Pogosto se preobrazba in poenostavitev matematičnih izrazov zahteva prehod iz korenin na stopinje in obratno. Ta članek Povem, kako prenesti koren na stopnjo in nazaj. Teorija se šteje praktični primeri In najpogostejše napake.

Prehod iz stopenj z delnicami za korenine

Recimo, da imamo številko z indikatorjem v obliki navadni sanja - m n. Kako posneti takšen izraz v obliki korena?

Odgovor izhaja iz stopnje same stopnje!

Opredelitev

Pozitivno število A do stopnje M N je koren stopnje N izmed m.

Hkrati je treba pogoj izvesti:

a\u003e 0; m ∈ ℤ; N ∈ ℕ.

Delna stopnja števila nič je opredeljena na enak način, vendar je v tem primeru številka m, ki ni celo, in naravno, tako da se ne pojavi na 0:

0 m n \u003d 0 m n \u003d 0.

V skladu z opredelitvijo lahko stopnja MP zastopa kot koren A M N.

Na primer: 3 2 5 \u003d 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 \u003d 1 2 3 - 3 4.

Vendar, kot je bilo že omenjeno, ne smemo pozabiti na pogoje: a\u003e 0; m ∈ ℤ; N ∈ ℕ.

Torej, izraz - 8 1 3 ni mogoče zastopati kot 8 1 3, saj snemanje - 8 1 3 preprosto nima smisla - definirana stopnja negativnih številk. V tem je koren je 8 1 3 je smiselno .

Prehod iz stopenj z izrazom na tleh in frakcijskih kazalnikih se izvede podobno na celotnem območju dovoljenih vrednosti (v nadaljnjem besedilu OTZ) začetnih izrazov na dnu stopnje.

Na primer, izraz x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 se lahko zastopa v obliki kvadratnega korena x 2 + 2 x + 1 - 4. stopnja v stopnji x 2 + x · y · z - Z 3 - 7 3 gre v izraz x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 za vse X, Y, Z od OTZ tega izraza.

Povratno zamenjavo korenin stopenj, ko so izrazi z diplomo posneti namesto izražanja s korenom. Samo obrnite enakost iz prejšnje postavke in dobite:

Ponovno je prehod očiten pri pozitivnih številkah a. Na primer, 7 6 4 \u003d 7 6 4 ali 2 7 - 5 3 \u003d 2 7 - 5 3.

Za negativne so korenine smiselne. Na primer - 4 2 6, - 2 3. Da bi predstavili te korenine v obliki stopenj - 4 2 6 in - 2 1 3 ne more.

Ali lahko na splošno pretvorim takšne izraze z diplomami? Da, če naredite nekaj predhodnih transformacij. Razmislite, kaj.

Uporaba lastnosti stopenj, lahko izvedete pretvorbo ekspresije - 4 2 6.

4 2 6 \u003d - 1 2 · 4 2 6 \u003d 4 2 6.

Od 4\u003e 0, lahko napišete:

V primeru korena liho stopnje iz negativnega števila, lahko napišete:

2 m + 1 \u003d - 2 m + 1.

Potem bo izraz - 2 3 vzel obliko:

2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .

Zdaj bomo razumeli korenine, pod katerimi so izraze vsebovane, nadomeščene s stopnjami, ki vsebujejo te izraze na dnu.

Označuje pismo o nekem izrazu. Vendar pa ne bomo naglili z M N pogledom kot M n. Pojasnimo, kaj je namenjeno tukaj. Na primer, izraz X - 3 2 3, ki temelji na enakosti od prve točke, bi želel biti predstavljen kot X - 3 2 3. Takšna zamenjava je možna le pri X - 3 ≥ 0, in ne ustreza preostalemu X OTZ, ker za negativno formulo A M N \u003d A M N ne pomeni smisla.

Tako je v obravnavanem primeru pretvorba obrazca A M N \u003d A M N, pretvorba, ki jo suspendirajo z OTZ, in zaradi ne-natančne uporabe s formulo A M N \u003d A M N, se pogosto pojavijo napake.

