Figura prezintă graficele funcției diferențiabile. Sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul unei functii

Arătând legătura dintre semnul derivatei și natura monotonității funcției.

Vă rugăm să fiți extrem de atenți la următoarele. Uite, programul CE ți se dă! Funcția sau derivata ei

Dacă se oferă un grafic al derivatei, atunci ne vor interesa doar semnele și zerourile funcției. În principiu, nu ne interesează niciun „deal” sau „hollow”!

Sarcina 1.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției este negativă.

Soluţie:

În figură, zonele cu funcție descrescătoare sunt evidențiate în culoare:

Aceste regiuni descrescătoare ale funcției conțin 4 valori întregi.

Sarcina 2.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Soluţie:

Odată ce tangenta la graficul unei funcții este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă (sau, care este același lucru), având pantă, egal cu zero, atunci tangenta are un coeficient unghiular .

Aceasta înseamnă, la rândul său, că tangenta este paralelă cu axa, deoarece panta este tangenta unghiului de înclinare a tangentei la axă.

Prin urmare, găsim puncte extreme (puncte maxime și minime) pe grafic - tocmai în aceste puncte funcțiile tangente la grafic vor fi paralele cu axa.

Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 3.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Soluţie:

Deoarece tangenta la graficul unei funcții este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă care are o pantă, atunci tangenta are și o pantă.

Aceasta, la rândul său, înseamnă că la punctele de atingere.

Prin urmare, ne uităm la câte puncte de pe grafic au o ordonată egală cu .

După cum puteți vedea, există patru astfel de puncte.

Sarcina 4.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Aflați numărul de puncte la care derivata funcției este 0.

Soluţie:

Derivata este egala cu zero la punctele extreme. Avem 4 dintre ele:

Sarcina 5.

Figura prezintă un grafic al unei funcții și unsprezece puncte pe axa x:. În câte dintre aceste puncte derivata funcției este negativă?

Soluţie:

Pe intervale de funcție descrescătoare, derivata ei ia valori negative. Și funcția scade la puncte. Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 6.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Aflați suma punctelor extreme ale funcției.

Soluţie:

Puncte extreme– acestea sunt punctele maxime (-3, -1, 1) și punctele minime (-2, 0, 3).

Suma punctelor extreme: -3-1+1-2+0+3=-2.

Sarcina 7.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. Aflați intervalele de creștere ale funcției. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Soluţie:

Figura evidențiază intervalele în care derivata funcției este nenegativă.

Nu există puncte întregi pe intervalul crescător mic, există patru valori întregi: , și .

Suma lor:

Sarcina 8.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. Aflați intervalele de creștere ale funcției. În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Soluţie:

În figură, toate intervalele la care derivata este pozitivă sunt evidențiate color, ceea ce înseamnă că funcția în sine crește pe aceste intervale.

Lungimea celui mai mare dintre ele este de 6.

Sarcina 9.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. În ce punct de pe segment face cea mai mare valoare.

Soluţie:

Să vedem cum se comportă graficul pe segment, care este ceea ce ne interesează doar semnul derivatului .

Semnul derivatei pe este minus, deoarece graficul de pe acest segment este sub axă.

02.01.2020

Rarele nurori se pot lăuda că au o relație uniformă și prietenoasă cu soacra lor. De obicei, se întâmplă exact invers

DERIVAT– derivata functiei y = f(x), dat pe un anumit interval ( o, b) la un moment dat x al acestui interval se numește limita la care tinde raportul de creștere a funcției fîn acest moment la incrementul corespunzător al argumentului când incrementul argumentului tinde spre zero.

Derivatul este de obicei notat după cum urmează:

Alte denumiri sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă:

Viteza instantanee.

Lasă punctul M se mișcă în linie dreaptă. Distanţă s punct de mișcare, numărat dintr-o poziție inițială M 0 , depinde de timp t, adică s există o funcție a timpului t: s= f(t). Lasă la un moment dat t punct de mișcare M era la distanta s din pozitia de start M 0 și într-un moment următor t+D t s-a trezit într-o poziție M 1 – la distanta s+D s din pozitia initiala ( vezi poza.).

