Головні інтеграли, які має знати кожен студент

Перелічені інтеграли – це базис, основа основ. Ці формули, безумовно, слід запам'ятати. При обчисленні складніших інтегралів вам доведеться постійно користуватися ними.

Зверніть особливу увагу на формули (5), (7), (9), (12), (13), (17) та (19). Не забувайте при інтегруванні додавати до відповіді довільну постійну С!

Інтеграл від константи

∫ A d x = A x + C (1)

Інтегрування статечної функції

Насправді, можна було обмежитися лише формулами (5) і (7), але решта інтегралів із цієї групи зустрічається настільки часто, що варто приділити їм трохи уваги.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Інтеграли від показової функції та від гіперболічних функцій

Зрозуміло, формулу (8) (мабуть, найзручнішу для запам'ятовування) можна як окремий випадок формули (9). Формули (10) та (11) для інтегралів від гіперболічного синуса та гіперболічного косинуса легко виводяться з формули (8), але краще просто запам'ятати ці співвідношення.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Базові інтеграли від тригонометричних функцій

Помилка, яку часто роблять студенти: плутають знаки у формулах (12) та (13). Запам'ятавши, що похідна синуса дорівнює косінусу, багато хто чомусь вважає, що інтеграл від функції sinx дорівнює сosx. Це не вірно! Інтеграл від синуса дорівнює "мінус косинусу", а ось інтеграл від cosx дорівнює "просто синусу":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Інтеграли, що зводяться до зворотних тригонометричних функцій

Формула (16), що призводить до арктангенсу, природно, є окремим випадком формули (17) при a=1. Аналогічно, (18) – окремий випадок (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = r c t g x + C = − a r c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Більш складні інтеграли

Ці формули теж бажано запам'ятати. Вони також використовуються досить часто, а їх висновок досить стомлюючий.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 - a 2 | + C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 - a 2 | + C (a > 0) (24)

Загальні правила інтегрування

1) Інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі відповідних інтегралів: ∫(f(x) + g(x)) d x = ∫ f(x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Інтеграл від різниці двох функцій дорівнює різниці відповідних інтегралів: ∫(f(x) − g(x)) d x = ∫ f(x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Константу можна виносити за знак інтеграла: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Легко помітити, що властивість (26) – це просто комбінація властивостей (25) та (27).

4) Інтеграл від складної функції, якщо внутрішня функція є лінійною: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Тут F(x) - первісна для функції f(x). Зверніть увагу: ця формула підходить тільки для випадку, коли внутрішня функція має вигляд Ax+B.

Важливо: немає універсальної формули для інтеграла від добутку двох функцій, і навіть для інтеграла від дробу:

∫ f(x) g(x) d x = ?

∫ f(x) g(x) d x = ?

(30)

А тепер просто скористаємось таблицею основних інтегралів. Нам потрібно буде застосувати формули (3), (12), (8) та (1). Проінтегруємо статечну функцію, синус, експоненту та константу 1. Не забудемо додати в кінці довільну постійну С:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Після елементарних перетворень отримуємо остаточну відповідь:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Перевірте себе диференціюванням: візьміть похідну від отриманої функції та переконайтеся, що вона дорівнює вихідному підінтегральному виразу.

Зведена таблиця інтегралів

∫ A d x = A x + C
∫ x d x = x 2 2 + C
∫ x 2 d x = x 3 3 + C
∫ 1 x d x = 2 x + C
∫ 1 x d x = ln | x | + C
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)
∫ e x d x = e x + C
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)
∫ s h x d x = c h x + C
∫ c h x d x = s h x + C
∫ sin x d x = − cos x + C
∫ cos x d x = sin x + C
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C
∫ 1 1 + x 2 d x = r c t g x + C = − a r c t g x + C
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | + C
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 - a 2 | + C
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)


∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Завантажте таблицю інтегралів (частина II) за цим посиланням Якщо Ви навчаєтесь у ВНЗ, якщо у Вас виникли складнощі з вищою математикою (математичний аналіз, лінійна алгебра, теорія ймовірностей, статистика), якщо Вам потрібні кваліфіковані викладачі, зайдіть на сторінку репетитора з вищої математики . Вирішуватимемо Ваші проблеми разом! Можливо, вас зацікавлять також(Первісна функція та невизначений інтегралФакт 1. Інтегрування - дія, зворотне диференціювання, а саме, відновлення функції за відомою похідною цієї функції. Відновлена ​​в такий спосіб функція F x(Первісна функція та невизначений інтеграл).

