Construiți un grafic al lui y 3 x 1 2. Construiți grafice ale funcțiilor. Proprietățile funcției cubice
Cum se construiește o parabolă? Există mai multe moduri de a reprezenta grafic o funcție pătratică. Fiecare dintre ele are argumentele sale pro și contra. Să luăm în considerare două moduri.
Să începem prin a reprezenta o funcție pătratică de forma y=x²+bx+c și y= -x²+bx+c.
Exemplu.
Reprezentați grafic funcția y=x²+2x-3.
Soluţie:
y=x²+2x-3 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus. Coordonatele vârfurilor parabolei
Din vârful (-1;-4) construim un grafic al parabolei y=x² (ca de la originea coordonatelor. În loc de (0;0) - vârful (-1;-4). Din (-1; -4) mergem spre dreapta cu 1 unitate și sus cu 1 unitate, apoi stânga cu 1 și sus cu 1 apoi: 2 - dreapta, 4 - sus, 2 - stânga, 3 - sus; stânga, 9 - sus Dacă aceste 7 puncte nu sunt suficiente, atunci 4 la dreapta, 16 în sus etc.).
Graficul funcției pătratice y= -x²+bx+c este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos. Pentru a construi un grafic, căutăm coordonatele vârfului și din acesta construim o parabolă y= -x².
Exemplu.
Reprezentați grafic funcția y= -x²+2x+8.
Soluţie:
y= -x²+2x+8 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramurile în jos. Coordonatele vârfurilor parabolei
Din partea de sus construim o parabolă y= -x² (1 - la dreapta, 1- jos; 1 - stânga, 1 - jos; 2 - dreapta, 4 - jos; 2 - stânga, 4 - jos, etc.):
Această metodă vă permite să construiți rapid o parabolă și nu provoacă dificultăți dacă știți să reprezentați grafic funcțiile y=x² și y= -x². Dezavantaj: dacă coordonatele vârfului sunt numere fracționale, nu este foarte convenabil să construiești un grafic. Dacă trebuie să cunoașteți valorile exacte ale punctelor de intersecție ale graficului cu axa Ox, va trebui să rezolvați suplimentar ecuația x²+bx+c=0 (sau -x²+bx+c=0), chiar dacă aceste puncte pot fi determinate direct din desen.
O altă modalitate de a construi o parabolă este prin puncte, adică puteți găsi mai multe puncte pe grafic și puteți trasa o parabolă prin ele (ținând cont că dreapta x=xₒ este axa ei de simetrie). De obicei, pentru aceasta iau vârful parabolei, punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate și 1-2 puncte suplimentare.
Desenați un grafic al funcției y=x²+5x+4.
Soluţie:
y=x²+5x+4 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus. Coordonatele vârfurilor parabolei
adică vârful parabolei este punctul (-2,5; -2,25).
Cautam. În punctul de intersecție cu axa Ox y=0: x²+5x+4=0. Rădăcini ecuație pătratică x1=-1, x2=-4, adică avem două puncte pe grafic (-1; 0) și (-4; 0).
În punctul de intersecție a graficului cu axa Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Am obținut punctul (0; 4).
Pentru a clarifica graficul, puteți găsi un punct suplimentar. Să luăm x=1, atunci y=1²+5∙1+4=10, adică un alt punct de pe grafic este (1; 10). Marcam aceste puncte pe planul de coordonate. Ținând cont de simetria parabolei față de dreapta care trece prin vârful ei, mai notăm două puncte: (-5; 6) și (-6; 10) și trasăm o parabolă prin ele:
Reprezentați grafic funcția y= -x²-3x.
Soluţie:
y= -x²-3x este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramurile în jos. Coordonatele vârfurilor parabolei
Vârful (-1,5; 2,25) este primul punct al parabolei.
În punctele de intersecție ale graficului cu axa x y=0, adică rezolvăm ecuația -x²-3x=0. Rădăcinile sale sunt x=0 și x=-3, adică (0;0) și (-3;0) - încă două puncte pe grafic. Punctul (o; 0) este și punctul de intersecție al parabolei cu axa ordonatelor.
