Медіаною називається відрізок, проведений з вершини трикутника на середину протилежної сторони, тобто ділить її точкою перетину навпіл. Крапка, в якій медіана перетинає протилежну вершині, з якої вона виходить, бік, називається основою. Через одну точку, яку називають точкою перетину, проходить кожна медіана трикутника. Формула довжини її може виражатися кількома способами.

Формули для вираження довжини медіани

  • Найчастіше в задачах геометрії учням доводиться мати справу з таким відрізком, як медіана трикутника. Формула її довжини виражається через сторони:

де a, b та c - сторони. Причому є стороною, на яку медіана опускається. Таким чином виглядає найпростіша формула. Медіани трикутника іноді потрібно проводити для допоміжних розрахунків. Є й інші формули.

  • Якщо при розрахунку відомі дві сторони трикутника і певний кут α, що знаходиться між ними, довжина медіани трикутника, опущеної до третьої сторони, буде виражатися так.

Основні властивості

  • Усі медіани мають одну загальну точку перетину O і нею ж діляться щодо два до одного, якщо вести відлік від вершини. Така точка називається центру тяжкості трикутника.
  • Медіана поділяє трикутник на два інших площі яких рівні. Такі трикутники називаються рівновеликими.
  • Якщо провести всі медіани, то трикутник буде поділено на 6 рівновеликих фігур, які також будуть трикутниками.
  • Якщо в трикутнику всі три сторони рівні, то в ньому кожна з медіан буде також висотою і бісектрисою, тобто перпендикулярна тій стороні, до якої вона проведена, і поділяє кут, з якого вона виходить.
  • У рівнобедреному трикутнику медіана, опущена з вершини, що знаходиться навпроти сторони, що не дорівнює жодній іншій, буде також висотою та бісектрисою. Медіани, опущені інших вершин, рівні. Це також є необхідною та достатньою умовою рівнобедреності.
  • Якщо трикутник є основою правильної піраміди, то висота, опущена на цю основу, проектується в точку перетину всіх медіан.

  • У прямокутному трикутнику медіана, проведена до найбільшої сторони, дорівнює половині її довжини.
  • Нехай O – точка перетину медіан трикутника. Формула, наведена нижче, буде вірною для будь-якої точки M.

  • Ще однією властивістю має медіана трикутника. Формула квадрата її довжини через квадрати сторін представлена ​​нижче.

Властивості сторін, до яких проведено медіану

  • Якщо з'єднати будь-які дві точки перетину медіан зі сторонами, на які вони опущені, то отриманий відрізок буде середньою лінією трикутника і складатиме одну другу від сторони трикутника, з якої вона не має спільних точок.
  • Основи висот і медіан у трикутнику, а також середини відрізків, що з'єднують вершини трикутника з точкою перетину висот, лежать на одному колі.

На закінчення логічно сказати, що одним із найважливіших відрізків є саме медіана трикутника. Формула її може використовуватися при знаходженні довжин інших сторін.

При вивченні будь-якої теми шкільного курсу можна відібрати певний мінімум завдань, опанувавши методами вирішення яких, учні будуть в змозі вирішити будь-яке завдання на рівні програмних вимог з теми, що вивчається. Пропоную розглянути завдання, які дозволять побачити взаємозв'язки окремих тем шкільного курсу математики. Тому складена система завдань є ефективним засобом повторення, узагальнення та систематизації навчального матеріалу під час підготовки учнів до іспиту.

Для складання іспиту не зайвими будуть додаткові відомості про деякі елементи трикутника. Розглянемо властивості медіани трикутника та завдання, при вирішенні яких цими властивостями можна скористатися. У запропонованих завданнях реалізується принцип рівневої диференціації. Усі завдання умовно поділені на рівні (рівень вказаний у дужках після кожного завдання).

Згадаймо деякі властивості медіани трикутника

Властивість 1. Доведіть, що медіана трикутника ABC, проведена з вершини Aменше півсуми сторін ABі AC.

Доведення

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Властивість 2. Медіана розтинає трикутник на два рівновеликі.