Če se želite pravilno premakniti iz korena A M N na stopnjo M N, morate slediti več elementov:

  • V primeru, da je številka M celo število in liho, in n je naravna in celo, nato pa je formula A M N \u003d A M N, je veljavna po vsej OTZ spremenljivkah.
  • Če je m celo število in liho, in n je naravni in čuden, potem je lahko zamenjan izraz, ki ga je mogoče zamenjati:
    - na m n za vse vrednosti spremenljivk, na katerih ≥ 0;
    - na - - - a m n za vse vrednosti spremenljivk, v katerih a< 0 ;
  • Če je m celo število in celo, in n - vse naravna številka, M n se lahko nadomesti z m n.

Zmanjšali bomo vsa ta pravila v tabeli in dali nekaj primerov njihove uporabe.

Vrnimo se v izraz X - 3 2 3. Tukaj m \u003d 2 - celota in sodo število, in n \u003d 3 - naravna številka. Torej, izraz X - 3 2 3 bo pravilno zabeležil kot:

x - 3 2 3 \u003d X - 3 2 3.

Naredimo še en primer s koreninami in stopnjami.

Primer. Prevodna korenina v stopnjo

x + 5 - 3 5 \u003d x + 5 - 3 5, x\u003e - 5 - - x - 5 - 3 5, x< - 5

Upravičujemo rezultate, podane v tabeli. Če je številka M celo število in liho, in n je naravna in celo, za vse spremenljivke iz OTZ v ekspresijo A M N, vrednost A pozitivna ali nenegenvna (pri M\u003e 0). Zato je m n \u003d a m n.

V drugi izvedbi, ko je m celo število, pozitivno in liho, in n je naravna in nenavadna, so vrednosti m n ločena. Za spremenljivke iz OTZ, na kateri A je neneven, a m n \u003d a m n \u003d a m n. Za spremenljivke, na kateri je a negativen, dobimo M N \u003d - A M N \u003d - 1 m · A M N \u003d - A M N \u003d - A M N \u003d - A M N.

Podobno upoštevamo naslednji primer, ko je m celo število in celo, in n je vsako naravno število. Če je vrednost A pozitivna ali nevede, potem za takšne vrednosti spremenljivk iz OTZ A M N \u003d A M N \u003d A M N. Za negativno a, dobimo m n \u003d - a m n \u003d - 1 m · a m n \u003d a m n \u003d a m n.

Tako je v tretjem primeru za vse spremenljivke iz OTZ, je mogoče napisati a m n \u003d a m n.

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

Za izvleček korena v Excelu in gradnjo števila v obsegu se uporabljajo vgrajene funkcije in matematične operaterje. Razmislite na primere.

Primeri funkcije korena v Excelu

Vgrajena funkcija korena vrne pozitivno vrednost kvadratnega korena. V meniju »Funkcije« je v kategoriji »Matematična«.

Sintaksa funkcija: \u003d koren (število).

Edini in obvezni argument je pozitivno število, za katerega funkcija izračuna kvadratni koren. Če je argument negativni pomen., Excel bo vrnil številko napake #!

Kot argument, lahko določite določeno vrednost ali povezavo do celice s številsko vrednostjo.

Razmislite o primerih.

Funkcija je vrnila kvadratni koren številke 36. Argument je dokončna vrednost.

Funkcija ABS vrne absolutno vrednost števila -36. Njegova uporaba je omogočila, da se izognete napaki pri odstranjevanju kvadratnega korena iz negativnega števila.

Funkcija je odstranila kvadratni koren iz vrednosti 13 in vrednosti C1 celice.



Funkcija izvajanja v Excelu

Funkcija sintakse: \u003d stopnja (vrednost; število). Oba argumenta sta obvezna.

Vrednost - vsaka dejanska numerična vrednost. Številka je kazalnik stopnje, v kateri mora biti določena vrednost povišana.

Razmislite o primerih.

V celici C2 - rezultat postavitve števila 10 na kvadrat.

Funkcija je vrnila številko 100, ki je bila postavljena na ¾.

