Похідна робота двох функцій. Правила обчислення похідних. Геометричний та фізичний зміст похідної

У цьому уроці ми продовжуємо вивчати похідні функцій і переходимо до складнішої теми, а саме до похідних твору і приватного. Якщо ви дивилися попередній урок, то напевно зрозуміли, що ми розглядали лише найпростіші конструкції, а саме, похідну статечної функції, суми та різниці. Зокрема, ми дізналися, що похідна суми дорівнює їх сумі, а похідна різниці дорівнює відповідно їх різниці. На жаль, у випадку з похідними приватного та твору формули будуть набагато складнішими. Почнемо ми саме з формули похідної роботи функцій.

Похідні тригонометричних функцій

Спочатку дозволю собі невеликий ліричний відступ. Справа в тому, що крім стандартної статечної функції $y=((x)^(n))$, в цьому уроці будуть зустрічатися й інші функції, а саме, $y=\sin x$, а також $y=\ cos x$ та інша тригонометрія – $y=tgx$ і, зрозуміло, $y=ctgx$.

Якщо похідну статечної функції ми всі чудово знаємо, а саме $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, то, що стосується тригонометричних функцій , Треба згадати окремо. Давайте запишемо:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Але ці формули ви чудово знаєте, давайте підемо далі.

Що таке похідна робота?

Для початку найголовніше: якщо функція являє собою добуток двох інших функцій, наприклад, $f\cdot g$, то похідна цієї конструкції дорівнюватиме наступному виразу:

Як бачите, ця формула значно відрізняється і є більш складною, ніж формули, які ми розглядали раніше. Наприклад, похідна суми вважається елементарно -$((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, або похідна різниці, яка теж елементарно вважається - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Спробуємо застосувати першу формулу для обчислення похідних двох функцій, які нам дано в задачі. Почнемо з першого прикладу:

Очевидно, що як твор, точніше, як множник, виступає наступна конструкція: $((x)^(3))$, ми можемо розглядати як $f$, а $\left(x-5 \right)$ ми можемо розглядати як $g$. Тоді їхній твір якраз і буде твором двох функцій. Вирішуємо:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].

Тепер давайте уважно подивимося на кожну з наших доданків. Ми, що й у першому, й у другому доданку присутній ступінь $x$: у першому випадку це $((x)^(2))$, тоді як у другому — $((x)^(3))$. Давайте винесемо найменший ступінь за дужки, у дужці залишиться:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15) \\\end(align)\]

Все, ми знайшли відповідь.

Повертаємось до наших завдань та спробуємо вирішити:

Отже, переписуємо:

Знову ж таки зауважуємо, що йдеться про твори твору двох функцій: $x$, яку можна позначити за $f$, і $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, яку можна позначити за $g$.

Отже, маємо знову добуток двох функцій. Для знаходження похідної функції $f\left(x \right)$ знову скористаємося нашою формулою. Отримаємо:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x)) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\end(align)\]

Відповідь знайдено.

Навіщо розкладати похідні на множники?

Щойно ми використовували кілька дуже важливих математичних фактів, які власними силами не мають відношення до похідним, проте їх знання все подальше вивчення цієї теми просто немає сенсу.

По-перше, вирішуючи найперше завдання і, вже позбавившись усіх знаків похідних, ми навіщось почали розкладати цей вираз на множники.

По-друге, вирішуючи наступне завдання, ми кілька разів переходили від кореня до ступеня з раціональним показником і назад, при цьому використовуючи формулу 8-9 класу, яку варто було б повторити окремо.

Щодо розкладання на множники – навіщо взагалі потрібні всі ці додаткові зусилля та перетворення? Насправді, якщо завдання просто сказано «знайти похідну функції», ці додаткові дії не потрібні. Однак у реальних завданнях, які чекають на всілякі іспити і заліки, просто знайти похідну часто недостатньо. Справа в тому, що похідна є лише інструментом, за допомогою якого можна дізнатися, наприклад, зростання або зменшення функції, а для цього потрібно вирішувати рівняння, розкладати його на множники. І ось тут цей прийом буде дуже доречним. Та й взагалі, з функцією, розкладеною на множники, набагато зручніше та приємніше працювати надалі, якщо потрібні якісь перетворення. Тому правило № 1: якщо похідну можна розкласти на множники, саме так і варто чинити. І відразу правило № 2 (по суті, це матеріал 8-9-го класу): якщо завдання зустрічається корінь n-ного ступеня, причому, корінь явно більше двох, то цей корінь можна замінити звичайним ступенем з раціональним показником, причому у показнику з'явиться дріб, де n― той самий ступінь ― опиниться у знаменнику цього дробу.

Зрозуміло, якщо під коренем є якийсь ступінь (у нашому випадку це ступінь k), то вона нікуди не подіється, а просто виявляється в чисельнику цього самого ступеня.

А тепер, коли ви все це зрозуміли, повернімося до похідних твору і порахуємо ще кілька рівнянь.

Але перш ніж переходити безпосередньо до обчислень, хотів би нагадати такі закономірності:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Вважаємо перший приклад:

У нас знову добуток двох функцій: перша $f$, друга - $g$. Нагадаю формулу:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Давайте вирішимо:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\end(align)\]

Переходимо до другої функції:

Знову ж таки, $\left(3x-2 \right)$ ― це функція $f$, $\cos x$ ― це функція $g$. Разом похідна твори двох функцій дорівнюватиме:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]

Випишемо окремо:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\end(align)\]

На множники ми цього виразу не розкладаємо, тому що це ще не остаточна відповідь. Зараз нам належить вирішити другу частину. Виписуємо її:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\end(align)\]

А тепер повертаємось до нашого початкового завдання і збираємо все в єдину конструкцію:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\end(align)\]

Все це остаточна відповідь.

Переходимо до останнього прикладу – він буде найскладнішим та найоб'ємнішим за обчисленнями. Отже, приклад:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Вважаємо кожну частину окремо:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Повертаючись до вихідної функції, порахуємо її похідну загалом:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Ось, власне, і все, що я хотів розповісти про похідні твори. Як бачите, основна проблема формули полягає не в тому, щоб її завчити, а в тому, що виходить великий обсяг обчислень. Але це нормально, тому що зараз ми переходимо до похідної приватного, де нам доведеться дуже попрацювати.

Що є похідна приватного?

Отже, формула похідної частки. Мабуть, це найскладніша формула у шкільному курсі похідних. Припустимо, у нас є функція виду $\frac(f)(g)$, де $f$ і $g$ ― також функції, з яких можна зняти штрих. Тоді вона вважатиметься за такою формулою:

Чисельник чимось нагадує нам формулу похідної твори, проте між доданками стоїть знак «мінус» і ще у знаменнику додався квадрат вихідного знаменника. Давайте подивимося, як це працює на практиці:

Спробуємо вирішити:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Пропоную виписати кожну частину окремо та записати:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2))) right))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(align)\]

Переписуємо наш вираз:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2))) \\\end(align)\]

Ми знайшли відповідь. Переходимо до другої функції:

Судячи з того, що в її чисельнику стоїть просто одиниця, тут обчислення будуть трохи простіше. Отже, запишемо:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Порахуємо кожну частину прикладу окремо:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Переписуємо наш вираз:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2)) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Ми знайшли відповідь. Як і передбачалося, обсяг обчислення виявився значно меншим, ніж для першої функції.

У чому різниця між позначеннями?

У уважних учнів напевно вже постало питання: чому в одних випадках ми позначаємо функцію як $f\left(x \right)$, а в інших випадках пишемо просто $y$? Насправді, з точки зору математики немає абсолютно жодної різниці – ви маєте право використовувати як перше позначення, так і друге, при цьому жодних штрафних санкцій на іспитах та заліках не буде. Для тих, кому все-таки цікаво, поясню, чому автори підручників і завдань в одних випадках пишуть $f\left(x \right)$, а в інших (набагато частіших) - просто $y$. Справа в тому, що записуючи функцію у вигляді, ми неявно натякаємо тому, хто читатиме наші викладки, що йдеться саме про алгебраїчну інтерпретацію функціональної залежності. Т. е. є якась змінна $x$, ми розглядаємо залежність від цієї змінної і позначаємо її $f\left(x \right)$. При цьому, побачивши ось таке позначення, той, хто читатиме ваші викладки, наприклад, перевіряючий, буде підсвідомо очікувати, що надалі на нього чекають лише алгебраїчні перетворення - жодних графіків і ніякої геометрії.

З іншого боку, використовуючи позначення виду, тобто, позначаючи змінну однією єдиною літерою, ми відразу даємо зрозуміти, що надалі нас цікавить саме геометрична інтерпретація функції, тобто нас цікавить, в першу чергу, її графік. Відповідно, зіткнувшись із записом виду, читач має право чекати графічних викладок, тобто графіків, побудов і т. д., але, в жодному разі, не аналітичних перетворень.

Ще хотів би звернути вашу увагу на одну особливість оформлення завдань, що ми сьогодні розглядаємо. Багато учнів вважають, що я наводжу надто докладні викладки, і багато з них можна було б пропустити або просто вирішити в умі. Однак саме такий докладний запис дозволить вам позбутися образливих помилок і значно збільшить відсоток правильно вирішених завдань, наприклад, у разі самостійної підготовки до контрольних чи іспитів. Тому якщо ви ще невпевнені у своїх силах, якщо ви тільки починаєте вивчати цю тему, не поспішайте - докладно розписуйте кожен крок, виписуйте кожен множник, кожен штрих, і дуже скоро ви навчитеся вирішувати такі приклади краще, ніж багато шкільних вчителів. Сподіваюся, це зрозуміло. Давайте порахуємо ще кілька прикладів.

Декілька цікавих завдань

Цього разу, як бачимо, у складі похідних, що обчислюються, присутня тригонометрія. Тому нагадаю таке:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\end(align )\]

Звичайно, нам не обійтися і без похідної приватного, а саме:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Вважаємо першу функцію:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)((((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\end(align)\]

Ось ми і знайшли вирішення цього виразу.

Переходимо до другого прикладу:

Очевидно, що її похідна буде складнішою вже хоча б тому, що і в чисельнику, і в знаменнику цієї функції є тригонометрія. Вирішуємо:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Зауважимо, що у нас виникає похідна робота. У цьому випадку вона дорівнюватиме:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \) right))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\end(align)\]

Повертаємось до наших обчислень. Записуємо:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

От і все! Ми порахували.

Як звести похідну до простої формули похідної твору?

І ось тут хотілося б зробити одне дуже важливе зауваження щодо саме тригонометричних функцій. Справа в тому, що наша вихідна конструкція містить у собі вираз виду $\frac(\sin x)(\cos x)$, яку легко можна замінити просто $tgx$. Таким чином, ми зведемо похідну до більш простої формули похідної твору. Ось давайте порахуємо цей приклад і порівняємо результати.

Отже, тепер нам потрібно врахувати таке:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Перепишемо нашу вихідну функцію $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ з урахуванням цього факту. Отримаємо:

Давайте порахуємо:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \&& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\end(align) \]

Тепер, якщо ми порівняємо отриманий результат з тим, що ми отримали раніше, при обчисленні по іншому шляху, то ми переконаємося, що отримали один і той самий вираз. Таким чином, яким би шляхом ми не йшли при обчисленні похідної, якщо все вірно пораховано, то відповідь буде одним і тим же.

Важливі нюанси під час вирішення завдань

На закінчення хотів би розповісти вам ще одну тонкість, пов'язану з обчисленням похідної приватного. Те, що я вам зараз розповім, не було у споконвічному сценарії відеоуроку. Однак за пару годин до зйомок я займався з одним із своїх учнів, і ми якраз розбирали тему похідних приватного. І, як з'ясувалося, цей момент багато учнів не розуміють. Отже, припустимо, нам потрібно порахувати зняти штрих наступної функції:

У принципі, нічого надприродного здавалося б у ній немає. Однак у процесі обчислення ми можемо допустити багато дурних та образливих помилок, які я хотів би зараз розібрати.

Отже, вважаємо цю похідну. Насамперед, зауважимо, що у нас присутній доданок $3((x)^(2))$, тому доречно згадати таку формулу:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Крім того, у нас присутній доданок $\frac(48)(x)$ ― з ним ми розбиратимемося через похідну приватного, а саме:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Отже, вирішуємо:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

З першим складником ніяких проблем, дивіться:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

А ось з першим доданком, $ frac (48) (x) $, потрібно попрацювати окремо. Справа в тому, що багато учнів плутають ситуацію, коли потрібно знайти $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$і коли потрібно знайти $((\left(\frac) (48) (x) \right))^(\prime ))$. Т. е., вони плутаються, коли константа стоїть у знаменнику, і коли константа стоїть у чисельнику, відповідно, коли змінна стоїть у чисельнику, чи знаменнику.

Для початку опрацюємо перший варіант:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

З іншого боку, якщо ми спробуємо аналогічно вчинити і з другим дробом, то отримаємо таке:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Однак той самий приклад можна було порахувати й інакше: на етапі, де ми переходили до похідної частки, можна розглянути $\frac(1)(x)$ як ступінь з негативним показником, тобто, ми отримаємо наступне:

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-) 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

І так, і так ми отримали ту саму відповідь.

Таким чином, ми ще раз переконалися у двох важливих фактах. По-перше, одну й ту саму похідну можна вважати абсолютно різними способами. Наприклад, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ можна розглядати і як похідну приватного, і як похідну статечної функції. При цьому якщо всі обчислення виконані правильно, то відповідь завжди вийде одним і тим самим. По-друге, при обчисленні похідних, що містять і змінну, і константу, принципово важливим є те, де знаходиться змінна у чисельнику або в знаменнику. У першому випадку, коли змінна знаходиться у чисельнику, ми отримуємо просту лінійну функцію, яка елементарно вважається. А у випадку, якщо змінна стоїть у знаменнику, то ми отримуємо складніший вираз із супутніми викладками, наведеними раніше.

На цьому урок можна вважати закінченим, тому якщо вам щось незрозуміло за похідними приватного чи твору, та й взагалі, якщо у вас є будь-які питання на цю тему, не соромтеся – заходьте на мій сайт, пишіть, телефонуйте, і я обов'язково постараюся вам допомогти.

Самі по собі похідні - тема аж ніяк не складна, але дуже об'ємна, і те, що ми зараз вивчаємо, буде використовуватися в майбутньому при вирішенні складніших завдань. Саме тому всі непорозуміння, пов'язані з обчисленнями похідних приватного чи твору, краще виявити негайно прямо зараз. Не коли вони є величезною сніжною грудкою непорозуміння, а коли є маленькою тенісною кулькою, з якою легко розібратися.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Вирішувати фізичні завдання або приклади з математики неможливо без знань про похідну і методи її обчислення. Похідна – одне з найважливіших понять математичного аналізу. Цій фундаментальній темі ми вирішили присвятити сьогоднішню статтю. Що таке похідна, який її фізичний та геометричний зміст, як порахувати похідну функції? Всі ці питання можна поєднати в одне: як зрозуміти похідну?

Геометричний та фізичний зміст похідної

Нехай є функція f(x) , задана в певному інтервалі (a, b) . Точки х і х0 належать до цього інтервалу. При зміні х змінюється сама функція. Зміна аргументу – різниця його значень х-х0 . Ця різниця записується як дельта ікс і називається збільшенням аргументу. Зміною або збільшенням функції називається різниця значень функції у двох точках. Визначення похідної:

Похідна функції у точці – межа відношення збільшення функції у цій точці до збільшення аргументу, коли останнє прагне нулю.

Інакше це можна записати так:

Який сенс у знаходженні такої межі? А ось який:

похідна від функції в точці дорівнює тангенсу кута між віссю OX і щодо графіку функції в даній точці.

Фізичний зміст похідної: похідна шляхи за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху.

Дійсно, ще зі шкільних часів всім відомо, що швидкість – це приватна дорога. x=f(t) та часу t . Середня швидкість за деякий проміжок часу:

Щоб дізнатися швидкість руху в момент часу t0 потрібно обчислити межу:

Правило перше: виносимо константу

Константу можна винести за знак похідної. Більше того – це потрібно робити. При вирішенні прикладів математики візьміть за правило - якщо можете спростити вираз, обов'язково спрощуйте .

приклад. Обчислимо похідну:

Правило друге: похідна суми функцій

Похідна суми двох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій. Те саме справедливо і для похідної різниці функцій.

Не наводитимемо доказ цієї теореми, а краще розглянемо практичний приклад.

Знайти похідну функції:

Правило третє: похідна робота функцій

Похідна твори двох функцій, що диференціюються, обчислюється за формулою:

Приклад: знайти похідну функції:

Рішення:

Тут важливо сказати про обчислення похідних складних функцій. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

У наведеному вище прикладі ми зустрічаємо вираз:

В даному випадку проміжний аргумент - 8х у п'ятому ступені. Для того, щоб обчислити похідну такого виразу спочатку вважаємо похідну зовнішньої функції за проміжним аргументом, а потім множимо на похідну безпосередньо проміжного аргументу незалежної змінної.

Правило четверте: похідна приватного двох функцій

Формула для визначення похідної від частки двох функцій:

Ми постаралися розповісти про похідні для чайників з нуля. Ця тема не така проста, як здається, тому попереджаємо: у прикладах часто зустрічаються пастки, так що будьте уважні при обчисленні похідних.

З будь-яким питанням з цієї та інших тем ви можете звернутися до студентського сервісу. За короткий термін ми допоможемо вирішити найскладнішу контрольну та розібратися із завданнями, навіть якщо ви ніколи раніше не займалися обчисленням похідних.

Якщо слідувати визначенню, то похідна функції у точці — це межа відношення збільшення функції Δ yдо збільшення аргументу Δ x:

Начебто все зрозуміло. Але спробуйте порахувати за цією формулою, скажімо, похідну функції f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x· sin x. Якщо все робити за визначенням, то через кілька сторінок обчислень ви просто заснете. Тому існують простіші та ефективніші способи.

Спочатку зазначимо, що з усього різноманіття функцій можна назвати звані елементарні функції. Це відносно прості вирази, похідні яких давно обчислені та занесені до таблиці. Такі функції досить просто запам'ятати — разом із їх похідними.

Похідні елементарних функцій

Елементарні функції – це все, що наведено нижче. Похідні цих функцій треба знати напам'ять. Тим більше, що завчити їх зовсім нескладно — на те вони й елементарні.

Отже, похідні елементарних функцій:

Назва	Функція	Похідна
Константа	f(x) = C, C ∈ R	0 (так-так, нуль!)
Ступінь із раціональним показником	f(x) = x n	n · x n − 1
Сінус	f(x) = sin x	cos x
Косінус	f(x) = cos x	− sin x(мінус синус)
Тангенс	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Котангенс	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Натуральний логарифм	f(x) = ln x	1/x
Довільний логарифм	f(x) = log a x	1/(x· ln a)
Показова функція	f(x) = e x	e x(нічого не змінилось)

Якщо елементарну функцію помножити на довільну постійну, то похідна нової функції також легко вважається:

(C · f)’ = C · f ’.

Загалом константи можна виносити за знак похідної. Наприклад:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 · 3 x 2 = 6x 2 .

Очевидно, елементарні функції можна складати одна з одною, множити, ділити і багато іншого. Так з'являться нові функції, не особливо елементарні, але теж диференційовані за певними правилами. Ці правила розглянуті нижче.

Похідна суми та різниці

Нехай дані функції f(x) та g(x), похідні яких нам відомі. Наприклад, можна взяти елементарні функції, розглянуті вище. Тоді можна знайти похідну суми та різниці цих функцій:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Отже, похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних. Доданків може бути більше. Наприклад, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго кажучи, в алгебрі немає поняття «віднімання». Є поняття «негативний елемент». Тому різниця f − gможна переписати як суму f+ (−1) · gі тоді залишиться лише одна формула — похідна суми.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функція f(x) - це сума двох елементарних функцій, тому:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cos x;

Аналогічно міркуємо для функції g(x). Тільки там уже три доданки (з погляду алгебри):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Відповідь:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Похідна робота

Математика - наука логічна, тому багато хто вважає, що якщо похідна суми дорівнює сумі похідних, то похідна твори strike"> дорівнює твору похідних. А ось фіг вам! Похідна твори вважається зовсім за іншою формулою. А саме:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула проста, але її часто забувають. І не лише школярі, а й студенти. Результат – неправильно вирішені завдання.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Функція f(x) є твір двох елементарних функцій, тому все просто:

f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3)' · cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x) = x 2 · (3cos x − x· sin x)

У функції g(x) перший множник трохи складніше, але загальна схема від цього не змінюється. Очевидно, перший множник функції g(x) є багаточлен, і його похідна - це похідна суми. Маємо:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Відповідь:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x· sin x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Зверніть увагу, що на останньому етапі похідна розкладається на множники. Формально цього робити не потрібно, проте більшість похідних обчислюються не власними силами, а щоб досліджувати функцію. А значить, далі похідна прирівнюватиметься до нуля, з'ясовуватимуться її знаки і так далі. Для такої справи краще мати вираз, розкладений на множники.

