Натуральні числа - це числа, з яких колись все почалося. І сьогодні це перші числа, з якими зустрічається у своєму житті людина, коли в дитинстві вчиться рахувати на пальцях чи лічильних паличках.

Визначення: Натуральними називають числа, які використовують для рахунку предметів (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Число 0 не є натуральним. Воно й у історії математики має окрему історію і з'явилося набагато пізніше натуральних чисел.]

Багато всіх натуральних чисел (1, 2, 3, 4, 5, ...) позначають буквою N.

Цілі числа

Навчившись вважати, що ми робимо - це вчимося робити над числами арифметичні дії. Зазвичай спочатку (на рахункових паличках) навчаються виконувати додавання та віднімання.

З додаванням все зрозуміло: склавши будь-які два натуральні числа, в результаті завжди отримаємо теж натуральне число. А ось у відніманні виявляємо, що з меншого відібрати більше так, щоб в результаті вийшло натуральне число, ми не можемо. (3 − 5 = чому?) Тут ідея негативних чисел. (Негативні числа вже не є натуральними)

На етапі виникнення негативних чисел (а вони з'явилися пізніше дробових)існували та його противники, які вважали їх безглуздям. (Три предмети можна показати на пальцях, десять можна показати, тисячу предметів можна уявити за аналогією. А що таке "мінус три мішки"? — Тоді числа хоч уже й використовувалися самі по собі, у відриві від конкретних предметів, кількість яких вони Але, як і заперечення, так і основний аргумент на користь негативних чисел, прийшов з практики: негативні числа дозволяли зручно вести рахунок боргам. 3 − 5 = −2 — у мене було 3 монети, я витратила 5. Значить, у мене не просто закінчилися монети, а й 2 монети я комусь винна. Якщо поверну одну, борг зміниться −2+1=−1, але може бути представлений негативним числом.

У результаті негативні числа з'явилися в математиці, і тепер у нас є нескінченна кількість натуральних чисел (1, 2, 3, 4, ...) і є така сама кількість їм протилежних (−1, −2, −3, −4) , ...). Додамо до них ще 0. І безліч усіх цих чисел називатимемо цілими.

Визначення: Натуральні числа, їм протилежні та нуль становлять безліч цілих чисел. Воно позначається буквою Z.

Будь-які два цілих числа можна відняти один з одного або скласти і отримати в результаті ціле число.

Ідея складання цілих чисел передбачає можливість множення, як і швидшого способу виконання складання. Якщо у нас є 7 мішків по 6 кілограм, ми можемо складати 6+6+6+6+6+6+6 (сім разів додавати до поточної суми по 6), а можемо просто пам'ятати, що така операція завжди даватиме в результаті 42. Як і додавання шести сімок 7+7+7+7+7+7 теж завжди даватиме 42.

Результати операції складання певногочисла самого із собою певнекількість разів для всіх пар чисел від 2 до 9 виписуються та становлять таблицю множення. Для множення цілих чисел більше 9 вигадується правило множення стовпчик. (Яке поширюється і на десяткові дроби, і яке розглядатиметься в одній із наступних статей.) При множенні будь-яких двох цілих чисел один на одного завжди отримаємо в результаті ціле число.

Раціональні числа

Тепер розподіл. За аналогією з тим, як віднімання є зворотною операцією для додавання, приходимо до ідеї поділу як зворотної операції для множення.

Коли ми мали 7 мішків по 6 кілограм, за допомогою множення ми легко порахували, що загальна вага вмісту мішків становить 42 кілограми. Уявімо, що ми висипали весь вміст усіх мішків в одну загальну купу масою 42 кілограми. А потім передумали і захотіли розподілити вміст назад по 7 мішках. Скільки кілограм при цьому потрапить в один мішок, якщо розподілятимемо порівну? – Очевидно, що 6.

А якщо захочемо розподілити 42 кілограми по 6 мішках? Тут ми подумаємо про те, що ті ж загальні 42 кілограми могли б вийти, якби ми висипали в купу 6 мішків по 7 кілограмів. І значить при розподілі 42 кілограми на 6 мішків порівну отримаємо в одному мішку по 7 кілограмів.

