Profesor : Iurgenson Veronica Alexandrovna

Clasă: 9

Articol: Algebră

Tema lecției: Lecție de pregătire pentru OGE în clasa a 9-a „Ecuații quadratice”.

Etapa antrenamentului pe această temă : pregătire pentru OGE.

Tip de lecție: Lecție despre generalizarea și sistematizarea cunoștințelor

Ţintă:

Activitate: Formarea abilităților elevilor de a implementa metode de acțiune reglementare.

Conţinut: - exersarea metodelor de rezolvare a ecuaţiilor pătratice;

Dezvoltarea capacității de a alege cea mai rațională soluție;

Dezvoltare: formă competențe de bază elevi: informație (capacitatea de a analiza informații, de a compara, de a trage concluzii), problemă (abilitatea de a pune probleme și, folosind cunoștințele existente, de a găsi o cale de ieșire din situație); comunicativ (capacitate de a lucra în grup, capacitatea de a asculta și de a-i auzi pe ceilalți, de a accepta opiniile altora)

Sarcini pentru profesor:

Pentru a ajuta la actualizarea cunoștințelor elevilor despre rezolvarea ecuațiilor pătratice;

Organizați activități educaționale pentru exersarea modalităților de rezolvare a ecuațiilor pătratice;

Creați condiții pentru formarea abilităților de dezvoltare a capacității de a alege cea mai rațională soluție;

Creați condiții pentru formarea UUD de reglementare: stabilirea obiectivelor, stima de sine și autocontrol, planificare.

Tehnologie: Antrenament pe mai multe niveluri

Metode de predare: Vizual, verbal, metodă de verificare reciprocă, metodă de găsire în comun a unei soluții optime, lucru temporar în grup, crearea unei situații problematice, reproductivă (instruire, ilustrare, explicație, pregătire practică). Metode de autocontrol.

Forme utilizate de organizare a activității cognitive a elevilor:

Forma colectivă de muncă (studiu frontal, munca orală), lucru în grup, individual (muncă independentă), lucru în perechi (interogatoriu).

Echipamente și surse principale de informații:

    Computer, proiector, ecran, prezentare pentru lecția cu tema „Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice”.

    Fișă de performanță pentru control și autocontrol.

    Carduri-sarcini pentru munca independentă pe mai multe niveluri

Harta tehnologică a lecției:

Activitate

student

organizatoric

Salutarea elevilor

Salutul profesorului

Stabilirea scopurilor și obiectivelor lecției. Motivația activități educaționale elevi

La certificarea finală există adesea sarcini pe care trebuie să le poți rezolva ecuații pătratice.

Comunicarea scopului lecției :

Astăzi în lecție vom repeta, generaliza și aducem în sistem tipurile, metodele și tehnicile studiate pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Pe baza rezultatelor muncii lor, adică în funcție de numărul de puncte obținute, fiecare va primi note.

Motto-ul lecției: „Gândim, gândim, muncim și ne ajutăm reciproc”

(Diapozitivul 2 ).

Profesorii ascultă.

Actualizarea cunoștințelor.

    Băieți, de obicei începem lecția verificându-ne temele.

    Cine va spune că a fost necesar să se repete despre ecuațiile pătratice?

    Ce sunt ecuațiile pătratice?

    Ce sunt ei?

    Ce metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice cunoașteți?

Profesorii răspund la întrebări și efectuează o autoevaluare a cunoștințelor lor.

Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor

1. Rolul de control reciproc.

Iată ecuațiile (diapozitivul 3)

    X 2 + 7 X – 18 = 0;

    2 X 2 + 1 = 0;

    X 2 –2 X + 9 = 0;

    2 y 2 – 3 ani + 1 = 0;

    2 y 2 = 1;

    –2 X 2 – X + 1 = 0;

    X 2 + 6 X = 0;

    4x 2 =0;

    – X 2 – 6 x=1

    2 x + x 2 – 1=0

Pe masa ta este un card cu întrebări la care trebuie să răspunzi (Anexa 1).

