Integrale principale pe care fiecare elev ar trebui să le cunoască

Integralele enumerate sunt baza, baza fundamentelor. Aceste formule trebuie cu siguranță reținute. Când calculați integrale mai complexe, va trebui să le utilizați în mod constant.

Acordați o atenție deosebită formulelor (5), (7), (9), (12), (13), (17) și (19). Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la răspunsul dvs. atunci când integrați!

Integrala unei constante

∫ A d x = A x + C (1)

Integrarea unei funcții de putere

De fapt, a fost posibil să ne limităm doar la formulele (5) și (7), dar restul integralelor din acest grup apar atât de des încât merită să le acordăm puțină atenție.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrale ale funcțiilor exponențiale și ale funcțiilor hiperbolice

Desigur, formula (8) (poate cea mai convenabilă pentru memorare) poate fi considerată ca un caz special al formulei (9). Formulele (10) și (11) pentru integralele sinusului hiperbolic și cosinus hiperbolic sunt ușor derivate din formula (8), dar este mai bine să ne amintim pur și simplu aceste relații.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrale de bază ale funcțiilor trigonometrice

O greșeală pe care elevii o fac adesea este aceea că confundă semnele în formulele (12) și (13). Reținând că derivata sinusului este egală cu cosinusul, din anumite motive mulți oameni cred că integrala funcției sinx este egală cu cosx. Acest lucru nu este adevărat! Integrala sinusului este egală cu „minus cosinus”, dar integrala cosx este egală cu „doar sinusul”:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrale care reduc la funcții trigonometrice inverse

Formula (16), care duce la arctangente, este în mod natural un caz special al formulei (17) pentru a=1. În mod similar, (18) este un caz special al lui (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integrale mai complexe

De asemenea, este indicat să vă amintiți aceste formule. De asemenea, sunt folosite destul de des, iar producția lor este destul de obositoare.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Reguli generale de integrare

1) Integrala sumei a două funcții este egală cu suma integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrala diferenței a două funcții este egală cu diferența integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Constanta poate fi scoasă din semnul integral: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Este ușor de observat că proprietatea (26) este pur și simplu o combinație de proprietăți (25) și (27).

4) Integrală a unei funcții complexe dacă funcția interioară este liniară: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Aici F(x) este o antiderivată pentru funcția f(x). Vă rugăm să rețineți: această formulă funcționează numai atunci când funcția interioară este Ax + B.

Important: nu există o formulă universală pentru integrala produsului a două funcții, precum și pentru integrala unei fracții:

∫ f (x) g (x) d x = ?

∫ f (x) g (x) d x = ?

(30)

Acum să folosim doar tabelul integralelor de bază. Va trebui să aplicăm formulele (3), (12), (8) și (1). Să integrăm funcția de putere, sinus, exponențial și constantă 1. Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la sfârșit:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

După transformări elementare obținem răspunsul final:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testați-vă prin diferențiere: luați derivata funcției rezultate și asigurați-vă că este egală cu integrandul original.

Tabel rezumativ al integralelor

∫ A d x = A x + C
∫ x d x = x 2 2 + C
∫ x 2 d x = x 3 3 + C
∫ 1 x d x = 2 x + C
∫ 1 x d x = ln | x | +C
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)
∫ e x d x = e x + C
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)
∫ s h x d x = c h x + C
∫ c h x d x = s h x + C
∫ sin x d x = − cos x + C
∫ cos x d x = sin x + C
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)


∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Descărcați tabelul de integrale (partea a II-a) de pe acest link Dacă studiezi la o universitate, dacă ai dificultăți cu matematica superioară (analiza matematică, algebră liniară, teoria probabilităților, statistică), dacă ai nevoie de serviciile unui profesor calificat, mergi pe pagina unui profesor superior de matematică. Vom rezolva problemele dumneavoastră împreună! S-ar putea să te intereseze și(Funcția antiderivată și integrală nedefinită Faptul 1. Integrarea este acțiunea inversă a diferențierii și anume restabilirea unei funcții din derivata cunoscută a acestei funcții. Funcția astfel restabilită F x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită).