Доведення

Проведемо з вершини B трикутника ABC медіану BD та висоту BE..gif" alt="Площадь" width="82" height="46">!}

Оскільки відрізок BD є медіаною, то

що й потрібно було довести.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Медіана" align="left" width="196" height="75 src=">!} Властивість 4. Медіани трикутника ділять трикутник на 6 рівновеликих трикутників.

Доведення

Доведемо, що площа кожного із шести трикутників, на які медіани розбивають трикутник ABC, дорівнює площі трикутника ABC. Для цього розглянемо, наприклад, трикутник AOF та опустимо з вершини A перпендикуляр AK на пряму BF .

В силу властивості 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Медіана" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Властивість 6. Медіана у прямокутному трикутнику, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Доведення

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Медіана" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Наслідки:1. Центр описаного біля прямокутного трикутника кола лежить на середині гіпотенузи.

2. Якщо в трикутнику довжина медіани дорівнює половині довжини сторони, до якої вона проведена, цей трикутник – прямокутний.

ЗАВДАННЯ

При вирішенні кожної наступної задачі використовуються доведені властивості.

№1 Теми: Подвоєння медіани. Складність: 2+

Ознаки та властивості паралелограма Класи: 8,9

Умова

На продовженні медіани AMтрикутника ABCза крапку Mвідкладений відрізок MD, рівний AM. Доведіть, що чотирикутник ABDC- Паралелограм.

Рішення

Скористаємося однією з ознак паралелограма. Діагоналі чотирикутника ABDCперетинаються у точці Mі діляться нею навпіл, тому чотирикутник ABDC- Паралелограм.

Щоб на сторони трикутника знайти медіану, не обов'язково запам'ятовувати додаткову формулу. Достатньо знати алгоритм розв'язання.

Спочатку розглянемо завдання у загальному вигляді.

Дано трикутник зі сторонами a, b, c. Знайти довжину медіани, проведеної до сторони b.

AB = a, AC = b, BC = c.

На промені BF відкладемо відрізок FD, FD = BF.

З'єднаємо точку D з точками A та C.

Чотирьохкутник ABCD - паралелограм (за ознакою), так як у нього діагоналі в точці перетину діляться навпіл.

Властивість діагоналей паралелограма: сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Звідси: AC²+BD²=2(AB²+BC²), отже, b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². За побудовою, BF - половина BD, отже,

Це формула знаходження медіани трикутника з його боків. Зазвичай її записують так:

Переходимо до розгляду конкретного завдання.

Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайти медіану трикутника, проведену до його середньої сторони.

Застосовуючи аналогічні міркування, отримуємо:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Властивості

  • Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка називається центроїдом, і діляться цією точкою на дві частини щодо 2:1, рахуючи від вершини.
  • Трикутник ділиться трьома медіанами на шість рівновеликих трикутників.
  • Більшій стороні трикутника відповідає менша медіана.
  • З векторів, що утворюють медіани, можна скласти трикутник.
  • При афінних перетвореннях медіана перетворюється на медіану.
  • Медіана трикутника ділить його на дві рівновеликі частини.

Формули

  • Формула медіани через сторони (виводиться через теорему Стюарта або добудовою до паралелограма та використанням рівності у паралелограмі суми квадратів сторін та суми квадратів діагоналей):
де m c - медіана до сторони c; a, b, c - сторони трикутника, тому сума квадратів медіан довільного трикутника завжди в 4/3 рази менша від суми квадратів його сторін.
  • Формула сторони через медіани:
, де медіани до відповідних сторін трикутника - сторони трикутника.

Якщо дві медіани перпендикулярні, то сума квадратів сторін, на які вони опущені, у 5 разів більша за квадрат третьої сторони.

Мнемонічне правило

Медіана-мавпа,
у якої пильне око,
стрибне точно в середину
сторони проти вершини,
де зараз.

Примітки

Див. також

Посилання


Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Медіана трикутника" в інших словниках:

    Медіана: Медіана трикутника в планіметрії, відрізок, що з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони в статистиці медіаною, називається значення сукупності, що ділить ранжований ряд даних навпіл Медіана (статистика).