А якщо розділити 42 кілограми порівну по 3 мішках? І тут теж ми починаємо підбирати таке число, яке при множенні на 3 дало б 42. Для «табличних» значень, як у випадку 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7, ми виконуємо операцію поділу, просто згадуючи таблицю множення. Для більш складних випадків використовується розподіл у стовпчик, який буде розглянуто в одній із наступних статей. У разі 3 і 42 можна «підбиранням» згадати, що 3 · 14 = 42. Значить, 42: 3 = 14. У кожному мішку буде по 14 кілограмів.

Тепер спробуємо розділити 42 кілограми порівну на 5 мішків. 42:5 =?
Помічаємо, що 5 · 8 = 40 (мало), а 5 · 9 = 45 (багато). Тобто, ні по 8 кілограмів у мішку, ні по 9 кілограмів, з 5 мішків ми 42 кілограми ніяк не отримаємо. При цьому зрозуміло, що насправді розділити будь-яку кількість (крупи, наприклад,) на 5 рівних частин нам нічого не заважає.

Операція поділу цілих чисел один на одного не обов'язково дає в результаті ціле число. Так ми дійшли поняття дробу. 42:5 = 42/5 = 8 цілих 2/5 (якщо рахувати у звичайних дробах) або 42:5=8,4 (якщо рахувати в десяткових дробах).

Звичайні та десяткові дроби

Можна сміливо сказати, що будь-яка звичайна дріб m/n (m – будь-яке ціле, n – будь-яке натуральне) є просто спеціальну форму запису результату розподілу числа m на число n. (m називають чисельником дробу, n – знаменником) Результат поділу, наприклад, числа 25 на число 5 теж можна записати у вигляді звичайного дробу 25/5. Але в цьому немає необхідності, тому що результат розподілу 25 на 5 може бути записаний цілим числом 5. (І 25/5 = 5). А ось результат розподілу числа 25 на число 3 вже не може бути представлений цілим числом, тому тут виникає необхідність використання дробу, 25:3=25/3. (Можна виділити цілу частину 25/3= 8 цілих 1/3. Докладніше прості дроби та операції зі звичайними дробами будуть розглянуті в наступних статтях.)

Звичайні дроби хороші тим, що, щоб уявити таким дробом результат поділу будь-яких двох цілих чисел, потрібно просто записати ділене в чисельник дробу, а дільник у знаменник. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Потім по можливості скоротити дріб і/або виділити цілу частину (ці дії зі звичайними дробами будуть докладно розглянуті в наступних статтях ). Проблема в тому, що робити арифметичні події (складення, віднімання) зі звичайними дробами вже не так зручно, як з цілими числами.

Для зручності запису (в один рядок) і для зручності обчислень (з можливістю обчислень у стовпчик, як для звичайних цілих чисел), крім звичайних дробів, придумані ще й десяткові дроби. Десятковий дріб – це спеціальним чином записаний звичайний дріб зі знаменником 10, 100, 1000 і т.п. Наприклад, звичайний дріб 7/10 – те саме, як і десятковий дріб 0,7. (8/100 = 0,08; 2 цілих 3/10=2,3; 7 цілих 1/1000 = 7, 001). Перекладу звичайних дробів у десяткові та навпаки буде присвячена окрема стаття. Операціям із десятковими дробами – інші статті.

Будь-яке ціле число може бути представлене у вигляді звичайного дробу зі знаменником 1. (5=5/1; −765=−765/1).

Визначення: Усі числа, які можуть бути представлені у вигляді звичайного дробу, називають раціональними числами. Безліч раціональних чисел позначають буквою Q.

При розподілі будь-яких двох цілих чисел один на одного (крім випадку розподілу на 0) завжди отримаємо в результаті раціональне число. Для звичайних дробів є правила додавання, віднімання, множення і поділу, що дозволяють зробити відповідну операцію з будь-якими двома дробами і отримати в результаті також раціональне число (дроб або ціле).

