«Площадь треугольника» - ВС- основание. АН1- высота. АС- основание. ВН- высота. Площадь треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Теорема. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

«Автономное существование человека» - Эрнест Генри ШЕКЛТОН - английский исследователь Антарктиды. 1874 – 1922. Вынужденное автономное существование. Факторы, влияющие на человека в условиях вынужденного автономного существования. I Природные. Вечером делает запись в дневнике, а ночью от внезапного сердечного приступа умирает. Прогнозируемое (добровольное).

«Равнобедренный треугольник» - Основание. Боковая сторона. BD - высота. Равносторонний треугольник. Биссектриса. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. Высота. ВD - биссектриса. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

«Программа Треугольник» - Спонсоры программы: Партнерский проект ГТРК «Саратов», Студии «СТВ» и АРМК «Софит». Рекламный пакет (на новые программы «Треугольник», на неделю): Бюджет каждой из программ «Треугольник» составляет порядка 200 тыс. руб./. ТВ-программа «Треугольник». Посторонней рекламы в программе нет! Целевая аудитория.

«Виды треугольников» - Точки называются вершинами, а отрезки- сторонами. Виды треугольников. По сравнительной длине сторон различают следующие виды треугольников. По величине углов различают следующие виды.

«Решение треугольников 9 класс» - Зависят ли значения sin ?, cos ? от радиуса окружности? С. Решение треугольников прямоугольных. Уз 1: координаты точки A (OA cos C; OA sin C). Решение треугольников произвольных. Уз 2: площадь треугольника в тригонометрической форме S? = ? a b sin C, 1. Дайте определение sin ?, cos ? 2. Как изменяется: sin ?, cos ??

Контрольные вопросы к §1.

Основные свойства простейших геометрических фигур .

Вопрос 1. Приведите примеры геометрических фигур.
Ответ: Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность.

Вопрос 2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
Ответ: Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Вопрос 3. Как обозначаются точки и прямые?
Ответ: Точки обозначаются прописными латинскими буквами: A, B, C, D, … . Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, … .
Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую a на рисунке 4 можно обозначить AC, а прямую b можно обозначить BC. Рис.4

Вопрос 4. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых.
Ответ: Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Вопрос 5. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках.
Ответ: Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: "отрезок AB", то подразумевают отрезок с концами в точках A и B.

Вопрос 6. Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой.
Ответ: Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Вопрос 7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.
Ответ: Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Вопрос 8. Что называется расстоянием между двумя данными точками?
Ответ: Длину отрезка AB называют расстоянием между точками A и B.
Вопрос 9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?
Ответ: Разбиение плоскости на две полуплоскости обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Вопрос 10. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.
Ответ: Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Вопрос 11. Что такое полупрямая или луч? Какие полупрямые называются дополнительными?
Ответ: Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными.

Вопрос 12. Как обозначаются полупрямые?
Ответ: Полупрямые, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами.
Вопрос 13. Какая фигура называется углом?
Ответ: Углом называется фигура, которая состоит из точки - вершины угла - и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла.

Вопрос 14. Как обозначается угол?
Ответ: Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трёх точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком.
Вопрос 15. Какой угол называется развёрнутым?
Ответ: Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развёрнутым.

Вопрос 16. Объясните, что означает выражение: «Полупрямая проходит между сторонами угла”.
Ответ: Мы будем говорить, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.
Вопрос 17. В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение.
Ответ: Углы измеряются в градусах при помощи транспортира.

Вопрос 18. Сформулируйте основные свойства измерения углов.
Ответ: Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Вопрос 19. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов.
Ответ: На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Вопрос 20. Что такое треугольник?
Ответ: Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами.

Вопрос 21. Что такое угол треугольника при данной вершине?
Ответ: Углом треугольника ABC при вершине A называется угол, образованный полупрямыми AB и AC. Так же определяются углы треугольника при вершинах B и C.

Вопрос 22. Какие отрезки называются равными?
Ответ: Отрезки называются равными, если их длины равны.
Вопрос 23. Какие углы называются равными?
Ответ: Углы называются равными, если их градусные меры равны.
Вопрос 24. Какие треугольники называются равными?
Ответ: Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
Вопрос 25. Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы?
Ответ: На чертеже равные отрезки обычно отмечают одной, двумя или тремя чёрточками, а равные углы - одной, двумя или тремя дужками.

Вопрос 26. Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному.
Ответ: Пусть мы имеем треугольник ABC и луч a (рис. 23, а). Переместим треугольник ABC так, чтобы его вершина A совместилась с началом луча a, вершина B попала на луч a, а вершина C оказалась в заданной полуплоскости относительно луча a и его продолжения. Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим A 1 ,B 1 ,C 1 (рис. 23, б).
Треугольник A 1 B 1 C 1 равен треугольнику ABC.
Вопрос 27. Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых?
Ответ: Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Для обозначения параллельности прямых используется знак ||. а||b.

Вопрос 28. Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.
Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Вопрос 29. Приведите пример теоремы.
Ответ: Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

Контрольные вопросы к § 2. Смежные и вертикальные углы .

Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ: Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a 1 b) и (a 2 b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a 1 и a 2 являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Ответ: Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Пусть угол (a 1 b) и угол (a 2 b) - данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a 1 и a 2 развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a 1 b) и (a 2 b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ:

Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a 1 b) и (c 1 d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a 2 b) и (c 2 d) тоже равны. Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a 1 b + a 2 b = 180° и c 1 d + c 2 d = 180°. Отсюда, a 2 b = 180° - a 1 b и c 2 d = 180° - c 1 d. Так как углы (a 1 b) и (c 1 d) равны, то мы получаем, что a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a 2 b = c 2 d. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ: Угол, равный 90°, называется прямым углом. Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Ответ: Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ: Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (a 1 b 1) и (a 2 b 2)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a 1 b 2) является смежным с углом (a 1 b 1) и с углом (a 2 b 2). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a 1 b 1) и (a 2 b 2) дополняет угол (a 1 b 2) до 180°, т.е. углы (a 1 b 1) и (a 2 b 2) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ: Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Ответ: Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Перпендикулярность прямых обозначается знаком ⊥.. Запись a ⊥b читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Вопрос 10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Ответ: Теорема 2.3. Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство. Пусть a - данная прямая и A - данная точка на ней. Обозначим через a 1 одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a 1 угол (a 1 b 1), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b 1 , будет перпендикулярна прямой a.

