Основні формули з фізики - коливання та хвилі. Основні формули з фізики - коливання та хвилі Рівняння загасаючих коливань

При вивченні цього розділу слід мати на увазі, що коливанняРізної фізичної природи описуються з єдиних математичних позицій. Тут треба чітко усвідомити такі поняття, як гармонійне коливання, фаза, різницю фаз, амплітуда, частота, період коливання.

Треба пам'ятати, що у будь-якій реальній коливальній системі є опору середовища, тобто. коливання будуть загасаючими. Для характеристики загасання коливань вводиться коефіцієнт загасання та логарифмічний декремент згасання.

Якщо коливання відбуваються під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється, то такі коливання називають вимушеними. Вони будуть незагасаючими. Амплітуда вимушених коливань залежить від частоти сили, що змушує. При наближенні частоти вимушених коливань до частоти власних коливань амплітуда вимушених коливань різко зростає. Це називається резонансом.

Переходячи до вивчення електромагнітних хвиль потрібно чітко уявляти, щоелектромагнітна хвиля- це електромагнітне поле, що розповсюджується в просторі. Найпростішою системою, що випромінює електромагнітні хвилі, є електричний диполь. Якщо диполь здійснює гармонійні коливання, він випромінює монохроматичну хвилю.

Таблиця формул: коливання та хвилі

Сила Коріоліса дорівнює:

де – точкова маса,-векторкутовий швидкостісистеми відліку, що обертається,- вектор швидкості руху точкової маси в цій системі відліку, квадратними дужками позначена операція векторного твору.

Величина називається коріолісовим прискоренням.

За фізичною природою

Механічні(звук,вібрація)

Електромагнітні (світло,радіохвилі, теплові)

Змішаного типу- комбінації перерахованих вище

За характером взаємодії з довкіллям

Вимушені - коливання, які у системі під впливом зовнішнього періодичного впливу. Приклади: листя на деревах, підняття та опускання руки. При вимушених коливаннях може виникнути явище резонансу: різке зростання амплітуди коливань при збігу власної частотиосцилятората частоти зовнішнього впливу.

Вільні (або власні)- це коливання у системі під дією внутрішніх силпісля того, як система виведена зі стану рівноваги (в реальних умовах вільні коливання завжди загасаючі).

Найпростішими прикладами вільних коливань є коливання вантажу, прикріпленого до пружини, або підвішеного на нитки вантажу. Автоколивання - коливання, у яких система має запаспотенційної енергії , що витрачається на здійснення коливань (приклад такої системи -механічний годинник

). Характерною відмінністю автоколивань від вимушених коливань є те, що їхня амплітуда визначається властивостями самої системи, а не початковими умовами. Параметричні

- коливання, що виникають при зміні будь-якого параметра коливальної системи внаслідок зовнішнього впливу. Випадкові

- коливання, у яких зовнішнє чи параметричне навантаження є випадковим процесом.

Гармонічні коливання дехω

А

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді

(Будь-яке нетривіальне

Швидкість та прискорення при гармонійних коливаннях.

Таким чином, бачимо, що швидкість при гармонійному коливальному русі також змінюється за гармонічним законом, але коливання швидкості випереджають коливання зміщення по фазі на p/2.

Величина – максимальна швидкість коливального руху (амплітуда коливань швидкості).

Отже, для швидкості при гармонійному коливанні маємо: ,

а для випадку початкової нульової фази (див. графік).

Відповідно до визначення прискорення, прискорення – це похідна від швидкості за часом:

-

друга похідна від координати за часом. Тоді: .

Прискорення при гармонійному коливальному русі також змінюється за гармонічним законом, але коливання прискорення випереджають коливання швидкості на p/2 і коливання усунення наp(кажуть, що коливання відбуваються у протифазі).

Величина

Максимальне прискорення (амплітуда коливань прискорення). Отже, для прискорення маємо: ,

а для випадку нульової початкової фази: (Див. графік).