(diapozitivul 4 ) Verifică rezultatele, schimbă carduri cu vecinul tău.

Răspundeți la întrebări

2. Lucru frontal cu clasa.

Pe(diapozitivul 5) se scriu formule cu elemente lipsă. Sarcina clasei este să afle care este această formulă și ce lipsește în înregistrarea acestei formule.

    D = b ² – * A * .

    D > 0 , înseamnă * rădăcină.

    D * 0 , înseamnă 1 rădăcină.

    D * 0 , Mijloace * rădăcini.

Răspundeți la întrebări

cunoștințe corecte.

Rezolvați ecuații din carduri. Unul dintre membrii grupului va arăta soluția pe tablă.

Comparați răspunsurile dvs. cu cele corecte, pentru fiecare răspuns corect - 1 punct

Rezolvați ecuații

Explicați soluția.

Lucru frontal cu clasa

Spune-mi, ai putea imediat, fără a face calcule, să răspunzi la întrebarea mea: „Care este suma și produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice?” (O persoană de la tablă notează formulele teoremei lui Vieta.)

(diapozitivul 6)

Următoarea sarcină: găsiți verbal suma și diferența rădăcinilor ecuației folosind teorema:

(răspunsuri: 5 și 6; 9 și 20; -3 și 2) Introducere în metoda rezolvării orale a unor ecuații pătratice.

Teorema lui Vieta este utilizată pe scară largă în ecuațiile de formăAX 2 + bx + c = 0.

Utilizarea anumitor proprietăți oferă avantaje semnificative pt primire rapidă răspunde la rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Să luăm în considerare aceste proprietăți(diapozitivul 7)

1) A + b+c = 0 x 1 = 1, x 2 = s/a.

5x 2 + 4x – 9 = 0; X 1 =1, x 2 = - 9/2.

2) a -b+ c = 0 x 1 = - 1, x 2 = - s/a.

De exemplu: 4x 2 + 11x + 7 = 0; X 1 = - 1, x 2 = - 7/4.

(diapozitivul 8)

3) aîn +c0

Rezolvați ecuația oral: x 2 + bx + ac = 0

Împărțiți rădăcinile sale cu a.

a) 2x 2 – 11x + 5 = 0.

Rezolvăm ecuația oral: x 2 – 11x + 10 = 0. Rădăcinile sale sunt 1 și 10. Împărțiți la 2.

Apoi x 1 = , x 2 = 5.

Răspuns: ; 5.

(diapozitivul 9)

c) 6x 2 –7х – 3 = 0

Rezolvăm ecuația oral: x 2 –7x – 18 = 0. Rădăcinile sale sunt -2 și 9. Împărțiți la 6.

Apoi x 1 = - , x 2 = .

Răspuns: -; .

Răspundeți la întrebări. Completați golurile de cunoștințe

Lucrați în grupuri pe mai multe niveluri

Recepție „Conformitate”

Tehnica „Prinți o greșeală”.

Rezolvați ecuații folosind aceste proprietăți(diapozitivul 10)

eugrup.

1) aflați suma rădăcinilor ecuației

2x 2 – 3x + 1 = 0

2) Aflați produsul rădăcinilor ecuației

X 2 +9x +20 = 0

3) rezolvați ecuația

10x 2 – 8x - 2= 0

IIgrup.

1) aflați suma și produsul rădăcinilor ecuației

3x 2 – 8x + 5 = 0

Rezolvați ecuații

2)x 2 + 2x -24 = 0

3)2 x 2 -7x +5 = 0

IIIgrup

Rezolva problemele:

1)x 2 +5x-6=0

2) 5x 2 -7x+2=0

3)100x 2 -99x-199=0

Rezolvați ecuații

Verificați soluția.

Se realizează corectarea cunoștințelor.

