Parametri ascunși în mecanica cuantică. Parametri ascunși în mecanica cuantică și teorema lui Bell. În filosofia cunoaşterii

În mecanica cuantică

Teoria parametrilor ascunși (HPT) este o bază tradițională, dar nu singura, pentru construirea diferitelor tipuri de teoremei lui Bell. Un punct de plecare poate fi, de asemenea, recunoașterea existenței unei funcții de distribuție a probabilității definite pozitive. Pe baza acestei presupuneri, fără a recurge la ipoteze suplimentare, lucrarea formulează și demonstrează paradoxurile lui Bell. tipuri variate. Pe exemplu concret se arată că calculul cuantic formal dă uneori valori negative apărând în proba probabilităților comune. S-a încercat să se afle sens fizic Pe baza acestui rezultat, se propune un algoritm pentru măsurarea probabilităților comune negative de acest tip.

Întrucât legile teoriei cuantice prezic rezultatele unui experiment, în general vorbind, doar statistic, atunci, pe baza punctului de vedere clasic, s-ar putea presupune că există parametri ascunși care, fiind neobservabili în orice experiment obișnuit, determină efectiv rezultatul. a experimentului, deoarece acesta a fost întotdeauna considerat anterior în conformitate cu principiul cauzalității. Prin urmare, s-a încercat să se inventeze astfel de parametri în cadrul mecanicii cuantice.

În sens restrâns aplicabil în mecanica cuantică și fizica teoretica microlume, unde determinismul legilor încetează să mai opereze fizica macroscopică, teoria parametrilor ascunși a servit ca un instrument cognitiv important.

Însă semnificația abordării teoriei parametrilor ascunși, întreprinsă în cadrul studiului microlumilor și paradoxurilor mecanicii cuantice, nu se limitează la această gamă de fenomene. Este posibilă o interpretare mai largă, cu adevărat filozofică, a motivelor pentru care acest fenomen apare în lumea noastră.

În filosofia cunoaşterii

Cu toate acestea, problema ridicată a parametrilor ascunși se referă nu numai la probleme fizice înguste. Se referă la metodologia generală a cunoașterii. Un scurt fragment dintr-un tratat despre înțelegere scris de A. M. Nikiforov ajută la înțelegerea esenței acestui fenomen:

În primul rând, să încercăm să înțelegem ce înseamnă înțelegerea la nivelul obișnuit de zi cu zi. Putem spune că înțelegerea este procesul de reducere a incomprehensibilului la inteligibil. Adică prin manipulări logice accesibile, din ideile pe care le înțelegem, construim o reprezentare (model) a ceva ce înainte ne era de neînțeles. […] Există o altă abordare a înțelegerii când se declară prezența unei anumite entități sau substanțe care are proprietățile necesare, care asigură existența fenomenului de care ne interesează... De remarcat că această abordare stă la baza teoriei relativității și a mecanicii cuantice, care declară cum, dar nu explică de ce. […] Trebuie spus că, dacă prima abordare este mai riguroasă și mai clară, atunci a doua este mai puternică, universală și simplă... Prima abordare este utilizată pe scară largă în știință și poate fi considerată dominantă, dar se folosește și a doua. . Un exemplu în acest sens este „teoria parametrilor ascunși”[sublinierea], conform căreia discrepanța dintre teorie și experiment este înlăturată prin introducerea unui anumit obiect ipotetic. Parametrii acestui obiect sunt substituiți în formulă și începe să coincidă cu experimentul.

În mecanica cuantică, această teorie are o gamă semnificativă de aplicații, deși nu este general acceptată.

Exemplu istoric

Timp de multe secole, geometria lui Euclid a fost considerată piatra de neclintit a științei. Cu mult timp înainte de începerea cercetării fizice a microlumii și a măsurătorilor astrofizice, nu a existat niciun motiv să o considerăm incompletă. Cu toate acestea, situația s-a schimbat în primul deceniu al secolului XX. O criză conceptuală creștea în fizică, pe care Albert Einstein a fost capabil să o rezolve. Odată cu rezolvarea unor probleme particulare - coordonarea observațiilor cu predicțiile teoriilor din acea vreme ("salvarea fenomenului") - în lucrarea sa împreună cu Niels Bohr, Einstein a reușit să tragă o concluzie ingenioasă cu privire la posibilitatea influenței maselor. asupra geometriei spațiului și a vitezei unui obiect în mișcare - la viteze proporționale cu lumina.- pe parcursul timpului local pentru un obiect dat.

În geometrie, aceasta a devenit o descoperire teoretică și practică de epocă pentru cosmologie, deși a făcut ecou premisele teoretice postulate de Hermann Minkowski, dar a ocupat un loc special în cosmologia modernă.

Efectul influenței reale a gravitației asupra geometriei spațiului poate fi considerat un „parametru ascuns” în teoria clasică a lui Euclid, cu toate acestea, a fost relevat în teoria lui Einstein. Raționamentul din punctul de vedere al metodologiei cunoașterii: într-un sistem conceptual (teoretic), un anumit parametru poate fi ascuns, dar în altul poate deveni revelat, solicitat și justificat teoretic. În primul caz, „nedezvăluirea” sa nu înseamnă deloc absența acestui parametru în natură ca atare. Doar că acest parametru nu a fost semnificativ și, prin urmare, nu a fost găsit și nici nu a fost introdus de niciunul dintre oamenii de știință în „țesătura” acestei teorii.

Această situație dezvăluie destul de clar proprietățile unor astfel de „parametri ascunși”. Aceasta nu este o negare a teoriei predecesoare, ci o constatare a limitărilor obiective pentru predicțiile sale. În cazul luat în considerare mai sus, spațiul fizic este într-adevăr euclidian cu mare precizie în cazul câmpurilor gravitaționale insuficient de puternice care acționează într-un spațiu dat (care este câmpul pământului), dar din ce în ce mai mult încetează să fie așa cu o creștere uriașă a potenţial gravitaţional. Acesta din urmă, în natura observabilă, se poate manifesta doar în obiecte spațiale extraterestre, cum ar fi găurile negre și alte obiecte spațiale „exotice”.