    Медіана: Медіана трикутника в планіметрії, відрізок, що з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони Медіана (статистика) квантиль 0.5 Медіана (траса) середня лінія траси, проведена між правим та лівим …

    Трикутник та його медіани. Медіана трикутника ― відрізок усередині трикутника, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони, а також пряма, що містить цей відрізок. Зміст 1 Властивості 2 Формули … Вікіпедія

    Лінія, що з'єднує вершину трикутника із серединою його основи. Повний словник іншомовних слів, що увійшли у вжиток у російській мові. Попов М., 1907. Медіана (лат. Mediana середня) 1) геол. відрізок, що з'єднує вершину трикутника з ... Словник іноземних слів російської мови

    Медіана (від латинського mediana середня) у геометрії, відрізок, що з'єднує одну з вершин трикутника із серединою протилежної сторони. Три М. трикутника перетинаються в одній точці, яку іноді називають центром тяжіння трикутника, так … Велика Радянська Енциклопедія

    Трикутника пряма (або її відрізок усередині трикутника), що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Три М. трикутника перетинаються в одній точці, яка називається центром тяжкості трикутника, центроїдом, або ... ... Математична енциклопедія

    - (Від лат. Mediana середня) відрізок, що з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони … Великий Енциклопедичний словник

    МЕДІАНА, медіани, жін. (Лат. Mediana, букв. Середня). 1. Пряма лінія, проведена від вершини трикутника до середини протилежної сторони (мат.). 2. У статистиці для багатьох даних величина, що має тим властивістю, що число даних, … Тлумачний словник Ушакова

    МЕДІАНА, ы, жен. В математиці: відрізок прямої лінії, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

    МЕДІАНА (від лат. mediana середня), відрізок, що з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони. Енциклопедичний словник

Медіана трикутника- це відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони цього трикутника.

Властивості медіан трикутника

1. Медіана розбиває трикутник на два трикутники однакової площі.

2. Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром тяжкості трикутника (центроїд).

3. Весь трикутник поділяється своїми медіанами на шість рівновеликих трикутників.

Довжина медіани проведеної до сторони: (док-во добудовою до паралелограма та використанням рівності в паралелограмі подвоєної суми квадратів сторін та суми квадратів діагоналей )

Т1.Три медіани трикутника перетинаються в одній точці М, яка ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершин трикутника. Дано: ∆ ABC,СС 1 , АА 1 , ВВ 1 - медіани
∆ABC. Довести: і

Д-во: Нехай М - точка перетину медіан СС 1 АА 1 трикутника ABC. Зазначимо A 2 - середину відрізка AM і 2 - середину відрізка СМ. Тоді A 2 C 2 – середня лінія трикутника АМС.Значить, А 2 З 2|| АС

та A 2 C 2 = 0,5*АС. З 1 А 1 - Середня лінія трикутника ABC. Значить, А 1 З 1 || АС та А 1 З 1 = 0,5 * АС.

Чотирьохкутник А 2 З 1 А 1 З 2- паралелограм, тому що його протилежні сторони А 1 З 1 і А 2 З 2рівні та паралельні. Отже, А 2 М =МА 1 і З 2 М =МС 1 . Це означає, що точки А 2і Mділять медіану АА 2на три рівні частини, тобто AM = 2МА 2 . Аналогічно СМ = 2MC 1 . Отже, точка М перетину двох медіан АА 2і CC 2трикутника ABC ділить кожну їх щодо 2:1, рахуючи від вершин трикутника. Цілком аналогічно доводиться, що точка перетину медіан АА 1 і BB 1 ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершин трикутника.

На медіані АА 1 такою точкою є точка М, отже, точка Мі є точка перетину медіан АА 1 і BB 1.

Таким чином, n

T2.Доведіть, що відрізки, які з'єднують центроїд із вершинами трикутника, ділять його на три рівновеликі частини. Дано: ∆ABC , - Його медіани.