) se numește S-ar putea să te intereseze și(Funcția antiderivată și integrală nedefinită x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită antiderivat pentru functie f Funcția antiderivată și integrală nedefinită Definiție 1. Funcție S-ar putea să te intereseze și "(Funcția antiderivată și integrală nedefinită)=x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) pe un anumit interval x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită X S-ar putea să te intereseze și(Funcția antiderivată și integrală nedefinită). .

De exemplu, funcția S-ar putea să te intereseze și(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) = păcat Funcția antiderivată și integrală nedefinită este o antiderivată a funcției x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) = cos Funcția antiderivată și integrală nedefinită pe întreaga dreaptă numerică, deoarece pentru orice valoare a lui x (păcat Funcția antiderivată și integrală nedefinită)" = (cos Funcția antiderivată și integrală nedefinită) .

Definiție 2. Integrală nedefinită a unei funcții x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) este mulțimea tuturor antiderivatelor sale. În acest caz, se folosește notația

∫

x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită)dx

,

unde este semnul ∫ numit semn integral, funcția x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) – funcția integrand și x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită)dx – expresie integrantă.

Astfel, dacă S-ar putea să te intereseze și(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) – unele antiderivate pt x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită), Asta

∫

x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită)dx = S-ar putea să te intereseze și(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) +C

Unde C - constantă arbitrară (constant).

Pentru a înțelege semnificația mulțimii de antiderivate ale unei funcții ca integrală nedefinită, este potrivită următoarea analogie. Să fie o uşă (uşă tradiţională din lemn). Funcția sa este de a „fi o ușă”. Din ce este făcută ușa? Din lemn. Aceasta înseamnă că mulțimea de antiderivate ale integrandului funcției „a fi o ușă”, adică integrala sa nedefinită, este funcția „a fi un arbore + C”, unde C este o constantă, care în acest context poate denotă, de exemplu, tipul de arbore. Așa cum o ușă este făcută din lemn folosind unele unelte, un derivat al unei funcții este „făcut” dintr-o funcție antiderivată folosind formule pe care le-am învățat în timp ce studiam derivata .

Apoi tabelul cu funcțiile obiectelor comune și antiderivatele lor corespunzătoare („a fi o ușă” - „a fi un copac”, „a fi o lingură” - „a fi metal”, etc.) este similar cu tabelul de bază. integrale nedefinite, care vor fi date mai jos. Tabelul de integrale nedefinite enumeră funcțiile comune, indicând antiderivatele din care sunt „alcătuite” aceste funcții. În parte din problemele de găsire a integralei nedefinite, sunt dați integranți care pot fi integrați direct fără prea mult efort, adică folosind tabelul integralelor nedefinite. În problemele mai complexe, integrandul trebuie mai întâi transformat, astfel încât integralele de tabel să poată fi utilizate.

Faptul 2. Când restabilim o funcție ca antiderivată, trebuie să luăm în considerare o constantă (constant) arbitrară C, iar pentru a nu scrie o listă de antiderivate cu diverse constante de la 1 la infinit, trebuie să scrieți un set de antiderivate cu o constantă arbitrară C, de exemplu, astfel: 5 Funcția antiderivată și integrală nedefinită³+C. Deci, o constantă arbitrară (constant) este inclusă în expresia antiderivatei, deoarece antiderivatul poate fi o funcție, de exemplu, 5 Funcția antiderivată și integrală nedefinită³+4 sau 5 Funcția antiderivată și integrală nedefinită³+3 și când este diferențiat, 4 sau 3 sau orice altă constantă ajunge la zero.

Să punem problema integrării: pentru această funcție x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) găsiți o astfel de funcție S-ar putea să te intereseze și(Funcția antiderivată și integrală nedefinită), al cărui derivat egal cu x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită).