Note

Legături

• I. Z. Tsekhmistro, V. I. Shtanko și alții „CONCEPTUL DE INTEGRITATE” - CAPITOLUL 3 CONCEPTUL DE INTEGRITATE ȘI EXPERIMENT: cauzalitate și nonlocalitate în fizica cuantică (L. E. Pargamanik)

Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce este „Teoria parametrilor ascunși” în alte dicționare:

Teoria superstringurilor Teoria ... Wikipedia

Mecanica cuantică... Wikipedia

Paradoxul Einstein Podolsky Rosen (paradoxul EPR) este o încercare de a indica caracterul incomplet al mecanicii cuantice folosind experiment de gândire, care constă în măsurarea indirectă a parametrilor unui microobiect, fără a afecta acest... ... Wikipedia

Paradoxul Einstein Podolsky Rosen (paradoxul EPR) este o încercare de a sublinia caracterul incomplet al mecanicii cuantice folosind un experiment de gândire constând în măsurarea indirectă a parametrilor unui microobiect, fără a influența acest obiect... ... Wikipedia

Paradoxul Einstein Podolsky Rosen (paradoxul EPR) este o încercare de a sublinia caracterul incomplet al mecanicii cuantice folosind un experiment de gândire constând în măsurarea indirectă a parametrilor unui microobiect, fără a influența acest obiect... ... Wikipedia

Paradoxul Einstein Podolsky Rosen (paradoxul EPR) este o încercare de a sublinia caracterul incomplet al mecanicii cuantice folosind un experiment de gândire constând în măsurarea indirectă a parametrilor unui microobiect, fără a influența acest obiect... ... Wikipedia

Paradoxul Einstein Podolsky Rosen (paradoxul EPR) este o încercare de a sublinia caracterul incomplet al mecanicii cuantice folosind un experiment de gândire constând în măsurarea indirectă a parametrilor unui microobiect, fără a influența acest obiect... ... Wikipedia

Paradoxul Einstein Podolsky Rosen (paradoxul EPR) este o încercare de a sublinia caracterul incomplet al mecanicii cuantice folosind un experiment de gândire constând în măsurarea indirectă a parametrilor unui microobiect, fără a influența acest obiect... ... Wikipedia

Alexei Paevski

În primul rând, merită dezmințit un mit. Einstein nu a spus niciodată cuvintele „Dumnezeu nu joacă zaruri”. De fapt, i-a scris lui Max Born referitor la principiul incertitudinii lui Heisenberg: „Mecanica cuantică este cu adevărat impresionantă. Dar o voce interioară îmi spune că acest lucru nu este încă ideal. Această teorie spune multe, dar totuși nu ne aduce mai aproape de dezvăluirea secretului Celui Atotputernic. Cel puțin sunt sigur că nu aruncă zarurile.”

Cu toate acestea, el i-a mai scris lui Bohr: „Tu crezi într-un Dumnezeu care joacă zaruri, iar eu cred în deplină regularitate în lumea lucrurilor existente în mod obiectiv”. Adică, în acest sens, Einstein a vorbit despre determinism, că în orice moment poți calcula poziția oricărei particule din Univers. După cum ne-a arătat Heisenberg, nu este așa.

Dar, cu toate acestea, acest element este foarte important. Într-adevăr, oricât de paradoxal ar părea, dar cel mai mare fizician Albert Einstein din secolul XX, care a spart fizica trecutului cu articolele sale la începutul secolului, s-a dovedit apoi a fi un rival zelos al celui și mai nou, mecanica cuantică. Toată intuiția sa științifică a protestat împotriva descrierii fenomenelor microlumilor în termeni de teoria probabilității și funcții de undă. Dar este greu să mergi împotriva faptelor - și s-a dovedit că orice măsurare a unui sistem de obiecte cuantice îl schimbă.

Einstein a încercat să „iasă” și a sugerat că există niște parametri ascunși în mecanica cuantică. De exemplu, există anumite subinstrumente care pot fi folosite pentru a măsura starea unui obiect cuantic și nu a-l schimba. Ca urmare a unor astfel de reflecții, în 1935, împreună cu Boris Podolsky și Nathan Rosen, Einstein a formulat principiul localității.

Albert Einstein

Acest principiu afirmă că rezultatele oricărui experiment pot fi influențate doar de obiecte situate aproape de locul în care se desfășoară. În acest caz, mișcarea tuturor particulelor poate fi descrisă fără a implica metodele teoriei probabilităților și ale funcțiilor de undă, introducând în teorie acei „parametri ascunși” care nu pot fi măsurați cu instrumente convenționale.

Teoria lui Bell

John Bell

Au trecut aproape 30 de ani, iar John Bell a demonstrat teoretic că este de fapt posibil să se efectueze un experiment ale cărui rezultate vor determina dacă obiectele mecanice cuantice sunt cu adevărat descrise de funcțiile de undă de distribuție a probabilității așa cum sunt, sau dacă există un parametru ascuns care permite ele să fie descrise cu precizie poziția și impulsul, ca o minge de biliard în teoria lui Newton.

La acea vreme, nu existau mijloace tehnice pentru a efectua un astfel de experiment: mai întâi, trebuia să înveți cum să obții perechi de particule încurcate cuantice. Acestea sunt particule care se află într-o singură stare cuantică și, dacă sunt separate la orice distanță, încă simt instantaneu ce se întâmplă unul cu celălalt. Am scris puțin despre uz practic efect de întricare în teleportarea cuantică.

În plus, este necesar să se măsoare rapid și precis stările acestor particule. Totul este bine și aici, putem face asta.

Cu toate acestea, există o a treia condiție pentru a testa teoria lui Bell: trebuie să colectați statistici mari despre modificări aleatorii în setările configurației experimentale. Adică a fost necesar să se realizeze număr mare experimente, ai căror parametri ar fi setați complet aleatoriu.

Și aici există o problemă: toți generatorii noștri de numere aleatoare folosesc metode cuantice - și aici putem introduce aceiași parametri ascunși în experiment.

Cum aleg jucătorii numerele

Și aici cercetătorii au fost salvați de principiul descris în glumă:

„Un programator se apropie de altul și spune:

– Vasya, am nevoie de un generator de numere aleatorii.

„O sută șaizeci și patru!”

Generarea numerelor aleatoare a fost încredințată jucătorilor. Adevărat, o persoană nu alege numerele la întâmplare, dar tocmai asta au jucat cercetătorii.

Au creat un joc de browser în care sarcina jucătorului era să obțină cea mai lungă secvență de zerouri și unu - în timp ce prin acțiunile sale jucătorul antrena o rețea neuronală care încerca să ghicească ce număr va alege persoana.

Acest lucru a crescut foarte mult „puritatea” aleatoriei și, dacă țineți cont de amploarea acoperirii jocului în presă și repostări pe rețelele sociale, atunci până la sute de mii de oameni jucau jocul în același timp, fluxul de numere a atins o mie de biți pe secundă și au fost deja create peste o sută de milioane de alegeri aleatorii.

