1 роду.

1.1.1. Визначення криволінійного інтегралу 1 роду

Нехай на площині Оxyзадана крива (L).Нехай для будь-якої точки кривої (L)визначено безперервну функцію f(x; y).Розіб'ємо дугу АВлінії (L)точками А = P 0, P 1, P n = Вна nдовільних дуг P i -1 P iз довжинами ( i = 1, 2, n) (рис.27)

Виберемо на кожній дузі P i -1 P iдовільну точку M i (x i ; y i) ,обчислимо значення функції f(x;y)у точці M i. Складемо інтегральну суму

Нехай де.

λ→0 (n→∞), не залежить ні від способу розбиття кривої ( L)на елементарні частини, ні від вибору точок M i криволінійним інтегралом 1 родувід функції f(x;y)(криволінійним інтегралом по довжині дуги) і позначають:

Зауваження. Аналогічно вводити визначення криволінійного інтеграла від функції f(x; y; z)за просторовою кривою (L).

Фізичний зміст криволінійного інтеграла 1 роду:

Якщо (L) -плоска крива з лінійною площиною , то масу кривої знаходять за такою формулою:

1.1.2. Основні властивості криволінійного інтеграла 1 роду:

3. Якщо шлях інтегруваннярозбитий на такі частини що , і мають єдину загальну точку, то .

4. Криволінійний інтеграл 1 роду не залежить від напряму інтегрування:

5. , де - Довжина кривої.

1.1.3. Обчислення криволінійного інтеграла 1 роду.

Обчислення криволінійного інтеграла зводять до обчислення певного інтегралу.

1. Нехай крива (L)задана рівнянням. Тоді

Тобто диференціал дуги обчислюють за такою формулою.

приклад

Обчислити масу відрізка прямої від точки А(1;1)до точки В(2;4),якщо.

Рішення

Рівняння прямої через дві точки: .

Тоді рівняння прямої ( АВ): , .

Знайдемо похідну.

Тоді. =.

2. Нехай крива (L)задана параметрично: .

Тоді, тобто диференціал дуги обчислюють за такою формулою.

Для просторового випадку завдання кривої: .

Тобто диференціал дуги обчислюють за такою формулою.

приклад

Знайти довжину дуги кривої,.

Рішення

Довжину дуги знайдемо за формулою: .

Для цього знайдемо диференціал дуги.

Знайдемо похідні , , .Тоді довжина дуги: .

3. Нехай крива (L)задана у полярній системі координат: . Тоді

Тобто диференціал дуги обчислюють за такою формулою.

приклад

Обчислити масу дуги лінії, 0≤ ≤, якщо.

Рішення

Масу дуги знайдемо за формулою:

Для цього знайдемо диференціал дуги.

Знайдемо похідну.

1.2. Криволінійний інтеграл 2 роди

1.2.1. Визначення криволінійного інтеграла 2 роду


Нехай на площині Оxyзадана крива (L). Нехай на (L)задана безперервна функція f(x; y).Розіб'ємо дугу АВлінії (L)точками А = P 0, P 1, P n = Ву напрямку від точки Адо точки Уна nдовільних дуг P i -1 P iз довжинами ( i = 1, 2, n) (рис.28).

Виберемо на кожній дузі P i -1 P iдовільну точку M i (x i ; y i), обчислимо значення функції f(x;y)у точці M i. Складемо інтегральну суму , де - довжина проекції дуги P i -1 P iна вісь Оx. Якщо напрямок руху вздовж проекції збігається з позитивним напрямком осі Оx, то проекцію дуг вважають позитивною, інакше - негативною.

Нехай де.

Якщо існує межа інтегральної суми при λ→0 (n→∞), що не залежить ні від способу розбиття кривої (L)на елементарні частини, ні від вибору точок M iу кожній елементарній частині, то цю межу називають криволінійним інтегралом 2 родивід функції f(x;y)(криволінійним інтегралом за координатою х) і позначають:

Зауваження.Аналогічно вводиться криволінійний інтеграл за координатою у:

Зауваження.Якщо (L)- замкнута крива, то інтеграл по ній позначають

Зауваження.Якщо на ( L) задано відразу три функції і від цих функцій існують інтеграли , , ,

той вираз: + + називають загальним криволінійним інтегралом 2 родита записують:

1.2.2. Основні властивості криволінійного інтеграла 2 роду:

3. При зміні напряму інтегрування криволінійний інтеграл 2 роду змінює свій знак.

4. Якщо шлях інтегрування розбитий на такі частини , і мають єдину загальну точку, то

5. Якщо крива ( L) лежить у площині:

Перпендикулярної осі Ох, то = 0;

Перпендикулярної осі Ой, то;

Перпендикулярної осі Ozто =0.

6. Криволінійний інтеграл 2 роду по замкнутій кривій залежить від вибору початкової точки (залежить тільки напряму обходу кривої).

1.2.3. Фізичний зміст криволінійного інтеграла 2 роду.

Робота Асили при переміщенні матеріальної точки одиничної маси з точки Мв точку Nвздовж ( MN) дорівнює:

1.2.4. Обчислення криволінійного інтеграла 2 роду.

Обчислення криволінійного інтеграла 2 роду зводять до обчислення певного інтегралу.

1. Нехай крива ( L) задана рівнянням.

приклад

Обчислити, де ( L) - ламана OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Рішення

Так як (рис.29), то

1)Рівняння (OA): , ,

2) Рівняння прямої (AB): .

2. Нехай крива (L)задана параметрично: .

Зауваження.У просторовому випадку:

приклад

Обчислити

Де ( АВ)-відрізок від А(0;0;1)до B(2;-2;3).

Рішення

Знайдемо рівняння прямої ( АВ):

Перейдемо до параметричного запису рівняння прямого (АВ). Тоді.

Точці A(0;0;1)відповідає параметр tрівний: отже, t=0.

