следователно,


Упражнение 3 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна четириъгълна пирамида, страната на основата е 2, а двустенните ъгли при основата са 60°. Решение. Нека се възползваме от факта, че центърът на вписаната сфера е пресечната точка на ъглополовящите равнини на двустенните ъгли в основата на пирамидата. За радиуса на сферата OG е в сила следното равенство:


Упражнение 4 Единичната сфера е вписана в правилна четириъгълна пирамида, страната на основата е 4. Намерете височината на пирамидата. Нека използваме факта, че за радиуса r на окръжност, вписана в триъгълник, е валидна формулата: r = S/p, където S е площта, p е полупериметърът на триъгълника. В нашия случай S = 2h, p = Решение. Нека означим височината SG на пирамидата с h. Радиусът на сферата е равен на радиуса на окръжността, вписана в триъгълника SEF, в който SE = SF = EF=4. Следователно имаме равенство, от което намираме




Упражнение 1 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна шестоъгълна пирамида, чиито основни ръбове са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2. Нека използваме факта, че за радиуса r на окръжност, вписана в триъгълник, важи формулата: r = S/p, където S – площ, p – полупериметър на триъгълника. В нашия случай S = p = Следователно, Решение. Радиусът на сферата е равен на радиуса на окръжността, вписана в триъгълника SPQ, в който SP = SQ = PQ= SH =


Упражнение 2 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна шестоъгълна пирамида, чиито основни ръбове са равни на 1, а двустенните ъгли в основата са равни на 60°. Решение. Нека се възползваме от факта, че центърът на вписаната сфера е пресечната точка на ъглополовящите равнини на двустенните ъгли в основата на пирамидата. За радиуса на сферата OH е в сила равенството: Следователно,
Упражнение Намерете радиуса на сфера, вписана в единичен октаедър. Отговор: Решение. Радиусът на сферата е равен на радиуса на окръжността, вписана в ромба SESF, в който SE = SF = EF=1, SO = Тогава височината на ромба, спусната от върха E, ще бъде равна на Търсеното радиусът е равен на половината от височината и е равен на O




Упражнение Намерете радиуса на сфера, вписана в единичен икосаедър. Решение. Нека се възползваме от факта, че радиусът OA на описаната сфера е равен на и радиусът AQ на описаната окръжност около равностранен триъгълник със страна 1 е равен на Според Питагоровата теорема, приложена към правоъгълен триъгълник OAQ, получаваме Упражнение Намерете радиуса на сферата, вписана в единицата додекаедър. Решение. Нека се възползваме от факта, че радиусът OF на описаната сфера е равен на и радиусът FQ на окръжността, описана около равностранен петоъгълник със страна 1, е равен на. По теоремата на Питагор, приложена към правоъгълния триъгълник OFQ, получаваме


Упражнение 1 Възможно ли е да се постави сфера в пресечен тетраедър? Решение. Обърнете внимание, че центърът O на сфера, вписана в пресечен тетраедър, трябва да съвпада с центъра на сфера, вписана в тетраедър, който съвпада с центъра на сфера, полувписана в пресечен тетраедър. Разстоянията d 1, d 2 от точка O до шестоъгълни и триъгълни лица се изчисляват с помощта на Питагоровата теорема: където R е радиусът на полувписана сфера, r 1, r 2 са радиусите на окръжности, вписани в шестоъгълник и триъгълник, съответно. Тъй като r 1 > r 2, тогава d 1 r 2, тогава d 1