Aceste date cu adevărat aleatorii, folosite în 13 configurații experimentale în care diferite obiecte cuantice au fost încurcate (unul cu qubiți, doi cu atomi, zece cu fotoni), au fost suficiente pentru a arăta că Einstein a greșit până la urmă.

Nu există parametri ascunși în mecanica cuantică. Statisticile au arătat acest lucru. Aceasta înseamnă că lumea cuantică rămâne cu adevărat cuantică.

PARAMETRI ASCUNS- ipotetic adiţional variabile, momentan necunoscute, ale căror valori ar trebui să caracterizeze complet starea sistemului și să-i determine viitorul mai complet decât mecanica cuantică. vector de stare. Se crede că cu ajutorul lui S. p. din statistică. Descrierile micro-obiectelor pot fi mutate în cele dinamice. tipare, în care corpurile fizice însele sunt conectate în mod unic în timp. valorile, și nu statisticile lor. distribuții (vezi Cauzalitate). CU. n. sunt de obicei considerate dif. câmpuri sau coordonate și momente ale părților constitutive mai mici ale particulelor cuantice. Cu toate acestea, după descoperirea (particulelor compozite ale hadronilor), s-a dovedit că comportamentul lor se supune, ca și comportamentul hadronilor înșiși.

Conform teoremei lui von Neumann, nici o singură teorie cu mecanica cuantică nu poate reproduce toate consecințele mecanicii cuantice, totuși, după cum s-a dovedit mai târziu, demonstrația lui J. von Neumann s-a bazat pe presupuneri care, în general, nu sunt necesare pentru niciun model. S.p. Un argument serios în favoarea existenței lui S. p. a fost prezentat de A. Einstein, B. Podolsky și N. Rosen în 1935 (așa-numitul Einstein - Podolsky - Paradoxul Rosen), a cărui esență este că anumite caracteristici ale particulelor cuantice (în special, proiecțiile de spin) pot fi măsurate fără a supune particulele la forță. Un nou stimulent pentru experimentare. testarea paradoxului Einstein-Podolsky-Rosen a fost dovedită în 1951 inegalitățile lui Bell, ceea ce a făcut posibilă efectuarea de experimente directe. testele ipotezei despre S.P. Aceste inegalități demonstrează diferența dintre predicțiile mecanicii cuantice și orice teorii ale S.P. care nu permit existența unor fenomene fizice. procese care se propagă la viteze superluminale. Experimentele efectuate într-un număr de laboratoare din întreaga lume au confirmat predicțiile mecanicii cuantice cu privire la existența unor corelații mai puternice între particule decât cele prezise de orice teorii locale ale mecanicii cuantice.Conform acestor teorii, rezultatele unui experiment efectuat pe una dintre particulele sunt determinate numai de acest experiment în sine și nu depind de rezultatele experimentului, care poate fi efectuat pe o altă particulă care nu este asociată cu prima prin interacțiuni de forță.

Lit.: 1) Sudbury A., Mecanica cuantică și particulele elementare, trad. din engleză, M., 1989; 2) A. A. Grib, Inegalitățile lui Bell și verificarea experimentală a corelațiilor cuantice la distanțe macroscopice, UFN, 1984, v. 142, p. 619; 3) Spassky B.I., Moskovsky A.V., On nonlocality in quantum physics, UFN, 1984, vol. 142, p. 599; 4) Bom D., Despre posibilitatea interpretării mecanicii cuantice pe baza ideilor despre parametrii „ascunși”, în colecția: Questions of causality in quantum mechanics, M., 1955, p. 34. G. Da. Miakishev.

Studiul experimental al sistemelor cuantice a făcut posibilă descoperirea prezenței proprietăților statistice în ele: repetarea experimentului cu un sistem cuantic în condiții fixe. 50 condiţiile experimentale pot duce la rezultate nerepetitive. Un exemplu ar fi trecerea secvențială a fotonilor cu aceeași polarizare printr-un analizor: unii fotoni trec prin el, în timp ce alții sunt reflectați. Mecanica cuantică descrie corect statisticile unor astfel de experimente, dar nu explică natura acestei statistici; acesta din urmă este postulat de teoria cuantică.

Ipotezele existente despre natura naturii statistice a sistemelor cuantice sunt clar împărțite în două clase. Prima include ipoteze care leagă proprietățile statistice ale sistemelor cuantice cu dualitatea undă-particulă a proprietăților microparticulelor, cu influența câmpurilor fizice asupra particulelor de vid etc. Ceea ce au în comun este recunoașterea existenței obiective a aleatoriei. fenomene din microlume. Materialismul dialectic consideră legătura statistică dintre starea inițială a sistemului și rezultatul experimentului ca o nouă natură a relațiilor cauzale care nu poate fi redusă la cauzalitatea clasică. V. I. Lenin a scris despre o reprezentare simplificată, aproximativă, a conexiunii obiective a fenomenelor prin cauzalitatea clasică [2, vol. 18, p. 139 ] cu mult înainte de crearea mecanicii cuantice.

(Concluzia logică a primei ipoteze în cadrul conceptului de integritate este concluzia că baza naturală a naturii statistice a obiectelor cuantice este proprietatea obiectivă a nedetaliabilității finite a stărilor lor în termeni de elemente și mulțimi) :

A doua clasă include ipoteze care presupun prezența în complexul sistem cuantic-dispozitiv de măsurare a așa-numiților parametri ascunși care nu au fost încă observați. Se presupune că fiecare valoare a unui parametru ascuns determină în mod unic rezultatul unui experiment separat, iar statisticile observate și descrise de mecanica cuantică sunt rezultatul medierii tuturor valorilor parametrilor ascunși. Astfel, aceste ipoteze presupun o relație unu-la-unu între valoarea unui parametru ascuns și rezultatul unui experiment separat, adică existența unor relații cauzale clasice în fizica cuantică.

A afla care dintre aceste două posibilități se realizează în natură este de o importanță fundamentală pentru fizică și filozofie, deoarece este legată de problema existenței sau inexistenței relațiilor cauzale neclasice.

Critica concluziilor experimentale a fost făcută de Bohr, care a arătat că paradoxul care a apărut este rezultatul presupunerii localității sistemelor cuantice [28, p. 187-188, 425-428]. Refuzul acestei ipoteze, adică recunoașterea existenței unei corelații între părțile separate ale unui sistem cuantic (caracterizat prin termenul „integritate”), elimină paradoxul EPR.