Точці B(2;-2;3)відповідає параметр t, рівний: отже, t=1.

При переміщенні від Адо У,параметр tзмінюється від 0 до 1 .

1.3. Формула Гріна. L) у т.ч. М(х; у; z)з осями Оx, Оy, Oz

Обчислення криволінійного інтеграла за координатами.

Обчислення криволінійного інтеграла за координатами зводиться до обчислення звичайного певного інтеграла.

Розглянемо криволінійний інтеграл 2-го роду під дузі:

(1)

Нехай рівняння кривої інтегрування встановлено в параметричному вигляді:

де t- Параметр.

Тоді з рівнянь (2) маємо:

З цих же рівнянь, записаних для точок Аі У,

знайдемо значення t Aі t Bпараметра, що відповідають початку та кінцю кривої інтегрування .

Підставивши вирази (2) і (3) в інтеграл (1), отримаємо формулу для обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду:

Якщо крива інтегрування задана у явному вигляді щодо змінної y, тобто. у вигляді

y=f(x), (6)

то приймемо змінну xза параметр (t=x)та отримаємо наступний запис рівняння (6) у параметричному вигляді:

Звідси маємо: , t A =x A , t B =x B, і криволінійний інтеграл 2-го наводиться до певного інтегралу змінної x:

де y(x)- Рівняння лінії по якій проводиться інтегрування.

Якщо рівняння кривої інтегрування АВпоставлено у явному вигляді щодо змінної x, тобто. у вигляді

x=φ(y) (8)

то приймемо за параметр змінну y, запишемо рівняння (8) у параметричному вигляді:

Отримаємо: , t A =y A , t B =y B, і формула для обчислення інтеграла 2-го роду набуде вигляду:

де x(y)- Рівняння лінії АВ.

Зауваження.

1). Криволінійний інтеграл за координатами існує, тобто. існує кінцева межа інтегральної суми при n→∞ , якщо на кривій інтеграції функції P(x, y)і Q(x, y)безперервні, а функції x(t)і y(t)безперервні разом зі своїми першими похідними та .

2). Якщо крива інтегрування замкнута, потрібно стежити напрямок інтегрування, оскільки

Обчислити інтеграл , якщо АВзадана рівняннями:

а). (x-1) 2 +y 2 =1.

б). y=x

в). y=x 2

Випадок А. Лінія інтегрування є коло радіусу R=1з центром у точці C(1;0). Її параметричне рівняння:

Знаходимо

Визначимо значення параметра tу точках Аі У.

Крапка А. t A =π .

Випадок Б. Лінія інтегрування параболу. Приймаємо xза параметр. Тоді , , .

Отримаємо:

Формула Гріна.

Формула Гріна встановлює зв'язок між криволінійним інтегралом 2-го роду по замкнутому контуру та подвійним інтегралом по області Добмеженою цим контуром.

Якщо функція P(x, y)і Q(x, y)та їх приватні похідні та безперервні в області Д, обмеженою контуром L, то має місце формула:

(1)

    - Формула Гріна.

Доведення.

Розглянемо у площині xOyобласть Дправильну у напрямку координатних осей Oxі Ой.

До онтур Lпрямими x=aі x=bподіляється на дві частини, на кожній з яких yє однозначною функцією від x. Нехай верхня ділянка АДВконтур описується рівнянням y=y 2 (x), а нижня ділянка АСВконтуру – рівнянням y=y 1 (x).

Розглянемо подвійний інтеграл

Враховуючи, що внутрішній інтеграл обчислюється за x=constотримаємо:

.

Але перший інтеграл у цій сумі, як випливає з формули (7), є криволінійний інтеграл по лінії ВДА, так як y=y 2 (x)- Рівняння цієї лінії, тобто.

а другий інтеграл є криволінійний інтеграл функції P(x, y)по лінії АСВ, так як y=y 1 (x)- Рівняння цієї лінії:

.

Сума цих інтегралів є криволінійним інтегралом по замкнутому контуру. Lвід функції P(x, y)за координатою x.

У результаті отримаємо:

(2)

Розбивши контур Lпрямими y=cі y=dна ділянки САДі СВД, що описуються відповідно до рівнянь x=x 1 (y)і x=x 2 (y) аналогічно отримаємо:

Склавши праві та ліві частини рівностей (2) та (3), отримаємо формулу Гріна:

.

Слідство.

За допомогою криволінійного інтеграла 2-го роду можна обчислювати площу плоских фігур.

Визначимо, якими для цього мають бути функції P(x, y)і Q(x, y). Запишемо:

або, застосовуючи формулу Гріна,

Отже, повинна виконуватись рівність

що можливо наприклад, при

Звідки отримаємо:

(4)

Обчислити площу, обмежену еліпсом, рівняння якого задано у параметричному вигляді:

Умова незалежності криволінійного інтеграла за координатами від шляху інтегрування.

Ми встановили, що з механічному змісту криволінійний інтеграл 2-го роду представляє роботу змінної сили на криволінійному шляху чи іншими словами, роботу з переміщенню матеріальної точки на полі сил. Але з фізики відомо, що робота в полі сил тяжіння не залежить від форми шляху, а залежить від положення початкової та кінцевої точок шляху. Отже, є випадки, коли і криволінійний інтеграл 2-го роду залежить від шляху інтегрування.

Визначимо умови, у яких криволінійний інтеграл за координатами залежить від шляху інтегрування.

Нехай у деякій області Дфункції P(x, y)і Q(x, y)та приватні похідні

І безперервні. Візьмемо в цій галузі точки Аі Уі з'єднаємо їх довільними лініями АСВі AFB.

Якщо криволінійний інтеграл 2-го роду залежить від шляху інтегрування, то

,

(1)

Але інтеграл (1) є інтеграл по замкнутому контуру ACBFA.

