Абсолютна стойност разлика между приблизителната и точна (вярна) стойността на величината се нарича абсолютна грешка приблизителна стойност. напримерАко точното число 1,214 кръг до десети, тогава получаваме приблизителен брой 1,2 . В този случай абсолютната грешка на приблизителния брой ще бъде 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Но в повечето случаи точната стойност на разглежданата стойност е неизвестна, но само приблизителна. Тогава абсолютната грешка е неизвестна. В тези случаи показват границакоето не надвишава. Този номер се нарича гранична абсолютна грешка.Казва се, че точната стойност на номера е равна на приблизителната му стойност с грешката на по-малко от граничната грешка. например, Номер 23,71 Има приблизителна стойност на броя 23,7125 С точност 0,01 Тъй като абсолютната грешка е равна 0,0025 и по-малко 0,01 . Тук границата абсолютна грешка е равна 0,01 .*

(* Абсолютен Грешката е положителна и отрицателна. например, 1,68 ≈ 1,7 . Абсолютната грешка е 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Граница Грешката е винаги положителна).

Гранична абсолютна грешка на приблизителния номер " но »Посочете символа Δ но . Рекорд

x ≈. но ( Δ но)

трябва да се разбира като: точната стойност на величината х. е в интервала между числата но +Δ но и но –Δ но, които се наричат \u200b\u200bсъответно човек и горната граница х. и означават Н.Г. х. и ВГ. х. .

например, ако х.≈ 2,3 ( 0,1), че 2,2 < х. < 2,4 .

Напротив, ако 7,3 < х. < 7,4, че х.≈ 7,35 ( 0,05).

Абсолютна или граница абсолютна грешка не характеризират качеството на извършеното измерване. Същата абсолютна грешка може да се счита за значима и незначителна в зависимост от броя, който се изразява измерената стойност.

напримерАко измерваме разстоянието между двата града с точност от един километър, тогава такава точност е доста достатъчна за това измерване, в същото време, когато измерват разстоянието между две къщи на една улица, такава точност ще бъде неприемлива.

Следователно точността на приблизителната стойност на стойността зависи не само от стойността на абсолютната грешка, но и върху стойността на измерената стойност. Следователно мярката на точността е относителната грешка.

Относителна грешкасъотношението на абсолютната грешка се нарича величина на приблизителния номер. Съотношението на граничната абсолютна грешка към приблизителния номер се нарича гранична относителна грешкаШпакловка Определете я по този начин: Δ a / A.. Приемат се относителна и гранична относителна грешка в перцепти.

напримерАко измерванията показват, че разстоянието между две точки е повече 12.3 кмНо по-малко 12.7 км, тогава приблизителнонеговата стойност се приема средно аритметично от тези две числа, т.е. тях половин ASUM, тогава граница Абсолютната грешка е равна дефиниции Тези числа. В такъв случай х.≈ 12,5 ( 0,2). Тук е граница абсолютен Грешката е равна 0.2 кми граница

Приблизителни цифри и действия върху тях

  1. Приблизителна стойност на величината. Абсолютна и относителна грешка

Решаването на практическите задачи обикновено се свързва с цифрови стойности на стойностите. Тези стойности се получават или в резултат на измерване, или в резултат на изчисления. В повечето случаи стойностите на стойностите, които трябва да работят, са приблизителни.

Нека X. - точна стойност на определен размер их. - най-доброто от своите известни приблизителни стойности. В този случай грешката (или грешката) сближаванех. Определени от разликатаXH. Обикновено знакът на тази грешка няма решаваща стойност, поради което се счита за абсолютна стойност:

Номерът в този случай се наричанай-голяма абсолютна грешкаили границата на абсолютната грешка на сближаването x.

По този начин, границата на абсолютна грешка на приблизителния бройх. - Това е всеки номер, не по-малко абсолютна грешкаe x от този номер.

Пример: Вземете номера. Ако се обадитена индикатора за 8-битовия MK получаваме сближаването на този номер: ще се опитаме да изразим абсолютната грешка на стойността. Получи безкрайна фракция, която не е подходяща за практически изчисления. Очевидно обаче, това следователно, числото 0.00000006 \u003d 0.6 * 10-7 може да се счита за ограничаване на абсолютната грешка на сближаването, използвана от МК вместо номера

Неравенството (2) ви позволява да установите приближения до точната стойност.Х. при липса и излишък:

В много случаи границите на абсолютната грешкакакто и най-доброто сближаванех, тя се оказва на практика в резултат на измервания. Нека, например, в резултат на многократни измервания със същата величинах. получават се стойности: 5.2; 5.3; 5.4; 5.3. В този случай е естествено да се приеме за най-доброто сближаване на средната стойност на измерената стойностx \u003d 5.3. Също така е очевидно, че граничните стойности на величинатах. в този случай ще бъдеNg x \u003d 5.2, vg x \u003d 5.4, \u200b\u200bи границата на абсолютната грешках. тя може да бъде определена като половината от дължината на интервала, образуван от граничните стойности.Ng x и vg x,

тези.

В абсолютна грешка е невъзможно напълно да се прецени точността на измерванията или изчисленията. Качеството на приближението се характеризира с величинатаотносителна грешкакоето се определя като връзка за грешкаe H. към модула на стойносттаХ. (когато е неизвестно, тогава в модула за сближаванех).

Ограничете относителната грешка(или границата на относителната грешка) Приблизителният брой се нарича връзката на абсолютната грешка в абсолютната стойност на сближаванетох:

Относителната грешка обикновено се изразява в проценти.

Пример Ние определяме граничните грешки на числото x \u003d 3.14 като приблизителна стойност на π. Като π \u003d 3,1415926 ..., тогава | π-3,14 |

  1. Верни и значими числа. Записват приблизителни стойности

Броят на номерата се наричалоялен (в широк смисъл), ако неговата абсолютна грешка не надвишава отделянето, вкоето си струва тази фигура.

Пример. X \u003d 6,328 x \u003d 0.0007 x

Пример: НО). Нека 0 \u003d 2,91385, средно в широк смисъл на числа 2, 9, 1.

Б) Вземете толкова сближаване с броя \u003d 3,141592 ...= 3,142. След това (фиг.) От мястото, където следва, че в приблизителна стойност \u003d 3.142, всички числа са верни.

В) изчислете на 8-битовия MC частен точни номера 3.2 и 2.3, ще получим отговора: 1,3913043. Отговорът съдържа грешка, защото

Фиг. Сближаване на броя π.

изпускателната мрежа MK не съдържа всички цифри на резултата и всички изхвърляния започнаха от осмият пропуснат. (В факта, че отговорът е неточен, е лесно да се гарантира, че проверява разделението чрез умножение: 1,3913043 2,3 \u003d 3,999998.) Не знаете истинска стойност Извършената грешка, калкулаторът в подобна ситуация винаги може да бъде уверен, че стойността му не надвишава единството на по-младия от резултата, изобразен на индикатора. Следователно, в резултат на това, всички цифри са правилни.

Първият изхвърлен (неправилен) цифра често се наричасъмнително.