) називається Можливо, вас зацікавлять також(Первісна функція та невизначений інтеграл x(Первісна функція та невизначений інтегралпервісної для функції f Первісна функція та невизначений інтегралВизначення 1. Функція Можливо, вас зацікавлять також "(Первісна функція та невизначений інтеграл)=x(Первісна функція та невизначений інтеграл) на деякому проміжку x(Первісна функція та невизначений інтеграл X Можливо, вас зацікавлять також(Первісна функція та невизначений інтеграл). .

Наприклад, функція Можливо, вас зацікавлять також(Первісна функція та невизначений інтеграл) = sin Первісна функція та невизначений інтеграл є первісною для функції x(Первісна функція та невизначений інтеграл) = cos Первісна функція та невизначений інтеграл на всій числовій прямій, тому що при будь-якому значенні ікса (sin Первісна функція та невизначений інтеграл)" = (cos Первісна функція та невизначений інтеграл) .

Визначення 2. Невизначеним інтегралом функції x(Первісна функція та невизначений інтеграл) називається сукупність всіх її первісних. При цьому використовується запис

∫

x(Первісна функція та невизначений інтеграл)dx

,

де знак ∫ називається знаком інтеграла, функція x(Первісна функція та невизначений інтеграл) – підінтегральною функцією, а x(Первісна функція та невизначений інтеграл)dx - Підінтегральний вираз.

Таким чином, якщо Можливо, вас зацікавлять також(Первісна функція та невизначений інтеграл) – якась первісна для x(Первісна функція та невизначений інтеграл) , то

∫

x(Первісна функція та невизначений інтеграл)dx = Можливо, вас зацікавлять також(Первісна функція та невизначений інтеграл) +C

де C - Довільна постійна (константа).

Для розуміння сенсу безлічі первісних функцій як невизначеного інтеграла доречна наступна аналогія. Нехай є двері (традиційні дерев'яні двері). Її функція – "бути дверима". А з чого зроблено двері? Із дерева. Значить, безліччю первісних підінтегральних функцій "бути дверима", тобто її невизначеним інтегралом, є функція "бути деревом + С", де С - константа, яка в даному контексті може позначати, наприклад, породу дерева. Подібно до того, як двері зроблені з дерева за допомогою деяких інструментів, похідна функції "зроблена" з первісної функції за допомогою формули, яку ми дізналися, вивчаючи похідну .

Тоді таблиця функцій поширених предметів та відповідних їм первісних ("бути дверима" - "бути деревом", "бути ложкою" - "бути металом" та ін.) аналогічна до таблиці основних невизначених інтегралів, яка буде наведена трохи нижче. У таблиці невизначених інтегралів перераховуються поширені функції із зазначенням первісних, у тому числі " зроблені " ці функції. У частині завдань перебування невизначеного інтеграла дані такі подинтегральные функції, які без особливих умов може бути проінтегровані безпосередньо, тобто за таблицею невизначених інтегралів. У завданнях складніше підінтегральну функцію потрібно попередньо перетворити те щоб можна було використовувати табличні інтеграли.

Факт 2. Відновлюючи функцію як первісну, ми маємо враховувати довільну постійну (константу) C, а щоб не писати список первісної з різними константами від 1 до нескінченності, потрібно записувати безліч первісних з довільною константою Cнаприклад, так: 5 Первісна функція та невизначений інтеграл³+С . Отже, довільна стала (константа) входить у вираз первісної, оскільки первісна може бути функцією, наприклад, 5 Первісна функція та невизначений інтеграл³+4 або 5 Первісна функція та невизначений інтеграл³+3 і при диференціюванні 4 або 3, або будь-яка інша константа перетворюються на нуль.

Поставимо завдання інтегрування: для цієї функції x(Первісна функція та невизначений інтеграл) знайти таку функцію Можливо, вас зацікавлять також(Первісна функція та невизначений інтеграл), похідна якоїдорівнює x(Первісна функція та невизначений інтеграл).

приклад 1.Знайти безліч первісних функцій

Рішення. Для цієї функції першорядною є функція

Функція Можливо, вас зацікавлять також(Первісна функція та невизначений інтеграл) називається первісною для функції x(Первісна функція та невизначений інтеграл), якщо похідна Можливо, вас зацікавлять також(Первісна функція та невизначений інтеграл) дорівнює x(Первісна функція та невизначений інтеграл), або, що те саме, диференціал Можливо, вас зацікавлять також(Первісна функція та невизначений інтеграл) дорівнює x(Первісна функція та невизначений інтеграл) dx, тобто.

(2)

Отже, функція - первісна для функції . Однак вона не є єдиною первісною для . Ними служать також функції

де З- Довільна постійна. У цьому вся можна переконатися диференціюванням.

Таким чином, якщо для функції існує одна первісна, то для неї існує безліч первісних, що відрізняються на постійне доданок. Усі первісні функції записуються в наведеному вище вигляді. Це випливає із наступної теореми.

Теорема (формальний виклад факту 2).Якщо Можливо, вас зацікавлять також(Первісна функція та невизначений інтеграл) – первісна для функції x(Первісна функція та невизначений інтеграл) на деякому проміжку Х, то будь-яка інша первісна для x(Первісна функція та невизначений інтеграл) на тому ж проміжку може бути представлена ​​у вигляді Можливо, вас зацікавлять також(Первісна функція та невизначений інтеграл) + C, де З- Довільна постійна.

У наступному прикладі вже звертаємося до таблиці інтегралів, яка буде дана в параграфі 3, після властивостей невизначеного інтегралу. Робимо це до ознайомлення з усією таблицею, щоб було зрозуміло суть вищевикладеного. А після таблиці та властивостей будемо користуватися ними при інтегруванні у всій повноті.

приклад 2.Знайти безліч первісних функцій:

Рішення. Знаходимо безліч первісних функцій, у тому числі " зроблені " дані функції. При згадці формул з таблиці інтегралів поки що просто прийміть, що є такі формули, а повністю саму таблицю невизначених інтегралів ми вивчимо трохи далі.

1) Застосовуючи формулу (7) з таблиці інтегралів при n= 3, отримаємо

2) Використовуючи формулу (10) з таблиці інтегралів при n= 1/3, маємо

3) Оскільки

то за формулою (7) при n= -1/4 знайдемо

Під знаком інтеграла пишуть не саму функцію x, а її твір на диференціал dx. Це робиться насамперед для того, щоб вказати, за якою змінною шукається первісна. Наприклад,

, ;

тут обох випадках подинтегральная функція дорівнює , та її невизначені інтеграли у розглянутих випадках виявляються різними. У першому випадку ця функція сприймається як функція від змінної Первісна функція та невизначений інтеграл, а у другому - як функція від z .

Процес знаходження невизначеного інтеграла функції називається інтегрування цієї функції.

Геометричний зміст невизначеного інтегралу

Нехай потрібно знайти криву y=F(x)і ми вже знаємо, що тангенс кута нахилу дотичної в кожній точці є задана функція f(x)абсциси цієї точки.

Відповідно до геометричного змісту похідної, тангенс кута нахилу дотичної в даній точці кривої y=F(x)дорівнює значенню похідної F"(x). Отже, потрібно знайти таку функцію F(x), для котрої F"(x)=f(x). Необхідна в завданні функція F(x)є первісною від f(x). Умову задачі задовольняє не одна крива, а сімейство кривих. y=F(x)- одна з таких кривих, а будь-яка інша крива може бути отримана з неї паралельним перенесенням вздовж осі Ой.

Назвемо графік первісної функції від f(x)інтегральної кривої. Якщо F"(x)=f(x), то графік функції y=F(x)є інтегральна крива.

Факт 3. Невизначений інтеграл геометрично представлений насінням усіх інтегральних кривих як на малюнку нижче. Відстань кожної кривої від початку координат визначається довільною постійною (константою) інтегрування C.

Властивості невизначеного інтегралу

Факт 4. Теорема 1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, яке диференціал – підинтегральному вираженню.

Факт 5. Теорема 2. Невизначений інтеграл від диференціалу функції x(Первісна функція та невизначений інтеграл) дорівнює функції x(Первісна функція та невизначений інтеграл) з точністю до постійного доданку , тобто.

(3)

Теореми 1 і 2 показують, що диференціювання та інтегрування є взаємно-зворотними операціями.

Факт 6. Теорема 3. Постійний множник у підінтегральному вираженні можна виносити за знак невизначеного інтегралу , тобто.

У школі у багатьох не виходить вирішити інтеграли або виникають труднощі з ними. Ця стаття допоможе вам у цьому розібратися, тому що в ній ви знайдете все таблиці інтегралів.

Інтегралє одним із головних обчислень та поняттям у математичному аналізі. Його поява вийшла від двох цілей:
Перша мета- Відновити функцію за допомогою її похідної.
Друга мета- обчислення площі, що знаходиться на відстані від графіка до функції f(x) на прямій де, а більше або дорівнює х більше або дорівнює b і вісь абсцис.

Ці цілі підводять нас до певних і невизначених інтегралів. Зв'язок між даними інтегралами лежить у пошуку властивостей та обчисленні. Але все тече і змінюється з часом, знаходилися нові шляхи рішення, виявлялися доповнення цим приводячи певні і невизначені інтеграли до інших форм інтегрування.

Що таке невизначений інтеграл Запитайте Ви. Це первісна функція F(x) однієї змінної x в інтервалі а більше x більше b. називається будь-якою функцією F(x), в даному інтервалі для будь-якого позначення х, похідна дорівнює F(x). Зрозуміло що F(x) первісна для f(x) у проміжку а більше x більше b. Значить F1(x) = F(x) + C. З є будь-яким постійним і першорядним для f(x) в даному інтервалі. Дане твердження оборотне, для функції f(x) - 2 первісні відрізняються лише постійною. Спираючись на теорему інтегрального обчислення, виходить, що кожна безперервна в інтервалі a

Визначений інтеграл розуміється як межа в інтегральних сумах, або в ситуації заданої функції f(x) визначеної на деякій прямий (а, b) маючи на ньому первісну F, що означає різницю її виразів у кінцях даної прямої F(b) - F(a).

Для наочності вивчення цієї теми пропоную подивитися відео. У ньому докладно розповідається і показується, як знаходити інтеграли.

Кожна таблиця інтегралів як така дуже корисна, оскільки допомагає у вирішенні конкретного виду інтегралів.






Усі можливі види канцтоварів і не лише. Ви можете придбати через інтернет-магазин v-kant.ru. Або просто перейдіть на посилання Канцтовари Самара (http://v-kant.ru) якість і ціни Вас приємно здивують.


Користуючись тим, що інтегрування є дія, зворотне диференціювання. можна отримати таблицю основних інтегралів шляхом звернення відповідних формул диференціального обчислення (таблиця диференціалів) і використання властивостей невизначеного інтеграла. Наприклад, так як

d(sin u) = cos u*du, Висновок низки формул таблиці буде дано при розгляді основних методів інтегрування.
Інтеграли в таблиці, що наводиться нижче, називаються табличними. Їх слід знати напам'ять. У інтегральному обчисленні немає найпростіших і універсальних правил відшукання первісних від елементарних функцій, як і диференціальному обчисленні. Методи знаходження первісних (тобто інтегрування функції) зводяться до вказівки прийомів, що наводять даний (шуканий) інтеграл до табличного. Отже, необхідно знати табличні інтеграли та вміти їх впізнавати.
Зазначимо, що у таблиці основних інтегралів змінна інтегрування і може означати як незалежну змінну, і функцію від незалежної змінної (відповідно до властивості інваріантності формули інтегрування).
У справедливості наведених нижче формул можна переконатися, взявши диференціал правої частини, який дорівнюватиме підінтегрального виразу в лівій частині формули.
Доведемо, наприклад, справедливість формули 2. Функція 1/ uвизначена та безперервна для всіх значень u, відмінні від нуля.
Якщо u> 0. то ln | u| = ln uтоді d ln | u| = d ln u = du/u. Тому

Таблиця основних інтегралів