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c 1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b 1 . Углы (a 1 b 1) и (a 1 c 1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a 1 . Но от полупрямой a 1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ: Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ: Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы сначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ: Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Контрольные вопросы к § 3. Признаки равенства треугольников.

Вопрос 1. Докажите первый признак равенства треугольников. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?
Ответ: Первый признак равенства треугольников - Теорема 3.1. (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 угол A= углу A 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 (рис. 44). Рис. 44.
Докажем, что треугольники равны. Пусть A 1 B 2 C 2 - треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной B 2 на луче A 1 B 1 и вершиной C 2 в той же полуплоскости относительно прямой A 1 B 1 , где лежит вершина C 1 (рис. 45, а). Так как A 1 B 1 =A 1 B 2 , то вершина B 2 совпадает с вершиной B 1 (рис. 45, б). Так как угол B 1 A 1 C 1 = углу B 2 A 1 C 2 , то луч A 1 C 2 совпадает с лучом A 1 C 1 (рис. 45, в). Так как A 1 C 1 =A 1 C 2 , то вершина C 2 совпадает с вершиной C 1 (рис. 45, г).
Итак, треугольник A 1 B 1 C 1 совпадает с треугольником A 1 B 2 C 2 , значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
В начале доказательства рисуют треугольник A 1 B 2 C 2 равный треугольнику ABC с вершиной B 2 на луче A 1 B 1 и вершиной C 2 в той же полуплоскости относительно прямой A 1 B 1 , где лежит вершина C 1 (рис. 45, а). Такой треугольник существует по аксиоме о существовании треугольника, равного данному (каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой).
Затем утверждается совпадение вершин B 1 и B 2 на том основании, что A 1 B 1 = A 1 B 2 . Здесь используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
Далее утверждается совпадение лучей A 1 C 2 и A 1 C 1 на том основании, что ∠B 2 A 1 C 1 = ∠B 2 A 1 C 2 . Здесь используется аксиома откладывания углов (от любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один). Наконец, утверждается совпадение вершин C 1 и C 2 , так как A 1 C 1 = A 2 C 2 . Здесь снова используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
Итак, при доказательстве теоремы 3.1 используются аксиомы откладывания отрезков и углов и аксиома о существовании треугольника, равного данному.

Вопрос 2. Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников.
Ответ: Второй признак равенства треугольников - Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть ABC и A 1 B 1 C 1 - два треугольника, у которых AB= A 1 B 1 , угол A= углу A 1 и угол B= углу B 1 (рис. 47). Докажем, что треугольники равны.
Пусть A 1 B 2 C 2 - треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной B 2 на луче A 1 B 1 и вершиной C 2 в той же полуплоскости относительно прямой A 1 B 1 , где лежит вершина C 1 .
Так как A 1 B 2 =A 1 B 1 , то вершина B 2 совпадает с вершиной B 1 . Так как угол B 1 A 1 C 2 = углу B 1 A 1 C 1 и угол A 1 B 1 C 2 = углу A 1 B 1 C 1 , то луч A 1 C 2 совпадает с лучом A 1 C 1 , а луч B 1 C 2 совпадает с лучом B 1 C 1 . Отсюда следует, что вершина C 2 совпадает с вершиной C 1 .
Итак, треугольник A 1 B 1 C 1 совпадает с треугольником A 1 B 2 C 2 , а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

Вопрос 3. Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая сторона называется основанием?
Ответ: Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Вопрос 4. Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Ответ: Теорема 3.3 (свойство углов равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство. Пусть ABC- равнобедренный треугольник с основанием AB (рис. 48). Докажем, что у него угол A= углу B.

Треугольник CAB равен треугольнику CBA по первому признаку равенства треугольников. Действительно, CA= CB, CB= CA, угол C= углу C. Из равенства треугольников следует, что угол A= углу B. Теорема доказана.

Вопрос 5. Какой треугольник называется равносторонним?
Ответ: Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Вопрос 6. Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Ответ: Теорема 3.4 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Доказательство. Пусть ABC – треугольник, в котором угол A= углу B (рис. 50). Докажем, что он равнобедренный с основанием AB.

Треугольник ABC равен треугольнику BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно, AB=BA, угол B= углу A, угол A= углу B. Из равенства треугольников следует, что AC= BC. Значит, по определению треугольник ABC равнобедренный. Теорема доказана.

Вопрос 7. Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная?
Ответ: Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая теорема имеет обратную, то есть если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Вопрос 8. Что такое высота треугольника?
Ответ: Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис. 51, а-б).

Вопрос 9. Что такое биссектриса треугольника?
Ответ: Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 52, а).

Вопрос 10. Что такое медиана треугольника?
Ответ: Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 52, б).

Вопрос 11. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Ответ: Теорема 3.5 (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство. Пусть ABC – данный равнобедренный треугольник с основанием AB и CD – медиана, проведённая к основанию (рис. 53). Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны AC и BC равны, потому что треугольник ABC равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB.)
Из равенства треугольников следует равенство углов: угол ACD = углу BCD, угол ADC = углу BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD – биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD – высота треугольника.

Вопрос 12. Докажите третий признак равенства треугольников.
Ответ: Третий признак равенства треугольников - Теорема 3.6 (признак равенства треугольников по трём сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть ABC и A 1 B 1 C 1 – два треугольника, у которых AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 (рис. 55). Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол A не = углу A 1 , угол B не = углу B 1 , угол C не = углу C 1 . Иначе они были бы равны по первому признаку.
Пусть A 1 B 1 C 2 – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина C 2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C 1 относительно прямой A 1 B 1 (см. рис. 55).
Пусть D – середина отрезка C 1 C 2 . Треугольники A 1 C 1 C 2 и B 1 C 1 C 2 – равнобедренные с общим основанием C 1 C 2 . Поэтому их медианы A 1 D и B 1 D являются высотами. Значит, прямые A 1 D и B 1 D перпендикулярны прямой C 1 C 2 . Прямые A 1 D и B 1 D не совпадают, так как точки A 1 , B 1 , D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой C 1 C 2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Контрольные вопросы к §4. Сумма углов треугольника .