З аналізу процесу коливального руху, графіків і відповідних математичних виразів видно, що при проходженні тілом положення рівноваги (зміщення дорівнює нулю) прискорення дорівнює нулю, а швидкість тіла максимальна (тіло проходить положення рівноваги за інерцією), а при досягненні амплітудного значення зміщення – швидкість дорівнює нулю, а прискорення максимально за модулем (тіло змінює напрямок свого руху).

- коливання, у яких зовнішнє чи параметричне навантаження є випадковим процесом.- коливання, при яких фізична (або будь-яка інша) величина змінюється з часом за синусоїдальним або косинусоїдальним законом. Кінематичне рівняння гармонійних коливань має вигляд

Гармонічні коливання де- зміщення (відхилення) точки, що коливається від положення рівноваги в момент часу t; х- амплітуда коливань, це величина, що визначає максимальне відхилення точки, що коливається від положення рівноваги; ω - циклічна частота, величина, що показує кількість повних коливань що відбуваються протягом 2π секунд; - повна фаза коливань, - початкова фаза коливань.

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді вирішення цього диференціального рівняння - є гармонійне коливання із циклічною частотою)

(Лат. amplitude- величина) - це найбільше відхилення тіла, що коливається від положення рівноваги.

Для маятника це максимальна відстань, на яку віддаляється кулька від свого положення рівноваги (рисунок нижче). Для коливань з малими амплітудами за таку відстань можна приймати як довжину дуги 01 чи 02, і довжини цих відрізків.

Амплітуда коливань вимірюється в одиницях довжини - метрах, сантиметрах і т. д. На графіку коливань амплітуда визначається як максимальна (за модулем) ордината синусоїдальної кривої, (див. рис. Нижче).

Період коливань.

Період коливань- Це найменший проміжок часу, через який система, що робить коливання, знову повертається в той же стан, в якому вона знаходилася в початковий момент часу, вибраний довільно.

Іншими словами, період коливань ( Т) - це час, за який відбувається одне повне коливання. Наприклад, на малюнку нижче цей час, за який вантаж маятника переміщається з крайньої правої точки через точку рівноваги Проу крайню ліву точку і назад через точку Прознову в крайню праву.

За повний період коливань, таким чином, тіло проходить шлях, рівний чотирьом амплітудам. Період коливань вимірюється в одиницях часу - секундах, хвилинах і т. д. Період коливань може бути визначений за відомим графіком коливань (див. рис. нижче).

Поняття «період коливань», строго кажучи, справедливе, лише коли значення коливається величини точно повторюються через певний проміжок часу, тобто для гармонійних коливань. Однак це поняття застосовується також і для випадків приблизно повторюваних величин, наприклад, для загасаючих коливань.

Частота коливань.

Частота коливань- Це число коливань, що здійснюються за одиницю часу, наприклад, за 1 с.

Одиниця частоти у СІ названа герцем(Гц) на честь німецького фізика Г. Герца (1857-1894). Якщо частота коливань ( v) дорівнює 1 Гц, то це означає, що за кожну секунду відбувається одне коливання. Частота та період коливань пов'язані співвідношеннями:

Теоретично коливань користуються також поняттям циклічною, або кругової частоти ω . Вона пов'язана із звичайною частотою vта періодом коливань Тспіввідношеннями:

.

Циклічна частота- Це число коливань, що здійснюються за 2πсекунд.

До цього часу ми розглядали власні коливання, т. е. коливання, які у відсутність зовнішніх впливів. Зовнішній вплив був потрібний лише для того, щоб вивести систему зі стану рівноваги, після чого вона надавалася самій собі. Диференціальне рівняння власних коливань взагалі містить слідів зовнішнього на систему: цей вплив відбивається лише у початкових умовах.

Встановлення коливань.Але дуже часто доводиться стикатися з коливаннями, які відбуваються при постійному зовнішньому впливі. Особливо важливий і водночас досить простий вивчення випадок, коли зовнішня сила має періодичний характер. Загальною рисою вимушених коливань, що відбуваються під дією періодичної зовнішньої сили, є те, що через деякий час після початку дії зовнішньої сили система повністю «забуває» свій початковий стан, коливання набувають стаціонарного характеру і не залежать від початкових умов. Початкові умови виявляються лише у період встановлення коливань, який зазвичай називають перехідним процесом.

Синусоїдальна дія.Розглянемо спочатку найпростіший випадок вимушених коливань осцилятора під дією зовнішньої сили, що змінюється за синусоїдальним законом:

Мал. 178. Порушення вимушених коливань маятника

Таке зовнішній впливна систему можна здійснити у різний спосіб. Наприклад, можна взяти маятник у вигляді кульки на довгому стрижні і довгу пружину з малою жорсткістю і прикріпити її до стрижня маятника неподалік точки підвісу, як показано на рис. 178. Інший кінець горизонтально розташованої пружини слід змусити рухатися згідно із законом? за допомогою кривошипно-шатунного механізму, що рухається електромотором. Чинна

на маятник з боку пружини змушує сила буде практично синусоїдальна, якщо розмах руху лівого кінця пружини буде багато більше амплітуди коливань стрижня маятника в точці закріплення пружини С.

Рівняння руху.Рівняння руху для цієї та інших подібних систем, в яких поряд з силою опору, що повертає, і силою опору на осцилятор діє змушує зовнішня сила, синусоїдально змінюється з часом, можна записати у вигляді

Тут ліва частина відповідно до другого закону Ньютона є твором маси на прискорення. Перший член у правій частині є повертає силу, пропорційну зміщення з положення рівноваги. Для підвішеного на пружині вантажу це пружна сила, а в інших випадках, коли її фізична природа інша, цю силу називають квазіпружною. Друге доданок є сила тертя, пропорційна швидкості, наприклад, сила опору повітря або сила тертя в осі. Амплітуду і частоту з розкачує систему змушуючої сили вважатимемо незмінними.

Розділимо обидві частини рівняння (2) на масу та введемо позначення

Тепер рівняння (2) набуває вигляду

У відсутність вимушальної сили права частина рівняння (4) звертається в нуль і воно, як і слід очікувати, зводиться до рівняння власних загасаючих коливань.

Досвід показує, що у всіх системах під дією синусоїдальної зовнішньої сили врешті-решт встановлюються коливання, які також відбуваються за синусоїдальним законом з частотою примушує сили з і з постійною амплітудою а, але з деяким зрушенням по фазі щодо вимушує сили. Такі коливання називаються вимушеними коливаннями, що встановилися.

Усталені коливання.Розглянемо спочатку саме які вимушені коливання, причому для простоти знехтуємо тертям. В цьому випадку в рівнянні (4) не буде члена, що містить швидкість:

Спробуємо шукати рішення відповідне вимушеним коливанням, що встановилися, у вигляді

Обчислимо другу похідну і підставимо її разом з рівняння (5):

Щоб ця рівність була справедливою у будь-який момент часу, коефіцієнти при ліворуч і праворуч мають бути однакові. З цієї умови знаходимо амплітуду коливань а:

Досліджуємо залежність амплітуди а від частоти сили, що змушує. Графік цієї залежності показано на рис. 179. При формула (8) дає підстави сюди значення бачимо, що постійна в часі сила просто зміщує осцилятор в нове положення рівноваги, зсунуте від старого на З (6) слід, що при зміщення

як, очевидно, і має бути.

Мал. 179. Графік залежності

Фазові співвідношення.У міру зростання частоти змушує сили від 0 до коливання, що встановилися, відбуваються у фазі з вимушальною силою а їх амплітуда постійно збільшується, спочатку повільно, а в міру наближення з до - все швидше і швидше: при амплітуда коливань необмежено зростає

При значеннях зі, що перевищують частоту своїх коливань формула (8) дає для а від'ємне значення(Рис. 179). З формули (6) ясно, що при коливання відбуваються в протифазі з силою, що змушує: коли сила діє в одну сторону, осцилятор зміщений в протилежну. При необмеженому збільшенні частоти амплітуда коливань, що змушує сили, прагне до нуля.

Амплітуду коливань у всіх випадках зручно вважати позитивною, чого легко досягти, вводячи зсув фаз між примушуючою

силою та зміщенням:

Тут як і раніше дається формулою (8), а зсув фази дорівнює нулю при і дорівнює при Графіки залежно від частоти змушує сили показані на рис. 180.