Exemplul 1. Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Soluţie. Pentru această funcție, antiderivată este funcția

Funcţie S-ar putea să te intereseze și(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) se numește antiderivată pentru funcție x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită), dacă derivata S-ar putea să te intereseze și(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) este egal cu x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită), sau, ceea ce este același lucru, diferențială S-ar putea să te intereseze și(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) este egală x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) dx, adică

(2)

Prin urmare, funcția este o antiderivată a funcției. Cu toate acestea, nu este singurul antiderivat pentru . Ele servesc și ca funcții

Unde CU– constantă arbitrară. Acest lucru poate fi verificat prin diferențiere.

Astfel, dacă există o singură antiderivată pentru o funcție, atunci pentru aceasta există un număr infinit de antiderivate care diferă printr-un termen constant. Toate antiderivatele pentru o funcție sunt scrise în forma de mai sus. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.

Teoremă (enunțul formal al faptului 2). Dacă S-ar putea să te intereseze și(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) – antiderivată pentru funcție x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) pe un anumit interval X, apoi orice alt antiderivat pentru x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) pe același interval poate fi reprezentat sub formă S-ar putea să te intereseze și(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) + C, Unde CU– constantă arbitrară.

În exemplul următor, ne întoarcem la tabelul integralelor, care va fi dat în paragraful 3, după proprietățile integralei nedefinite. Facem acest lucru înainte de a citi întregul tabel, astfel încât esența celor de mai sus să fie clară. Și după tabel și proprietăți, le vom folosi în întregime în timpul integrării.

Exemplul 2. Găsiți seturi de funcții antiderivate:

Soluţie. Găsim seturi de funcții antiderivate din care aceste funcții sunt „facute”. Când menționăm formule din tabelul integralelor, deocamdată acceptați doar că există astfel de formule acolo și vom studia tabelul integralelor nedefinite în sine puțin mai departe.

1) Aplicând formula (7) din tabelul de integrale pt n= 3, obținem

2) Folosind formula (10) din tabelul de integrale pentru n= 1/3, avem

3) Din moment ce

apoi conform formulei (7) cu n= -1/4 găsim

Nu funcția în sine este scrisă sub semnul integral x, și produsul său prin diferenţial dx. Acest lucru se face în primul rând pentru a indica prin ce variabilă este căutat antiderivatul. De exemplu,

, ;

aici în ambele cazuri integrandul este egal cu , dar integralele sale nedefinite în cazurile considerate se dovedesc a fi diferite. În primul caz, această funcție este considerată ca o funcție a variabilei Funcția antiderivată și integrală nedefinită, iar în al doilea - în funcție de z .

Procesul de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acelei funcții.

Sensul geometric al integralei nedefinite

Să presupunem că trebuie să găsim o curbă y=F(x)și știm deja că tangenta unghiului tangentei în fiecare dintre punctele sale este o funcție dată f(x) abscisa acestui punct.

După semnificația geometrică a derivatei, tangenta unghiului de înclinare a tangentei într-un punct dat al curbei y=F(x) egal cu valoarea derivatei F"(x). Deci trebuie să găsim o astfel de funcție F(x), pentru care F"(x)=f(x). Funcția necesară în sarcină F(x) este un antiderivat al f(x). Condițiile problemei sunt îndeplinite nu de o curbă, ci de o familie de curbe. y=F(x)- una dintre astfel de curbe și orice altă curbă poate fi obținută din aceasta prin translație paralelă de-a lungul axei Oi.

Să numim graficul funcției antiderivative de f(x) curba integrala. Dacă F"(x)=f(x), apoi graficul funcției y=F(x) există o curbă integrală.

Faptul 3. Integrala nedefinită este reprezentată geometric prin familia tuturor curbelor integrale , ca in poza de mai jos. Distanța fiecărei curbe de la originea coordonatelor este determinată de o constantă de integrare arbitrară C.

Proprietățile integralei nedefinite

Faptul 4. Teorema 1. Derivata unei integrale nedefinite este egala cu integrandul, iar diferenta sa este egala cu integrandul.

Faptul 5. Teorema 2. Integrală nedefinită a diferenţialului unei funcţii x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) este egală cu funcția x(Funcția antiderivată și integrală nedefinită) până la un termen constant , adică

(3)

Teoremele 1 și 2 arată că diferențierea și integrarea sunt operații reciproc inverse.

Faptul 6. Teorema 3. Factorul constant din integrand poate fi scos din semnul integralei nedefinite , adică

La școală, mulți oameni nu reușesc să rezolve integralele sau au dificultăți cu ele. Acest articol vă va ajuta să vă dați seama, deoarece veți găsi totul în el. tabele integrale.

Integral este unul dintre principalele calcule și concepte în analiza matematică. Apariția sa a rezultat din două scopuri:
Primul gol- restabiliți o funcție folosind derivata ei.
Al doilea gol- calculul ariei situate la distanta de la grafic la functia f(x) pe dreapta unde, a este mai mare sau egal cu x mai mare sau egal cu b si axa x.

Aceste obiective ne conduc la integrale definite și nedefinite. Legătura dintre aceste integrale constă în căutarea proprietăților și calcul. Dar totul curge și totul se schimbă în timp, s-au găsit soluții noi, au fost identificate completări, conducând astfel integrale definite și nedefinite la alte forme de integrare.

Ce s-a întâmplat integrală nedefinită intrebi tu. Aceasta este o funcție antiderivată F(x) a unei variabile x în intervalul a mai mare decât x mai mare decât b. se numește orice funcție F(x), într-un interval dat pentru orice denumire x, derivata este egală cu F(x). Este clar că F(x) este antiderivată pentru f(x) în intervalul a este mai mare decât x este mai mare decât b. Aceasta înseamnă că F1(x) = F(x) + C. C - este orice constantă și antiderivată pentru f(x) într-un interval dat. Această afirmație este inversabilă pentru funcția f(x) - 2 antiderivatele diferă doar în constantă. Pe baza teoremei calculului integral, rezultă că fiecare continuă în intervalul a

Integrală definită se înțelege ca limită în sume integrale, sau în situația unei funcții date f(x) definită pe o dreaptă (a,b) având pe ea o antiderivată F, adică diferența expresiilor sale la capetele unei linii date. F(b) - F(a).

Pentru a ilustra studiul acestui subiect, vă sugerez să vizionați videoclipul. Spune în detaliu și arată cum să găsiți integralele.

Fiecare tabel de integrale în sine este foarte util, deoarece ajută la rezolvarea unui anumit tip de integrală.






Toate tipurile posibile de papetărie și multe altele. Puteți achiziționa prin intermediul magazinului online v-kant.ru. Sau doar urmați linkul Papetarie Samara (http://v-kant.ru) calitatea și prețurile vă vor surprinde plăcut.


Profitând de faptul că integrarea este acțiunea inversă a diferențierii. se poate obtine un tabel de integrale de baza inversand formulele corespunzatoare de calcul diferential (tabelul diferentialelor) si folosind proprietatile integralei nedefinite. De exemplu, pentru că

d(păcat u) = cos u*du, atunci derivarea unui număr de formule din tabel va fi dată în considerarea metodelor de bază de integrare.
Se numesc integralele din tabelul de mai jos tabular. Ele trebuie cunoscute pe de rost. În calculul integral nu există reguli simple și universale pentru găsirea antiderivate ale funcțiilor elementare, ca în calculul diferențial. Metodele pentru găsirea antiderivatelor (adică integrarea unei funcții) sunt reduse la indicarea tehnicilor care aduc o integrală dată (căută) la una tabelară. Prin urmare, este necesar să cunoașteți integralele tabelului și să le puteți recunoaște.
Rețineți că în tabelul integralelor de bază, variabila de integrare poate desemna atât o variabilă independentă, cât și o funcție a variabilei independente (conform proprietății de invarianță a formulei de integrare).
Valabilitatea formulelor de mai jos poate fi verificată luând diferența din partea dreaptă, care va fi egală cu integrandul din partea stângă a formulei.
Să demonstrăm, de exemplu, validitatea formulei 2. Funcția 1/ u definit şi continuu pentru toate valorile u, diferit de zero.
Dacă u> 0. atunci ln | u| = jurnal u, Atunci d ln | u| = d ln u = du/u. De aceea

Tabelul integralelor de bază