Găsiți punctele de pe cercul numeric cu abscisa dată. Coordonatele. Proprietatea coordonatelor punctului. Centrul cercului numeric. De la cerc la trigonometru. Găsiți punctele din cercul numeric. Puncte cu abscisă. Trigonometrul. Marcați un punct pe cercul numeric. Cercul numeric pe planul de coordonate. Cercul numeric. Puncte cu ordonata. Dați coordonatele punctului. Denumiți linia și coordonatele punctului.

„Algebră „Derivate” clasa a X-a” - Aplicarea derivatelor la studiul funcțiilor. Derivata este zero. Găsiți punctele. Să rezumam informațiile. Natura monotonității funcției. Aplicarea derivatei la studiul funcţiilor. Încălzire teoretică. Completați enunțurile. Alegeți afirmația corectă. Teorema. Comparaţie. Derivata este pozitivă. Comparați formulările teoremelor. Funcția crește. Condiții suficiente pentru un extremum.

„“Ecuații trigonometrice” nota 10” - Valori din interval. X= tan x. Oferă rădăcini. Este adevărată egalitatea? Serii de rădăcini. Ecuația cot t = a. Definiţie. Pentru că de 4x. Găsiți rădăcinile ecuației. Ecuația tg t = a. Sin x. Are sens expresia? Sin x =1. Nu face niciodată ceea ce nu știi. Continuați propoziția. Să luăm o mostră din rădăcini. Rezolvați ecuația. Ctg x = 1. Ecuații trigonometrice. Ecuaţie.

„Algebra „Derivate”” - Ecuație tangentă. Originea termenilor. Rezolvați problema. Derivat. Punct material. Formule de diferențiere. Sensul mecanic al derivatului. Criterii de evaluare. Funcția derivată. Tangenta la graficul unei functii. Definiţia derivative. Ecuația unei tangente la graficul unei funcții. Algoritm pentru găsirea derivatei. Un exemplu de găsire a derivatei. Structura subiectului de studiu. Punctul se deplasează în linie dreaptă.

„Cea mai scurtă cale” - O cale într-un digraf. Un exemplu de două grafice diferite. Grafice dirijate. Exemple de grafice direcționate. Accesibilitate. Cea mai scurtă cale de la vârful A la vârful D. Descrierea algoritmului. Avantajele unei liste ierarhice. Grafice ponderate. Calea în grafic. Programul ProGraph. Vârfurile și muchiile adiacente. Gradul superior. Matricea adiacentei. Lungimea căii într-un grafic ponderat. Un exemplu de matrice de adiacență. Găsirea drumului cel mai scurt.

„Istoria trigonometriei” – Jacob Bernoulli. Tehnica de operare cu funcții trigonometrice. Doctrina măsurării poliedrelor. Leonard Euler. Dezvoltarea trigonometriei din secolul al XVI-lea până în zilele noastre. Elevul trebuie să îndeplinească trigonometria de trei ori. Până acum s-a format și dezvoltat trigonometria. Constructii sistem comun cunoștințe trigonometrice și conexe. Timpul trece, iar trigonometria se întoarce la școlari.

Cifrele din numerele cu mai multe cifre sunt împărțite de la dreapta la stânga în grupuri de câte trei cifre fiecare. Aceste grupuri sunt numite clasele. În fiecare clasă, numerele de la dreapta la stânga indică unitățile, zecile și sutele acelei clase:

Prima clasă din dreapta este numită clasa de unitati, al doilea - mie, al treilea - milioane, al patrulea - miliarde, al cincilea - trilion, al șaselea - cvadrilion, al șaptelea - chintilioane, al optulea - sextilion.

Pentru ușurința citirii înregistrării număr din mai multe cifre, rămâne un mic decalaj între clase. De exemplu, pentru a citi numărul 148951784296, evidențiem clasele din acesta:

și citiți numărul de unități din fiecare clasă de la stânga la dreapta:

148 miliarde 951 milioane 784 mii 296.

Când citiți o clasă de unități, cuvântul unități nu este de obicei adăugat la sfârșit.

Fiecare cifră din notația unui număr cu mai multe cifre ocupă un anumit loc - poziție. Se numește locul (poziția) din înregistrarea unui număr pe care se află cifra deversare.

Numărarea cifrelor merge de la dreapta la stânga. Adică, prima cifră din dreapta dintr-un număr se numește prima cifră, a doua cifră din dreapta este a doua cifră etc. De exemplu, în prima clasă a numărului 148.951.784.296, cifra 6 este prima cifră, 9 este a doua cifră, 2 - a treia cifră:

Se mai numesc si unitati, zeci, sute, mii etc unități de biți:
unitățile se numesc unități din prima categorie (sau unități simple)
zecile se numesc unităţi ale cifrei a 2-a
sutele se numesc unități de a treia cifră etc.

Toate unitățile, cu excepția unităților simple, sunt numite unități constitutive. Deci, zece, sută, mii etc. sunt unități compuse. Fiecare 10 unități de orice rang constituie o unitate din următorul rang (mai înalt). De exemplu, o sută conține 10 zeci, un zece conține 10 unități prime.

Orice unitate compusă în comparație cu o altă unitate mai mică decât se numește unitate de cea mai înaltă categorie, iar în comparație cu o unitate mai mare decât se numește unitate din categoria cea mai de jos. De exemplu, o sută este o unitate de ordin superior față de zece și o unitate de ordin inferior față de o mie.

Pentru a afla câte unități dintr-o cifră există într-un număr, trebuie să aruncați toate cifrele care indică unitățile cifrelor inferioare și să citiți numărul exprimat de cifrele rămase.

De exemplu, trebuie să aflați câte sute sunt în numărul 6284, adică câte sute sunt în miile și sutele unui număr dat împreună.

În numărul 6284, numărul 2 se află pe locul trei în clasa unităților, ceea ce înseamnă că există două sute prime în număr. Următorul număr din stânga este 6, adică mii. Deoarece fiecare mie conține 10 sute, 6 mii conțin 60 dintre ele, prin urmare, acest număr conține 62 de sute.

Numărul 0 din orice cifră înseamnă absența unităților din această cifră. De exemplu, numărul 0 în locul zecilor înseamnă absența zecilor, în locul sutelor - absența sutelor etc. În locul în care există 0, nu se spune nimic la citirea numărului:

172 526 - o sută șaptezeci și două de mii cinci sute douăzeci și șase.
102 026 - o sută două mii douăzeci și șase.

Acestea sunt numerele care se folosesc la numărare: 1, 2, 3... etc.

Zero nu este firesc.

Numerele naturale sunt de obicei notate prin simbol N.

Numerele întregi. Numerele pozitive și negative

Sunt numite două numere care diferă unul de celălalt doar prin semn opus, de exemplu, +1 și -1, +5 și -5. Semnul „+” de obicei nu este scris, dar se presupune că există un „+” în fața numărului. Se numesc astfel de numere pozitiv. Sunt numite numerele precedate de semnul „-”. negativ.

Numerele naturale, contrariile lor și zero se numesc numere întregi. Mulțimea numerelor întregi se notează prin simbol Z.

Numere raționale

Acestea sunt fracții finite și fracții periodice infinite. De exemplu,

Se notează mulțimea numerelor raționale Q. Toate numerele întregi sunt raționale.

Numere iraționale

O fracție neperiodică infinită se numește număr irațional. De exemplu:

Se notează mulțimea numerelor iraționale J.

Numerele reale

Se numește mulțimea tuturor numerelor raționale și a tuturor numerelor iraționale set de reale (reale) numere.

Numerele reale sunt reprezentate prin simbol R.

Rotunjirea numerelor

Luați în considerare numărul 8,759123... . Rotunjirea la cel mai apropiat număr întreg înseamnă să scrieți doar partea din număr care se află înainte de virgulă zecimală. Rotunjirea la zecimi înseamnă notarea întregii părți și o cifră după virgulă; rotunjește la cea mai apropiată sutime - două cifre după virgulă zecimală; până la miimi - trei cifre etc.

Conceptul de număr real: număr real- (număr real), orice număr nenegativ sau negativ sau zero. Numerele reale sunt folosite pentru a exprima măsurătorile fiecărei mărimi fizice.

Real, sau număr real a apărut din necesitatea măsurării geometrice şi mărimi fizice pace. În plus, pentru efectuarea operațiilor de extracție a rădăcinilor, calcularea logaritmilor, rezolvarea ecuațiilor algebrice etc.

Numerele naturale s-au format odată cu dezvoltarea numărării, iar numerele raționale cu nevoia de a gestiona părți ale unui întreg, apoi numerele reale (reale) sunt folosite pentru măsurarea cantităților continue. Astfel, extinderea stocului de numere care sunt considerate a condus la mulțimea numerelor reale, care, pe lângă numerele raționale, este formată din alte elemente numite numere iraționale.

Set de numere reale(notat R) sunt mulțimi de numere raționale și iraționale adunate împreună.

Numerele reale împărțite laraţionalŞi iraţional.

Mulțimea numerelor reale este desemnată și adesea numită real sau linie numerică. Numerele reale constau din obiecte simple: întregŞi numere raționale.

Un număr care poate fi scris ca raport, undem este un număr întreg și n- numărul natural, estenumăr rațional.

Orice număr rațional poate fi reprezentat cu ușurință ca o fracție finită sau o fracție zecimală periodică infinită.

Exemplu,

Decimală infinită, este o fracție zecimală care are un număr infinit de cifre după virgulă.

Numerele care nu pot fi reprezentate în formă sunt ir numere raționale .

Exemplu:

Orice număr irațional poate fi reprezentat cu ușurință ca o fracție zecimală neperiodică infinită.

Exemplu,

Numerele raționale și iraționale creează set de numere reale. Toate numerele reale corespund unui punct de pe linia de coordonate, care este numit linie numerică.

Pentru seturile numerice se folosește următoarea notație:

  • N- multime de numere naturale;
  • Z- mulţime de numere întregi;
  • Q- mulţime de numere raţionale;
  • R- set de numere reale.

Teoria fracțiilor zecimale infinite.

Un număr real este definit ca zecimală infinită, adică:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

unde ± este unul dintre simbolurile + sau -, un semn numeric,

a 0 este un număr întreg pozitiv,

a 1 ,a 2 ,...a n ,... este o succesiune de zecimale, adică elemente ale unei multimi numerice {0,1,…9}.

O fracție zecimală infinită poate fi explicată ca un număr care se află între punctele raționale de pe dreapta numerică, cum ar fi:

±a 0 ,a 1 a 2 …a nŞi ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) pentru toată lumea n=0,1,2,…

Comparația numerelor reale ca fracții zecimale infinite are loc în funcție de loc. De exemplu, să presupunem că ni se dau 2 numere pozitive:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Dacă a 0 0, Că α<β ; Dacă a 0 >b 0 Că α>β . Când a 0 = b 0 Să trecem la comparația următoarei categorii. etc. Când α≠β , ceea ce înseamnă că după un număr finit de pași va fi întâlnită prima cifră n, astfel încât a n ≠b n. Dacă a n n, Asta α<β ; Dacă a n > b n Că α>β .

Dar este plictisitor să acordați atenție faptului că numărul a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Prin urmare, dacă înregistrarea unuia dintre numerele comparate, începând de la o anumită cifră, este o fracție zecimală periodică cu 9 în perioadă, atunci trebuie înlocuită cu o înregistrare echivalentă cu zero în perioadă.

Operații aritmetice cu numere infinite zecimale este o continuare continuă a operaţiilor corespunzătoare cu numere raţionale. De exemplu, suma numerelor reale α Şi β este un număr real α+β , care îndeplinește următoarele condiții:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ o'')∧ (b′⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Operația de înmulțire a fracțiilor zecimale infinite este definită în mod similar.


Ce este un număr? NUMĂRUL este unul dintre conceptele de bază ale matematicii; În legătură cu numărarea obiectelor individuale, a apărut conceptul de numere întregi pozitive (naturale), apoi ideea nelimității serii naturale de numere: 1, 2, 3. Numerele naturale sunt numere utilizate în numărarea obiectelor. 1


Poveste. În timpul săpăturilor dintr-o tabără de oameni antici, a fost găsit un os de lup, pe care în urmă cu 30 de mii de ani, un vânător antic a făcut cincizeci și cinci de crestături. Este clar că în timp ce făcea aceste crestături, el număra pe degete. Modelul de pe os a constat din unsprezece grupuri, fiecare cu cinci crestături. În același timp, a despărțit primele cinci grupe de restul cu o linie lungă. Tot în Siberia și în alte locuri s-au găsit unelte de piatră și decorațiuni realizate în aceeași epocă îndepărtată, pe care erau și linii și puncte, grupate în 3, 5 sau 7. Celții - oameni antici, care au trăit în Europa acum 2500 de ani, care sunt strămoșii francezilor și englezilor, erau considerați de douăzeci de ani (două brațe și două picioare au dat douăzeci de degete). Urmele acestui lucru au fost păstrate în franceză, unde cuvântul „optzeci” sună ca „de patru ori douăzeci”. Alte popoare considerau, de asemenea, douăzeci - strămoșii danezilor și olandezilor, oseților și georgienilor. 2




Numere pare și impare. Un număr par este un întreg care este divizibil cu 2 fără rest: ..., 2, 4, 6, 8, ... Un număr impar este un întreg care nu este divizibil cu 2 fără rest: ..., 1, 3, 5, 7, 9, ... Pitagora definind numărul ca energie și credea că prin știința numerelor se dezvăluie secretul Universului, căci numărul conține secretul lucrurilor. Numere pare Pitagora considera numerele feminine, iar numerele impare masculine: 2+3=5 5 este un simbol al familiei, al căsătoriei. Numere pare și impare = numere feminine și masculine. 4


Simplu și compus. Un număr prim este un număr natural care are exact doi factori naturali diferiți: unul și el însuși. Secvența numerelor prime începe astfel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, ... Numerele compuse sunt numere care au 3 sau mai mulți divizori. Teoria numerelor studiază proprietățile numerelor prime. Deci totul numere naturale Mai mult de unul este împărțit în simplu și compus. 5


Numerele perfecte și imperfecte. numere perfecte, numere întregi pozitive, egal cu suma toți divizorii săi regulați (adică mai mici decât acest număr). De exemplu, numerele 6 = și 28 = sunt perfecte. Până acum (1976) nu se cunoaște o singură bufniță ciudată. ore şi întrebarea existenţei lor rămâne deschisă. Cercetări despre Sov. orele au fost începute de pitagoreici, care atribuiau numerelor și combinațiilor lor un înțeles mistic aparte. Pitagora a numit numerele imperfecte suma divizorilor regulați care sunt mai mici decât el. 6




Numere magice. Secretele numerelor atrag oamenii, îi forțează să aprofundeze, să înțeleagă și să compare concluziile lor cu relația reală a afacerilor. La numerele din lumea antică Au fost foarte respectuoși. Oamenii care îi cunoșteau erau considerați grozavi, erau echivalați cu zeități. Cel mai simplu exemplu este absența în multe țări a aeronavelor cu numărul de coadă 13, etaje și camere de hotel cu numărul „13”. 8
Seria Magic 2 este numărul de echilibru și contrast și susține stabilitatea, amestecând calități pozitive și negative. 6 – Simbol al fiabilității. Este un număr perfect care este divizibil atât cu un număr par (2) cât și cu un număr impar (3), combinând astfel elementele fiecăruia. 8 – Numărul de succese materiale. Înseamnă fiabilitate adusă la perfecțiune, întrucât este reprezentată de un pătrat dublu. Împărțit în jumătate, are părți egale (4 și 4). Dacă este împărțit în continuare, atunci părțile vor fi de asemenea egale (2, 2, 2, 2), arătând un echilibru de patru ori. 9 – Numărul succesului universal, cel mai mare dintre toate numerele. La fel ca de trei ori numărul 3, nouă transformă instabilitatea în aspirație. 10