Вопрос 1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Ответ: Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что a и b не параллельны (рис. 69). Тогда они не пересекаются в некоторой точке C. Значит, через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.

Вопрос 2. Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
Ответ: Пары углов, которые образуются при пересечении прямых AB и CD секущей AC, имеют специальные названия.
Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними односторонними (рис. 71, а).
Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 71, б).

Вопрос 3. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.
Ответ: Секущая AC образует с прямыми AB и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например, угол 1 и угол 2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: угол 3 и угол 4 (рис. 72). Рис. 72

Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.
Пара внутренних накрест лежащих углов, например угол 1 и угол 2, и пара внутренних односторонних углов, например угол 2 и угол 3, имеют один угол общий – угол 2, а два других угла смежные: угол 1 и угол 3.
Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних углов равна 180°. И обратно: если сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Докажите признак параллельности прямых.
Ответ: Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73, а). Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке C (рис. 73, б). Рис. 73

Секущая AB разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка C. Построим треугольник BAC 1 , равный треугольнику ABC, с вершиной C 1 в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных a, b и секущей AB равны. Так как соответствующие углы треугольников ABC и BAC 1 с вершинами A и B равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая AC 1 совпадает с прямой a, а прямая BC 1 совпадает с прямой b. Получается, что через точки C и C 1 проходят две различные прямые a и b. А это невозможно. Значит, прямые a и b параллельны.
Если у прямых a и b и секущей AB сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Вопрос 5. Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот.

Ответ: Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Что и требовалось объяснить.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Допустим, у нас есть две параллельные прямые (так как по условию внутренние накрест лежащие углы равны) и секущая, которые образуют углы 1, 2, 3. Углы 1 и 2 равны как внутренние накрест лежащие. А углы 2 и 3 равны как вертикальные. Получаем: ∠1 = ∠2 и ∠2 = ∠3. По свойству транзитивности знака равенства следует, что ∠1 = ∠3.

3. Аналогично доказывается и обратное утверждение.
Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 6. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?

Ответ: Задача (8). Даны прямая AB и точка C, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку C можно провести прямую, параллельную прямой AB.
Решение. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка B лежит в одной из них. Отложим от полупрямой CA в другую полуплоскость угол ACD, равный углу CAB. Тогда прямые AB и CD будут параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей AC углы BAC и DCA внутренние накрест лежащие. А так как они равны, то прямые AB и CD параллельны. Что и требовалось доказать. Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы IX (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.

Вопрос 7. Докажите, что если две прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Ответ: Теорема 4.3 (обратная теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Доказательство. Пусть a и b – параллельные прямые и c – прямая, пересекающая их в точках A и B. Проведём через точку A прямую a 1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей c с прямыми a 1 и b, были равны (рис. 76). По признаку параллельности прямых прямые a 1 и b параллельны. А так как через точку A проходит только одна прямая, параллельная прямой b, то прямая a совпадает с прямой a 1 . Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с параллельными прямыми a и b, равны. Теорема доказана.

Вопрос 8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Ответ: Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Предположим, что две какие-либо прямые перпендикулярны третьей прямой. Значит, эти прямые пересекаются с третьей прямой под углом, равным 90°. Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Вопрос 9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.

Ответ: Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC (рис. 78). Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу ABD.
А сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD и секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Вопрос 10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
Ответ: Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих двух углов уже не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 11. Что такое внешний угол треугольника?
Ответ: Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 79).

Вопрос 12. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Ответ: Теорема 4.5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник (рис. 80). По теореме о сумме углов треугольника ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Отсюда следует, что ∠A + ∠B = 180° - ∠C. В правой части этого равенства стоит градусная мера внешнего угла треугольника при вершине C. Теорема доказана.

Вопрос 13. Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Ответ: Из теоремы 4.5 следует, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Вопрос 14. Какой треугольник называется прямоугольным?
Ответ: Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Вопрос 15. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
Ответ: Так как сумма углов треугольника равна 180°, то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два других угла прямоугольного треугольника острые. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180° - 90° = 90°.

Вопрос 16. Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?

Ответ: Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами (рис. 82).

Вопрос 17. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Ответ: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Вопрос 18. Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Ответ: Теорема 4.6. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Доказательство. Пусть a – данная прямая и A – не лежащая на ней точка (рис. 85). Проведём через какую – нибудь точку прямой a перпендикулярную прямую. А теперь проведём через точку A параллельную ей прямую b. Она будет перпендикулярна прямой a, так как прямая a, будучи перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Отрезок AB прямой b и есть перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a.
Докажем единственность перпендикуляра AB. Допустим, существует другой перпендикуляр AC. Тогда у треугольника ABC будут два прямых угла. А это, как мы знаем, невозможно. Теорема доказана.

Вопрос 19. Что называется расстоянием от точки до прямой?
Ответ: Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.

Вопрос 20. Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми.
Ответ: Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой – нибудь точки одной прямой до другой прямой.

Контрольные вопросы к §5. Геометрические построения.

Вопрос 1. Что такое окружность, центр окружности, радиус?
Ответ: Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.

Вопрос 2. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?
Ответ: Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Вопрос 3. Какая окружность называется описанной около треугольника?
Ответ: Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Вопрос 4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Ответ: Теорема 5.1. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник и O – центр описанной около него окружности (рис. 93). Треугольник AOC равнобедренный: у него стороны OA и OC равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через её середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника. Теорема доказана.

Вопрос 5. Какая прямая называется касательной к окружности?
Ответ: Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания.

Вопрос 6. Что значит: окружности касаются в данной точке?
Ответ: Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную (рис. 97).

Вопрос 7. Какое касание окружностей называется внешним, какое – внутренним?
Ответ: Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной (рис. 97, а). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 97, б).