Отже, криволінійний інтеграл 2-го роду в деякій галузі Дне залежить від шляху інтегрування, якщо інтеграл за будь-яким замкнутим контуром у цій галузі дорівнює нулю.

Визначимо, які умови мають задовольняти функції P(x, y)і Q(x, y)для того, щоб виконувалася рівність

, (2)

тобто. для того, щоб криволінійний інтеграл за координатами не залежав від шляху інтегрування.

Нехай в області Дфункції P(x, y)і Q(x, y)та їх приватні похідні першого порядку та безперервні. Тоді для того, щоб криволінійний інтеграл за координатами

не залежав від шляху інтегрування, необхідно і достатньо, щоб у всіх точках області Двиконувалася рівність

Доведення.

Отже, виконується рівність (2), тобто.

, (5)

навіщо необхідне виконання умови (4).

Тоді з рівняння (5) випливає, що виконується рівність (2) і, отже, інтеграл залежить від шляху інтегрування.

Отже, теорема доведена.

Покажемо, що умова

виконується в тому випадку, якщо підінтегральний вираз

є повним диференціалом будь-якої функції U(x, y).

Повний диференціал цієї функції дорівнює

. (7)

Нехай підінтегральний вираз (6) є повним диференціалом функції U(x, y), тобто.

звідки випливає, що

З цих рівностей знайдемо вирази для приватних похідних та :

, .

Але другі змішані приватні похідні залежать від порядку диференціювання, отже , потрібно було довести. криволінійних інтегралів. Слід також... додатки. З теорії криволінійних інтеграліввідомо що криволінійнийінтеграл виду (29 ...

  • Диференціальне обчислення функції однієї змінної

    Математика

    ... (од2) Знаходження площі криволінійногосектора.  = f()   Про  Для знаходження площі криволінійногосектора введемо полярну... градієнта з похідною за напрямом. Кратні інтеграли. Подвійні інтеграли. Умови існування подвійного інтегралу. Властивості...

  • Реалізація математичних моделей, що використовують методи інтегрування в середовищі MATLAB

    Курсова робота >> Інформатика

    ... (I = 1,2, ..., n). Мал. 5 – Формула трапецій Тоді площа криволінійноїтрапеції, обмеженої лініями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значить (слідуючи... чином у символьному вигляді обчислюються будь-які кратні інтеграли. 2. MATLAB – СЕРЕДОВИЩЕ МОДЕЛЮВАННЯ MATLAB (Matrix ...

  • Дії з наближеними величинами

    Математика

    Різних рівнянь і при обчисленні певних інтегралів, та у наближенні функції. Розглянемо різні способи...  x2… xk+m. У рівнянні k парно кратнихі m непарно кратнихкоріння. Воно розкладається на (k+m) рівнянь...

    • Визначення:Нехай у кожній точці гладкою кривою L = ABу площині Oxyзадана безперервна функція двох змінних f(x, y). Довільно розіб'ємо криву Lна nчастин точками A = М 0 , М 1 , М 2 ... М n = B.Потім на кожній з отриманих частин \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) виберемо будь-яку точку \(\bar((M)_(i))\left(\) bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)\)і складемо суму $$(S)_(n)=\sum_(i=1)^(n )f\left(\bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)\Delta (l)_(i)$$ де \(\Delta(l) _(i)=(M)_(i-1)(M)_(i)\) - дуга дуги \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) . Отримана сума називається інтегральною сумою першого роду для функції f(x, y) , Заданою на кривій L.

    Позначимо через dнайбільшу з довжин дуг \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) (таким чином, d = \(max_(i)\Delta(l)_(i)\) )). Якщо при d? 0 існує межа інтегральних сум S n (не залежать від способу розбиття кривої L на частини та вибору точок \(\bar((M)_(i))\)), то ця межа називається криволінійним інтегралом першого порядкувід функції f(x, y)за кривою L і позначається $$\int_(L)f(x,y)dl$$

    Можна довести, що якщо функція f(x, y)безперервна, то криволінійний інтеграл \(\int_(L)f(x,y)dl\) існує.

    Властивості криволінійного інтеграла 1 роду

    Криволінійний інтеграл першого роду має властивості, аналогічні відповідним властивості певного інтегралу:

    • адитивність,
    • лінійність,
    • оцінка модуля,
    • теорема про середнє.

    Проте є відмінність: $$\int_(AB)f(x,y)dl=\int_(BA)f(x,y)dl$$ тобто. криволінійний інтеграл першого роду залежить від напрями інтегрування.

    Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

    Обчислення криволінійного інтеграла першого роду зводиться до обчислення певного інтегралу. А саме:

    1. Якщо крива L задана безперервно диференційованою функцією y=y(x), x \(\in \) , то $$(\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int \limits_a^b (f\left((x,y\left(x \right)) \right)\sqrt (1 + ((\left((y"\left(x \right)) \right))^ 2)) dx) ;)$$ при цьому вираз \(dl=\sqrt((1 + ((\left((y"\left(x \right)) \right))^2))) dx \) називається диференціалом довжини дуги.
    2. Якщо крива L задана параметрично, тобто. у вигляді x=x(t), y=y(t), де x(t), y(t) - безперервно диференційовані функції на деякому відрізку \(\left [ \alpha ,\beta \right ]\), то $$ (\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left ((x\left(t \right),y \left(t \right)) \right)\sqrt (((\left((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left(t) \right)) \right))^2)) dt)) $$ Ця рівність поширюється на випадок просторової кривої L, заданої параметрично: x=x(t), y=y(t), z=z(t), \(t\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\). У цьому випадку, якщо f(x,y,z) - безперервна функція вздовж кривої L, $$ (\int\limits_L (f\left((x,y,z) \right)dl) ) = (\int \limits_\alpha ^\beta (f\left [ (x\left(t \right),y\left(t \right), z\left(t \right)) \right ]\sqrt (((\left ((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left(( z"\left(t \right)) \right))^2)) dt)) $$
    3. Якщо плоска крива L задана полярним рівнянням r=r(\(\varphi \)), \(\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] \), то $$ (\int\limits_L (f\ left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left((r\cos \varphi ,r\sin \varphi ) \right)\sqrt ((r ^2) + (((r)")^2)) d\varphi)) $$

    Криволінійні інтеграли 1 роду - приклади

    Приклад 1

    Обчислити криволінійний інтеграл першого роду

    $$ \int_(L)\frac(x)(y)dl $$ де L дуга параболи y 2 =2x, укладена між точками (2,2) та (8,4).