Якщо є дві функції f(x) та g(x), причому g(x) ≠ 0 на цікавій для нас безлічі, можна визначити нову функцію h(x) = f(x)/g(x). Для такої функції також можна знайти похідну:

Неслабо, так? Звідки взявся мінус? Чому g 2? А ось так! Це одна із найскладніших формул — без пляшки не розберешся. Тому найкраще вивчати її на конкретних прикладах.

Завдання. Знайти похідні функції:

У чисельнику та знаменнику кожного дробу стоять елементарні функції, тому все, що нам потрібно – це формула похідної частки:

За традицією, розкладемо чисельник на множники — це значно спростить відповідь:

Складна функція - це не обов'язково формула завдовжки півкілометра. Наприклад, достатньо взяти функцію f(x) = sin xта замінити змінну x, скажімо, на x 2 + ln x. Вийде f(x) = sin ( x 2 + ln x) - це і є складна функція. Вона теж має похідну, проте знайти її за правилами, розглянутими вище, не вийде.

Як бути? У таких випадках допомагає заміна змінної та формула похідної складної функції:

f ’(x) = f ’(t) · t', якщо xзамінюється на t(x).

Як правило, з розумінням цієї формули справа ще більш сумно, ніж з похідною приватного. Тому її також краще пояснити на конкретних прикладах, з докладним описом кожного кроку.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = sin ( x 2 + ln x)

Зауважимо, що якщо у функції f(x) замість виразу 2 x+ 3 буде просто x, то вийде елементарна функція f(x) = e x. Тому робимо заміну: нехай 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Шукаємо похідну складної функції за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

А тепер – увага! Виконуємо зворотну заміну: t = 2x+ 3. Отримаємо:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 · (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 · 2 = 2 · e 2x + 3

Тепер розберемося із функцією g(x). Очевидно, треба замінити x 2 + ln x = t. Маємо:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t' = cos t · t ’

Зворотна заміна: t = x 2 + ln x. Тоді:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

От і все! Як очевидно з останнього висловлювання, все завдання звелося до обчислення похідної суми.

Відповідь:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos ( x 2 + ln x).

Дуже часто на своїх уроках замість терміну "похідна" я використовую слово "штрих". Наприклад, штрих від суми дорівнює сумі штрихів. Так зрозуміліше? Ну от і добре.

Таким чином, обчислення похідної зводиться до позбавлення цих самих штрихів за правилами, розглянутими вище. Як останній приклад повернемося до похідного ступеня з раціональним показником:

(x n)’ = n · x n − 1

Мало хто знає, що в ролі nцілком може виступати дрібне число. Наприклад, корінь - це x 0,5. А що, коли під корінням стоятиме щось наворочене? Знову вийде складна функція – такі конструкції люблять давати на контрольних роботах та іспитах.

Завдання. Знайти похідну функції:

Для початку перепишемо корінь у вигляді ступеня з раціональним показником:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Тепер робимо заміну: нехай x 2 + 8x − 7 = t. Знаходимо похідну за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Робимо зворотну заміну: t = x 2 + 8x− 7. Маємо:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) · ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Нарешті, повертаємось до коріння:

Нехай функції і визначені в околицях точки і мають у точці похідні. Тоді їх твір має у точці похідну, яка визначається за формулою:
(1) .

Доведення

Введемо позначення:
;
.
Тут і є функціями від змінних та .

Але для простоти запису ми опускатимемо позначення їхніх аргументів.
;
.
Далі зауважуємо, що
;
.
За умовою функції і мають похідні в точці, які є такими межами:
;
.

З похідних випливає, що функції і безперервні в точці .
.
Тому

.
Розглянемо функцію y від змінної x, яка є добутком функцій і:

.

Розглянемо збільшення цієї функції в точці:
.
Тепер знаходимо похідну:

Отже,
.
Правило підтверджено.
(1) .