Довести: S AMB =S BMC =S AMC.Доведення. В,у них спільна. т.к. рівні їх підстави та висота, проведена з вершини М,у них спільна. Тоді

Аналогічно доводиться, що S AMB = S AMC.Таким чином, S AMB = S AMC = S CMB.n

Бісектриса трикутника. Теореми пов'язані з бісектрисами трикутника. Формули для знаходження бісектрис

Бісектриса кута- промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на два рівні кути.

Бісектриса кута є геометричним місцем точок всередині кута, рівновіддалених від сторін кута.

Властивості

1. Теорема про бісектрису: Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону щодо, рівному відношенню двох прилеглих сторін

2. Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці - інцентрі - центрі вписаного в цей трикутник кола.

3. Якщо трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник - рівнобедрений (теорема Штейнера - Лемуса).

Обчислення довжини бісектриси

l c - довжина бісектриси, проведеної до сторони c,

a,b,c - сторони трикутника проти вершин A,B,C відповідно,

p - напівпериметр трикутника,

a l ,b l - довжини відрізків, на які бісектриса l c ділить сторону c,

α,β,γ - внутрішні кути трикутника при вершинах A,B,C відповідно,

h c – висота трикутника, опущена на бік c.


Метод площ.

Характеристика методу.З назви випливає, що головним об'єктом цього методу є площа. Для ряду фігур, наприклад для трикутника, площа досить просто виражається через різноманітні комбінації елементів фігури (трикутника). Тому дуже ефективним виявляється прийом, коли порівнюються різні вирази для площі цієї фігури. У цьому випадку виникає рівняння, що містить відомі та шукані елементи фігури, дозволяючи яке ми визначаємо невідоме. Тут і проявляється основна особливість методу площ – з геометричного завдання він «робить» алгебраїчну, зводячи все до розв'язання рівняння (іноді системи рівнянь).

1) Метод порівняння: пов'язаний з великою кількістю формул S одних і тих же фігур

2) Метод відношення S: заснований на слід опорних задач:



Теорема Чеви

Нехай точки A",B",C" лежать на прямих BC,CA,AB трикутника. Прямі AA",BB",CC" перетинаються в одній точці тоді і тільки тоді, коли

Доведення.

Позначимо через точку перетину відрізків та . Опустимо з точок С та А перпендикуляри на пряму ВР 1 до перетину з нею в точках Kі L відповідно (див. рисунок).

Оскільки трикутники і мають спільну сторону , їх площі ставляться як висоти, проведені цей бік, тобто. AL і CK:

Остання рівність справедлива, тому що прямокутні трикутники і подібні до гострого кута.

Аналогічно отримуємо і

Перемножимо ці три рівності:

що й потрібно було довести.

Зауваження. Відрізок (або продовження відрізка), що з'єднує вершину трикутника з точкою, що лежить на протилежному боці або її продовженні, називається чевіаною.

Теорема (зворотна теорема Чеви). Нехай точки A",B",C" лежать на сторонах BC,CA та AB трикутника ABC відповідно. Нехай виконується співвідношення

Тоді відрізки AA", BB", CC" і перетинаються в одній точці.

Теорема Менела

Теорема Менела. Нехай пряма перетинає трикутник ABC, причому C 1 - точка її перетину зі стороною AB, A 1 - точка її перетину зі стороною BC і B 1 - точка її перетину з продовженням сторони AC. Тоді

Доведення . Проведемо через точку C пряму, паралельну AB. Позначимо через K її точку перетину з прямою B 1 C 1 .

Трикутники AC 1 B 1 і CKB 1 подібні (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Отже,

Трикутники BC 1 A 1 і CKA 1 також подібні (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Значить,

З кожної рівності висловимо CK:

Звідки що й потрібно було довести.

Теорема (зворотна теорема Менела).Нехай дано трикутник ABC. Нехай точка C 1 лежить на боці AB, точка A 1 – на боці BC, а точка B 1 – на продовженні сторони AC, причому виконується співвідношення

Тоді точки A 1 B 1 і C 1 лежать на одній прямій.