Astfel, pe o perioadă de timp D t distanţă s modificat cu suma D s. În acest caz, ei spun că în perioada D t magnitudinea s a primit sporul D s.

Viteza medie nu poate caracteriza în toate cazurile cu exactitate viteza de mișcare a unui punct M la un moment dat t. Dacă, de exemplu, corpul la începutul intervalului D t s-a mișcat foarte repede, iar la sfârșit foarte încet, apoi viteza medie nu va putea reflecta caracteristicile specificate ale mișcării punctului și să ofere o idee despre adevărata viteză a mișcării sale în acest moment t. Pentru a exprima mai precis viteza reală folosind viteza medie, trebuie să luați o perioadă mai scurtă de timp D t. Cel mai pe deplin caracterizează viteza de mișcare a unui punct în acest moment t limita la care tinde viteza medie la D t® 0. Această limită se numește viteza curentă:

Astfel, viteza de mișcare la un moment dat se numește limita raportului de creștere a traseului D s la incrementul de timp D t, când incrementul de timp tinde spre zero. Deoarece

Sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul unei functii.

Construcția liniilor tangente este una dintre acele probleme care au dus la nașterea calculului diferențial. Prima lucrare publicată referitoare la calculul diferențial și peruvian Leibniz, avea numele Metodă nouă maximele și minimele, precum și tangentele, pentru care nici mărimile fracționale, nici iraționale și un tip special de calcul pentru aceasta nu servesc drept obstacol..

Fie curba graficul funcției y =f(x) V sistem dreptunghiular coordonate ( cm. orez.).

La o oarecare valoare x funcția contează y =f(x). Aceste valori xŞi y punctul de pe curbă corespunde M 0(x, y). Dacă argumentul x da increment D x, apoi noua valoare a argumentului x+D x corespunde noii valori ale funcției y+ D y = f(x + D x). Punctul corespunzător al curbei va fi punctul M 1(x+D x,y+D y). Dacă desenezi o secantă M 0M 1 și notat cu j unghiul format de o transversală cu direcția pozitivă a axei Bou, din figură reiese imediat că.

Daca acum D x tinde spre zero, apoi punctul M 1 se deplasează de-a lungul curbei, apropiindu-se de punct M 0 și unghi j schimbari cu D x. La Dx® 0 unghiul j tinde spre o anumită limită a şi dreapta care trece prin punct M 0 și componenta cu direcția pozitivă a axei x, unghiul a, va fi tangenta dorită. Panta sa este:

Prin urmare, f´( x) = tga

aceste. valoare derivată f´( x) la valoare dată argument x este egal cu tangenta unghiului format de tangenta la graficul functiei f(x) în punctul corespunzător M 0(x,y) cu direcția pozitivă a axei Bou.

Diferențiabilitatea funcțiilor.

Definiţie. Dacă funcţia y = f(x) are o derivată la punct x = x 0, atunci funcția este diferențiabilă în acest moment.

Continuitatea unei funcții având o derivată. Teorema.

Dacă funcţia y = f(x) este diferențiabilă la un moment dat x = x 0, atunci este continuă în acest moment.

Astfel, funcția nu poate avea o derivată la punctele de discontinuitate. Concluzia opusă este incorectă, adică. din faptul că la un moment dat x = x 0 functie y = f(x) este continuă nu înseamnă că este diferențiabilă în acest moment. De exemplu, funcția y = |x| continuă pentru toată lumea x(–Ґ x x = 0 nu are derivată. În acest moment nu există tangentă la grafic. Există o tangentă dreaptă și una stângă, dar nu coincid.