2. Potriviți ecuațiile pătratice și metodele de rezolvare a acestora:

(diapozitivul 11)

2x 2 – 3x + 11 = 0

7 x 2 = 8x

X 2 – 10x + 100 = 0

X 2 –5x –6 = 0

– 2x 2 + x +14= 0

-factorizarea

- formula generala rădăcini

-Teorema lui Vieta

3. Găsiți erori în rezolvarea ecuațiilor =

Băieții care termină rapid munca pot rezolva o sarcină suplimentară(diapozitivul 14), scrise pe tablă.

După execuție, se efectuează o verificare rapidă.(diapozitivul 15)

Acum numără numărul total de puncte și acordă-ți o notă.(diapozitivul 16)

30-24 puncte – scor 5;

23-18 puncte – scor 4;

12-17 puncte –. scor4

Și fiecare primește o notă de către profesor pentru activitate, curaj și perseverență. Ei bine, dacă cineva astăzi nu a reușit să obțină puncte pentru o evaluare pozitivă, atunci succesul este încă înaintea ta și cu siguranță va fi cu tine data viitoare.

Rezolvați ecuații

efectuează autoevaluarea.

Reflecţie.

Cine poate spune ce am repetat astăzi în clasă?

Ți-a plăcut cum am făcut-o?

Continuați frazele:

    Acum stiu sigur...

    Am înțeles …

    Am învățat …

    Opinia mea …

Toată lumea are cărți colorate pe masă.

    Dacă sunteți mulțumit și mulțumit de lecție, ridicați o carte verde.

    Dacă lecția este interesantă și ai lucrat activ, ridici un cartonaș galben.

efectuează autoevaluarea.

Teme pentru acasă

(diapozitivul 17) Rezolvați ecuații din colecția de sarcini

Certificare finală de stat

absolvenți de clasa a IX-a.

A.V. Semenov, A.S. Trepalin, I.V. Iascenko

după nivel

Alege sarcini în funcție de nivelul tău

În termenul „ecuație pătratică”, cuvântul cheie este „quadratic”. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să conțină în mod necesar o variabilă (același x) pătrat și nu ar trebui să existe x la a treia putere (sau mai mare).

Rezolvarea multor ecuații se reduce la rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Să învățăm să determinăm că aceasta este o ecuație pătratică și nu o altă ecuație.

Exemplul 1.

Să scăpăm de numitor și să înmulțim fiecare termen al ecuației cu

Să mutăm totul în partea stângă și să aranjam termenii în ordinea descrescătoare a puterilor lui X

Acum putem spune cu încredere că această ecuație este pătratică!

Exemplul 2.

Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu:

Această ecuație, deși a fost inițial în ea, nu este pătratică!

Exemplul 3.

Să înmulțim totul cu:

Infricosator? Gradul al patrulea și al doilea... Totuși, dacă facem o înlocuire, vom vedea că avem o ecuație pătratică simplă:

Exemplul 4.

Se pare că este acolo, dar să aruncăm o privire mai atentă. Să mutăm totul în partea stângă:

Vedeți, s-a micșorat - și acum este simplu ecuație liniară!

Acum încercați să determinați singuri care dintre următoarele ecuații sunt pătratice și care nu:

Exemple:

Raspunsuri:

  1. pătrat;
  2. pătrat;
  3. nu pătrat;
  4. nu pătrat;
  5. nu pătrat;
  6. pătrat;
  7. nu pătrat;
  8. pătrat.

În mod convențional, matematicienii împart toate ecuațiile pătratice în următoarele tipuri:

  • Completează ecuațiile pătratice- ecuații în care coeficienții și, precum și termenul liber c, nu sunt egali cu zero (ca în exemplu). În plus, printre ecuațiile pătratice complete există dat- acestea sunt ecuații în care coeficientul (ecuația din exemplul unu este nu numai completă, ci și redusă!)
  • Ecuații patratice incomplete- ecuații în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

    Sunt incomplete pentru că le lipsește un element. Dar ecuația trebuie să conțină întotdeauna x pătrat!!! În caz contrar, nu va mai fi o ecuație pătratică, ci o altă ecuație.