Мал. 180. Амплітуда та фаза вимушених коливань

Резонанс. Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти сили, що змушує, має немонотонний характер. Різке збільшення амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти сили, що змушує, до власної частоти осцилятора називається резонансом.

Формула (8) дає вираз для амплітуди вимушених коливань зневажання тертям. Саме з цією зневагою пов'язане звернення амплітуди коливань у нескінченність при точному збігу частот Реально амплітуда коливань у нескінченність, звичайно ж, звертатися не може.

Це означає, що з описі вимушених коливань поблизу резонансу облік тертя необхідний. При врахуванні тертя амплітуда вимушених коливань при резонансі виходить кінцевою. Вона буде тим меншою, чим більше тертя у системі. Вдалині від резонансу формулою (8) можна користуватися для знаходження амплітуди коливань і за наявності тертя, якщо воно не дуже сильне, тобто більше, ця формула, отримана без урахування тертя, має фізичний сенстільки тоді, коли тертя все ж таки є. Справа в тому, що саме поняття вимушених коливань, що встановилися, застосовно тільки до систем, в яких є тертя.

Якби тертя зовсім не було, то процес встановлення коливань тривав би нескінченно довго. Реально це означає, що отриманий без урахування тертя вираз (8) для амплітуди вимушених коливань буде правильно описувати коливання в системі тільки через досить великий проміжок часу після початку дії сили, що змушує. Слова "досить великий проміжок часу" означають тут, що вже закінчився перехідний процес, Тривалість якого збігається з характерним часом згасання власних коливань у системі.

При малому терті встановилися вимушені коливання відбуваються у фазі з силою при і в протифазі при як і відсутність тертя. Однак поблизу резонансу фаза змінюється не стрибком, а безперервно, причому при точному збігу частот зсув відстає по фазі від сили, що змушує (на чверть періоду). Швидкість змінюється при цьому у фазі з силою, що забезпечує найбільш сприятливі умови для передачі енергії від джерела зовнішньої змушуючої сили до осцилятора.

Який фізичний сенс має кожен із членів у рівнянні (4), що описує вимушені коливання осцилятора?

Що таке вимушені коливання, що встановилися?

За яких умов можна використовувати формулу (8) для амплітуди вимушених коливань, що встановилися, отриману без урахування тертя?

Що таке резонанс? Наведіть відомі вам приклади прояву та використання явища резонансу.

Опишіть зсув по фазі між силою, що змушує, і зміщенням при різних співвідношенняхміж частотою з примушує сили і власною частотою осцилятора.

Чим визначається тривалість процесу встановлення вимушених коливань? Дайте обґрунтування відповіді.

Векторні діаграми.Переконатися у справедливості наведених вище тверджень можна, якщо отримати рішення рівняння (4), що описує вимушені коливання, що встановилися, за наявності тертя. Оскільки коливання, що встановилися, відбуваються з частотою змушує сили з і деяким зрушенням по фазі то рішення рівняння (4), відповідне таким коливанням, слід шукати у вигляді

При цьому швидкість і прискорення, очевидно, також змінюватимуться згодом за гармонійним законом:

Амплітуду а вимушених коливань, що встановилися, і зсув фази зручно визначати за допомогою векторних діаграм. Скористаємося тією обставиною, що миттєве значення будь-якої величини, що змінюється за гармонічним законом, можна представити як проекцію вектора на деякий заздалегідь обраний напрямок, причому сам вектор рівномірно обертається в площині з частотою со, а його незмінна довжина дорівнює

амплітудного значення цієї осцилюючої величини. Відповідно до цього зіставимо кожному члену рівняння (4) вектор, що обертається з кутовою швидкістю, довжина якого дорівнює амплітудному значенню цього члена.

Оскільки проекція суми кількох векторів дорівнює сумі проекцій цих векторів, то рівняння (4) означає, що сума векторів, зіставлюваних членам, що стоять у лівій частині, дорівнює вектору, що зіставляється величині правої частини. Щоб побудувати ці вектори, випишемо миттєві значення всіх членів лівої частини рівняння (4), враховуючи співвідношення

З формул (13) видно, що вектор довжини зіставляється величині випереджає на кут вектор зіставляється величині Вектор довжини зіставляється члену х, випереджає на вектор довжини тобто ці вектори направлені в протилежні сторони.

