Упражнение.

В дясно четириъгълна призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 страните на основата са 3, а страничните ръбове са 4. Точка E е отбелязана на ръба AA 1, така че AE: EA 1 = 1: 3.

а) Построете правата на пресичане на равнините ABC и BED 1.

б) Намерете ъгъла между равнините ABC и BED 1.

Решение:

а) Построете линията на пресичане на равнинитеABC иЛЕГЛО 1.

Нека конструираме самолета BED 1. Точките E и D 1 лежат в една и съща равнина, така че нека начертаем права линия ED 1.

Точки E и B лежат в една и съща равнина, така че нека начертаем права линия EB. Тъй като стените на правилната четириъгълна призма са успоредни, нека начертаем права BF, успоредна на правата ED 1 в лицето BB 1 C 1 C. Точките F и D 1 лежат в една и съща равнина, така че нека начертаем права линия FD 1. Получихме необходимия самолет BED 1.

Тъй като правата ED 1 и правата AD лежат в една и съща равнина ADD 1, те се пресичат в точка K, която лежи в равнината ABC. Точките K и B лежат в равнините ABC и BED 1, следователно равнините ABC и BED 1 се пресичат по правата KB. Построена е необходимата пресечна права на равнини ABC и BED 1.

б) Намерете ъгъла между равнинитеABC иЛЕГЛО 1

Отсечката AE е перпендикулярна на равнината ABC; спускаме перпендикуляра EH към правата KB. Точка H лежи в равнината ABC, тогава AH е проекцията на EH върху равнината ABC. Права линия, перпендикулярна на наклонената EH, минава през точката H, тогава по теоремата за три перпендикуляра сегментът AH е перпендикулярен на правата KB.

Ъгъл ∠EHA е линеен ъгъл двустенен ъгъл, образувана от равнини ABC и BED 1. Ъгъл ∠EHA е желаният ъгъл между равнините ABC и BED 1. Нека намерим стойността на този ъгъл.

Да разгледаме правоъгълния триъгълник EHA (∠A = 90˚):

По условие AE: EA 1 = 1: 3, след това AE: AA 1 = 1: 4.

Тогава триъгълниците AKE и A 1 D 1 E са подобни

A 1 D 1 = 3, AE = 1, A 1 E = AA 1 – AE = 3

Да разгледаме правоъгълния триъгълник AKB (∠A = 90˚).


В правилна четириъгълна призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 страните на основата са равни на 2, а страничните ръбове са равни на 5. Точка E е отбелязана на ръба AA 1, така че AE: EA 1 = 3: 2 Намерете ъгъла между равнините ABC и BED 1 .

Решение. Нека правата D 1 E пресича правата AD в точка K. Тогава равнините ABC и BED 1 ще се пресичат по правата KB.

От точка E спускаме перпендикуляра EH към линията KB, тогава сегментът AH (проекция EH) ще бъде перпендикулярен на линията KB (теоремата за три перпендикуляра).

Ъгъл AHE е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от равнините ABC и BED 1 .

Тъй като AE: EA 1 = 3: 2, получаваме: .

От подобието на триъгълници A 1 D 1 E и AKE получаваме: .

В правоъгълен триъгълник AKB с прав ъгъл A: AB = 2, AK = 3, ; откъде идва височината?
.

от правоъгълен триъгълник AHE с прав ъгъл A получаваме: и ∠ AHE = arctan(√13/2).

Отговор: арктан(√13/2).

Задачи за независимо решение

1. Б правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB 1 = 2, AD = AA 1 = 1. Намерете ъгъла между правата AB и равнината ABC 1.

2. В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 всички ъгли са равни на 1. Намерете разстоянието от точка B до равнината DEA 1.

3. В правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = 1, AA 1 = 2. Намерете ъгъла между правата AB 1 и равнината ABC 1.

Нека разгледаме друга двуточкова стереометрична задача от учебните CIM.

Задача.В правилна четириъгълна призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 страната AB на основата е равна на 5, а страничният ръб AA 1 е равен на корен квадратен от пет. На ребрата на слънцето и C 1 D 1 отбелязани точки K и L съответно, с SC = 2 и C 1 L =1. Самолет жуспоредна на права Bг и съдържа точки K иЛ.

а) Докажете, че правата A 1 C е перпендикулярна на равнинатаж.

б) Намерете обема на пирамида, чийто връх е точка A 1, а основата е сечение на дадена призма с равнинаж.

Решение.а) Нека внимателно да завършим чертежа и да анализираме данните. защото ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правилна четириъгълна призма, което означава основа ABCD – квадрат със страна 5. Странични ребраперпендикулярни на основите. Още от самолетажминава през точка K и е успоредна на права Bг , след това линията на пресичане на равнинатажи равнината ABC е успоредна на права Bг (Ако друга равнина се начертае през права, успоредна на дадена равнина, тогава пресечната линия на тези равнини ще бъде успоредна на дадената права).


През точка K начертаваме права, успоредна на Bг до пресечката с CD в точка M. Това означава, че CM е перпендикулярна на AC ( защото диагонали на квадрат BD и AC са перпендикулярни ).


Триъгълници BCD и SCM са подобни (и двата са правоъгълни и равнобедрени), което означава CM=KS=2. Използвайки Питагоровата теорема от триъгълника SKM намираме, че KM = 2√2, и от триъгълника BCD BD =5 √2 . Диагоналите на квадрат са равни, което означава AC = BD =5 √2.

Сега, през точкатаЛ начертайте права линия, успоредна на Bг до пресечката с B 1 C 1 в точка Т. По отсечката Т L самолет KM L ще пресече горната основа ( Ако две успоредни равнини се пресекат от трета равнина, тогава пресечните линии ще бъдат успоредни). Така че Т C 1 = C 1 L =1. От триъгълник Т LC 1 според Питагоровата теорема Т L = √2.

В равнобедрен трапец CTЛ M точка H – средата на горната основа, точкаН - средата на долната основа, което означава HН – височина на трапеца, NН перпендикулярна на KM. Това означава, че CM е перпендикулярна на равнината AA 1 C, включително правата A 1 C.

Помислете за диагоналното напречно сечение на правоъгълна призма AA 1 C 1 C. От точка H спускаме перпендикуляр на AC. Тогава N E=EC=N C 1 =0,5 √2. НЕ= C C 1 = √5.


В триъгълници AA 1 C иН RS ъгъл RSA – общ. Тангенсът на ъгъл AA 1 C е равен на 5√2 : √5 = √10 Тангенс на ъгъл Н N E от триъгълник H N E е равно на √5: 0,5 √2 = √10 . Така че ъглите AA 1 C и HН E са равни. Но тогава останалите ъгли A 1 AC = N RS=90 ⁰ . Имаме A 1 C перпендикулярно на правите HН и KM, което означава, че A 1 C е перпендикулярна на равнината на трапеца KTЛ М. Което трябваше да се докаже.

За да намерите обема на пирамидата A 1 CTЛ M, трябва да намерим площта на трапеца CTЛ M и височина A 1 R. От триъгълник HН E по Питагоровата теорема H N 2 =5,5. Област на трапец CT L M е равно на N N *(T L + KM)/2= √5,5 *(√2 + 2 √2)/2=1,5 √11.