La x=1 y=-1²-3∙1=-4, adică (1; -4) este un punct suplimentar pentru trasare.
Construirea unei parabole din puncte este o metodă care necesită mai multă muncă în comparație cu prima. Dacă parabola nu intersectează axa Ox, vor fi necesare mai multe puncte suplimentare.
Înainte de a continua să construim grafice ale funcțiilor pătratice de forma y=ax²+bx+c, să luăm în considerare construcția graficelor de funcții folosind transformări geometrice. De asemenea, este cel mai convenabil să construiți grafice ale funcțiilor de forma y=x²+c folosind una dintre aceste transformări - translația paralelă.
Categorie: |Construiți o curbă dată de ecuații parametrice\
Să examinăm mai întâi graficele funcțiilor \(x\left(t \right)\) și \(x\left(t \right)\). Ambele funcții sunt polinoame cubice care sunt definite pentru toate \(x \in \mathbb(R).\) Găsiți derivata \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \). dreapta) = (\left(((t^3) + (t^2) - t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] Rezolvarea ecuației \ ( x"\left(t \right) = 0,\) determinăm punctele staționare ale funcției \(x\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \right) = 0 ,)\;\ ; (\Săgeată la dreapta 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] Când \ (t = 1\) funcția \(x\left(t \right)\) atinge un maxim egal cu \ și în punctul \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) are un minim egal cu \[ (x\left((\frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\ stânga((\ frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \ frac(1) (9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] Se consideră derivata \(y"\left(t \right):\) \ [ (y"\ stânga(t \right) = (\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4.) \ ] Găsiți punctele staționare ale funcției \(y\left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3 (t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\ (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2 ;\;\frac(2) (3).) \] Aici, în mod similar, funcția \(y\left(t \right)\) atinge un maxim în punctul \(t = -2:\) \ și un minim în punctul \(t = \large\frac (2)(3)\normalsize:\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left ((\frac(2)(3)) \right )^3) + 2(\left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3 ) ) = (\frac(8)((27) ) + \frac(8)(9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Graficele funcțiilor \(x\left(t \right )\), \(y\left(t \right)\) sunt prezentate schematic în figura \(15a.\)
Fig.15a |
Fig.15b |
Fig.15c |
Rețineți că, deoarece \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] atunci curba \(y\left(x \right)\) nu are nici verticală, fără asimptote orizontale. Mai mult, deoarece \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\color (albastru)(t^3)) + \color(roșu)(2(t^2)) - \color(verde)(4t) - \cancel(\color(albastru)(t^3)) - \culoare (roșu)(t^2) + \color(green)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(red)(t^ 2 ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] atunci curba \(y\left(x \right)\) nu are nici asimptote oblice.
Să determinăm punctele de intersecție ale graficului \(y\left(x\right)\) cu axele de coordonate. Intersecția cu axa x are loc în următoarele puncte: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Săgeată la dreapta t\stânga(((t^2) + 2t - 4) \dreapta) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; (\ Săgeată la dreapta (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \right) = 5,)\;\; (\ Săgeată la dreapta (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalsize.) \)
Pe al doilea interval \(\left(( - 2, - 1) \right)\) variabila \(x\) crește de la \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) la \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) iar variabila \(y\) scade de la \(y\left(( - 2) \right) = 8\) la \(y\left (( - 1) \right) = 5.\) Aici avem o secțiune a unei curbe descrescătoare \(y\left(x \right).\) Ea intersectează axa ordonatelor în punctul \(\left((0,3). + 2\sqrt 5 ) \dreapta).\)
În al treilea interval \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) ambele variabile scad. Valoarea lui \(x\) se modifică de la \(x\left(( - 1) \right) = 1\) la \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right ) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) În consecință, valoarea lui \(y\) scade de la \(y\left(( - 1) \right) = 5\) la \(y\ stânga((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Curba \(y\left(x) \right)\ ) intersectează originea coordonatelor.