Казва се, че приблизителният това е написанправо, ако всички числа са правилни в неговите записи. Ако номерът се записва правилно, тогава само един запис е под формата на десетични фракции Можете да прецените точността на този номер. Нека например се записва близък номер.a \u003d. 16,784, в които всички числа са правилни. От факта, че последната фигура 4 е верна, която стои в освобождаването на хиляди, от това следва, че абсолютната стойност на грешкано не надвишава 0.001. Това означава, че можете да приемете i.e.a \u003d 16,784 ± 0.001.

Очевидно е, че правилният запис на приблизителните данни не само признава, но и задължава да запише нулите в последните цифри, ако тези нули са израз на верни числа. Например, в записа= 109,070 нула в края означава, че фигурата в разтоварването на хиляди е правилна и е нула. Максимална абсолютна стойност на грешка, както следвате от записа, можете да помислите за сравнение, можете да видите, че стойносттаc \u003d. 109.07 е по-малко точна, тъй като трябва да приеме това

Значителни номерав броя на номерата, всички числа се наричат \u200b\u200bв неговото десетично изображение, различно от нула и нули, ако са разположени между смислени числа или стоят в края, за да изразят верни знаци.

Пример а) 0,2409 - четири значими цифри; б) 24,09 - четири значими числа; в) 100,700 - шест значими цифри.

Издаването на числови стойности в компютъра, като правило, е подредено по такъв начин, че нулите в края на записа на номера, дори ако са правилни, не са съобщени. Това означава, че ако например компютърът показва резултата от 247.064 и в същото време е известно, че осем значими цифри трябва да бъдат верни, след това отговорът трябва да бъде допълнен с нули: 247,06400.

В процеса на изчисляване често се случваномера на закръгляванетотези. Замяна на номера по техните стойности с по-малък брой значителни цифри. При закръгляване възниква грешка, наречена Грешка за закръгляване. Нека бъдеx - този номер и x 1 - резултатът от закръгляването. Грешката за закръгляване се определя като модул на разликата между първите и новите стойности на номера:

В някои случаи вместо δок Трябва да използвате горния си рейтинг.

Пример Извършват 8-битов MC действие 1/6. Индикаторът ще покаже номера 0.1666666. Имаше автоматично закръгляване на безкрайна десетична фракция 0.1 (6) към броя на заустванията, които се настаняват в регистъра на МК. В същото време можете да вземете

Броят на номерата се наричавярно в строг смисъл,ако абсолютната грешка на този брой не надвишава половината от отдела за освобождаване, което струва тази цифра.

Правила за записване на приблизителни числа.

  1. Приблизителните числа се записват във формата x ± x. Запис X \u003d x ±  x означава, че неизвестната стойност на x отговаря на следните неравенства: X-. X. . X.

В този случай грешката x се препоръчва да се приберете така

а) в записа x е не повече от 1-2 значителни цифри;

б) по-млади изхвърляния в записите на номера X и x съответстваше един на друг.

Примери: 23.4 ± 0.2; 2.730 ± 0.017; -6,97. 0.10.

  1. Приблизителният номер може да бъде записан без изрично да се посочи крайната си абсолютна грешка. В този случай само верни цифри трябва да присъстват в неговия рекорд (мантиса) (в широк смисъл, ако обратното) трябва да присъстват. След това, чрез самия запис, човек може да прецени точността си.

Примери. Ако сред броя A \u003d 5.83 всички цифри са верни в стриктния смисъл, тогаваA \u003d 0.005. Запис B \u003d 3.2 предполага, чеB \u003d 0.1. И чрез записване C \u003d 3,200, можем да заключим товаC \u003d 0.001. По този начин, записите от 3.2 и 3200 в теорията на приблизителните изчисления не означават едно и също нещо.

Номера в записването на приблизителен брой, които сме неизвестни, те са верни или не, се наричатсъмнително. Съмнителни цифри (една или две) остават в номера на записите на междинните резултати, за да се запази точността на изчисленията. В евентуалния резултат са отхвърлени съмнителни фигури.

Номера за закръгляване.

  1. Правило закръгляване. Ако в по-възрастните за изхвърлянията има няколко пет, тогава съдържанието на запаметените цифри не се променя. В противен случай се добавя единица със същия знак, тъй като номерът се добавя към по-младия запазен разряд като номер.
  2. При закръгляване на номера, записан във формата x ±x, нейната граница на абсолютната грешка се увеличава, като се вземе предвид точността на закръгляването.

Пример: Закръглена до клетката номер 4,5371 ± 0.0482. Би било погрешно да се напише 4.54 ± 0.05, тъй като грешката на заобления номер е съставена от грешката на първоначалния номер и грешката на закръгляването. В този случай, той е равен на 0.0482 + 0.0029 \u003d 0.0511. Грешката винаги е закръглена с излишък, така че крайният отговор е: 4.54 ± 0.06.

Пример Б. приблизително значениеa \u003d. 16,395 Всички цифри са верни в широк смисъл. Закръгленаи стотни: a 1 \u003d 16.40. Точността на закръгляването за намиране на пълна грешка,трябва да бъдат сгънати с грешката на първоначалната стойност1 което в този случай може да бъде намерено от условието, че всички номера в записано tRUE: \u003d 0.001. По този начин, . От това следва това встойност a 1. \u003d 16.40 цифра 0 не е вярна в строг смисъл.

  1. Изчисляване на грешки при аритметични действия

1. Добавяне и изваждане. Максималната абсолютна грешка на алгебричната сума е сумата от съответните грешки при условията на условията:

F.1  (x + y) \u003d  x + y,  (x - y) \u003d x +  y.

Пример. Приблизителни числа X \u003d 34.38 и Y \u003d 15.23 са дадени, всички числа са верни в строг смисъл. Да намеря (x-y) и  (X-y). Според формула F.1 Получаваме:

 (x - y) \u003d 0.005 + 0.005 \u003d 0.01.

Относителна грешка в комуникационната формула:

2. Умножение и разделение. Ако  X.  Y.

F.2  (x y) \u003d  (x / y) \u003d x + y y.

Пример. Намерете  (X y) и  (X · y) за номера от предишния пример. Първо използвайки формула F.2 (x · y):

 (x y) \u003d  x + y y \u003d 0.00015 + 0.00033 \u003d 0.00048

Сега (X · y) Ще намерим използване на комуникационна формула:

 (x · y) \u003d | x y | ·  (X y) \u003d | 34.38 -15.23 | · 0.00048 0,26 .

3. Потърсете степента и извличането на корена. Ако  X.

F.z.

4. Функцията на една променлива.

Нека аналитичната функция f (x) и приблизителния номер c ± от. След това обозначавай Малко увеличение на аргумента, можете да пишете

Ако f (и)  0, след това увеличението на функцията f (c +) - F (в) може да бъде оценено чрез нейното различно: \\ t

f (C + ) - F (c)  f "(в) · .

Ако грешката с достатъчно малки, най-накрая получаваме следната формула:

F.4  f (c) \u003d | f "(c) | · С.

Пример. Дадено f (x) \u003d arcsin x, c \u003d 0,5,c \u003d 0.05. Изчисли f (c).

Приложете формулата F.4:

И т.н.

5. Функция множество променливи.

За функцията на няколко променливи f (x1, ..., xn) с xk \u003d ck ± cK е валидна формула, подобна на F.4:

F.5  F (C1, ..., CN)  L df (c1, ..., cn) | \u003d | F "x1 (c1) | · C1 + ... + | F "XN (CN) | ·  \u200b\u200bcn.