Z uporabo upravljavca

Da bi poimenovali številke v Excelu, lahko uporabite matematični operater "^". Uvesti, da pritisne na Shift + 6 (z angleško postavitev tipkovnice).

Če želite Excel zaznani vnos informacij kot formulo, najprej postavite znak "\u003d". Potem je tu števka, ki jo je treba sprejeti v stopnjo. In po ikoni "^" - vrednost stopnje.

Namesto vsake vrednosti te matematične formule lahko uporabite povezave do celic s številkami.

To je priročno, če morate zgraditi veliko vrednot.

Kopiranje formule v celoten stolpec, hitro prejel rezultate postavitve številk v stolpcu A do tretje stopnje.

Odstranjevanje korenin N-TH stopnje

Koren je kvadratna korenska funkcija v Excelu. In kako izvleči koren tretje, 4. in druge stopnje?

Spomnimo enega izmed matematičnih zakonov: izvleček root n-th Stopnja je treba zgraditi številko 1 / n.

Na primer, za izvleček kubične koren gradimo številko 1/3.

S formulo uporabljamo, da ekstrahiramo korenine različnih stopinj v Excelu.

Formula je vrnila vrednost kubične korena izmed 21. Za izgradnjo delne stopnje je bil uporabljen upravljavec "^".


Preoblikovanje izrazov s koreninami in stopnjami pogosto zahteva prehode iz korenin na stopnje in nazaj. V tem članku bomo analizirali, kako se izvajajo takšni prehodi, ki temeljijo na njih, in v tem, kar se pojavijo nekaj pogosto napak. Vse to bo opremljeno z značilnimi primeri s podrobnimi analizami rešitev.

Navigacijska stran.

Prehod iz stopenj z delnicami za korenine

Možnost prehoda na stopnjo s frakcijskim kazalnikom do korena je narekovana z določitvijo stopnje. Spomnimo se, kako se določi: stopnja pozitivnega števila a z delcem indikatorjem M / N, kjer je m celo število, in n je naravno število, ki se imenuje koren N-TH stopnjo iz AM, to je, kjer je a \u003e 0, M∈Z, N∈ N. Podobno je določena delna stopnja nič , z edino razliko, da je v tem primeru M že šteje za celotno, ampak naravno, tako da se ne pojavi na nič.

Tako se lahko stopnja vedno nadomesti z korenom. Na primer, lahko greš, in stopnja se lahko nadomesti z korenom. Vendar se ne sme premakniti iz izraza v korenino, saj stopnja sprva nima smisla (stopnja negativnih števil ni določena), kljub dejstvu, da je koren smiselno.

Kot lahko vidite, v prehodu iz stopenj števil v korenine, ni nič modrosti. Podobno je prehod na korenine iz stopenj z frakcijskimi kazalniki, na podlagi katerih obstajajo poljubni izrazi. Upoštevajte, da se določen prehod izvede na spremenljivkah OTZ za začetni izraz. Na primer, izraz Na vseh ... comp, x za ta izraz lahko zamenjate s korenom . In iz stopnje Pojdi v Korni. Takšna zamenjava poteka za kateri koli nabor spremenljivk X, Y in Z od OTZ za izvirni izraz.

Zamenjava korenin stopenj

Povratno zamenjavo je možno, to je zamenjava korenin do stopnje z frakcijskimi kazalniki. To temelji tudi na enakosti, ki se v tem primeru uporablja na desno levo, to je v obliki.

Za pozitivno A, je določen prehod očiten. Na primer, lahko zamenjate diplomo in od korena, da se premaknete v stopnjo s frakcijsko indikatorjem vrst.

In z negativnim A, enakost nima smisla, vendar je koren lahko smiselno. Na primer, korenine in smiselno, vendar jih je nemogoče zamenjati z diplomami. Torej je mogoče, da jih je mogoče preoblikovati na splošno v izrazih z diplomami? Možno je, če lahko izvedete predhodne transformacije, ki so sestavljene iz prehoda na korenine z ne-negativnimi številkami pod njimi, ki kasneje zamenjajo stopnje z frakcijskimi kazalniki. Pokazali bomo, kaj so te predhodne transformacije in kako jih porabiti.