Pe al patrulea interval \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) variabila \(x\) crește de la \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) la \(x\left((\ mare\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) iar variabila \(y\) scade de la \(y\left(( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) la \(y\left((\large\frac(2)) 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) În această secțiune, curba \(y\left(x \right)\) intersectează axa ordonatelor la punctul \(\left((0,3 - 2\sqrt 5 ) \dreapta).\)
În cele din urmă, pe ultimul interval \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) ambele funcții \(x\left(t \right)\), \ (y\stânga(t\dreapta)\) crește. Curba \(y\left(x \right)\) intersectează axa x în punctul \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \aprox 2,18.\)
Pentru a clarifica forma curbei \(y\left(x \right)\), să calculăm punctele maxime și minime. Derivata \(y"\left(x \right)\) este exprimată ca \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) (((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime )))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3))) \ dreapta)))((\cancel(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \right))) ) = (\frac(( \ stânga((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \right)))(\left((t + 1) \right)\left((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Modificarea semnului derivatei \(y"\left(x \right)\) este prezentată în figura \(15c.\) Se poate se vede că în punctul \(t = - 2,\) adică. la limita intervalelor \(I\)-th și \(II\)-th, curba are un maxim, iar la \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (la granița intervalelor \(IV\)-lea și \(V\)-lea) există un minim. Când trece prin punctul \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\), derivata își schimbă și semnul din plus în minus, dar în această regiune curba \(y\left(x \right) \) nu este o funcție unică. Prin urmare, punctul indicat nu este un extremum.
De asemenea, examinăm convexitatea acestei curbe. Derivată a doua\(y""\left(x \right)\) are forma: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2)) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \right))^\prime )))((((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ dreapta ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \right)\left((6t + 2) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \ frac((\cancel(\color(blue)(18(t^3))) + \color(red)(24(t^2)) + \color(green)(2t) - \color(maroon) ( 4) - \cancel(\color(albastru)(18(t^3))) - \color(roșu)(30(t^2)) + \color(verde)(16t) + \color(maroon) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - \color(red)(6(t^2) ) ) + \color(verde)(18t) + \color(maroon)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1)) \right))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \frac((9 + \sqrt (105)) ) )(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right)))^3)((\left((3t - 1) \right))^3))). \] În consecință, derivata a doua își schimbă semnul în opus când trece prin următoarele puncte (Fig.\(15с\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) ) \right ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \aproximativ 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \aproximativ 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \aproximativ 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \aprox 40,8.) \] Prin urmare, punctele indicate reprezintă puncte de inflexiune ale curbei \(y\left( x \dreapta).\)
Un grafic schematic al curbei \(y\left(x\right)\) este prezentat mai sus în figura \(15b.\)
Construirea graficelor de funcții care conțin module cauzează de obicei dificultăți considerabile pentru școlari. Totuși, totul nu este atât de rău. Este suficient să vă amintiți câțiva algoritmi pentru rezolvarea unor astfel de probleme și puteți construi cu ușurință un grafic chiar și pentru cel mai aparent functie complexa. Să ne dăm seama ce fel de algoritmi sunt aceștia.
1. Trasarea unui grafic al funcției y = |f(x)|
Rețineți că setul de valori ale funcției y = |f(x)| : y ≥ 0. Astfel, graficele unor astfel de funcții sunt întotdeauna situate în întregime în semiplanul superior.
Trasarea unui grafic al funcției y = |f(x)| constă din următorii patru pași simpli.
1) Construiți cu atenție și atenție un grafic al funcției y = f(x).
2) Lăsați neschimbate toate punctele din grafic care sunt deasupra sau pe axa 0x.
3) Afișați partea din grafic care se află sub axa 0x simetric față de axa 0x.
Exemplul 1. Desenați un grafic al funcției y = |x 2 – 4x + 3|
1) Construim un grafic al funcției y = x 2 – 4x + 3. Evident, graficul acestei funcții este o parabolă. Să găsim coordonatele tuturor punctelor de intersecție ale parabolei cu axele de coordonate și coordonatele vârfului parabolei.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Prin urmare, parabola intersectează axa 0x în punctele (3, 0) și (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Prin urmare, parabola intersectează axa 0y în punctul (0, 3).
Coordonatele vârfurilor parabolei:
x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Prin urmare, punctul (2, -1) este vârful acestei parabole.
Desenați o parabolă folosind datele obținute (Fig. 1)
2) Partea graficului situată sub axa 0x este afișată simetric față de axa 0x.
3) Obținem un grafic al funcției inițiale ( orez. 2, afișat în linie punctată).
2. Trasarea funcției y = f(|x|)
Rețineți că funcțiile de forma y = f(|x|) sunt pare:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Aceasta înseamnă că graficele unor astfel de funcții sunt simetrice față de axa 0y.
Trasarea unui grafic al funcției y = f(|x|) constă din următorul lanț simplu de acțiuni.
1) Reprezentați grafic funcția y = f(x).
2) Lăsați acea parte a graficului pentru care x ≥ 0, adică partea graficului situată în semiplanul drept.
3) Afișați partea din grafic specificată la punctul (2) simetric față de axa 0y.
4) Ca grafic final, selectați uniunea curbelor obținute la punctele (2) și (3).
Exemplul 2. Desenați un grafic al funcției y = x 2 – 4 · |x| + 3
Deoarece x 2 = |x| 2, atunci funcția originală poate fi rescrisă sub următoarea formă: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Acum putem aplica algoritmul propus mai sus.
1) Construim cu grija si atentie un grafic al functiei y = x 2 – 4 x + 3 (vezi si orez. 1).
2) Lăsăm acea parte a graficului pentru care x ≥ 0, adică partea graficului situată în semiplanul drept.
3) Afișați partea dreaptă a graficului simetric față de axa 0y.
(Fig. 3).
Exemplul 3. Desenați un grafic al funcției y = log 2 |x|
Aplicam schema de mai sus.
1) Construiți un grafic al funcției y = log 2 x (Fig. 4).
3. Trasarea funcției y = |f(|x|)|
Rețineți că funcțiile de forma y = |f(|x|)| sunt de asemenea egale. Într-adevăr, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x) și, prin urmare, graficele lor sunt simetrice față de axa 0y. Setul de valori ale unor astfel de funcții: y ≥ 0. Aceasta înseamnă că graficele unor astfel de funcții sunt situate în întregime în semiplanul superior.
Pentru a reprezenta grafic funcția y = |f(|x|)|, trebuie să:
1) Construiți cu atenție un grafic al funcției y = f(|x|).
2) Lăsați neschimbată partea din grafic care se află deasupra sau pe axa 0x.
3) Afișați partea din grafic situată sub axa 0x simetric față de axa 0x.
4) Ca grafic final, selectați uniunea curbelor obținute la punctele (2) și (3).
Exemplul 4. Desenați un grafic al funcției y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Rețineți că x 2 = |x| 2. Aceasta înseamnă că în loc de funcția originală y = -x 2 + 2|x| – 1
puteți folosi funcția y = -|x| 2 + 2|x| – 1, deoarece graficele lor coincid.
Construim un grafic y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Pentru aceasta folosim algoritmul 2.
a) Reprezentați grafic funcția y = -x 2 + 2x – 1 (Fig. 6).
b) Lăsăm acea parte a graficului care se află în semiplanul drept.
c) Afișăm partea rezultată a graficului simetric față de axa 0y.
d) Graficul rezultat este prezentat pe linia punctată din figură (Fig. 7).
2) Nu există puncte deasupra axei 0x lăsăm neschimbate punctele de pe axa 0x.
3) Partea graficului situată sub axa 0x este afișată simetric față de 0x.
4) Graficul rezultat este prezentat în figură cu o linie punctată (Fig. 8).
Exemplul 5. Reprezentați grafic funcția y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Mai întâi trebuie să reprezentați grafic funcția y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Pentru a face acest lucru, revenim la algoritmul 2.
a) Reprezentați cu atenție funcția y = (2x – 4) / (x + 3) (Fig. 9).
Rețineți că această funcție este liniară fracțională și graficul ei este o hiperbolă. Pentru a trasa o curbă, mai întâi trebuie să găsiți asimptotele graficului. Orizontală – y = 2/1 (raportul coeficienților lui x în numărătorul și numitorul fracției), verticală – x = -3.
2) Vom lăsa neschimbată acea parte a graficului care se află deasupra axei 0x sau pe aceasta.
3) Partea graficului situată sub axa 0x va fi afișată simetric față de 0x.
4) Graficul final este prezentat în figură (Fig. 11).
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Funcția de construire
Oferim atentiei dumneavoastra un serviciu de realizare a graficelor de functii online, toate drepturile asupra carora apartin companiei Desmos. Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra cu graficul, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.
Beneficiile graficelor online
- Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
- Construirea de grafice foarte complexe
- Construcția graficelor specificate implicit (de exemplu, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
- Posibilitatea de a salva diagrame și de a primi un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea pe Internet
- Controlul scalei, culoarea liniei
- Posibilitatea de a trasa grafice pe puncte, folosind constante
- Trasarea mai multor grafice de funcții simultan
- Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ(\theta))
Cu noi este ușor să construiți grafice de complexitate variată online. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru găsirea punctelor de intersecție ale funcțiilor, pentru reprezentarea graficelor pentru a le muta în continuare într-un document Word ca ilustrații atunci când rezolvați probleme și pentru analiza caracteristicilor comportamentale ale graficelor de funcții. Browserul optim pentru lucrul cu diagrame de pe această pagină a site-ului este Google Chrome. Funcționarea corectă nu este garantată atunci când utilizați alte browsere.
Un grafic al funcției este o reprezentare vizuală a comportamentului unei funcții pe un plan de coordonate. Graficele vă ajută să înțelegeți diferite aspecte ale unei funcții care nu pot fi determinate din funcția în sine. Puteți construi grafice cu mai multe funcții și fiecare dintre ele va primi o formulă specifică. Graficul oricărei funcții este construit folosind un algoritm specific (în cazul în care ați uitat procesul exact de reprezentare grafică a unei anumite funcții).
Pași
Reprezentarea grafică a unei funcții liniare
- Dacă panta este negativă, funcția este descrescătoare.
-
Din punctul în care linia dreaptă intersectează axa Y, trasați un al doilea punct folosind distanțe verticale și orizontale. Programa funcţie liniară
poate fi construit din două puncte. În exemplul nostru, punctul de intersecție cu axa Y are coordonatele (0,5); Din acest punct, mutați 2 spații în sus și apoi 1 spațiu spre dreapta. Marcați un punct; va avea coordonatele (1,7). Acum puteți trage o linie dreaptă. Folosind o riglă, trageți o linie dreaptă prin două puncte.
Pentru a evita greșelile, găsiți al treilea punct, dar în cele mai multe cazuri graficul poate fi reprezentat folosind două puncte. Astfel, ați trasat o funcție liniară.
-
Trasarea punctelor pe planul de coordonate Definiți o funcție.
Funcția se notează ca f(x). Toate valorile posibile ale variabilei „y” sunt numite domeniul funcției, iar toate valorile posibile ale variabilei „x” sunt numite domeniul funcției. De exemplu, luăm în considerare funcția y = x+2, și anume f(x) = x+2. Desenați două drepte perpendiculare care se intersectează.
Linia orizontală este axa X. Linia verticală este axa Y. Etichetați axele de coordonate.
Împărțiți fiecare axă în segmente egale și numerotați-le. Punctul de intersecție al axelor este 0. Pentru axa X: numerele pozitive sunt trasate la dreapta (de la 0), iar numerele negative la stânga. Pentru axa Y: numerele pozitive sunt trasate în partea de sus (de la 0), iar numerele negative în partea de jos. Găsiți valorile lui „y” din valorile lui „x”.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Trasează punctele pe planul de coordonate. Pentru fiecare pereche de coordonate, procedați în felul următor: găsiți valoarea corespunzătoare pe axa X și trasați o linie verticală (punctată); găsiți valoarea corespunzătoare pe axa Y și trasați o linie orizontală (linie întreruptă). Marcați punctul de intersecție al celor două linii punctate; astfel, ați trasat un punct pe grafic.
Ștergeți liniile punctate. Faceți acest lucru după ce ați trasat toate punctele de pe grafic pe planul de coordonate. Notă: graficul funcției f(x) = x este o dreaptă care trece prin centrul de coordonate [punct cu coordonatele (0,0)]; graficul f(x) = x + 2 este o dreaptă paralelă cu dreapta f(x) = x, dar deplasată în sus cu două unități și, prin urmare, trece prin punctul cu coordonatele (0,2) (deoarece constanta este 2) .
Reprezentarea grafică a unei funcții complexe
Găsiți zerourile funcției. Zerurile unei funcții sunt valorile variabilei x unde y = 0, adică acestea sunt punctele în care graficul intersectează axa X. Rețineți că nu toate funcțiile au zero, dar sunt primele pas în procesul de reprezentare grafică a oricărei funcții. Pentru a găsi zerourile unei funcții, echivalează-o cu zero. De exemplu:
Găsiți și marcați asimptotele orizontale. O asimptotă este o linie de care graficul unei funcții se apropie, dar nu se intersectează niciodată (adică în această regiune funcția nu este definită, de exemplu, la împărțirea la 0). Marcați asimptota cu o linie punctată. Dacă variabila „x” se află la numitorul unei fracții (de exemplu, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), setați numitorul la zero și găsiți „x”. În valorile obținute ale variabilei „x” funcția nu este definită (în exemplul nostru, trageți linii punctate prin x = 2 și x = -2), deoarece nu puteți împărți la 0. Dar asimptotele există nu numai în cazurile în care funcția conține o expresie fracțională. Prin urmare, se recomandă utilizarea bunului simț:
-
Determinați dacă funcția este liniară. Funcția liniară este dată de o formulă de formă F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) sau y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(de exemplu, ), iar graficul său este o linie dreaptă. Astfel, formula include o variabilă și o constantă (constantă) fără exponenți, semne de rădăcină sau altele asemenea. Dacă este dată o funcție de un tip similar, este destul de simplu să reprezentați graficul unei astfel de funcție. Iată și alte exemple de funcții liniare:
Utilizați o constantă pentru a marca un punct pe axa Y. Constanta (b) este coordonata „y” a punctului în care graficul intersectează axa Y Adică este un punct a cărui coordonată „x” este egală cu 0. Astfel, dacă x = 0 este înlocuit în formulă. , atunci y = b (constant). În exemplul nostru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) constanta este egală cu 5, adică punctul de intersecție cu axa Y are coordonatele (0,5). Trasează acest punct pe planul de coordonate.
Aflați panta dreptei. Este egal cu multiplicatorul variabilei. În exemplul nostru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) cu variabila „x” există un factor de 2; astfel, coeficientul de panta este egal cu 2. Coeficientul de panta determina unghiul de inclinare al dreptei fata de axa X, adica cu cat coeficientul de panta este mai mare, cu atat functia creste sau scade mai repede.
Scrieți panta ca o fracție. Coeficientul unghiular este egal cu tangenta unghiului de înclinare, adică raportul dintre distanța verticală (între două puncte pe o linie dreaptă) și distanța orizontală (între aceleași puncte). În exemplul nostru, panta este 2, deci putem afirma că distanța verticală este 2 și distanța orizontală este 1. Scrieți aceasta ca o fracție: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
Căutare
Vă putem anunța despre articole noi,