Взаємне розташування цих векторів довільного моменту часу показано на рис. 181. Вся система векторів обертається як ціле з кутовою швидкістю проти годинникової стрілки навколо точки О.

Мал. 181. Векторна діаграма вимушених коливань

Мал. 182. Вектор зіставляється зовнішній силі

Миттєві значення всіх величин виходять проектуванням відповідних векторів на заздалегідь обраний напрямок Вектор, який можна порівняти з правою частиною рівняння (4), дорівнює сумівекторів, зображених на рис. 181. Це додавання показано на рис. 182. Застосовуючи теорему Піфагора, отримуємо

звідки знаходимо амплітуду вимушених коливань, що встановилися:

Зсув фази між силою, що змушує, і зсувом як видно з векторної діаграми на рис. 182, від'ємний, так як вектор довжини відстає від вектора

Отже, вимушені коливання, що встановилися, відбуваються за гармонійним законом (10), де а і визначаються формулами (14) і (15).

Мал. 183. Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти сили, що змушує.

Резонансні криві.Досліджуємо залежність амплітуди коливань від частоти вимушальної сили. При малому згасанні ця залежність має дуже різкий характер. Якщо то при прагненні до частоти вільних коливань амплітуда вимушених коливань а прагне нескінченності, що збігається з отриманим раніше результатом (8). За наявності згасання амплітуда коливань у резонансі не звертається в нескінченність, хоча значно перевищує амплітуду коливань під впливом зовнішньої сили тієї ж величини, але має частоту, далеку від резонансної. Резонансні криві при різних значенняхпостійної згасання у наведені на рис. 183. Для знаходження частоти резонансу сорез, необхідно визначити, у якому з підкорене вираз у формулі (14) має мінімум. Прирівнюючи похідну цього виразу по нулю (або доповнюючи його до повного квадрата), переконуємося, що максимум амплітуди вимушених коливань має місце при

Резонансна частота виявляється меншою за частоту вільних коливань системи. При малих 7 резонансна частота практично збігається з При прагненні частоти примушує сили до нескінченності, тобто при амплітуда а, як видно з (14), прагне нуля. При дії постійної зовнішньої сили, амплітуда Якщо підставити сюди і отримаємо Це є статичне зміщення осцилятора з положення рівноваги під дією постійної сили і зміщення осцилятора відбувається в протифазі з силою, що змушує. У резонансі, як видно з (15), зсув відстає по фазі від зовнішньої сили на Друга формул (13) показує, що при цьому зовнішня сила змінюється у фазі зі швидкістю тобто весь час діє в напрямку руху. Що саме так і має бути, зрозуміло з інтуїтивних міркувань.

Резонанс швидкості.З формули (13) видно, що амплітуда коливань швидкості при вимушених коливаннях, що встановилися, дорівнює . За допомогою (14) отримуємо

Мал. 184. Амплітуда швидкості при встановлених вимушених коливаннях

Залежність амплітуди швидкості від частоти зовнішньої сили показано на рис. 184. Резонансна крива для швидкості хоч і схожа на резонансну криву для зміщення, але відрізняється від неї в деяких відношеннях. Так, при т. Е. При дії постійної сили, осцилятор відчуває статичне зміщення зі положення рівноваги і швидкість його після того, як закінчиться перехідний процес, дорівнює нулю. З формули (19) видно, що амплітуда швидкості звертається в нуль. Резонанс швидкості має місце при точному збігу частоти зовнішньої сили з частотою вільних коливань

Як будуються векторні діаграми для вимушених коливань при синусоїдальному зовнішньому впливі?

Чим визначається частота, амплітуда і фаза вимушених гармонійних коливань, що встановилися?

Опишіть відмінності резонансних кривих для амплітуди усунення та амплітуди швидкості. Якими характеристиками коливальної системи визначається гострота резонансних кривих?

Як пов'язаний характер резонансної кривої з параметрами системи, що визначають згасання її власних коливань?