Пример LEC. \u003d 1.5 и т.е. Всички номера са средх. вярно в строг смисъл. Изчисляване на стойността на tg.х. . С помощта на MK получаваме: TGL, 5 \u003d 14,10141994. За да определите правилните номера, в резултат на това оценяваме абсолютната му грешка: следва, че в получената стойност на TGL 5 не може да се счита за правилна.

  1. Методи за оценка на грешката на приблизителното изчисление

Съществуват строги и невероятни методи за оценка на точността на резултатите от изчисленията.

1. Стриктен метод за оценка. Ако приблизителните изчисления се извършват съгласно относително проста формула, след това се използват формули F.1-F.5 и формулите на грешките могат да бъдат получени по формулата на крайната грешка на изчисленията. Изходът на формулата и оценката на грешката на изчисленията с неговата помощ представляват същността на този метод.

Примерна стойност A \u003d 23.1 и B \u003d 5.24 са дадени по брой, верни в обикновен смисъл. Изчисляване на стойността на израза

С помощта на MK получавамеВ \u003d. 0,2921247. Използвайки формулите на относителни грешки на частни и работа, напишете:

Тези.

Използвайки MK, ние получаваме 5, което дава. Това означава, че в резултат на това двете цифри след запетая са верни в строг смисъл: b \u003d 0.29 ± 0.001.

2. Метод на строго повторно обновяване на грешките. Понякога опит за прилагане на метода на окончателната оценка води до твърде тромавна формула. В този случай може да е по-подходящо да се прилага този метод. Той се крие във факта, че точността на всяка изчислителна операция се оценява отделно, използвайки същите формули F.1-F.5 и формулите за комуникация.

3. Методът на изчисление на верните цифри. Този метод се отнася до не-стратегически. Оценката на точността на изчисленията, която дава, не е гарантирана по принцип (за разлика от строгите методи), но на практика е доста надежден. Същността на метода е, че след всяка изчисление, броят на правилните номера се определя в резултата, като се използват следните правила.

Стр.1 . При добавяне и изваждане на приблизителната цифра, в резултат на това трябва да се има предвид, че цифрите, десетичните зауствания, които отговарят на правилните цифри във всички термини. Цифрите на всички останали изхвърляния, различни от най-старите от тях, преди да се изпълнят добавянето или изваждането, трябва да бъдат закръглени във всички термини.

Пс. При умножаване и разделяне на приблизителните числа, в резултат на това, толкова много значими числа трябва да се разглеждат като правилни, тъй като имат приблизителен брой с най-малкия брой верни смислени числа. Преди да извършите тези действия, сред приблизителните данни, трябва да изберете номер с най-малък брой значими числа и да загърчите оставащите номера, така че да имат повече смислени цифри.

P.z. Когато е издигнат в квадрат или в куб, както и при извличането на квадрат или кубичен корен, в резултат на това, в резултат на това трябва да се счита за лоялен от толкова значими числа, тъй като имаше верни смислени числа в източника.

Стр.4. Броят на правилните числа в резултат на изчисляването на функцията зависи от величината на модулното производно и на броя на верните цифри в аргумента. Ако производен модул е \u200b\u200bблизо до номер 10k (k - цяло число), след това в резултат на това броят на верните числа спрямо запетая на К е по-малко (ако К е отрицателен, тогава повече), отколкото в аргумента. В това лабораторна работа За сигурността ще вземем съгласие да разгледаме модула, производно близо до 10k, ако се осъществи неравенството:

0.2 · 10k.  2 · 10k.

Стр.5. В междинни резултати В допълнение към верните цифри трябва да се остави една съмнителна цифра (останалите съмнителни числа могат да бъдат закръглени) за запазване на точността на изчисленията. В крайна сметка само верен брой отпускат.

Изчисления върху метода на границите

Ако трябва да имате абсолютно гарантирани граници на възможните стойности на изчислената стойност, се използва специален метод за изчисление - метода на границите.

Нека f (x, y) - Функция, непрекъснати и монотонни в някаква област на допустимите стойности на аргументитеx и y. Трябва да си вземе смисълf (a, b), където А и Б - приблизителни стойности на аргументите и е надеждно известно това

NG A. а. а; НГ Б. Vg b.

Тук NG, VG - нотация за съответно долни и горните граници на параметрите. Така че въпросът е да се намерят строгите граници на стойносттаf (a, b), с известни граници на стойноститеа и b.

Да предположим, че функциятаf (x, y) увеличаване на всеки от аргументитеx и y. Тогава

f (ng a, ng b F (a, b) f (vg a bg b).

Нека f (x, y) аргументът се увеличавах. и намалява с аргументаw. . Тогава неравенството ще бъде строго гарантирано

Ако е известно, че< А, то а называют приблизителна стойност на стойността на липсата на недостатъци. Ако a\u003e a, тогава и се обадете приблизителна стойност на стойността на излишъка.

Разликата в точни и приблизителни стойности на величината се нарича точността на сближаването и обозначава d, т.е.

D \u003d a - a (1)

Грешката d приблизително може да бъде както положителна, така и отрицателна.

За да се характеризират разликата между приблизителната стойност на стойността от точното, често е достатъчно, за да се посочи абсолютната стойност на разликата в точни и приблизителни стойности.

Абсолютна стойност разлики между приблизителното но И точно НО Стойностите на посоченото число абсолютна грешка (грешка) сближаване И обозначава Г. но:

Д. но = ½ но – НО½ (2)

Пример 1.При измерване на сегмента л. Използва се владетел, цената на разделянето на мащаба на която е 0,5 cm. изисква приблизителната продължителност на дължината на сегмента но \u003d 204 cm.

Ясно е, че когато измерването не може да бъде погрешно от 0,5 cm, т.е. Абсолютната грешка на измерването не надвишава 0,5 cm.

Обикновено абсолютната грешка е неизвестна, тъй като не е известна точно точната стойност на номера А. Следователно, като грешка се приема оценка Абсолютна грешка:

Д. но <= D но наклонност. (3)

къде. и преди . - гранична грешка (номер, | Повече ▼ нула), поискал каква е точността на номера a.

Ограничете и абсолютната грешка също се нарича границата на грешката. Така че в примера по-горе
Д. и преди . \u003d 0,5 cm.

От (3) получаваме:

Д. но = ½ но – НО½<= D но наклонност. .

но - Д. но наклонност. ≤ НО≤ но + D. но наклонност. . (4)

a - D. но наклонност. Това ще бъде приблизителна стойност НО С недостатък

a + D. но наклонност – приблизителна стойност НО С излишък. Ние също използваме кратък запис:

НО= но ± D. но наклонност (5)

От определянето на лимитната абсолютна грешка следва, че номера d но наклонност Задоволителното неравенство (3) ще бъде безкраен комплект. На практика се опитайте да изберете може би най-малко От числа D. и предиудовлетворяване на неравенството D. но <= D но наклонност.

Пример 2.Ние определяме границата абсолютна грешка на броя a \u003d 3,14.взети като приблизителна стойност на броя π.

Известно е, че 3,14<π<3,15. Следователно следва това

|но – π |< 0,01.