V primeru koren vam omogoča, da opravite take transformacije: . Ker je 4 pozitivno število, se lahko zadnji koren nadomesti z diplomo. In v drugem primeru določanje korena neparne stopnje od negativnega števila -A (hkrati A - pozitivno), izraženo z enakostjo , omogoča, da koren nadomesti izraz, v katerem je lahko kubični koren dveh, ki ga je mogoče zamenjati s stopnjo, in da bo v obliki.

Še vedno je razstaviti, kako se korenine zamenjajo, pod katerimi se nahajajo izrazi, do stopenj, ki vsebujejo te izraze na dnu. Tukaj ne bi smeli pohiteti z zamenjavo, črko A smo določili nekaj izražanja. Dajmo zgled, ki pojasnjuje, da je to mišljeno s tem. Koren in želijo zamenjati stopnjo, ki temelji na enakosti. Toda taka zamenjava je primerna le pod pogojem x-3≥0, in za preostale vrednosti spremenljivke X od ... izpolnjujejo pogoj X-3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

Zaradi take nefrektne uporabe se formule pogosto pojavijo pri prehodu iz korenin na stopinje. Na primer, nalog je podana v učbeniku, da predloži izraz v obliki stopnje z racionalnim indikatorjem, in odgovor je na voljo, da vprašanja vprašanja, saj pogoj ni omejena B\u003e 0. In v učbeniku je prehod iz izraza najverjetneje z naslednjimi transformacijami iracionalnega izraza

Izražanja. Zadnji prehod prav tako sproža vprašanja, kot se zoži.

Obstaja naravno vprašanje: "Kako se pravilno premakniti iz korena do stopnje za vse vrednosti spremenljivk iz OTZ"? Takšna zamenjava se izvaja na podlagi naslednjih izjav: \\ t


Pred utemeljitvijo posnetih rezultatov, dajemo več primerov njihove uporabe, da se premaknete od korenin na stopnje. Za začetek, nazaj v izraz. To je treba nadomestiti, ne na, ampak na (v tem primeru, m \u003d 2 je celo eno, n \u003d 3 - naravno). Drug primer: .

Zdaj obljubljena utemeljitev rezultatov.

Ko je M cel čuden, in n je naravna, tudi za kateri koli nabor spremenljivk iz OTZ, da izrazi vrednost izraza pozitivno (če m<0 ) или неотрицательно (если m>0). .

Pojdite na drugi rezultat. Naj bo m cela pozitivna, in n je naravno čudno. Za vse vrednosti spremenljivk iz OTZ, za katere je vrednost ekspresije A neprekinjena, in za katere so negativni

Podobno dokazano naslednji rezultat. Za celotno negativno in nenavadno m in naravno liho n. Za vse vrednosti spremenljivk iz OTZ, za katere je vrednost izraza pozitivno, in za katere so negativni

Končno, zadnji rezultat. Naj bo m celo eno, n je vse naravno. Za vse vrednosti spremenljivk iz OTZ, za katere je vrednost izraza A pozitivna (če je m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . In za katere je negativen ,. Torej, če je m celo eno, N je vse naravno, potem za kateri koli nabor variabilnih vrednosti iz OTZ, da ga izraziti, ga lahko zamenjate.

Bibliografija.

  1. Algebra in začetna analiza: študije. Za 10-11 cl. Splošna izobrazba. Institucije / A. N. KOLMOGOROV, A. M. ABRAMOV, YU. P. Dudnitsyn itd.; Ed. A. N. KOLMOGOROVA.- 14. ED. - M.: Razsvetljenje, 2004.- 384 C.: IL.- ISBN 5-09-013651-3.
  2. Algebra In začetek matematična analiza. 11. razred: Študije. Za splošno izobraževanje. Institucije: Osnovni in profil. Ravni / [Y. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; Ed. A. B. Zhizchenko. - M.: Razsvetljenje, 2009.- 336 C.: IL.- ISBN 979-5-09-016551-8.

Čas je za razstavljanje metode za ekstrakcijo korenin. Temeljijo na lastnosti korenin, zlasti na enakosti, ki velja za vsako ne-negativno število B.

V nadaljevanju se obrnemo na osnovne načine, da ekstrahirajo korenine.

Začnimo z najpreprostejšim primerom - z ekstrakcijo korenin iz naravnih številk s kvadratno mizo, kocke tabel itd.

Če kvadratne mize, kocke itd. Ni rok, logično je, da uporabite način ekstrahiranja korena, ki pomeni razgradnjo spodnjega števila na preproste dejavnike.

Ločeno, vredno je ustaviti, kaj je mogoče za korenine z lihimi kazalniki.

Končno, razmislite o metodi, ki vam omogoča, da zaporedoma najdete izpustne vrednosti korena.

Nadaljujmo.

Uporaba kvadratnih miz, tabel kocke itd.

V najzahtevnih primerih odstranitev korenin omogočajo tabele kvadratov, kocke itd. Kaj so te tabele?

Tabela kvadratov celih števil od 0 do 99 inclusive (prikazana je spodaj) je sestavljena iz dveh con. Prva cona tabele se nahaja na sivem ozadju, uporablja se določen niz, določen stolpec pa vam omogoča, da naredite številko od 0 do 99. Na primer, izberite niz 8 ducat in stolpcev 3 enote, smo popravili številko 83. Druga cona zavzema preostali del tabele. Vsaka celica je na križišču določene vrstice in določenega stolpca in vsebuje kvadrat ustreznega števila od 0 do 99. Na križišču izbrane vrstice 8 ducat in stolpcev 3 enote je celica s številnim 6 889, ki je kvadrat številke 83.


Tabele kock, tabele četrte stopenj števil od 0 do 99 in tako na podoben tabeli kvadratov, samo v drugi coni vsebujejo Kubo, četrto stopnjo itd. Ustrezne številke.

Kvadratne mize, kocke, četrte stopnje itd. Dovoli kvadratne korenine, kubične korenine, četrte stopnje korenin itd. V skladu s tem, od številk v teh tabelah. Pojasnite načelo njihove uporabe pri pridobivanju korenin.

Recimo, da moramo iztisnite koren N-stopnje med številko A, in številka A je vsebovana v tabeli N-TREED. Na tej tabeli najdemo številko B tako, da a \u003d b n. Potem Zato bo številka B želena koren N-stopnje.

Kot primer bomo pokazali, kako se kubični koren iz 19.683 ekstrahira s kubično mizo. Številka 19,683 v tabeli kock, od tega smo ugotovili, da je ta številka kocka številk 27, zato .


Jasno je, da so tabele N-niti zelo priročne, ko so korenine odstranjene. Vendar pa pogosto niso pri roki, njihova kompilacija pa zahteva določen čas. Poleg tega je pogosto potrebno ekstrahirati korenine iz številk, ki niso vsebovane v ustreznih tabelah. V teh primerih se morate zatečiti k drugim načinom pridobivanja korenin.

Razgradnjo podtokopetne številke na preprostih dejavnikih

Dovolj priročen način, ki omogoča odstranitev korena iz naravnega števila (razen če se seveda koren izvleče), je razgradnja občutljivega števila v preproste dejavnike. Njegov bistvo je naslednje: Po tem, ko je dovolj enostavno, da si predstavljate v obliki stopnje z želenim indikatorjem, ki vam omogoča, da dobite vrednost korena. Razložimo ta trenutek.

Naj koren N-stopnje od naravnega števila A, in njegova vrednost je enaka b. V tem primeru je enakost a \u003d B N. Številka B kot vsaka naravna številka je lahko zastopana kot izdelek vseh svojih preprostih multiplikatorjev P 1, P 2, ..., PM v obliki P 1 · P 2 · ... · PM in številka krme A Zdi se, da je ta primer (P 1 · P 2 · ... · PM) n. Ker je razgradnja števila s preprostimi dejavniki edina, potem bo razgradnja številke krme A na preprostih dejavnikih v obliki (P 1 · P 2 · ... · P M) N, ki omogoča izračunati vrednost korena kot.

Upoštevajte, da če je razgradnja na preprostih tovarnah živilske številke A ne more biti zastopana v obliki (P 1 · P 2 · ... · P M) N, potem koren N-stopnje se ne izloči iz takega število.

S tem se bomo ukvarjali pri reševanju primerov.

Primer.

Odstranite kvadratni koren od 144.

Sklep.

Če se obrnete na tabelo kvadratov, navedenih v prejšnjem odstavku, se jasno vidi, da je 144 \u003d 12 2, iz katerega je jasno, da je kvadratni koren 144 enak 12.

Toda v luči tega elementa nas zanima, kako je koren ekstrahiran z razgradnjo vodene številke 144 do enostavnih multiplikatorjev. Analizirali bomo to metodo rešitev.

Razglasi 144 Na enostavnih multiplikatorjih:

To je, 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Na podlagi pridobljene razgradnje se lahko te transformacije izvedejo: 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 \u003d (2 · 2) 2 · 3 2 \u003d (2 · 2 · 3) 2 \u003d 12 2. Zato, .

Z uporabo stopnje in lastnosti korenin je rešitev lahko razporejena in malo drugačna :.

Odgovor:

Za zagotovitev materiala upoštevajte rešitve za še dva primera.

Primer.

Izračunajte korensko vrednost.

Sklep.

Razgradnja na preprostih tovarnah krme 243 ima obrazec 243 \u003d 3 5. V to smer, .

Odgovor:

Primer.

Je korena vrednost v celoglavem?

Sklep.

Če se želite odzvati na to vprašanje, bomo razgradili vodeno številko na enostavnih multiplikatorjih in preverili, ali si bo predstavljal celo število kocke.

Imamo 285 768 \u003d 2 3 · 3 6,7 2. Nastalo razgradnja se ne zdi v obliki kocke celoštevilga, saj stopnja preprostega multiplikatorja 7 ni večkratna. Zato kubični koren izmed 285.768 ni ekstrahiran.

Odgovor:

Ne.

Odstranjevanje korenin iz frakcijskih številk

Čas je, da ugotovimo, kako se ekstrahira koren delnega števila. Pustite frakcijsko krmilno številko, zabeleženo kot P / Q. Po lastnini korena iz zasebne, je naslednja enakost poštena. Iz te enakosti sledi pravilna korenina iz sadja: Koren frakcije je enak zasebmu iz fisije korena iz števca do korena iz imenovalca.

Analizirali bomo primer pridobivanja korena iz frakcije.

Primer.

Kaj je enako kvadratnim korenom iz običajnega frakcije 25/169.

Sklep.

Na tabeli kvadratov ugotovimo, da je kvadratni koren iz števca prvotne frakcije 5, kvadratni koren iz imenovalca je 13. Potem . Na tem ekstrakciji korena iz običajnega frakcije 25/169.

Odgovor:

Koren decimalne frakcije ali mešane številke se ekstrahira po zamenjavi številk v običajnih frakcijah.

Primer.

Odstranite kubični koren iz decimalne frakcije 474.552.

Sklep.

Predstavljajte si prvotno decimalno frakcijo v obliki običajne frakcije: 474.552 \u003d 474552/1000. Potem . Ostaja za ekstrakcijo kubičnih korenin, ki se nahajajo v številu in imenovalcu nastalega dela. Sodišče 474 552 \u003d 2 · 2 · 3 · 3 · 13 · 13 · 13 · 13 \u003d (2 · 3 · 13) 3 \u003d 78 3 in 1 000 \u003d 10 3, potem in . Ostaja samo za dokončanje izračunov .

Odgovor:

.

Odstranitev korena negativnega števila

Ločeno, je vredno ustaviti na ekstrakciji korenin negativnih števil. Ko študirate korenine, smo rekli, da ko je korenina liho številka, je lahko negativno število pod korenskim znakom. Takšne evidence smo dali naslednji pomen: za negativno število -a in liho kazalnik korena 2 · n-1 pošteno . Ta enakost daje pravilo za pridobivanje korenin neparne stopnje iz negativnih številk: Za ekstrakcijo korena negativnega števila je treba izvlecite koren iz nasprotne številke nasproti njega, in pred rezultatom postavite znak minus.

Razmislite o rešitvi zgleda.

Primer.

Poiščite vrednost korena.

Sklep.

Začetni izraz preoblikujemo, da se je izkazalo, da je pod oznako korena pozitivno število: . Sedaj se mešana številka nadomesti z običajnim posnetkom: . Uporabite bonitetno pravilo od običajnega Fracira: . Ostaja za izračun korenin v števcu in denomoter nastalega Fraci: .

Dajmo kratek zapis rešitve: .

Odgovor:

.

Breaker.

Na splošno, pod korenom, obstaja številka, ki s pomočjo razstavljenih metod, ni mogoče, da je mogoče zastopati kot N-stopnjo poljubno število. Hkrati pa je treba vedeti vrednost tega korena, vsaj z natančnostjo nekega znaka. V tem primeru, da ekstrahirate koren, lahko uporabite algoritem, ki vam omogoča, da zaporedoma pridobite zadostno število vrednosti izpustov želene številke.

V prvem koraku tega algoritma je treba ugotoviti, kaj je starejša številka korena. Če želite to narediti, so dosledno postavili v stopnjo N številke 0, 10, 100, ... dokler se ne doseže števila, ki presega številko dovajanja. Potem je bila številka, ki smo jo postavili v stopnjo n na prejšnji fazi, pokazala ustrezen višji izpust.

Na primer, razmislite o tem koraku algoritma pri odstranjevanju kvadratnega korena petih. Vzemimo številke 0, 10, 100, ... in jih postavite na kvadrat, dokler ne dobimo številke, ki presega 5. Imamo 0 2 \u003d 0<5 , 10 2 =100>5, zato bo visok izpust izcedek enot. Pomen tega razrešnice, kot tudi bolj mlajši, bo na voljo v naslednjih korakih algoritma iz ekstrakcije korenin.

Vsi naslednji koraki algoritma so namenjeni doslednem izboljšanju korena, ker se vrednosti naslednjih številk želene korenske vrednosti začnejo s starejšimi in se premikajo na mlajše. Na primer, vrednost korena v prvem koraku dobimo 2, na drugi - 2.2, na tretjem - 2.23, in tako na 2,236067977 .... Opisujemo, kako najdemo vrednosti izpusta.

Iskanje izpustov se izvaja z dohodnimi možnimi vrednostmi 0, 1, 2, ..., 9. Ob istem času, nic stopenj ustreznih številk se izračunajo vzporedno, in se primerjajo z notranjo številko. Če na neki stopnji vrednost stopnje presega številko, se šteje, da je vrednost izpust, ki ustreza prejšnji vrednosti, šteje, da je ugotovljena, in prehod se izvede na naslednji korak algoritma iz ekstrakcije korenin, če pa to se ne pojavi, vrednost tega razrešnice je 9.

Razložimo vse te trenutke na istem primeru ekstrakcije kvadratnega korena petih.

Najprej najdemo vrednost izpusta enot. Vrednosti 0, 1, 2, ..., 9, izračunavanje 0 2, 1 2, ..., 9 2 do trenutka, dokler ne dobimo vrednosti, več številk 5 . Vsi ti izračuni so primerni za predstavljanje v obliki tabele:

Torej je izpustna vrednost enot 2 (od 2 2<5 , а 2 3 >pet). Pojdite na iskanje vrednosti odvajanja desetin. Hkrati bomo postavili na kvadrat številke 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, primerjavo dobljenih vrednosti s številko poizvedbe 5:

Kot 2.2 2 2<5 , а 2,3 2 >5, vrednost odvajanja desetega 2. Nadaljujete lahko, da najdete vrednost izpust stotin:

To je naslednja vrednost korena petih, ki je enaka 2,23. In tako lahko še naprej poiščete vrednote: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Za zagotovitev materiala bomo analizirali ekstrakcijo korena s točnostjo stotin s pomočjo obravnavanega algoritma.

