Математика – це більше, ніж наука, це мова науки.

Датський фізик, громадський діяч Нільс Бор

Логарифмічні рівняння

До типових завдань, пропонованих на вступних (конкурсних) випробуваннях, є завдання, пов'язані з розв'язанням логарифмічних рівнянь. Для успішного вирішення таких завдань необхідно добре знати властивості логарифмів та мати навички їх застосування.

У цій статті спочатку наводяться основні поняття та властивості логарифмів, а потім розглядаються приклади розв'язання логарифмічних рівнянь.

Основні поняття та властивості

Спочатку наведемо основні властивості логарифмів, використання яких дозволяє успішно розв'язувати щодо складні логарифмічні рівняння.

Основне логарифмічне тотожність записується у вигляді

, (1)

До найбільш відомих властивостей логарифмів належать такі рівності:

1. Якщо , , і , то , ,

2. Якщо , , , і , то .

3. Якщо , , і , то .

4. Якщо , , і натуральне число, то

5. Якщо , , і натуральне число, то

6. Якщо , , і , то .

7. Якщо , , і , то .

Більш складні властивості логарифмів формулюються за допомогою таких тверджень:

8. Якщо , , , і , то

9. Якщо , , і , то

10. Якщо , , , і , то

Доказ останніх двох властивостей логарифмів наведено у навчальному посібнику автора "Математика для старшокласників: додаткові розділи шкільної математики" (М.: Ленанд / URSS, 2014).

Також слід зазначити, що функція є зростаючою, якщо , і спадної , якщо .

Розглянемо приклади завдань на розв'язання логарифмічних рівнянь, розташованих у порядку зростання їх складності.

Приклади розв'язання задач

Приклад 1. Вирішити рівняння

. (2)

Рішення.З рівняння (2) маємо . Перетворимо рівняння в такий спосіб: , або .

Так як , то коренем рівняння (2) є.

Відповідь: .

Приклад 2. Вирішити рівняння

Рішення. Рівняння (3) рівносильне рівнянням

Або.

Звідси отримуємо.

Відповідь: .

Приклад 3. Вирішити рівняння

Рішення. З рівняння (4) випливаєщо . Використовуючи основну логарифмічну тотожність (1), можна записати

або .

Якщо покласти то звідси отримуємо квадратне рівняння, яке має два кореніта . Однак, тому та відповідним коренем рівнянняє лише. Так як , то чи .

Відповідь: .

Приклад 4. Вирішити рівняння

Рішення.Області допустимих значень змінноїв рівнянні (5) є.

Нехай і . Оскільки функціяна області визначення є спадною, а функція зростає по всій числовій осі, то рівняння не може мати більше одного кореня.

Підбираємо знаходимо єдиний корінь.

Відповідь: .

Приклад 5. Вирішити рівняння.

Рішення.Якщо обидві частини рівняння прологарифмувати на підставі 10, то

Або.

Вирішуючи квадратне рівняння щодо, отримуємо і. Отже, маємо і .

Відповідь: , .

Приклад 6. Вирішити рівняння

. (6)

Рішення.Скористайтеся тотожністю (1) і перетворюємо рівняння (6) таким чином:

Або.

Відповідь: , .

Приклад 7. Вирішити рівняння

. (7)

Рішення.Зважаючи на властивість 9, маємо . У зв'язку з цим рівняння (7) набуває вигляду

Звідси отримуємо або .

Відповідь: .

Приклад 8. Вирішити рівняння

. (8)

Рішення.Скористаємося властивістю 9 та перепишемо рівняння (8) у рівносильному вигляді.

Якщо потім позначити, то отримаємо квадратне рівняння, де . Оскільки рівняннямає лише один позитивний корінь, або . Звідси випливає .

Відповідь: .

Приклад 9. Вирішити рівняння

. (9)

Рішення. Оскільки з рівняння (9) випливає, то тут. Відповідно до властивості 10, можна записати.

У зв'язку з цим рівняння (9) буде рівносильне рівнянням

Або.

Звідси одержуємо корінь рівняння (9).

Приклад 10. Вирішити рівняння

. (10)

Рішення.Області допустимих значень змінної в рівнянні (10) є . Відповідно до властивості 4 тут маємо

. (11)

Оскільки , те й рівняння (11) набуває вигляду квадратного рівняння , де . Корінням квадратного рівняння є і .