Вопрос 8. Какая окружность называется вписанной в треугольник?
Ответ: Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Вопрос 9. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.
Ответ: Теорема 5.2. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами (рис. 98). Прямоугольные треугольники AOD и AOE равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза AO общая, а катеты OD и OE равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и OAE. А это значит, что точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведённой из вершины A. Точно так же доказывается, что точка O лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.

Вопрос 10. Объясните, как построить треугольник по трём сторонам.
Ответ: Задача 5.1. Построить треугольник с данными сторонами a, b, c (рис. 99, а).
Решение. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней произвольную точку B (рис. 99, б). Раствором циркуля, равным a, описываем окружность с центром B и радиусом a. Пусть C – точка её пересечения с прямой. Теперь раствором циркуля, равным c, описываем окружность из центра B, а раствором циркуля, равным b, описываем окружность из центра C. Пусть A – точка пересечения этих окружностей. Проведём отрезки AB и AC. Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 11. Объясните, как отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Ответ: Задача 5.2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Решение. Проведём произвольную окружность с центром в вершине A данного угла (рис.100,а). Пусть B и C – точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом AB проведём окружность с центром в точке O – начальной точке данной полупрямой (рис.100,б). Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим B 1 . Опишем окружность с центром B 1 и радиусом BC. Точка C 1 пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла. Для доказательства достаточно заметить, что треугольники ABC и OB 1 C 1 равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы A и O являются соответствующими углами этих треугольников. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 12. Объясните, как разделить данный угол пополам.
Ответ: Задача 5.3. Построить биссектрису данного угла.
Решение. Из вершины A данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис. 101). Пусть B и C – точки её пересечения со сторонами угла. Из точек B и C тем же радиусом описываем окружности. Пусть D – точка их пересечения, отличная от A. Проводим полупрямую AD. Луч AD является биссектрисой, так как делит угол BAC пополам. Это следует из равенства треугольников ABD и ACD, у которых углы DAB и DAC являются соответствующими. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 13. Объясните, как разделить отрезок пополам.
Ответ: Задача 5.4. Разделить отрезок пополам.
Решение. Пусть AB – данный отрезок (рис. 102). Из точек A и B радиусом AB описываем окружности. Пусть C и C 1 – точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AB. Отрезок CC 1 пересекает прямую AB в некоторой точке O. Эта точка есть середина отрезка AB. Действительно, треугольники CAC 1 и CBC 1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует равенство углов ACO и BCO. Треугольники ACO и BCO равны по первому признаку равенства треугольников. Стороны AO и BO этих треугольников являются соответствующими, а поэтому они равны. Таким образом, O – середина отрезка AB. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 14. Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
Ответ: Задача 5.5. Через данную точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a.
Решение. Возможны два случая:
1) точка O лежит на прямой a;
2) точка O не лежит на прямой a.
Рассмотрим первый случай (рис. 103).
Из точки O проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую a в двух точках: A и B. Из точек A и B проводим окружности радиусом AB. Пусть C – точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки O и C.
Перпендикулярность прямых OC и AB следует из равенства углов при вершине O треугольников ACO и BCO. Эти треугольники раны по третьему признаку равенства треугольников.
Рассмотрим второй случай (рис. 104).
Из точки O проводим окружность, пересекающую прямую a. Из точек A и B тем же радиусом проводим окружности. Пусть O1 – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка O. Искомая прямая проходит через точки O и O1. Докажем это.
Обозначим через C точку пересечения прямых AB и OO1. Треугольники AOB и AO1B равны по третьему признаку. Поэтому угол OAC равен углу O1AC. А тогда треугольники OAC и O1AC равны по первому признаку. Значит, их углы ACO и ACO1 равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, OC – перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую a. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 15. Что представляет собой геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек?
Ответ: Теорема 5.3. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.
Доказательство. Пусть A и B – данные точки, a – прямая, проходящая через середину O отрезка AB перпендикулярно к нему (рис. 105). Мы должны доказать, что:
1) Каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B;
2) Каждая точка D плоскости, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a.
То, что каждая точка C прямой a находится на одинаковом расстоянии от точек A и B, следует из равенства треугольников AOC и BOC. У этих треугольников углы при вершине O прямые, сторона OC общая, а AO=OB, так как O – середина отрезка AB.
Покажем теперь, что каждая точка D плоскости, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a. Рассмотрим треугольник ADB. Он равнобедренный, так как AD=BD. В нем DO – медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой. Значит, точка D лежит на прямой a. Теорема доказана.

Назовите тип и фазу деления клеток, изображённых на рисунках. Какие процессы они иллюстрируют? К чему приводят эти процессы?

Пояснение.

1) Тип и фаза деления: Мейоз - профаза1.

2) Процессы: кроссинговер, обмен гомологичными участками хромосом. Взаимный обмен участками между гомологичными (попарными) хромосомами.

3) Результат: новая комбинация аллелей генов, следовательно, комбинативная изменчивость

Примечание:

в пункте 2 был указан процесс «конъюгация», убран из критериев, т.к.

Конъюгация хромосом - попарное временное сближение гомологичных хромосом, во время которого между ними может произойти обмен гомологичными участками (а может и не произойти).

Пояснение от "пользователя" сайта Евгения Скляр - уточнения к пункту 2. Тоже засчитаются проверяющими «как верные»

2) Процессы: конъюгация (синапсис) - сближение и контакт гомологичных хромосом, кроссинговер - обмен гомологичными участками хромосом.

3) Результат: новая комбинация аллелей генов, следовательно, повышение генетической разнородности хромосом и, как следствие, образующихся гамет (спор).

Без комбинативной изменчивости, т.к. об изменчивости можно говорить только судя по новому поколению организмов.

Си́напсис - конъюгация хромосом, попарное временное сближение гомологичных хромосом, во время которого между ними может произойти обмен гомологичными участками... (учебник для профильных классов под ред. Шумного)

Следовательно кроссинговер - есть часть конъюгации как минимум по временным рамкам.