Najprej določimo najstarejši izpust. Če želite to narediti, smo postavljeni na seznam številk 0, 10, 100 itd. Dokler ne prejmete številke, ki je boljše od 2 151.186. Imamo 0 3 \u003d 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, zato je višji izpust izcedek iz letnikov.

Določite njeno vrednost.

Od 10 3.<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, vrednost izpusta na desetine je enaka 1. Pojdite na enote.

Vrednost odvajanja enot je torej 2. Pojdi na desetino.

Ker je celo 12,9 3 manj od pervednega številka 2 151.186, je vrednost odvajanja desetega 9. Ostaja za izvedbo zadnjega koraka algoritma, nam bo dala vrednost korena z zahtevano natančnostjo.

Na tej stopnji je korena vrednost najdena s točnostjo stotin: .

V zaključku tega člena bi rad povedal, da obstaja veliko drugih načinov za pridobivanje korenin. Toda za večino nalog je dovolj, da smo študirali zgoraj.

Bibliografija.

  • Makerychev yu.n., Mindyuk N.G., Nebkov K.I., Suvorova S.B. ALGEBRA: VODIČ ZA 8 CL. Splošne izobraževalne ustanove.
  • KOLMOGOROV A.N., ABRAMOV A.M., Dudentyn yu.p. et al. Algebra in začetna analiza: učbenik za 10 - 11 razredov splošnih izobraževalnih ustanov.
  • Gusev V.A., Morkkovich A.g. Matematika (dodatek za prosilce tehničnim šolam).

Formule Uporablja se v postopku okrajšave in poenostavijo kompleksne izraze, pri reševanju enačb in neenakosti.

Številka c. je n.Majhna stopnja a. kdaj:

Operacije s stopnjami.

1. Množitev diplome z isto osnovi, njihovi kazalniki krat:

m.· N \u003d a m + n.

2. V razdelitvi stopinj z enako osnovo se odštejejo njihovi kazalniki: \\ t

3. Stopnja dela 2 ali več multiplikatorjev je enaka proizvodu teh dejavnikov: \\ t

(Abc ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. Stopnja frakcije je enaka razmerju stopnje delitve in delilnika:

(A / b) n \u003d a n / b n.

5. Ustvari stopnjo do stopnje, so kazalniki stopenj podaljšani:

(a m) n \u003d a m n.

Vsaka zgoraj navedena formula velja v smeri od leve proti desni in obratni.

na primer. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2² · 3² · 5² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4.

Operacije korena.

1. Koren dela več dejavnikov je enak proizvodu korenin teh dejavnikov: \\ t

2. Koren odnos je enak odnos delitve in delilnika korenin:

3. Ko je root postavljen, je v tej stopnji precej vgrajen.

4. Če povečate stopnjo korena n. enkrat in hkrati gradimo n.Stopnja številke krme, vrednost korena se ne bo spremenila:

5. Če zmanjšate korenino n. enkrat in hkrati izločite korenino n.stopnja iz občutljivega števila, vrednost korena se ne bo spremenila:

Stopnja z negativnim kazalnikom.Stopnja določenega števila z nesporno (celotno) indikatorjem se določi kot enota, deljena z stopnjo istega števila z indikatorjem, ki je enaka absolutni vrednosti ne-pozitivnega kazalnika:

Formula m.: a n \u003d a m - n se lahko uporablja ne samo, ko m.> n. ampak tudi m.< n..

na primer. a. 4: A 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.

V formulo m.: a n \u003d a m - n postal pravičen m \u003d N.Potrebna je prisotnost ničelne stopnje.

Stopnjo z ničelnim indikatorjem.Stopnja poljubnega števila, ki ni enaka nič, z ničelnim indikatorjem je enaka enemu.

na primer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Diploma z delcem.Za izgradnjo veljavne številke zvezek v diplomi m / N., potrebno je izvleček korena n.diplome od m.Stopnja tega števila zvezek.