Безліч раціональних чисел - це перше з розглянутих нами множин, в якому можна і складати, і віднімати, і множити, і ділити (крім поділу на 0), ніколи не виходячи за межі цієї множини (тобто завжди отримуючи в результаті раціонально число) .

Здавалося б, інших чисел немає, всі числа раціональні. Але це не так.

Справжні числа

Існують такі числа, які не можна уявити у вигляді дробу m/n (де m-ціле, n-натуральне).

Які ж це числа? Ми ще не розглянули операцію зведення у ступінь. Наприклад, 4 2 = 4 · 4 = 16. 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125. Як множення є більш зручну форму запису і обчислення додавання, і зведення у ступінь – це форма запису множення однієї й тієї числа самого себе певну кількість разів.

Але тепер розглянемо операцію, зворотну зведенню до ступеня – вилучення кореня. Квадратний корінь із 16 – це число, яке у квадраті дасть 16, тобто число 4. Квадратний корінь із 9 – це 3. А ось квадратний корінь із 5 або з 2, наприклад, не може бути представлений раціональним числом. (Доказ цього твердження, інші приклади ірраціональних чисел та їхню історію можна подивитися, наприклад, у Вікіпедії)

У ДПА в 9 класі є завдання визначення того, чи є число, що містить у своєму записі корінь, раціональним або ірраціональним. Завдання полягає в тому, щоб спробувати перетворити це число на вид, що не містить корінь (використовуючи властивості коренів). Якщо кореня не вдається позбутися, то число ірраціональне.

Іншим прикладом ірраціонального числа є число π, знайоме всім з геометрії та тригонометрії.

Визначення: Раціональні та ірраціональні числа разом називають дійсними (або речовими) числами. Багато всіх дійсних чисел позначають буквою R.

У дійсних числах, на відміну від раціональних, ми можемо висловити відстань між будь-якими двома точками на прямій чи площині.
Якщо намалювати пряму і вибрати на ній дві довільні точки або вибрати дві довільні точки на площині, то може вийти так, що точну відстань між цими точками неможливо виразити раціональним числом. (Приклад - гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами 1 і 1 за теоремою Піфагора дорівнюватиме кореню з двох - тобто ірраціональному числу. Сюди ж відноситься точна довжина діагоналі зошитної клітини (довжина діагоналі будь-якого ідеального квадрата з цілими сторонами).)
А в множині дійсних чисел будь-які відстані на прямій, у площині або у просторі можуть бути виражені відповідним дійсним числом.

Знайдіть на числовому колі точки з даною абсцисою. Координати. Властивість координат точок. Центр числового кола. Від кола до тригонометра. Знайдіть на числовому колі точки. Крапки з абсцисою. Тригонометр. На числовому колі вкажіть точку. Числове коло на координатній площині. Числове коло. Крапки з ординатою. Назвати координату точки. Назвати лінію та координату точки.

«Виробні» 10 клас алгебра» - Застосування похідної для дослідження функцій. Похідна дорівнює нулю. Знайдіть точки. Узагальнюємо інформацію. Характер монотонності функції. Застосування похідної дослідження функцій. Теоретична розминка. Закінчіть формулювання тверджень. Виберіть правильне затвердження. Теорема. Порівняйте. Похідна позитивна. Порівняйте формулювання теорем. Функція зростає. Достатні умови екстремуму.

«Тригонометричні рівняння» 10 клас» - Значення з проміжку. X = tg х. Вкажіть коріння. Чи правильна рівність. Серія коріння. Рівняння ctg t = a. Визначення. Cos 4x. Знайти коріння рівняння. Рівняння tg t = a. Sin х. Чи має сенс вираз. Sin x =1. Не роби ніколи того, чого не знаєш. Продовжіть фразу. Зробимо вибірку коріння. Розв'яжіть рівняння. Ctg x = 1. Тригонометричні рівняння. Рівняння.