Analiza paradoxului EPR a fost cea care l-a determinat pe Bohr să formuleze principiul complementarității pentru sistemele cuantice, care exprimă una dintre principalele diferențe dintre acestea din urmă și sistemele clasice. Principiul complementarităţii necesită luarea în considerare a unui sistem cuantic şi instrument de masurare ca un intregul sistem. Rezultatele măsurării unui sistem cuantic depind de starea acestuia, precum și de proiectarea și starea dispozitivului de măsurare. Fock a numit această proprietate a sistemelor cuantice relativitate la mijloacele de măsurare.

Trei experimente au examinat corelația polarizărilor fotonilor emiși în timpul anihilării pozitroniului. În lucrările lui Kasday, Ullman și By [208; 209] au obţinut rezultate în concordanţă cu QM. Gutkowski, Notarrigo și Pennisi au concluzionat că rezultatele au fost în concordanță cu TSP. Cu toate acestea, deoarece starea inițială a pozitroniului nu este cunoscută, iar rezultatele lucrării corespund limitei superioare a inegalității lui Bell și se află între rezultatele mecanicii cuantice corespunzătoare diferitelor ipoteze despre starea inițială a pozitroniului, nu se poate trage nicio concluzie sigură din acest lucru. Lucrarea lui Lamehi-Rahti și Mittig a studiat corelația dintre polarizările a doi protoni în împrăștierea proton-proton; rezultatele experimentale sunt în concordanță cu QM.

Următorul set de experimente examinează corelația dintre polarizările a doi fotoni emiși de un atom în timpul unei tranziții radiative în cascadă. Lucrarea lui Friedman și Clauser folosește atomi de calciu; rezultatele sunt în concordanță cu CM.

Cercetările lui Holt și Pipkin au folosit atomi de mercur; Rezultatele sunt în concordanță cu TSP, dar nu sunt obținute suficient și, prin urmare, nu sunt de încredere. Acest lucru se poate observa din lucrarea lui Clauser, care a repetat experimentul bazat pe o metodă diferită de excitare a atomilor [189; 227; 228]. Rezultatele pe care le-a obținut sunt destul de fiabile și în concordanță cu QM. Frey și Thomson folosesc radiații de la un izotop diferit de mercur și o cascadă de radiații diferită; Rezultatele obţinute sunt în concordanţă cu QM.

Atentie speciala merită experimentul lui Aspeck, Grengier și Roger, studiind emisia de calciu. Autorii au crescut semnificativ numărul de măsurători în comparație cu lucrările anterioare și au obținut o mai mare acuratețe statistică. Rezultatele sunt de acord cu QM și încalcă inegalitatea lui Bell cu nouă abateri standard, făcând concluziile extrem de fiabile. Creșterea distanței de la sursă la fiecare analizor la 6,5 m nu a modificat rezultatele experimentului, ceea ce indică independența corelațiilor pe distanță lungă față de distanță.

Materialul teoretic și experimental acumulat nu ne permite încă să facem o alegere finală între TSP și QM. Formularea postulatului localității și structura PST pot fi îmbunătățite. Există deja o lucrare de generalizare a teoremei lui Bell. Pot fi efectuate noi experimente cu alte obiecte; există o propunere de folosit pentru 55 particule experimentale care se degradează ca urmare a interacțiunii slabe etc. [198; 243].

Cu toate acestea, pe baza lucrărilor teoretice și experimentale disponibile, se pot trage următoarele concluzii.

Datele experimentale contrazic aparent TSP-ul local și teorema lui Bell bazată pe acesta. Cele două experimente în concordanță cu teorema lui Bell sunt printre cele mai vechi, nu au fost efectuate suficient de detaliat și nu sunt confirmate de lucrări ulterioare.

Astfel, TSP-urile existente contrazic proprietățile observate ale sistemelor cuantice. Până în prezent, nu a fost posibilă „înlocuirea” TSP cu QM și restabilirea cauzalității clasice în fizica cuantică. Teoria cuantică non-relativista rămâne singura teorie din domeniul său care descrie corect faptele experimentale.

Existența corelațiilor de lungă durată în sistemele cuantice a fost stabilită experimental: direct - prin confirmarea QM - și indirect - prin falsificarea teoremei lui Bell și a postulatului localității pe care se bazează.

Prezența corelațiilor pe distanță lungă nu este specifică experimentelor de tip EPR; ele sunt bine cunoscute și în alte fenomene cuantice: interferența luminii în experimentul Michelson, existența unei componente superfluide în heliul lichid și perechile de electroni Cooper în supraconductori.

Alternativa - localitatea sau integritatea - este decisă în favoarea integrității sistemelor cuantice, care este încorporată în QM sub forma principiului indistingubilității particulelor identice și a principiului complementarității.

Proprietatea sistemelor cuantice observată experimental și descrisă de aparatul QM - păstrarea corelațiilor între părți ale sistemului pe măsură ce interacțiunea dintre ele tinde spre zero - nu este trivială. Pentru a o interpreta este necesară o abordare dialectică.

Problema integrității, problema relației dintre parte și întreg, este deosebit de acută, pusă de fizică particule elementare. Unificarea realizată a electromagnetice și interacțiune slabă iar sarcina cu care se confruntă fizica modernă de „marea unificare” a tuturor interacțiunilor reprezintă în esență diverse etape de cartografiere în fizică a integrității lumii înconjurătoare, legătura universală și interdependență a fenomenelor ale căror fenomene constituie una dintre legile dialecticii materialiste. 56

Opțiuni ascunseşi limitele de aplicabilitate ale mecanicii cuantice.

N.T. Sainyuk

Lucrarea arată că dimensiunea diferită de zero a particulelor elementare poate fi folosită ca parametru ascuns în mecanica cuantică. Acest lucru a făcut posibilă explicarea conceptelor fizice fundamentale utilizate în teoria undelor de Broglie, dualitatea undă-particulă și spin. S-a arătat și posibilitatea utilizării aparatului matematic al teoriei pentru a descrie mișcarea macrocorpilor într-un câmp gravitațional. Este prezisă existența unor spectre vibraționale discrete ale particulelor elementare. Se ia în considerare problema echivalenței maselor inerțiale și gravitaționale.

În ciuda existenței de aproape un secol a mecanicii cuantice, dezbaterea cu privire la caracterul complet al acestei teorii continuă și astăzi. Progrese în mecanica cuantică în reflectarea tiparelor existente în domeniu lumea subatomică sunt fără îndoială. În același timp, unii concepte fizice, pe care mecanica cuantică operează, cum ar fi dualismul undă-particulă, relația de incertitudine Heisenberg, spin etc., rămân neclare și nu găsesc justificarea adecvată în cadrul acestei teorii. Există o opinie larg răspândită în rândul oamenilor de știință că problema fundamentării mecanicii cuantice este strâns legată de parametrii ascunși, adică mărimi fizice, care există cu adevărat, determină rezultatele experimentului, dar din anumite motive nu pot fi detectate. În această lucrare, bazată pe o analogie cu fizica clasică, se arată că dimensiunea diferită de zero a particulelor elementare poate revendica rolul unui parametru ascuns.

Traiectorie în fizica clasică și cuantică.

Să ne imaginăm un corp material cu o masă de repaus, de exemplu, un nucleu, zburând în spațiu cu o viteză la o distanță suficient de mare de alte corpuri, astfel încât influența lor să poată fi exclusă. În fizica clasică, o astfel de stare a unui corp este descrisă de o traiectorie care stabilește locația punctului său central în spațiu în fiecare moment de timp și este determinată de funcția:

Cât de exactă este această descriere? După cum se știe, orice corp material cu masă de repaus are un câmp gravitațional care se extinde la infinit și care nu poate fi separat de corp în niciun fel, de aceea ar trebui considerat parte integrantă a obiectului material. În fizica clasică, la determinarea unei traiectorii, de regulă, câmpul potențial este neglijat din cauza valorii sale mici. Și aceasta este prima aproximare pe care o permite fizica clasică. Dacă am încerca să luăm în considerare câmpul potențial, atunci un astfel de concept ca o traiectorie ar dispărea. Este imposibil să atribui o traiectorie unui corp infinit de mare și formula (1) ar pierde orice sens. În plus, orice corp material are anumite dimensiuni și, de asemenea, nu poate fi localizat la un moment dat. Nu putem vorbi decât de volumul pe care un corp îl ocupă în spațiu sau de dimensiunile sale liniare. Și aceasta este a doua aproximare pe care o permite fizica clasică, dând corpuri fizice traiectorii. Existența dimensiunilor pentru corpurile materiale implică o altă incertitudine - imposibilitatea stabilirii cu exactitate a timpului de amplasare a unui corp material în spațiu. Acest lucru se datorează faptului că viteza de propagare a semnalului în natură este limitată de viteza luminii în vid și nu există încă fapte stabilite experimental în mod fiabil că această viteză poate fi depășită semnificativ. Acest lucru se poate face doar cu o anumită precizie necesară pentru ca semnalul luminos să parcurgă o distanță egală cu dimensiunea liniară a corpului:

Incertitudinea în spațiu și timp în fizica clasică este de natură fundamentală; nu poate fi ocolită prin niciun truc. Această incertitudine poate fi doar neglijată, ceea ce se face peste tot și pentru majoritatea calculelor practice de inginerie, precizia fără a lua în considerare incertitudinile este destul de suficientă.

Din cele de mai sus se pot trage două concluzii:

1. Traiectoria în fizica clasică nu este strict justificată. Aceste concepte pot fi aplicate numai atunci când este posibil să neglijăm câmpul potențial al unui obiect material și dimensiunile acestuia.

2. În fizica clasică, există o incertitudine fundamentală în determinarea poziției unui corp în spațiu și timp datorită prezenței dimensiunilor corpurilor materiale și vitezei finite de propagare a semnalelor în natură.

Se pare că relația de incertitudine Heisenberg în mecanica cuantică se datorează și acestor doi factori.

În mecanica cuantică nu există un concept de traiectorie. S-ar părea că, făcând acest lucru, mecanica cuantică elimină defectele menționate mai sus ale fizicii clasice și descrie mai adecvat realitatea. Acest lucru este doar parțial adevărat și există nuanțe foarte semnificative. Să luăm în considerare această întrebare folosind exemplul unui electron în repaus în care sistem de coordonate. Din fizica clasică, în special din legea lui Coulomb, se știe că un electron, având un câmp electric, este un obiect infinit. Și în fiecare punct al spațiului acest câmp este prezent. În mecanica cuantică, un astfel de electron este descris de o funcție de undă, care are și o valoare diferită de zero în fiecare punct din spațiu. Și în acest sens, reflectă corect faptul că electronul ocupă tot spațiul. Dar acest lucru este explicat diferit. Conform interpretării de la Copenhaga, pătratul modulului funcției de undă, la un moment dat în spațiu, reprezintă densitatea de probabilitate a detectării unui electron în acest punct în timpul procesului de observare. Este corectă această interpretare? Răspunsul este clar - nu. Un electron, ca obiect infinit, nu poate fi localizat instantaneu într-un punct. Acest lucru contrazice direct teoria relativității speciale. Prăbușirea unui electron într-un punct este posibilă numai dacă viteza de propagare a semnalelor în natură ar fi infinită. Până acum, astfel de fapte nu au fost descoperite experimental. În cazul nostru, câmpul real, mecanica cuantică compară probabilitatea de a detecta un electron la un moment dat. Este evident că o astfel de interpretare a mecanicii cuantice nu corespunde realității, ci este doar o aproximare a acesteia. Și nu este de mirare că atunci când descrii câmp electric electron, mecanica cuantică se confruntă cu mari dificultăți matematice. Exemplul de mai sus arată de ce se întâmplă acest lucru. Legea lui Coulomb este o lege deterministă, în timp ce mecanica cuantică folosește o abordare probabilistică. În acest caz, fizica clasică este mai adecvată. Vă permite să determinați intensitatea câmpului electric în orice regiune a spațiului. Tot ceea ce este necesar pentru aceasta este să indice în legea lui Coulomb coordonatele punctului în care acest câmp trebuie să fie recunoscut. Și aici ne confruntăm direct cu problema limitelor de aplicabilitate a mecanicii cuantice. Succesele teoriei cuantice în diverse direcții sunt atât de enorme, iar predicțiile sunt atât de precise încât mulți s-au întrebat dacă există limite în aplicabilitatea acesteia. Din păcate, ele există. Dacă este nevoie să trecem de la o descriere probabilistică a lumii la interpretarea ei deterministă așa cum este ea în realitate, atunci trebuie să ne amintim că tocmai în această tranziție se termină puterile mecanicii cuantice. Și-a făcut treaba cu brio. Posibilitățile sale sunt departe de a fi epuizate și încă poate explica multe. Dar este doar o aproximare a realității și, judecând după rezultate, este o aproximare foarte reușită. Mai jos vom arăta de ce a devenit posibil acest lucru.

Proprietățile undei ale particulelor, dualitatea undă-particulă
în mecanica cuantică.

Aceasta este probabil cea mai confuză întrebare din teoria cuantică. Sunt nenumărate lucrări scrise pe această temă și opinii exprimate. Experimentul afirmă clar că fenomenul există, dar este atât de de neînțeles, mitic și inexplicabil, încât a servit chiar drept motiv pentru glume, încât particula, la propriul capriciu, se comportă ca un corpuscul în unele zile ale săptămânii și ca un flutură asupra altora. Să arătăm că existența unui parametru ascuns de dimensiunea particulelor diferită de zero ne permite să explicăm acest fenomen. Să începem cu relația de incertitudine Heisenberg. De asemenea, a fost confirmat în mod repetat prin experiment, dar nici nu găsește o justificare adecvată în cadrul teoriei cuantice. Să folosim concluziile din fizica clasică că, pentru a apărea incertitudinea, este necesară prezența a doi factori și să vedem cum acești factori sunt implementați în teoria cuantică. În ceea ce privește viteza luminii, putem spune că este integrată organic în structura teoriei și acest lucru este de înțeles, deoarece aproape toate procesele cu care se ocupă mecanica cuantică sunt relativiste. Și pur și simplu nu te poți descurca fără teoria specială a relativității. Cu un alt factor, lucrurile stau altfel. Toate calculele din mecanica cuantică sunt efectuate în ipoteza că particulele cu care se ocupă sunt punctuale, cu alte cuvinte, a doua condiție pentru apariția relației de incertitudine este absentă. Să introducem în mecanica cuantică dimensiunea diferită de zero a particulelor elementare ca parametru ascuns. Dar cum să-l aleg? Fizicienii implicați în dezvoltarea teoriei corzilor sunt de părere că particulele elementare nu sunt punctuale, dar acest lucru se manifestă doar la energii semnificative. Este posibil să folosiți aceste dimensiuni ca parametru ascuns. Cel mai probabil nu, din două motive. În primul rând, aceste presupuneri nu sunt în întregime justificate și, pe de altă parte, energiile cu care lucrează dezvoltatorii teoriei corzilor sunt atât de mari încât aceste idei sunt greu de verificat experimental. Prin urmare, este mai bine să căutați un candidat pentru rolul unui parametru ascuns la un nivel de energie scăzut, care este accesibil pentru verificarea experimentală. Cel mai potrivit candidat pentru aceasta este lungimea de undă Compton a particulei:

Este vizibil constant și este listat în toate cărțile de referință, deși nu găsește o explicație adecvată. Să găsim o aplicație pentru aceasta și să postulăm că lungimea de undă Compton a unei particule determină, într-o anumită aproximare, dimensiunea acestei particule. Să vedem dacă lungimea de undă Compton satisface relația de incertitudine Heisenberg. Pentru a parcurge o distanţă egală cu viteza luminii, timpul necesar este:

Înlocuind (4) în (3) și ținând cont că obținem:

După cum se poate observa în acest caz, relația de incertitudine Heisenberg este satisfăcută exact. Considerațiile de mai sus nu pot fi considerate ca o justificare sau o derivare a relației de incertitudine. Aici afirmăm doar faptul că condițiile apariției incertitudinii, atât în ​​fizica clasică, cât și în teoria cuantică, sunt absolut aceleași.

Să considerăm trecerea unei particule cu o viteză având dimensiunile lungimii de undă Compton printr-o fantă îngustă. Timpul necesar pentru ca o particulă să treacă printr-o fantă este determinat de expresia:

Datorită câmpului său potențial, particula va interacționa cu pereții golului și va experimenta o anumită accelerație. Fie ca această accelerație să fie mică și viteza particulei după trecerea prin fantă, ca înainte, poate fi considerată egală cu . Accelerația particulei va provoca o undă de perturbare a propriului câmp, care se va propaga cu viteza luminii. În timpul trecerii particulei prin spațiu, această undă se va propaga pe distanța:

Înlocuind expresiile (3) și (6) în expresia (7) obținem:

Astfel, introducerea dimensiunii particulelor diferite de zero în mecanica cuantică ca parametru ascuns permite obținerea automată a expresiilor pentru lungimea de undă de Broglie. Pentru a obține ceea ce mecanica cuantică a fost forțată să ia din experiment, dar nu a putut justifica în niciun fel. Devine evident că proprietățile valurilor particulele sunt cauzate numai de câmpul lor potențial, și anume apariția unei unde de perturbare a propriului câmp sau, așa cum se numește în mod obișnuit, un potențial întârziat în timpul mișcării lor accelerate. Pe baza celor de mai sus, se poate susține, de asemenea, că expresia pentru valul de Broglie (8) nu este în niciun caz functie statistica, iar un val real are toate caracteristicile care pot fi, dacă este necesar, calculate pe baza conceptelor fizicii clasice. Care, la rândul său, este o altă dovadă că interpretarea probabilistică a mecanicii cuantice procese fizice, care apare în lumea subatomică este incorectă. Acum există o oportunitate de a dezvălui esență fizicăși dualitate undă-particulă. Dacă câmpul potențial al unei particule este slab și poate fi neglijat, atunci în acest caz particula se comportă ca un corpuscul și o traiectorie îi poate fi atribuită în siguranță. Dacă câmpul potențial al particulelor este puternic și nu mai poate fi neglijat, și anume așa câmpuri electromagnetice acționează în fizica atomică, atunci în acest caz trebuie să fii pregătit pentru ca particula să-și manifeste pe deplin proprietățile de undă. Acestea. Unul dintre principalele paradoxuri ale mecanicii cuantice despre dualitatea undă-particulă s-a dovedit a fi ușor de rezolvat datorită existenței unui parametru ascuns de dimensiunea diferită de zero a particulelor elementare.

Discretență în fizica cuantică și clasică.

Din anumite motive, este general acceptat că discretitatea este caracteristică numai fizicii cuantice, iar în fizica clasică un astfel de concept este absent. De fapt, totul nu este așa. Orice muzician știe că un rezonator bun este acordat doar la o singură frecvență și tonurile sale, al căror număr poate fi descris și prin valori întregi = 1, 2, 3... Același lucru se întâmplă și în atom. Numai că în acest caz, în loc de rezonator, există o fântână potențială. Mișcându-se accelerat într-un atom pe o orbită închisă, electronul generează continuu o undă de perturbare a propriului câmp. În anumite condiții (distanța orbitei față de nucleu, viteza electronului), condițiile pentru apariția undelor staționare pot fi îndeplinite pentru această undă. O condiție indispensabilă pentru apariția undelor staționare este ca un număr egal de astfel de unde să se potrivească pe lungimea orbitei. Poate că tocmai de aceste considerații s-a ghidat Bohr atunci când și-a formulat postulatele referitoare la structura atomului de hidrogen. Această abordare se bazează în întregime pe conceptele fizicii clasice. Și a putut explica natura discretă a nivelurilor de energie din atomul de hidrogen. Exista mai multă semnificație fizică în ideile lui Bohr decât în ​​mecanica cuantică. Dar atât postulatele lui Bohr, cât și soluția ecuației Schrödinger pentru atomul de hidrogen au dat exact aceleași rezultate în ceea ce privește nivelurile de energie discrete. Discrepanțele au început când a devenit necesară explicarea structurii fine a acestor spectre. În acest caz, mecanica cuantică s-a dovedit a fi mai mult decât de succes și munca la dezvoltarea ideilor lui Bohr a fost oprită. De ce a ieșit învingătoare mecanica cuantică? Cert este că, fiind pe o orbită staționară în condiții în care este posibilă formarea undelor staționare, electronul parcurge de multe ori aceeași cale. Nu există nicio posibilitate experimentală de a monitoriza mișcarea unui electron într-o stare legată la nivel microscopic. Prin urmare, folosirea metodelor statistice aici este complet justificată, iar interpretarea formării antinodurilor pe orbită ca cea mai mare probabilitate de a găsi un electron în aceste puncte are temei bune, ceea ce, de fapt, este ceea ce face teoria cuantică cu ajutorul funcţiei de undă şi al ecuaţiei Schrödinger. Și acesta este motivul pentru utilizarea cu succes a abordării probabilistice pentru a descrie fenomene fizice care se întâmplă în fizica atomica. Numai unul, cel mai simplu exemplu este considerat aici. Dar condițiile pentru apariția undelor staționare pot apărea și în sisteme mai complexe. Și mecanica cuantică face față bine acestor întrebări. Nu se poate decât să-i admiri pe oamenii de știință care au stat la originile fizicii cuantice. Lucrând într-o perioadă de distrugere a conceptelor familiare, în condițiile lipsei de informații obiective, aceștia au reușit să simtă cumva incredibil esența proceselor care au loc la nivel microscopic și au construit o teorie atât de reușită și frumoasă precum mecanica cuantică. De asemenea, este evident că nu există obstacole fundamentale în calea obținerii acelorași rezultate în cadrul fizicii clasice, deoarece un astfel de concept, un val staționar, îi este bine cunoscut.

Cuantum de acțiune minimă în mecanica cuantică și în
fizica clasica.

Cuantumul acțiunii minime a fost folosit pentru prima dată de Planck în 1900 pentru a explica radiația corpului negru. De atunci, constanta introdusă de Planck în fizică, numită ulterior în onoarea autorului drept constantă a lui Planck, și-a luat ferm locul de onoare în fizica subatomică și se regăsește în aproape toate expresiile matematice care sunt folosite aici. Poate că aceasta a fost cea mai importantă lovitură pentru fizica clasică și pentru susținătorii determinismului, care nu au putut să se opună cu nimic acestui lucru. Într-adevăr, nu există un astfel de concept ca cuantum minim de acțiune în fizica clasică. Înseamnă asta că nu poate fi acolo în principiu și acesta este domeniul doar al regiunii microcosmosului? Se dovedește că pentru macrocorpii cu un câmp potențial De asemenea, puteți utiliza cuantumul minim de acțiune, care este determinat de expresia:

(9)

unde este masa corporală

Diametruacest corp

Viteza luminii

Expresia (9) este postulată în această lucrare și necesită verificare experimentală. Utilizarea acestui cuantum de acțiune în ecuația Schrödinger ne permite să arătăm că orbitele planetelor sistem solar sunt, de asemenea, cuantificate, ca orbitele electronilor în atomi. În fizica clasică nu mai este nevoie să se ia valoarea cuantumului minim de acțiune din experiment. Cunoscând masa și dimensiunile corpului, valoarea acestuia poate fi calculată fără ambiguitate. Mai mult, expresia (9) este valabilă și pentru mecanica cuantică. Dacă în formula (9) în loc de diametrul macrocorpului înlocuim expresia care determină dimensiunea microparticulei (3), obținem:

Astfel, valoarea constantei lui Planck, care este folosită în mecanica cuantică, este doar un caz special de expresie (9) folosită în macrolume. În treacăt, observăm că în cazul mecanicii cuantice, expresia (9) conține un parametru ascuns, dimensiunea particulei. Poate de aceea constanta lui Planck nu a fost înțeleasă în fizica clasică, iar mecanica cuantică nu a putut explica ce este, ci pur și simplu și-a folosit valoarea luată din experiment.

Efecte cuantice în gravitație.

Introducerea dimensiunii diferite de zero a particulelor elementare ca parametru ascuns în mecanica cuantică a făcut posibilă determinarea faptului că proprietățile undei ale particulelor sunt determinate exclusiv de câmpul potențial al acestor particule. Macrocorpurile cu masă de repaus au și un câmp potențial gravitațional. Și dacă concluziile trase mai sus sunt corecte, atunci efectele cuantice ar trebui observate și în gravitație. Folosind expresia pentru cuantumul minim de acțiune (9), formulăm ecuația Schrödinger pentru o planetă care se mișcă în câmpul gravitațional al Soarelui. Arată ca:

Undem este masa planetei;

M este masa Soarelui;

G - constantă gravitațională.

Procedura de rezolvare a ecuației (10) nu este diferită de procedura de rezolvare a ecuației Schrödinger pentru atomul de hidrogen. Acest lucru vă permite să evitați calculele matematice greoaie și soluția (10) poate fi scrisă imediat:

Unde

Deoarece prezența traiectoriilor pentru planetele care se deplasează pe orbită în jurul Soarelui este fără îndoială, este convenabil să se transforme expresia (11) și să o prezinte în termeni de razele cuantice ale orbitelor planetelor. Să luăm în considerare că în fizica clasică energia unei planete pe orbită este determinată de expresia:

(12 );

Unde este raza medie a orbitei planetei.

Echivalând (11) și (12) obținem:

(13 );

Mecanica cuantică nu face posibil să se răspundă fără ambiguitate în ce stare excitată poate fi un sistem legat. Vă permite doar să aflați toate stările posibile și probabilitățile de a fi în fiecare dintre ele. Formula (13) arată că pentru orice planetă există un număr infinit de orbite discrete în care poate fi localizată. Prin urmare, puteți încerca să determinați numerele cuantice principale ale planetelor comparând calculele efectuate folosind formula (13) cu razele observate ale planetelor. Rezultatele acestei comparații sunt prezentate în Tabelul 1. Datele privind valorile observate ale parametrilor orbitalii planetari sunt preluate din.

Tabelul 1.

După cum se poate vedea din Tabelul 1, fiecărei planete i se poate atribui un număr cuantic principal. Și aceste numere sunt destul de mici în comparație cu cele care ar putea fi obținute dacă în ecuația Schrödinger, în loc de cuantumul acțiunii minime determinat de formula (9), s-ar folosi constanta lui Planck, folosită de obicei în mecanica cuantică. Deși discrepanțele dintre valorile calculate și razele observate ale orbitelor planetelor sunt destul de mari. Acest lucru se poate datora faptului că la derivarea formulei (11) nu a fost luată în considerare influența reciprocă a planetelor, care duce la o schimbare a orbitelor lor. Dar principalul lucru arătat este că orbitele planetelor sistemului solar sunt cuantificate, similar cu ceea ce se întâmplă în fizica atomică. Datele prezentate indică clar că efectele cuantice apar și în gravitație.

Există, de asemenea, dovezi experimentale în acest sens. V. Nesvizhevsky și colegii săi din Franța au reușit să arate că neutronii care se mișcă într-un câmp gravitațional sunt detectați doar la altitudini discrete. Acesta este un experiment de precizie. Dificultatea efectuării unor astfel de experimente este că proprietățile undei neutronului sunt determinate de acesta câmp gravitațional, care este foarte slab.

Astfel, se poate susține că este posibilă crearea unei teorii a gravitației cuantice, dar trebuie luat în considerare faptul că particulele elementare au o dimensiune diferită de zero, iar cuantumul minim de acțiune în gravitație este determinat de expresia (9) .

Spinul particulelor în mecanica cuantică și fizica clasică.

În fizica clasică, fiecare corp în rotație are un moment unghiular intern, care poate lua orice valoare.

În fizica subatomică, studiile experimentale confirmă și existența momentului unghiular intern al particulelor, numit spin. Se crede, totuși, că în mecanica cuantică spinul nu poate fi exprimat în termeni de coordonate și impuls, deoarece pentru orice rază admisă a unei particule, viteza pe suprafața acesteia va depăși viteza luminii și, prin urmare, o astfel de reprezentare este inacceptabilă. . Introducere in fizică cuantică dimensiunea particulelor diferită de zero ne permite să clarificăm oarecum această problemă. În acest scop, vom folosi conceptele teoriei corzilor și ne vom imagina o particulă al cărei diametru este egal cu lungimea de undă Compton sub forma unui șir închis în spațiu tridimensional, de-a lungul căruia circulă un flux al unui câmp cu viteza luminii. . Deoarece orice câmp are energie și impuls, putem pe bună dreptate atribui acestui câmp impulsul asociat cu masa particulei:

Având în vedere că raza de circulație a câmpului în jurul centrului este egală, obținem expresia pentru spin:

Expresia (15) este valabilă numai pentru fermioni și nu poate fi considerată o justificare pentru existența spinului în particulele elementare. Dar ne permite să înțelegem de ce particulele cu mase de repaus diferite pot avea același spin. Acest lucru se datorează faptului că atunci când masa particulelor se modifică, lungimea de undă Compton se modifică în consecință, iar expresia (15) rămâne neschimbată. Acest lucru nu a putut fi explicat în mecanica cuantică, iar valorile spinului particulelor au fost luate din experiment.

Spectrele vibraționale ale particulelor elementare.

În capitolul anterior, luând în considerare problema spinului, o particulă cu dimensiunea egală cu lungimea de undă Compton a fost reprezentată ca un șir închis în spațiu tridimensional. Această reprezentare face posibil să se arate că spectrele vibraționale discrete pot fi excitate în particule elementare.

Să luăm în considerare interacțiunea a două șiruri identice închise cu mase de repaus care se deplasează una spre alta cu o viteză. Va trece ceva timp de la începutul coliziunii până la oprirea completă a corzilor, datorită faptului că viteza de transfer a impulsului în interiorul corzilor nu poate depăși viteza luminii. În această perioadă energie kinetică corzile se vor transforma în energie potenţială datorită deformării lor. În momentul în care coarda se oprește, energia sa totală va consta din suma energiei de repaus și a energiei potențiale stocate în timpul coliziunii. Mai târziu, când corzile încep să se miște în direcția opusă, o parte din energia potențială va fi cheltuită pentru a excita propriile vibrații ale corzilor. Cel mai simplu tip de vibrație la energii joase care poate fi excitat în corzi poate fi reprezentat ca vibrații armonice. Energia potențială a coardei atunci când se abate de la starea de echilibru cu o cantitate are forma.

k - coeficientul de elasticitate a corzilor

Scriem ecuația Schrödinger pentru stările staționare ale unui oscilator armonic sub forma:

Soluția exactă a ecuației (17) conduce la următoarea expresie pentru valori discrete:

Unde 0, 1, 2, … (18)

În formula (18) există un coeficient de elasticitate necunoscut al particulelor elementare k. Acesta poate fi calculat aproximativ pe baza următoarelor considerații. Când particulele se ciocnesc în momentul în care se opresc, toată energia cinetică se transformă în energie potențială. Prin urmare, putem scrie egalitatea:

Dacă impulsul în interiorul unei particule este transmis la viteza maximă posibilă egală cu viteza luminii, atunci din momentul în care începe coliziunea până în momentul în care particulele diverg. timpul va trece necesar pentru ca pulsul să se propage pe diametrul întregii particule egal cu lungimea de undă Compton:

În acest timp, abaterea coardei de la starea de echilibru datorită deformării poate fi:

Ținând cont de (21), expresia (19) poate fi scrisă astfel:

Înlocuind (23) în (18) obținem o expresie pentru valorile posibile ale lui , potrivită pentru calcule practice:

Unde , 1, 2, … (24)

Tabelele (2, 3) prezintă valorile pentru electroni și protoni calculate folosind formula (24). Tabelele indică, de asemenea, energiile eliberate în timpul decăderii stărilor excitate în timpul tranzițiilor și energiile totale ale particulelor în starea excitată. Toate valorile experimentale ale maselor de rest de particule sunt luate din.

Tabelul 2. Spectrul de vibrații al electronului e (0,5110034 MeV.)

Tabelul 3. Spectrul de vibrații al protonului P (938,2796 MeV)