Ecuație cuadratică– soluția este simplă! *Denumit în continuare „KU”. Prieteni, s-ar părea că nu poate fi nimic mai simplu în matematică decât rezolvarea unei astfel de ecuații. Dar ceva mi-a spus că mulți oameni au probleme cu el. Am decis să văd câte impresii la cerere oferă Yandex pe lună. Iată ce s-a întâmplat, uite:

Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că aproximativ 70.000 de oameni pe lună caută această informație, ce legătură are această vară cu ea și ce se va întâmpla printre an scolar— vor fi de două ori mai multe cereri. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece băieții și fetele aceia care au absolvit școala cu mult timp în urmă și se pregătesc pentru Examenul Unificat de Stat caută aceste informații, iar școlarii se străduiesc și ei să-și împrospăteze memoria.

În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri care vă spun cum să rezolvați această ecuație, am decis să contribui și să public materialul. În primul rând, vreau ca vizitatorii să vină pe site-ul meu pe baza acestei solicitări; în al doilea rând, în alte articole, când apare subiectul „KU”, voi oferi un link către acest articol; în al treilea rând, vă voi spune puțin mai multe despre soluția lui decât se spune de obicei pe alte site-uri. Să începem! Conținutul articolului:

O ecuație pătratică este o ecuație de forma:

unde coeficienții a,bși c sunt numere arbitrare, cu a≠0.

ÎN curs şcolar materialul este dat în următoarea formă - ecuațiile sunt împărțite condiționat în trei clase:

1. Au două rădăcini.

2. *Ai o singură rădăcină.

3. Nu au rădăcini. Merită remarcat în special aici faptul că nu au rădăcini reale

Cum se calculează rădăcinile? Doar!

Calculăm discriminantul. Sub acest cuvânt „îngrozitor” se află o formulă foarte simplă:

Formulele rădăcinilor sunt următoarele:

*Trebuie să știi aceste formule pe de rost.

Puteți nota și rezolva imediat:

Exemplu:

1. Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini.

2. Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină.

3. Dacă D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să ne uităm la ecuație:

În acest sens, când discriminantul este egal cu zero, cursul școlar spune că se obține o rădăcină, aici este egală cu nouă. Totul este corect, așa este, dar...

Această idee este oarecum incorectă. De fapt, există două rădăcini. Da, da, nu fi surprins, obții două rădăcini egale și, pentru a fi precis din punct de vedere matematic, atunci răspunsul ar trebui să scrie două rădăcini:

x 1 = 3 x 2 = 3

Dar așa este - o mică digresiune. La școală poți să-l notezi și să spui că există o singură rădăcină.

Acum următorul exemplu:

După cum știm, rădăcina unui număr negativ nu poate fi luată, așa că nu există o soluție în acest caz.

Acesta este tot procesul de decizie.

Funcția pătratică.

Aceasta arată cum arată soluția din punct de vedere geometric. Acest lucru este extrem de important de înțeles (în viitor, într-unul dintre articole vom analiza în detaliu soluția la inegalitatea pătratică).

Aceasta este o funcție a formei:

unde x și y sunt variabile

a, b, c – numere date, cu a ≠ 0

Graficul este o parabolă:

Adică, rezultă că rezolvând o ecuație pătratică cu „y” egal cu zero, găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Pot exista două dintre aceste puncte (discriminantul este pozitiv), unul (discriminantul este zero) și niciunul (discriminantul este negativ). Detalii despre funcţie pătratică Puteți vizualiza articol de Inna Feldman.

Să ne uităm la exemple:

Exemplul 1: Rezolvați 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Răspuns: x 1 = 8 x 2 = –12

*A fost posibilă împărțirea imediată a părților stânga și dreaptă ale ecuației cu 2, adică simplificarea acesteia. Calculele vor fi mai ușoare.

Exemplul 2: Decide x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Am constatat că x 1 = 11 și x 2 = 11

Este permis să scrieți x = 11 în răspuns.

Răspuns: x = 11

Exemplul 3: Decide x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Discriminantul este negativ, nu există soluție în numerele reale.

Răspuns: nicio soluție

Discriminantul este negativ. Există o soluție!

Aici vom vorbi despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminant negativ. Știi ceva despre numere complexe? Nu voi intra în detaliu aici despre de ce și unde au apărut și care este rolul și necesitatea lor specifică în matematică; acesta este un subiect pentru un articol separat.

Conceptul de număr complex.

Puțină teorie.

Un număr complex z este un număr de formă

z = a + bi

unde a și b sunt numere reale, i este așa-numita unitate imaginară.

a+bi – acesta este un SINGUR NUMĂR, nu o adăugare.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina lui minus unu:

Acum luați în considerare ecuația:

Obținem două rădăcini conjugate.

Ecuație pătratică incompletă.

Să luăm în considerare cazurile speciale, atunci când coeficientul „b” sau „c” este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Ele pot fi rezolvate cu ușurință, fără discriminare.

Cazul 1. Coeficientul b = 0.

Ecuația devine:

Să transformăm:

Exemplu:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Cazul 2. Coeficientul c = 0.

Ecuația devine:

Să transformăm și să factorizăm:

*Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Exemplu:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 sau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.

Aici este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x = 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care vă permit să rezolvați ecuații cu coeficienți mari.

AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

A + b+ c = 0, Acea

- dacă pentru coeficienţii ecuaţiei AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

A+ c =b, Acea

Aceste proprietăți ajută la rezolvarea unui anumit tip de ecuație.

Exemplul 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma cotelor este 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ceea ce înseamnă

Exemplul 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Egalitatea este valabilă A+ c =b, Mijloace

Regularități ale coeficienților.

1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Exemplu. Luați în considerare ecuația 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Dacă în ecuația ax 2 – bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Dacă în Ec. ax 2 + bx – c = 0 coeficient „b” este egal cu (a 2 – 1), și coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Dacă în ecuația ax 2 – bx – c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 – 1), iar coeficientul c este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

teorema lui Vieta.

Teorema lui Vieta poartă numele celebrului matematician francez Francois Vieta. Folosind teorema lui Vieta, putem exprima suma și produsul rădăcinilor unui KU arbitrar în termeni de coeficienți.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

În total, numărul 14 dă doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcinile. Cu o anumită îndemânare, folosind teorema prezentată, poți rezolva imediat multe ecuații pătratice pe cale orală.

Teorema lui Vieta, în plus. Este convenabil prin faptul că, după rezolvarea unei ecuații pătratice în mod obișnuit (printr-un discriminant), rădăcinile rezultate pot fi verificate. Recomand să faci asta mereu.

METODA DE TRANSPORT

Cu această metodă, coeficientul „a” este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi „aruncat” acestuia, motiv pentru care se numește metoda „transferului”. Această metodă este folosită atunci când rădăcinile ecuației pot fi găsite cu ușurință folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Dacă A± b+c≠ 0, atunci se utilizează tehnica de transfer, de exemplu:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Folosind teorema lui Vieta din ecuația (2), este ușor de determinat că x 1 = 10 x 2 = 1

Rădăcinile rezultate ale ecuației trebuie împărțite la 2 (deoarece cele două au fost „aruncate” din x 2), obținem

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Care este rațiunea? Uite ce se întâmplă.

Discriminanții ecuațiilor (1) și (2) sunt egali:

Dacă te uiți la rădăcinile ecuațiilor, obții doar numitori diferiți, iar rezultatul depinde tocmai de coeficientul lui x 2:

Al doilea (modificat) are rădăcini de 2 ori mai mari.

Prin urmare, împărțim rezultatul la 2.

*Dacă reluăm cele trei, vom împărți rezultatul la 3 etc.

Răspuns: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mp. ur-ie și examenul de stat unificat.

Vă voi spune pe scurt despre importanța sa - TREBUIE SĂ PUTEȚI DECIZI rapid și fără să stați pe gânduri, trebuie să cunoașteți pe de rost formulele rădăcinilor și discriminanților. Multe dintre problemele incluse în sarcinile Unified State Examination se rezumă la rezolvarea unei ecuații pătratice (inclusiv cele geometrice).

Ceva demn de remarcat!

1. Forma de scriere a unei ecuații poate fi „implicita”. De exemplu, următoarea intrare este posibilă:

15+ 9x 2 - 45x = 0 sau 15x+42+9x 2 - 45x=0 sau 15 -5x+10x 2 = 0.

Trebuie să-l aduci la vedere standard(ca sa nu te incurci cand te hotarasti).

2. Amintiți-vă că x este o cantitate necunoscută și poate fi notat cu orice altă literă - t, q, p, h și altele.

Primul nivel

Ecuații cuadratice. Ghid cuprinzător (2019)

În termenul „ecuație pătratică”, cuvântul cheie este „quadratic”. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să conțină în mod necesar o variabilă (același x) pătrat și nu ar trebui să existe x la cea de-a treia putere (sau mai mare).

Rezolvarea multor ecuații se reduce la rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Să învățăm să determinăm că aceasta este o ecuație pătratică și nu o altă ecuație.

Exemplul 1.

Să scăpăm de numitor și să înmulțim fiecare termen al ecuației cu

Să mutăm totul în partea stângă și să aranjam termenii în ordinea descrescătoare a puterilor lui X

Acum putem spune cu încredere că această ecuație este pătratică!

Exemplul 2.

Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu:

Această ecuație, deși a fost inițial în ea, nu este pătratică!

Exemplul 3.

Să înmulțim totul cu:

Infricosator? Gradul al patrulea și al doilea... Totuși, dacă facem o înlocuire, vom vedea că avem o ecuație pătratică simplă:

Exemplul 4.

Se pare că este acolo, dar să aruncăm o privire mai atentă. Să mutăm totul în partea stângă:

Vezi, este redusă - și acum este o simplă ecuație liniară!

Acum încercați să determinați singuri care dintre următoarele ecuații sunt pătratice și care nu:

Exemple:

Raspunsuri:

pătrat;
pătrat;
nu pătrat;
nu pătrat;
nu pătrat;
pătrat;
nu pătrat;
pătrat.

În mod convențional, matematicienii împart toate ecuațiile pătratice în următoarele tipuri:

Completează ecuațiile pătratice- ecuații în care coeficienții și, precum și termenul liber c, nu sunt egali cu zero (ca în exemplu). În plus, printre ecuațiile pătratice complete există dat- acestea sunt ecuații în care coeficientul (ecuația din exemplul unu este nu numai completă, ci și redusă!)

Ecuații patratice incomplete- ecuații în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:
Sunt incomplete pentru că le lipsește un element. Dar ecuația trebuie să conțină întotdeauna x pătrat!!! În caz contrar, nu va mai fi o ecuație pătratică, ci o altă ecuație.

De ce au venit cu o asemenea împărțire? S-ar părea că există un X pătrat și bine. Această împărțire este determinată de metodele de soluție. Să ne uităm la fiecare dintre ele mai detaliat.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

În primul rând, să ne concentrăm pe rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mult mai simple!

Există tipuri de ecuații pătratice incomplete:

, în această ecuație coeficientul este egal.
, în această ecuație termenul liber este egal cu.
, în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

1. i. Pentru că știm să extragem Rădăcină pătrată, atunci să exprimăm din această ecuație

Expresia poate fi fie negativă, fie pozitivă. Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece la înmulțirea a două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv, deci: dacă, atunci ecuația nu are soluții.

Și dacă, atunci obținem două rădăcini. Nu este nevoie să memorezi aceste formule. Principalul lucru este că trebuie să știți și să vă amintiți întotdeauna că nu poate fi mai puțin.

Să încercăm să rezolvăm câteva exemple.

Exemplul 5:

Rezolvați ecuația

Acum tot ce rămâne este să extragi rădăcina din partea stângă și dreaptă. La urma urmei, îți amintești cum să extragi rădăcini?

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!!!

Exemplul 6:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 7:

Rezolvați ecuația

Oh! Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini!

Pentru astfel de ecuații care nu au rădăcini, matematicienii au venit cu o pictogramă specială - (set gol). Și răspunsul poate fi scris astfel:

Răspuns:

Astfel, această ecuație pătratică are două rădăcini. Nu există restricții aici, deoarece nu am extras rădăcina.
Exemplul 8:

Rezolvați ecuația

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Prin urmare,

Această ecuație are două rădăcini.

Răspuns:

Cel mai simplu tip de ecuații pătratice incomplete (deși toate sunt simple, nu?). Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Ne vom dispensa de exemple aici.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete

Vă reamintim că o ecuație pătratică completă este o ecuație a ecuației de formă unde

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete este puțin mai dificilă (doar puțin) decât acestea.

Tine minte, Orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant! Chiar incomplet.

Celelalte metode te vor ajuta să o faci mai repede, dar dacă ai probleme cu ecuațiile pătratice, mai întâi stăpânește soluția folosind discriminantul.

1. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind un discriminant.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind această metodă este foarte simplă; principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule.

Dacă, atunci ecuația are rădăcină. Atentie speciala Fă un pas. Discriminantul () ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

Dacă, atunci formula din pas se va reduce la. Astfel, ecuația va avea doar o rădăcină.
Dacă, atunci nu vom putea extrage rădăcina discriminantului la pas. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

Să ne întoarcem la ecuațiile noastre și să vedem câteva exemple.

Exemplul 9:

Rezolvați ecuația

Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că ecuația are două rădăcini.

Pasul 3.

Răspuns:

Exemplul 10:

Rezolvați ecuația

Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină.

Răspuns:

Exemplul 11:

Rezolvați ecuația

Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că nu vom putea extrage rădăcina discriminantului. Nu există rădăcini ale ecuației.

Acum știm cum să scriem corect astfel de răspunsuri.

Răspuns: fara radacini

2. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta.

Dacă vă amintiți, există un tip de ecuație care se numește redusă (când coeficientul a este egal cu):

Astfel de ecuații sunt foarte ușor de rezolvat folosind teorema lui Vieta:

Suma rădăcinilor dat ecuația pătratică este egală, iar produsul rădăcinilor este egal.

Exemplul 12:

Rezolvați ecuația

Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece .

Suma rădăcinilor ecuației este egală, adică. obținem prima ecuație:

Și produsul este egal cu:

Să compunem și să rezolvăm sistemul:

Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală.

și sunt soluția pentru sistem:

Răspuns: ; .

Exemplul 13:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 14:

Rezolvați ecuația

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Răspuns:

ECUAȚII CADRATICE. NIVEL MEDIU

Ce este o ecuație pătratică?

Cu alte cuvinte, o ecuație pătratică este o ecuație de forma, unde - necunoscutul, - unele numere și.

Numărul se numește cel mai mare sau primul coeficient ecuație pătratică, - al doilea coeficient, A - membru liber.

De ce? Pentru că dacă ecuația devine imediat liniară, pentru că va disparea.

În acest caz, și poate fi egal cu zero. În această ecuație de scaun se numește incompletă. Dacă toți termenii sunt la locul lor, adică, ecuația este completă.

Soluții la diferite tipuri de ecuații pătratice

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete:

În primul rând, să ne uităm la metodele de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mai simple.

Putem distinge următoarele tipuri de ecuații:

I., în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

II. , în această ecuație coeficientul este egal.

III. , în această ecuație termenul liber este egal cu.

Acum să ne uităm la soluția pentru fiecare dintre aceste subtipuri.

Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece atunci când înmulțiți două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. De aceea:

dacă, atunci ecuația nu are soluții;

dacă avem două rădăcini

Nu este nevoie să memorezi aceste formule. Principalul lucru de reținut este că nu poate fi mai puțin.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!

Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini.

Pentru a nota pe scurt că o problemă nu are soluții, folosim pictograma set gol.

Răspuns:

Deci, această ecuație are două rădăcini: și.

Răspuns:

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție atunci când:

Deci, această ecuație pătratică are două rădăcini: și.

Exemplu:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Să factorizăm partea stângă a ecuației și să găsim rădăcinile:

Răspuns:

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice complete:

1. Discriminant

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este ușoară, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule. Amintiți-vă, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant! Chiar incomplet.

Ați observat rădăcina de la discriminant în formula pentru rădăcini? Dar discriminantul poate fi negativ. Ce să fac? Trebuie să acordăm o atenție deosebită pasului 2. Discriminantul ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

Dacă, atunci ecuația are rădăcini:
Dacă, atunci ecuația are aceleași rădăcini și, de fapt, o rădăcină:
Astfel de rădăcini se numesc rădăcini duble.
Dacă, atunci rădăcina discriminantului nu este extrasă. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

De ce este posibil un număr diferit de rădăcini? Să ne întoarcem la semnificația geometrică a ecuației pătratice. Graficul funcției este o parabolă:

Într-un caz special, care este o ecuație pătratică, . Aceasta înseamnă că rădăcinile unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție cu axa (axa) absciselor. O parabolă poate să nu intersecteze axa deloc sau o poate intersecta într-unul (când vârful parabolei se află pe axă) sau două puncte.

În plus, coeficientul este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă, atunci în jos.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Răspuns: .

Răspuns:

Asta înseamnă că nu există soluții.

Răspuns: .

2. Teorema lui Vieta

Este foarte ușor de folosit teorema lui Vieta: trebuie doar să alegeți o pereche de numere al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus.

Este important să ne amintim că teorema lui Vieta poate fi aplicată numai în ecuații pătratice reduse ().

Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul #1:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece . Alți coeficienți: ; .

Suma rădăcinilor ecuației este:

Și produsul este egal cu:

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și să verificăm dacă suma lor este egală:

Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală.

și sunt soluția pentru sistem:

Astfel, și sunt rădăcinile ecuației noastre.

Răspuns: ; .

Exemplul #2:

Soluţie:

Să selectăm perechi de numere care dau în produs și apoi să verificăm dacă suma lor este egală:

si: dau in total.

si: dau in total. Pentru a obține, este suficient să schimbați pur și simplu semnele presupuselor rădăcini: și, la urma urmei, produsul.

Răspuns:

Exemplul #3:

Soluţie:

Termenul liber al ecuației este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este un număr negativ. Acest lucru este posibil numai dacă una dintre rădăcini este negativă, iar cealaltă este pozitivă. Prin urmare, suma rădăcinilor este egală cu diferențele modulelor lor.

Să selectăm perechi de numere care dau în produs și a căror diferență este egală cu:

și: diferența lor este egală - nu se potrivește;

și: - neadecvat;

si: - potrivit. Tot ce rămâne este să ne amintim că una dintre rădăcini este negativă. Deoarece suma lor trebuie să fie egală, rădăcina cu modulul mai mic trebuie să fie negativă: . Verificăm:

Răspuns:

Exemplul #4:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Termenul liber este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este negativ. Și acest lucru este posibil numai atunci când o rădăcină a ecuației este negativă, iar cealaltă este pozitivă.

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și apoi să determinăm care rădăcini ar trebui să aibă semn negativ:

Evident, doar rădăcinile și sunt potrivite pentru prima condiție:

Răspuns:

Exemplul #5:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Suma rădăcinilor este negativă, ceea ce înseamnă că cel puțin una dintre rădăcini este negativă. Dar, deoarece produsul lor este pozitiv, înseamnă că ambele rădăcini au semnul minus.

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal cu:

Evident, rădăcinile sunt numerele și.

Răspuns:

De acord, este foarte convenabil să veniți cu rădăcini oral, în loc să numărați acest discriminant urât. Încercați să utilizați teorema lui Vieta cât mai des posibil.

Dar teorema lui Vieta este necesară pentru a facilita și accelera găsirea rădăcinilor. Pentru a beneficia de pe urma folosirii lui, trebuie să aduci acțiunile la automatitate. Și pentru asta, rezolvă încă cinci exemple. Dar nu înșela: nu poți folosi un discriminant! Doar teorema lui Vieta:

Soluții la sarcini pentru munca independentă:

Sarcina 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Conform teoremei lui Vieta:

Ca de obicei, începem selecția cu piesa:

Nu este potrivit pentru că suma;

: suma este exact ceea ce ai nevoie.

Răspuns: ; .

Sarcina 2.

Și din nou teorema noastră preferată Vieta: suma trebuie să fie egală, iar produsul trebuie să fie egal.

Dar din moment ce nu trebuie să fie, dar, schimbăm semnele rădăcinilor: și (în total).

Răspuns: ; .

Sarcina 3.

Hmm... Unde este asta?

Trebuie să mutați toți termenii într-o singură parte:

Suma rădăcinilor este egală cu produsul.

Bine, oprește-te! Ecuația nu este dată. Dar teorema lui Vieta este aplicabilă numai în ecuațiile date. Deci mai întâi trebuie să dați o ecuație. Dacă nu poți conduce, renunță la această idee și rezolvă-o într-un alt mod (de exemplu, printr-un discriminant). Permiteți-mi să vă reamintesc că a da o ecuație pătratică înseamnă a egaliza coeficientul principal:

Grozav. Apoi suma rădăcinilor este egală cu și produsul.

Aici este la fel de ușor ca decojirea perelor să alegi: la urma urmei, este un număr prim (scuze pentru tautologie).

Răspuns: ; .

Sarcina 4.

Membrul liber este negativ. Ce e special la asta? Și adevărul este că rădăcinile vor avea semne diferite. Și acum, în timpul selecției, verificăm nu suma rădăcinilor, ci diferența dintre modulele lor: această diferență este egală, dar un produs.

Deci, rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus. Teorema lui Vieta ne spune că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, adică. Aceasta înseamnă că rădăcina mai mică va avea un minus: și, din moment ce.

Răspuns: ; .

Sarcina 5.

Ce ar trebui să faci mai întâi? Așa este, dați ecuația:

Din nou: selectăm factorii numărului, iar diferența lor ar trebui să fie egală cu:

Rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus. Care? Suma lor ar trebui să fie egală, ceea ce înseamnă că minusul va avea o rădăcină mai mare.

Răspuns: ; .

Lasă-mă să rezum:

Teorema lui Vieta este folosită numai în ecuațiile pătratice date.
Folosind teorema lui Vieta, puteți găsi rădăcinile prin selecție, oral.
Dacă ecuația nu este dată sau nu se găsește o pereche adecvată de factori ai termenului liber, atunci nu există rădăcini întregi și trebuie să o rezolvați în alt mod (de exemplu, printr-un discriminant).

3. Metoda de selectare a unui pătrat complet

Dacă toți termenii care conțin necunoscutul sunt reprezentați sub formă de termeni din formule de înmulțire prescurtate - pătratul sumei sau al diferenței - atunci după înlocuirea variabilelor, ecuația poate fi prezentată sub forma unei ecuații pătratice incomplete de tip.

De exemplu:

Exemplul 1:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

Exemplul 2:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

ÎN vedere generala transformarea va arata astfel:

Asta implică: .

Nu-ți aduce aminte de nimic? Acesta este un lucru discriminatoriu! Exact așa am obținut formula discriminantă.

ECUAȚII CADRATICE. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Ecuație cuadratică- aceasta este o ecuație de formă, unde - necunoscutul, - coeficienții ecuației pătratice, - termenul liber.

Ecuație pătratică completă- o ecuație în care coeficienții nu sunt egali cu zero.

Ecuație pătratică redusă- o ecuaţie în care coeficientul, adică: .

Ecuație pătratică incompletă- o ecuație în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

dacă coeficientul, ecuația arată astfel: ,
dacă există un termen liber, ecuația are forma: ,
dacă și, ecuația arată astfel: .

1. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

1.1. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să exprimăm necunoscutul: ,

2) Verificați semnul expresiei:

dacă, atunci ecuația nu are soluții,
dacă, atunci ecuația are două rădăcini.

1.2. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să scoatem factorul comun din paranteze: ,

2) Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Prin urmare, ecuația are două rădăcini:

1.3. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

Această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină: .

2. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiilor pătratice complete de forma unde

2.1. Soluție folosind discriminant

1) Să aducem ecuația la forma standard: ,

2) Să calculăm discriminantul folosind formula: , care indică numărul de rădăcini ale ecuației:

3) Aflați rădăcinile ecuației:

dacă, atunci ecuația are rădăcini, care se găsesc prin formula:
dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
dacă, atunci ecuația nu are rădăcini.

2.2. Rezolvare folosind teorema lui Vieta

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse (ecuația formei unde) este egală, iar produsul rădăcinilor este egal, i.e. , A.

2.3. Rezolvare prin metoda selectării unui pătrat complet

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut necesară.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de soluție, rețineți că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

Nu au rădăcini;
Au exact o rădăcină;
Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

Discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0. Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac.

Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului poți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:

Daca D< 0, корней нет;
Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini, și deloc semnele acestora, așa cum din anumite motive cred mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Să scriem coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămasă este:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este zero - rădăcina va fi una.

Vă rugăm să rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor, dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.

Apropo, dacă înțelegi, după un timp nu va mai fi nevoie să notezi toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de mult.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluția în sine. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - veți obține același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: uitați-vă la formula literal, notați fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de erori.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca o ecuație pătratică să fie ușor diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că acestor ecuații lipsește unul dintre termeni. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu necesită calcularea discriminantului. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.

Să luăm în considerare cazurile rămase. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:

Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c /a) ≥ 0. Concluzie:

Dacă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 este satisfăcută inegalitatea (−c /a) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
Dacă (−c /a)< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, nu a fost necesar un discriminant - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c /a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne uităm la ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteze

Produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, să ne uităm la câteva dintre aceste ecuații:

Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

x 2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Rezolvarea ecuațiilor în matematică ocupă un loc aparte. Acest proces este precedat de multe ore de studiu teorie, timp în care studentul învață cum să rezolve ecuații, să determine tipul lor și să aducă abilitățile de automatizare completă. Cu toate acestea, căutarea rădăcinilor nu are întotdeauna sens, deoarece acestea pur și simplu nu există. Există tehnici speciale pentru găsirea rădăcinilor. În acest articol vom analiza principalele funcții, domeniile lor de definire, precum și cazurile în care rădăcinile lor lipsesc.

Care ecuație nu are rădăcini?

O ecuație nu are rădăcini dacă nu există argumente reale x pentru care ecuația este identic adevărată. Pentru un nespecialist, această formulare, la fel ca majoritatea teoremelor și formulelor matematice, pare foarte vagă și abstractă, dar acest lucru este în teorie. În practică, totul devine extrem de simplu. De exemplu: ecuația 0 * x = -53 nu are soluție, deoarece nu există un număr x al cărui produs cu zero ar da altceva decât zero.

Acum ne vom uita la cele mai elementare tipuri de ecuații.

1. Ecuație liniară

O ecuație se numește liniară dacă laturile ei dreapta și stânga sunt reprezentate ca funcții liniare: ax + b = cx + d sau în formă generalizată kx + b = 0. Unde a, b, c, d sunt numere cunoscute, iar x este un cantitate necunoscută. Care ecuație nu are rădăcini? Exemple de ecuații liniare sunt prezentate în ilustrația de mai jos.

Practic, ecuațiile liniare sunt rezolvate prin simpla transferare a părții numerice într-o parte și a conținutului lui x în alta. Rezultatul este o ecuație de forma mx = n, unde m și n sunt numere, iar x este o necunoscută. Pentru a găsi x, împărțiți ambele părți la m. Atunci x = n/m. Majoritatea ecuațiilor liniare au o singură rădăcină, dar există cazuri în care fie există un număr infinit de rădăcini, fie nu există deloc. Când m = 0 și n = 0, ecuația ia forma 0 * x = 0. Soluția unei astfel de ecuații va fi absolut orice număr.

Totuși, ce ecuație nu are rădăcini?

Pentru m = 0 și n = 0, ecuația nu are rădăcini din mulțime numere reale. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - aceste ecuații nu au rădăcini.

2. Ecuația pătratică

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0 pentru a = 0. Cea mai comună soluție este prin discriminant. Formula pentru găsirea discriminantului unei ecuații pătratice este: D = b 2 - 4 * a * c. În continuare sunt două rădăcini x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Pentru D > 0 ecuația are două rădăcini, pentru D = 0 are o rădăcină. Dar ce ecuație pătratică nu are rădăcini? Cel mai simplu mod de a observa numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice este reprezentarea grafică a funcției, care este o parabolă. Pentru a > 0 ramurile sunt îndreptate în sus, pentru a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

De asemenea, puteți determina vizual numărul de rădăcini fără a calcula discriminantul. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți vârful parabolei și să determinați în ce direcție sunt îndreptate ramurile. Coordonata x a vârfului poate fi determinată folosind formula: x 0 = -b / 2a. În acest caz, coordonata y a vârfului este găsită prin simpla înlocuire a valorii x 0 în ecuația originală.

Ecuația pătratică x 2 - 8x + 72 = 0 nu are rădăcini, deoarece are un discriminant negativ D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Aceasta înseamnă că parabola nu atinge axa x și funcția nu ia niciodată valoarea 0, prin urmare, ecuația nu are rădăcini reale.

3. Ecuații trigonometrice

Funcțiile trigonometrice sunt considerate pe cercul trigonometric, dar pot fi reprezentate și în Sistemul cartezian coordonate În acest articol ne vom uita la două principale funcții trigonometriceși ecuațiile lor: sinx și cosx. Deoarece aceste funcții formează un cerc trigonometric cu raza 1, |sinx| și |cosx| nu poate fi mai mare de 1. Deci, care ecuație sinx nu are rădăcini? Să ne uităm la grafic funcții sinx, prezentat în imaginea de mai jos.

Vedem că funcția este simetrică și are o perioadă de repetare de 2pi. Pe baza acestui lucru, putem spune că valoarea maximă a acestei funcții poate fi 1, iar cea minimă -1. De exemplu, expresia cosx = 5 nu va avea rădăcini, deoarece valoarea sa absolută este mai mare decât unu.

Acesta este cel mai simplu exemplu de ecuații trigonometrice. De fapt, rezolvarea lor poate dura multe pagini, la sfârșitul cărora îți dai seama că ai folosit formula greșită și trebuie să o iei de la capăt. Uneori, chiar dacă găsiți corect rădăcinile, este posibil să uitați să țineți cont de restricțiile privind OD, motiv pentru care în răspuns apare o rădăcină sau un interval suplimentar, iar întregul răspuns se transformă într-o eroare. Prin urmare, urmați cu strictețe toate restricțiile, deoarece nu toate rădăcinile se încadrează în domeniul de aplicare al sarcinii.

4. Sisteme de ecuații

Un sistem de ecuații este un set de ecuații unite prin paranteze pătrate sau ondulate. Parantezele indică faptul că toate ecuațiile sunt executate împreună. Adică dacă cel puțin una dintre ecuații nu are rădăcini sau o contrazice pe alta, întregul sistem nu are soluție. Parantezele pătrate indică cuvântul „sau”. Aceasta înseamnă că dacă cel puțin una dintre ecuațiile sistemului are o soluție, atunci întregul sistem are o soluție.

Răspunsul sistemului c este mulțimea tuturor rădăcinilor ecuațiilor individuale. Și sistemele cu bretele au doar rădăcini comune. Sistemele de ecuații pot include funcții complet diferite, astfel încât o astfel de complexitate nu ne permite să spunem imediat ce ecuație nu are rădăcini.

În cărțile de probleme și manuale există diferite tipuri de ecuații: cele care au rădăcini și cele care nu. În primul rând, dacă nu puteți găsi rădăcinile, nu vă gândiți că nu sunt deloc acolo. Poate ați greșit undeva, atunci trebuie doar să vă verificați cu atenție decizia.

Ne-am uitat la cele mai elementare ecuații și tipurile lor. Acum puteți spune care ecuație nu are rădăcini. În cele mai multe cazuri, acest lucru nu este dificil de făcut. Atingerea succesului în rezolvarea ecuațiilor necesită doar atenție și concentrare. Practicați mai mult, vă va ajuta să navigați mult mai bine și mai rapid prin material.

Deci, ecuația nu are rădăcini dacă:

V ecuație liniară mx = n valoare m = 0 și n = 0;
într-o ecuație pătratică, dacă discriminantul este mai mic decât zero;
V ecuație trigonometrică de forma cosx = m / sinx = n, dacă |m| > 0, |n| > 0;
într-un sistem de ecuații cu paranteze, dacă cel puțin o ecuație nu are rădăcini și cu paranteze pătrate, dacă toate ecuațiile nu au rădăcini.

Ecuații cuadratice. Discriminant. Soluție, exemple.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Tipuri de ecuații pătratice

Ce este o ecuație pătratică? Cu ce seamănă? În termen ecuație pătratică cuvântul cheie este "pătrat". Aceasta înseamnă că în ecuație Neapărat trebuie să existe un x pătrat. În plus față de aceasta, ecuația poate (sau nu!) conține doar X (la prima putere) și doar un număr (membru liber).Și nu ar trebui să existe X la o putere mai mare de doi.

În termeni matematici, o ecuație pătratică este o ecuație de forma:

Aici a, b și c- unele numere. b și c- absolut orice, dar A– orice altceva decât zero. De exemplu:

Aici A =1; b = 3; c = -4

Aici A =2; b = -0,5; c = 2,2

Aici A =-3; b = 6; c = -18

Ei bine, înțelegi...

În aceste ecuații pătratice din stânga există Set complet membrii. X pătrat cu un coeficient A, x la prima putere cu coeficient bȘi membru liber s.

Astfel de ecuații pătratice se numesc deplin.

Si daca b= 0, ce obținem? Avem X va fi pierdut la prima putere. Acest lucru se întâmplă atunci când este înmulțit cu zero.) Se dovedește, de exemplu:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Și așa mai departe. Și dacă ambii coeficienți bȘi c sunt egale cu zero, atunci este și mai simplu:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Se numesc astfel de ecuații în care lipsește ceva ecuații pătratice incomplete. Ceea ce este destul de logic.) Vă rugăm să rețineți că x pătrat este prezent în toate ecuațiile.

Apropo, de ce A nu poate fi egal cu zero? Și tu înlocuiești în schimb A zero.) X pătratul nostru va dispărea! Ecuația va deveni liniară. Si solutia este cu totul alta...

Acestea sunt toate tipurile principale de ecuații pătratice. Complet și incomplet.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete.

Ecuațiile cuadratice sunt ușor de rezolvat. După formule și reguli clare, simple. În prima etapă este necesar ecuația dată conduce la o formă standard, adică la forma:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă.) Principalul lucru este să determinați corect toți coeficienții, A, bȘi c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată astfel:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. Dar mai multe despre el mai jos. După cum puteți vedea, pentru a găsi X, folosim doar a, b și c. Acestea. coeficienții dintr-o ecuație pătratică. Doar înlocuiți cu atenție valorile a, b și c Calculăm în această formulă. Să înlocuim cu semnele tale! De exemplu, în ecuația:

A =1; b = 3; c= -4. Aici o scriem:

Exemplul este aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Totul este foarte simplu. Și ce, crezi că este imposibil să faci o greșeală? Ei bine, da, cum...

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu valorile semnelor a, b și c. Sau mai degrabă, nu cu semnele lor (unde să ne încurcăm?), ci cu substituția valori negativeîn formula de calcul a rădăcinilor. Ceea ce ajută aici este o înregistrare detaliată a formulei cu numere specifice. Dacă există probleme cu calculele, fa aia!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici A = -6; b = -5; c = -1

Să presupunem că știi că rar primești răspunsuri prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Va dura aproximativ 30 de secunde pentru a scrie o linie suplimentară și numărul de erori va scădea brusc. Așa că scriem în detaliu, cu toate parantezele și semnele:

Pare incredibil de dificil să scrii cu atâta atenție. Dar doar așa pare. Incearca. Ei bine, sau alege. Ce e mai bine, rapid sau corect? În plus, te voi face fericit. După un timp, nu va mai fi nevoie să scrieți totul atât de atent. Se va rezolva chiar de la sine. Mai ales dacă utilizați tehnici practice care sunt descrise mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri poate fi rezolvat ușor și fără erori!

Dar, adesea, ecuațiile pătratice arată ușor diferit. De exemplu, așa:

L-ai recunoscut?) Da! Acest ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.

Ele pot fi rezolvate și folosind o formulă generală. Trebuie doar să înțelegeți corect cu ce sunt ele egale aici. a, b și c.

Ți-ai dat seama? În primul exemplu a = 1; b = -4; A c? Nu este deloc acolo! Ei bine, da, așa este. În matematică asta înseamnă că c = 0 ! Asta e tot. În schimb, înlocuiți zero în formulă c, si vom reusi. La fel si cu al doilea exemplu. Numai că nu avem zero aici Cu, A b !

Dar ecuațiile pătratice incomplete pot fi rezolvate mult mai simplu. Fără nicio formulă. Să luăm în considerare primul ecuație incompletă. Ce poți face în partea stângă? Puteți scoate X din paranteze! Hai să-l scoatem.

Și ce din asta? Și faptul că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă oricare dintre factori este egal cu zero! Nu mă crezi? Bine, atunci veniți cu două numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero!
Nu funcționează? Asta este...
Prin urmare, putem scrie cu încredere: x 1 = 0, x 2 = 4.

Toate. Acestea vor fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele sunt potrivite. Când înlocuim oricare dintre ele în ecuația originală, obținem identitatea corectă 0 = 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât utilizarea formulei generale. Permiteți-mi să notez, apropo, care X va fi primul și care va fi al doilea - absolut indiferent. Este convenabil să scrieți în ordine, x 1- ce este mai mic şi x 2- ceea ce este mai mare.

A doua ecuație poate fi rezolvată și simplu. Mutați 9 în partea dreaptă. Primim:

Tot ce rămâne este să extragi rădăcina din 9 și atât. Se va dovedi:

De asemenea, două rădăcini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Așa se rezolvă toate ecuațiile pătratice incomplete. Fie plasând X dintre paranteze, fie pur și simplu deplasând numărul la dreapta și apoi extragând rădăcina.
Este extrem de greu de confundat aceste tehnici. Pur și simplu pentru că în primul caz va trebui să extragi rădăcina lui X, care este cumva de neînțeles, iar în al doilea caz nu este nimic de scos din paranteze...

Discriminant. Formula discriminantă.

cuvântul magic discriminant ! Rareori un elev de liceu nu a auzit acest cuvânt! Expresia „rezolvăm printr-un discriminant” inspiră încredere și liniște. Pentru că nu trebuie să vă așteptați la trucuri de la discriminant! Este simplu și fără probleme de utilizat.) Vă reamintesc cel mai mult formula generala pentru solutii orice ecuații pătratice:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. De obicei, discriminantul este notat cu litera D. Formula discriminantă:

D = b 2 - 4ac

Și ce este atât de remarcabil la această expresie? De ce merita un nume special? Ce sensul discriminantului? La urma urmelor -b, sau 2aîn această formulă ei nu o numesc în mod specific nimic... Litere și litere.

Iată chestia. Când rezolvați o ecuație pătratică folosind această formulă, este posibil doar trei cazuri.

1. Discriminantul este pozitiv. Aceasta înseamnă că rădăcina poate fi extrasă din ea. Dacă rădăcina este extrasă bine sau prost este o altă întrebare. Important este ceea ce se extrage în principiu. Atunci ecuația ta pătratică are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminantul este zero. Atunci vei avea o soluție. Deoarece adăugarea sau scăderea zero în numărător nu schimbă nimic. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, ci două identice. Dar, într-o versiune simplificată, se obișnuiește să se vorbească despre o singura solutie.

3. Discriminantul este negativ. Rădăcina pătrată a unui număr negativ nu poate fi luată. Ei bine, bine. Asta înseamnă că nu există soluții.

Sincer vorbind, când solutie simpla ecuații pătratice, conceptul de discriminant nu este deosebit de solicitat. Înlocuim valorile coeficienților în formulă și numărăm. Totul se întâmplă acolo de la sine, două rădăcini, una și niciuna. Cu toate acestea, atunci când rezolvați sarcini mai complexe, fără cunoștințe sensul și formula discriminantului insuficient. Mai ales în ecuații cu parametri. Astfel de ecuații sunt acrobații pentru examenul de stat și examenul de stat unificat!)

Asa de, cum se rezolvă ecuații pătratice prin discriminantul de care ti-ai amintit. Sau ați învățat, ceea ce nu este rău.) Știți să determinați corect a, b și c. știi cum? atentînlocuiți-le în formula rădăcină și atent numărați rezultatul. Înțelegi că cuvântul cheie aici este atent?

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori. Aceleași care se datorează neatenției... Pentru care ulterior devine dureros și jignitor...

Prima numire . Nu fi leneș înainte de a rezolva o ecuație pătratică și aduce-o la forma standard. Ce înseamnă acest lucru?
Să presupunem că după toate transformările obținem următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c. Construiți corect exemplul. Mai întâi, X pătrat, apoi fără pătrat, apoi termenul liber. Ca aceasta:

Și din nou, nu te grăbi! Un minus în fața unui X pătrat te poate supăra cu adevărat. E usor sa uiti... Scapa de minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Dar acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și puteți termina de rezolvat exemplul. Decide pentru tine. Acum ar trebui să aveți rădăcinile 2 și -1.

Recepție secundă. Verificați rădăcinile! Conform teoremei lui Vieta. Nu vă speriați, vă explic totul! Control ultimul lucru ecuația. Acestea. cel pe care l-am folosit pentru a scrie formula rădăcinii. Dacă (ca în acest exemplu) coeficientul a = 1, verificarea rădăcinilor este ușoară. Este suficient să le înmulțim. Rezultatul ar trebui să fie un membru liber, adică. în cazul nostru -2. Vă rugăm să rețineți, nu 2, ci -2! Membru gratuit cu semnul tău . Dacă nu funcționează, înseamnă că s-au încurcat deja undeva. Căutați eroarea.

Dacă funcționează, trebuie să adăugați rădăcinile. Ultima si ultima verificare. Coeficientul ar trebui să fie b Cu opus familiar. În cazul nostru -1+2 = +1. Un coeficient b, care este înaintea lui X, este egal cu -1. Deci, totul este corect!
Este păcat că acest lucru este atât de simplu doar pentru exemplele în care x pătrat este pur, cu un coeficient a = 1. Dar măcar verificați astfel de ecuații! Vor fi din ce în ce mai puține erori.

Recepția a treia . Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Înmulțiți ecuația cu numitor comun, așa cum este descris în lecția „Cum se rezolvă ecuații? Transformări identice”. Când lucrați cu fracții, erorile continuă să apară din anumite motive...

Apropo, am promis că voi simplifica exemplul malefic cu o grămadă de minusuri. Vă rog! Aici era.

Pentru a nu ne confunda cu minusurile, înmulțim ecuația cu -1. Primim:

Asta e tot! Rezolvarea este o plăcere!

Deci, haideți să rezumam subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard și o construim Dreapta.

2. Dacă în fața pătratului X există un coeficient negativ, îl eliminăm înmulțind întreaga ecuație cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu factorul corespunzător.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul său este egal cu unu, soluția poate fi ușor verificată folosind teorema lui Vieta. Fă-o!

Acum putem decide.)

Rezolvarea ecuațiilor:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Răspunsuri (în dezordine):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - orice număr

x 1 = -3
x 2 = 3

fara solutii

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Se potrivește totul? Grozav! Ecuațiile cuadratice nu sunt durerea ta de cap. Primele trei au funcționat, dar restul nu? Atunci problema nu este cu ecuațiile pătratice. Problema este în transformări identice ale ecuațiilor. Aruncă o privire pe link, este util.

Nu prea merge? Sau nu merge deloc? Atunci vă va ajuta Secțiunea 555. Toate aceste exemple sunt defalcate acolo. Afișate principal erori de solutie. Desigur, se vorbește și despre utilizare transformări identitareîn rezolvarea diverselor ecuaţii. Ajută mult!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.