De ce au venit cu o asemenea împărțire? S-ar părea că există un X pătrat și bine. Această împărțire este determinată de metodele de soluție. Să ne uităm la fiecare dintre ele mai detaliat.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

În primul rând, să ne concentrăm pe rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mult mai simple!

Există tipuri de ecuații pătratice incomplete:

  1. , în această ecuație coeficientul este egal.
  2. , în această ecuație termenul liber este egal cu.
  3. , în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

1. i. Deoarece știm să luăm rădăcina pătrată, să exprimăm din această ecuație

Expresia poate fi fie negativă, fie pozitivă. Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece la înmulțirea a două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv, deci: dacă, atunci ecuația nu are soluții.

Și dacă, atunci obținem două rădăcini. Nu este nevoie să memorezi aceste formule. Principalul lucru este că trebuie să știți și să vă amintiți întotdeauna că nu poate fi mai puțin.

Să încercăm să rezolvăm câteva exemple.

Exemplul 5:

Rezolvați ecuația

Acum tot ce rămâne este să extragi rădăcina din partea stângă și dreaptă. La urma urmei, îți amintești cum să extragi rădăcini?

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!!!

Exemplul 6:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 7:

Rezolvați ecuația

Oh! Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini!

Pentru astfel de ecuații care nu au rădăcini, matematicienii au venit cu o pictogramă specială - (set gol). Și răspunsul poate fi scris astfel:

Răspuns:

Astfel, această ecuație pătratică are două rădăcini. Nu există restricții aici, deoarece nu am extras rădăcina.
Exemplul 8:

Rezolvați ecuația

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Prin urmare,

Această ecuație are două rădăcini.

Răspuns:

Cel mai simplu tip de ecuații pătratice incomplete (deși toate sunt simple, nu?). Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Ne vom dispensa de exemple aici.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete

Vă reamintim că o ecuație pătratică completă este o ecuație a ecuației de formă unde

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete este puțin mai dificilă (doar puțin) decât acestea.

Tine minte, Orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant! Chiar incomplet.

Celelalte metode te vor ajuta să o faci mai repede, dar dacă ai probleme cu ecuațiile pătratice, mai întâi stăpânește soluția folosind discriminantul.

1. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind un discriminant.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind această metodă este foarte simplă; principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule.

Dacă, atunci ecuația are rădăcină. Atentie speciala Fă un pas. Discriminantul () ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

  • Dacă, atunci formula din pas se va reduce la. Astfel, ecuația va avea doar o rădăcină.
  • Dacă, atunci nu vom putea extrage rădăcina discriminantului la pas. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

Să ne întoarcem la ecuațiile noastre și să vedem câteva exemple.

Exemplul 9:

Rezolvați ecuația

Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că ecuația are două rădăcini.

Pasul 3.

Răspuns:

Exemplul 10:

Rezolvați ecuația

Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină.

Răspuns:

Exemplul 11:

Rezolvați ecuația

Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că nu vom putea extrage rădăcina discriminantului. Nu există rădăcini ale ecuației.

Acum știm cum să scriem corect astfel de răspunsuri.

Răspuns: fara radacini

2. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta.

Dacă vă amintiți, există un tip de ecuație care se numește redusă (când coeficientul a este egal cu):

Astfel de ecuații sunt foarte ușor de rezolvat folosind teorema lui Vieta:

Suma rădăcinilor dat ecuația pătratică este egală, iar produsul rădăcinilor este egal.

Exemplul 12:

Rezolvați ecuația

Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece .

Suma rădăcinilor ecuației este egală, adică. obținem prima ecuație:

Și produsul este egal cu:

Să compunem și să rezolvăm sistemul:

  • Și. Suma este egală cu;
  • Și. Suma este egală cu;
  • Și. Suma este egală.

și sunt soluția pentru sistem:

Răspuns: ; .

Exemplul 13:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 14:

Rezolvați ecuația

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Răspuns:

ECUAȚII CADRATICE. NIVEL MEDIU

Ce este o ecuație pătratică?

