Vor fi, de asemenea, sarcini pentru decizie independentă, la care puteți vedea răspunsurile.

Integrandul poate fi convertit din produsul funcțiilor trigonometrice în sumă

Să considerăm integralele în care integrandul este produsul dintre sinusuri și cosinusuri de gradul întâi al lui x înmulțit cu diferiți factori, adică integrale de forma

Folosind formule trigonometrice binecunoscute

(2)
(3)
(4)
se poate transforma fiecare dintre produsele în integrale de forma (31) într-o sumă algebrică și se integrează după formulele

(5)

(6)

Exemplul 1. Găsi

Soluţie. Conform formulei (2) la

Exemplul 2. Găsi integrala unei functii trigonometrice

Soluţie. Conform formulei (3) la

Exemplul 3. Găsi integrala unei functii trigonometrice

Soluţie. Conform formulei (4) la obținem următoarea transformare a integrandului:

Aplicând formula (6), obținem

Integrală a produsului puterilor sinusului și cosinusului aceluiași argument

Să considerăm acum integralele funcțiilor care sunt produsul puterilor sinusului și cosinusului aceluiași argument, i.e.

(7)

În cazuri speciale, unul dintre indicatorii ( m sau n) poate fi zero.

La integrarea unor astfel de funcții, se folosește că o putere pară a cosinusului poate fi exprimată prin sinus, iar diferența sinusului este egală cu cos x dx(sau chiar puterea sinusului poate fi exprimată în termeni de cosinus, iar diferența de cosinus este egală cu - sin x dx ) .

Trebuie distinse două cazuri: 1) cel puțin unul dintre indicatori mȘi n ciudat; 2) ambii indicatori sunt egali.

Să aibă loc primul caz, și anume indicatorul n = 2k+ 1 - impar. Atunci, având în vedere că

Integrandul este prezentat în așa fel încât o parte a acestuia este o funcție numai a sinusului, iar cealaltă este diferența de sinus. Acum se utilizează înlocuirea variabilă t= păcat X soluţia se reduce la integrarea polinomului în raport cu t. Dacă numai gradul m este ciudat, atunci ei fac la fel, izolând factorul sin X, exprimând restul integrandului în termeni de cos Xși crezând t=cos X. Această tehnică poate fi folosită și când integrând puterile câte ale sinusului și cosinusului , Când cel puțin unul dintre indicatori este impar . Ideea este că câtul puterilor sinusului și cosinusului este caz special lucrările lor : Când o funcție trigonometrică se află la numitorul unui integrand, gradul acesteia este negativ. Dar sunt și cazuri de privat funcții trigonometrice, când gradele lor sunt doar pare. Despre ei - în paragraful următor.

Dacă ambii indicatori mȘi n– chiar, atunci, folosind formule trigonometrice

coborâți exponenții sinusului și cosinusului, după care obțineți o integrală de același tip ca mai sus. Prin urmare, integrarea ar trebui continuată conform aceleiași scheme. Dacă unul dintre exponenții pare este negativ, adică se ia în considerare câtul puterilor pare ale sinusului și cosinusului, atunci această schemă nu este potrivită . Apoi se folosește o schimbare de variabilă în funcție de modul în care poate fi transformat integrantul. Un astfel de caz va fi luat în considerare în paragraful următor.

Exemplul 4. Găsi integrala unei functii trigonometrice

Soluţie. Exponentul cosinus este impar. Prin urmare, să ne imaginăm

t= păcat X(Apoi dt=cos X dx ). Apoi primim

Revenind la vechea variabilă, găsim în sfârșit

Exemplul 5. Găsi integrala unei functii trigonometrice

.

Soluţie. Exponentul cosinus, ca în exemplul anterior, este impar, dar mai mare. Să ne imaginăm

și faceți o schimbare de variabilă t= păcat X(Apoi dt=cos X dx ). Apoi primim

Să deschidem paranteze

și primim

Revenind la vechea variabilă, obținem soluția

Exemplul 6. Găsi integrala unei functii trigonometrice

Soluţie. Exponenții sinusului și cosinusului sunt pari. Prin urmare, transformăm funcția integrand după cum urmează:

Apoi primim

În a doua integrală facem o schimbare de variabilă, setare t= sin2 X. Apoi (1/2)dt= cos2 X dx . Prin urmare,

În sfârșit, obținem

Folosind metoda de înlocuire a variabilelor

Metoda de înlocuire a variabilei la integrarea funcțiilor trigonometrice, poate fi utilizat în cazurile în care integrandul conține numai sinus sau numai cosinus, produsul dintre sinus și cosinus, în care fie sinus, fie cosinus este de gradul I, tangent sau cotangent, precum și câtul dintre chiar şi puteri de sinus şi cosinus ale unuia şi aceluiaşi argument. În acest caz, este posibil să se efectueze permutări nu numai păcat X = tși păcatul X = t, dar și tg X = t si ctg X = t .

Exemplul 8. Găsi integrala unei functii trigonometrice

.

Soluţie. Să schimbăm variabila: , apoi . Integrandul rezultat poate fi integrat cu ușurință folosind tabelul de integrale:

.

Exemplul 9. Găsi integrala unei functii trigonometrice

Soluţie. Să transformăm tangenta în raportul dintre sinus și cosinus:

Să schimbăm variabila: , apoi . Integrandul rezultat este tabel integral cu semnul minus:

.

Revenind la variabila inițială, obținem în sfârșit:

.

Exemplul 10. Găsi integrala unei functii trigonometrice

Soluţie. Să schimbăm variabila: , apoi .

Să transformăm integrantul pentru a aplica identitatea trigonometrică :

Schimbăm variabila, fără a uita să punem semnul minus în fața integralei (vezi mai sus, ce este egal cu dt). În continuare, factorizăm integrandul și integrăm conform tabelului:

Revenind la variabila inițială, obținem în sfârșit:

.

Găsiți singur integrala unei funcții trigonometrice și apoi uitați-vă la soluție

Substituție trigonometrică universală

Substituție trigonometrică universală poate fi utilizat în cazurile în care integrantul nu se încadrează în cazurile discutate în paragrafele precedente. Practic, când sinusul sau cosinusul (sau ambele) se află în numitorul unei fracții. S-a dovedit că sinusul și cosinusul pot fi înlocuite cu o altă expresie care conține tangenta jumătății unghiului inițial, după cum urmează:

Dar rețineți că substituția trigonometrică universală implică adesea transformări algebrice destul de complexe, deci este cel mai bine utilizată atunci când nicio altă metodă nu funcționează. Să ne uităm la exemple în care, împreună cu substituția trigonometrică universală, se utilizează substituția sub semn diferențial și metoda coeficienților nedeterminați.

Exemplul 12. Găsi integrala unei functii trigonometrice

.

Soluţie. Soluţie. Să profităm substituție trigonometrică universală. Apoi
.

Înmulțim fracțiile din numărător și numitor cu , și le scoatem pe cele două și le punem în fața semnului integral. Apoi

Sunt prezentate formule trigonometrice de bază și substituții de bază. Sunt prezentate metode de integrare a funcțiilor trigonometrice - integrarea funcțiilor raționale, produsul funcțiilor de putere ale sin x și cos x, produsul unui polinom, exponențial și sinus sau cosinus, integrarea funcțiilor trigonometrice inverse. Metodele non-standard sunt afectate.

Conţinut

Metode standard de integrare a funcțiilor trigonometrice

Abordare generală

În primul rând, dacă este necesar, integrandul trebuie transformat astfel încât funcțiile trigonometrice să depindă de un singur argument, care este același cu variabila de integrare.

De exemplu, dacă integrandul depinde de sin(x+a)Și cos(x+b), atunci ar trebui să efectuați conversia:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = cos (x+a) cos (b-a) + sin ( x+a ) sin (b-a).
Apoi faceți înlocuirea z = x+a. Ca rezultat, funcțiile trigonometrice vor depinde doar de variabila de integrare z.

Când funcțiile trigonometrice depind de un argument care coincide cu variabila de integrare (să spunem că este z), adică integrandul constă numai din funcții precum sin z, cos z, tg z, ctg z, atunci trebuie să faceți o înlocuire
.
O astfel de substituție duce la integrarea funcțiilor raționale sau iraționale (dacă există rădăcini) și permite să se calculeze integrala dacă este integrată în functii elementare.

Cu toate acestea, puteți găsi adesea și alte metode care vă permit să evaluați integrala într-un mod mai scurt, pe baza specificului integrandului. Mai jos este un rezumat al principalelor astfel de metode.

Metode de integrare a funcțiilor raționale ale sin x și cos x

Funcții raționale din sin xȘi cos x sunt functii formate din sin x, cos xși orice constante care utilizează operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la o putere întreagă. Acestea sunt desemnate după cum urmează: R (sin x, cos x). Aceasta poate include, de asemenea, tangente și cotangente, deoarece acestea sunt formate prin împărțirea sinus la cosinus și invers.
Integralele funcțiilor raționale au forma:
.

Metodele de integrare a funcțiilor trigonometrice raționale sunt următoarele.
1) Înlocuirea duce întotdeauna la integrala unei fracții raționale. Cu toate acestea, în unele cazuri, există substituții (acestea sunt prezentate mai jos) care duc la calcule mai scurte.
2) Dacă R (sin x, cos x) cos x → - cos x sin x.
3) Dacă R (sin x, cos x)înmulțit cu -1 la înlocuire sin x → - sin x, atunci substituția t = cos x.
4) Dacă R (sin x, cos x) nu se modifică ca în cazul înlocuirii simultane cos x → - cos x, Și sin x → - sin x, atunci substituția t = tg x sau t = ctg x.

Exemple:
, , .

Produsul funcțiilor de putere ale cos x și sin x

Integrale ale formei

sunt integrale ale funcțiilor trigonometrice raționale. Prin urmare, metodele prezentate în secțiunea anterioară pot fi aplicate acestora. Metodele bazate pe specificul unor astfel de integrale sunt discutate mai jos.

Dacă m și n - numere rationale, atunci una dintre substituțiile t = sin x sau t = cos x integrala se reduce la integrala binomului diferential.

Dacă m și n sunt numere întregi, atunci integrarea se realizează folosind formule de reducere:

;
;
;
.

Exemplu:
.

Integrale ale produsului unui polinom și sinus sau cosinus

Integrale de forma:
, ,
unde P(x) este un polinom în x, sunt integrate prin părți. Aceasta oferă următoarele formule:

;
.

Exemple:
, .

Integrale ale produsului unui polinom, exponențial și sinus sau cosinus

Integrale de forma:
, ,
unde P(x) este un polinom în x, integrat folosind formula lui Euler
e iax = cos ax + isin ax(unde i 2 = - 1 ).
Pentru a face acest lucru, folosind metoda prezentată în paragraful anterior, calculați integrala
.
Separând părțile reale și imaginare de rezultat, se obțin integralele originale.

Exemplu:
.

Metode nestandardizate pentru integrarea funcțiilor trigonometrice

Mai jos sunt o serie de metode non-standard care vă permit să efectuați sau să simplificați integrarea funcțiilor trigonometrice.

Dependență de (a sin x + b cos x)

Dacă integrandul depinde numai de a sin x + b cos x, atunci este util să aplicați formula:
,
Unde .

De exemplu

Rezolvarea fracțiilor din sinusuri și cosinusuri în fracții mai simple

Luați în considerare integrala
.
Cea mai simplă metodă de integrare este de a descompune fracția în altele mai simple folosind transformarea:
sin(a - b) = sin(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) sin(x+b)

Integrarea fracțiilor de gradul I

La calcularea integralei
,
este convenabil să izolați partea întreagă a fracției și derivata numitorului
A 1 sin x + b 1 cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x)′ .
Constantele A și B se găsesc prin compararea părților din stânga și din dreapta.

Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.

Vezi si:

Integrale complexe

Acest articol încheie subiectul integralelor nedefinite și include integrale pe care le consider destul de complexe. Lecția a fost creată la solicitările repetate ale vizitatorilor care și-au exprimat dorința ca pe site să fie analizate exemple mai dificile.

Se presupune că cititorul acestui text este bine pregătit și știe să aplice tehnicile de integrare de bază. Manichinii și oamenii care nu sunt foarte încrezători în integrale ar trebui să se refere la prima lecție - Integrală nedefinită. Exemple de soluții, unde poți stăpâni subiectul aproape de la zero. Studenții mai experimentați se pot familiariza cu tehnici și metode de integrare care nu au fost încă întâlnite în articolele mele.

Ce integrale vor fi luate în considerare?

Mai întâi vom lua în considerare integralele cu rădăcini, pentru soluția cărora o folosim succesiv înlocuire variabilăȘi integrare pe părți. Adică, într-un exemplu, două tehnici sunt combinate simultan. Și încă mai mult.

Apoi ne vom familiariza cu interesante și originale metoda de reducere a integralei la sine. Destul de multe integrale sunt rezolvate astfel.

Al treilea număr al programului va fi integrale ale fracțiilor complexe, care au trecut peste casa de casă în articolele anterioare.

În al patrulea rând, vor fi analizate integrale suplimentare din funcțiile trigonometrice. În special, există metode care evită înlocuirea trigonometrică universală consumatoare de timp.

(2) În funcția integrand, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. În ultima integrală imediat puneți funcția sub semnul diferențial.

(4) Luăm integralele rămase. Rețineți că într-un logaritm puteți folosi paranteze mai degrabă decât un modul, deoarece .

(5) Efectuăm o înlocuire inversă, exprimând „te” din înlocuirea directă:

Studenții masochiști pot diferenția răspunsul și pot obține integrandul original, așa cum tocmai am făcut eu. Nu, nu, am făcut verificarea în sensul corect =)

După cum puteți vedea, în timpul soluției a trebuit să folosim chiar mai mult de două metode de soluție, așa că pentru a face față unor astfel de integrale aveți nevoie de abilități de integrare încrezătoare și destul de multă experiență.

În practică, desigur, rădăcina pătrată este mai comună; iată trei exemple pentru a o rezolva singur:

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită

Aceste exemple sunt de același tip, astfel încât soluția completă de la sfârșitul articolului va fi doar pentru Exemplul 2; Exemplele 3-4 au aceleași răspunsuri. Ce înlocuitor să folosiți la începutul deciziilor cred că este evident. De ce am ales exemple de același tip? Deseori găsite în rolul lor. Mai des, poate, doar ceva de genul .

Dar nu întotdeauna, când sub funcțiile arctangente, sinus, cosinus, exponențial și alte funcții există o rădăcină a funcție liniară, trebuie să utilizați mai multe metode deodată. Într-un număr de cazuri, este posibil să „coboare ușor”, adică imediat după înlocuire, se obține o integrală simplă, care poate fi luată cu ușurință. Cea mai ușoară dintre sarcinile propuse mai sus este Exemplul 4, în care, după înlocuire, se obține o integrală relativ simplă.

Prin reducerea integralei la sine

O metodă inteligentă și frumoasă. Să aruncăm o privire la clasicii genului:

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită

Sub rădăcină este un binom pătratic, iar încercarea de a integra acest exemplu poate da ceainicului o bătaie de cap ore în șir. O astfel de integrală este luată în părți și redusă la sine. În principiu, nu este dificil. Dacă știi cum.

Să notăm integrala luată în considerare printr-o literă latină și să începem soluția:

Să integrăm pe părți:

(1) Pregătiți funcția integrand pentru împărțirea termen cu termen.

(2) Împărțim termenul funcției integrand cu termen. Poate că nu este clar pentru toată lumea, dar o voi descrie mai detaliat:

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite.

(4) Luați ultima integrală (logaritmul „lung”).

Acum să ne uităm la începutul soluției:

Iar la final:

Ce s-a întâmplat? Ca urmare a manipulărilor noastre, integrala a fost redusă la sine!

Să echivalăm începutul și sfârșitul:

Deplasați-vă în partea stângă cu o schimbare de semn:

Și le mutăm pe cele două în partea dreaptă. Ca urmare:

Constanta, strict vorbind, ar fi trebuit adăugată mai devreme, dar am adăugat-o la sfârșit. Recomand cu tărie să citiți care este rigoarea aici:

Notă: Mai strict Etapa finală solutia arata cam asa:

Prin urmare:

Constanta poate fi redesemnată prin . De ce poate fi redenumit? Pentru că încă o acceptă orice valori, iar în acest sens nu există nicio diferență între constante și.
Ca urmare:

Un truc similar cu renotare constantă este utilizat pe scară largă în ecuatii diferentiale. Și acolo voi fi strict. Și aici permit o astfel de libertate doar pentru a nu vă încurca cu lucruri inutile și pentru a concentra atenția tocmai asupra metodei de integrare în sine.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită

O altă integrală tipică pentru soluție independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Va fi o diferență cu răspunsul din exemplul anterior!

Dacă sub rădăcină pătrată situat trinom pătratic, atunci soluția în orice caz se rezumă la două exemple analizate.

De exemplu, luați în considerare integrala . Tot ce trebuie să faci este mai întâi selectați un pătrat complet:
.
În continuare, se efectuează o înlocuire liniară, care face „fără consecințe”:
, rezultând integrala . Ceva familiar, nu?

Sau acest exemplu, cu un binom pătratic:
Selectați un pătrat complet:
Și, după înlocuirea liniară, obținem integrala, care se rezolvă și folosind algoritmul deja discutat.

Să ne uităm la încă două exemple tipice pentru a reduce integrala la sine:
– integrală a exponenţialului înmulţit cu sinus;
– integrală a exponenţialului înmulţit cu cosinus.

În integralele enumerate pe părți va trebui să integrați de două ori:

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită

Integrandul este exponențialul înmulțit cu sinusul.

Integram de două ori pe părți și reducem integrala la sine:

Ca urmare a dublei integrări pe părți, integrala a fost redusă la sine. Echivalăm începutul și sfârșitul soluției:

O mutam în partea stângă cu o schimbare de semn și ne exprimăm integrala:

Gata. În același timp, este indicat să pieptănați partea dreaptă, adică. scoateți exponentul din paranteze și puneți sinusul și cosinusul între paranteze într-o ordine „frumoasă”.

Acum să revenim la începutul exemplului, sau mai precis, la integrarea pe părți:

Am desemnat exponentul ca. Se pune întrebarea: este exponentul care trebuie notat întotdeauna cu? Nu este necesar. De fapt, în integrala considerată fundamental nu contează, ce înțelegem prin , am fi putut merge în altă direcție:

De ce este posibil acest lucru? Deoarece exponențialul se transformă în sine (atât în ​​timpul diferențierii, cât și în timpul integrării), sinusul și cosinusul se transformă reciproc unul în celălalt (din nou, atât în ​​timpul diferențierii, cât și în timpul integrării).

Adică putem desemna și o funcție trigonometrică. Dar, în exemplul luat în considerare, acest lucru este mai puțin rațional, deoarece vor apărea fracții. Dacă doriți, puteți încerca să rezolvați acest exemplu folosind a doua metodă; răspunsurile trebuie să se potrivească.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Înainte de a vă decide, gândiți-vă ce este mai avantajos în acest caz să desemnați ca , o funcție exponențială sau o funcție trigonometrică? Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Și, desigur, nu uitați că majoritatea răspunsurilor din această lecție sunt destul de ușor de verificat prin diferențiere!

Exemplele luate în considerare nu au fost cele mai complexe. În practică, integralele sunt mai frecvente acolo unde constanta este atât în ​​exponent, cât și în argumentul funcției trigonometrice, de exemplu: . Mulți oameni se vor încurca într-o astfel de integrală, iar eu deseori mă confund. Faptul este că există o probabilitate mare de apariție a fracțiilor în soluție și este foarte ușor să pierzi ceva prin nepăsare. În plus, există o mare probabilitate de eroare în semne; rețineți că exponentul are semnul minus, iar acest lucru introduce o dificultate suplimentară.

În etapa finală, rezultatul este adesea cam așa:

Chiar și la sfârșitul soluției, ar trebui să fii extrem de atent și să înțelegi corect fracțiile:

Integrarea fracțiilor complexe

Ne apropiem încet de ecuatorul lecției și începem să luăm în considerare integralele fracțiilor. Din nou, nu toate sunt super complexe, doar că dintr-un motiv sau altul exemplele au fost puțin „off topic” în alte articole.

Continuând tema rădăcinilor

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

În numitorul de sub rădăcină există un trinom pătratic plus un „apendice” sub forma unui „X” în afara rădăcinii. O integrală de acest tip poate fi rezolvată folosind o substituție standard.

Noi decidem:

Înlocuirea aici este simplă:

Să ne uităm la viața după înlocuire:

(1) După înlocuire reducem la numitor comun termeni sub rădăcină.
(2) O scoatem de sub rădăcină.
(3) Numătorul și numitorul se reduc cu . În același timp, sub rădăcină, am rearanjat termenii într-o ordine convenabilă. Cu ceva experiență, pașii (1), (2) pot fi săriți prin efectuarea orală a acțiunilor comentate.
(4) Integrala rezultată, după cum vă amintiți din lecție Integrarea unor fracții, se decide metoda de extracție a pătratului complet. Selectați un pătrat complet.
(5) Prin integrare obținem un logaritm „lung” obișnuit.
(6) Efectuăm înlocuirea inversă. Dacă inițial , apoi înapoi: .
(7) Acțiunea finală are drept scop îndreptarea rezultatului: sub rădăcină aducem din nou termenii la un numitor comun și îi scoatem de sub rădăcină.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Aici se adaugă o constantă la singurul „X”, iar înlocuirea este aproape aceeași:

Singurul lucru pe care trebuie să-l faceți în plus este să exprimați „x” de la înlocuirea care se efectuează:

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Uneori, într-o astfel de integrală poate exista un binom pătratic sub rădăcină, acest lucru nu schimbă metoda de soluție, va fi și mai simplu. Simte diferenta:

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită

Scurte soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției. Trebuie remarcat faptul că Exemplul 11 ​​este exact integrală binomială, a cărui metodă de rezolvare a fost discutată la clasă Integrale ale funcțiilor iraționale.

Integrală a unui polinom necompunebil de gradul 2 la putere

(polinom la numitor)

Mai rar, dar totuși găsit în exemple practice tip de integrală.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită

Dar să revenim la exemplul cu numărul norocos 13 (sincer, nu am ghicit corect). Această integrală este, de asemenea, una dintre cele care pot fi destul de frustrante dacă nu știi cum să rezolvi.

Soluția începe cu o transformare artificială:

Cred că toată lumea înțelege deja cum se împarte numărătorul la numitor termen cu termen.

Integrala rezultată este luată în părți:

Pentru o integrală a formei ( – numar natural) retras recurent formula de reducere:
, Unde – integrală de un grad mai mic.

Să verificăm validitatea acestei formule pentru integrala rezolvată.
În acest caz: , , folosim formula:

După cum puteți vedea, răspunsurile sunt aceleași.

Exemplul 14

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția eșantion utilizează formula de mai sus de două ori consecutiv.

Dacă sub gradul este indivizibil trinom pătrat, atunci soluția este redusă la un binom prin izolarea pătratului perfect, de exemplu:

Ce se întâmplă dacă există un polinom suplimentar în numărător? În acest caz, se utilizează metoda coeficienților nedeterminați, iar funcția integrand este extinsă într-o sumă de fracții. Dar în practica mea există un astfel de exemplu niciodată întâlnit, așa că am ratat acest caz în articol Integrale ale funcțiilor fracționale-raționale, îl voi omite acum. Dacă încă întâlniți o astfel de integrală, uitați-vă la manual - totul este simplu acolo. Nu cred că este indicat să includem materiale (chiar simple), probabilitatea de întâlnire care tinde spre zero.

Integrarea funcțiilor trigonometrice complexe

Adjectivul „complex” pentru majoritatea exemplelor este din nou în mare măsură condiționat. Să începem cu tangente și cotangente în puteri mari. Din punctul de vedere al metodelor de rezolvare folosite, tangenta și cotangenta sunt aproape același lucru, așa că voi vorbi mai mult despre tangentă, ceea ce înseamnă că metoda demonstrată de rezolvare a integralei este valabilă și pentru cotangente.

În lecția de mai sus ne-am uitat substituție trigonometrică universală pentru rezolvarea unui anumit tip de integrale ale funcţiilor trigonometrice. Dezavantajul substituției trigonometrice universale este că utilizarea sa duce adesea la integrale greoaie cu calcule dificile. Și în unele cazuri, înlocuirea trigonometrică universală poate fi evitată!

Să luăm în considerare un alt exemplu canonic, integrala unuia împărțită la sinus:

Exemplul 17

Aflați integrala nedefinită

Aici puteți folosi substituția trigonometrică universală și puteți obține răspunsul, dar există o modalitate mai rațională. Voi oferi soluția completă cu comentarii pentru fiecare pas:

(1) Folosim formula trigonometrică pentru sinusul unui unghi dublu.
(2) Efectuăm o transformare artificială: Împărțim la numitor și înmulțim cu .
(3) Folosind formula binecunoscută la numitor, transformăm fracția într-o tangentă.
(4) Aducem funcția sub semnul diferențial.
(5) Luați integrala.

Pereche exemple simple pentru soluție independentă:

Exemplul 18

Aflați integrala nedefinită

Notă: primul pas ar trebui să fie utilizarea formulei de reducere și efectuați cu atenție acțiuni similare cu exemplul anterior.

Exemplul 19

Aflați integrala nedefinită

Ei bine, acesta este un exemplu foarte simplu.

Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Cred că acum nimeni nu va avea probleme cu integralele:
și așa mai departe.

Care este ideea metodei? Ideea este de a folosi transformări și formule trigonometrice pentru a organiza doar tangente și derivata tangentă în integrand. Adică vorbim despre înlocuirea: . În exemplele 17-19 am folosit de fapt această înlocuire, dar integralele au fost atât de simple încât ne-am descurcat cu o acțiune echivalentă - subsumând funcția sub semnul diferențial.

