Завдання.

У правильній чотирикутної призми ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 сторони основи дорівнюють 3, а бічні ребра дорівнюють 4. На ребрі AA 1 відзначено точку E так, що AE: EA 1 = 1: 3.

а) Побудуйте пряму перетин площин ABC і BED 1 .

б) Знайдіть кут між площинами ABC та BED 1 .

Рішення:

а) Побудуйте пряму перетин площинABC таBED 1.

Побудуємо площину BED 1 . Точки E та D 1 лежать в одній площині, тому проведемо пряму ED 1 .

Крапки Е та В лежать в одній площині, тому проведемо пряму ЕВ. Так грані правильної чотирикутної призми паралельні, проведемо в грані ВР 1 З 1 З пряму BF паралельно до прямої ED 1 . Точки F та D 1 лежать в одній площині, тому проведемо пряму FD 1 . Отримали потрібну площину BED 1 .

Так як пряма ED 1 і пряма AD лежать в одній площині ADD 1 вони всі перетинаються в точці К, що лежить в площині АВС. Точки До і У лежать у площинах АВС і BED 1 , отже, площини ABC і BED 1 перетинаються прямою КВ. Шукана пряма перетину площин ABC і BED 1 побудована.

б) Знайдіть кут між площинамиABC таBED 1

Відрізок АE перпендикулярний до площини АВС, з точки Е опустимо перпендикуляр EH на пряму КВ. Точка H лежить у площині АВС, тоді AH – проекція EH на площину АВС. Через точку H проходить пряма, перпендикулярна похилій EH, тоді за теоремою про три перпендикуляри відрізок AH перпендикулярний прямий КВ.

Кут ∠EHA є лінійним кутом двогранного кута, утвореного площинами ABC та BED 1 . Кут ∠EHA – шуканий кут між площинами ABC та BED 1 . Знайдемо величину цього кута.

Розглянемо прямокутний трикутник EHA (∠А = 90˚):

За умовою AE: EA1 = 1:3, тоді AE: AA1 = 1:4.

Трикутники AKE та A 1 D 1 E подібні, тоді

A 1 D 1 = 3, AE = 1, A 1 E = AA 1 – AE = 3

Розглянемо прямокутний трикутник AKB (∠А = 90˚).


У правильній чотирикутній призмі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 сторони основи дорівнюють 2, а бічні ребра дорівнюють 5. На ребрі AA 1 позначено точку E так, що AE: EA 1 = 3: 2. Знайти кут між площинами АBC та BED 1 .

Рішення. Нехай пряма D 1 E перетинає пряму AD у точці K. Тоді площини ABC і BED 1 будуть перетинатися прямою KB.

З точки E опустимо перпендикуляр EH на пряму KB, тоді відрізок AH (проекція EH) буде перпендикулярна до прямої KB (теорема про три перпендикуляри).

Кут AHE є лінійним кутом двогранного кута, утвореного площинами ABC та BED 1 .

Оскільки AE: EA 1 = 3: 2 отримуємо: .

З подоби трикутників А 1 D 1 E та AKE отримуємо: .

У прямокутному трикутнику AKB із прямим кутом A: АВ = 2, АК = 3, ; звідки висота
.

З прямокутного трикутника AHE з прямим кутом A отримуємо: та ∠ AHE = arctg(√13/2).

Відповідь: arctg(√13/2).

Завдання для самостійного рішення

1. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB 1 = 2, AD = AA 1 = 1. Знайдіть кут між прямою АВ та площиною АВС 1 .

2. У прямій шестикутній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 усі кути дорівнюють 1. Знайдіть відстань від точки В до площини DEA 1 .

3. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = 1, AA 1 = 2. Знайдіть кут між прямою АВ 1 та площиною АВС 1 .

Розглянемо чергове двобальне стереометричне завдання з тренувальних КІМів.

Завдання.У правильній чотирикутній призмі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 сторона АВ основи дорівнює 5, а бічне ребро АА 1 дорівнює кореню квадратному з п'яти. На ребрах ВС та C 1 D 1 відзначені точки K та L відповідно, причому СК=2, а C 1 L =1. Площина gпаралельна прямий В D і містить точки К і L.

а) Доведіть, що пряма А 1 С перпендикулярна до площиниg.

б) Знайдіть об'єм піраміди, вершина якої – точка А 1 , а основа – переріз цієї призми площиноюg.

Рішення.а) Уважно виконаємо креслення та проаналізуємо дані. Так як ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правильна чотирикутна призма, означає основу ABCD - Квадрат зі стороною 5. Бічні ребраперпендикулярні до основ. Оскільки площинаgпроходить через точку К і паралельна прямий В D , то лінія перетину площиниgі площині АВС паралельна до прямої D (Якщо через пряму, паралельну даній площині провести іншу площину, то лінія перетину цих площин буде паралельна даній прямій).


Через точку До проводимо пряму паралельну D до перетину з CD у точці М. Значить КМ перпендикулярна АС ( так як діагоналі квадрата BD та АС перпендикулярні ).


Трикутники BCD і СКМ подібні (обидва прямокутні та рівнобедрені), значить СМ=КС=2. По теоремі Піфагора із трикутника СКМ знаходимо, що КМ=2√2, а з трикутника BCD BD =5 √2 . Діагоналі квадрата рівні, отже, і АС= BD =5 √2.

Тепер, через точку L проводимо пряму паралельну В D до перетину з B 1 C 1 у точці Т. По відрізку Т L площина КМ L перетне верхню основу ( Якщо дві паралельні площини перетнути третьою площиною, то лінії перетину будуть паралельні). Значить Т C 1 = C 1 L =1. З трикутника Т LC 1 за теоремою Піфагора Т L = √2.

У рівнобедреній трапеції КТ L М точка Н – середина верхньої основи, точка N - середина нижньої основи, значить Н N - Висота трапеції, Н N перпендикулярна до КМ. Значить КМ перпендикулярна до площини АА 1 С, у тому числі і прямої А 1 С.

Розглянемо діагональний переріз призми прямокутник AA 1 C 1 З. З точки Н опустимо перпендикуляр на АС. Тоді N Е=ЕС= Н C 1 =0,5 √2. НЕ = З C 1 = √5.


У трикутниках АА1С і N РС кут РСА - загальний. Тангенс кута АА 1 З дорівнює 5√2 : √5 = √10 Тангенс кута Н N Е із трикутника Н N Е дорівнює √5 : 0,5 √2 = √10 . Значить кути АА 1 З і Н N Є рівні. Але тоді і кути, що залишилися, А 1 АС= N РС=90 ⁰ . Маємо А 1 С перпендикулярна до прямого Н N та КМ, значить А 1 С перпендикулярна площині трапеції КТ L М. Що й потрібно було довести.

Для того щоб знайти об'єм піраміди А 1 КТ L М, треба знайти площу трапеції КТ L М та висоту А 1 Р. З трикутника Н N Е за теоремою Піфагора Н N 2 =5,5. Площа трапеції КТ L М дорівнює Н N * (Т L + КМ) / 2 = √5,5 * (√2 + 2 √2) / 2 = 1,5 √11.