Ecuația formei

Expresie D= b 2 - 4 ac numit discriminant ecuație pătratică. DacăD = 0, atunci ecuația are o rădăcină reală; daca D> 0, atunci ecuația are două rădăcini reale.
În cazul în care D = 0 , se spune uneori că o ecuație pătratică are două rădăcini identice.
Folosind notația D= b 2 - 4 ac, putem rescrie formula (2) sub forma

Dacă b= 2k, atunci formula (2) ia forma:

Unde k= b / 2 .
Ultima formulă este deosebit de convenabilă în cazurile în care b / 2 - un număr întreg, adică coeficient b - număr par.
Exemplul 1: Rezolvați ecuația 2 X 2 - 5 x + 2 = 0 . Aici a = 2, b = -5, c = 2. Avem D= b 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Deoarece D > 0 , atunci ecuația are două rădăcini. Să le găsim folosind formula (2)

Asa de X 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
acesta este X 1 = 2 Și X 2 = 1 / 2 - rădăcinile unei ecuații date.
Exemplul 2: Rezolvați ecuația 2 X 2 - 3 x + 5 = 0 . Aici a = 2, b = -3, c = 5. Găsirea discriminantului D= b 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Deoarece D 0 , atunci ecuația nu are rădăcini reale.

Ecuații patratice incomplete. Dacă într-o ecuație pătratică topor 2 +bx+ c =0 al doilea coeficient b sau membru gratuit c este egal cu zero, atunci se numește ecuația pătratică incomplet. Ecuațiile incomplete sunt evidențiate deoarece pentru a le găsi rădăcinile nu trebuie să utilizați formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice - este mai ușor să rezolvați ecuația prin factorizarea părții stângi.
Exemplul 1: rezolva ecuatia 2 X 2 - 5 x = 0 .
Avem X(2 x - 5) = 0 . Deci fie X = 0 , sau 2 X - 5 = 0 , acesta este X = 2.5 . Deci ecuația are două rădăcini: 0 Și 2.5
Exemplul 2: rezolva ecuatia 3 X 2 - 27 = 0 .
Avem 3 X 2 = 27 . Prin urmare, rădăcinile acestei ecuații sunt 3 Și -3 .

teorema lui Vieta. Dacă ecuaţia pătratică redusă X 2 +px+q =0 are rădăcini reale, atunci suma lor este egală cu - p, iar produsul este egal q, acesta este

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(suma rădăcinilor ecuației pătratice de mai sus este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber).

„, adică ecuații de gradul I. În această lecție ne vom uita ceea ce se numește ecuație pătratică si cum sa o rezolvi.

Ce este o ecuație pătratică?

Important!

Gradul unei ecuații este determinat de gradul cel mai înalt în care se află necunoscutul.

Dacă gradul maxim, în care necunoscuta este „2”, ceea ce înseamnă că aveți o ecuație pătratică.

Exemple de ecuații pătratice

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Important! Forma generală a unei ecuații pătratice arată astfel:

A x 2 + b x + c = 0

„a”, „b” și „c” sunt date numere.

• „a” este primul sau cel mai mare coeficient;
• „b” este al doilea coeficient;
• „c” este un membru gratuit.

Pentru a găsi „a”, „b” și „c” trebuie să comparați ecuația cu forma generală a ecuației pătratice „ax 2 + bx + c = 0”.

Să exersăm determinarea coeficienților „a”, „b” și „c” în ecuații patratice.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ecuația	Cote
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Cum se rezolvă ecuații cuadratice

Spre deosebire de ecuațiile liniare, se folosește o metodă specială pentru a rezolva ecuațiile pătratice. formula pentru găsirea rădăcinilor.

Tine minte!

Pentru a rezolva o ecuație pătratică aveți nevoie de:

• reduce ecuația pătratică la aspectul general„ax 2 + bx + c = 0”. Adică, doar „0” ar trebui să rămână în partea dreaptă;
• utilizați formula pentru rădăcini:

Să ne uităm la un exemplu de utilizare a formulei pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Să rezolvăm o ecuație pătratică.

X 2 − 3x − 4 = 0

Ecuația „x 2 − 3x − 4 = 0” a fost deja redusă la forma generală „ax 2 + bx + c = 0” și nu necesită simplificări suplimentare. Pentru a o rezolva, trebuie doar să aplicăm formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Să determinăm coeficienții „a”, „b” și „c” pentru această ecuație.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Poate fi folosit pentru a rezolva orice ecuație pătratică.

În formula „x 1;2 = ” expresia radicală este adesea înlocuită
„b 2 − 4ac” pentru litera „D” și se numește discriminant. Conceptul de discriminant este discutat mai detaliat în lecția „Ce este un discriminant”.

Să ne uităm la un alt exemplu de ecuație pătratică.

x 2 + 9 + x = 7x

În această formă, este destul de dificil să se determine coeficienții „a”, „b” și „c”. Să reducem mai întâi ecuația la forma generală „ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Acum puteți folosi formula pentru rădăcini.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Răspuns: x = 3

Există momente când ecuațiile pătratice nu au rădăcini. Această situație apare atunci când formula conține un număr negativ sub rădăcină.

Ecuație cuadratică - ușor de rezolvat! *Denumit în continuare „KU”. Prieteni, s-ar părea că nu poate fi nimic mai simplu în matematică decât rezolvarea unei astfel de ecuații. Dar ceva mi-a spus că mulți oameni au probleme cu el. Am decis să văd câte impresii la cerere oferă Yandex pe lună. Iată ce s-a întâmplat, uite:

Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că aproximativ 70.000 de oameni pe lună caută această informație, ce legătură are această vară cu ea și ce se va întâmpla printre an scolar— vor fi de două ori mai multe cereri. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece băieții și fetele aceia care au absolvit școala cu mult timp în urmă și se pregătesc pentru Examenul Unificat de Stat caută aceste informații, iar școlarii se străduiesc și ei să-și împrospăteze memoria.

În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri care vă spun cum să rezolvați această ecuație, am decis să contribui și să public materialul. În primul rând, vreau ca vizitatorii să vină pe site-ul meu pe baza acestei solicitări; în al doilea rând, în alte articole, când apare subiectul „KU”, voi oferi un link către acest articol; în al treilea rând, vă voi spune puțin mai multe despre soluția lui decât se spune de obicei pe alte site-uri. Să începem! Conținutul articolului:

O ecuație pătratică este o ecuație de forma:

unde coeficienții a,bși c sunt numere arbitrare, cu a≠0.

ÎN curs şcolar materialul este dat în următoarea formă - ecuațiile sunt împărțite condiționat în trei clase:

1. Au două rădăcini.

2. *Ai o singură rădăcină.

3. Nu au rădăcini. Merită remarcat în special aici faptul că nu au rădăcini reale

Cum se calculează rădăcinile? Doar!

Calculăm discriminantul. Sub acest cuvânt „îngrozitor” se află o formulă foarte simplă:

Formulele rădăcinilor sunt următoarele:

*Trebuie să știi aceste formule pe de rost.

Puteți nota și rezolva imediat:

Exemplu:

1. Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini.

2. Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină.

3. Dacă D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să ne uităm la ecuație:

În acest sens, când discriminantul este egal cu zero, cursul școlar spune că se obține o rădăcină, aici este egală cu nouă. Totul este corect, așa este, dar...

Această idee este oarecum incorectă. De fapt, există două rădăcini. Da, da, nu fi surprins, obții două rădăcini egale și, pentru a fi precis din punct de vedere matematic, atunci răspunsul ar trebui să scrie două rădăcini:

x 1 = 3 x 2 = 3

Dar așa este - o mică digresiune. La școală poți să-l notezi și să spui că există o singură rădăcină.

Acum următorul exemplu:

După cum știm, rădăcina unui număr negativ nu poate fi luată, așa că nu există o soluție în acest caz.

Acesta este tot procesul de decizie.

Funcția pătratică.

Aceasta arată cum arată soluția din punct de vedere geometric. Acest lucru este extrem de important de înțeles (în viitor, într-unul dintre articole vom analiza în detaliu soluția la inegalitatea pătratică).

Aceasta este o funcție a formei:

unde x și y sunt variabile

a, b, c – numere date, cu a ≠ 0

Graficul este o parabolă:

Adică, rezultă că rezolvând o ecuație pătratică cu „y” egal cu zero, găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Pot exista două dintre aceste puncte (discriminantul este pozitiv), unul (discriminantul este zero) și niciunul (discriminantul este negativ). Detalii despre funcţie pătratică Puteți vizualiza articol de Inna Feldman.

Să ne uităm la exemple:

Exemplul 1: Rezolvați 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Răspuns: x 1 = 8 x 2 = –12

*A fost posibilă împărțirea imediată a părților stânga și dreaptă ale ecuației cu 2, adică simplificarea acesteia. Calculele vor fi mai ușoare.

Exemplul 2: Decide x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Am constatat că x 1 = 11 și x 2 = 11

Este permis să scrieți x = 11 în răspuns.

Răspuns: x = 11

Exemplul 3: Decide x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Discriminantul este negativ, nu există soluție în numerele reale.

Răspuns: nicio soluție

Discriminantul este negativ. Există o soluție!

Aici vom vorbi despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminant negativ. Știi ceva despre numere complexe? Nu voi intra în detaliu aici despre de ce și unde au apărut și care este rolul și necesitatea lor specifică în matematică; acesta este un subiect pentru un articol separat.

Conceptul de număr complex.

Puțină teorie.

Un număr complex z este un număr de formă

z = a + bi

unde a și b sunt numere reale, i este așa-numita unitate imaginară.

a+bi – acesta este un SINGUR NUMĂR, nu o adăugare.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina lui minus unu:

Acum luați în considerare ecuația:

Obținem două rădăcini conjugate.

Ecuație pătratică incompletă.

Să luăm în considerare cazurile speciale, atunci când coeficientul „b” sau „c” este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Ele pot fi rezolvate cu ușurință, fără discriminare.

Cazul 1. Coeficientul b = 0.

Ecuația devine:

Să convertim:

Exemplu:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Cazul 2. Coeficientul c = 0.

Ecuația devine:

Să transformăm și să factorizăm:

*Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Exemplu:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 sau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.

Aici este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x = 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care vă permit să rezolvați ecuații cu coeficienți mari.

AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

A + b+ c = 0, Acea

- dacă pentru coeficienţii ecuaţiei AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

A+ c =b, Acea

Aceste proprietăți ajută la rezolvarea unui anumit tip de ecuație.

Exemplul 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma cotelor este 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ceea ce înseamnă

Exemplul 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Egalitatea este valabilă A+ c =b, Mijloace

Regularități ale coeficienților.

1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Exemplu. Luați în considerare ecuația 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Dacă în ecuația ax 2 – bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Dacă în Ec. ax 2 + bx – c = 0 coeficient „b” este egal cu (a 2 – 1), și coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Dacă în ecuația ax 2 – bx – c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 – 1), iar coeficientul c este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

teorema lui Vieta.

Teorema lui Vieta poartă numele celebrului matematician francez Francois Vieta. Folosind teorema lui Vieta, putem exprima suma și produsul rădăcinilor unui KU arbitrar în termeni de coeficienți.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

În total, numărul 14 dă doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcini. Cu o anumită îndemânare, folosind teorema prezentată, poți rezolva imediat multe ecuații pătratice pe cale orală.

Teorema lui Vieta, în plus. Este convenabil prin faptul că, după rezolvarea unei ecuații pătratice în mod obișnuit (printr-un discriminant), rădăcinile rezultate pot fi verificate. Recomand să faci asta mereu.

METODA DE TRANSPORT

Cu această metodă, coeficientul „a” este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi „aruncat” acestuia, motiv pentru care se numește metoda „transferului”. Această metodă este folosită atunci când rădăcinile ecuației pot fi găsite cu ușurință folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Dacă A± b+c≠ 0, atunci se utilizează tehnica de transfer, de exemplu:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Folosind teorema lui Vieta din ecuația (2), este ușor de determinat că x 1 = 10 x 2 = 1

Rădăcinile rezultate ale ecuației trebuie împărțite la 2 (deoarece cele două au fost „aruncate” din x 2), obținem

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Care este rațiunea? Uite ce se întâmplă.

Discriminanții ecuațiilor (1) și (2) sunt egali:

Dacă te uiți la rădăcinile ecuațiilor, obții doar numitori diferiți, iar rezultatul depinde tocmai de coeficientul lui x 2:

Al doilea (modificat) are rădăcini de 2 ori mai mari.

Prin urmare, împărțim rezultatul la 2.

*Dacă reluăm cele trei, vom împărți rezultatul la 3 etc.

Răspuns: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mp. ur-ie și examenul de stat unificat.

Vă voi spune pe scurt despre importanța sa - TREBUIE SĂ PUTEȚI DECIZI rapid și fără să stați pe gânduri, trebuie să cunoașteți pe de rost formulele rădăcinilor și discriminanților. Multe dintre problemele incluse în sarcinile Unified State Examination se rezumă la rezolvarea unei ecuații pătratice (inclusiv cele geometrice).

Ceva demn de remarcat!

1. Forma de scriere a unei ecuații poate fi „implicita”. De exemplu, următoarea intrare este posibilă:

15+ 9x 2 - 45x = 0 sau 15x+42+9x 2 - 45x=0 sau 15 -5x+10x 2 = 0.

Trebuie să îl aduceți într-o formă standard (pentru a nu vă încurca atunci când rezolvați).

2. Amintiți-vă că x este o cantitate necunoscută și poate fi notat cu orice altă literă - t, q, p, h și altele.

Ecuații cuadratice. Discriminant. Soluție, exemple.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Tipuri de ecuații pătratice

Ce este o ecuație pătratică? Cu ce ​​seamănă? În termen ecuație pătratică cuvântul cheie este "pătrat". Aceasta înseamnă că în ecuație Neapărat trebuie să existe un x pătrat. În plus față de aceasta, ecuația poate (sau nu!) conține doar X (la prima putere) și doar un număr (membru liber).Și nu ar trebui să existe X la o putere mai mare de doi.

În termeni matematici, o ecuație pătratică este o ecuație de forma:

Aici a, b și c- unele numere. b și c- absolut orice, dar A– orice altceva decât zero. De exemplu:

Aici A =1; b = 3; c = -4

Aici A =2; b = -0,5; c = 2,2

Aici A =-3; b = 6; c = -18

Ei bine, înțelegi...

În aceste ecuații pătratice din stânga există Set complet membrii. X pătrat cu un coeficient A, x la prima putere cu coeficient bȘi membru liber s.

Astfel de ecuații pătratice se numesc deplin.

Si daca b= 0, ce obținem? Avem X va fi pierdut la prima putere. Acest lucru se întâmplă atunci când este înmulțit cu zero.) Se dovedește, de exemplu:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Și așa mai departe. Și dacă ambii coeficienți bȘi c sunt egale cu zero, atunci este și mai simplu:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Se numesc astfel de ecuații în care lipsește ceva ecuații pătratice incomplete. Ceea ce este destul de logic.) Vă rugăm să rețineți că x pătrat este prezent în toate ecuațiile.

Apropo, de ce A nu poate fi egal cu zero? Și tu înlocuiești în schimb A zero.) X pătratul nostru va dispărea! Ecuația va deveni liniară. Si solutia este cu totul alta...

Acestea sunt toate tipurile principale de ecuații pătratice. Complet și incomplet.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete.

Ecuațiile cuadratice sunt ușor de rezolvat. După formule și reguli clare, simple. În prima etapă este necesar ecuația dată conduce la o formă standard, adică la forma:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă.) Principalul lucru este să determinați corect toți coeficienții, A, bȘi c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată astfel:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. Dar mai multe despre el mai jos. După cum puteți vedea, pentru a găsi X, folosim doar a, b și c. Acestea. coeficienții dintr-o ecuație pătratică. Doar înlocuiți cu atenție valorile a, b și c Calculăm în această formulă. Să înlocuim cu semnele tale! De exemplu, în ecuația:

A =1; b = 3; c= -4. Aici o scriem:

Exemplul este aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Totul este foarte simplu. Și ce, crezi că este imposibil să faci o greșeală? Ei bine, da, cum...

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu valorile semnelor a, b și c. Sau mai degrabă, nu cu semnele lor (unde să ne încurcăm?), ci cu substituția valori negativeîn formula de calcul a rădăcinilor. Ceea ce ajută aici este o înregistrare detaliată a formulei cu numere specifice. Dacă există probleme cu calculele, fa aia!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici A = -6; b = -5; c = -1

Să presupunem că știi că rar primești răspunsuri prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Va dura aproximativ 30 de secunde pentru a scrie o linie suplimentară și numărul de erori va scădea brusc. Așa că scriem în detaliu, cu toate parantezele și semnele:

Pare incredibil de dificil să scrii cu atâta atenție. Dar doar așa pare. Incearca. Ei bine, sau alege. Ce e mai bine, rapid sau corect? În plus, te voi face fericit. După un timp, nu va mai fi nevoie să scrieți totul atât de atent. Se va rezolva chiar de la sine. Mai ales dacă utilizați tehnici practice care sunt descrise mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri poate fi rezolvat ușor și fără erori!

Dar, adesea, ecuațiile pătratice arată ușor diferit. De exemplu, așa:

L-ai recunoscut?) Da! Acest ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.

Ele pot fi rezolvate și folosind o formulă generală. Trebuie doar să înțelegeți corect cu ce sunt ele egale aici. a, b și c.

Ți-ai dat seama? În primul exemplu a = 1; b = -4; A c? Nu este deloc acolo! Ei bine, da, așa este. În matematică asta înseamnă că c = 0 ! Asta e tot. În schimb, înlocuiți zero în formulă c, si vom reusi. La fel si cu al doilea exemplu. Numai că nu avem zero aici Cu, A b !

Dar ecuațiile pătratice incomplete pot fi rezolvate mult mai simplu. Fără nicio formulă. Să luăm în considerare primul ecuație incompletă. Ce poți face în partea stângă? Puteți scoate X din paranteze! Hai să-l scoatem.

Și ce din asta? Și faptul că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă oricare dintre factori este egal cu zero! Nu mă crezi? Bine, atunci veniți cu două numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero!
Nu funcționează? Asta este...
Prin urmare, putem scrie cu încredere: x 1 = 0, x 2 = 4.

Toate. Acestea vor fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele sunt potrivite. Când înlocuim oricare dintre ele în ecuația originală, obținem identitatea corectă 0 = 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât utilizarea formulei generale. Permiteți-mi să notez, apropo, care X va fi primul și care va fi al doilea - absolut indiferent. Este convenabil să scrieți în ordine, x 1- ce este mai mic şi x 2- ceea ce este mai mare.

A doua ecuație poate fi rezolvată și simplu. Mutați 9 în partea dreaptă. Primim:

Tot ce rămâne este să extragi rădăcina din 9 și atât. Se va dovedi:

De asemenea, două rădăcini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Așa se rezolvă toate ecuațiile pătratice incomplete. Fie plasând X dintre paranteze, fie pur și simplu deplasând numărul la dreapta și apoi extragând rădăcina.
Este extrem de greu de confundat aceste tehnici. Pur și simplu pentru că în primul caz va trebui să extragi rădăcina lui X, care este cumva de neînțeles, iar în al doilea caz nu este nimic de scos din paranteze...

Discriminant. Formula discriminantă.

cuvântul magic discriminant ! Rareori un elev de liceu nu a auzit acest cuvânt! Expresia „rezolvăm printr-un discriminant” inspiră încredere și liniște. Pentru că nu trebuie să vă așteptați la trucuri de la discriminant! Este simplu și fără probleme de utilizat.) Vă reamintesc cea mai generală formulă de rezolvare orice ecuații pătratice:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. De obicei, discriminantul este notat cu litera D. Formula discriminantă:

D = b 2 - 4ac

Și ce este atât de remarcabil la această expresie? De ce merita un nume special? Ce sensul discriminantului? La urma urmelor -b, sau 2aîn această formulă ei nu o numesc în mod specific nimic... Litere și litere.

Iată chestia. Când rezolvați o ecuație pătratică folosind această formulă, este posibil doar trei cazuri.

1. Discriminantul este pozitiv. Aceasta înseamnă că rădăcina poate fi extrasă din ea. Dacă rădăcina este extrasă bine sau prost este o altă întrebare. Important este ceea ce se extrage în principiu. Atunci ecuația ta pătratică are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminantul este zero. Atunci vei avea o soluție. Deoarece adăugarea sau scăderea zero în numărător nu schimbă nimic. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, ci două identice. Dar, într-o versiune simplificată, se obișnuiește să se vorbească despre o singura solutie.

3. Discriminantul este negativ. Rădăcina pătrată a unui număr negativ nu poate fi luată. Ei bine, bine. Asta înseamnă că nu există soluții.

Sincer vorbind, când solutie simpla ecuații pătratice, conceptul de discriminant nu este deosebit de solicitat. Înlocuim valorile coeficienților în formulă și numărăm. Totul se întâmplă acolo de la sine, două rădăcini, una și niciuna. Cu toate acestea, atunci când rezolvați sarcini mai complexe, fără cunoștințe sensul și formula discriminantului insuficient. Mai ales în ecuații cu parametri. Astfel de ecuații sunt acrobații pentru examenul de stat și examenul de stat unificat!)

Asa de, cum se rezolvă ecuații pătratice prin discriminantul de care ti-ai amintit. Sau ați învățat, ceea ce nu este rău.) Știți să determinați corect a, b și c. știi cum? atentînlocuiți-le în formula rădăcină și atent numărați rezultatul. Înțelegi că cuvântul cheie aici este atent?

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori. Aceleași care se datorează neatenției... Pentru care ulterior devine dureros și jignitor...

Prima numire . Nu fi leneș înainte de a rezolva o ecuație pătratică și aduce-o la forma standard. Ce înseamnă acest lucru?
Să presupunem că după toate transformările obținem următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c. Construiți corect exemplul. Mai întâi, X pătrat, apoi fără pătrat, apoi termenul liber. Ca aceasta:

Și din nou, nu te grăbi! Un minus în fața unui X pătrat te poate supăra cu adevărat. E usor sa uiti... Scapa de minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Dar acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și puteți termina de rezolvat exemplul. Decide pentru tine. Acum ar trebui să aveți rădăcinile 2 și -1.

Recepție secundă. Verificați rădăcinile! Conform teoremei lui Vieta. Nu vă speriați, vă explic totul! Control ultimul lucru ecuația. Acestea. cel pe care l-am folosit pentru a scrie formula rădăcinii. Dacă (ca în acest exemplu) coeficientul a = 1, verificarea rădăcinilor este ușoară. Este suficient să le înmulțim. Rezultatul ar trebui să fie un membru liber, adică. în cazul nostru -2. Vă rugăm să rețineți, nu 2, ci -2! Membru gratuit cu semnul tău . Dacă nu funcționează, înseamnă că s-au încurcat deja undeva. Căutați eroarea.

Dacă funcționează, trebuie să adăugați rădăcinile. Ultima si ultima verificare. Coeficientul ar trebui să fie b Cu opus familiar. În cazul nostru -1+2 = +1. Un coeficient b, care este înaintea lui X, este egal cu -1. Deci, totul este corect!
Este păcat că acest lucru este atât de simplu doar pentru exemplele în care x pătrat este pur, cu un coeficient a = 1. Dar măcar verificați astfel de ecuații! Vor fi din ce în ce mai puține erori.

Recepția a treia . Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Înmulțiți ecuația cu numitor comun, așa cum este descris în lecția „Cum se rezolvă ecuații? Transformări identice”. Când lucrați cu fracții, erorile continuă să apară din anumite motive...

Apropo, am promis că voi simplifica exemplul malefic cu o grămadă de minusuri. Vă rog! Aici era.

Pentru a nu ne confunda cu minusurile, înmulțim ecuația cu -1. Primim:

Asta e tot! Rezolvarea este o plăcere!

Deci, haideți să rezumam subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard și o construim Dreapta.

2. Dacă în fața pătratului X există un coeficient negativ, îl eliminăm înmulțind întreaga ecuație cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu factorul corespunzător.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul său este egal cu unu, soluția poate fi ușor verificată folosind teorema lui Vieta. Fă-o!

Acum putem decide.)

Rezolvarea ecuațiilor:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Răspunsuri (în dezordine):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - orice număr

x 1 = -3
x 2 = 3

fara solutii

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Se potrivește totul? Grozav! Ecuațiile cuadratice nu sunt durerea ta de cap. Primele trei au funcționat, dar restul nu? Atunci problema nu este cu ecuațiile pătratice. Problema este în transformări identice ale ecuațiilor. Aruncă o privire pe link, este util.

Nu prea merge? Sau nu merge deloc? Atunci vă va ajuta Secțiunea 555. Toate aceste exemple sunt defalcate acolo. Afișate principal erori de solutie. Desigur, se vorbește și despre utilizare transformări identitareîn rezolvarea diverselor ecuaţii. Ajută mult!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Acest subiect poate părea complicat la început din cauza numeroaselor formule nu atât de simple. Nu numai că ecuațiile pătratice în sine au notații lungi, dar rădăcinile se găsesc și prin discriminant. În total, se obțin trei formule noi. Nu foarte ușor de reținut. Acest lucru este posibil numai după rezolvarea frecventă a unor astfel de ecuații. Atunci toate formulele vor fi reținute de la sine.

Vedere generală a unei ecuații pătratice

Aici propunem înregistrarea lor explicită, când se scrie mai întâi gradul cel mai mare, apoi în ordine descrescătoare. Există adesea situații în care termenii sunt inconsecvenți. Atunci este mai bine să rescrieți ecuația în ordinea descrescătoare a gradului variabilei.

Să introducem o notație. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Dacă acceptăm aceste notații, toate ecuațiile pătratice sunt reduse la următoarea notație.

Mai mult, coeficientul a ≠ 0. Fie ca această formulă să fie desemnată numărul unu.

Când este dată o ecuație, nu este clar câte rădăcini vor fi în răspuns. Pentru că una dintre cele trei opțiuni este întotdeauna posibilă:

• soluția va avea două rădăcini;
• răspunsul va fi un număr;
• ecuația nu va avea deloc rădăcini.

Și până la finalizarea deciziei, este greu de înțeles care opțiune va apărea într-un anumit caz.

Tipuri de înregistrări ale ecuațiilor pătratice

Pot exista diferite intrări în sarcini. Nu vor arăta întotdeauna ca formula generala ecuație pătratică. Uneori îi vor lipsi niște termeni. Ceea ce a fost scris mai sus este ecuația completă. Dacă eliminați al doilea sau al treilea termen din el, obțineți altceva. Aceste înregistrări sunt numite și ecuații pătratice, doar incomplete.

Mai mult, numai termenii cu coeficienții „b” și „c” pot dispărea. Numărul „a” nu poate fi egal cu zero în nicio circumstanță. Pentru că în acest caz formula se transformă într-o ecuație liniară. Formulele pentru forma incompletă a ecuațiilor vor fi următoarele:

Deci, există doar două tipuri; pe lângă cele complete, există și ecuații pătratice incomplete. Prima formulă să fie numărul doi, iar a doua - trei.

Discriminarea și dependența numărului de rădăcini de valoarea acestuia

Trebuie să cunoașteți acest număr pentru a calcula rădăcinile ecuației. Poate fi întotdeauna calculată, indiferent de formula ecuației pătratice. Pentru a calcula discriminantul, trebuie să folosiți egalitatea scrisă mai jos, care va avea numărul patru.

După înlocuirea valorilor coeficientului în această formulă, puteți obține numere cu semne diferite. Dacă răspunsul este da, atunci răspunsul la ecuație va fi două rădăcini diferite. Dacă numărul este negativ, nu vor exista rădăcini ale ecuației pătratice. Dacă este egal cu zero, va exista un singur răspuns.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică completă?

De fapt, luarea în considerare a acestei probleme a început deja. Pentru că mai întâi trebuie să găsești un discriminant. După ce se stabilește că există rădăcini ale ecuației pătratice și numărul acestora este cunoscut, trebuie să utilizați formule pentru variabile. Dacă există două rădăcini, atunci trebuie să aplicați următoarea formulă.

Deoarece conține un semn „±”, vor exista două semnificații. Expresia de sub semnul rădăcinii pătrate este discriminantul. Prin urmare, formula poate fi rescrisă diferit.

Formula numărul cinci. Din aceeași înregistrare este clar că dacă discriminantul este egal cu zero, atunci ambele rădăcini vor lua aceleași valori.

Dacă rezolvarea ecuațiilor pătratice nu a fost încă elaborată, atunci este mai bine să notați valorile tuturor coeficienților înainte de a aplica formulele discriminante și variabile. Mai târziu, acest moment nu va crea dificultăți. Dar la început există confuzie.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă?

Totul este mult mai simplu aici. Nici măcar nu este nevoie de formule suplimentare. Iar cele care au fost deja notate pentru discriminant și necunoscut nu vor fi necesare.

Mai întâi, să ne uităm la ecuația numărul doi incompletă. În această egalitate, este necesar să scoateți cantitatea necunoscută din paranteze și să rezolvați ecuația liniară, care va rămâne între paranteze. Răspunsul va avea două rădăcini. Prima este neapărat egală cu zero, deoarece există un multiplicator format din variabila însăși. Al doilea se va obține prin rezolvarea unei ecuații liniare.

Ecuația incompletă numărul trei este rezolvată prin mutarea numărului din partea stângă a egalității la dreapta. Apoi, trebuie să împărțiți cu coeficientul în fața necunoscutului. Tot ce rămâne este să extragi rădăcina pătrată și să nu uiți să o notezi de două ori cu semne opuse.

Mai jos sunt câțiva pași care vă vor ajuta să învățați cum să rezolvați tot felul de egalități care se transformă în ecuații pătratice. Ele vor ajuta elevul să evite greșelile din cauza neatenției. Aceste neajunsuri pot cauza note slabe atunci când studiezi subiectul extins „Ecuații cadrate (clasa a VIII-a).” Ulterior, aceste acțiuni nu vor trebui efectuate în mod constant. Pentru că va apărea o abilitate stabilă.

• Mai întâi trebuie să scrieți ecuația în formă standard. Adică, mai întâi termenul cu cel mai mare grad al variabilei, apoi - fără un grad, și ultimul - doar un număr.

• Dacă înaintea coeficientului „a apare un minus”, poate complica munca unui începător care studiază ecuațiile pătratice. Este mai bine să scapi de el. În acest scop, toată egalitatea trebuie înmulțită cu „-1”. Aceasta înseamnă că toți termenii vor schimba semnul invers.

• Se recomandă să scăpați de fracții în același mod. Pur și simplu înmulțiți ecuația cu factorul corespunzător, astfel încât numitorii să se anuleze.

Exemple

Este necesar să se rezolve următoarele ecuații pătratice:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prima ecuație: x 2 − 7x = 0. Este incompletă, prin urmare se rezolvă așa cum este descris pentru formula numărul doi.

După ce o scoateți din paranteze, rezultă: x (x - 7) = 0.

Prima rădăcină ia valoarea: x 1 = 0. A doua se va găsi din ecuație liniară: x - 7 = 0. Este ușor de observat că x 2 = 7.

A doua ecuație: 5x 2 + 30 = 0. Din nou incompletă. Doar că se rezolvă așa cum este descris pentru a treia formulă.

După ce mutați 30 în partea dreaptă a ecuației: 5x 2 = 30. Acum trebuie să împărțiți la 5. Rezultă: x 2 = 6. Răspunsurile vor fi numerele: x 1 = √6, x 2 = - √6.

A treia ecuație: 15 − 2х − x 2 = 0. Aici și mai departe, rezolvarea ecuațiilor pătratice va începe cu rescrierea lor în vedere standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Acum este timpul să folosiți al doilea sfat utilși înmulțiți totul cu minus unu. Se dovedește x 2 + 2x - 15 = 0. Folosind a patra formulă, trebuie să calculați discriminantul: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Este un număr pozitiv. Din cele spuse mai sus, reiese că ecuația are două rădăcini. Ele trebuie calculate folosind a cincea formulă. Rezultă că x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Atunci x 1 = 3, x 2 = - 5.

A patra ecuație x 2 + 8 + 3x = 0 se transformă în aceasta: x 2 + 3x + 8 = 0. Discriminantul său este egal cu această valoare: -23. Deoarece acest număr este negativ, răspunsul la această sarcină va fi următoarea intrare: „Nu există rădăcini”.

A cincea ecuație 12x + x 2 + 36 = 0 trebuie rescrisă după cum urmează: x 2 + 12x + 36 = 0. După aplicarea formulei discriminantului, se obține numărul zero. Aceasta înseamnă că va avea o singură rădăcină, și anume: x = -12/ (2 * 1) = -6.

A șasea ecuație (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) necesită transformări, care constau în faptul că trebuie să aduci termeni similari, deschizând mai întâi parantezele. În locul primei va exista următoarea expresie: x 2 + 2x + 1. După egalitate, va apărea această intrare: x 2 + 3x + 2. După ce se numără termeni similari, ecuația va lua forma: x 2 - x = 0. A devenit incomplet . Ceva similar cu asta a fost deja discutat puțin mai sus. Rădăcinile acestuia vor fi numerele 0 și 1.