Raționament similar, așa cum am menționat deja, poate fi efectuat pentru cotangentă.

Există, de asemenea, o condiție prealabilă formală pentru aplicarea înlocuirii de mai sus:

Suma puterilor cosinusului și sinusului este un număr întreg negativ PAR, De exemplu:

pentru integrală – un număr întreg negativ PAR.

! Notă : dacă integrandul conține DOAR un sinus sau DOAR un cosinus, atunci integrala este luată și pentru un grad impar negativ (cele mai simple cazuri sunt în Exemplele nr. 17, 18).

Să ne uităm la câteva sarcini mai semnificative bazate pe această regulă:

Exemplul 20

Aflați integrala nedefinită

Suma puterilor sinusului și cosinusului: 2 – 6 = –4 este un număr întreg negativ PAR, ceea ce înseamnă că integrala poate fi redusă la tangente și derivata ei:

(1) Să transformăm numitorul.
(2) Folosind formula binecunoscută, obținem .
(3) Să transformăm numitorul.
(4) Folosim formula .
(5) Aducem funcția sub semnul diferențial.
(6) Efectuăm înlocuirea. Este posibil ca studenții mai experimentați să nu efectueze înlocuirea, dar este totuși mai bine să înlocuiți tangenta cu o singură literă - există mai puțin risc de confuzie.

Exemplul 21

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Stai acolo, rundele campionatului sunt pe cale să înceapă =)

Adesea, integrandul conține un „mezul”:

Exemplul 22

Aflați integrala nedefinită

Această integrală conține inițial o tangentă, care duce imediat la un gând deja familiar:

Voi lăsa transformarea artificială chiar de la început și pașii rămași fără comentarii, deoarece totul a fost deja discutat mai sus.

Câteva exemple creative pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 23

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 24

Aflați integrala nedefinită

Da, în ele, desigur, puteți reduce puterile sinusului și cosinusului și puteți utiliza o substituție trigonometrică universală, dar soluția va fi mult mai eficientă și mai scurtă dacă este efectuată prin tangente. Soluție completă și răspunsuri la sfârșitul lecției

Integrale ale funcțiilor trigonometrice.
Exemple de soluții

În această lecție ne vom uita la integralele funcțiilor trigonometrice, adică umplerea integralelor va fi sinusuri, cosinus, tangente și cotangente în diferite combinații. Toate exemplele vor fi analizate în detaliu, accesibile și de înțeles chiar și pentru un ceainic.

Pentru a studia cu succes integralele funcțiilor trigonometrice, trebuie să aveți o bună înțelegere a celor mai simple integrale, precum și să stăpâniți câteva tehnici de integrare. Vă puteți familiariza cu aceste materiale în cadrul prelegerilor Integrală nedefinită. Exemple de soluțiiȘi .

Și acum avem nevoie de: Tabelul integralelor, Tabelul derivatelorȘi Director de formule trigonometrice. Toate manuale metodologice pot fi găsite pe pagină Formule și tabele matematice. Recomand să imprimați totul. Mă concentrez în special pe formule trigonometrice, ar trebui să fie în fața ochilor tăi– fără aceasta, eficiența muncii va scădea vizibil.

Dar mai întâi, despre ce sunt integralele în acest articol Nu. Nu există integrale ale formei, - cosinus, sinus, înmulțit cu vreun polinom (mai rar ceva cu tangentă sau cotangentă). Astfel de integrale sunt integrate pe părți, iar pentru a învăța metoda, vizitați lecția Integrare pe părți. Exemple de soluții De asemenea, aici nu există integrale cu „arcuri” - arctangente, arcsinus etc., ele sunt, de asemenea, cel mai adesea integrate prin părți.

La găsirea integralelor funcțiilor trigonometrice, se utilizează o serie de metode:

(4) Folosim formula tabelară , singura diferență este că în loc de „X” avem o expresie complexă.

Exemplul 2

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită.

Un clasic al genului pentru cei care se îneacă în competiție. După cum probabil ați observat, în tabelul de integrale nu există nicio integrală a tangentei și cotangentei, dar, cu toate acestea, astfel de integrale pot fi găsite.

(1) Folosim formula trigonometrică

(2) Aducem funcția sub semnul diferențial.

(3) Utilizare tabel integral .

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, soluția completă și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Gradele noastre vor crește treptat =).
In primul rand solutia:

(1) Folosim formula

(2) Folosim identitatea trigonometrică principală , din care rezultă că .

(3) Împărțiți numărătorul la numitor termen cu termen.

(4) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite.

(5) Integram folosind tabelul.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, soluția completă și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Există, de asemenea, integrale de tangente și cotangente, care sunt în puteri mai mari. Integrala tangentei cube este discutată în lecție Cum se calculează aria unei figuri plate? Integrale de tangentă (cotangente) la a patra și a cincea puteri pot fi obținute pe pagină Integrale complexe.

Reducerea gradului de integrand

Această tehnică funcționează atunci când funcțiile integrand sunt umplute cu sinusuri și cosinusuri chiar grade. Pentru a reduce gradul, utilizați formule trigonometrice , și , iar ultima formulă este adesea folosită în direcția opusă: .

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită.

Soluţie:

În principiu, nu este nimic nou aici, decât că am aplicat formula (scăderea gradului de integrand). Vă rugăm să rețineți că am scurtat soluția. Pe măsură ce câștigați experiență, integrala poate fi găsită pe cale orală; acest lucru economisește timp și este destul de acceptabil atunci când terminați sarcinile. În acest caz, este recomandabil să nu descrieți regula , mai întâi luăm verbal integrala lui 1, apoi a lui .

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, soluția completă și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Aceasta este creșterea de grad promisă:

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită.

Mai intai solutia, apoi comentariile:

(1) Pregătiți integrantul pentru a aplica formula .

(2) Aplicam de fapt formula.

(3) Pătratăm numitorul și scoatem constanta din semnul integral. Ar fi putut fi făcut puțin diferit, dar, după părerea mea, a fost mai convenabil.

(4) Folosim formula

(5) În al treilea termen reducem din nou gradul, dar folosind formula .

(6) Prezentăm termeni similari (aici am împărțit termen cu termen și a făcut adăugarea).

(7) De fapt, luăm integrala, regula liniarității iar metoda de subsumare a unei funcţii sub semnul diferenţial se realizează oral.

(8) Pieptănarea răspunsului.

! ÎN integrală nedefinită Adesea, răspunsul poate fi scris în mai multe moduri

În exemplul luat în considerare, răspunsul final ar fi putut fi scris diferit - deschizând parantezele și chiar făcând acest lucru înainte de a integra expresia, adică următorul sfârșit al exemplului este destul de acceptabil:

Este foarte posibil ca această opțiune să fie și mai convenabilă, tocmai am explicat-o așa cum obișnuiesc să o rezolv eu). Iată un alt exemplu tipic pentru o soluție independentă:

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită.

Acest exemplu poate fi rezolvat în două moduri și s-ar putea să reușiți două răspunsuri complet diferite(mai precis, vor arăta cu totul diferit, dar din punct de vedere matematic vor fi echivalente). Cel mai probabil, nu vei vedea cea mai rațională metodă și vei avea de suferit cu deschiderea parantezelor și folosind alte formule trigonometrice. Cea mai eficientă soluție este dată la sfârșitul lecției.

Pentru a rezuma paragraful, concluzionăm: orice integrală a formei , unde și – chiar numere, se rezolvă prin metoda reducerii gradului integrandului.
În practică, am dat peste integrale cu 8 și 10 grade și a trebuit să rezolv mizeria lor groaznică coborând gradul de mai multe ori, rezultând răspunsuri lungi, lungi.

Metoda de înlocuire a variabilei

După cum se menționează în articol Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită, principala condiție pentru utilizarea metodei de înlocuire este faptul că în integrand există o anumită funcție și derivata ei:
(funcțiile nu sunt neapărat în produs)

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită.

Ne uităm la tabelul derivatelor și observăm formulele, , adică în integrandul nostru există o funcție și derivata ei. Cu toate acestea, vedem că în timpul diferențierii, cosinusul și sinusul se transformă reciproc unul în celălalt și se pune întrebarea: cum se efectuează o schimbare de variabilă și ce înțelegem prin sinus sau cosinus?! Întrebarea poate fi rezolvată prin picuri științifice: dacă înlocuim incorect, atunci nu va ieși nimic bun.

Un ghid general: în cazuri similare, trebuie să desemnați funcția care se află în numitor.

Întrerupem soluția și facem o înlocuire

Totul este bine la numitor, totul depinde doar de , acum rămâne de aflat în ce se va transforma.
Pentru a face acest lucru, găsim diferența:

Sau, pe scurt:
Din egalitatea rezultată, folosind regula proporției, exprimăm expresia de care avem nevoie:

Asa de:

Acum întregul nostru integrand depinde doar de și putem continua să rezolvăm

Gata. Permiteți-mi să vă reamintesc că scopul înlocuirii este de a simplifica integrantul; în acest caz, totul s-a rezumat la integrarea funcției de putere conform tabelului.

Nu este o coincidență că am descris acest exemplu atât de detaliat; acest lucru a fost făcut cu scopul de a repeta și de a consolida materialele de lecție. Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită.

Și acum două exemple pentru propria ta soluție:

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită.

Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Exemplul 14

Aflați integrala nedefinită.

Din nou, în integrand, există sinus și cosinus (o funcție cu derivată), dar într-un produs, și apare o dilemă - ce înțelegem prin sinus sau cosinus?

Puteți încerca să efectuați o înlocuire utilizând picătură științifică și, dacă nimic nu funcționează, atunci desemnați-o ca o altă funcție, dar există:

Orientare generală: trebuie să desemnați funcția care, la figurat vorbind, se află într-o „poziție incomodă”.

Vedem asta în în acest exemplu cosinusul studentului „suferă” de la diplomă, dar sinusul stă liber, de unul singur.

Prin urmare, să facem o înlocuire:

Dacă cineva mai are dificultăți cu algoritmul pentru înlocuirea unei variabile și găsirea diferenţialului, atunci ar trebui să revii la lecție Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită.

Exemplul 15

Aflați integrala nedefinită.

Să analizăm integrandul, ce ar trebui notat cu ?
Să ne amintim regulile noastre:
1) Funcția este cel mai probabil la numitor;
2) Funcția este într-o „poziție incomodă”.

Apropo, aceste linii directoare sunt valabile nu numai pentru funcțiile trigonometrice.

Sinusul se potrivește ambelor criterii (în special al doilea), așa că se sugerează un înlocuitor. În principiu, înlocuirea poate fi deja efectuată, dar mai întâi ar fi bine să ne dăm seama cu ce să faceți? În primul rând, „prindem” un cosinus:

Ne rezervăm pentru „viitorul” nostru diferențial

Și îl exprimăm prin sinus folosind principalul identitate trigonometrică:

Acum iată înlocuitorul:

Regula generala: Dacă în integrand una dintre funcţiile trigonometrice (sinus sau cosinus) este în ciudat grad, atunci trebuie să „mușcăți” o funcție din gradul impar și să desemnați o altă funcție în spatele acesteia. Vorbim doar de integrale unde există cosinus și sinusuri.

În exemplul luat în considerare, am avut un cosinus la o putere impară, așa că am scos un cosinus din putere și l-am desemnat ca sinus.

Exemplul 16

Aflați integrala nedefinită.

Decolează grade =).
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Substituție trigonometrică universală

Substituția trigonometrică universală este un caz comun al metodei de înlocuire a variabilei. Poți încerca să-l folosești atunci când „nu știi ce să faci”. Dar, de fapt, există câteva linii directoare pentru aplicarea acestuia. Integrale tipice în care trebuie aplicată substituția trigonometrică universală sunt următoarele integrale: , , , etc.

Exemplul 17

Aflați integrala nedefinită.

În acest caz, este implementată substituția trigonometrică universală în felul următor. Să înlocuim: . Nu folosesc litera , ci litera , aceasta nu este un fel de regulă, doar că, din nou, sunt obișnuit să rezolv lucrurile în acest fel.

Aici este mai convenabil să găsim diferența; pentru aceasta, din egalitate, exprim:
Atașez un arctangent la ambele părți:

Arctangenta și tangenta se anulează reciproc:

Prin urmare:

În practică, nu trebuie să o descrieți atât de detaliat, ci pur și simplu să utilizați rezultatul final:

! Expresia este valabilă numai dacă sub sinusuri și cosinus avem pur și simplu „X”, pentru integrală (despre care vom vorbi mai târziu) totul va fi puțin diferit!

La înlocuire, sinusurile și cosinusurile se transformă în următoarele fracții:
, , aceste egalități se bazează pe formule trigonometrice binecunoscute: ,

Deci, designul final ar putea arăta astfel:

Să efectuăm o înlocuire trigonometrică universală:

Pentru a integra funcții raționale de forma R(sin x, cos x), se folosește o substituție, care se numește substituție trigonometrică universală. Apoi . Substituția trigonometrică universală duce adesea la calcule mari. Prin urmare, ori de câte ori este posibil, utilizați următoarele înlocuiri.

Integrarea funcţiilor dependente raţional de funcţiile trigonometrice

1. Integrale de forma ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
a) Dacă n este impar, atunci o putere a lui sinx (sau cosx) trebuie introdusă sub semnul diferenţialului, iar din puterea par rămasă trebuie trecută la funcţia opusă.
b) Dacă n este par, atunci folosim formule pentru reducerea gradului
2. Integrale de forma ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , unde n este un număr întreg.
Trebuie folosite formule

3. Integrale de forma ∫ sin n x cos m x dx
a) Fie m și n de parități diferite. Folosim substituția t=sin x dacă n este impar sau t=cos x dacă m este impar.
b) Dacă m și n sunt pare, atunci folosim formule pentru reducerea gradului
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Integrale ale formei
Dacă numerele m și n sunt de aceeași paritate, atunci folosim substituția t=tg x. Este adesea convenabil să folosiți tehnica unității trigonometrice.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx

Să folosim formulele pentru conversia produsului funcțiilor trigonometrice în suma lor:

• sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

Exemple
1. Calculați integrala ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
Facem înlocuirea cos(x)=t. Atunci ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. Calculați integrala.
Făcând înlocuirea sin x=t , obținem

3. Aflați integrala.
Facem înlocuirea tg(x)=t . Înlocuind, obținem

Integrarea expresiilor de forma R(sinx, cosx)

Exemplul nr. 1. Calculați integralele:

Soluţie.
a) Integrarea expresiilor de forma R(sinx, cosx), unde R este o funcție rațională a sin x și cos x, sunt convertite în integrale ale funcțiilor raționale folosind substituția trigonometrică universală tg(x/2) = t.
Atunci noi avem

O substituție trigonometrică universală face posibilă trecerea de la o integrală de forma ∫ R(sinx, cosx) dx la o integrală a unei funcții raționale fracționale, dar adesea o astfel de substituție duce la expresii greoaie. În anumite condiții, substituțiile mai simple sunt eficiente:

• Dacă egalitatea R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx este satisfăcută, atunci se aplică substituția cos x = t.
• Dacă egalitatea R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx este valabilă, atunci substituția sin x = t.
• Dacă egalitatea R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx este valabilă, atunci substituția tgx = t sau ctg x = t.

În acest caz, pentru a găsi integrala
să aplicăm substituția trigonometrică universală tg(x/2) = t.
Apoi raspunde: