Există valori medii, a căror definiție incorectă a devenit o glumă sau o pildă. Orice calcul incorect este comentat cu o referire comună, general înțeleasă, la un rezultat atât de evident absurd. De exemplu, expresia „temperatura medie în spital” va face pe toată lumea să zâmbească cu înțelegere sarcastică. Cu toate acestea, aceiași experți adesea, fără să se gândească, adună vitezele pe secțiuni individuale ale traseului și împart suma calculată la numărul acestor secțiuni pentru a obține un răspuns la fel de lipsit de sens. Amintiți-vă de la cursul de mecanică liceu, cum să găsiți viteza medie într-un mod corect și nu absurd.

Analog al „temperaturii medii” în mecanică

În ce cazuri condițiile dificile ale unei probleme ne împing la un răspuns grăbit și necugetat? Dacă vorbesc despre „părți” ale căii, dar nu indică lungimea lor, acest lucru alarmează chiar și o persoană care are puțină experiență în rezolvarea unor astfel de exemple. Dar dacă problema indică în mod direct intervale egale, de exemplu, „trenul a urmat prima jumătate a călătoriei cu o viteză...”, sau „pietonul a parcurs prima treime a drumului cu o viteză...”, și apoi descrie în detaliu modul în care obiectul s-a deplasat la intervalele egale rămase, adică raportul este cunoscut S 1 = S 2 = ... = S nși valori exacte ale vitezei v 1, v 2, ... v n, gândirea noastră deseori se rătăcește de neiertat. Se ia în considerare media aritmetică a vitezelor, adică toate valorile cunoscute v se adună și se împart în n. Ca urmare, răspunsul se dovedește a fi incorect.

„Formule” simple pentru calcularea cantităților în timpul mișcării uniforme

Atât pentru întreaga distanță parcursă, cât și pentru secțiunile sale individuale în cazul medierii vitezei, sunt valabile relațiile scrise pentru mișcare uniformă:

  • S = vt(1), cale „formulă”;
  • t=S/v(2), „formula” pentru calcularea timpului de mișcare ;
  • v=S/t(3), „formula” pentru determinarea vitezei medii pe o secțiune de cale S străbătut în timp t.

Adică pentru a găsi valoarea dorită v folosind relația (3), trebuie să le cunoaștem exact pe celelalte două. Tocmai rezolvând întrebarea cum să găsești viteza medie mișcare, trebuie mai întâi să stabilim ce a parcurs întreg drumul Sși care este timpul întregului mișcare? t.

Detectarea erorilor ascunse matematice

În exemplul pe care îl rezolvăm, distanța parcursă de corp (tren sau pieton) va fi egală cu produsul nS n(din moment ce noi n odată ce adunăm secțiuni egale ale căii, în exemplele date - jumătăți, n=2, sau treimi, n=3). Nu știm nimic despre timpul total de mișcare. Cum se determină viteza medie dacă numitorul fracției (3) nu este specificat în mod explicit? Să folosim relația (2), pentru fiecare secțiune a traseului pe care o determinăm t n = S n: v n. Cantitate Vom scrie intervalele de timp calculate astfel sub linia fracției (3). Este clar că pentru a scăpa de semnele „+”, trebuie să dai totul S n: v n La numitor comun. Rezultatul este o „fracție cu două etaje”. În continuare, folosim regula: numitorul numitorului intră în numărător. Ca urmare, pentru problema trenului după reducerea cu S n avem v av = nv 1 v 2: v 1 + v 2, n = 2 (4) . Pentru cazul unui pieton, întrebarea cum să găsiți viteza medie este și mai dificil de rezolvat: v av = nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1,n=3(5).

Confirmare explicită a erorii „în cifre”

Pentru a confirma cu degetele că determinarea mediei aritmetice este modalitatea greșită de a face calcule vmier, să facem exemplul mai concret prin înlocuirea literelor abstracte cu cifre. Pentru tren, să luăm vitezele 40 km/hŞi 60 km/h(raspuns gresit - 50 km/h). Pentru un pieton - 5 , 6 Şi 4 km/h(media aritmetică - 5 km/h). Este ușor de verificat prin înlocuirea valorilor în relațiile (4) și (5) că răspunsurile corecte sunt pentru locomotivă 48 km/hși pentru o persoană - 4.(864) km/h(periodic zecimal, rezultatul nu este foarte frumos matematic).