Источник: ЕГЭ по биологии 30.05.2013. Основная волна. Сибирь. Вариант 4., ЕГЭ- 2017

Гость 19.08.2015 17:20

В пояснении ошибка. На рисунке изображен процесс кроссинговера: 1. бивалент до кроссинговера, 2. бивалент после крассинговера.

КОНЪЮГАЦИИ НА РИСУНКЕ НЕТ.

Гульнара 01.06.2016 13:49

Кроссинговер это и есть обмен гомологичными участками хромосом, зачем отдельно через запятую писать кроссинговер, обмен участками гомологичный хромосом???

Наталья Евгеньевна Баштанник

нет, это три разных процесса:

конъюгация, кроссинговер, обмен гомологичными участками хромосом

Светлана Васильева 17.11.2016 02:56

Кроссинговер может произойти без конъюгации???? Конъюгация (сближение гомологичных хромосом) происходит всегда, а вот кроссинговер не всегда, только в 30%! Кроссинговер - это контакт гомологичных хромосом, после чего между их идентичными участками происходит обмен..... или не так?

Наталья Евгеньевна Баштанник

В чём суть вопроса?

Кроссинговер - это перекрест , взаимный обмен гомологичными участками гомологичных хромосом в результате разрыва и соединения в новом порядке их нитей - хроматид; приводит к новым комбинациям аллелей разных генов.

Почему 30%??? Вероятность кроссинговера разная , зависит от расстояния между генами. 1% кроссинговера=1М (Морганиде).

Если произошел кроссинговер - перекрест, это ещё не значит, что произойдет обмен.

Разделы: Математика

Цели:

Обучающая: обобщить ЗУНы по изученной теме.

Развивающая: развивать умения применять теоретический материал при решении задач; развивать логическое мышление. Учить мыслить, рассуждать, анализировать, обобщать.

Воспитывающая: формировать навык анализа и оценки собственной деятельности (самооценка).

  • Обобщить изученный материал, задать мотивацию. Учить воспитанников логично строить новую для них науку ГЕОМЕТРИЮ. Проанализировать структуру формулировки определения и свойств фигур (отрезков и углов по аналогии; полупрямой и полуплоскости).
  • Повести устный опрос учащихся с самооценкой.
  • Провести самостоятельную работу "Решение задач по готовым чертежам" (самооценка).
  • Провести рефлексию полученных результатов.
  • Задать согласно результатам урока домашнее задание.

Оборудование:

  • Интерактивная доска, презентация.
  • Треугольник, выпиленный из фанеры.
  • Верёвка с завязанными узелками через равные отрезки.
  • Карточки для самооценки деятельности воспитанника на уроке.

Ход урока

1. Организующий момент, мотивация на урок, постановка целей и задач (слайд1).

Сообщается план урока.

Итак, ребята, мы продолжаем строить новую науку - ГЕОМЕТРИЮ. Сейчас мы повторим и обобщим те знания, которые вы уже имеете, проведём аналогии, где это возможно, и будем продолжать знакомиться с новыми понятиями. А также Вы сами проверите, как полученные знания Вы применяете при решении задач. Узнаете много нового и интересного о геометрии. На каждом этапе урока вы оцените себя. Результаты занесёте в таблицу:

2. Повторение (слайды 2 -16).

  1. Какие геометрические фигуры и понятия являются основными (неопределяемыми)? Ответ: Точка, прямая, плоскость, расстояние и множество.
  2. Сколько прямых можно провести через различные пары из трёх точек, не лежащих на одной прямой? Ответ: Три.
  3. Сколько прямых можно провести через различные пары из четырех точек, ни какие три из которых, не лежат на одной прямой? Ответ: 6.
  4. Какая фигура называется лучом (полупрямой)?Ответ: Если на прямой поставить точку, то она разобьёт прямую на 2 луча с началом в этой точке.
  5. Какая фигура называется полуплоскостью?Ответ: Если на плоскости провести прямую, то она разобьёт плоскость на 2 полуплоскости (граница - проведённая прямая).
  6. Какая фигура называется отрезком?Ответ: Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками.
  7. Чему равен метр?Ответ: Одна сорокамиллионная часть парижского меридиана.
  8. Что называется длиной отрезка? Ответ: Длина отрезка - это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.
  9. Каким свойствам удовлетворяет длина отрезка?Ответ: Длина отрезка удовлетворяет следующим свойствам: Свойство 1. Длины равных отрезков равны. Свойство 2. Длина суммы отрезков равна сумме их длин.
  10. Какая фигура называется углом?Ответ: Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки точками.
  11. Что показывает градусная величина угла? Ответ: Градусная величина угла показывает, сколько раз угол в один градус и его части укладываются в этом угле.
  12. Что такое: а) градус; б) минута; в) секунда?Ответ: а) Одна стовосьмидесятая часть развернутого угла; б) одна шестидесятая часть градуса; в) одна шестидесятая часть минуты.
  13. Угол называется прямым, если: Угол называется острым, если: Угол называется тупым, если:
  14. Каким свойствам удовлетворяет градусная величина угла? Ответ: Градусная величина угла удовлетворяет следующим свойствам: Свойство 1. Градусные величины равных углов равны. Свойство 2. Градусная величина суммы углов равна сумме их градусных величин.
  15. Повторим обозначения точки, прямой, луча, угла.

Воспитанники выставляют себе оценку в карточку за знание теории (самооценка).

3. Самостоятельная работа (слайды 17-18).

У каждого воспитанника на столе лист с готовыми чертежами для 10 задач. Необходимо кратко записать решение задач по теме "Углы" (применение свойств). См. приложение 1. Каждый может выбрать себе для решения 5 любых задач или больше (в зависимости от способностей и подготовки). На решение отводится 8-10 минут. Затем самопроверка. На доске - слайд с ответами. Самооценка (выставление в лист самоконтроля).

Отдохнём (слайд19).

Внимательно посмотрите на картинку под звуки музыки Шнитке (30-40сек). Из каких фигур она составлена? Да, большинство фигур - треугольники.

Изучение нового материала.