Cu alte cuvinte, o ecuație pătratică este o ecuație de forma, unde - necunoscutul, - unele numere și.

Numărul se numește cel mai mare sau primul coeficient ecuație pătratică, - al doilea coeficient, A - membru liber.

De ce? Pentru că dacă ecuația devine imediat liniară, pentru că va disparea.

În acest caz, și poate fi egal cu zero. În această ecuație de scaun se numește incompletă. Dacă toți termenii sunt la locul lor, adică, ecuația este completă.

Soluții la diferite tipuri de ecuații pătratice

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete:

În primul rând, să ne uităm la metodele de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mai simple.

Putem distinge următoarele tipuri de ecuații:

I., în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

II. , în această ecuație coeficientul este egal.

III. , în această ecuație termenul liber este egal cu.

Acum să ne uităm la soluția pentru fiecare dintre aceste subtipuri.

Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece atunci când înmulțiți două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. De aceea:

dacă, atunci ecuația nu are soluții;

dacă avem două rădăcini

Nu este nevoie să memorezi aceste formule. Principalul lucru de reținut este că nu poate fi mai puțin.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!

Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini.

Pentru a nota pe scurt că o problemă nu are soluții, folosim pictograma set gol.

Răspuns:

Deci, această ecuație are două rădăcini: și.

Răspuns:

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție atunci când:

Deci, această ecuație pătratică are două rădăcini: și.

Exemplu:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Să factorizăm partea stângă a ecuației și să găsim rădăcinile:

Răspuns:

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice complete:

1. Discriminant

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este ușoară, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule. Amintiți-vă, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant! Chiar incomplet.

Ați observat rădăcina de la discriminant în formula pentru rădăcini? Dar discriminantul poate fi negativ. Ce să fac? Trebuie să acordăm o atenție deosebită pasului 2. Discriminantul ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

  • Dacă, atunci ecuația are rădăcini:
  • Dacă, atunci ecuația are aceleași rădăcini și, de fapt, o rădăcină:

    Astfel de rădăcini se numesc rădăcini duble.

  • Dacă, atunci rădăcina discriminantului nu este extrasă. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

De ce este posibil un număr diferit de rădăcini? Să ne întoarcem la semnificația geometrică a ecuației pătratice. Graficul funcției este o parabolă:

Într-un caz special, care este o ecuație pătratică, . Aceasta înseamnă că rădăcinile unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție cu axa (axa) absciselor. O parabolă poate să nu intersecteze axa deloc sau o poate intersecta într-unul (când vârful parabolei se află pe axă) sau două puncte.

În plus, coeficientul este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă, atunci în jos.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Răspuns: .

Răspuns:

Asta înseamnă că nu există soluții.

Răspuns: .

2. Teorema lui Vieta

Este foarte ușor de folosit teorema lui Vieta: trebuie doar să alegeți o pereche de numere al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus.

Este important să ne amintim că teorema lui Vieta poate fi aplicată numai în ecuații pătratice reduse ().

Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul #1:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece . Alți coeficienți: ; .

Suma rădăcinilor ecuației este:

Și produsul este egal cu:

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și să verificăm dacă suma lor este egală:

  • Și. Suma este egală cu;
  • Și. Suma este egală cu;
  • Și. Suma este egală.

și sunt soluția pentru sistem:

Astfel, și sunt rădăcinile ecuației noastre.

Răspuns: ; .

Exemplul #2:

Soluţie:

Să selectăm perechi de numere care dau în produs și apoi să verificăm dacă suma lor este egală:

si: dau in total.

si: dau in total. Pentru a obține, este suficient să schimbați pur și simplu semnele presupuselor rădăcini: și, la urma urmei, produsul.

Răspuns:

Exemplul #3:

Soluţie:

Termenul liber al ecuației este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este un număr negativ. Acest lucru este posibil numai dacă una dintre rădăcini este negativă, iar cealaltă este pozitivă. Prin urmare, suma rădăcinilor este egală cu diferențele modulelor lor.