    Рішення: Знайдемо диференціал дуги dl для кривої (y = sqrt (2x)). Маємо:

    \((y)"=\frac(1)(\sqrt(2x)) \) $$ dl=\sqrt(1+\left ((y)" \right)^(2)) dx= \sqrt( 1+\left (\frac(1)(\sqrt(2x)) \right)^(2)) dx = \sqrt(1+ \frac(1)(2x)) dx $$ Отже цей інтеграл дорівнює: $ $\int_(L)\frac(x)(y)dl=\int_(2)^(8)\frac(x)(\sqrt(2x))\sqrt(1+\frac(1)(2x) )dx= \int_(2)^(8)\frac(x\sqrt(1+2x))(2x)dx= $$ $$ \frac(1)(2)\int_(2)^(8) \sqrt(1+2x)dx = \frac(1)(2).\frac(1)(3)\left (1+2x \right)^(\frac(3)(2))|_(2 )^(8)= \frac(1)(6)(17\sqrt(17)-5\sqrt(5)) $$

    Приклад 2

    Обчислити криволінійний інтеграл першого роду \(\int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl \), де L - коло x 2 +y 2 =ax (a>0).

    Рішення: Введемо полярні координати: \(x = r\cos \varphi \), \(y=r\sin \varphi \). Тоді оскільки x 2 +y 2 =r 2 , рівняння кола має вигляд: \(r^(2)=arcos\varphi \), тобто \(r=acos\varphi \), а диференціал дуги $$ dl = \ sqrt(r^2+(2)"^2)d\varphi = $$ $$ =\sqrt(a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi )d\varphi=ad\varphi $$ .

    При цьому \(\varphi\in \left [- \frac(\pi )(2) ,\frac(\pi )(2) \right ] \). Отже, $$ \int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl=a\int_(-\frac(\pi )(2))^(\frac(\pi )(2))acos \varphi d\varphi =2a^2 $$

    На випадок коли областю інтегрування є відрізок деякої кривої, що лежить в площині. Загальний запис криволінійного інтеграла:

    де f(x, y) - функція двох змінних, а L- крива, по відрізку ABякої відбувається інтегрування. Якщо підінтегральна функція дорівнює одиниці, то криволінійний інтеграл дорівнює довжині дуги AB .

    Як завжди в інтегральному численні, криволінійний інтеграл розуміється як межа інтегральних сум якихось дуже маленьких частин чогось дуже великого. Що ж підсумовується у разі криволінійних інтегралів?

    Нехай на площині розташований відрізок ABдеякою кривою L, а функція двох змінних f(x, y) визначена у точках кривої L. Нехай ми виконуємо із цим відрізком кривий наступний алгоритм.

    1. Розділити криву ABна частини крапками (малюнки нижче).
    2. У кожній частині вільно вибрати точку M.
    3. Знайти значення функції у вибраних точках.
    4. Значення функції помножити на
      • довжини частин у разі криволінійного інтеграла першого роду ;
      • проекції частин на вісь координат у разі криволінійного інтеграла другого роду .
    5. Знайти суму всіх творів.
    6. Знайти межу знайденої інтегральної суми за умови, що довжина найдовшої частини кривої прагне нуля.

    Якщо згадана межа існує, то ця межа інтегральної суми і називається криволінійним інтегралом від функції f(x, y) по кривій AB .


    першого роду

    Випадок криволінійного інтегралу
    другого роду

    Введемо такі позначення.

    Mi ( ζ i; η i)- Вибрана на кожній ділянці точка з координатами.

    fi ( ζ i; η i)- Значення функції f(x, y) у вибраній точці.

    Δ si- Довжина частини відрізка кривої (у разі криволінійного інтеграла першого роду).

    Δ xi- проекція частини відрізка кривої на вісь Ox(У разі криволінійного інтеграла другого роду).

    d= maxΔ s i- Довжина найдовшої частини відрізка кривої.

    Криволінійні інтеграли першого роду

    Виходячи з вищевикладеного про межі інтегральних сум, криволінійний інтеграл першого роду записується так:

    .

    Криволінійний інтеграл першого роду має всі властивості, які має визначений інтеграл. Однак є одна важлива відмінність. У певного інтеграла під час зміни місцями меж інтегрування знак змінюється на протилежний:

    У разі криволінійного інтеграла першого роду не має значення, яку з точок кривої AB (Aабо B) вважати початком відрізка, а яку кінцем, тобто

    .

    Криволінійні інтеграли другого роду

    Виходячи з викладеного про межі інтегральних сум, криволінійний інтеграл другого роду записується так:

    .

    У разі криволінійного інтеграла другого роду при зміні місцями початку та кінця відрізка кривий знак інтеграла змінюється:

    .

    При складанні інтегральної суми криволінійного інтеграла другого роду значення функції fi ( ζ i; η i)можна також множити на проекції частин відрізка кривої на вісь Ой. Тоді отримаємо інтеграл

    .

    Насправді зазвичай використовується об'єднання криволінійних інтегралів другого роду, тобто дві функції f = P(x, y) і f = Q(x, y) та інтеграли

    ,

    а сума цих інтегралів

    називається загальним криволінійним інтегралом другого роду .

    Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

    Обчислення криволінійних інтегралів першого роду зводиться до обчислення певних інтегралів. Розглянемо два випадки.

    Нехай на площині задана крива y = y(x) та відрізку кривої ABвідповідає зміна змінної xвід aдо b. Тоді у точках кривої підінтегральна функція f(x, y) = f(x, y(x)) ("Ігрек" повинен бути виражений через "ікс"), а диференціал дуги і криволінійний інтеграл можна обчислити за формулою

    .

    Якщо інтеграл простіше інтегрувати по y, то з рівняння кривої слід висловити x = x(y) ("ікс" через "ігрок"), де і інтеграл обчислюємо за формулою

    .

    приклад 1.

    де AB- Відрізок прямий між точками A(1; −1) та B(2; 1) .

    Рішення. Складемо рівняння прямої AB, використовуючи формулу (Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки A(x1 ; y 1 ) і B(x2 ; y 2 ) ):

    З рівняння прямий висловимо yчерез x :

    Тоді і тепер можемо обчислювати інтеграл, тому що в нас залишилися одні "ікси":

    Нехай у просторі задана крива

    Тоді в точках кривої функції потрібно виразити через параметр t() а диференціал дуги тому криволінійний інтеграл можна обчислити за формулою

    Аналогічно, якщо на площині задана крива

    ,

    то криволінійний інтеграл обчислюється за формулою

    .

    приклад 2.Обчислити криволінійний інтеграл

    де L- частина лінії кола

    що знаходиться у першому октанті.

    Рішення. Дана крива - чверть лінії кола, розташована в площині z= 3. Вона відповідає значенням параметра. Так як

    то диференціал дуги

    Підінтегральну функцію виразимо через параметр t :

    Тепер, коли ми все виражено через параметр t, можемо звести обчислення даного криволінійного інтеграла до певного інтегралу:

    Обчислення криволінійних інтегралів другого роду

    Так само, як і у разі криволінійних інтегралів першого роду, обчислення інтегралів другого роду зводиться до обчислення певних інтегралів.

    Крива дана в декартових прямокутних координатах.

    Нехай дана крива на площині рівнянням функції "гравець", вираженої через "ікс": y = y(x) та дузі кривої ABвідповідає зміна xвід aдо b. Тоді в підінтегральну функцію підставимо вираз "ігрека" через "ікс" і визначимо диференціал цього виразу "ігрека" по "ікс": . Тепер, коли все виражено через "ікс", криволінійний інтеграл другого роду обчислюється як певний інтеграл:

    Аналогічно обчислюється криволінійний інтеграл другого роду, коли крива дана рівнянням функції "ікс", вираженої через "гравець": x = x(y) , . І тут формула для обчислення інтеграла така:

    приклад 3.Обчислити криволінійний інтеграл

    , якщо

    а) L- Відрізок прямий OA, де Про(0; 0) , A(1; −1) ;

    б) L- дуга параболи y = x² від Про(0; 0) до A(1; −1) .

    а) Обчислимо криволінійний інтеграл за відрізком прямої (на малюнку - синя). Напишемо рівняння прямої і висловимо "гравець" через "ікс":

    .

    Отримуємо dy = dx. Вирішуємо цей криволінійний інтеграл:

    б) якщо L- дуга параболи y = x² , отримаємо dy = 2xdx. Обчислюємо інтеграл:

    У щойно наведеному прикладі отримали у двох випадках один і той же результат. І це збіг, а результат закономірності, оскільки цей інтеграл задовольняє умовам наступної теореми.

    Теорема. Якщо функції P(x,y) , Q(x,y) та їх приватні похідні, - безперервні в області Dфункції та в точках цієї області приватні похідні рівні, то криволінійний інтеграл не залежить від шляху інтегрування по лінії L, що знаходиться в області D .

    Крива дана у параметричній формі

    Нехай у просторі дана крива

    .

    а в підінтегральні функції підставимо

    вираження цих функцій через параметр t. Отримуємо формулу для обчислення криволінійного інтегралу:

    приклад 4.Обчислити криволінійний інтеграл

    ,

    якщо L- частина еліпса

    що відповідає умові y ≥ 0 .

    Рішення. Ця крива - частина еліпса, що знаходиться в площині z= 2. Вона відповідає значенню параметра.

    можемо уявити криволінійний інтеграл у вигляді певного інтеграла та обчислити його:

    Якщо дано криволінійний інтеграл і L- замкнута лінія, то такий інтеграл називається інтегралом по замкнутому контуру та його простіше обчислити за формулі Гріна .

    Більше прикладів обчислення криволінійних інтегралів

    Приклад 5.Обчислити криволінійний інтеграл

    де L- Відрізок прямий між точками її перетину з осями координат.

    Рішення. Визначимо точки перетину прямої з осями координат. Підставивши в рівняння прямий y= 0, отримаємо,. Підставивши x= 0, отримаємо,. Таким чином, точка перетину з віссю Ox - A(2; 0) , з віссю Ой - B(0; −3) .

    З рівняння прямий висловимо y :

    .

    , .

    Тепер можемо уявити криволінійний інтеграл у вигляді певного інтеграла і почати обчислювати його:

    У підінтегральному вираженні виділяємо множник, виносимо його за знак інтеграла. У підінтегральному виразі, що вийшов після цього, застосовуємо підведення під знак диференціалута остаточно отримуємо.

    Кафедра «Вища математика»

    Криволінійні інтеграли

    Методичні вказівки

    Волгоград


    УДК 517.373(075)

    Рецензент:

    старший викладач кафедри "Прикладна математика" Н.І. Кольцова

    Друкується за рішенням редакційно-видавничої ради

    Волгоградського державного технічного університету

    Криволінійні інтеграли: метод. вказівки / сост. М.І.Андрєєва,

    О.Є. Григор'єва; ВолгДТУ. - Волгоград, 2011. - 26 с.