«Алгебра «Виробні»» - рівняння дотичної. Походження термінів. Вирішити завдання. Похідна. Матеріальна точка. Формули диференціювання. Механічний сенс похідної. Критерії оцінок. Похідна функція. Дотична до графіка функції. Визначення похідної. Рівняння щодо графіку функції. Алгоритм пошуку похідної. Приклад знаходження похідної. Структура вивчення теми. Крапка рухається прямолінійно.

«Найкоротший шлях» - Шлях в орграфі. Приклад двох різних графів. Орієнтовані графіки. Приклади орієнтованих графів. Досяжність. Найкоротший шлях із вершини A до вершини D. Опис алгоритму. Переваги ієрархічного списку. Виважені графи. Шлях у графі. Програма "ProGraph". Суміжні вершини та ребра. Ступінь вершини. Матриця суміжності. Довжина шляху у виваженому графі. Приклад матриці суміжності. Знаходження найкоротшого шляху.

"Історія тригонометрії" - Якоб Бернуллі. Техніка оперування з тригонометричними функціями. Вчення про вимір багатогранників. Леонард Ейлер. Розвиток тригонометрії від XVI століття до нашого часу. Учню доводиться зустрічатися із тригонометрією тричі. Досі тригонометрія формувалася та розвивалася. Побудова загальної системи тригонометричних знань, що примикають до них. Минає час, і тригонометрія повертається до школярів.

Цифри в записі багатозначних чисел розбивають праворуч наліво на групи по три цифри в кожній. Ці групи називають класами. У кожному класі цифри праворуч наліво позначають одиниці, десятки та сотні цього класу:

Перший клас праворуч називають класом одиниць, другий - тисяч, третій - мільйонів, четвертий - мільярдів, п'ятий - трильйонів, шостий - квадрільйонівсьомий - квінтільйонів, восьмий - секстильйонів.

Для зручності читання запису багатозначного числа між класами залишається невеликий пробіл. Наприклад, щоб прочитати число 148951784296, виділимо в ньому класи:

і прочитаємо число одиниць кожного класу зліва направо:

148 мільярдів 951 мільйон 784 тисячі 296.

Під час читання класу одиниць наприкінці зазвичай не додають слово одиниць.

Кожна цифра запису багатозначного числа займає певне місце - позицію. Місце (позицію) у записі числа, на якому стоїть цифра, називають розрядом.

Рахунок йде справа наліво. Тобто, перша цифра праворуч у записі числа називається цифрою першого розряду, друга цифра праворуч - цифрою другого розряду і т. д. Наприклад, у першому класі числа 148 951 784 296, цифра 6 є цифрою першого розряду, 9 - цифра другого розряду, 2 - цифра третього розряду:

Одиниці, десятки, сотні, тисячі тощо інакше ще називають розрядними одиницями:
одиниці називають одиницями 1-го розряду (або простими одиницями)
десятки називають одиницями 2-го розряду
сотні називають одиницями 3-го розряду тощо.

Усі одиниці, крім простих одиниць, називаються складовими одиницями. Так, десяток, сотня, тисяча тощо – складові одиниці. Кожні 10 одиниць будь-якого розряду становлять одну одиницю наступного (вищого) розряду. Наприклад, сотня містить 10 десятків, десяток – 10 простих одиниць.

Будь-яка складова одиниця в порівнянні з іншою одиницею, меншою її називається одиницею вищого розряду, а в порівнянні з одиницею, більшою за неї, називається одиницею нижчого розряду. Наприклад, сотня є одиницею вищого розряду щодо десятка та одиницею нижчого розряду щодо тисячі.

Щоб дізнатися, скільки серед усіх одиниць якого-небудь розряду, треба відкинути всі цифри, що означають одиниці нижчих розрядів і прочитати число, що виражається цифрами, що залишилися.

Наприклад, потрібно дізнатися, скільки всього сотень міститься в числі 6284, тобто скільки сотень полягає в тисячах і сотнях даного числа разом.

У числі 6284 третьому місці у класі одиниць стоїть цифра 2, отже серед є дві прості сотні. Наступна ліворуч цифра – 6, означає тисячі. Так як у кожній тисячі міститься 10 сотень, то в 6 тисячах їх полягає 60. Усього, таким чином, в даному числі міститься 62 сотні.

Цифра 0 у якомусь розряді означає відсутність одиниць у даному розряді. Наприклад, цифра 0 у розряді десятків означає відсутність десятків, у розряді сотень - відсутність сотень і т. д. У тому розряді, де стоїть 0, при читанні числа нічого не вимовляється

172526 - сто сімдесят дві тисячі п'ятсот двадцять шість.
102 026 – сто дві тисячі двадцять шість.


Що таке число? Число - одне з основних понять математики, зародилося в давнину і поступово розширювалося і узагальнювалося. У зв'язку з рахунком окремих предметів виникло поняття про цілі позитивні (натуральні) числа, а потім ідея про безмежність натурального ряду чисел: 1, 2, 3, Натуральні числа - це числа, що використовуються при рахунку предметів. 1


Історія. На розкопках стійбища стародавніх людей знайшли вовчу кістку, на якій 30 тисяч років тому, якийсь древній мисливець завдав п'ятдесят п'ять зарубок. Видно, що, роблячи ці зарубки, він рахував на пальцях. Візерунок на кістки складався з одинадцяти груп, по п'ять зарубок у кожній. При цьому перші п'ять груп він відокремив від інших довгою рисою. Також у Сибіру та в інших місцях були знайдені, зроблені в ту ж далеку епоху кам'яні знаряддя та прикраси, на яких теж були рисочки та крапки, згруповані по 3, по 5 або по 7. Кельти – древній народ, який жив у Європі 2500 років тому тому, що є предками французів та англійців, вважали двадцятками (дві руки та дві ноги давали двадцять пальців). Сліди цього збереглися у французькій мові, де слово "вісімдесят" звучить як "чотири рази двадцять". Двадцятками вважали й інші народи – предки датчан та голландців, осетин та грузин. 2




Чітні та непарні числа. Непарне число ціле число, яке не ділиться без залишку на 2: …, 2, 4, 6, 8, … Піфагор визначаючи число як енергію і вважав, що через науку про числа розкривається таємниця Всесвіту, бо число містить у собі таємницю речей. парні числа Піфагор вважав жіночими, а непарні – чоловічими: 2+3=5 5- це символ сім'ї, шлюбу. Чітні та непарні числа = жіночі та чоловічі числа. 4


Прості та складові. Просте число - це натуральне число, що має рівно два різні натуральні дільники: одиницю і само себе. Послідовність простих чисел починається так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … Складові числа- це числа мають 3 і більше дільників. Вивченням властивостей простих чисел займається теорія чисел. Таким чином, всі натуральні числа більше одиниці розбиваються на прості та складові. 5


Досконалі та недосконалі числа. Досконалі числа, цілі позитивні числа, рівні сумі всіх своїх правильних (тобто менших від цього числа) дільників. Наприклад, числа 6 = та 28 = є досконалими. Досі (1976) невідомо жодного непарного Рад. ч. і питання існування їх залишається відкритим. Дослідження про Рад. ч. були розпочаті піфагорійцями, які приписували особливий містичний зміст числам та їх поєднанням. Недосконалими Піфагор називав числа, сума правильних дільників, яких менша за нього самого. 6




Магічні числа. Секрети чисел залучають людей, змушують вникати, розбиратися, порівнювати свої висновки із реальним співвідношенням справ. До цифр у стародавньому світі ставилися дуже трепетно. Люди, які їх пізнали, вважалися великими, їх прирівнювали до божеств. Найпростіший приклад – відсутність у багатьох країнах літаків з бортовим номером 13, поверхів і номерів у готелях з номером «13». 8
Магічний ряд 2 – число рівноваги та контрасту, і підтримують стійкість, що змішують позитивні та негативні якості. 6 – Символ надійності. Це ідеальне число, яке ділиться як на парне(2), так і на непарне(3), таким чином, об'єднуючи елементи кожного. 8 – Число матеріального успіху. Воно означає надійність, доведену до досконалості, оскільки є подвійним квадратом. Розділене навпіл, воно має рівні частини (4 та 4). Якщо його ще розділити, то частини теж будуть рівними (2, 2, 2, 2), показуючи чотириразову рівновагу. 9 - Число загального успіху, найбільше з усіх цифр. Як триразове числу 3, дев'ятка перетворює нестійкість на прагнення. 10