Оскільки, то й. Звідси отримуємо і.

Відповідь: , .

Приклад 11. Вирішити рівняння

. (12)

Рішення.Позначимо тоді і рівняння (12) набуває вигляду

Або

. (13)

Неважко бачити, що коренем рівняння (13) є . Покажемо, що це рівняння іншого коріння не має. Для цього розділимо обидві його частини на і отримаємо рівносильне рівняння

. (14)

Так як функція є спадною, а функція зростаючої по всій числовій осі , то рівняння (14) не може мати більше одного кореня. Так як рівняння (13) та (14) рівносильні, то рівняння (13) має єдиний корінь.

Оскільки, то й.

Відповідь: .

Приклад 12. Вирішити рівняння

. (15)

Рішення.Позначимо та . Так як функція зменшується на області визначення , а функція є зростаючою для будь-яких значень , то рівняння не може мати боді одного кореня. Безпосереднім підбором встановлюємо, що коренем рівняння (15) є .

Відповідь: .

Приклад 13. Вирішити рівняння

. (16)

Рішення.Використовуючи властивості логарифмів, отримуємо

Оскільки , то і маємо нерівність

Отримана нерівність збігається з рівнянням (16) тільки в тому випадку, коли .

Підстановкою значенняу рівняння (16) переконуємось у тому, що є його коренем.

Відповідь: .

Приклад 14. Вирішити рівняння

. (17)

Рішення.Так як тут, то і рівняння (17) набуває вигляду.

Якщо покласти, то звідси отримуємо рівняння

, (18)

де. З рівняння (18) випливає: або . Так як, то рівняння має один відповідний корінь. Однак, тому й.

Приклад 15. Вирішити рівняння

. (19)

Рішення.Позначимо, тоді й рівняння (19) набуває вигляду. Якщо дане рівняння прологарифмувати на підставі 3, то отримаємо

Або

Звідси випливає, що . Оскільки, то й. У зв'язку з цим і .

Відповідь: , .

Приклад 16. Вирішити рівняння

. (20)

Рішення. Введемо параметрі перепишемо рівняння (20) у вигляді квадратного рівняння щодо параметра, тобто.

. (21)

Корінням рівняння (21) є

або . Оскільки , маємо рівняння і . Звідси отримуємо і.

Відповідь: , .

Приклад 17. Вирішити рівняння

. (22)

Рішення.Для встановлення області визначення змінної у рівнянні (22) необхідно розглянути сукупність трьох нерівностей: , і .

Застосовуючи властивість 2, з рівняння (22) отримуємо

Або

. (23)

Якщо у рівнянні (23) покласти, то отримаємо рівняння

. (24)

Рівняння (24) вирішуватимемо наступним чином:

Або

Звідси випливає, як і , тобто. рівняння (24) має два корені: і .

Тому що , то , або , .

Відповідь: , .

Приклад 18. Вирішити рівняння

. (25)

Рішення.Використовуючи властивості логарифмів, перетворюємо рівняння (25) таким чином:

, , .

Звідси отримуємо.

Приклад 19. Вирішити рівняння

. (26)

Рішення.Так як, то.

Далі, маємо. Отже, рівність (26) виконується лише у тому випадку, коли обидві частини рівняння одночасно дорівнюють 2.

Таким чином , рівняння (26) рівносильне системі рівнянь

З другого рівняння системи отримуємо

Або.

Неважко переконатисящо значення задовольняє також першому рівнянню системи.

Відповідь: .

Для більш глибокого вивчення методів розв'язання логарифмічних рівнянь можна звернутися до навчальних посібників зі списку літератури, що рекомендується.

1. Кушнір А.І. Шедеври шкільної математики (завдання та рішення у двох книгах). – Київ: Астарта, Книга 1, 1995. - 576 с.

2. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / За ред. М.І. Сканаві. - М.: Світ та Освіта, 2013. - 608 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшокласників: додаткові розділи шкільної програми. - М.: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.

4. Супрун В.П. Математика для старшокласників: завдання підвищеної складності. - М.: КД "Ліброком" / URSS, 2017. - 200 с.

5. Супрун В.П. Математика для старшокласників: нестандартні методи розв'язання задач. - М.: КД "Ліброком" / URSS, 2017. - 296 с.

Залишились питання?

Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Алгебра 11 клас

Тема: «Методи розв'язання логарифмічних рівнянь»

Цілі уроку:

освітня: формування знань про різні способи розв'язання логарифмічних рівнянь, умінь застосовувати їх у кожній конкретній ситуації та вибирати для вирішення будь-який спосіб;

розвиваюча: розвиток умінь спостерігати, порівнювати, застосовувати знання у новій ситуації, виявляти закономірності, узагальнювати; формування навичок взаємоконтролю та самоконтролю;

виховна: виховання відповідального ставлення до навчальної праці, уважного сприйняття матеріалу під час уроку, акуратності ведення записів.

Тип уроку: урок ознайомлення з новим матеріалом

«Винахід логарифмів, скоротивши роботу астронома, продовжило йому життя».
Французький математик та астроном П.С. Лаплас

Хід уроку

I. Постановка мети уроку

Вивчені визначення логарифму, властивості логарифмів та логарифмічної функції дозволять нам вирішувати логарифмічні рівняння. Всі логарифмічні рівняння, якої б складності вони не були, вирішуються за єдиними алгоритмами. Ці алгоритми розглянемо сьогодні на уроці. Їх не багато. Якщо їх освоїти, то будь-яке рівняння з логарифмами буде посильним кожному з вас.

Запишіть у зошиті тему уроку: «Методи розв'язання логарифмічних рівнянь». Запрошую всіх до співпраці.

ІІ. Актуалізація опорних знань

Підготуємось до вивчення теми уроку. Кожне завдання ви вирішуєте та записуєте відповідь, умову можна не писати. Працюйте у парах.

1) При яких значеннях має сенс функція:

(По кожному слайду звіряються відповіді та розбираються помилки)

2) Чи збігаються графіки функцій?

3) Перепишіть рівності у вигляді логарифмічних рівностей:

4) Запишіть числа у вигляді логарифмів з основою 2:

5) Обчисліть:

6) Спробуйте відновити або доповнити елементи, що відсутні, в даних рівностях.

ІІІ. Ознайомлення з новим матеріалом

Демонструється на екрані вислів:

«Рівняння – це золотий ключ, який відкриває всі математичні сезами».
Сучасний польський математик С. Коваль

Спробуйте сформулювати визначення логарифмічного рівняння. (Рівняння, що містить невідоме під знаком логарифму).

Розглянемо найпростіше логарифмічне рівняння:logаx = b(Де а>0, a ≠ 1). Так як логарифмічна функція зростає (або зменшується) на безлічі позитивних чисел і приймає всі дійсні значення, то за теоремою про корені слідує, що для будь-якого b дане рівняння має, і притому тільки одне рішення, причому позитивне.

Згадайте визначення логарифму. (Логарифм числа х на підставі а - це показник ступеня, в який треба звести основу а, щоб отримати число х). З визначення логарифму відразу випливає, що авє таким рішенням.

Запишіть заголовок: Методи розв'язання логарифмічних рівнянь

1. За визначенням логарифму.

Так вирішуються найпростіші рівняння виду.

Розглянемо № 514(а): Вирішити рівняння

Як ви пропонуєте його вирішувати? (За визначенням логарифму)

Рішення. , звідси 2х – 4 = 4; х = 4.

У цьому вся заданні 2х - 4 > 0, оскільки > 0, тому сторонніх коренів з'явитися неспроможна, і перевірку не потрібно робити. Умову 2х – 4 > 0 у цьому завданні виписувати не треба.

2. Потенціювання(перехід від логарифму даного виразу до цього виразу).

Розглянемо №519(г): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Яку особливість ви помітили? (Підстави однакові та логарифми двох виразів рівні). Що можна зробити? (Потенціювати).

При цьому треба враховувати, що будь-яке рішення міститься серед усіх х, для яких вирази, що логарифмуються, позитивні.

Рішення: ОДЗ:

X2+8>0 зайва нерівність

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Потенціюємо вихідне рівняння

отримаємо рівняння x2+8=8x+8

Вирішуємо його: x2-8x=0

Відповідь: 0; 8

Загалом переходом до рівносильної системи:

Рівняння

(Система містить надмірну умову - одна з нерівностей можна не розглядати).

Питання класу: Яке з цих трьох рішень вам найбільше сподобалося? (Обговорення методів).

Ви маєте право вирішувати у будь-який спосіб.

3. Введення нової змінної.

Розглянемо № 520(г). .

Що ви помітили? (Це квадратне рівняння щодо log3x) Ваші пропозиції? (Ввести нову змінну)

Рішення. ОДЗ: х > 0.

Нехай тоді рівняння набуде вигляду:. Дискримінант D > 0. Коріння за теоремою Вієта:.

Повернімося до заміни: або .

Розв'язавши найпростіші логарифмічні рівняння, отримаємо:

Відповідь: 27;

4. Логарифмування обох частин рівняння.

Вирішити рівняння:.

Рішення: ОДЗ: х>0, прологарифмуємо обидві частини рівняння на підставі 10:

Застосуємо властивість логарифму ступеня:

(lgx + 3) lgx = 4

Нехай lgx = y, тоді (у + 3) у = 4

, (D > 0) коріння за теоремою Вієта: у1 = -4 і у2 = 1.

Повернемося до заміни, отримаємо: lgx = -4,; lgx = 1, .

Відповідь: 0,0001; 10.

5. Приведення до однієї основи.

№ 523(в). Розв'яжіть рівняння:

Рішення: ОДЗ: х>0. Перейдемо до основи 3.

6. Функціонально-графічний метод.

№ 509(г).Розв'язати графічно рівняння: = 3 – x.

Як ви пропонуєте вирішувати? (Будувати за точками графіки двох функцій у = log2x та y = 3 - x і шукати абсцису точок перетину графіків).

Подивіться ваше рішення на слайді.

Є спосіб, що дозволяє не будувати графіки . Він полягає в наступному : якщо одна з функційу = f(x) зростає, а інша y = g(x) зменшується на проміжку Х, то рівняння f(x)= g(x) має не більше одного кореня на проміжку Х.

Якщо корінь є, його можна вгадати.

У нашому випадку функція зростає при х>0, а функція y = 3 - x зменшується при всіх значеннях х, у тому числі і при х>0, отже, рівняння має не більше одного кореня. Зауважимо, що з х = 2 рівняння звертається у правильну рівність, оскільки .

«Правильному застосуванню методів можна навчитися,
лише застосовуючи їх у різних прикладах».
Данський історик математики Г. Г. Цейтен

IV. Домашнє завдання

П. 39 розглянути приклад 3, вирішити № 514(б), № 529(б), №520(б), №523(б)

V. Підбиття підсумків уроку

Які методи розв'язання логарифмічних рівнянь ми розглянули на уроці?

На наступних уроках розглянемо складніші рівняння. Для їх вирішення знадобляться вивчені методи.

Демонструється останній слайд:

«Що є найбільше у світі?
Простір.
Що наймудріше?
Час.
Що найприємніше?
Досягти бажаного».
Фалес

Бажаю всім досягти бажаного. Дякую за співпрацю та розуміння.

Логарифмічні рівняння. Від простого – до складного.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке логарифмічне рівняння?

Це рівняння із логарифмами. Ось здивував, так?) Тоді уточню. Це рівняння, в якому невідомі (ікси) та вирази з ними знаходяться всередині логарифмів.І лише там! Це важливо.

Ось вам приклади логарифмічних рівнянь:

log 3 х = log 3 9

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

log х +1 (х 2 +3х-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Ну ви зрозуміли... )

Зверніть увагу! Найрізноманітніші вирази з іксами розташовуються виключно усередині логарифмів.Якщо, раптом, у рівнянні виявиться ікс десь зовні, наприклад:

log 2 х = 3+х,

це вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння немає чітких правил решения. Ми їх поки що розглядати не будемо. До речі, трапляються рівняння, де всередині логарифмів тільки числа. Наприклад:

Що тут сказати? Пощастило вам, якщо таке трапилося! Логарифм з числами – це якесь число.І все. Достатньо знати властивості логарифмів, щоби вирішити таке рівняння. Знання спеціальних правил, прийомів, пристосованих саме для вирішення логарифмічних рівнянь,тут не потрібно.

Отже, що таке логарифмічне рівняння- Розібралися.

Як розв'язувати логарифмічні рівняння?

Рішення логарифмічних рівнянь- Штука, взагалі-то, не дуже проста. Так і розділ у нас - на четвірку... Потрібний пристойний запас знань з будь-яких суміжних тем. Крім того, існує у цих рівняннях особлива фішка. І фішка це настільки важлива, що її сміливо можна назвати головною проблемою у вирішенні логарифмічних рівнянь. Ми з цією проблемою у наступному уроці детально розберемося.

А зараз – не хвилюйтеся. Ми підемо правильним шляхом, від простого до складного.на конкретних прикладах. Головне, вникайте у прості речі і не лінуйтеся ходити за посиланнями, я їх не просто так поставив... І все у вас вийде. Обов'язково.

Почнемо з найпростіших рівнянь. Для їх вирішення бажано мати уявлення про логарифм, але не більше. Просто без поняття логарифма,братися за рішення логарифмічнихрівнянь - якось і ніяково навіть... Дуже сміливо, я б сказав).

Найпростіші логарифмічні рівняння.

Це рівняння виду:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2х-3) = log 7 х

3. log 7 (50х-1) = 2

Процес вирішення будь-якого логарифмічного рівнянняполягає у переході від рівняння з логарифмами до рівняння без них. У найпростіших рівняннях цей перехід здійснюється одним кроком. Тому й найпростіші.)

І вирішуються такі логарифмічні рівняння напрочуд просто. Дивіться самі.

Вирішуємо перший приклад:

log 3 х = log 3 9

Для вирішення цього прикладу майже нічого знати і не треба, так... Чисто інтуїція! особливоне подобається у цьому прикладі? Що-що... Логарифми не подобаються! Правильно. От і позбудемося їх. Уважно дивимося на приклад, і у нас виникає природне бажання... Прямо-таки непереборне! Взяти та викинути логарифми взагалі. І, що тішить, це можна, можливозробити! Математика дозволяє. Логарифми зникають,виходить відповідь:

Здорово, правда? Так можна (і треба) робити завжди. Ліквідація логарифмів подібним чином - один із основних способів розв'язання логарифмічних рівнянь та нерівностей. У математиці ця операція називається потенціювання.Є, звісно, ​​свої правила на таку ліквідацію, але їх замало. Запам'ятовуємо:

Ліквідувати логарифми без жодних побоювань можна, якщо вони:

а) однакові числові підстави

в) логарифми зліва-право чисті (без будь-яких коефіцієнтів) і перебувають у гордій самоті.

Поясню останній пункт. У рівнянні, скажімо,

log 3 х = 2log 3 (3х-1)

прибирати логарифми не можна. Двійка справа не дозволяє. Коефіцієнт, розумієш... У прикладі

log 3 х+log 3 (х+1) = log 3 (3+х)

теж не можна потенціювати рівняння. У лівій частині немає самотнього логарифму. Їх там два.

Коротше, прибирати логарифми можна, якщо рівняння виглядає так і тільки так:

log а (.....) = log а (.....)

У дужках, де багатокрапка, можуть бути які завгодно висловлювання.Прості, суперскладні, усілякі. Які завгодно. Важливо, що після ліквідації логарифмів у нас залишається Найпростіше рівняння.Передбачається, звичайно, що вирішувати лінійні, квадратні, дробові, показові та інші рівняння без логарифмів ви вже вмієте.

Тепер легко можна вирішити другий приклад:

log 7 (2х-3) = log 7 х

Власне, в голові вирішується. Потенціюємо, отримуємо:

Ну що, дуже складно?) Як бачите, логарифмічначастина рішення рівняння полягає тільки у ліквідації логарифмів.А далі йде рішення рівняння, що залишилося, вже без них. Пустельна справа.

Вирішуємо третій приклад:

log 7 (50х-1) = 2

Бачимо, що зліва стоїть логарифм:

Згадуємо, що це логарифм - якесь число, у якому треба звести основу (тобто. сім), щоб отримати подлогарифмное вираз, тобто. (50х-1).

Але це число одно двом! За рівнянням. Стало бути:

Ось по суті, і все. Логарифм зник,залишилося невинне рівняння:

Ми вирішили це логарифмічне рівняння, виходячи тільки з сенсу логарифму. Що, ліквідувати логарифми таки простіше?) Згоден. До речі, якщо з двійки логарифм зробити, можна цей приклад і через ліквідацію вирішити. З будь-якого числа можна зробити логарифм. Причому такий, який нам треба. Дуже корисний прийом у розв'язанні логарифмічних рівнянь та (особливо!) нерівностей.

Чи не вмієте з числа логарифм робити!? Нічого страшного. У розділі 555 цей прийом докладно описано. Можете освоїти та застосовувати його на повну котушку! Він дуже зменшує кількість помилок.

Абсолютно аналогічно (за визначенням) вирішується і четверте рівняння:

Ось і всі справи.

Підіб'ємо підсумки цього уроку. Ми розглянули на прикладах вирішення найпростіших логарифмічних рівнянь. Це дуже важливо. І не лише тому, що такі рівняння бувають на контрольних-іспитах. Справа в тому, що навіть найзліші та заморочені рівняння обов'язково зводяться до найпростіших!

Власне, найпростіші рівняння – це фінішна частина рішення будь-якихрівнянь. І цю фінішну частину треба розуміти залізно! І ще. Обов'язково прочитайте цю сторінку до кінця. Є там сюрприз...)

Вирішуємо тепер самостійно. Набиваємо руку, так би мовити...)

Знайти корінь (або суму коренів, якщо їх кілька) рівнянь:

ln(7х+2) = ln(5х+20)

log 2 (х 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5х-1,5) = 0,25

log 0,2 (3х-1) = -3

ln(е 2 +2х-3) = 2

log 2 (14х) = log 2 7 + 2

Відповіді (безладно, зрозуміло): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Що, не все виходить? Буває. Не журіться! У розділі 555 рішення всіх цих прикладів розписано зрозуміло та докладно. Там точно розберетеся. Та ще й корисні практичні прийоми опануйте.

Все вийшло!? Усі приклади "однієї лівої"?) Вітаю!

Настав час відкрити вам гірку правду. Успішне вирішення цих прикладів зовсім не гарантує успіх у вирішенні решти всіх логарифмічних рівнянь. Навіть найпростіших, подібних до цих. На жаль.

Річ у тім, що рішення будь-якого логарифмічного рівняння (навіть найпростішого!) складається з двох рівноцінних елементів.Рішення рівняння та робота з ОДЗ. Одну частину – рішення самого рівняння – ми освоїли. Не так вже й важко,вірно?

Для цього уроку я спеціально підібрав такі приклади, в яких ОДЗ на відповіді ніяк не позначається. Але не всі такі добрі, як я, правда?

Тому треба обов'язково освоїти й іншу частину. ОДЗ. Це і є головна проблема у вирішенні логарифмічних рівнянь. І не тому, що важка – ця частина ще простіше за першу. А тому, що про ОДЗ просто забувають. Або не знають. Або і те, й інше). І падають на рівному місці...

У наступному уроці ми розправимося з цією проблемою. Ось тоді можна буде впевнено вирішувати будь-якінескладні логарифмічні рівняння та підбиратися до цілком солідних завдань.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Перш ніж вирішувати логарифмічні рівняння, повторимо ще раз визначення логарифму та основні формули.

Логарифмпозитивного числа bна підставі a- це показник ступеня, в який треба звести a, Щоб отримати b.

При цьому class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

Звернімо увагу на область допустимих значень логарифму:

class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">. !}

Основна логарифмічна тотожність:

Основні формули для логарифмів:

(Логарифм твору дорівнює сумі логарифмів)

(Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів)
(Формула для логарифму ступеня)

Формула переходу до нової основи:

Ми знаємо, як виглядає графік логарифмічної функції. Ця функція монотонна. Якщо основа логарифму більше одиниці, логарифмічна функція монотонно зростає. Якщо основа більша за нуль і менше одиниці, логарифмічна функція монотонно зменшується. І в будь-якому випадку кожне своє значення вона набуває лише один раз. Це означає, що й логарифми двох чисел з якого-небудь підставі рівні, то й самі числа.

Все це стане нам у нагоді у вирішенні логарифмічних рівнянь.

Найпростіші логарифмічні рівняння

1.Рішіть рівняння:

Підстави логарифмів рівні, самі логарифми теж рівні – отже, рівні числа, яких вони беруться.
Зазвичай учні запам'ятовують це правило у короткому жаргонному формулюванні: «Відкинемо логарифми!» Звичайно, ми "відкидаємо" їх не просто так, а користуючись властивістю монотонності логарифмічної функції.

Отримуємо:

Вирішуючи логарифмічні рівняння, не забуваємо про область допустимих значеньлогарифму. Пам'ятаємо, що вираз визначено при class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

Дуже добре, якщо ви, знайшовши корінь рівняння, просто підставте його до рівняння. Якщо після такої підстановки ліва чи права частина рівняння немає сенсу – отже, знайдене число перестав бути коренем рівняння і може бути відповіддю задачі. Це добрий спосіб перевірки на ЄДІ.