За границата абсолютна грешка можете да вземете номера d но = 0,01.

Ако смятате това 3,14<π<3,142 , Получавам най-добрата оценка: D но \u003d 0.002, тогава π ≈3.14 ± 0.002.

4. Относителна грешка (грешка).Знанието за абсолютна грешка не е достатъчно, за да се характеризират качеството на измерване.



Нека, например, при претеглянето на две тела са получени следните резултати:

P 1 \u003d 240.3 ± 0.1 g

P2 \u003d 3.8 ± 0.1 g

Въпреки че абсолютните грешки в измерването на двата резултати са едни и същи, качеството на измерване в първия случай ще бъде най-доброто от второто. Характеризира се с относителна грешка.

Относителна грешка (грешка)сближаване на броя НО наречена абсолютна грешка D A. Приближавайки абсолютната стойност на номера:

Така че, тъй като точната стойност обикновено е неизвестна, тя се заменя с приблизителна стойност и след това:

(7)

Ограничете относителната грешкаили границата на грешката за относителна сближаване,наречен номер D. и преди.\u003e 0, така че:

д. но<= Д. и преди.(8)

За ограничението относителна грешка е очевидно да се приеме съотношението на крайната абсолютна грешка в абсолютната стойност на приблизителната стойност:

(9)

От (9) лесно се получава следното важно съотношение:

∆ и преди. \u003d. |а.| Д. и преди.(10)

Ограничаването на относителната грешка е направено да се изразява в проценти:

Пример.Основата на естествените логаритми за изчисляване се вземат равни д.\u003d 2.72. Като точна стойност д. T \u003d 2,7183. Намерете абсолютни и относителни грешки на приблизителен брой.

Д. Д. = ½ д. – д. T ½ \u003d 0.0017;

.

Стойността на относителната грешка остава непроменена с пропорционална промяна в най-приблизителния номер и абсолютната му грешка. Така че, в числото 634.7, изчислено с абсолютната грешка d \u003d 1.3 и в броя 6347 с грешка d \u003d 13 относителни грешки са еднакви: д.= 0,2.

Можете грубо да прецените стойността на относителната грешка вярно значение цифри.

В голямо разнообразие от теоретични и приложни проучвания са широко използвани методи за математическо моделиране, което намалява задачите на изследваната област за решаване на адекватни (или приблизително адекватни) математически задачи. Необходимо е да се въведе решението на тези задачи за получаване на цифров резултат (изчисляване на различни видове количества, решаване на различни видове уравнения и др.). Целта на компютърната математика е да се разработят алгоритми за числено решение на богат кръг математически проблеми. Методите трябва да бъдат проектирани така, че да могат ефективно да се прилагат с модерно изчислително оборудване. Като правило, разглежданите задачи не позволяват точно решение, така че говорим за развитието на алгоритми, които дават приблизително решение. За възможността за замяна на неизвестно точно решение, задачата е приблизително необходимо, че последната е близка до точно. Във връзка с това е необходимо да се оцени близостта на приблизителното решение на точните и развиващи се приблизителни методи за изграждане на приблизителни решения, близки до точния.

Схематично изчислителен процес е да се направи тази стойност х. (цифров, вектор и др.) Изчислете стойността на някаква функция A (x). Наречена е разликата между точните и приблизителни стойности на стойностите грешка. Точно изчисляване на стойността A (x) Обикновено е невъзможно и силите да заменят функцията (работа) А. Неговото приблизително представителство Ã които могат да бъдат изчислени: изчисляване на величината A (x), заменен с изчисление Ã (x) A (x) - Ã (x) Обади се грешка в метода. Методът за оценка на тази грешка трябва да бъде разработен заедно с развитието на метода за изчисление Ã (x). От възможни методи за изграждане на приближение, трябва да се използва този, който при съществуващите средства и възможности дават най-малката грешка.

Стойността на величината х.Това означава, че данните от изходните задачи се оказват или директно от измерванията или в резултат на предишната фаза на изчисленията. В тези случаи се определя само приблизителна стойност. x O. Стойности х.. Следователно, вместо величина Ã (x) Може да се изчисли само приблизителна стойност. Ã (x o). Възникване на арогантност A (x) - Ã (x o) Обади се неразумно. В резултат на неизбежните закръглени в хода на изчисленията, вместо количеството Ã (x o) Тя се изчислява от неговата "закръглена" стойност, която води до появата грешка при закръгляване Ã (x o) -. Пълната грешка в изчисленията е равна A (x) - .

Представете си пълна грешка във формуляра

A (x) - = [A (x) - ] + [ - Ã (x o)] +

+ [Ã (x o) - ] (1)

Последното равенство показва, че пълната изчислителна грешка е равна на размера на грешката на метода, неразумната грешка и точността на закръгляването. Първите два компонента на грешката могат да бъдат оценени преди началото на изчисленията. Грешката за закръгляване се оценява само по време на изчисленията.

Разгледайте следните задачи:

а) характеристика на точността на приблизителните числа

б) оценка на точността на резултата с известна прецизност на източниците на данни (оценка на слабата грешка)

в) определяне на необходимата точност на източниците на източника, за да се гарантира посочената точност на резултатите

г) Координация на точността на изходните данни и изчисленията с възможностите на наличните изчислителни средства.

4 Грешки при измерването

4.1 Вярно и валидни стойности на физическите величини. Грешка в измерването. Причини за грешки при измерване

При анализиране на измерванията трябва да се разграничат две понятия: истинските стойности на физическите величини и техните емпирични прояви са резултатите от измерването.

Истински стойности на физическите величини - Това са стойности, в идеалния случай отразяват свойствата на този обект както в количествено, така и в качествено. Те не зависят от измервателните инструменти и са абсолютната истина, на която те се стремят към измервания.

Напротив, резултатите от измерванията са продукти от знания. Въвеждане на приблизителни оценки на стойностите на стойностите, установени в резултат на измервания, те зависят от метода на измерване, от измервателни уреди и други фактори.

Грешка при измерването Тя се нарича разлика между резултата от измерването x и истинската стойност на измерената стойност q:

Δ \u003d x - q (4.1)

Но тъй като истинската стойност на Q е неизвестна, за да се определи грешката за измерване във формула (4.1), така наречената валидна стойност е заменена вместо истинската стойност.

Под валидна стойност на измерената стойност разбира се, че това е неговото значение, което се намира експериментално и така наближава, че за тази цел може да се използва вместо това.

Причините за появата на грешки са: несъвършенство на методите за измерване, измервателни уреди и наблюдатели сетива. Отделна група трябва да комбинира причините, свързани с влиянието на условията на измерване. Последният се проявява две. От една страна, всички физически количества, които играят всяка роля в извършването на измервания, до известна степен зависят един от друг. Следователно, с промяна във външните условия, истинските стойности на измерените стойности се променят. От друга страна, условията за измерване влияят и върху характеристиките на измервателните уреди и физиологичните свойства на наблюдателите и чрез техните медии се превръщат в източник на грешки при измерването.

4.2 Класификация на грешките за измерване в зависимост от естеството на тяхната промяна

Описаните причини за грешки са комбинация от голям брой фактори, под влияние на развитието на общата грешка при измерването. Те могат да бъдат комбинирани в две основни групи.