    Методичні вказівки є керівництвом до виконання індивідуальних завдань на тему «Криволінійні інтеграли та їх застосування до теорії поля».

    У першій частині методичних вказівок міститься необхідний теоретичний матеріал для виконання індивідуальних завдань.

    У другій частині розглянуто приклади виконання всіх типів завдань, включених до індивідуальних завдань на тему, що сприяє кращій організації самостійної роботи студентів та успішному засвоєнню теми.

    Методичні вказівки призначені для студентів першого та другого курсів.

    © Волгоградський державний

    технічний університет, 2011

    1. КРИВОЛІНІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ 1 РОДА

    Визначення криволінійного інтегралу 1 роду

    Нехай È АВ- дуга плоскої або просторової шматково-гладкої кривої L, f(P) – задана на цій дузі безперервна функція, А 0 = А, А 1 , А 2 , …, А n – 1 , А n = B АВі P i– довільні точки на часткових дугах А і – 1 A і, довжини яких D l i (i = 1, 2, …, n

    при n® ¥ і max D l i® 0, який не залежить ні від способу розбиття дуги АВточками A і, ні від вибору точок P iна часткових дугах А і – 1 A і (i = 1, 2, …, n). Ця межа називається криволінійним інтегралом 1 роду від функції f(P) по кривій Lі позначається

    Обчислення криволінійного інтеграла 1 роду

    Обчислення криволінійного інтеграла 1 роду може бути зведено до обчислення певного інтеграла за різних способів завдання кривої інтегрування.

    Якщо дуга È АВплоскою кривою задана параметрично рівняннями де x(t) та y(t t, причому x(t 1) = x A, x(t 2) = x B, то

    де - Диференціал довжини дуги кривої.

    Аналогічна формула має місце у разі параметричного завдання просторової кривої L. Якщо дуга È АВкривий Lзадана рівняннями x(t), y(t), z(t) – безперервно диференційовані функції параметра t, то

    де - Диференціал довжини дуги кривої.

    у декартових координатах

    Якщо дуга È АВплоскою кривою Lзадана рівнянням де y(x

    і формула для обчислення криволінійного інтеграла має вигляд:

    При завданні дуги È АВплоскою кривою Lу вигляді x= x(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
    де x(y) – безперервно диференційована функція,

    та криволінійний інтеграл обчислюється за формулою

    (1.4)

    Завдання кривої інтегрування полярним рівнянням

    Якщо плоска крива Lзадана рівнянням у полярній системі координат r = r(j), j Î , де r(j) – безперервно диференційована функція, то

    і

    (1.5)

    Додатки криволінійного інтеграла 1 роду

    За допомогою криволінійного інтеграла 1 роду обчислюються: довжина дуги кривої, площа частини циліндричної поверхні, маса, статичні моменти, моменти інерції та координати центру важкості матеріальної кривої із заданою лінійною щільністю.

    1. Довжина lплоскою або просторовою кривою Lзнаходиться за формулою

    2. Площа частини циліндричної поверхні з паралельної осі OZутворює та розташованої в площині XOYспрямовуючою L, укладеної між площиною XOYі поверхнею, що задається рівнянням z = f(x; y) (f(P) ³ 0 при P Î L), дорівнює

    (1.7)

    3. Маса mматеріальної кривої Lз лінійною щільністю m( P) визначається формулою

    (1.8)

    4. Статичні моменти щодо осей Oxі Ойта координати центру тяжіння плоскої матеріальної кривої Lз лінійною щільністю m( x; y) відповідно рівні:

    (1.9)

    5. Статичні моменти щодо площин Oxy, Oxz, Oyzта координати центру тяжіння просторової матеріальної кривої з лінійною щільністю m( x; y; z) визначаються за формулами:

    (1.11)

    6. Для плоскої матеріальної кривої Lз лінійною щільністю m( x; y) моменти інерції щодо осей Ox, Ойі початку координат відповідно дорівнюють:

    (1.13)

    7. Моменти інерції просторової матеріальної кривої Lз лінійною щільністю m( x; y; z) щодо координатних площин обчислюються за формулами

    (1.14)

    а моменти інерції щодо координатних осей дорівнюють:

    (1.15)

    2. КРИВОЛІНІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ 2 РОДУ

    Визначення криволінійного інтеграла 2 роду

    Нехай È АВ– дуга шматково-гладкої орієнтованої кривої L, = (a x(P); a y(P); a z(P)) – задана на цій дузі безперервна векторна функція, А 0 = А, А 1 , А 2 , …, А n – 1 , А n = B- Довільне розбиття дуги АВі P i- Довільні точки на часткових дугах А і – 1 A і. Нехай – вектор із координатами D x i, D y i, D z i(i = 1, 2, …, n), і – скалярний добуток векторів та ( i = 1, 2, …, n). Тоді існує межа послідовності інтегральних сум

    при n® ¥ і max ÷ ç ® 0, який не залежить ні від способу розбиття дуги АВточками A і, ні від вибору точок P iна часткових дугах А і – 1 A і
    (i = 1, 2, …, n). Ця межа називається криволінійним інтегралом 2 роду від функції ( P) по кривій Lі позначається

    У разі коли векторна функція задана на плоскій кривій L, аналогічно маємо:

    При зміні напряму інтегрування криволінійний інтеграл 2 роду змінює знак.

    Криволінійні інтеграли першого та другого роду пов'язані співвідношенням

    (2.2)

    де - одиничний вектор дотичної до орієнтованої кривої.

    За допомогою криволінійного інтеграла 2 роду можна обчислювати роботу сили при переміщенні матеріальної точки по дузі кривій L:

    (2.3)

    Позитивним напрямом обходу замкнутої кривої З,що обмежує однозв'язкову область Gвважається обхід проти годинникової стрілки.

    Криволінійний інтеграл 2 роди по замкнутій кривій Зназивається циркуляцією та позначається

    (2.4)

    Обчислення криволінійного інтеграла 2 роду

    Обчислення криволінійного інтеграла 2 роду зводиться до обчислення певного інтегралу.

    Параметричне завдання кривої інтегрування

    Якщо È АВорієнтованою плоскою кривою задана параметрично рівняннями , де х(t) та y(t) – безперервно диференційовані функції параметра t, причому те

    (2.5)

    Аналогічна формула має місце у разі параметричного завдання просторової орієнтованої кривої L. Якщо дуга È АВкривий Lзадана рівняннями – безперервно диференційовані функції параметра t, то

    (2.6)

    Явне завдання плоскої кривої інтегрування

    Якщо дуга È АВ Lзадана в декартових координатах рівнянням де y(x) - безперервно диференційована функція, то

    (2.7)

    При завданні дуги È АВплоскою орієнтованою кривою Lу вигляді
    x= x(y), y Î [ y 1 ; y 2], де x(y) – безперервно диференційована функція, справедлива формула

    (2.8)

    Нехай функції безперервні разом зі своїми похідними

    у плоскій замкнутій області G, обмеженою кусково-гладкою замкнутою самонепересічною позитивно орієнтованою кривою З+. Тоді має місце формула Гріна:

    Нехай G- Поверхнево-односвязная область, і

    = (a x(P); a y(P); a z(P))

    – задане у цій галузі векторне поле. Поле ( P) називається потенційним, якщо існує така функція U(P), що

    (P) = grad U(P),

    Необхідна та достатня умова потенційності векторного поля ( P) має вигляд:

    rot ( P) = , де (2.10)

    (2.11)

    Якщо векторне поле є потенційним, то криволінійний інтеграл 2 роду не залежить від кривої інтегрування, а залежить лише від координат початку та кінця дуги М 0 М. Потенціал U(М) векторного поля визначається з точністю до постійного доданку і знаходиться за формулою

    (2.12)

    де М 0 М- Довільна крива, що з'єднує фіксовану точку М 0 та змінну точку М. Для спрощення обчислень як шлях інтегрування може бути обрана ламана М 0 М 1 М 2 Мзі ланками, паралельними координатним осям, наприклад:

    3. приклади виконання завдань

    Завдання 1

    Обчислити криволінійний інтеграл I роду

    де L – дуга крива , 0 ≤ x ≤ 1.

    Рішення.За формулою (1.3) відомості криволінійного інтегралу I роду до певного інтегралу у разі гладкої плоскої явно заданої кривої:

    де y = y(x), x 0 ≤ x ≤ x 1 – рівняння дуги Lкривою інтегрування. У цьому прикладі Знаходимо похідну цієї функції

    та диференціал довжини дуги кривої L

    ,

    то, підставляючи в цей вираз замість y, отримуємо

    Перетворимо криволінійний інтеграл до певного:

    Обчислюємо цей інтеграл за допомогою підстановки. Тоді
    t 2 = 1 + x, x = t 2 – 1, dx = 2t dt; при x = 0 t= 1; а x= 1 відповідає. Після перетворень отримуємо

    Завдання 2

    Обчислити криволінійний інтеграл 1 роду по дузі Lкривий L:x= cos 3 t, y= sin 3 t, .

    Рішення.Так як L- дуга гладкої плоскої кривої, заданої в параметричному вигляді, використовуємо формулу (1.1) відомості криволінійного інтеграла 1 роду до певного:

    .

    У цьому прикладі

    Знайдемо диференціал довжини дуги

    Знайдені вирази підставляємо у формулу (1.1) та обчислюємо:

    Завдання 3

    Знайти масу дуги лінії Lіз лінійною площиною m.

    Рішення.Маса mдуги Lіз щільністю m( P) обчислюється за формулою (1.8)

    .

    Це криволінійний інтеграл 1 роду за параметрично заданою гладкою дугою кривою в просторі, тому він обчислюється за формулою (1.2) відомості криволінійного інтеграла 1 роду до певного інтегралу:

    Знайдемо похідні

    та диференціал довжини дуги

    Підставляємо ці вирази у формулу для маси:

    Завдання 4

    приклад 1.Обчислити криволінійний інтеграл 2 роду

    по дузі Lкривий 4 x + y 2 = 4 від точки A(1; 0) до точки B(0; 2).

    Рішення.Плоска дуга Lзадана у неявному вигляді. Для обчислення інтеграла зручніше висловити xчерез y:

    і знаходити інтеграл за формулою (2.8) перетворення криволінійного інтеграла 2 роду на певний інтеграл за змінною y:

    де a x(x; y) = xy – 1, a y(x; y) = xy 2 .

    З урахуванням завдання кривої

    За формулою (2.8) отримуємо

    Приклад 2. Обчислити криволінійний інтеграл 2 роду

    де L– ламана ABC, A(1; 2), B(3; 2), C(2; 1).

    Рішення. За якістю адитивності криволінійного інтегралу

    Кожен з інтегралів-доданків обчислюємо за формулою (2.7)

    де a x(x; y) = x 2 + y, a y(x; y) = –3xy.

    Рівняння відрізка прямої AB: y = 2, y¢ = 0, x 1 = 1, x 2 = 3. Підставляючи у формулу (2.7) ці вирази, отримуємо:

    Для обчислення інтегралу

    складемо рівняння прямої BCза формулою

    де x B, y B, x C, y C– координати точок Bі З. Отримуємо

    y – 2 = x – 3, y = x – 1, y¢ = 1.

    Підставляємо отримані вирази у формулу (2.7):

    Завдання 5

    Обчислити криволінійний інтеграл 2 роди за дугою L

    0 ≤ t ≤ 1.