Când media aritmetică nu eșuează

Dacă problema este formulată astfel: „Pentru intervale egale de timp, corpul s-a deplasat mai întâi cu viteză v 1, atunci v 2, v 3și așa mai departe", un răspuns rapid la întrebarea cum să găsiți viteza medie poate fi găsit într-un mod greșit. Lăsați cititorul să vadă singur acest lucru, însumând intervale de timp egale la numitor și folosind la numărător v avg relația (1). Acesta este poate singurul caz în care o metodă eronată duce la un rezultat corect. Dar pentru calcule precise garantate, trebuie să utilizați singurul algoritm corect, apelând invariabil la fracțiune v av = S: t.

Algoritm pentru toate ocaziile

Pentru a evita cu siguranță greșelile, atunci când decideți cum să găsiți viteza medie, este suficient să vă amintiți și să urmați o succesiune simplă de acțiuni:

  • determinați întregul traseu prin însumarea lungimilor secțiunilor sale individuale;
  • setați toată durata călătoriei;
  • împărțiți primul rezultat la al doilea, cantitățile necunoscute nespecificate în problemă (sub rezerva formulării corecte a condițiilor) sunt reduse.

Articolul discută cele mai simple cazuri când datele inițiale sunt date pentru părți egale de timp sau secțiuni egale ale căii. În cazul general, raportul intervalelor cronologice sau distanțelor parcurse de un corp poate fi foarte arbitrar (dar în același timp definit matematic, exprimat ca un întreg sau fracție specifică). Regula de referire la raport v av = S: t absolut universal și nu eșuează niciodată, indiferent cât de complexe trebuie efectuate transformări algebrice la prima vedere.

În cele din urmă, observăm: semnificația practică a utilizării algoritmului potrivit nu a trecut neobservată de cititorii observatori. Viteza medie calculată corect în exemplele date s-a dovedit a fi puțin mai mică decât „temperatura medie” pe autostradă. Prin urmare, un algoritm fals pentru sistemele care înregistrează viteză ar însemna număr mai mare deciziile eronate ale poliției rutiere trimise în „scrisori în lanț” șoferilor.

Viteza medie este viteza care se obține dacă întreaga cale este împărțită la timpul necesar obiectului pentru a parcurge această cale. Formula vitezei medii:

  • V av = S/t.
  • S = S1 + S2 + S3 = v1*t1 + v2*t2 + v3*t3
  • V av = S/t = (v1*t1 + v2*t2 + v3*t3) / (t1 + t2 + t3)

Pentru a evita confuzia cu ore și minute, convertim toate minutele în ore: 15 minute. = 0,4 ore, 36 min. = 0,6 ore. Să înlocuim valori numericeîn ultima formulă:

  • V av = (20*0,4 + 0,5*6 + 0,6*15) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = (8 + 3 + 9) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = 20 / 1,5 = 13,3 km/h

Răspuns: viteza medie V av = 13,3 km/h.

Cum să găsiți viteza medie a unei mișcări de accelerație

Dacă viteza de la începutul mișcării diferă de viteza de la sfârșit, o astfel de mișcare se numește accelerată. În plus, corpul nu se mișcă întotdeauna din ce în ce mai repede. Dacă mișcarea încetinește, ei tot spun că se mișcă cu accelerație, doar accelerația va fi negativă.

Cu alte cuvinte, dacă o mașină, care se îndepărtează, a accelerat la o viteză de 10 m/sec într-o secundă, atunci accelerația sa a este egală cu 10 m pe secundă pe secundă a = 10 m/sec². Dacă în secunda următoare mașina se oprește, atunci accelerația sa este și ea egală cu 10 m/sec², doar cu semnul minus: a = -10 m/sec².

Viteza de mișcare cu accelerație la sfârșitul intervalului de timp se calculează prin formula:

  • V = V0 ± la,

unde V0 este viteza inițială de mișcare, a este accelerația, t este timpul în care a fost observată această accelerație. Un plus sau un minus este plasat în formulă în funcție de dacă viteza a crescut sau a scăzut.

Viteza medie pe o perioadă de timp t se calculează ca media aritmetică a vitezei inițiale și finale:

  • V av = (V0 + V) / 2.

Găsirea vitezei medii: problemă

Mingea a fost împinsă de-a lungul unui plan plat cu viteza initiala V0 = 5 m/sec. După 5 sec. mingea s-a oprit. Care sunt accelerația și viteza medie?

Viteza finală a mingii este V = 0 m/sec. Accelerația de la prima formulă este egală cu

  • a = (V - V0)/ t = (0 - 5)/ 5 = - 1 m/sec².

Viteza medie V av = (V0 + V) / 2 = 5 /2 = 2,5 m/sec.

1. Punctul material a depășit jumătatea cercului. Aflați raportul dintre viteza medie la sol la modulul vitezei vector medii.

Soluţie . Din determinarea valorilor medii ale vitezei solului și vectoriale, ținând cont de faptul că traseul parcurs de un punct material în timpul mișcării sale t, egal cu R, iar valoarea deplasării este 2 R, Unde R- raza cercului, obținem:

2. Mașina a parcurs prima treime a călătoriei cu o viteză de v 1 = 30 km/h, iar restul călătoriei cu o viteză de v 2 = 40 km/h. Găsiți viteza medie de-a lungul întregului drum parcurs.

Soluţie . Prin definiție =Unde S- calea parcursă în timp t. Este evident că
Prin urmare, viteza medie necesară este

3. Elevul a parcurs jumătate din distanță pe o bicicletă cu o viteză v 1 = 12 km/h. Apoi, pentru jumătate din timpul rămas, a condus cu o viteză de v 2 = 10 km/h, iar restul drumului a mers cu o viteză de v 3 = 6 km/h. Determinați viteza medie a mișcării elevului tot drumul.

Soluţie . Prin definiție
Unde S – fel, și t- timpul de miscare. Este clar că t=t 1 +t 2 +t 3. Aici
- timpul de călătorie în prima jumătate a călătoriei, t 2 – timpul de parcurs pe a doua secțiune a traseului și t 3 - pe a treia. În funcție de condițiile problemei t 2 =t 3. In plus, S/2 =v 2 t 2 + v 3 t 3 = (v 2 +v 3) t 2. Din aceasta rezultă:

Înlocuind t 1 și t 2 +t 3 = 2t 2 în expresia pentru viteza medie, obținem:

4. Trenul a parcurs în timp distanța dintre cele două gări t 1 = 30 min. Accelerația și frânarea au durat t 2 = 8 minute, iar în restul timpului trenul s-a deplasat uniform cu o viteză v = 90 km/h. Determinați viteza medie a trenului , avand in vedere ca in timpul accelerarii viteza a crescut in timp dupa o lege liniara, iar la franare a scazut si ea dupa o lege liniara.

R

decizie . Să construim un grafic al vitezei trenului în funcție de timp (vezi figura). Acest grafic descrie un trapez cu lungimi de bază egale cu t 1 și t 1 –t 2 și înălțimea egală cu v. Aria acestui trapez este numeric egală cu distanța parcursă de tren de la începutul mișcării până la oprire. Prin urmare, viteza medie este:

Sarcini și exerciții

1.1. Mingea a căzut de la înălțime h 1 = 4 m, a sărit de podea și a fost prins sus h 2 = 1 m Care este distanța? Sși cantitatea de mișcare
?

1.2. Punctul material s-a deplasat pe plan din punctul cu coordonatele x 1 = 1 cm și y 1 = 4cm până la punctul cu coordonatele x 2 = 5 cm și y 2 = 1 cm Construiți un vector de deplasare și, folosind o riglă, determinați modulul vectorului de deplasare și proiecția vectorului de deplasare pe axă. xŞi y. Găsiți aceleași valori analitic și comparați rezultatele.

1.3. În prima jumătate a călătoriei trenul a călătorit cu o viteză de n= 1,5 ori mai lung decât a doua jumătate a traseului. Viteza medie a trenului pe toată durata călătoriei = 43,2 km/h. Care sunt vitezele trenului în prima și a doua jumătate a călătoriei?

1.4. Biciclistul a parcurs prima jumătate a timpului cu o viteză v 1 = 18 km/h, iar a doua jumătate a timpului cu o viteză v 2 = 12 km/h. Determinați viteza medie a biciclistului.

1.5. Mișcarea a două mașini este descrisă de ecuații
Şi
, unde toate mărimile sunt măsurate în sistemul SI. Scrieți legea schimbării distanței
între mașini din timp și găsi
după un timp
Cu. după începerea mișcării.

Instrucţiuni

Se consideră funcția f(x) = |x|. Pentru început, acesta este un modul fără semn, adică graficul funcției g(x) = x. Acest grafic este o linie dreaptă care trece prin origine, iar unghiul dintre această linie dreaptă și direcția pozitivă a axei x este de 45 de grade.

Deoarece modulul este o mărime nenegativă, partea care se află sub axa absciselor trebuie să fie reflectată în raport cu aceasta. Pentru funcția g(x) = x, aflăm că graficul după o astfel de mapare va arăta ca V. Acest nou grafic va fi o interpretare grafică a funcției f(x) = |x|.

Video pe tema

Vă rugăm să rețineți

Graficul modulului unei funcții nu va fi niciodată în trimestrul 3 și 4, deoarece modulul nu poate accepta valori negative.

Sfaturi utile

Dacă o funcție conține mai multe module, atunci acestea trebuie extinse secvențial și apoi stivuite unul peste altul. Rezultatul va fi graficul dorit.

Surse:

  • cum să reprezentați grafic o funcție cu module

Probleme de cinematică în care trebuie să calculați viteză, timp sau calea corpurilor în mișcare uniform și rectiliniu care se întâlnesc în curs şcolar algebră și fizică. Pentru a le rezolva, găsiți în condiție cantități care pot fi egalizate. Dacă condiția necesită definire timp la o viteză cunoscută, utilizați următoarele instrucțiuni.

vei avea nevoie

  • - stilou;
  • - hartie pentru note.

Instrucţiuni

Cel mai simplu caz este mișcarea unui corp cu o uniformă dată viteză Yu. Se știe distanța pe care a parcurs-o corpul. Aflați pe drum: t = S/v, oră, unde S este distanța, v este media viteză corpuri.

Al doilea este pentru mișcarea în sens opus a corpurilor. O mașină se deplasează din punctul A în punctul B cu viteză 50 km/h. Un moped cu a viteză 30 km/h. Distanța dintre punctele A și B este de 100 km. Trebuie să găsești timp prin care se vor întâlni.

Etichetați punctul de întâlnire K. Fie distanța AK a mașinii de x km. Apoi traseul motociclistului va fi de 100 km. Din condiţiile problemei rezultă că timp Pe drum, o mașină și un moped au aceeași experiență. Alcătuiți ecuația: x/v = (S-x)/v’, unde v, v’ – și mopedul. Înlocuind datele, rezolvăm ecuația: x = 62,5 km. Acum timp: t = 62,5/50 = 1,25 ore sau 1 oră 15 minute.

Al treilea exemplu - sunt date aceleași condiții, dar mașina a plecat cu 20 de minute mai târziu decât mopedul. Stabiliți cât timp va călători mașina înainte de a întâlni mopedul.

Creați o ecuație similară cu cea anterioară. Dar în acest caz timp călătoria unui moped va fi cu 20 de minute mai lungă decât cea a unei mașini. Pentru a egaliza părțile, scădeți o treime de oră din partea dreaptă a expresiei: x/v = (S-x)/v’-1/3. Găsiți x – 56,25. Calcula timp: t = 56,25/50 = 1,125 ore sau 1 oră 7 minute 30 secunde.

Al patrulea exemplu este o problemă care implică mișcarea corpurilor într-o singură direcție. O mașină și o mopedă se deplasează din punctul A cu aceleași viteze. Se știe că mașina a plecat o jumătate de oră. După ce timp va ajunge din urmă cu mopedul?

În acest caz, distanța parcursă de vehicule va fi aceeași. Lasă timp atunci mașina va călători x ore timp călătoria mopedului va fi de x+0,5 ore. Aveți ecuația: vx = v’(x+0.5). Rezolvați ecuația înlocuind , și găsiți x – 0,75 ore sau 45 minute.

Al cincilea exemplu – o mașină și o mopedă se deplasează cu aceleași viteze în aceeași direcție, dar mopedul a părăsit punctul B, situat la 10 km de punctul A, cu jumătate de oră mai devreme. Calculați după ce timp După pornire, mașina va ajunge din urmă cu mopedul.

Distanța parcursă cu mașina este cu 10 km mai mult. Adăugați această diferență la drumul motociclistului și egalizați părțile expresiei: vx = v’(x+0,5)-10. Înlocuind valorile vitezei și rezolvând-o, obțineți: t = 1,25 ore sau 1 oră 15 minute.

Surse:

  • care este viteza mașinii timpului

Instrucţiuni

Calculați media unui corp care se mișcă uniform de-a lungul unei secțiuni de drum. Astfel de viteză este cel mai ușor de calculat, deoarece nu se modifică pe întregul segment circulaţieși este egală cu media. Aceasta poate fi exprimată sub forma: Vрд = Vср, unde Vрд – viteză uniformă circulaţieși Vav – medie viteză.

Calculați media viteză uniform lent (uniform accelerat) circulaţieîn acest domeniu, pentru care este necesar să se adauge inițial și final viteză. Împărțiți rezultatul la doi, care

La școală, fiecare dintre noi s-a confruntat cu o problemă similară următoarei. Dacă o mașină s-a deplasat o parte din drum cu o viteză, iar următoarea porțiune de drum cu alta, cum să găsiți viteza medie?

Care este această cantitate și de ce este necesară? Să încercăm să ne dăm seama.

Viteza în fizică este o cantitate care descrie distanța parcursă pe unitatea de timp. Adică, când se spune că viteza unui pieton este de 5 km/h, înseamnă că parcurge o distanță de 5 km în 1 oră.

Formula pentru găsirea vitezei arată astfel:
V=S/t, unde S este distanța parcursă, t este timpul.

Nu există o singură dimensiune în această formulă, deoarece descrie atât procese extrem de lente, cât și foarte rapide.

De exemplu, satelit artificial Pământul parcurge aproximativ 8 km într-o secundă, iar plăcile tectonice pe care sunt situate continentele, conform măsurătorilor oamenilor de știință, diverg cu doar câțiva milimetri pe an. Prin urmare, dimensiunile vitezei pot fi diferite - km/h, m/s, mm/s etc.

Principiul este că distanța este împărțită la timpul necesar parcurgerii traseului. Nu uitați de dimensionalitate dacă se efectuează calcule complexe.

Pentru a nu te confunda și a nu greși răspunsul, toate mărimile sunt date în aceleași unități de măsură. Dacă lungimea căii este indicată în kilometri, iar o parte a acesteia în centimetri, atunci până când vom obține unitate în dimensiune, nu vom ști răspunsul corect.

Viteză constantă

Descrierea formulei.

Cel mai simplu caz din fizică este mișcare uniformă. Viteza este constantă și nu se modifică pe toată durata călătoriei. Există chiar și constante de viteză tabulate - valori neschimbabile. De exemplu, sunetul circulă în aer cu o viteză de 340,3 m/s.

Iar lumina este campioana absolută în acest sens, are cea mai mare viteză din Universul nostru - 300.000 km/s. Aceste cantități nu se modifică de la punctul de început al mișcării până la punctul final. Acestea depind doar de mediul în care se deplasează (aer, vid, apă etc.).

Mișcarea uniformă ne apare adesea în viata de zi cu zi. Așa funcționează o bandă transportoare într-o fabrică sau fabrică, o telecabină pe drumurile de munte, un lift (cu excepția unor perioade foarte scurte de pornire și oprire).

Graficul unei astfel de mișcări este foarte simplu și reprezintă o linie dreaptă. 1 secundă - 1 m, 2 secunde - 2 m, 100 secunde - 100 m Toate punctele sunt pe aceeași linie dreaptă.

Viteză neuniformă

Din păcate, este extrem de rar ca lucrurile să fie atât de ideale atât în ​​viață, cât și în fizică. Multe procese au loc cu o viteză neuniformă, uneori accelerând, alteori încetinind.

Să ne imaginăm mișcarea unui autobuz interurban obișnuit. La începutul călătoriei, accelerează, încetinește la semafoare sau chiar se oprește cu totul. Apoi merge mai repede in afara orasului, dar mai incet la ascensiuni, si accelereaza din nou la coborari.

Dacă descrii acest proces sub forma unui grafic, vei obține o linie foarte complicată. Puteți determina viteza din grafic numai pentru un anumit punct, dar principiu general Nu.

Veți avea nevoie de un întreg set de formule, fiecare dintre ele potrivită numai pentru propria sa secțiune a desenului. Dar nu e nimic înfricoșător. Pentru a descrie mișcarea autobuzului, se folosește o valoare medie.

Puteți găsi viteza medie folosind aceeași formulă. Într-adevăr, știm că distanța dintre stațiile de autobuz și timpul de călătorie a fost măsurată. Împărțiți unul la altul și găsiți valoarea necesară.

Pentru ce este asta?

Astfel de calcule sunt utile tuturor. Ne planificăm ziua și mișcările tot timpul. Având o clădire în afara orașului, este logic să aflați viteza medie la sol atunci când călătoriți acolo.

Acest lucru va face să vă planificați weekendul mai ușor. După ce am învățat să găsim această valoare, putem fi mai punctuali și să nu mai întârziam.

Să revenim la exemplul propus chiar de la început, când mașina a condus o parte din drum cu o viteză, iar cealaltă cu o viteză diferită. Acest tip de problemă este foarte des folosit în programa școlară. Prin urmare, atunci când copilul tău îți cere să-l ajuți cu o problemă similară, îți va fi ușor să o faci.

Adunând lungimile secțiunilor de cale, obțineți distanța totală. Împărțind valorile lor la vitezele indicate în datele inițiale, puteți determina timpul petrecut pe fiecare dintre secțiuni. Adunându-le, obținem timpul petrecut pe întreaga călătorie.