Първата група включва факторите, които са нередовни и неочаквано изчезват или проявяват с интензивността, което е трудно да се предвиди. Те включват, например, малки колебания за влияние върху стойностите (температура, натиск върху околната среда и др.). Делът или компонент, общата грешка в измерването, произтичаща от факторите на тази група, определя случайната грешка при измерването.

По този начин, грешка по случайни измервания - Компонентът на грешката на измерването варира случайно по време на многократните измервания на една и съща стойност.

При създаването на измервателни уреди и организация на процеса на измерване като цяло, интензивността на проявяването на фактори, определящи случайната грешка при измерването, е възможно да се намали до общото ниво, така че всички те да засегнат повече или по-малко по-рано върху образуването на случаен принцип грешка. Някои от тях, например, внезапно спадане на напрежението в мрежата за захранване, могат да изглеждат неочаквано силно, в резултат на което грешката ще вземе измерения, които очевидно пренебрегват границите поради хода на измервателния експеримент. Такива грешки в случайната грешка се наричат груб . Близо до тях тясно промахи - Грешки, в зависимост от наблюдателя и свързани с неправилно обработване с измервателни инструменти, неправилни показания или грешки при писане на резултати.

Втората група включва фактори, постоянни или естествено променящи се в процеса на измерване на експеримента, например, плавни промени в влияещите стойности. Размерът на измерването на измерването на размерите, произтичащи от факторите на тази група, определя системната грешка при измерването.

По този начин, систематична грешка при измерването - Компонентът на измервателната грешка остава постоянна или естествено променлива, когато се повтаря измерванията на една и съща стойност.

В процеса на измерване, описаните компоненти на грешката се проявяват едновременно и общата грешка може да бъде представена като сума

, (4.2)

където - произволно, ΔS е системна грешка.

За да се получат резултати, минимално различни от истинските стойности на стойностите, провеждат множество наблюдения на измерената стойност с последващата обработка на опитни данни. Следователно проучването на грешката като функция на номера на наблюдение е от голямо значение, т.е. време a (t). След това стойностите на отделните грешки могат да се интерпретират като набор от стойности на тази функция:

Δ 1 \u003d Δ (t1), 5 2 \u003d δ (t2), ..., Δ n \u003d δ (tn).

В общия случай грешката е случайна функция на времето, която се различава от класическите функции на математическия анализ от факта, че не може да се каже коя стойност отнема в момент t i. Можете да посочите вероятностите за появата на неговите стойности в един или друг интервал. В поредица от експерименти, състоящи се от редица множество наблюдения, ние получаваме едно изпълнение на тази функция. При повтаряне серията със същите стойности на стойностите, характеризиращи факторите на втората група, неизбежно получаваме нова реализация, която се различава от първата. Реализациите се различават един от друг поради влиянието на факторите на първата група и факторите на втората група се изразяват еднакво при получаване на всяко прилагане, дават им някои общи черти (Фигура 4.1).

Грешката за измерване, съответстваща на всяка точка T, се нарича напречно сечение на случайната функция δ (t). Във всеки раздел е възможно да се намери средната стойност на грешка ΔS (t i), по отношение на кои грешки са групирани в различни изпълнения. Ако, чрез точките, получени по този начин, точките Δ s (t i) имат гладка крива, тя ще характеризира общата тенденция да променя грешката във времето. Лесно е да се види, че средните стойности на ΔS (TJ) се определят чрез действието на факторите на втората група и са систематична грешка на измерването по време на време и отклонения ΔJ (TJ) от средното Стойност в секцията TI, съответстваща на J-Th, дайте грешка в случайност. Така има равенство

(4.3)

Фигура 4.1.

Да предположим, че Δ s (t i) \u003d 0, т.е. Систематичните грешки по един или друг начин са изключени от резултатите от наблюдението и ние ще разгледаме само случайни грешки, средните стойности от които са нула във всеки раздел. Да предположим, че случайните грешки в различни раздели не зависят един от друг, т.е. Познаването на случайна грешка в една секция не ни дава никаква допълнителна информация за стойността, взета от това прилагане във всеки раздел и че всички теоретични вероятностни характеристики на случайни грешки, които са стойностите на едно изпълнение във всички раздели, съвпадат с всеки други. След това случайната грешка може да се счита за случайна сума и нейните стойности с всяко от множеството наблюдения на същото физическо количество - като резултатите от независими наблюдения над него.

При такива условия, произволна грешка на измерването се определя като разлика между коригирания резултат от измерване на X и (резултат, който не съдържа системна грешка) и истинската стойност на измерената стойност:

Δ \u003d x и -q 4.4)

освен това резултатът от измерването ще бъде коригиран, от който ще бъдат изключени систематични грешки.

Такива данни обикновено се получават чрез калибриране на инструменти за измерване чрез измерване на предварително известните стойности. Когато извършвате измервания, целта е да се оцени истинската стойност на измерената стойност, която е неизвестна на опита. Резултатът от измерването включва в допълнение към истинската стойност, следователно самата грешка е случайна променлива. При тези условия действителната стойност на произволната грешка, получена по време на калибрирането, все още не характеризира точността на измерванията, поради което не е неясна каква стойност да се вземе за крайния резултат от измерването и как да се характеризират точността му.

Отговорът на тези въпроси може да бъде получен, като се използват методите на математически статистически данни, които се занимават с случайни стойности при обработката на резултатите от наблюденията.

4.3 Класификация на грешките при измерване в зависимост от причините за тяхното възникване

В зависимост от причините за появата се отличават следните групи грешки: методически, инструментални, външни и субективни.

В много методи за измерване можете да откриете методическа грешка , което е следствие от някои предположения и опростявания, използването на емпирични формули и функционални зависимости. В някои случаи влиянието на такива предположения е незначително, т.е. Много по-малко от допустимите грешки при измерването; В други случаи тя надвишава тези грешки.

Пример за методологическите грешки са грешките на измервателния метод на електрическо съпротивление, като се използва амперметър и волтметър (Фигура 4.2). Ако съпротивлението R X се определя с формулата на OMA R X \u003d U v / i закон, където u v е спад на напрежението, измерено чрез волтметър v; I A - ток, измерен с амперметър А, след това и в двата случая ще бъдат направени методични грешки при измерването.

На фигура 4.2 и текущата стойност I a, измерена с амперметър, ще бъде по-голяма от тока в съпротивлението Rx към стойността на текущата стойност I V в волтметъра, включително паралелно съпротивление. Резистентността R X, изчислена с помощта на горната формула, ще бъде по-малко валидна. Фигура 4.2,6, напрежението, измерено чрез волтметер V, ще бъде по-голямо от напрежението на U R в съпротивлението R X към стойността U (спада на напрежението при съпротивлението на ампермера А). Съпротивата, изчислена по формулата на закона на ОМ, ще бъде по-голяма от съпротивлението R x върху стойността на R A (съпротивление на аммотер). Измененията в двата случая могат лесно да бъдат изчислени, ако знаете съпротивлението на волтметъра и ампермера. Измененията не могат да бъдат представени, ако са значително по-малки от допустимата грешка на измерването Rx, например, ако в първия случай съпротивлението на волтметъра се използва значително

Olshem x, а във втория случай r a е значително по-малък от r x.

Фигура 4.2.

Друг пример за появата на методологична грешка е да се измери обема на телата, чиято форма е взета геометрично правилно, чрез измерване на размерите в един или в недостатъчния брой места, например, измерване на размера на помещението чрез измерване дължината, ширината и височината само в три посоки. Да се \u200b\u200bопредели точно силата на звука, би било необходимо да се определи дължината и ширината на помещението на всяка стена, отгоре и отдолу, измерване на височината в ъглите и в средата и най-накрая, ъглите между стените. Този пример илюстрира възможността за значителна методична грешка с неразумно опростяване на метода.

По правило методологичната грешка е системна грешка.

Инструментална грешка - Това е компонент на грешките поради несъвършенството на измервателните уреди. Класически пример за такава грешка е грешката на измервателния уред, причинен от неточното завършване на нейния мащаб. Много е важно да се прави ясно разграничение между грешките при измерване и инструменталните грешки. Несъвършенстването на измервателните уреди е само един от източниците на грешка при измерването и определя само един от неговите компоненти - инструменталната грешка. От своя страна инструменталната грешка е общият компонент, от който - грешките на функционалните възли - могат да бъдат систематични и случайни.

Външна грешка - Грешката за измерване на състав, причинена от отклонението на една или повече влиятелни стойности от нормални стойности или тяхната продукция отвъд нормалната област (например, ефекта на температурата, външните електрически и магнитни полета, механични ефекти и др.). Като правило външните грешки се определят от допълнителните грешки на използваните измервателни уреди и са систематични. Въпреки това, с нестабилност, влияещи върху стойностите, те могат да станат случайни.

Субективна (лична) грешка Благодарение на отделните характеристики на експериментатора и могат да бъдат системни и случайни. При прилагане на съвременни цифрови средства за измервания може да се пренебрегне субективната грешка. Въпреки това, когато четете индикациите на устройствата със стрелки, такива грешки могат да бъдат значими поради неправилното позоваване на десети от разделянето на скалата, асиметрия, възникнала, когато инсултът е настроен в средата между двата риска и др. Например грешките, които експериментаторът прави при оценката на десети от разделението на мащаба на инструмента, могат да достигнат 0.1 дивизии. Тези грешки се проявяват във факта, че за различни десети от разделянето на различни експерименти, различни честоти на оценките се характеризират с различни експерименти, като всеки експериментатор запазва разпределението, присъщо в нея за дълго време. Така, един експериментатор по-често, отколкото трябва да бъде посочен за линиите, образуващи ръба на разделението, и до стойността на 0.5 дивизии. Други - до стойностите от 0.4 и 0.6 дивизии. Третият предпочита стойностите от 0.2 и 0.8 дивизии и др. Като цяло, като се има предвид случайният експериментатор, разпределението на грешките за преброяване на десети дезертните фракции може да се счита за равномерно с границите от ± 0.1 дивизии.

4.4 Форми на грешката на измерването. Точност на измерванията

Грешката за измерване може да бъде представена във формата абсолютен грешки, изразени в единици от измерената стойност и се определят с формула (4.1), или. \\ t относително Грешките, определени като съотношението на абсолютната грешка към истинското значение на измерената стойност:

Δ \u003d Δ / Q. (4.5)

В случай на ускоряване на произволна грешка в процента, съотношението Δ / Q се умножава по 100%. В допълнение, във формула (4.5), е позволено вместо истинската стойност Q да използва резултата от измерването x.

Концепцията също е широко приложена. точност на измерванията - характеристика, отразяваща близостта на техните резултати към истинската стойност на измерената стойност. С други думи, високата точност съответства на малки грешки при измерване. Следователно количествената точност на измерване може да бъде оценена от стойността на обратен модул на относителната грешка

3.2. Закръгляване

Един от източниците на получаване на приблизителни числа е относнокръгъл. Закръглени както с точни, така и приблизителни.

Закръгляване Този брой на някои от неговото освобождаване се нарича заменянето с нов номер, който се получава от този път справкавсичките му номера са записани надяснофигури на това освобождаване или чрез замяна на него с нули. Тези zeros обикновено подчертайте или пишете по-малки. За да се гарантира най-голямата близост до заобления номер към заоблената, трябва да се използва правила:

за да заобиколите номера до определено разтоварване, трябва да отхвърлите всички цифри след цифрите на този разряд и като цяло, да ги замени с нули. В същото време се вземат предвид следното:

1 ) Ако първото (ляво) от изхвърлените номера по-малко от 5.последната лява цифра не се променя (закръгляването с недостатък);

2 ) Ако първата изхвърлена цифра повече от 5 или равни на 5, след това последното ляво цифри се увеличава на единица (закръгляване с излишък).*

например:

Дъжд:Отговори:

но) до десети 12.34; 12.34 ≈ 12.3;

б.) до стотките 3,2465; 1038,785; 3,2465 ≈ 3.25; 1038,785 ≈ 1038.79;

в) до хилядни 3,4335; 3,4335 ≈ 3.434;

г.) до хиляди 12 375, 320 729. 12 375 ≈ 12 000 ; 320 729 ≈ 321 000.

(* Преди няколко години в случай на изхвърляне сам 5 използван "Правило на равномерно цифра": Последната цифра беше оставена непроменена, ако е равномерна и увеличена с една, ако е странно. Сега "правила за равномерни цифри" неследвайте: Ако отхвърлите една цифра 5 , последният ляв от цифрата добавете единица, независимо дали е дори нечетно).

3.3. Абсолютна и относителна грешка на приблизителните стойности

Абсолютна стойност разликамежду приблизителната и точна (вярна) стойността на величината се нарича абсолютна грешкаприблизителна стойност. напримерАко точното число 1,214 кръг до десети, тогава получаваме приблизителен брой 1,2 . В този случай абсолютната грешка на приблизителния брой ще бъде 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Но в повечето случаи точната стойност на разглежданата стойност е неизвестна, но само приблизителна. Тогава абсолютната грешка е неизвестна. В тези случаи показват границакоето не надвишава. Този номер се нарича гранична абсолютна грешка. Казва се, че точната стойност на номера е равна на приблизителната му стойност с грешката на по-малко от граничната грешка. например, Номер 23,71 има приблизителна стойност на броя 23,7125 с точност 0,01 Тъй като абсолютната грешка е равна 0,0025 и по-малко 0,01 . Тук границата абсолютна грешка е равна 0,01 .*

(* Абсолютенгрешката е положителна и отрицателна. например,1,68 ≈ 1,7 . Абсолютната грешка е равна1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 .Границагрешката е винаги положителна).

Гранична абсолютна грешка на приблизителния номер " но »Посочете символа Δ но . Рекорд

X ≈ A (ΔA)

трябва да се разбира като: точната стойност на величината х. е в интервала между числата но +Δ но и но –Δ но, които се наричат \u200b\u200bсъответно човеки горната границах. И означават Н.Г. х. и ВГ. х. .

например, ако х. ≈ 2,3 ( 0,1), че 2,2 < х. < 2,4 .

Напротив, ако 7,3 < х. < 7,4 , че х. ≈ 7,35 ( 0,05).

Абсолютна или граница абсолютна грешка нехарактеризират качеството на извършеното измерване. Същата абсолютна грешка може да се счита за значима и незначителна в зависимост от броя, който се изразява измерената стойност.

напримерАко измерваме разстоянието между двата града с точност от един километър, тогава такава точност е доста достатъчна за това измерване, в същото време, когато измерват разстоянието между две къщи на една улица, такава точност ще бъде неприемлива.

Следователно точността на приблизителната стойност на стойността зависи не само от стойността на абсолютната грешка, но и върху стойността на измерената стойност. Следователно мярката на точността е относителната грешка.

Относителна грешка Съотношението на абсолютната грешка се нарича величина на приблизителния номер. Съотношението на граничната абсолютна грешка към приблизителния номер се нарича гранична относителна грешкаШпакловка Определете я по този начин: Δ a / A. . Приемат се относителна и гранична относителна грешка в перцепти.

напримерАко измерванията показват, че разстоянието между две точки е повече 12.3 кмНо по-малко 12.7 км, тогава приблизително Неговата стойност се приема средно аритметичноот тези две числа, т.е. тях половин ASUM, тогава границаабсолютната грешка е равна дефинициитези числа. В такъв случай х. ≈ 12,5 ( 0,2). Тук е граница абсолютенгрешката е равна 0.2 кми граница относително:

Абсолютна и относителна грешка

Абсолютна грешка при измерването наречена стойност, определена от разликата между резултата от измерването х. и истинското значение на измерената стойност х. 0:

Δ х. = |х. – х. 0 |.

Стойността на Δ, равна на съотношението на абсолютната грешка при измерването към резултата от измерването, се нарича относителна грешка:

Пример 2.1. Приблизителната стойност на броя π е 3.14. Тогава грешката е равна на 0.00159 .... Абсолютната грешка може да се счита за равна на 0.0016, а относителната грешка е 0.0016 / 3.14 \u003d 0.00051 \u003d 0.051%.

Значими цифри. Ако абсолютната грешка на стойността А не надвишава една единица от разреждането на последната фигура от А, тогава те казват, че броят на всички знаци е правилен. Трябва да се записват приблизителни номера, като същевременно поддържат само правилни признаци. Ако например абсолютната грешка на броя 52 400 е 100, тогава този номер трябва да бъде написан, например, във формата 524 · 10 2 или 0.524 · 10 5. Оценка на грешката на приблизителния брой може да се посочи как Много верни значими цифри съдържа. При изчисляване на значителни цифри, нулите не се разглеждат от лявата страна на номера.

Например, числото 0.0283 има три верни значими цифри и 2.5400 - пет верни значими цифри.

Правила за закръгляне на номера. Ако приблизителният брой съдържа допълнителни (или неправилни) знака, то трябва да бъде закръглена. При закръгляване се случва допълнителна грешка, която не надвишава половината от единицата на изхвърляне на последната значима цифра ( д.) Заоблен номер. При закръгляване се запазват само истински знаци; Излишните признаци се изхвърлят и ако първият изхвърлен номер е по-голям или равен д./ 2, последната запазена цифра се увеличава с един.

Допълнителните номера в цели числа са заменени с нули, а при десетични фракции се изхвърлят (както и допълнителни нули). Например, ако грешката на измерването е 0.001 mm, тогава резултатът от 1.07005 е закръглен до 1.070. Ако първата от променливите нули и изхвърлените номера са по-малко от 5, оставащите числа не се променят. Например, числото 148 935 с точност на измерването 50 има закръгляване 148 900. Ако първият от числата, заменен с нула или изхвърлен, е 5, и не трябва да е нула зад нея, закръгляването е направено до най-близката . Например, числото 123.50 е закръглено до 124. Ако първото от заменените от нули или изхвърлени числа е по-голямо от 5 или равно на 5, но следва да има значителна цифра след нея, последната оставаща цифра се увеличава с един. Например, числото 6783.6 е закръглено до 6784.

Пример 2.2. Когато закръглите броя 1284 до 1300, абсолютната грешка е 1300 - 1284 \u003d 16 и при закръгляване до 1280, абсолютната грешка е 1280 - 1284 \u003d 4.

Пример 2.3. Когато закръглите броя 197 до 200, абсолютната грешка е 200 - 197 \u003d 3. Относителната грешка е 3/197 ≈ 0.01523 или приблизително 3/200 ≈ 1.5%.

Пример 2.4. Продавачът играе диня на чаша скали. В набора от тежести, най-малкият - 50 g. Претегляне е 3600. Този брой е приблизително. Точното тегло на динята е неизвестно. Но абсолютната грешка не надвишава 50 g. Относителната грешка не надвишава 50/3600 \u003d 1.4%.

Грешки при решаването на проблема НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР.

Три вида грешки обикновено разглеждат основните източници на грешка. Това са т. Нар. Грешки при съкращаване, грешки при закръгляването и грешки в разпространението. Например, когато използвате итеративни методи за намиране на корени на нелинейни уравнения, резултатите са приблизителни за разлика от преките методи, които дават точно решение.

Грешка

Този тип грешки е свързан с грешката, поставена в самата задача. Може да се дължи на неточността за определяне на изходните данни. Например, ако размерите са посочени в състоянието на задачите, след това на практика за реални обекти тези размери винаги са известни с някаква точност. Същото се отнася и за други физически параметри. Това може да включва и неточност на изчислените формули и цифровите коефициенти, включени в тях.

Грешки при разпространение

Този тип грешки са свързани с използването на един или друг начин за решаване на проблема. По време на изчисленията натрупването неизбежно се случва или, с други думи, разпространението на грешката. В допълнение към факта, че самите първоначални данни не са точни, новата грешка възниква, когато те се умножат, добавянето и т.н. Натрупването на грешка зависи от естеството и броя на аритметичните действия, използвани при изчислението.

Закръглени грешки

Този тип грешка е свързан с факта, че истинската стойност на номера не винаги е точно запазена от компютъра. Когато записвате реално число в паметта на компютъра, той е написан като мантиса и поръчайте по същия начин, както се показва номерът на калкулатора.

Общинска образователна институция

"Средно училище" Сървек "

Томск област
"Математика

в науката и живота "

"Урок  Семинар" по темата:

"Приблизителни стойности на количествата"
(Относно прилаганата ориентация на абсолютното и относителногрешка )
Алгебра 7.

Математически учител:

Серебраниева Вера Александровна

Път - 2006 година.


"Математика в науката и живота"
"Езикът на математиката -

това е общ език на науката. "
Предмет: Приблизителни стойности на стойностите.(Обобщаване на урока - семинар)

Предназначение: 1. да обобщават знанията на учениците по тази тема, като се вземат предвид приложната ориентация (по физика, трудово обучение);

2. Способност за работа в групи и участие в речи

Оборудване: 2 правила с разделения на 0.1см и 1см, термометър, скали, разпределителен материал (лист, копирани, картички)
Откриване на думи и семинарни участници(учител)

Помислете за един от важните въпроси - приблизителни изчисления. Няколко думи за неговото значение.

При решаването на практически задачи често е необходимо да се справим с приблизителните стойности на различните количества.

Позволете ми да ви напомня в какви случаи са приблизителни стойности:


  1. при изчисляване на голям брой обекти;

  2. когато се измерва с използване на устройства с различни количества (дължини, маса, температура);

  3. при закръгляване.
Нека обсъдим въпроса: « Когато качеството на измерване, изчислението ще бъде по-високо ».

Участниците в семинара днес ще бъдат 3 групи: математика, физика и представители на производството (практики).

(Те представляват "старшите" групи, наричат \u200b\u200bфамилното си име).

Гостите и компетентното жури от обществеността ще бъдат оценени, за да оценят работата на семинара, където има "математика", "физика" и "практикуващи".

Ще бъде оценена работата на групите и индивидуалните участници.
Работен план(На бюрото)

1. Речи

2. Независима работа

3. Викторина

4. Резултати
. Изпълнения.


  1. Мярка за оценка на отклонението на приблизителната стойност от точното
сервирайте абсолютни и относителни грешки. Разгледайте техните определения по отношение на приложна посока.
2
Абсолютната грешка показва колко

приблизителната стойност се различава от точно, т.е. Точността на сближаването.

Относителната грешка оценява качеството на измерването и

тя се изразява като процент.

Ако x ≈ α, където x е точната стойност, и α е приблизително, тогава абсолютната грешка ще бъде: │x - α, и относително: │ │ │ / │α│%


Примери:

1 . Намерете абсолютната и относителната грешка на приблизителната стойност, получена чрез закръгляване на броя на 0.437 до десети.

Абсолютна грешка: │0.437 - 0.4 │ \u003d │0,037│ \u003d 0.037

Относителна грешка: 0.037: │0.4│ \u003d 0.037: 0.4 \u003d 0.0925 \u003d 9.25%


  1. Ще намерим на графиката на функцията Y \u003d x 2 приблизителна стойност
функции при x \u003d 1.6

Ако x \u003d 1.6, тогава ≈ 2.5

Съгласно формулата Y \u003d X 2, точната стойност на Y: Y \u003d 1.6 2 \u003d 2.56;

Абсолютна грешка: │2,56 – 2,5 │= │0,06│= 0,06;

Относителна грешка: 0,06: │2,5│= 0,06: 2,5 = 0,024 = 2,4%

Ако сравните два резултата от относителна грешка 9,25% и

2.4%, във втория случай, качеството на изчислението ще бъде по-високо, резултатът ще бъде по-точен.
Защо точността на приблизителната стойност зависи?

Това зависи от много причини. Ако приблизителната стойност се получи по време на измерването, точността му зависи от инструмента, с който е извършено измерването. Не може да се извърши перфектно измерване. Дори самите мерки приложат грешката. Направете напълно точен владетел на метър, килограм тегло, литър чаша е изключително трудно и законът позволява производството на някаква грешка.

Например, в производството на линия на метър, е разрешено грешка 1 mm. Самото измерване също въвежда неточност, грешка в тежести, везни. Например, на линията, която използваме, разделенията се прилагат след 1mm, т.е. 0.1cm, това означава точността на измерването от този владетел до 0.1 (≤ 0.1). На медицинския термометър за дивизия до 0.1 0, това означава точност до 0.1 (≤ 0.1). На скалите на отделите се прилагат през 200g, това означава точност до 200 (≤ 200).

Закръгляването на десетичната фракция към десетата точност ще бъде до 0.1 (≤ 0.1); до стотни - точност до 0.01 (≤ 0.01).

Най-точните измервания са направени в лабораториите на Института


Можете ли винаги да намерите абсолютни и относителни грешки?

Не винаги Можете да намерите абсолютна грешка, защото е неизвестна

точната стойност на величината и следователно относителната грешка.

В този случай се смята, че абсолютната грешка не надвишава цената за разделяне на мащаба на устройството. Тези. Ако например цената на разделянето на линията 1mm \u003d 0.1cm, тогава ще бъде определена абсолютната грешка и ще бъде определена само оценката на относителната грешка (т.е. ≤ какъв брой%) ще бъде определен.

Често трябва да се срещнете с това във физиката Когато демонстрират експерименти, при извършване на лабораторни упражнения.

Задача. Ще намерим относителна грешка при измерване на дължината на правилата за лаптоп лаптоп: един - с точност от 0.1 cm (разделения 0.1см); Вторият е с точност до 1 cm (разделение след 1cm).

ℓ 1 \u003d 20.4cm ℓ 2 \u003d 20.2см


0,! : 20,4 = 0,0049 = 0,49% 1: 20,2 = 0,0495 = 4,95%

Те казват относителна грешка в първия случай до 0.49% (т.е. ≤ 0,49%), във втория случай до 4.95% (т.е. ≤ 4.95%).

В първия случай точността на измерването е по-висока. Ние не говорим

относителна грешка и нейната оценка.

В производството В производството на части, ние използваме

шунзиркул (за измерване на дълбочината; диаметър: външен и вътрешен).

Абсолютна грешка Когато измервате това устройство, точността е до 0.1 mm. намирам оценка на относителната грешка При измерване на дебеломер:

d \u003d 9,86cm \u003d 98,6mm


0,1: │98,6│= 0,1: 98,6 = 0,001 = 0,1%
Относителна грешка до 0.1% (т.е. ≤ 0.1%).

Ако сравните с предишни две измерения, точността на измерване се получава по-горе.

От трите практически примера можем да заключим: Какви точни стойности не могат да бъдат измервани при нормални условия.

Но за да извършите по-точно измерването, трябва да вземете измервателното устройство цената на разделяне, която е възможно най-малко.

4
. Независима работа по опции, последвана от проверка (под колата).

Опция 1

Вариант 2.

1. Изградете графика на функцията y \u003d x 3

1. Изградете графика на функцията y \u003d x 2


  1. ако x \u003d 1.5, тогава ≈
ако x \u003d -0.5, тогава ≈

b) y \u003d 4 при x ≈
Възползвайте се от графика, за да завършите записа:

  1. ако x \u003d 2.5, тогава ≈
ако x \u003d -1,5, тогава ≈

б) y \u003d 5 при x ≈

2. Закръглете броя на 0,356 до десети и намерете:

а) абсолютна грешка

сближаване;

б) относителна грешка

сближаване


2. Закръглете броя 0,188 до десети и намерете:

а) абсолютна грешка

сближаване;

б) относителна грешка

сближаване

(Журито проверява независимата работа)


. Викторина. (За всеки верен отговор - 1 точка)

В кои примери са точни стойности и в които приблизително?


Примери:

1. В клас 36 ученици

2. В работещото село 1000 жители

3. Железопътна железопътна линия има дължина от 50 m

4. Работникът получи 10 000 рубли на касата

5. В самолета Як - 40 120 пътнически седалки

6. Разстояние между Москва и Санкт Петербург 650 км

7. Пшеничният килограм съдържа 30 000 зърна

8. Изготвяне от Земя до слънце 1.5 ∙ 10 8 км

9. Един от учениците по въпроса колко ученици изучават в училище, отговориха: "1000", а другият отговори "950". Чий отговор е по-точен, ако 986 \u200b\u200bученици изучават в училище?

10. Кофа хляб тежи 1 кг и струва 2500 r.

11. Бележник при 12 листа струва 600 p. и има дебелина от 3 мм


v. Обобщаване, възнаграждаване