Câteva teoreme asupra funcțiilor diferențiabile. Teoremă asupra rădăcinilor derivatei (teorema lui Rolle). Dacă funcţia f(x) este continuă pe segment [o,b], este diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment și la capete x = oŞi x = b merge la zero ( f(o) = f(b) = 0), apoi în interiorul segmentului [ o,b] există cel puțin un punct x= Cu, o c b, în ​​care derivata fў( x) merge la zero, adică fў( c) = 0.

Teorema incrementului finit (teorema lui Lagrange). Dacă funcţia f(x) este continuă pe intervalul [ o, b] și este diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ o, b] există cel puțin un punct Cu, o c b că

f(b) – f(o) = fў( c)(b– o).

Teoremă privind raportul incrementelor a două funcții (teorema lui Cauchy). Dacă f(x) Și g(x) – două funcții continue pe segment [o, b] și diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment și gў( x) nu dispare nicăieri în interiorul acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ o, b] există un astfel de punct x = Cu, o c b că

Derivate de diverse ordine.

Lasă funcția y =f(x) este diferențiabilă pe un anumit interval [ o, b]. Valori derivate f ў( x), în general, depind de x, adică derivat f ў( x) este și o funcție a x. La diferențierea acestei funcție, obținem așa-numita derivată a doua a funcției f(x), care este notat f ўў ( x).

Derivat n- al-lea ordin al funcției f(x) se numește derivată (de ordinul întâi) a derivatei n- 1- th și este notat cu simbolul y(n) = (y(n– 1))ў.

Diferențiale de diverse ordine.

Diferenţial de funcţie y = f(x), Unde x– variabilă independentă, da dy = f ў( x)dx, unele functii de la x, dar din x numai primul factor poate depinde f ў( x), al doilea factor ( dx) este incrementul variabilei independente xși nu depinde de valoarea acestei variabile. Deoarece dy există o funcție de la x, atunci putem determina diferenţialul acestei funcţii. Diferenţialul diferenţialului unei funcţii se numeşte a doua diferenţială sau diferenţială de ordinul doi a acestei funcţii şi se notează d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferenţial n- de ordinul întâi se numeşte prima diferenţială a diferenţialului n- 1- comanda:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Derivată parțială.

Dacă o funcție depinde nu de unul, ci de mai multe argumente x i(i variază de la 1 la n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), apoi în calculul diferenţial este introdus conceptul de derivată parţială, care caracterizează rata de modificare a unei funcţii a mai multor variabile atunci când se modifică un singur argument, de exemplu, x i. Derivată parțială de ordinul 1 cu privire la x i este definită ca o derivată obișnuită și se presupune că toate argumentele cu excepția x i, păstrați valori constante. Pentru derivatele parțiale se introduce notația

Derivatele parțiale de ordinul 1 definite în acest fel (ca funcții ale acelorași argumente) pot avea, la rândul lor, și derivate parțiale, acestea sunt derivate parțiale de ordinul doi etc. Astfel de derivate luate din argumente diferite se numesc mixte. Derivatele mixte continue de același ordin nu depind de ordinea diferențierii și sunt egale între ele.

Anna Chugainova

Derivat funcțiiîntr-un punct se numește limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, cu condiția ca acesta să tinde spre zero.

Reguli de bază pentru găsirea derivatei

Dacă - și - sunt funcții diferențiabile într-un punct, (adică funcții care au derivate într-un punct), atunci:

Tabel de derivate ale funcțiilor de bază

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Regula diferențierii functie complexa. Dacă și, adică , unde și au derivate, atunci

Diferențierea unei funcții specificată parametric. Fie ca dependența unei variabile de o variabilă să fie specificată parametric prin intermediul unui parametru:

Sarcina 3. Găsiți derivate ale acestor funcții.

1)

Soluţie. Aplicând regula 2 pentru găsirea derivatelor și formulele 1 și 2 ale tabelului de derivate, obținem:

Soluţie. Aplicând regula 4 pentru găsirea derivatelor și formulele 1 și 13 din tabelul derivatelor, obținem:

.

Soluţie. Aplicând regula 3 pentru găsirea derivatelor și formulele 5 și 11 din tabelul derivatelor, obținem:

Soluţie. Presupunând unde, conform formulei de găsire a derivatei unei funcții complexe, obținem:

Soluţie. Avem: Atunci, conform formulei de găsire a derivatei unei funcții specificate parametric, obținem:

4. Derivate de ordin superior. Regula lui L'Hopital.

Derivată de ordinul doi a funcției se numeste derivata derivatei sale, i.e. . Pentru derivata a doua se folosesc următoarele notații: sau, sau.

Derivată de ordinul I a funcției se numește derivata derivatei sale de ordinul al treilea. Pentru derivata de ordinul --lea se folosesc următoarele notații: or, or.

Regula lui L'Hopital. Fie funcțiile și să fie diferențiabile într-o vecinătate a unui punct, iar derivata nu dispare. Dacă funcțiile și sunt simultan fie infinit de mici, fie infinit de mari la, și, în același timp, există o limită a raportului la, atunci există și o limită a raportului la. În plus

.

Regula se aplică și când.

Rețineți că, în unele cazuri, dezvăluirea incertitudinilor de tip sau poate necesita aplicarea repetată a regulii L'Hopital.

Incertitudini de tip etc. cu ajutorul transformărilor elementare ele pot fi uşor reduse la incertitudini de formă sau.

Sarcina 4. Găsiți limita folosind regula lui L'Hopital.

Soluţie Aici avem incertitudinea formei, deoarece la. Să aplicăm regula lui L'Hopital:

.

După aplicarea regulii lui L'Hopital, am obţinut din nou incertitudinea formei, deoarece la. Aplicând din nou regula lui L'Hopital, obținem:

.

5. Studiu funcțional

a) Funcţii crescătoare şi descrescătoare

Funcția este numită crescând pe segment , dacă pentru orice puncte și din segmentul în care, inegalitatea este valabilă. Dacă o funcție este continuă pe un interval și la, atunci crește pe interval.

Funcția este numită în scădere pe segment ,dacă pentru orice puncte și din segmentul în care, inegalitatea este valabilă. Dacă o funcție este continuă pe un interval și la, atunci ea scade pe interval.

Dacă o funcție este doar în creștere sau doar în scădere într-un interval dat, atunci este numită monoton pe interval.

b) Extreme ale funcţiilor

punct minim funcții .

Dacă există o -vecinătate a punctului astfel încât pentru toate punctele din această vecinătate inegalitatea este valabilă, atunci punctul este numit punct maxim funcții .

Punctele maxime și minime ale unei funcții se numesc ei puncte extremum.

Punctul se numește punct staționar, dacă există sau nu.

Dacă există o vecinătate a unui punct staționar astfel încât la și la, atunci este punctul maxim al funcției.

Dacă există o vecinătate a unui punct staționar astfel încât la și la, atunci - este punctul minim al funcției.

o) Direcție convexă. Puncte de inflexiune

convex în sus pe interval , dacă se află sub tangenta trasată la graficul funcţiei în orice punct din acest interval.

O condiție suficientă pentru convexitatea ascendentă a graficului unei funcții pe un interval este îndeplinirea inegalității pentru oricare dintre intervalele considerate.

Graficul unei funcții diferențiabile se numește convex în jos pe interval , dacă este situat deasupra tangentei trasate la graficul funcției în orice punct din acest interval.

O condiție suficientă pentru convexitatea descendentă a graficului unei funcții pe un interval este îndeplinirea inegalității pentru oricare dintre intervalele considerate.

Se numește punctul în care direcția de convexitate a graficului unei funcții se modifică punct de inflexiune.

Un punct în care există sau nu este abscisa unui punct de inflexiune dacă semnele din stânga și din dreapta acestuia sunt diferite.

d) Asimptote

Dacă distanța de la un punct de pe graficul unei funcții la o anumită dreaptă tinde spre zero pe măsură ce punctul se îndepărtează infinit de origine, atunci linia dreaptă se numește asimptota graficului functiei.