Să selectăm perechi de numere care dau în produs și a căror diferență este egală cu:

și: diferența lor este egală - nu se potrivește;

și: - neadecvat;

și: - neadecvat;

si: - potrivit. Tot ce rămâne este să ne amintim că una dintre rădăcini este negativă. Deoarece suma lor trebuie să fie egală, rădăcina cu modulul mai mic trebuie să fie negativă: . Verificăm:

Răspuns:

Exemplul #4:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Termenul liber este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este negativ. Și acest lucru este posibil numai atunci când o rădăcină a ecuației este negativă, iar cealaltă este pozitivă.

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și apoi să determinăm care rădăcini ar trebui să aibă semn negativ:

Evident, doar rădăcinile și sunt potrivite pentru prima condiție:

Răspuns:

Exemplul #5:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Suma rădăcinilor este negativă, ceea ce înseamnă că cel puțin una dintre rădăcini este negativă. Dar, deoarece produsul lor este pozitiv, înseamnă că ambele rădăcini au semnul minus.

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal cu:

Evident, rădăcinile sunt numerele și.

Răspuns:

De acord, este foarte convenabil să veniți cu rădăcini oral, în loc să numărați acest discriminant urât. Încercați să utilizați teorema lui Vieta cât mai des posibil.

Dar teorema lui Vieta este necesară pentru a facilita și accelera găsirea rădăcinilor. Pentru a beneficia de pe urma folosirii lui, trebuie să aduci acțiunile la automatitate. Și pentru asta, rezolvă încă cinci exemple. Dar nu înșela: nu poți folosi un discriminant! Doar teorema lui Vieta:

Soluții la sarcini pentru munca independentă:

Sarcina 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Conform teoremei lui Vieta:

Ca de obicei, începem selecția cu piesa:

Nu este potrivit pentru că suma;

: suma este exact ceea ce ai nevoie.

Răspuns: ; .

Sarcina 2.

Și din nou teorema noastră preferată Vieta: suma trebuie să fie egală, iar produsul trebuie să fie egal.

Dar din moment ce nu trebuie să fie, dar, schimbăm semnele rădăcinilor: și (în total).

Răspuns: ; .

Sarcina 3.

Hmm... Unde este asta?

Trebuie să mutați toți termenii într-o singură parte:

Suma rădăcinilor este egală cu produsul.

Bine, oprește-te! Ecuația nu este dată. Dar teorema lui Vieta este aplicabilă numai în ecuațiile date. Deci mai întâi trebuie să dați o ecuație. Dacă nu poți conduce, renunță la această idee și rezolvă-o într-un alt mod (de exemplu, printr-un discriminant). Permiteți-mi să vă reamintesc că a da o ecuație pătratică înseamnă a egaliza coeficientul principal:

Grozav. Apoi suma rădăcinilor este egală cu și produsul.

Aici este la fel de ușor ca decojirea perelor să alegi: la urma urmei, este un număr prim (scuze pentru tautologie).

Răspuns: ; .

Sarcina 4.

Membrul liber este negativ. Ce e special la asta? Și adevărul este că rădăcinile vor avea semne diferite. Și acum, în timpul selecției, verificăm nu suma rădăcinilor, ci diferența dintre modulele lor: această diferență este egală, dar un produs.

Deci, rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus. Teorema lui Vieta ne spune că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, adică. Aceasta înseamnă că rădăcina mai mică va avea un minus: și, din moment ce.

Răspuns: ; .

Sarcina 5.

Ce ar trebui să faci mai întâi? Așa este, dați ecuația:

Din nou: selectăm factorii numărului, iar diferența lor ar trebui să fie egală cu:

Rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus. Care? Suma lor ar trebui să fie egală, ceea ce înseamnă că minusul va avea o rădăcină mai mare.

Răspuns: ; .