Воспитанники, зная заранее тему урока, выссказывают свои пожелания, о чём бы они хотели узнать сегодня на уроке.

Обсуждение эпиграфа, постановка целей данного этапа урока (слайд20).

Высшее проявление духа - это разум.
Высшее проявление разума - это геометрия.
Клетка геометрии - треугольник.
Он так же неисчерпаем, как и вселенная.
И.Ф. Шарыгин

Воспитанники показывают треугольники в окружающей жизни. Пытаются сформулировать определение треугольника. Поиск и научная формулировка определения треугольника. Показываются и обозначаются стороны и углы треугольника. Подчёркивается разница в обозначении углов и треугольников. Треугольник - это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

Задача: воспитанники решили у себя в чайной поставить стол треугольной формы с одной ножкой. Где должно быть основание ножки? В руках фанерный треугольник, и методом проб находится самая устойчивая точка приложения ножки. А если не " на глаз", а научно? Как называется и как находится эта точка? Формулируются определения медианы и центроида.

Рассматриваются виды треугольников (по углам) и существование треугольника, равного данному.

На рисунке изображен треугольник ABC и луч "a".? Переместим треугольник ABC так, чтобы его вершина A совместилась с началом луча "a", вершина B попала на луч "a", а вершина C оказалась в заданной полуплоскости относительно луча "a" и его продолжения. Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим A 1 , B 1 , C 1 . Треугольник A 1 B 1 C 1 равен треугольнику ABC. Существование треугольника A 1 B 1 C 1 , равного треугольнику ABC и расположенного указанным образом относительно заданного луча a, мы относим к числу основных свойств простейших фигур.

Сформулируем это свойство так:

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой. Существование треугольника, равного данному.

Два треугольника называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие стороны должны лежать против соответствующих углов.
Существование треугольника, равного данному, мы относим к числу аксиом. (Казалось бы, что это очевидно, но ведь доказать нельзя!)

Вспомните определение периметра. Решим задачу.

Необходимо огородить участок земли треугольной формы. Известно, что имеется 47 метров изгороди. Одна сторона треугольника на 7 метров меньше другой и в 2 раза меньше третьей. Найти стороны треугольника (участка).

Обсуждение и решение задачи (чертёж, дано, найти, решение). Слайды 21-26.

Самооценка данного этапа в листе самоконтроля.

5. Домашнее задание (слайд27).

1. Пункты 9 и 10 изучить. Повторить теорию п.1-8.

2. Стр. 19 №39,№40

3. Дополнительно (распечатка): а) Сколько треугольников изображено на рисунке?

б) На сколько частей разбивают плоскость правильные звездчатые многоугольники, изображенные на рисунке?

6. Это интересно.

1. Воспитанникам показываются две рейки, у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жесткой: сдвигая или раздвигая концы, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем еще одну рейку и скрепим ее концы со со свободными концами первых двух реек. Полученная конструкция будет уже жесткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол.Свойство жесткости треугольника широко используют в практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку. Такой же принцип используются при установке кронштейна. (слайды 28-30).

2. 19 марта 2012 года Шуховской башне на Шаболовке исполнится 90 лет. Свойство жесткости треугольника широко используют в практике при строительстве железных конструкций. Высоковольтные линии электропередачи. Треугольники делают конструкции надежными. Треугольники в конструкции мостов (слайды 31-33).

3.С древних времен известен очень простой способ построения прямых углов на местности.Этот способ применялся тысячелетия назад строителями египетских пирамид. Три воспитанника выходят и натягиваю египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5 с помощью верёвки с узелками, завязанными на равных расстояниях друг от друга (слайды 34 - 35).

4. Слайды 36-43 . Показываются различные применения треугольника в архитектуре, дизайне, при определении местонахождения эпицентра землетрясения и др.

7. Рефлексия. Итоги урока.

Организация рефлексии и обратной связи, коррекция промежуточных результатов. Создание условий для развития умений анализировать результат своей деятельности и ставить перед собой посильные задачи.

1. Какова структура определения нового понятия?

2. Что необходимо запомнить, а что можно сформулировать по аналогии?

3. Считаете ли вы, что цель урока достигнута?

4. Что нового узнали на уроке?

5. Что хотелось бы повторить на следующих уроках?

6. Как оцениваете свою работу на уроке? (сдают листы самоконтроля, самооценки).

Составление "картины" деятельности на уроке: "Мы узнали:", "Мы учились:", "Мы смогли:", "У нас не получилось:", анализ её успешности: "Смогли, потому что:", "Не получилось, потому что:", "Дома и на следующем уроке надо потренироваться в:"


§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
Геометрия - это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности.
Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность (рис. 1).
Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны. Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. На рисунке 2 фигура слева состоит из треугольника и трех квадратов, а фигура справа состоит из окружности и частей окружности. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек.
Геометрия широко применяется на практике. Ее надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.
Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой по имени Евклида, создавшего руководство по математике под названием «Начала». В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге.
Мы начнем изучение геометрии с планиметрии. Планиметрия - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