2. Розв'яжіть рівняння:

У лівій частині рівняння – логарифм, у правій – число 7. Застосувавши основне логарифмічне тотожність, представимо число 7 як . Далі все просто.

Відповідь: -124

3. Розв'яжіть рівняння:

Чи бачите число 2 перед логарифмом у правій частині рівняння? Тепер воно заважає вам «відкинути логарифми». Що з ним зробити, щоб у лівій та правій частинах були просто логарифми на підставі 5? Звичайно, допоможе формула для логарифму ступеня.

4. Розв'яжіть рівняння:

Область допустимих значень: class="tex" alt="4-x> 0)."> Значит, class="tex" alt="x>-4.">!}

Представимо 2 у правій частині рівняння як - щоб ліворуч і праворуч у рівнянні були логарифми на підставі 5.

Функція монотонно зростає і кожне своє значення набуває рівно один раз. Логарифми рівні, їх основи рівні. «Відкинемо» логарифми! Звичайно, при цьому class="tex" alt="x> -4">.!}

5. Розв'яжіть рівняння:

Запишемо рішення як ланцюжок рівносильних переходів. Записуємо ОДЗ та «прибираємо» логарифми:

Class="tex" alt="\log _(8)\left (x^(2)+x \right)=\log _(8)\left (x^(2)-4 \right )\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x^(2)+x=x^(2)-4 \ end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x=-4 \end(matrix)\ right.\Leftrightarrow x=-4">!}
Відповідь: -4.

Зауважимо, що розв'язання логарифмічних рівнянь найкраще записувати як ланцюжка рівносильних переходів. Це допоможе нам не забути про область допустимих значень.

6.Рішіть рівняння: .

Перейдемо від логарифму на підставі 4 (у показнику) до логарифму на підставі 2. Ми робимо це за формулою переходу до іншої основи:

Запишемо рішення як ланцюжок рівносильних переходів.

Class="tex" alt="2^(\log _(4)\left (4x+5 \right))=9\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) 2^\frac(( \log _(2)\left (4x+5 \right)))(2)=9\\ 4x+5> 0 \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \left (2^(\log _(2)\left (4x+5 \right)) \right)^(\frac(1)(2))=9\x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \left (4x+5 \right)^(\frac(1)(2))=9\x> -1\frac( 1)(4) \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \sqrt(4x+5)=9\x> -1\frac(1)(4) \end( matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) 4x+5=81\x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\ begin(matrix) x=19\x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.">!}

7.Рішіть рівняння: .

Зверніть увагу: змінна хі під логарифмом, і на підставі логарифму. Ми пам'ятаємо, що основа логарифму має бути позитивною і не дорівнює 1.

ОДЗ:
class="tex" alt="\left\(\begin(matrix) 12-x> 0\x> 0\x\neq 1 \end(matrix)\right."">!}

Тепер можна "прибрати" логарифми.

Стороннє коріння, оскільки має виконуватися умова class="tex" alt="x> 0">.!}

8. Розв'яжіть рівняння .

ОДЗ рівняння: class="tex" alt="x> 0">!}

Зробимо заміну. Як і в рівняннях алгебри, ми робимо заміну змінної завжди, коли тільки можливо.

Повернемося до змінної х:

9.Рішіть рівняння:

Вираз під логарифмом завжди позитивний – оскільки до невід'ємної величини додаємо 25. Вираз під коренем у правій частині також позитивний. Значить, хможе бути будь-яким дійсним числом.

Представимо суму логарифмів у лівій частині як логарифм твору. У правій частині – перейдемо до логарифму на підставі 3. І використовуємо формулу логарифму ступеня.

"Відкидаємо" логарифми.

Таке рівняння називається біквадратним. У нього входять вирази та . Зробимо заміну

Повернемося до змінної х. Отримаємо:

Ми знайшли все коріння вихідного рівняння.

Логарифмічні рівняння можуть зустрітися вам і в завданні №5 Профільного ЄДІ з математики, і в завданні №13. І якщо завдання №5 потрібно вирішити найпростіше рівняння, то задачі 13 рішення складається з двох пунктів. Другий пункт – відбір коренів на заданому відрізку чи інтервалі.