Lasă-mă să rezum:
  1. Teorema lui Vieta este folosită numai în ecuațiile pătratice date.
  2. Folosind teorema lui Vieta, puteți găsi rădăcinile prin selecție, oral.
  3. Dacă ecuația nu este dată sau nu se găsește o pereche adecvată de factori ai termenului liber, atunci nu există rădăcini întregi și trebuie să o rezolvați în alt mod (de exemplu, printr-un discriminant).

3. Metoda de selectare a unui pătrat complet

Dacă toți termenii care conțin necunoscutul sunt reprezentați sub formă de termeni din formule de înmulțire prescurtate - pătratul sumei sau al diferenței - atunci după înlocuirea variabilelor, ecuația poate fi prezentată sub forma unei ecuații pătratice incomplete de tipul.

De exemplu:

Exemplul 1:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

Exemplul 2:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

În general, transformarea va arăta astfel:

Asta implică: .

Nu-ți aduce aminte de nimic? Acesta este un lucru discriminatoriu! Exact așa am obținut formula discriminantă.

ECUAȚII CADRATICE. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Ecuație cuadratică- aceasta este o ecuație de formă, unde - necunoscutul, - coeficienții ecuației pătratice, - termenul liber.

Ecuație pătratică completă- o ecuație în care coeficienții nu sunt egali cu zero.

Ecuație pătratică redusă- o ecuaţie în care coeficientul, adică: .

Ecuație pătratică incompletă- o ecuație în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

  • dacă coeficientul, ecuația arată astfel: ,
  • dacă există un termen liber, ecuația are forma: ,
  • dacă și, ecuația arată astfel: .

1. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

1.1. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să exprimăm necunoscutul: ,

2) Verificați semnul expresiei:

  • dacă, atunci ecuația nu are soluții,
  • dacă, atunci ecuația are două rădăcini.

1.2. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să scoatem factorul comun din paranteze: ,

2) Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Prin urmare, ecuația are două rădăcini:

1.3. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

Această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină: .

2. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiilor pătratice complete de forma unde

2.1. Soluție folosind discriminant

1) Să reducem ecuația la vedere standard: ,

2) Să calculăm discriminantul folosind formula: , care indică numărul de rădăcini ale ecuației:

3) Aflați rădăcinile ecuației:

  • dacă, atunci ecuația are rădăcini, care se găsesc prin formula:
  • dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
  • dacă, atunci ecuația nu are rădăcini.

2.2. Rezolvare folosind teorema lui Vieta

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse (ecuația formei unde) este egală, iar produsul rădăcinilor este egal, i.e. , A.

2.3. Rezolvare prin metoda selectării unui pătrat complet

Dacă o ecuație pătratică de formă are rădăcini, atunci se poate scrie sub forma: .

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru succes promovarea examenului de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliată si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

  1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
  2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 899 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut necesară.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de soluție, rețineți că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

  1. Nu au rădăcini;
  2. Au exact o rădăcină;
  3. Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

Discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0. Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac.

Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului poți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:

  1. Daca D< 0, корней нет;
  2. Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
  3. Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

  1. x 2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Să scriem coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămasă este:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este zero - rădăcina va fi una.

Vă rugăm să rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor, dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.

Apropo, dacă înțelegi, după un timp nu va mai fi nevoie să notezi toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de mult.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluția în sine. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - veți obține același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x 2 = 0;
  3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: uitați-vă la formula literal, notați fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de erori.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca o ecuație pătratică să fie ușor diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

  1. x 2 + 9x = 0;
  2. x 2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că acestor ecuații lipsește unul dintre termeni. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu necesită calcularea discriminantului. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.

Să luăm în considerare cazurile rămase. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:

Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c /a) ≥ 0. Concluzie:

  1. Dacă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 este satisfăcută inegalitatea (−c /a) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
  2. Dacă (−c /a)< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, nu a fost necesar un discriminant - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c /a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne uităm la ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteze

Produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, să ne uităm la câteva dintre aceste ecuații:

Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

  1. x 2 − 7x = 0;
  2. 5x 2 + 30 = 0;
  3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

! De la teorie la practică;

! De la simplu la complex

MAOU „Școala Gimnazială Platoshin”,

profesor de matematică, Melekhina G.V.


Forma generală ecuație liniară: topor + b = 0 ,

Unde AȘi b– numere (coeficienți).

  • Dacă a = 0Și b = 0, Acea 0x + 0 = 0 – infinit de rădăcini;
  • Dacă a = 0Și b ≠ 0, Acea 0x + b = 0– fără soluții;
  • Dacă a ≠ 0Și b = 0 , Acea topor + 0 = 0 – o rădăcină, x = 0;
  • Dacă a ≠ 0Și b ≠ 0 , Acea topor + b = 0 – o rădăcină,

! Dacă X este la prima putere și nu este la numitor, atunci este o ecuație liniară


! Și dacă ecuația liniară este complex :

! Termenii cu X merg la stânga, fără X - la dreapta.


! Aceste ecuații sunt de asemenea liniară .

! Principala proprietate a proporției (în cruce).

! Deschideți parantezele, cu X la stânga, fără X la dreapta.



  • dacă coeficientul a = 1, atunci ecuația se numește dat :
  • dacă coeficientul b = 0 sau și c = 0, atunci ecuația se numește incomplet :

! Formule de bază

! Mai multe formule



Ecuație biquadratică- numită ecuație a formei topor 4 +bx 2 + c = 0 .

Ecuația biquadratică se reduce la ecuație pătratică folosind substituția, atunci

Obținem o ecuație pătratică:

Să găsim rădăcinile și să revenim la înlocuitor:


Exemplul 1:

Rezolvați ecuația x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Soluţie:

Înlocuire: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Rădăcinile ecuației sunt t 1 = -9 și t 2 = 4.

x 2 = -9 sau x 2 = 4.

Răspuns: Nu există rădăcini în prima ecuație, dar în a doua: x = ±2.

Exemplul 2:

Rezolvați ecuația (2х – 1) 4 – 25(2x – 1) 2 + 144 = 0.

Soluţie:

Înlocuire: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Rădăcinile ecuației sunt t 1 = 9 și t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 sau (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 sau 2x – 1 = ±4.

Prima ecuație are două rădăcini: x = 2 și x = -1, a doua are și două rădăcini: x = 2,5 și x = -1,5.

Răspuns: -1,5; -1; 2; 2.5.


1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 = 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.


Rezolvați ecuațiile selectând din partea stângă pătrat plin :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Amintiți-vă de pătratul sumei și pătratul diferenței


Exprimarea rațională este o expresie algebrică formată din numere și o variabilă X folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și exponențiere cu un exponent natural.

Dacă r(x) este o expresie rațională, apoi ecuația r(x)=0 numită ecuație rațională.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale:

1. Mută ​​toți termenii ecuației într-o singură parte.

2. Convertiți această parte a ecuației în formă fracție algebrică p(x)/q(x)

3. Rezolvați ecuația p(x)=0

4. Pentru fiecare rădăcină a ecuației p(x)=0 verifica daca indeplineste conditia q(x)≠0 sau nu. Dacă da, atunci aceasta este rădăcina ecuația dată; dacă nu, atunci este o rădăcină străină și nu ar trebui inclusă în răspuns.


! Să ne amintim soluția ecuației raționale fracționale:


! Pentru a rezolva ecuații, este util să amintim formulele de înmulțire abreviate:



Dacă într-o ecuație o variabilă este conținută sub semn rădăcină pătrată, atunci ecuația se numește iraţional .

Metoda de a pune la pătrat ambele părți ale unei ecuații- metoda principală de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale.

După ce s-a rezolvat ecuația rațională rezultată, este necesar să Verifica , îndepărtând eventualele rădăcini străine.


Răspuns: 5; 4

Alt exemplu:

Examinare:

Expresia nu are sens.

Răspuns: fara solutii.