2. ТОЧКА И ПРЯМАЯ
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D, ... . Прямые обозначаются строчными латинскими буквами
На рисунке 3 вы видите точку А и прямую о.
Прямая бесконечна. На рисунке мы изображаем только часть прямой, но представляем ее себе неограниченно продолженной в обе стороны.
Посмотрите на рисунок 4. Вы видите прямые а, b и точки А, В, С. Точки А и С лежат на прямой о. Можно сказать также, что точки А и С принадлежат прямой о или что прямая о проходит через точки А и С.
Точка В лежит на прямой Ь. Она не лежит на прямой о. Точка С лежит и на прямой о, и на прямой Ь. Прямые о и Ъ пересекаются в точке С. Точка С является точкой пересечения прямых a vs. Ь.
На рисунке 5 вы видите, как с помощью линейки строится прямая, проходящая через две заданные точки А и В.
Основными свойствами принадлежности точек и прямых на плоскости мы будем называть следующие свойства:
I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую о на рисунке 4 можно обозначить АС, а прямую Ъ можно обозначить ВС.
Задача (3). Могут ли две прямые иметь две точки Ч) пересечения? Объясните ответ.
Решение. Если бы две прямые имели две точки пересечения, то через эти точки проходили бы две прямые. А это невозможно, так как через две точки можно провести только одну прямую. Значит, две прямые не могут иметь две точки пересечения.
3. ОТРЕЗОК
Посмотрите на рисунок 6. Вы видите прямую о и три точки А, В, С на этой прямой. Точка В лежит между точками А и С, она разделяет точки А и С. Можно также сказать, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А, они не разделяются точкой А. Точки А и В лежат по одну сторону от точки С.
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок АВ», то подразумевают отрезок с концами в точках А и В.
На рисунке 7 вы видите отрезок АВ. Он является частью прямой АВ. Эта часть прямой выделена жирной линией. Точка X прямой лежит между точками А и В, поэтому она принадлежит отрезку АВ. Точка Y не лежит между точками А и В, поэтому она не принадлежит отрезку АВ.
1 Число в скобках указывает номер задачи в списке Задач, приведенных в конце параграфа.
Основным свойством расположения точек на прямой мы будем называть следующее свойство:
II. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
4. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
Для измерения отрезков применяются различные измерительные инструменты. Простейшим таким инструментом является линейка с делениями на ней. На рисунке 8 отрезок АВ равен 10 см, отрезок АС равен 6 см, а отрезок ВС равен 4 см. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.
Основными свойствами измерения отрезков мы будем называть следующие свойства:
III. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Это значит, что если на отрезке АВ взять любую точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС. Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точками А и. В.
5. ПОЛУПЛОСКОСТИ
Посмотрите на рисунок 9. Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.
На рисунке 9 точки А к В лежат в одной из полуплоскостей, на которые прямая а разбивает плоскость. Поэтому отрезок АВ не пересекает прямую с. Точки С и D лежат в разных полуплоскостях. Поэтому отрезок CD пересекает прямую о.
Основным свойством расположения точек относительно прямой на плоскости мы будем называть следующее свойство:
IV. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Задача (17). Даны прямая и три точки А, В, С, ие С лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пере-- секает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС? Объясните ответ.
Решение. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 10). Точка А принадлежит одной из них. Отрезок АС не пересекает прямую. Значит, точка С лежит в той же полуплоскости, что й точка А.
Отрезок АВ пересекает прямую. Значит, точка В лежит в другой полуплоскости.
Таким образом, точки В и С лежат в разных полуплоскостях. А это значит, что отрезок ВС пересекает нашу прямую.
6. ПОЛУПРЯМАЯ
Задача (20). Даны прямая о и точки А, X, Y, Z на этой прямой (рис. 11). Известно, что точки X и У лежат по одну сторону от точки А, точки X и Z тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки У и Z относительно точки А: по одну сторону или по разные стороны? Объясните ответ.
Решение. Проведем через точку А какую-нибудь прямую Ь, отличную от а. Она разбивает плоскость на две полуплоскости. Одной из них принадлежит точка X. В той же полуплоскости лежат точки У и Zy потому что отрезки XY и XZ не пересекают прямую Ъ. Так как точки У и Z лежат в одной полуплоскости, то отрезок YZ не пересекает прямую Ь, а значит, не содержит точку А. То есть точки У и Z лежат по одну сторону от точки А.
Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эта точка называется щчалъной точкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнителъными.
Полупрямые, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами. Можно обозначать полупрямую двумя точками: начальной и еще какой-нибудь точкой, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте. Например, полупрямую, которая выделена жирной линией на рисунке 12, можно обозначить АВ.
Задача (22). На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ, АС, С А и СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните Ответ.
Решение (рис. 13). Данные полупрямые имеют начальной точкой либо точку А, либо точку С.
Рассмотрим сначала полупрямые с начальной точкой А (полупрямые АВ и АС). Точка С лежит между точками А и В, так как по условию задачи она принадлежит отрезку
АВ. Значит, точка А не лежит между точками В и С, т. е. точки В и С лежат по одну сторону от точки А. Поэтому полупрямые АВ и АС совпадающие.
Рассмотрим теперь полупрямые с начальной точкой С (полупрямые СА и СВ). Точка С разделяет точки А и В. Поэтому точки А и В не могут принадлежать одной полупрямой, а значит, полупрямые СА и СВ дополнительные.
7. УГОЛ
Углом называется фигура, которая состоит из точки - вершины угла - и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки,- сторон угла.
На рисунке 14 вы видите угол с вершиной О и сторонами а, Ь. Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком Z.. Угол на рисунке 14 можно обозначить тремя способами: LO, Z-(ob), ААОВ. В третьем способе обозначения угла буква, обозначающая вершину, ставится посередине.
Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым. На рисунке 15 вы видите развернутый угол с вершиной О и сторонами ОА и ОВ.
Мы будем говорить, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла. На рисунке 16 луч с проходит между сторонами угла (ob), так как он исходит из вершины угла (ab) и пересекает отрезок АВ с концами на его сторонах.
В случае развернутого угла мы считаем, что любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.
Углы измеряются в градусах при помощи транспортира. На рисунке 17 угол (ab) равен 120°. Полупрямая с проходит между сторонами угла (ab). Угол (ас) равен 90°, а угол (be) равен 30°. Угол (ab) равен сумме углов (ас) и (Ъс).
Основными свойствами измерения углов мы будем называть следующие свойства:
V. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла (ab), то угол (ab) равен сумме углов (ас) и (Ъс).
Задача (25). Может ли луч с проходить между сторо-(ГО нами угла (аЬ), если, Z(ос) = 30°, А(сЬ) = 80°, A(ab) = 50°? -f Решение. Если луч с проходит между сторонами угла (об), то по свойству измерения углов должно быть: А(ас)-- гL(bc)= A(ab).
Но 30° + 80° =50°.
Значит, луч с не может проходить между сторонами угла (ab).
8. ОТКЛАДЫВАНИЕ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ
На рисунке 18 показано, как с помощью линейки на полупрямой о с начальной точкой А можно отложить отрезок данной длины (3 см).
Посмотрите на рисунок 19. Полупрямая о, продолженная за начальную точку А, разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке показано, как с помощью транспортира отложить от полупрямой о в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой (60°).
Основными свойствами откладывания отрезков и углов мы будем называть следующие свойства:
VI. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
VII. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Задача (30). На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АЗ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ.
Решение (рис. 20). Так как точки В vs. С лежат на одной полупрямой с начальной точкой А, то они не разделяются точкой А, т. е. точка А не лежит между точками В и С.
Может ли точка В лежать между точками А и С? Если бы она лежала между точками А и С, то было бы
АВ+ВС=АС.
Но это невозможно, так как по условию отрезок АС меньше отрезка АВ.
Значит, точка В не лежит между точками А и С.
Из трех точек А, В, С одна лежит между двумя другими. Поэтому точка С лежит между точками А и В.
9. ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами.
На рисунке 21 вы видите треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС, АС. Треугольник обозначается указанием его вершин. Вместо слова «треугольник» иногда употребляют знак Д. Например, треугольник на рисунке 21 обозначается так: ДАВС.
Углом треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С.
Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах.
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
На чертеже равные отрезки обычно отмечают одной, двумя или тремя черточками, а равные углы - одной, двумя или тремя дужками.
Для обозначения равенства треугольников используется
обычный знак равенства: =. Запись ААВС= ААВС читается так: «Треугольник ABC равен треугольнику АВС. При этом имеет значение порядок, в котором записываются вершины треугольника. Равенство ААВС = аАВС означает, что АА - АА, АВ = АВи... . А равенство ААВС- АВАС означает уже совсем другое: АА = АВи АВ= АА, ... .
Задача (38). Треугольники ABC и PQR равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему равны сторона PQ и угол R? Объясните ответ.
Решение. Так как треугольники ABC и PQR равны, то у них AB=PQ, АС = AR. Значит, PQ = 10 м, AR = 90°.
10. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА, РАВНОГО ДАННОМУ
Пусть мы имеем треугольник ABC и луч а (рис. 23, а). Переместим треугольник ABC так, чтобы его вершина А совместилась с началом луча а, вершина В попала на луч о, а вершина С оказалась в заданной полуплоскости относительно луча а и его продолжения. Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим А, В, С (рис. 23,6).
Треугольник АВС(равен треугольнику ABC.
Существование треугольника АВС, равного треугольнику ABC и расположенного указанным образом относительно заданного луча а, мы относим к числу основных свойств простейших фигур. Это свойство мы будем формулировать так:
VIII. Какое бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
11. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.
На рисунке 24 показано, как с помощью угольника и линейки провести через данную точку В прямую Ъ, параллельную данной прямой о.
Для обозначения параллельности прямых используется знак ||. Запись а||Ь читается: «Прямая о параллельна прямой Ь».
Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем:
IX. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Задача (41). Может ли прямая, пересекающая одну (из двух параллельных прямых, не пересекать другую? -" Объясните ответ.
Решение. Пусть a vs. b - параллельные прямые, и пусть прямая с пересекает прямую а в точке А (рис. 25). Если бы прямая с не пересекала прямую Ъ, то через точку А проходили бы две прямые, не пересекающие прямую Ь: прямая а и прямая с. Но по свойству параллельных прямых это невозможно. Значит, прямая с, пересекая прямую о, должна пересекать и параллельную ей прямую Ъ.
12. ТЕОРЕМЫ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. Приведем пример.
Теорема 1.1. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.
Доказательство. Пусть прямая а не проходит ни через одну из вершин треугольника ABC и пересекает его сторону АВ (рис. 26). Прямая о разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки А и В лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок АВ пересекает прямую о. Точка С лежит в одной из этих полуплоскостей.
Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой А, то отрезок АС не пересекает прямую о, а отрезок ВС пересекает эту прямую (рис. 26, а).
Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой В, то отрезок АС пересекает прямую о, а отрезок ВС не пересекает (рис. 26, б).
В обоих случаях прямая о пересекает только один из отрезков АС иди ВС. Вот и все доказательство.
Рис. 26
Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы.
Условие теоремы 1.1 состоит в том, что п эяая ну; пррходит
ни через одну вершину треугольника и пересекает одну из его сторон. Заключение теоремы состоит в том, что эта прямая пересекает только одну из двух других сторон треугольника.
13. АКСИОМЫ
Утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются и называются аксиомами. Слово аксиома происходит от греческого слова аксиос и означает утверждение, не вызывающее сомнений.
При доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т. е. аксиомами, а также свойствами, уже доказанными, т. е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя.
При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказанные ранее.
В геометрии наряду с такими словами, как аксиома и теорема, используется также слово «определение». Дать определение чему-либо - значит объяснить, что это такое.
Например, говорят: «Дайте определение треугольника». На это отвечают: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки».
Другой пример: «Дайте определение параллельных прямых». Отвечаем: «Прямые называются параллельными, если они не пересекаются». Вы уже знаете определения равенства отрезков, равенства углов и равенства треугольников.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Приведите примеры геометрических фигур.
2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
3. Как обозначаются точки и прямые?
4. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых.
5. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках.
6. Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой.
7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.
8. Что называется расстоянием между двумя данными точками?
9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?
10. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.
11. Что такое полупрямая или луч? Какие полупрямые называются дополнительными?
12. Как обозначаются полупрямые?
13. Какая фигура называется углом?
14. Как обозначается угол?
15. Какой угол называется развернутым?
16. Объясните, что означает выражение: «Полупрямая проходит между сторонами угла».
17. В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение.
18. Сформулируйте основные свойства измерения углов.
19. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов.
20. Что такое треугольник?
21. Что такое угол треугольника при данной вершине?
22. Какие отрезки называются равными?
23. Какие углы называются равными?
24. Какие треугольники называются равными?
25. Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы?
26. Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному.
27. Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых?
28. Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.
29. Приведите пример теоремы.
KOHEЦ ФPAГMEHTA