Поняття дійсного числа: дійсне число- (Речове число), всяке неотрицательное чи негативне число чи нуль. За допомогою дійсних чисел виражають виміри кожної фізичної величини.

Речове, або дійсне числовиникло з необхідності вимірів геометричної та фізичної величин світу. Крім того, для проведення операцій вилучення кореня, обчислення логарифму, розв'язання рівнянь алгебри тощо.

Натуральні числа утворилися з розвитком рахунку, а раціональні з потребою керувати частинами цілого, то речові числа (дійсні) використовуються для вимірювання безперервних величин. Т.ч., розширення запасу чисел, що розглядаються, призвело до безлічі речових чисел, які крім раціональних чисел складається з інших елементів, званих ірраціональні числа.

Безліч дійсних чисел(позначається R) - це безліч раціональних та ірраціональних чисел зібрані разом.

Справжні числа ділять нараціональніі ірраціональні.

Безліч дійсних чисел позначають і часто називають речовоїабо числовий прямий. Речові числа складаються з найпростіших об'єктів: цілихі раціональних чисел.

Число, яке можна записати як відношення, деm- ціле число, а n- натуральне число, єраціональним числом.

Будь-яке раціональне число легко уявити як кінцевий дріб або нескінченний періодичний десятковий дріб.

приклад,

Нескінченний десятковий дріб, це десятковий дріб, у якого після коми є нескінченна кількість цифр.

Числа, які не можна уявити у вигляді , ірраціональними числами.

Приклад:

Будь-яке ірраціональне число легко уявити як нескінченну неперіодичну десяткову дріб.

приклад,

Раціональні та ірраціональні числа створюють безліч дійсних чисел.Всім дійсним числам відповідає одна точка координатної прямої, яка називається числова пряма.

Для числових множин використовуються позначення:

  • N- безліч натуральних чисел;
  • Z- безліч цілих чисел;
  • Q- безліч раціональних чисел;
  • R- безліч дійсних чисел.

Теорія нескінченних десяткових дробів.

Речовина визначається як нескінченний десятковий дріб, тобто:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

де ± є один із символів + або −, знак числа,

a 0 - ціле позитивне число,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… — послідовність десяткових знаків, тобто. елементів числової множини {0,1,…9}.

Нескінченний десятковий дріб можна пояснити як число, яке на числовому прямому знаходиться між раціональними точками типу:

±a 0 ,a 1 a 2 …a nі ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n)для всіх n=0,1,2,…

Порівняння дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів відбувається порозрядно. Наприклад, припустимо дані 2 позитивні числа:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β = + b 0, b 1 b 2 … b n …

Якщо a 0 0,то α<β ; якщо a 0 >b 0то α>β . Коли a 0 = b 0переходимо до порівняння наступного розряду. І т.д. Коли α≠β , значить після кінцевої кількості кроків зустрінеться перший розряд n, такий що a n ≠b n. Якщо a n n, то α<β ; якщо a n >b nто α>β .

Але при цьому треба звернути увагу на те, що число a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n .Тому якщо запис одного з порівнюваних чисел, починаючи з деякого розряду, це періодичний десятковий дріб, у якого в періоді стоїть 9, то його потрібно замінити на еквівалентний запис, з нулем у періоді.

Арифметичні операції з нескінченними десятковими дробами це безперервне продовження відповідних операцій із раціональними числами. Наприкладсумою речових чисел α і β є дійсне число α+β , яке задовольняє такі умови:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a′′)∧ (b′⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a'+b'⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Аналогічно визначає операція множення нескінченних десяткових дробів.