Sper că, după ce ați studiat acest articol, veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.

Folosind discriminantul, se rezolvă doar ecuații pătratice complete; pentru a rezolva ecuații pătratice incomplete se folosesc alte metode, pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.

Ce ecuații pătratice se numesc complete? Acest ecuații de forma ax 2 + b x + c = 0, unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică completă, trebuie să calculăm discriminantul D.

D = b 2 – 4ac.

În funcție de valoarea discriminantului, vom nota răspunsul.

Dacă discriminantul este un număr negativ (D< 0),то корней нет.

Dacă discriminantul este zero, atunci x = (-b)/2a. Când discriminantul este un număr pozitiv (D > 0),

atunci x 1 = (-b - √D)/2a și x 2 = (-b + √D)/2a.

De exemplu. Rezolvați ecuația x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Raspuns: 2.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Răspuns: fără rădăcini.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Răspuns: – 3,5; 1.

Deci, să ne imaginăm soluția ecuațiilor pătratice complete folosind diagrama din figura 1.

Folosind aceste formule puteți rezolva orice ecuație pătratică completă. Trebuie doar să fii atent ecuația a fost scrisă ca polinom vedere standard

A x 2 + bx + c, altfel poți să faci o greșeală. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 = 0, puteți decide în mod eronat că

a = 1, b = 3 și c = 2. Atunci

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (Vezi soluția la exemplul 2 de mai sus).

Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca un polinom al formei standard, mai întâi trebuie scrisă ecuația pătratică completă ca un polinom al formei standard (monomul cu cel mai mare exponent ar trebui să fie primul, adică A x 2 , apoi cu mai putin – bxși apoi un membru liber Cu.

Când rezolvați ecuația pătratică redusă și o ecuație pătratică cu un coeficient par în al doilea termen, puteți utiliza alte formule. Să ne familiarizăm cu aceste formule. Dacă într-o ecuație pătratică completă, al doilea termen are un coeficient par (b = 2k), atunci puteți rezolva ecuația folosind formulele prezentate în diagrama din figura 2.

O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 este egală cu unu și ecuația ia forma x 2 + px + q = 0. O astfel de ecuație poate fi dată pentru soluție sau poate fi obținută prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficient A, stând la x 2 .

Figura 3 prezintă o diagramă pentru rezolvarea pătratului redus
ecuații. Să ne uităm la un exemplu de aplicare a formulelor discutate în acest articol.

Exemplu. Rezolvați ecuația

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în diagrama din figura 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Răspuns: –1 – √3; –1 + √3

Puteți observa că coeficientul lui x din această ecuație număr par, adică b = 6 sau b = 2k, de unde k = 3. Atunci să încercăm să rezolvăm ecuația folosind formulele date în diagrama figurii D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Răspuns: –1 – √3; –1 + √3. Observând că toți coeficienții din această ecuație pătratică sunt divizibili cu 3 și efectuând împărțirea, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x – 2 = 0 Rezolvați această ecuație folosind formulele pentru ecuația pătratică redusă.
ecuații figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Răspuns: –1 – √3; –1 + √3.

După cum puteți vedea, atunci când rezolvăm această ecuație folosind formule diferite, am primit același răspuns. Prin urmare, după ce ați stăpânit temeinic formulele prezentate în diagrama din figura 1, veți putea întotdeauna să rezolvați orice ecuație pătratică completă.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Discriminantul vă permite să rezolvați orice ecuație pătratică folosind formula generala, care arată astfel:

Formula discriminantă depinde de gradul polinomului. Formula de mai sus este potrivită pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice de următoarea formă:

Discriminantul are următoarele proprietăți pe care trebuie să le cunoașteți:

* „D” este 0 când polinomul are rădăcini multiple (rădăcini egale);

* „D” este un polinom simetric în raport cu rădăcinile polinomului și, prin urmare, este un polinom în coeficienții săi; mai mult, coeficienții acestui polinom sunt numere întregi indiferent de extensia în care sunt luate rădăcinile.

Să presupunem că ni se oferă o ecuație pătratică de următoarea formă:

1 ecuație

După formula avem:

Deoarece \, ecuația are 2 rădăcini. Să le definim:

Unde pot rezolva o ecuație folosind un rezolvator online discriminant?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru.Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.

O ecuație pătratică incompletă diferă de ecuațiile clasice (complete) prin faptul că factorii sau termenul liber sunt egali cu zero. Graficele unor astfel de funcții sunt parabole. În funcție de aspectul lor general, acestea sunt împărțite în 3 grupe. Principiile soluției pentru toate tipurile de ecuații sunt aceleași.

Nu este nimic complicat în determinarea tipului unui polinom incomplet. Cel mai bine este să luați în considerare principalele diferențe folosind exemple vizuale:

  1. Dacă b = 0, atunci ecuația este ax 2 + c = 0.
  2. Dacă c = 0, atunci expresia ax 2 + bx = 0 ar trebui rezolvată.
  3. Dacă b = 0 și c = 0, atunci polinomul se transformă într-o egalitate ca ax 2 = 0.

