Наличие нелинейностей в системах управления приводит к описанию такой системы нелинейными дифференциальными уравнениями, часто достаточно высоких порядков. Как известно, большинство групп нелинейных уравнений не решается в общем виде, и можно лишь говорить о частных случаях решения, поэтому при исследовании нелинейных систем большую роль приобретают различные приближенные методы.

Посредством приближенных методов исследования нелинейных систем нельзя, как правило, получить достаточно полное представление о всех динамических свойствах системы. Однако с их помощью можно ответить на ряд отдельных существенных вопросов, таких как вопрос устойчивости, наличия автоколебаний, характера каких-либо частных режимов и т.п.

В настоящее время существует большое число различных аналитических и графо-аналитических методов исследования нелинейных систем, среди которых можно выделить методы фазовой плоскости, припасовывания, точечных преобразований, гармонической линеаризации, прямой метод Ляпунова, частотные методы исследования абсолютной устойчивости Попова, методы исследования нелинейных систем на электронных моделях и ЭВМ.

Краткая характеристика некоторых из перечисленных методов.

Метод фазовой плоскости является точным, но имеет ограниченное применение, так как практически неприменим для систем регулирования, описание которых нельзя свести к управлениям второго порядка.

Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам, он не имеет ограничений по порядку дифференциальных уравнений. При применении этого метода предполагается, что на выходе системы имеются гармонические колебания, а линейная часть системы регулирования является фильтром высоких частот. В случае слабой фильтрации сигналов линейной частью системы при использовании метода гармонической линеаризации необходимо учитывать высшие гармоники. При этом усложняется анализ устойчивости и качества процессов регулирования нелинейных систем.

Второй метод Ляпунова позволяет получить лишь достаточные условия устойчивости. И если на его основе определена неустойчивость системы регулирования, то в ряде случаев для проверки правильности полученного результата следует заменить функцию Ляпунова на другую и еще раз выполнить анализ устойчивости. Кроме того, не существует общих методов определения функции Ляпунова, что затрудняет практическое применение этого метода.

Критерий абсолютной устойчивости позволяет анализировать устойчивость нелинейных систем с помощью частотных характеристик, что является большим преимуществом данного метода, так как объединяет математический аппарат линейных и нелинейных систем в единое целое. К недостаткам этого метода следует отнести усложнение расчетов при анализе устойчивости систем с неустойчивой линейной частью. Поэтому для получения правильного результата по устойчивости нелинейных систем приходится пользоваться различными методами. И только совпадение различных результатов позволит избежать ошибочных суждений об устойчивости или неустойчивости проектируемой системы автоматического регулирования.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра электропривода и автоматизации промышленных установок

КУРСОВАЯРАБОТА

по дисциплине «Теория автоматического управления»

Анализ нелинейных систем автоматического управления

Студент: Тишининов Ю.С.

Группа Эма-71

Руководитель курсовой работы

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ:

1. Исследовать САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом фазовой плоскости.

1.1 Проверить результаты расчетов по пункту 1 с помощью структурного моделирования.

1.2 Исследовать влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы.

2. Исследовать САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом гармонической линеаризации.

2.1 Проверить результаты расчетов по пункту 2 с помощью структурного моделирования.

2.2 Исследовать влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы

1. Исследуем САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом фазовой плоскости.

Вариант №4-1-а

Исходные данные.

1) Структурная схема нелинейной САУ:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Система, в которой рабочие операции и операции управления выполняют технические устройства, называется системой автоматического управления (САУ) .

Структурной схемой называется графическое изображение математического описания системы.

Звено на структурной схеме изображается в виде прямоугольника с указанием внешних воздействий и внутри него записывается передаточная функция.

Совокупность звеньев совместно с линиями связи, характеризующими их взаимодействие, образует структурную схему.

2) Параметры структурной схемы:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод фазовой плоскости

Поведение нелинейной системы в любой момент времени определяется управляемой переменной и ее (n?1) производной, если эти величины отложить по осям координат, то полученное n?мерное пространство будет называться фазовым пространством. Состояние системы в каждый момент времени будет определяться в фазовом пространстве изображающей точкой. Во время переходного процесса изображающая точка перемещается в фазовом пространстве. Траектория ее движения называется фазовой траекторией. В установившемся режиме изображающая точка находится в состоянии покоя и называется особой точкой. Совокупность фазовых траекторий для различных начальных условий, совместно с особыми точками и траекториями называется фазовым портретом системы.

При исследовании нелинейной системы данным методом необходимо структурную схему (рис. 1.1) преобразовать к виду:

Знак минус говорит о том, что обратная связь отрицательная.

где X 1 и X 2 - выходная и входная величины линейной части системы соответственно.

Найдем дифференциальное уравнение системы:

Произведем замену, тогда

Решим это уравнение относительно старшей производной:

Положим, что:

Разделим уравнение (1.2) на уравнение (1.1) и получим нелинейное дифференциальное уравнение фазовой траектории:

где x 2 = f(x 1).

Если решать это ДУ методом изоклин, то можно построить фазовый портрет системы для различных начальных условий.

Изоклиной называется геометрическое место точек фазовой плоскости, которые фазовая траектория пересекает под одним и тем же углом.

В данном методе нелинейная характеристика делится на линейные участки и для каждого из них записывается линейное ДУ.

Для получения уравнения изоклины правая часть уравнения (1.3) приравнивается к постоянной величине N и решается относительно.

Учитывая нелинейность, получаем:

Задаваясь значениями N в диапазоне от до, строится семейство изоклин. На каждой изоклине проводится вспомогательная прямая под углом к оси абсцисс

где m X - масштабный коэффициент по оси х;

m Y - масштабный коэффициент по оси у.

Выбираем m X = 0,2 ед/см, m Y = 40 ед/см;

Конечная формула для угла:

Рассчитаем семейство изоклин и угол для участка, расчет сведем в таблицу 1:

Таблица 1

Рассчитаем семейство изоклин и угол для участка, расчет сведем в таблицу 2:

Таблица 2

Рассчитаем семейство изоклин и угол для участка, расчет сведем в таблицу 3:

Таблица 3

Построим фазовую траекторию

Для этого выбираются начальные условия на одной из изоклин (точка А), из точки А проводятся две прямые линии до пересечения со следующей изоклиной под углами б 1 , б 2 , где б 1 , б 2 ? соответственно углы первой и второй изоклины. Отрезок, отсекаемый этими линиями, делится пополам. Из полученной точки, середины отрезка, вновь проводятся две линии под углами б 2 , б 3 , и вновь отрезок делится пополам и т.д. Полученные точки соединяются плавной кривой.

Семейства изоклин строятся для каждого линейного участка нелинейной характеристики и разделяются между собой линиями переключения.

По фазовой траектории видно, что получена особая точка типа устойчивый фокус. Можно сделать вывод, что автоколебаний в системе нет, а переходный процесс устойчивый.

1.1 Проверим результаты расчетов с помощью структурного моделирования в программе MathLab

Структурная схема:

Фазовый портрет:

Переходный процесс при входном воздействии равном 2:

Xвых.max = 1.6

1.2 Исследуем влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы

Увеличим входной сигнал до 10:

Xвых.max = 14,3

Трег = 0,055

X вых. max = 103

Т рег = 0,18

Увеличим зону чувствительности до 15:

Xвых.max = 0,81

Уменьшим зону чувствительности до 1:

Xвых.max = 3.2

Результатами моделирования были подтверждены результаты расчетов: из рисунка 1.7 видно, что процесс сходящийся, автоколебаний в системе нет. Фазовый портрет смоделированной системы схож с построенным расчетным путем.

Исследовав влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы, можно сделать выводы:

1) при увеличении входного воздействия увеличивается уровень установившегося режима, количество колебаний не меняется, время регулирования увеличивается.

2) при увеличении мертвой зоны уровень установившегося режима увеличивается, количество колебаний также остается неизменным, время регулирования увеличивается.

2. Исследуем САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом гармонической линеаризации.

Вариант №5-20-c

Исходные данные.

1) Структурная схема:

Размещено на http://www.allbest.ru/

2) Значения параметров:

3) Вид и параметры нелинейности:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Наиболее широкое распространение для исследования нелинейных САУ высокого порядка (n > 2) получил приближенный метод гармонической линеаризации с применением частотных представлений, развитых в теории линейных систем.

Основная идея метода сводится к следующему. Пусть замкнутая автономная (без внешних воздействий) нелинейная система состоит из последовательно включённых нелинейного безынерционного НЗ и устойчивой или нейтральной линейной части ЛЧ (рис 2.3, а)

u=0 x z Х=Х m sinwt z y

Размещено на http://www.allbest.ru/

y = Y m 1 sin (wt +)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для суждения о возможности существования моногармонических незатухающих колебаний в этой системе предполагается, что на входе нелинейного звена действует гармонический синусоидальный сигнал x(t) = X m sinwt (Рис. 2.3,б). При этом сигнал на выходе нелинейного звена z(t) = z содержит спектр гармонических составляющих с амплитудами Z m 1 , Z m 2 , Z m 3 , и т.д. и частотами w, 2w, 3w и т.д. Предполагается, что этот сигнал z(t), проходя через линейную часть W л (jw), фильтруется ею в такой степени, что в сигнале на выходе линейной части y(t) можно пренебречь всеми высшими гармониками Y m 2 , Y m 3 и т.д. и считать, что

y(t)Y m 1 sin(wt +)

Последнее предположение носит название гипотезы фильтра и выполнение этой гипотезы является необходимым условием гармонической линеаризации.

Условие эквивалентности схем, изображенных на рис. 2.3, а и б, можно сформулировать в виде равенства

x(t) + y(t) = 0(1)

При выполнении гипотезы фильтра y(t) = Y m 1 sin(wt +) уравнение (1) распадается на два

Уравнение (2) и (3) носят название уравнений гармонического баланса; первое из них выражает баланс амплитуд, а второе - баланс фаз гармонических колебаний.

Таким образом, для того, чтобы в рассматриваемой системе существовали незатухающие гармонические колебания, при соблюдении гипотезы фильтра должны выполняться условия (2) и (3)

Воспользуемся методом Гольдфарба для графоаналитического решения характеристического уравнения вида

W ЛЧ (p) W НЭ (A) +1 = 0

W ЛЧ (jw) W НЭ (A) = -1

Для приближенного определения автоколебаний строятся АФЧХ линейной части системы и обратная отрицательная характеристика нелинейного элемента.

Для построения АФЧХ линейной части преобразуем структурную схему к виду рис 2.4:

В результате преобразования получаем схему рис 2.5:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найдем передаточную функцию линейной части системы:

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, получим:

Разобьем получившееся на мнимую и действительную части:

Для построения обратной отрицательной характеристики нелинейного элемента воспользуемся формулой:

Параметры нелинейности:

А - амплитуда, при условии что.

АФЧХ линейной части системы и обратная отрицательная характеристика нелинейного элемента, представлена на рис. 2.6:

Для определения устойчивости автоколебаний воспользуемся следующей формулировкой: если точка соответствующая увеличенной амплитуде по сравнению с точкой пересечения не охватывается частотной характеристикой линейной части системы, то автоколебания устойчивые. Как видно из рисунка 2.6 решение устойчиво, следовательно, в системе устанавливаются автоколебания.

2.1 Проверим результаты расчетов с помощью структурного моделирования в программе MathLab.

Рис 2.7: Структурная схема

Переходный процесс при входном воздействии равном 1 (рис 2.8):

автоматический управление нелинейный гармонический

Как видно из графика устанавливаются автоколебания. Проверим влияние нелинейности на устойчивость системы.

2.2 Исследуем влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы.

Увеличим входной сигнал до 100:

Увеличим входной сигнал до 270

Уменьшим входной сигнал до 50:

Увеличим насыщение до 200:

Уменьшим насыщение до 25:

Уменьшим насыщение до 10:

Результатами моделирования не однозначно подтвердили результаты расчетов:

1) Автоколебания возникают в системе, а изменение насыщения влияет на амплитуду колебаний.

2) При увеличении входного воздействия изменяется величина выходного сигнала и система стремиться к устойчивому состоянию.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ:

1. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. Под ред. В.А. Бесекерского, издание пятое, переработанное. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

2. Теория автоматического управления. Ч. II. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления. Под ред. А.А.Воронова. Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. школа, 1977. - 288 с.

3. Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования: учеб. пособие. ? М.: Машиностроение, 1989. ? 752 с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Нелинейные системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Методы анализа нелинейных систем: кусочно-линейной аппроксимации, гармонической линеаризации, фазовой плоскости, статистической линеаризации. Использование комбинации методов.

реферат , добавлен 21.01.2009

Анализ устойчивости системы автоматического управления (САУ) по критерию Найквиста. Исследование устойчивости САУ по амплитудно-фазочастотной характеристике АФЧХ и по логарифмическим характеристикам. Инструменты управления приборной следящей системы.

курсовая работа , добавлен 11.11.2009

Анализ структурной схемы заданной системы автоматического управления. Основные условия устойчивости критерия Гурвица и Найквиста. Синтез как выбор структуры и параметров системы для удовлетворения заранее поставленных требований. Понятие устойчивости.

курсовая работа , добавлен 10.01.2013

Исследование режимов системы автоматического управления. Определение передаточной функции замкнутой системы. Построение логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик. Синтез системы "объект-регулятор", расчет оптимальных параметров.

курсовая работа , добавлен 17.06.2011

Проектирование замкнутой, одномерой, стационарной, следящей системы автоматического управления с определением параметров корректирующего устройства, обеспечивающего заданные требования к качеству регулирования. Анализ системы с учетом нелинейности УМ.

курсовая работа , добавлен 18.01.2011

Структура замкнутой линейной непрерывной системы автоматического управления. Анализ передаточной функции системы с обратной связью. Исследование линейной импульсной, линейной непрерывной и нелинейной непрерывной систем автоматического управления.

контрольная работа , добавлен 16.01.2011

Уравнения связей структурной схемы САУ. Анализ линейной непрерывной системы автоматического управления. Критерии устойчивости. Показатели качества переходных процессов при моделировании на ЭВМ. Синтез последовательного корректирующего устройства.

контрольная работа , добавлен 19.01.2016

Проектирование структурной схемы электромеханического релейного следящего привода. Составление дифференциальных уравнений замкнутой нелинейной системы автоматического управления, построение ее фазового портрета. Гармоническая линеаризация нелинейности.

курсовая работа , добавлен 26.02.2014

Дискретные системы автоматического управления как системы, содержащие элементы, которые преобразуют непрерывный сигнал в дискретный. Импульсный элемент (ИЭ), его математическое описание. Цифровая система автоматического управления, методы ее расчета.

реферат , добавлен 18.08.2009

Выполнение синтеза и анализа следящей системы автоматического управления с помощью ЛАЧХ и ЛФЧХ. Определение типов звеньев передаточных функций системы и устойчивости граничных параметров. Расчет статистических и логарифмических характеристик системы.

Строго говоря линейных систем в природе не существует, все реальные системы нелинейны. Нелинейностью характеристик обладают различные датчики, детекторы, дискриминаторы, усилители, аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи, устройства управления и исполнительные устройства.

Общей теории анализа нелинейных систем нет. Учеными разработаны различные методы анализа нелинейных систем, которые позволяют решать задачи анализа при определенных условиях и ограничениях.

Дадим характеристику наиболее распространенным методам анализа нелинейных систем.

Метод фазовой плоскости. Этот метод называют также методом фазовых портретов или фазовых пространств. Этот метод позволяет наглядно с помощью графических построений проанализировать поведение нелинейных систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями не выше второго (третьего) порядка.

Метод кусочно-линейной аппроксимации. В этом методе используется кусочно-линейная аппроксимация характеристики нелинейного элемента, система анализируется как линейная при различных значениях сигналов, а затем результаты анализа «сшиваются». Метод отличается высокой трудоемкостью анализа и невысокой точностью результатов, особенно в точках «сшивания».

Метод гармонической линеаризации. Этот метод применяется в тех случаях, когда после нелинейного элемента включен линейный фильтр нижних частот, а входное воздействие гармоническое.

Метод статистической линеаризации. Этот метод применяется в тех случаях, когда в качестве входного сигнала действует стационарный случайный процесс. В этом методе реальный нелинейный элемент заменяется на такой линейный элемент, на выходе которого математическое ожидание и дисперсия процесса такие же, как и на выходе реального нелинейного элемента. Способы определения параметров эквивалентного линейного элемента могут быть различными.

Метод марковских процессов. Этот метод используется при нестационарных случайных входных сигналах, но аналитическое решение удается найти только для систем не выше второго порядка.

Метод моделирования на ЭВМ. Этот метод претендует на универсальность, он не имеет принципиальных ограничений на характер нелинейности и порядок системы. В настоящее время это наиболее распространенный метод анализа нелинейных систем, единственным недостатком метода является отсутствие каких-либо аналитических результатов анализа (в виде формул).

Общим методом исследования устойчивости нелинейных систем является прямой метод Ляпунова. В его основе лежит теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. В качестве аппарата исследования используется так называемая функция Ляпунова, представляющая собой знако-определенную функцию координат системы, имеющую также знако-определенную производную по времени. Применение этого метода ограничивается его сложностью.

Более простым методом расчета устойчивости нелинейных систем является метод, разработанный румынским ученым В. М. Поповым. Однако он пригоден для некоторых частных случаев.

Процессы в нелинейной системе могут быть исследованы на основе кусочно-линейной аппроксимации. В этом случае нелинейные характеристики отдельных звеньев разбивают на ряд линейных участков, в пределах которых задача оказывается линейной и может быть решена достаточно просто. На границах участков необходимо произвести «сшивание» отдельных кусков процесса в единый процесс. Метод может применяться, если число участков, на которые разбивается нелинейная характеристика, невелико. Это имеет, например, место для релейных характеристик (см. рис. 5.1). При большом числе участков метод оказывается слишком громоздким. Однако использование ЭВМ позволяет преодолеть эту трудность и с успехом рассчитывать процессы в нелинейных системах при любых нелинейных характеристиках и вообще при наличии нелинейных зависимостей произвольного вида.

Метод фазового пространства в принципе позволяет исследовать системы с нелинейностями произвольного вида, а также с несколькими иелинейностями. При этом в фазовом пространстве строят так называемый фазовый портрет процессов, протекающих (в нелинейной системе. По виду фазового портрета можно судить об устойчивости, возможности возникновения автоколебаний, точности в установившемся режиме. Однако размерность фазового пространства равка порядку дифференциального уравнения нелинейной системы. Это затрудняет использование метода для исследования систем, описываемых дифференциальным уравнением выше второго порядка. В случае дифференциального уравнения второго порядка фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, и этот метод может быть с успехом применен .

Для анализа случайных процессов в нелинейных автоматических системах можно применять математический аппарат теории марковских случайных процессов. Однако сложность метода и возможность

решения уравнения Фоккера - Планка, которое требуется при анализе, только для уравнений первого и в некоторых случаях второго порядка, ограничивает его использование .

Все перечисленные методы относятся к числу точных. Их сложность и ограниченность применения привели к разработке приближенных, но более простых методов исследования нелинейных систем. Приближенные методы позволяют во многих случаях достаточно просто получить прозрачные и легко обозримые результаты анализа нелинейных систем . Фазовые траектории на участке – а< x < a представляют собой прямые с коэффициентом наклона -1/Т 1 при различных значениях начальных условий.

На прямых линиях проставляем стрелки таким образом, чтобы конечное движение стремилось к началу координат.

Пусть х > a, . При этом исходная система нелинейных уравнений имеет вид

(27)

где c i - семейство изоклин, которое представляет собой прямые параллельные оси х, т.е. , где определяется из выражения для

. (28)

Таким образом

. (29)

Задаваясь значениями , строим семейство изоклин. Определяем углы пересечения изоклин фазовыми траекториями.

Так как . Например, если , то a = 90°.

Пусть х < – a, . Построение выполняем аналогично, так как знак изменился, то будут другие углы пересечений изоклин фазовой траекторией. Фазовый портрет системы приведен на рис. 15.

Рис. 14 Рис. 15

Снимем упрощение К = 0, т.е. рассмотрим влияние отрицательной обратной связи по скорости двигателя на характер фазовой траектории.

При этом уравнения имеют вид:

(30)

Пусть , при этом переключение будет происходить при условии (а не условии х = а), это уравнение линии (рис. 16)

При этом количество перерегулирований уменьшается; можно подобрать такой наклон, при котором нет переколебаний.

Рассмотрим фазовый портрет без ограничений. В системе без ограничений фазовый портрет можно представить на трехлистной поверхности с наклонными гранями (рис. 17.) При этом лист 2 соответствует зоне нечувствительности z=0, лист 1 соответствует отрицательным значениям z, а лист 3 положительным. Вследствие гистерезиса имеет место частичное наложение листов.

Рис. 16 Рис. 17

Исследуем систему. Исследуем влияние отрицательной обратной связи по скорости двигателя (т.е. влияние величины – К). Пусть значение К увеличивается, при этом наклон прямых уменьшается, и может получиться, что срез будет более пологим чем наклон характеристики в средней части. Это приводит к частым переключениям. Такой режим называется скользящим. Если зона очень узкая, то движение как бы соскальзывает к установившемуся режиму (рис. 18а).

Если изменить знак обратной связи с отрицательной связи на положительную связь, то при этом изменится наклон линий переключения, и количество колебаний будет увеличиваться, система будет "раскачиваться". Система работает, как генератор и может появиться либо замкнутый цикл – автоколебания, либо расходящийся переходный процесс (рис. 18б).

Достоинства метода: простота и наглядность для систем 2-го порядка; пригодность для любого типа нелинейных элементов.

Недостатки: метод громоздкий для систем выше 2-го порядка, поэтому при n >2 не применяется.

Рассмотрим несколько примеров построения фазовых портретов нелинейных систем управления

Пример 1. Пусть задана система, состоящая из линейной части и нелинейного элемента (усилитель с ограничением по модулю) (рис. 19). Это кусочно-линейная система, так как на отдельных участках она ведет себя как линейная (в области) – а, +а[). Допустим в области (] – а, +а[) коэффициент усиления большой и система неустойчива а фазовый портрет характеризуется особой точкой "неустойчивый фокус". За пределами области коэффициент усиления мал, допустим, что при этом система устойчива и характеризуется особой точкой – "устойчивый фокус".

При больших отклонениях x > |a| общий коэффициент усиления системы мал, система устойчива, процесс затухает.

При малых отклонениях общий коэффициент усиления системы большой – процесс расходится к замкнутой траектории, которая характеризует наличие устойчивых автоколебаний (рис. 20).

В этой системе три типа движений: автоколебания; сходящиеся колебания; расходящиеся колебания

Пример 2. Пусть задана система с характеристикой нелинейного звена типа "зона нечувствительности" (рис. 21). Необходимо построить фазовый

портрет данной системы, определить наличие предельных циклов и проанализировать их устойчивость.

Построим фазовый портрет

1) При – a < x < +a f(x) = 0, а система уравнений имеет вид

Фазовый портрет в этой области представляет семейство прямых с коэффициентом к = -1, а состояние равновесия устойчиво по Ляпунову и представляет отрезок оси y = 0 на интервале – a

2) При x > +a f(x) = x – a, а система уравнений имеет вид

и угол пересечения фазовой траекторией изоклины по формуле a = arctg c, результаты приведены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1

Таблица 2

3) При x < – a f(x) = x + a, а система уравнений имеет вид

Пример 4. Для заданной системы (рис. 26) построить примерный фазовый портрет.

Исходную схему можно представить в виде (рис. 27).

Построим фазовый портрет.

1) При –1 < x < +1 f(x) = x, а система уравнений имеет вид

Для каждого с i определимугловой коэффициент наклона изоклины – к по формуле

2) При x > +1 f(x) = 1, а система уравнений имеет вид

Для каждого с i определимугловой коэффициент наклона изоклины – к по формуле и угол пересечения фазовой траекторией изоклины по формуле a = arctg c.

3) При x < -1 f(x) = -1.

Левая часть фазового портрета строится аналогично правой.

Литература

1. Атабеков Г.И., Тимофеев А.Б., Купалян С.Д., Хухриков С.С. Теоретические основы электротехники (ТОЭ). Нелинейные электрические цепи. Электромагнитное поле. 5-е изд. Изд-во: ЛАНЬ, 2005. – 432 с.

2. Гаврилов Нелинейные цепи в программах схемотехнического моделирования. Изд-во: СОЛОН-ПРЕСС, 2002. – 368 с.

3. Дорф Р., Бишоп Р. Автоматика. Современные системы управления. 2002 г. – 832 с.

4. Теория автоматического управления. Учеб. для вузов по спец. "Автоматика и телемеханика". В 2-х ч./ Н.А. Бабаков, А.А. Воронов и др.: Под ред. А.А. Воронова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 367 с., ил.

5. Харазов В.Г. Интегрированные системы управления технологическими процессами: Справочник. Издательство: ПРОФЕССИЯ, ИЗДАТЕЛЬСТВО, 2009. – 550 с.