    Рішення. Так як крива інтегрування задана параметрично рівняннями x = x(t), y = y(t), t Î [ t 1 ; t 2], де x(t) та y(t) – безперервно диференційовані функції tпри t Î [ t 1 ; t 2 ], то для обчислення криволінійного інтеграла другого роду використовуємо формулу (2.5) відомості криволінійного інтеграла до певного для плоскої параметрично заданої кривої

    У цьому прикладі a x(x; y) = y; a y(x; y) = –2x.

    З урахуванням завдання кривої Lотримуємо:

    Підставляємо знайдені вирази у формулу (2.5) та обчислюємо певний інтеграл:

    Завдання 6

    приклад 1. C + де З : y 2 = 2x, y = x – 4.

    Рішення.Позначення C+ вказує, що обхід контуру здійснюється у позитивному напрямку, тобто проти годинникової стрілки.

    Перевіримо, що для розв'язання задачі можна використати формулу Гріна (2.9)

    Оскільки функції a x (x; y) = 2y – x 2 ; a y (x; y) = 3x + yта їх приватні похідні безперервні в плоскій замкнутій області G, обмеженою контуром C, тоформула Гріна застосовна.

    Для обчислення подвійного інтеграла зобразимо область G, попередньо визначивши точки перетину дуг кривих y 2 = 2xі
    y = x– 4, складових контур C.

    Точки перетину знайдемо, розв'язавши систему рівнянь:

    Друге рівняння системи рівносильне рівнянню x 2 – 10x+ 16 = 0, звідки x 1 = 2, x 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

    Отже, точки перетину кривих: A(2; –2), B(8; 4).

    Оскільки область G– правильна у напрямку осі Ox, то для подвійного інтегралу до повторного спроектуємо область Gна вісь OYі скористаємося формулою

    .

    Так як a = –2, b = 4, x 2 (y) = 4+y, то

    приклад 2.Обчислити криволінійний інтеграл 2 роду по замкнутому контуру де З– контур трикутника з вершинами A(0; 0), B(1; 2), C(3; 1).

    Рішення.Позначення означає, що контур трикутника обходиться за годинниковою стрілкою. У випадку, коли криволінійний інтеграл береться по замкнутому контуру, формула Гріна набуває вигляду.

    Зобразимо область G, обмежену заданим контуром.

    Функції та приватні похідні і безперервні в області Gтому можна застосувати формулу Гріна. Тоді

    Область Gне є правильною у напрямку будь-якої з осей. Проведемо відрізок прямий x= 1 і уявимо Gу вигляді G = G 1 È G 2 , де G 1 та G 2 області, правильні у напрямку осі Ой.

    Тоді

    Для зведення кожного з подвійних інтегралів з G 1 та G 2 до повторного будемо використовувати формулу

    де [ a; b] – проекція області Dна вісь Ox,

    y = y 1 (x) – рівняння нижньої кривої, що обмежує,

    y = y 2 (x) – рівняння верхньої кривої, що обмежує.

    Запишемо рівняння меж області G 1 і знайдемо

    AB: y = 2x, 0 ≤ x ≤ 1; AD: , 0 ≤ x ≤ 1.

    Складемо рівняння кордону BCобласті G 2 , використовуючи формулу

    BC: де 1 ≤ x ≤ 3.

    DC: 1 ≤ x ≤ 3.

    Завдання 7

    приклад 1.Знайти роботу сили L: y = x 3 від точки M(0; 0) до точки N(1; 1).

    Рішення. Роботу змінної сили під час переміщення матеріальної точки по дузі кривої Lвизначаємо за формулою (2.3) (як криволінійний інтеграл другого роду від функції по кривій L) .

    Так як векторна функція задана рівнянням і дуга плоскою орієнтованою кривою визначена явно рівнянням y = y(x), x Î [ x 1 ; x 2], де y(x) безперервно диференційована функція, то за формулою (2.7)

    У цьому прикладі y = x 3 , , x 1 = x M = 0, x 2 = x N= 1. Тому

    Приклад 2. Знайти роботу сили при переміщенні матеріальної точки вздовж лінії L: x 2 + y 2 = 4 від точки M(0; 2) до точки N(–2; 0).

    Рішення. Використовуючи формулу (2.3), отримуємо

    .

    У цьому прикладі дуга кривої L(È MN) – це чверть кола, що задається канонічним рівнянням x 2 + y 2 = 4.

    Для обчислення криволінійного інтеграла другого роду зручніше перейти до параметричного завдання кола: x = R cos t, y = R sin tта скористатися формулою (2.5)

    Так як x= 2cos t, y= 2sin t, , , отримуємо

    Завдання 8

    Приклад 1. Обчислити модуль циркуляції векторного поля вздовж контуру Г:

    Рішення.Для обчислення циркуляції векторного поля вздовж замкнутого контуру Гскористаємося формулою (2.4)

    Оскільки задане просторове векторне поле та просторовий замкнутий контур Г, то переходячи від векторної форми запису криволінійного інтеграла до координатної форми, отримуємо

    Крива Гзадана як перетин двох поверхонь: гіперболічного параболоїда z = x 2 – y 2 + 2 та циліндра x 2 + y 2 = 1. Для обчислення криволінійного інтеграла зручно перейти до параметричних рівнянь кривої Г.

    Рівняння циліндричної поверхні можна записати у вигляді:
    x= cos t, y= sin t, z = z. Вираз для zу параметричних рівняннях кривої виходить підстановкою x= cos t, y= sin tрівняння гіперболічного параболоїда z = 2 + cos 2 t- sin 2 t= 2 + cos 2 t. Отже, Г: x= cos t,
    y= sin t, z= 2 + cos 2 t, 0 ≤ t≤ 2p.

    Так як входять до параметричних рівнянь кривої Гфункції
    x(t) = cos t, y(t) = sin t, z(t) = 2 + cos 2 tє безперервно диференційованими функціями параметра tпри tÎ , то криволінійний інтеграл знаходимо за формулою (2.6)