Dacă există un număr astfel încât, atunci linia este asimptotă verticală.

Dacă există limite , atunci linia este oblică (orizontală la k=0) asimptotă.

e) Studiu general al funcției

1. Domeniul funcțional

2. Punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate

3. Studiul unei funcții pentru continuitate, par/impar și periodicitate

4. Intervale de monotonitate a unei funcţii

5. Puncte extreme ale funcției

6. Intervale de convexitate și puncte de inflexiune ale unui grafic de funcție

7. Asimptotele graficului unei funcții

8. Graficul funcției.

Sarcina 5. Explorează funcția și construiește graficul acesteia.

Soluţie. 1) Funcția este definită în întregime axa numerelor cu excepția punctului în care numitorul fracției devine zero. . Avem: nu aparţine domeniului de definire a acestei funcţii. În consecință, punctele staționare ale acestei funcții sunt punctele cu valoarea minimă (așa cum se arată în figură).

Despre sens geometric s-a scris multă teorie. Nu voi intra în derivarea incrementului funcției, dar permiteți-mi să vă reamintesc elementele de bază pentru finalizarea sarcinilor:

Derivata în punctul x este egală cu panta tangentei la graficul funcției y = f(x) în acest punct, adică este tangenta unghiului de înclinare la axa X.

Să luăm imediat sarcina din examenul de stat unificat și să începem să o înțelegem:

Sarcina nr. 1. Poza arată graficul unei funcții y = f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.
Cine se grăbește și nu vrea să înțeleagă explicațiile: construiți până la orice astfel de triunghi (după cum se arată mai jos) și împărțiți latura în picioare (verticală) la latura culcată (orizontală) și veți avea noroc dacă nu uitați de semn (dacă linia este în scădere (→↓) , atunci răspunsul ar trebui să fie minus, dacă linia crește (→), atunci răspunsul trebuie să fie pozitiv!)

Trebuie să găsiți unghiul dintre tangentă și axa X, să-l numim α: trageți o linie dreaptă paralelă cu axa X oriunde prin tangenta la grafic, obținem același unghi.

Este mai bine să nu luați punctul x0, pentru că Veți avea nevoie de o lupă mare pentru a determina coordonatele exacte.

Luând orice triunghi dreptunghic(în figură sunt sugerate 3 opțiuni), găsim tgα (unghiurile sunt atunci egale, după caz), adică. obţinem derivata funcţiei f(x) în punctul x0. De ce este așa?

Dacă trasăm tangente în alte puncte x2, x1 etc. tangentele vor fi diferite.

Să ne întoarcem în clasa a VII-a pentru a construi o linie!

Ecuația unei drepte este dată de ecuația y = kx + b, unde

k - înclinarea față de axa X.

b este distanța dintre punctul de intersecție cu axa Y și origine.

Derivata unei drepte este întotdeauna aceeași: y" = k.

În orice punct al liniei luăm derivata, aceasta va rămâne neschimbată.

Prin urmare, tot ce rămâne este să găsiți tgα (după cum am menționat mai sus: împărțiți partea în picioare de partea culcată). Împărțim latura opusă la latura adiacentă, obținem că k = 0,5. Totuși, dacă graficul este descrescător, coeficientul este negativ: k = −0,5.

Vă sfătuiesc să vă verificați a doua cale:
Puteți defini o linie dreaptă folosind două puncte. Să găsim coordonatele oricăror două puncte. De exemplu, (-2;-2) și (2;-4):

Să substituim coordonatele punctelor în ecuația y = kx + b în loc de y și x:

−2 = −2k + b

Rezolvând acest sistem, obținem b = −3, k = −0,5

Concluzie: A doua metodă durează mai mult, dar în ea nu vei uita de semn.

Răspuns: − 0,5

Sarcina nr. 2. Poza arată grafic derivat funcțiile f(x). Opt puncte sunt marcate pe axa absciselor: x1, x2, x3, ..., x8. Câte dintre aceste puncte se află pe intervalele funcției crescătoare f(x)?

Dacă graficul unei funcții este descrescător - derivata este negativă (și invers este adevărată).

Dacă graficul unei funcții crește, derivata este pozitivă (și invers este adevărată).

Aceste două fraze vă vor ajuta să rezolvați majoritatea problemelor.

Privește cu atenție vi se oferă un desen al unei derivate sau funcție, apoi alegeți una dintre cele două expresii.

Să construim un grafic schematic al funcției. Deoarece Ni se dă un grafic al derivatei, apoi unde este negativă, graficul funcției scade, unde este pozitivă, crește!

Rezultă că 3 puncte se află pe suprafețe în creștere: x4; x5; x6.

Raspuns: 3

Sarcina nr. 3. Funcția f(x) este definită pe intervalul (-6; 4). Poza arată grafic al derivatei sale. Aflați abscisa punctului în care funcția capătă cea mai mare valoare.

Vă sfătuiesc să reprezentați întotdeauna cum merge graficul funcției, folosind săgeți ca acesta sau schematic cu semne (ca în nr. 4 și nr. 5):

Evident, dacă graficul crește la −2, atunci punctul maxim este −2.

Răspuns: −2

Sarcina nr. 4. Figura prezintă un grafic al funcției f(x) și douăsprezece puncte de pe axa absciselor: x1, x2, ..., x12. În câte dintre aceste puncte derivata funcției este negativă?

Problema este invers, având în vedere un grafic al unei funcții, trebuie să reprezentați schematic cum va arăta graficul derivatei funcției și să numărați câte puncte se vor afla în intervalul negativ.

Pozitiv: x1, x6, x7, x12.

Negativ: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Raspuns: 7

Un alt tip de sarcină când ai întrebat despre niște „extreme” teribile? Nu îți va fi dificil să găsești ce este, dar o voi explica pentru grafice.

Sarcina nr. 5. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (-16; 6). Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(x) pe intervalul [-11; 5].

Să notăm intervalul de la -11 la 5!

Să ne îndreptăm privirile strălucitoare către semn: este dat un grafic al derivatei funcției => atunci extremele sunt punctele de intersecție cu axa X.

Raspuns: 3

Sarcina nr. 6. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (-13; 9). Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) pe intervalul [-12; 5].

Să marchem intervalul de la -12 la 5!

Puteți privi tabelul cu un singur ochi; punctul maxim este un extremum, astfel încât înainte de acesta derivata este pozitivă (funcția crește), iar după aceasta derivata este negativă (funcția scade). Astfel de puncte sunt încercuite.

Săgețile arată cum se comportă graficul funcției

Raspuns: 3

Sarcina nr. 7. Figura prezintă un grafic al funcției f(x) definită pe intervalul (-7; 5). Aflați numărul de puncte la care derivata funcției f(x) este egală cu 0.

Vă puteți uita la tabelul de mai sus (derivata este zero, ceea ce înseamnă că acestea sunt puncte extreme). Și în această problemă este dat graficul funcției, ceea ce înseamnă că trebuie să găsiți numărul de puncte de inflexiune!

Sau puteți, ca de obicei: să construiți un grafic schematic al derivatei.

Derivata este zero atunci când graficul unei funcții își schimbă direcția (de la creștere la descreștere și invers)

Raspuns: 8

Sarcina nr. 8. Poza arată grafic derivat funcția f(x), definită pe intervalul (-2; 10). Aflați intervalele funcției crescătoare f(x). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Să construim un grafic schematic al funcției:

Acolo unde crește, obținem 4 puncte întregi: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Raspuns: 22

Sarcina nr. 9. Poza arată grafic derivat funcția f(x), definită pe intervalul (-6; 6). Aflați numărul de puncte f(x) la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta y = 2x + 13.

Ni se oferă un grafic al derivatei! Aceasta înseamnă că tangenta noastră trebuie, de asemenea, să fie „tradusă” într-o derivată.

Derivată a tangentei: y" = 2.

Acum să construim ambele derivate:

Tangentele se intersectează în trei puncte, ceea ce înseamnă că răspunsul nostru este 3.

Raspuns: 3

Sarcina nr. 10. Figura prezintă un grafic al funcției f(x), iar punctele -2, 1, 2, 3 sunt marcate În care dintre aceste puncte este valoarea derivatei cea mai mică? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Sarcina este oarecum similară cu prima: pentru a găsi valoarea derivatei, trebuie să construiți o tangentă la acest grafic într-un punct și să găsiți coeficientul k.

Dacă linia este descrescătoare, k< 0.

Dacă linia este în creștere, k > 0.

Să ne gândim la modul în care valoarea coeficientului va afecta panta dreptei:

Când k = 1 sau k = − 1, graficul va fi la mijloc între axele X și Y.

Cu cât linia dreaptă este mai aproape de axa X, cu atât coeficientul k este mai aproape de zero.

Cu cât linia dreaptă este mai aproape de axa Y, cu atât coeficientul k este mai aproape de infinit.

La punctul -2 și 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>acolo va fi cea mai mică valoare derivat

Raspuns: 1

Sarcina nr. 11.

Linia este tangentă y = 3x + 9 la graficul funcției y = x³ + x² + 2x + 8. Aflați abscisa punctului tangent.

Linia va fi tangentă la grafic atunci când graficele au un punct comun, la fel ca și derivatele lor. Să echivalăm ecuațiile grafice și derivatele lor:

După ce am rezolvat a doua ecuație, obținem 2 puncte. Pentru a verifica care dintre ele este potrivită, înlocuim fiecare dintre x în prima ecuație. Doar unul va face.

Nu vreau să rezolv deloc o ecuație cubică, dar mi-ar plăcea să rezolv o ecuație pătratică.

Dar ce ar trebui să scrii ca răspuns dacă primești două răspunsuri „normale”?

Când înlocuiți x(x) în graficele originale y = 3x + 9 și y = x³ + x² + 2x + 8, ar trebui să obțineți același Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Raspuns: 1

Corect! Deci x=1 va fi răspunsul

Sarcina nr. 12.

Linia dreaptă y = − 5x − 6 este tangentă la graficul funcției ax² + 5x − 5. Găsiți o.

Să echivalăm în mod similar funcțiile și derivatele lor:

Să rezolvăm acest sistem pentru variabilele a și x:

Raspuns: 25 Sarcina cu derivate este considerată una dintre cele mai dificile din prima parte a examenului de stat unificat, totuși, cu puțină grijă și înțelegere a întrebării, vei reuși și vei crește procentul de finalizare a acestei sarcini!În sarcina nr. 7 din profil

Nivel de examen de stat unificat

în matematică este necesar să se demonstreze cunoașterea funcțiilor derivată și antiderivată. În cele mai multe cazuri, este suficientă simpla definire a conceptelor și înțelegerea sensului derivatului.

Analiza opțiunilor tipice pentru sarcinile nr. 7 ale examenului unificat de stat la matematică la nivel de profil

Prima versiune a sarcinii (versiunea demo 2018)

1. Figura prezintă graficul funcției diferențiabile y = f(x). Nouă puncte sunt marcate pe axa absciselor: x 1, x 2, ..., x 9. Dintre aceste puncte, găsiți toate punctele în care derivata funcției y = f(x) este negativă. În răspunsul dvs., indicați numărul de puncte găsite.
2. Algoritm de rezolvare:
3. Să ne uităm la graficul funcției.
4. Căutăm puncte în care funcția scade.

Să le numărăm numărul.

Scriem răspunsul.

2. În acele intervale în care funcția scade, derivata are valori negative.

3. Aceste intervale conțin puncte x 3 , x 4 , x 5 , x 9 . Există 4 astfel de puncte.

A doua versiune a sarcinii (de la Yashchenko, nr. 4)

Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x). Punctele -2, -1, 2, 4 sunt marcate pe axa absciselor În care dintre aceste puncte este cea mai mare valoarea derivatei? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Prima versiune a sarcinii (versiunea demo 2018)

1. Figura prezintă graficul funcției diferențiabile y = f(x). Nouă puncte sunt marcate pe axa absciselor: x 1, x 2, ..., x 9. Dintre aceste puncte, găsiți toate punctele în care derivata funcției y = f(x) este negativă. În răspunsul dvs., indicați numărul de puncte găsite.
2. Considerăm comportamentul funcției în fiecare dintre puncte și semnul derivatei la acestea.
3. Găsim punctele la cea mai mare valoare a derivatei.
4. Căutăm puncte în care funcția scade.

Să le numărăm numărul.

1. Funcția are mai multe intervale de scădere și creștere.

2. Acolo unde funcția scade. Derivata are semnul minus. Astfel de puncte sunt printre cele indicate. Dar există puncte pe grafic în care funcția crește. La ele derivata este pozitivă. Acestea sunt punctele cu abscisele -2 și 2.

3. Considerați graficul în punctele cu x=-2 și x=2. În punctul x=2 funcția urcă mai abruptă, ceea ce înseamnă că tangenta în acest punct are o pantă mai mare. Prin urmare, în punctul cu abscisa 2. Derivata are cea mai mare valoare.

A treia versiune a sarcinii (de la Yashchenko, nr. 21)

Linia este tangentă la graficul funcției . Găsiți o.

Prima versiune a sarcinii (versiunea demo 2018)

1. Să echivalăm ecuațiile tangente și funcții.
2. Să simplificăm egalitatea rezultată.
3. Găsim discriminantul.
4. Definirea parametrului O, pentru care există o singură soluție.
5. Căutăm puncte în care funcția scade.

Soluţie:

1. Coordonatele punctului tangente satisfac ambele ecuatii: tangenta si functie. Prin urmare, putem echivala ecuațiile. Primim:

2. Simplificăm egalitatea mutând toți termenii într-o parte:

3. Trebuie să existe o singură soluție în punctul de tangență, deci discriminantul ecuației rezultate trebuie să fie egal cu zero. Aceasta este condiția pentru unicitatea rădăcinii unei ecuații pătratice.

4. Obținem:

Dacă sarcina este rezolvată corect, primiți 1 punct.

Durează aproximativ 5 minute.

Pentru a rezolva sarcina 7 la matematică la nivel de profil, trebuie să știți:

1. Sarcinile sunt împărțite în mai multe tipuri:
   • sens fizic derivat.
   • semnificația geometrică a derivatei și tangentei;
   • aplicarea derivatei la studiul funcțiilor;
   • antiderivat.
2. Cunoașterea funcției derivate și .
3. Și în cele mai multe cazuri, doar definirea conceptelor și înțelegerea sensului derivatului.

• derivat - rata de schimbare a funcției. Derivata este pozitivă pe intervale în care funcţie V cresteŞi negativ pe intervale la care funcţia scade.
• Puncte extreme, maxime și minime. Punct extrem– valoarea maximă/minimă a unei funcții pe o mulțime dată. Dacă se atinge valoarea maximă, atunci punctul extrem se numește „punct maxim” dacă se atinge valoarea minimă, atunci punctul extrem se numește „punct minim”.
• Antiderivat. Funcţie F(x) se numește antiderivată a funcției f(x) pe un interval dat, dacă este pentru toate X din acest interval egalitatea este valabilă F′(x) = f (x). Operația de găsire a antiderivatei unei funcții se numește integrare.
• Integrare – operatie matematica, inversul diferențierii, adică găsirea derivatei. Integrarea vă permite să utilizați derivata unei funcții pentru a găsi funcția în sine.