Cel din urmă caz ​​este mai mult o posibilitate teoretică și nu apare niciodată în sarcinile de testare a cunoștințelor, deoarece singura valoare corectă a variabilei x din expresie este zero. În viitor, vor fi luate în considerare metode și exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete de tipul 1) și 2).

Algoritm general pentru căutarea variabilelor și exemple cu soluții

Indiferent de tipul de ecuație, algoritmul de soluție se reduce la următorii pași:

  1. Reduceți expresia la o formă convenabilă pentru găsirea rădăcinilor.
  2. Efectuați calcule.
  3. Scrieți răspunsul.

Cel mai simplu mod de a rezolva ecuații incomplete este să factorizezi partea stângă și să lași un zero în dreapta. Astfel, formula pentru o ecuație pătratică incompletă pentru găsirea rădăcinilor se reduce la calcularea valorii lui x pentru fiecare dintre factori.

Puteți învăța cum să o rezolvați doar în practică, așa că să luăm în considerare exemplu concret găsirea rădăcinilor unei ecuații incomplete:

După cum puteți vedea, în acest caz b = 0. Să factorizăm partea stângă și să obținem expresia:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Evident, produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Valorile variabilei x1 = 0,5 și (sau) x2 = -0,5 îndeplinesc cerințe similare.

Pentru a face față ușor și rapid sarcinii de descompunere trinom pătraticîn factori, amintiți-vă următoarea formulă:

Dacă nu există un termen liber în expresie, problema este mult simplificată. Va fi suficient doar să găsiți și să puneți paranteze numitor comun. Pentru claritate, luați în considerare un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete de forma ax2 + bx = 0.

Să scoatem variabila x din paranteze și să obținem următoarea expresie:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Ghidați de logică, ajungem la concluzia că x1 = 0 și x2 = -3.

Metoda tradițională de rezolvare și ecuații pătratice incomplete

Ce se întâmplă dacă aplicați formula discriminantă și încercați să găsiți rădăcinile unui polinom cu coeficienți egali cu zero? Să luăm un exemplu din colecție sarcini tipice pentru Examenul Unificat de Stat la Matematică 2017, îl vom rezolva folosind formule standard și metoda factorizării.

7x 2 – 3x = 0.

Să calculăm valoarea discriminantă: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Rezultă că polinomul are două rădăcini:

Acum, să rezolvăm ecuația prin factorizare și să comparăm rezultatele.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

După cum puteți vedea, ambele metode dau același rezultat, dar rezolvarea ecuației folosind a doua metodă a fost mult mai ușoară și mai rapidă.

teorema lui Vieta

Dar ce să faci cu teorema preferată a lui Vieta? Este posibil de utilizat aceasta metoda cu un trinom incomplet? Să încercăm să înțelegem aspectele turnării ecuații incomplete la forma clasică ax2 + bx + c = 0.

De fapt, este posibil să se aplice teorema lui Vieta în acest caz. Este necesar doar să aducem expresia la aspectul general, înlocuind termenii lipsă cu zero.

De exemplu, cu b = 0 și a = 1, pentru a elimina posibilitatea de confuzie, sarcina trebuie scrisă sub forma: ax2 + 0 + c = 0. Apoi raportul dintre suma și produsul rădăcinilor și factorii polinomului pot fi exprimați după cum urmează:

Calculele teoretice ajută la familiarizarea cu esența problemei și necesită întotdeauna dezvoltarea abilităților la rezolvarea unor probleme specifice. Să ne întoarcem din nou la cartea de referință a sarcinilor standard pentru examenul de stat unificat și să găsim un exemplu potrivit:

Să scriem expresia într-o formă convenabilă pentru aplicarea teoremei lui Vieta:

x 2 + 0 – 16 = 0.

Următorul pas este crearea unui sistem de condiții:

Evident, rădăcinile polinomului pătratic vor fi x 1 = 4 și x 2 = -4.

Acum, să exersăm aducerea ecuației la forma sa generală. Să luăm următorul exemplu: 1/4× x 2 – 1 = 0

Pentru a aplica teorema lui Vieta unei expresii, este necesar să scăpăm de fracție. Să înmulțim părțile din stânga și din dreapta cu 4 și să ne uităm la rezultatul: x2– 4 = 0. Egalitatea rezultată este gata să fie rezolvată prin teorema lui Vieta, dar este mult mai ușor și mai rapid să obțineți răspunsul prin simpla mutare a c = 4 în partea dreaptă a ecuației: x2 = 4.

Pentru a rezuma, ar trebui spus că cel mai bun mod Rezolvarea ecuațiilor incomplete prin factorizare este cea mai simplă și rapidă metodă. Dacă apar dificultăți în procesul de căutare a rădăcinilor, puteți contacta metoda traditionala găsirea rădăcinilor printr-un discriminant.

Formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Sunt luate în considerare cazurile de rădăcini reale, multiple și complexe. Factorizarea unui trinom pătratic. Interpretare geometrică. Exemple de determinare a rădăcinilor și factoring.

Conţinut

Vezi si: Rezolvarea ecuațiilor pătratice online

Formule de bază

Luați în considerare ecuația pătratică:
(1) .
Rădăcinile unei ecuații pătratice(1) sunt determinate de formulele:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când rădăcinile unei ecuații pătratice sunt cunoscute, atunci un polinom de gradul doi poate fi reprezentat ca produs de factori (factorizați):
.

În plus, presupunem că - numere reale.
Sa luam in considerare discriminant al unei ecuații pătratice:
.
Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale diferite:
; .
Atunci factorizarea trinomului pătratic are forma:
.
Dacă discriminantul este egal cu zero, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale multiple (egale):
.
Factorizare:
.
Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini conjugate complexe:
;
.
Iată unitatea imaginară, ;
și sunt părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Apoi

.

Interpretare grafică

Dacă construiești graficul unei funcții
,
care este o parabolă, atunci punctele de intersecție ale graficului cu axa vor fi rădăcinile ecuației
.
Când , graficul intersectează axa x (axa) în două puncte ().
Când , graficul atinge axa x într-un punct ().
Când , graficul nu intersectează axa x ().

Formule utile legate de ecuația pătratică

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Efectuăm transformări și aplicăm formulele (f.1) și (f.3):




,
Unde
; .

Deci, am obținut formula pentru un polinom de gradul doi sub forma:
.
Aceasta arată că ecuația

efectuat la
Și .
Adică și sunt rădăcinile ecuației pătratice
.

Exemple de determinare a rădăcinilor unei ecuații pătratice

Exemplul 1


(1.1) .


.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminantul:
.
Deoarece discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:
;
;
.

De aici obținem factorizarea trinomului pătratic:

.

Graficul funcției y = 2 x 2 + 7 x + 3 intersectează axa x în două puncte.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Acesta traversează axa (axa) absciselor în două puncte:
Și .
Aceste puncte sunt rădăcinile ecuației inițiale (1.1).

;
;
.

Exemplul 2

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(2.1) .

Să scriem ecuația pătratică în formă generală:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminantul:
.
Deoarece discriminantul este zero, ecuația are două rădăcini multiple (egale):
;
.

Atunci factorizarea trinomului are forma:
.

Graficul funcției y = x 2 - 4 x + 4 atinge axa x la un moment dat.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Atinge axa x (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină este factorizată de două ori:
,
atunci o astfel de rădăcină se numește de obicei multiplu. Adică, ei cred că există două rădăcini egale:
.

;
.

Exemplul 3

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(3.1) .

Să scriem ecuația pătratică în formă generală:
(1) .
Să rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparând cu (1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminantul:
.
Discriminantul este negativ, . Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Puteți găsi rădăcini complexe:
;
;
.

Apoi


.

Graficul funcției nu traversează axa x. Nu există rădăcini reale.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Nu intersectează axa x (axa). Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Nu există rădăcini reale. Rădăcini complexe:
;
;
.

Vezi si:

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Soluțiile (rădăcinile) unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Dacă parabola descrisă funcţie pătratică, nu se intersectează cu axa x, ecuația nu are rădăcini reale. Dacă o parabolă intersectează axa x într-un punct (vârful parabolei), ecuația are o rădăcină reală (se spune că ecuația are și două rădăcini care coincid). Dacă o parabolă intersectează axa x în două puncte, ecuația are două rădăcini reale.

Dacă coeficientul A pozitiv, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus; dacă este negativ, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Dacă coeficientul b este pozitiv, atunci vârful parabolei se află în semiplanul stâng, dacă este negativ - în semiplanul drept.

Derivarea formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice

Formula pentru rezolvarea unei ecuații pătratice poate fi obținută după cum urmează:

A x 2 + b x+ c = 0
A x 2 + b x = - c

Înmulțiți ecuația cu 4 A

4A 2 x 2 + 4 ab x = -4 ac
4A 2 x 2 + 4 ab x+ b 2 = -4ac + b 2
(2A x+ b) 2 = b 2 -4ac
2A x+ b= ±$\sqrt(b^2-4 a c)$

Găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice

O ecuație pătratică cu coeficienți reali poate avea de la 0 la 2 rădăcini reale în funcție de valoarea discriminantului D = b 2 − 4ac:

  • pentru D > 0 există două rădăcini și se calculează prin formula
  • pentru D = 0 există o rădăcină (două rădăcini egale sau coincidente), multiplicitatea 2: