Valoarea aproximativă a mărimii și eroarea aproximărilor. Mare enciclopedie a petrolului și gazelor

Valoare absolută diferențeîntre valoarea aproximativă și exactă (adevărată) a unei mărimi se numește eroare absolută valoare aproximativă. De exemplu, dacă numărul exact 1,214 rotunjiți la cea mai apropiată zecime, obținem un număr aproximativ 1,2 . În acest caz, eroarea absolută a numărului aproximativ va fi 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Dar, în majoritatea cazurilor, valoarea exactă a valorii luate în considerare este necunoscută, dar doar una aproximativă. Atunci eroarea absolută este necunoscută. În aceste cazuri indicați frontieră, pe care nu o depășește. Acest număr este numit limitarea erorii absolute. Ei spun că valoarea exactă a unui număr este egală cu valoarea sa aproximativă, cu o eroare mai mică decât eroarea marginală. De exemplu, număr 23,71 este o valoare aproximativă a numărului 23,7125 pâna la 0,01 , deoarece eroarea de aproximare absolută este egală cu 0,0025 și mai puțin 0,01 . Aici eroarea absolută limită este egală cu 0,01 .*

(* Absolut Eroarea poate fi atât pozitivă, cât și negativă. De exemplu, 1,68 ≈ 1,7 . Eroarea absolută este 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Limite eroarea este întotdeauna pozitivă).

Eroare absolută de limită a numărului aproximativ " A » este indicat prin simbol Δ A . Record

x ≈ A ( Δ A)

trebuie înțeles astfel: valoarea exactă a cantității X este între numere A +Δ A Și A –Δ A, care sunt numite în consecință fundȘi Limita superioară X si denota N G X Și ÎN G X .

De exemplu, Dacă X≈ 2,3 ( 0,1), Acea 2,2 < X < 2,4 .

Dimpotrivă, dacă 7,3 < X < 7,4, Acea X≈ 7,35 ( 0,05).

Eroarea absolută sau marginală absolută Nu caracterizează calitatea măsurării efectuate. Aceeași eroare absolută poate fi considerată semnificativă și nesemnificativă în funcție de numărul cu care se exprimă valoarea măsurată.

De exemplu, dacă măsurăm distanța dintre două orașe cu o precizie de un kilometru, atunci o astfel de precizie este destul de suficientă pentru această măsurătoare, dar, în același timp, la măsurarea distanței dintre două case de pe aceeași stradă, o astfel de precizie va fi inacceptabilă.

În consecință, acuratețea valorii aproximative a unei mărimi depinde nu numai de mărimea erorii absolute, ci și de valoarea mărimii măsurate. De aceea măsura preciziei este eroarea relativă.

Eroare relativă se numește raportul dintre eroarea absolută și valoarea numărului aproximativ. Se numește raportul dintre eroarea absolută limită și numărul aproximativ eroare relativă limită; denotă-l astfel: Δ a/a. Erorile relative și marginale relative sunt de obicei exprimate ca în procente.

De exemplu, dacă măsurătorile arată că distanța dintre două puncte este mai mare 12,3 km, dar mai puțin 12,7 km, apoi pentru aproximativ sensul lui este acceptat in medie aceste două numere, adică al lor jumătate din sumă, Apoi limite eroarea absolută este jumătăți de diferențe aceste numere. În acest caz X≈ 12,5 ( 0,2). Aici este limita absolut eroarea este egală cu 0,2 km, și granița

NUMERE APROXIMAȚII ȘI OPERAȚII PE ELE

Valoarea aproximativă a cantității. Erori absolute și relative

Rezolvarea problemelor practice, de regulă, este asociată cu valorile numerice ale cantităților. Aceste valori se obțin fie prin măsurare, fie prin calcul. În cele mai multe cazuri, valorile cantităților care trebuie operate sunt aproximative.

Fie X - valoarea exactă a unei anumite cantități, și X - cea mai cunoscută valoare aproximativă. În acest caz, eroarea (sau eroarea) aproximării X determinat de diferenta X-x. De obicei, semnul acestei erori nu este decisiv, astfel încât valoarea sa absolută este considerată:

Numărul în acest caz este numiteroare absolută maximă, sau limita erorii absolute a aproximării x.

Astfel, eroarea absolută maximă a numărului aproximativ X - este orice număr nu mai mic decât eroarea absolută e x acest număr.

Exemplu: Să luăm un număr. Dacă sunipe indicatorul unui MK de 8 biți, obținem o aproximare a acestui număr: Să încercăm să exprimăm eroarea absolută a valorii. Am primit o fracție infinită, nepotrivită pentru calcule practice. Este evident, însă, că, prin urmare, numărul 0,00000006 = 0,6 * 10-7 poate fi considerată eroarea absolută maximă a aproximării utilizate de MK în locul numărului

Inegalitatea (2) ne permite să stabilim aproximări la valoarea exactă X în funcție de deficiență și exces:

În multe cazuri, valorile limitei de eroare absolutăprecum şi cele mai bune valori de aproximare X , sunt obținute în practică ca urmare a măsurătorilor. Să fie, de exemplu, ca rezultat al măsurătorilor repetate ale aceleiași mărimi X valorile obtinute: 5,2; 5,3; 5,4; 5.3. În acest caz, este firesc să luăm valoarea medie ca cea mai bună aproximare a valorii măsurate x = 5.3. De asemenea, este evident că valorile limită ale cantității X in acest caz vor exista NG X = 5,2, VG X = 5.4 și limita de eroare absolută X poate fi definită ca jumătate din lungimea intervalului format de valorile limită NG X și VG X,

acestea.

Eroarea absolută nu poate aprecia pe deplin acuratețea măsurătorilor sau calculelor. Calitatea aproximării este caracterizată de valoareeroare relativă,care este definit ca raportul de eroare e x a valorifica modulul X (când este necunoscut, apoi la modulul de aproximare X ).

Eroare relativă maximă(sau limita de eroare relativa)numărul aproximativ este raportul dintre eroarea absolută maximă și valoarea absolută a aproximării X :

Eroarea relativă este de obicei exprimată ca procent.

Exemplu Să determinăm erorile maxime ale numărului x=3,14 ca valoare aproximativă a lui π. Deoarece π=3,1415926…., atunci |π-3,14|

Numere adevărate și semnificative. Înregistrarea valorilor aproximative

Se apelează cifra numărului Adevărat (în sens larg), dacă eroarea sa absolută nu depășește o cifră, încare reprezintă acest număr.

Exemplu. X=6,328 X=0,0007 X

Exemplu: A). Fie 0 = 2,91385, În număr A Numerele 2, 9, 1 sunt corecte în sens larg.

B) Luați ca aproximare a numărului = 3,141592... număr= 3.142. Apoi (Fig.) rezultă că în valoarea aproximativă = 3,142 toate numerele sunt corecte.

C) Să calculăm câtul numerelor exacte 3,2 și 2,3 pe un microcontroler de 8 biți și să obținem răspunsul: 1,3913043. Răspunsul conține o eroare deoarece

Orez. Aproximarea numărului π

Grila de cifre MK nu a găzduit toate cifrele rezultatului și toate cifrele care încep de la a opta au fost omise. (Este ușor de verificat că răspunsul este inexact verificând împărțirea prin înmulțire: 1,3913043 2,3 = 3,9999998.) Fără a ști sens adevărat eroare, calculatorul într-o astfel de situație poate fi întotdeauna sigur că valoarea sa nu depășește una dintre cele mai mici valori afișate pe indicatorul cifrei de rezultat. Prin urmare, în rezultatul obținut, toate numerele sunt corecte.

Prima cifră aruncată (incorectă) este adesea numită dubios.

Ei spun că se scrie data aproximativă Dreapta, dacă toate numerele din dosarul său sunt corecte. Dacă numărul este scris corect, atunci doar scriindu-l în formular zecimal se poate aprecia acuratețea acestui număr. Să scriem, de exemplu, numărul aproximativ a = 16.784, în care toate numerele sunt corecte. Din faptul că ultima cifră 4, care se află pe locul al miile, este corectă, rezultă că eroarea absolută a valorii A nu depășește 0,001. Aceasta înseamnă că poți accepta, de ex. a = 16,784±0,001.

Este evident că înregistrarea corectă a datelor aproximative nu numai că permite, dar și obligă să scrieți zerouri în ultimele cifre, dacă aceste zerouri sunt o expresie a numerelor corecte. De exemplu, în intrare= 109.070 Sfârșitul zero înseamnă că cifra miilor este corectă și este egală cu zero. Eroarea maximă absolută a valorii, după cum urmează din intrare, se poate lua în considerare Pentru comparație, se poate observa că valoarea c = 109.07 este mai puțin precis, deoarece din notația sa trebuie să presupunem că

Cifre semnificativeîn notația unui număr, toate cifrele din reprezentarea sa zecimală, altele decât zero, sunt numite și zerouri dacă sunt situate între cifre semnificative sau apar la sfârșit pentru a exprima semnele corecte.

Exemplu a) 0,2409 - patru cifre semnificative; b) 24,09 - patru cifre semnificative; c) 100.700 - șase cifre semnificative.

Emisiune valori numericeîntr-un computer, de regulă, este proiectat în așa fel încât zerourile de la sfârșitul înregistrării numărului, chiar dacă sunt corecte, să nu fie raportate. Aceasta înseamnă că dacă, de exemplu, computerul arată rezultatul 247.064 și, în același timp, se știe că acest rezultat trebuie să conțină opt cifre semnificative, atunci răspunsul rezultat ar trebui completat cu zerouri: 247.06400.

În timpul calculelor, se întâmplă adesearotunjirea numerelor,acestea. înlocuirea numerelor cu semnificațiile lor cu cifre mai puțin semnificative. Rotunjirea introduce o eroare numită eroare de rotunjire. Lăsa x este un număr dat și x 1 - rezultatul rotunjirii. Eroarea de rotunjire este definită ca modulul diferenței dintre valorile anterioare și noi ale numărului:

În unele cazuri, în loc de ∆ okr trebuie să folosim limita sa superioară.

Exemplu Să efectuăm acțiunea 1/6 pe un MK pe 8 biți. Indicatorul va afișa numărul 0,1666666. Fracția zecimală infinită 0,1(6) a fost rotunjită automat la numărul de cifre care se încadrează în registrul MK. În acest caz este posibil să se accepte

Se apelează cifra număruluiadevărat în sens strictdacă eroarea absolută a acestui număr nu depăşeşte jumătate de unitate din cifra în care apare această cifră.

Reguli pentru scrierea numerelor aproximative.

Numerele aproximative sunt scrise sub forma x ± x. Scriind X = x ±  x înseamnă că cantitatea necunoscută X satisface următoarele inegalități: x- x  x

În acest caz, eroarea x este recomandat să fie selectat astfel încât

a) la intrarea  x nu a fost mai mult de 1-2 cifre semnificative;

b) cifre de ordin inferior în notaţia numerelor x şi x corespundeau unul altuia.

Exemple: 23,4±0,2; 2,730±0,017; -6,97 0,10.

Un număr aproximativ poate fi scris fără a indica în mod explicit eroarea sa maximă absolută. În acest caz, notația sa (mantișă) trebuie să conțină doar cifre corecte (în sens larg, dacă nu se specifică altfel). Apoi, prin înregistrarea numărului în sine, se poate aprecia acuratețea acestuia.

Exemple. Dacă în numărul A = 5,83 toate numerele sunt corecte în sens strict, atunci A=0,005. Scrierea B=3.2 implică faptul că B=0,1. Și din notația C=3.200 putem trage concluzia că C=0,001. Astfel, intrările 3.2 și 3.200 din teoria calculelor aproximative nu înseamnă același lucru.

Se numesc numerele din înregistrarea unui număr aproximativ, despre care nu știm dacă sunt adevărate sau nuîndoielnic. Numerele îndoielnice (unul sau două) sunt lăsate în evidența numerelor rezultatelor intermediare pentru a menține acuratețea calculelor. În rezultatul final, numerele dubioase sunt eliminate.

Rotunjirea numerelor.

Regula de rotunjire. Dacă cea mai semnificativă dintre cifrele aruncate conține o cifră mai mică de cinci, atunci conținutul cifrelor stocate ale numărului nu se modifică. În caz contrar, unul cu același semn ca și numărul însuși este adăugat la cifra stocată cel mai puțin semnificativă.
La rotunjirea unui număr scris sub forma x± x, eroarea sa absolută maximă crește ținând cont de eroarea de rotunjire.

Exemplu: Să rotunjim numărul 4,5371±0,0482 la cea mai apropiată sutime. Ar fi incorect să scrieți 4,54±0,05, deoarece eroarea numărului rotunjit este suma erorii numărului inițial și a erorii de rotunjire. În acest caz, este egal cu 0,0482 + 0,0029 = 0,0511. Erorile trebuie rotunjite întotdeauna, astfel încât răspunsul final este 4,54±0,06.

Exemplu Let in valoare aproximativă a = 16.395 Toate cifrele sunt corecte în sens larg. Să o rotunjim iar la sutimi: a 1 = 16,40. Eroare de rotunjire Pentru a afla eroarea totală,trebuie adăugate cu eroarea valorii inițiale a 1 care în acest caz poate fi găsit din condiţia ca toate numerele din înregistrare A corect: = 0,001. Prin urmare, . Rezultă că în valoarea a 1 = 16,40 numărul 0 nu este corect în sens strict.

Calculul erorilor operațiilor aritmetice

1. Adunare si scadere. Eroarea maximă absolută a unei sume algebrice este suma erorilor corespunzătoare ale termenilor:

F.1  (X+Y) =  X +  Y ,  (X-Y) =  X +  Y .

Exemplu. Sunt date numerele aproximative X = 34,38 și Y = 15,23, toate numerele sunt corecte în sens strict. Găsi (X-Y) și  (X Y). Folosind formula F.1 obținem:

 (X-Y) = 0,005 + 0,005 = 0,01.

Obținem eroarea relativă folosind formula de conectare:

2. Înmulțirea și împărțirea. Dacă  X Y

F.2  (X · Y) =  (X/Y) =  X +  Y.

Exemplu. Găsiți  (X Y) și  (X·Y) pentru numerele din exemplul anterior. În primul rând, folosind formula F.2, găsim (X Y):

 (X Y)=  X +  Y=0,00015+0,00033=0,00048

Acum  (X·Y) va fi găsit folosind formula de conectare:

 (X·Y) = |X·Y|·  (X Y) = |34,38 -15,23|0,00048 0,26 .

3. Exponențierea și extracția rădăcinilor. Dacă  X

F.Z

4. Funcția unei variabile.

Fie o funcție analitică f(x) și un număr aproximativ c ± Cu. Apoi, notând prin mic increment al argumentului, puteți scrie

Dacă f „(c)  0, apoi incrementul funcției f(c+ ) - f(c) poate fi estimată prin diferența sa:

f(c+  ) - f(c)  f "(c) ·  .

Dacă eroarea c este suficient de mic, în final obținem următoarea formulă:

F.4  f(c) = |f „(s)|·  s.

Exemplu. Având în vedere f(x) = arcsin x, c = 0,5, c = 0,05. calculati f(c).

Să aplicăm formula F.4:

etc.

5. Funcția mai multor variabile.

Pentru o funcție de mai multe variabile f(x1, ... , xn) cu xk= ck ± ck, o formulă similară cu F.4 este valabilă:

Ф.5  f(c1, ... ,сn)  l df(c1, ... ,сn) | = |f "x1 (c1)|· с1+... + |f "xn (сn)|·  сn.

Exemplu Fie x = 1,5, și i.e. toate cifrele în număr X adevărat în sens strict. Să calculăm valoarea lui tg X . Folosind MK obținem: tgl,5= 14,10141994. Pentru a determina numerele corecte din rezultat, vom estima eroarea lui absolută: rezultă că în valoarea rezultată a lui tgl,5 nici un număr nu poate fi considerat corect.

Metode de estimare a erorii de calcule aproximative

Există metode stricte și neriguroase pentru evaluarea acurateței rezultatelor calculelor.

1. Metodă riguroasă de evaluare sumativă. Dacă calculele aproximative sunt efectuate folosind o formulă relativ simplă, atunci folosind formulele F.1-F.5 și formulele de corelare a erorilor, poate fi derivată formula pentru eroarea finală de calcul. Derivarea formulei și estimarea erorii de calcul folosind aceasta constituie esența acestei metode.

Exemplu de valori a = 23,1 și b = 5,24 sunt date în numere care sunt corecte în sens strict. Calculați valoarea unei expresii

Folosind MK obținem B = 0,2921247. Folosind formulele pentru erorile relative ale coeficientului și produsului, scriem:

Acestea.

Folosind MK, obținem 5, ceea ce dă. Aceasta înseamnă că, în consecință, cele două cifre de după virgulă sunt corecte în sens strict: B = 0,29 ± 0,001.

2. Metodă de contabilizare operațională strictă a erorilor. Uneori, încercarea de a utiliza metoda de evaluare sumativă are ca rezultat o formulă prea greoaie. În acest caz, poate fi mai potrivit să folosiți această metodă. Constă în faptul că acuratețea fiecărei operațiuni de calcul este evaluată separat folosind aceleași formule F.1-F.5 și formule de conexiune.

3. Metoda de numărare a numerelor corecte. Aceasta metoda se referă la non-strict. Estimarea preciziei de calcul pe care o oferă nu este garantată în principiu (spre deosebire de metodele riguroase), dar este destul de fiabilă în practică. Esența metodei este că după fiecare operație de calcul, numărul de cifre corecte din numărul rezultat este determinat folosind următoarele reguli.

P.1 . Când se adună și se scad numere aproximative, numerele rezultate trebuie considerate corecte dacă zecimale corespund numerelor corecte în toți termenii. Cifrele tuturor celorlalte cifre, cu excepția celei mai semnificative, trebuie rotunjite în toți termenii înainte de a adăuga sau scădea.

P.2. La înmulțirea și împărțirea numerelor aproximative, rezultatul ar trebui să fie considerat corect atâtea cifre semnificative cât au datele aproximative cu cel mai mic număr de cifre semnificative corecte. Înainte de a efectua acești pași, trebuie să selectați numărul cu cele mai puține cifre semnificative din datele aproximative și să rotunjiți numerele rămase, astfel încât acestea să aibă o singură cifră semnificativă mai mult decât aceasta.

P.Z. La pătrat sau cub, precum și la extragerea unei rădăcini pătrate sau cubice, rezultatul ar trebui considerat corect atâtea cifre semnificative câte cifre semnificative corecte au fost în numărul original.

P.4. Numărul de cifre corecte ca rezultat al calculării unei funcții depinde de mărimea modulului derivat și de numărul de cifre corecte din argument. Dacă modulul derivatei este aproape de numărul 10k (k este un număr întreg), atunci, ca rezultat, numărul de cifre corecte în raport cu virgulă zecimală este k mai mic (dacă k este negativ, atunci mai mult) decât au existat în argument. In acest munca de laborator pentru certitudine, acceptăm acordul de a considera modulul derivatei ca fiind aproape de 10k dacă inegalitatea este valabilă:

0,2·10K  2·10k .

P.5. ÎN rezultate intermediare Pe lângă numerele corecte, trebuie lăsată o cifră îndoielnică (cifrele îndoielnice rămase pot fi rotunjite) pentru a menține acuratețea calculelor. În rezultatul final rămân doar numerele corecte.

Calcule folosind metoda limitei

Dacă trebuie să aveți limite absolut garantate ale valorilor posibile ale unei valori calculate, utilizați o metodă specială de calcul - metoda limitelor.

Fie f(x, y) - funcțională, continuă și monotonă într-o regiune valori acceptabile argumente x și y. Trebuie să-i obținem valoarea f(a, b), unde a și b sunt valorile aproximative ale argumentelor și se știe cu încredere că

NG a A A ; NG b VG b.

Aici NG, VG sunt desemnările limitelor inferioare și, respectiv, superioare ale valorilor parametrilor. Deci întrebarea este să găsim limite stricte ale valorii f(a, b), la limitele de valori cunoscute a și b.

Să presupunem că funcția f(x, y) crește pentru fiecare argument x și y. Apoi

f (NG a, NG b f(a, b) f (VG a VG b).

Fie f(x, y) crește în argumentare X şi scade în raport cu argumentul la . Atunci inegalitatea va fi strict garantată

Dacă se știe că a< А, то а называют o valoare aproximativă a lui A cu un dezavantaj. Dacă a > A, atunci se numește a valoarea aproximativă a lui A cu exces.

Se numește diferența dintre valorile exacte și cele aproximative ale unei cantități eroare de aproximare si este notat cu D, i.e.

D = A – a (1)

Eroarea de aproximare D poate fi un număr pozitiv sau negativ.

Pentru a caracteriza diferența dintre o valoare aproximativă a unei cantități și una exactă, este adesea suficient să se indice valoarea absolută a diferenței dintre valorile exacte și cele aproximative.

Valoare absolută diferenţe între aproximative A si precise A se numesc valorile unui număr eroare (eroare) absolută de aproximareși notat cu D A:

D A = ½ A – A½ (2)

Exemplul 1. La măsurarea unui segment l a folosit o riglă, a cărei diviziune la scară este de 0,5 cm. Am obținut o valoare aproximativă a lungimii segmentului A= 204 cm.

Este clar că în timpul măsurării ar fi putut exista o eroare de cel mult 0,5 cm, adică. Eroarea de măsurare absolută nu depășește 0,5 cm.

De obicei, eroarea absolută este necunoscută, deoarece valoarea exactă a numărului A este necunoscută. Prin urmare, orice evaluare eroare absolută:

D A <= DA inainte de. (3)

unde D si inainte. – eroare maximă (număr, Mai mult zero), dat ținând cont de fiabilitatea cu care este cunoscut numărul a.

Eroarea maximă absolută este de asemenea numită marja de eroare. Deci, în exemplul dat,
D si inainte. = 0,5 cm.

Din (3) obținem:

D A = ½ A – A½<= DA inainte de. .

A–D A inainte de. ≤ A≤ A+D A inainte de. . (4)

anunț A inainte de. va fi o valoare aproximativă A cu un dezavantaj

a + D A inainte de – valoare aproximativă A in abundenta. Se folosește și notația scurtă:

A= A±D A inainte de (5)

Din definiția erorii absolute maxime rezultă că numerele D A inainte de, satisfacand inegalitatea (3), va exista o multime infinita. În practică, ei încearcă să aleagă eventual mai putin din numerele D si inainte, satisfacerea inegalității D A <= DA inainte de.

Exemplul 2. Să determinăm eroarea absolută maximă a numărului a=3,14, luată ca valoare aproximativă a numărului π.

Se știe că 3,14<π<3,15. Rezultă că

|A – π |< 0,01.

Eroarea maximă absolută poate fi luată ca număr D A = 0,01.

Dacă luăm în calcul că 3,14<π<3,142 , atunci obținem o evaluare mai bună: D A= 0,002, atunci π ≈3,14 ±0,002.

4. Eroare relativă (eroare). Cunoașterea numai a erorii absolute nu este suficientă pentru a caracteriza calitatea măsurării.

Să fie, de exemplu, când cântărim două corpuri se obțin următoarele rezultate:

P1 = 240,3 ±0,1 g.

P2 = 3,8 ±0,1 g.

Deși erorile absolute de măsurare ale ambelor rezultate sunt aceleași, calitatea măsurării în primul caz va fi mai bună decât în al doilea. Se caracterizează prin eroare relativă.

Eroare relativă (eroare) număr care se apropie A numită raportul de eroare absolută D a apropiindu-se de valoarea absolută a numărului A:

Deoarece valoarea exactă a unei cantități este de obicei necunoscută, aceasta este înlocuită cu o valoare aproximativă și apoi:

(7)

Eroare relativă maximă sau limita erorii relative de aproximare, se numeste numarul d si inainte>0, astfel încât:

d A<= d si inainte(8)

Eroarea relativă maximă poate fi luată în mod evident ca raportul dintre eroarea maximă absolută și valoarea absolută a valorii aproximative:

(9)

Din (9) se obține cu ușurință următoarea relație importantă:

∆si inainte = |A| d si inainte(10)

Eroarea relativă maximă este de obicei exprimată ca procent:

Exemplu. Se presupune că baza logaritmilor naturali pentru calcul este egală cu e=2,72. Am luat drept valoare exactă e t = 2,7183. Aflați erorile absolute și relative ale numărului aproximativ.

D e = ½ e – e t ½=0,0017;

Mărimea erorii relative rămâne neschimbată cu o modificare proporțională a numărului cel mai aproximativ și a erorii sale absolute. Astfel, pentru numărul 634,7, calculat cu o eroare absolută de D = 1,3, și pentru numărul 6347 cu o eroare de D = 13, erorile relative sunt aceleași: d= 0,2.

Mărimea erorii relative poate fi estimată aproximativ după număr semnificanti adevarati cifre ale numerelor.

Într-o mare varietate de cercetări teoretice și aplicate, metodele de modelare matematică sunt utilizate pe scară largă, care reduc rezolvarea problemelor dintr-un anumit domeniu de cercetare la rezolvarea problemelor matematice care sunt adecvate (sau aproximativ adecvate). Este necesar să se aducă rezolvarea acestor probleme pentru a obține un rezultat numeric (calcul diferitelor tipuri de mărimi, rezolvarea diverselor tipuri de ecuații etc.). Scopul matematicii computaționale este de a dezvolta algoritmi pentru rezolvarea numerică a unei game largi de probleme matematice. Metodele trebuie concepute astfel încât să poată fi implementate eficient folosind tehnologia de calcul modernă. De regulă, problemele luate în considerare nu permit o soluție exactă, așa că vorbim despre dezvoltarea unor algoritmi care oferă o soluție aproximativă. Pentru a putea înlocui o soluție exactă necunoscută a unei probleme cu una aproximativă, este necesar ca aceasta din urmă să fie suficient de apropiată de cea exactă. În acest sens, este nevoie să se evalueze proximitatea soluției aproximative față de cea exactă și să se dezvolte metode aproximative de construire a soluțiilor aproximative cât se dorește de cele exacte.

Schematic, procesul de calcul este următorul: pentru o valoare dată X(numerice, vectoriale etc.) calculați valoarea unei funcții Topor). Se numește diferența dintre valorile exacte și cele aproximative ale unei cantități eroare. Calcul precis al valorii Topor) de obicei imposibil și vă obligă să înlocuiți funcția (operația) A reprezentarea ei aproximativă Ã , care poate fi calculată: calculul cantității Topor), se înlocuiește cu calculul - Topor) A(x) - Ã(x) numit eroare de metodă. O metodă de estimare a acestei erori trebuie elaborată împreună cu dezvoltarea unei metode de calcul a valorii Topor). Dintre metodele posibile pentru construirea unei aproximări, ar trebui să utilizați cea care, având în vedere mijloacele și capacitățile disponibile, dă cea mai mică eroare.

Valoarea valorii X, adică datele inițiale, în probleme reale se obțin fie direct din măsurători, fie ca urmare a etapei anterioare de calcule. În aceste cazuri, se determină doar o valoare aproximativă xo cantități X. Prin urmare, în loc de valoare Topor) se poate calcula doar o valoare aproximativă Ã(x o). Eroarea rezultată A(x) - Ã(x o) numit ireparabil. Ca urmare a rotunjirilor inevitabile în timpul calculelor, în locul valorii Ã(x o) este calculată valoarea sa „rotunjită”, ceea ce duce la apariția erori de rotunjire Ã(x o)- . Eroarea totală de calcul se dovedește a fi egală cu Topor) - .

Să reprezentăm eroarea totală în formă

Topor) - = [A(x) - ] + [ - Ã(x o)] +

+ [Ã(x o) - ] (1)

Ultima egalitate arată că eroarea totală de calcul este egală cu suma erorii de metodă, a erorii fatale și a erorii de rotunjire. Primele două componente ale erorii pot fi estimate înainte de a începe calculele. Eroarea de rotunjire este evaluată numai în timpul calculelor.

Să luăm în considerare următoarele sarcini:

a) caracteristică preciziei numerelor aproximative

b) evaluarea acurateței rezultatului având în vedere acuratețea cunoscută a datelor inițiale (estimarea erorii fatale)

c) determinarea acurateței necesare a datelor sursă pentru a asigura acuratețea specificată a rezultatului

d) potrivirea acurateței datelor sursă și a calculelor cu capacitățile instrumentelor de calcul disponibile.

4 Erori de măsurare

4.1 Valorile reale și reale ale mărimilor fizice. Eroare de măsurare. Cauzele erorilor de măsurare

Când se analizează măsurători, trebuie să se distingă clar două concepte: adevăratele valori ale mărimilor fizice și manifestările empirice ale acestora - rezultatele măsurătorilor.

Valori adevărate ale mărimilor fizice - acestea sunt valori care reflectă în mod ideal proprietățile unui obiect dat, atât cantitativ, cât și calitativ. Ele nu depind de mijloacele de măsurare și sunt adevărul absolut la care se străduiesc atunci când fac măsurători.

Dimpotrivă, rezultatele măsurătorilor sunt produse ale cunoașterii. Reprezentând estimări aproximative ale valorilor cantităților găsite în urma măsurătorilor, acestea depind de metoda de măsurare, instrumentele de măsurare și alți factori.

Eroare de măsurare diferența dintre rezultatul măsurării x și valoarea adevărată Q a mărimii măsurate se numește:

Δ= x – Q (4.1)

Dar, deoarece valoarea adevărată Q a mărimii măsurate este necunoscută, pentru a determina eroarea de măsurare, așa-numita valoare reală este înlocuită în formula (4.1) în locul valorii adevărate.

Sub valoarea reală a mărimii măsurate sensul său este înțeles ca fiind unul găsit experimental și atât de apropiat de valoarea adevărată încât pentru un scop dat poate fi folosit în schimb.

Cauzele erorilor sunt: imperfecțiunea metodelor de măsurare, a instrumentelor de măsură și a simțurilor observatorului. Motivele legate de influența condițiilor de măsurare ar trebui combinate într-un grup separat. Acestea din urmă se manifestă în două moduri. Pe de o parte, toate mărimile fizice care joacă vreun rol în măsurători depind una de alta într-o măsură sau alta. Prin urmare, odată cu modificările condițiilor externe, valorile adevărate ale mărimilor măsurate se modifică. Pe de altă parte, condițiile de măsurare influențează atât caracteristicile instrumentelor de măsură, cât și proprietățile fiziologice ale organelor de simț ale observatorului și, prin acestea, devin o sursă de erori de măsurare.

4.2 Clasificarea erorilor de măsurare în funcție de natura modificării acestora

Cauzele descrise ale erorilor sunt o combinație a unui număr mare de factori, sub influența cărora se formează eroarea totală de măsurare. Ele pot fi combinate în două grupuri principale.

Prima grupă include factori care apar neregulat și dispar pe neașteptate sau apar cu o intensitate greu de prezis. Acestea includ, de exemplu, mici fluctuații ale cantităților de influență (temperatura, presiunea ambientală etc.). Ponderea sau componenta erorii totale de măsurare care apare sub influența factorilor acestui grup determină eroarea de măsurare aleatorie.

Prin urmare, eroare aleatorie de măsurare - componentă a erorii de măsurare care se modifică aleatoriu în timpul măsurătorilor repetate ale aceleiași mărimi.

La crearea instrumentelor de măsurare și la organizarea procesului de măsurare în ansamblu, intensitatea manifestării factorilor care determină eroarea de măsurare aleatorie poate fi redusă la un nivel general, astfel încât toți să influențeze mai mult sau mai puțin egal asupra formării aleatoriei. eroare. Cu toate acestea, unele dintre ele, de exemplu, o scădere bruscă a tensiunii în rețeaua de alimentare cu energie, pot părea neașteptat de puternice, drept urmare eroarea va lua dimensiuni care depășesc în mod clar limitele determinate de cursul experimentului de măsurare. . Astfel de erori în cadrul erorii aleatoare sunt numite nepoliticos . În apropierea lor dor - erori care depind de observator și sunt asociate cu manipularea necorespunzătoare a instrumentelor de măsurare, citiri incorecte sau erori în înregistrarea rezultatelor.

Al doilea grup include factori care sunt constanți sau se modifică în mod natural în timpul experimentului de măsurare, de exemplu, schimbări netede ale cantităților de influență. Componenta erorii totale de măsurare care apare sub influența factorilor acestui grup determină eroarea sistematică de măsurare.

Prin urmare, eroare sistematică de măsurare - o componentă a erorii de măsurare care rămâne constantă sau se modifică în mod natural cu măsurători repetate ale aceleiași mărimi.

În timpul procesului de măsurare, componentele de eroare descrise apar simultan, iar eroarea totală poate fi reprezentată ca o sumă

, (4.2)

Unde - aleatoriu, iar Δ s - erori sistematice.

Pentru a obține rezultate care diferă minim de valorile adevărate ale cantităților, se efectuează observații multiple ale mărimii măsurate, urmate de prelucrarea datelor experimentale. Prin urmare, este de mare importanță să studiem eroarea în funcție de numărul de observație, adică. timpul A(t). Apoi, valorile individuale de eroare pot fi interpretate ca un set de valori ale acestei funcții:

A1 = A(t1), A2 = A(t2),..., An = A(t n).

În cazul general, eroarea este o funcție aleatoare a timpului, care diferă de funcțiile clasice ale analizei matematice prin faptul că nu se poate spune ce valoare va lua la momentul t i. Puteți indica doar probabilitatea apariției valorilor sale într-un anumit interval. Într-o serie de experimente constând dintr-un număr de observații repetate, obținem o implementare a acestei funcții. La repetarea seriei cu aceleași valori ale cantităților care caracterizează factorii din a doua grupă, obținem inevitabil o nouă implementare care diferă de prima. Realizările diferă unele de altele datorită influenței factorilor din primul grup, iar factorii din a doua grupă, care se manifestă în mod egal în fiecare realizare, le conferă unele trăsături comune (Figura 4.1).

Eroarea de măsurare corespunzătoare fiecărui moment de timp t i se numește secțiunea transversală a funcției aleatoare Δ(t). În fiecare secțiune, puteți găsi valoarea medie a erorii Δ s (t i), în jurul căreia sunt grupate erorile din diverse implementări. Dacă se trasează o curbă netedă prin punctele Δ s (t i) obținute în acest fel, atunci ea va caracteriza tendința generală a modificărilor erorii în timp. Este ușor de observat că valorile medii ale lui Δ s (tj) sunt determinate de acțiunea factorilor din al doilea grup și reprezintă o eroare sistematică de măsurare la momentul t i și abaterile lui Δ j (t j) de la valoarea medie în secțiunea transversală ti, corespunzătoare implementării j-a, dați valoarea unei erori aleatorii. Astfel, egalitatea este valabilă

(4.3)

Figura 4.1

Să presupunem că Δ s (t i) = 0, adică. erorile sistematice sunt excluse într-un fel sau altul din rezultatele observației și vom lua în considerare numai erori aleatorii, ale căror valori medii sunt egale cu zero în fiecare secțiune. Să presupunem că erorile aleatoare din diferite secțiuni nu depind unele de altele, adică. cunoașterea erorii aleatoare dintr-o secțiune nu ne oferă nicio informație suplimentară despre valoarea luată de această realizare în nicio secțiune și că toate caracteristicile teoretice probabilistice ale erorilor aleatoare, care sunt valorile unei realizări în toate secțiunile , coincid unul cu celălalt. Apoi, eroarea aleatorie poate fi considerată ca o variabilă aleatorie, iar valorile sale pentru fiecare dintre observațiile multiple ale aceleiași mărimi fizice pot fi considerate rezultate ale observațiilor independente ale acesteia.

În astfel de condiții, eroarea de măsurare aleatorie este definită ca diferența dintre rezultatul de măsurare corectat XI (un rezultat care nu conține o eroare sistematică) și valoarea adevărată Q a mărimii măsurate:

Δ = X ȘI –Q 4.4)

Mai mult, rezultatul corectat al măsurătorii va fi din care vor fi excluse erorile sistematice.

Astfel de date se obțin de obicei la verificarea instrumentelor de măsură prin măsurarea cantităților cunoscute anterior. Atunci când se efectuează măsurători, scopul este de a estima valoarea adevărată a mărimii măsurate, care este necunoscută înainte de experiment. Pe lângă valoarea adevărată, rezultatul măsurării include și o eroare aleatorie, prin urmare, este în sine o variabilă aleatoare. În aceste condiții, valoarea reală a erorii aleatorii obținute în timpul verificării nu caracterizează încă acuratețea măsurătorilor, deci nu este clar ce valoare să ia ca rezultat final al măsurării și cum să se caracterizeze acuratețea acesteia.

Răspunsul la aceste întrebări poate fi obținut prin utilizarea metodelor de statistică matematică care se ocupă în mod specific de variabile aleatorii atunci când procesează rezultatele observaționale.

4.3 Clasificarea erorilor de măsurare în funcție de motivele apariției lor

În funcție de motivele apariției lor, se disting următoarele grupe de erori: metodologice, instrumentale, externe și subiective.

În multe metode de măsurare este posibil să se detecteze eroare metodologica , care este o consecință a anumitor presupuneri și simplificări, a utilizării formulelor empirice și a dependențelor funcționale. În unele cazuri, impactul unor astfel de ipoteze se dovedește a fi nesemnificativ, adică. mult mai puțin decât erorile de măsurare admise; în alte cazuri depăşeşte aceste erori.

Un exemplu de erori metodologice sunt erorile în metoda de măsurare a rezistenței electrice folosind un ampermetru și un voltmetru (Figura 4.2). Dacă rezistența R x este determinată de formula legii lui Ohm R x =U v /I a, unde U v este căderea de tensiune măsurată de un voltmetru V; I a este puterea curentului măsurată cu ampermetrul A, atunci în ambele cazuri vor fi permise erori metodologice de măsurare.

În figura 4.2a, curentul I a, măsurat cu un ampermetru, va fi mai mare decât curentul în rezistența R x cu valoarea curentului I v într-un voltmetru conectat în paralel cu rezistența. Rezistența R x calculată folosind formula de mai sus va fi mai mică decât cea reală. În figura 4.2.6, tensiunea măsurată de voltmetrul V va fi mai mare decât căderea de tensiune U r în rezistența R x cu valoarea U a (căderea de tensiune pe rezistența ampermetrului A). Rezistența calculată folosind formula legii lui Ohm va fi mai mare decât rezistența R x cu valoarea R a (rezistența ampermetrului). Corecțiile în ambele cazuri pot fi calculate cu ușurință dacă cunoașteți rezistența voltmetrului și a ampermetrului. Nu este necesar să se facă corecții dacă sunt semnificativ mai mici decât eroarea admisă în măsurarea rezistenței R x, de exemplu, dacă în primul caz rezistența voltmetrului este semnificativ b

Mai mare decât R x, iar în al doilea caz, Ra este semnificativ mai mic decât R x.

Figura 4.2

Un alt exemplu de apariție a unei erori metodologice este măsurarea volumului corpurilor, a cărui formă se presupune că este corectă din punct de vedere geometric, prin măsurarea dimensiunilor într-unul sau într-un număr insuficient de locuri, de exemplu, măsurarea volumului de o cameră măsurând lungimea, lățimea și înălțimea în doar trei direcții. Pentru a determina cu exactitate volumul, ar fi necesar să se determine lungimea și lățimea camerei de-a lungul fiecărui perete, în partea de sus și de jos, să se măsoare înălțimea la colțuri și la mijloc și, în final, colțurile dintre pereți. Acest exemplu ilustrează posibilitatea ca o eroare metodologică semnificativă să apară atunci când metoda este simplificată în mod nejustificat.

De regulă, eroarea metodologică este o eroare sistematică.

Eroare instrumentală - aceasta este o componentă a erorii din cauza imperfecțiunii instrumentelor de măsură. Un exemplu clasic al unei astfel de erori este eroarea unui instrument de măsurare cauzată de calibrarea inexactă a scalei sale. Este foarte important să se facă distincția clară între erorile de măsurare și erorile instrumentale. Imperfecțiunea instrumentelor de măsură este doar una dintre sursele de eroare de măsurare și determină doar una dintre componentele sale - eroarea instrumentală. La rândul său, eroarea instrumentală este totală, ale cărei componente - erori ale unităților funcționale - pot fi atât sistematice, cât și aleatorii.

Eroare externă - componentă a erorii de măsurare cauzată de abaterea uneia sau mai multor mărimi de influență de la valorile normale sau de ieșirea acestora dincolo de intervalul normal (de exemplu, influența temperaturii, câmpurile electrice și magnetice externe, influențele mecanice etc.). De regulă, erorile externe sunt determinate de erori suplimentare ale instrumentelor de măsurare utilizate și sunt sistematice. Cu toate acestea, dacă cantitățile care influențează sunt instabile, ele pot deveni aleatorii.

Eroare subiectivă (personală). este determinată de caracteristicile individuale ale experimentatorului și poate fi fie sistematică, fie aleatorie. Atunci când se utilizează instrumente de măsurare digitale moderne, eroarea subiectivă poate fi neglijată. Cu toate acestea, atunci când se efectuează citiri de la instrumente indicator, astfel de erori pot fi semnificative din cauza citirii incorecte a zecimilor de diviziune a scării, asimetriei care apare atunci când se stabilește o cursă la mijloc între două semne etc. De exemplu, erorile pe care le face un experimentator când estimează zecimi dintr-o diviziune a unei scale de instrument pot ajunge la 0,1 diviziune. Aceste erori se manifestă prin faptul că, pentru diferite zecimi de diviziune, diferiți experimentatori sunt caracterizați prin frecvențe diferite de estimări, iar fiecare experimentator își menține distribuția caracteristică pentru o lungă perioadă de timp. Astfel, un experimentator referă de cele mai multe ori citirile la liniile care formează marginile diviziunii și la valoarea de 0,5 diviziuni. Celălalt este la valorile de 0,4 și 0,6 diviziuni. Al treilea preferă valorile de 0,2 și 0,8 diviziuni etc. În general, ținând cont de un experimentator aleatoriu, distribuția erorilor în numărarea zecimilor dintr-o diviziune poate fi considerată uniformă cu limite de ±0,1 diviziuni.

4.4 Forme pentru reprezentarea erorii de măsurare. Precizia măsurătorilor

Eroarea de măsurare poate fi reprezentată sub formă absolut eroare exprimată în unități ale valorii măsurate și determinată prin formula (4.1), sau relativ eroare, definită ca raportul dintre eroarea absolută și valoarea adevărată a mărimii măsurate:

5 = Δ/Q. (4,5)

În cazul exprimării erorii aleatoare ca procent, raportul Δ/Q se înmulțește cu 100%. În plus, în formula (4.5) este permisă utilizarea rezultatului măsurării x în locul valorii adevărate a lui Q.

Conceptul este, de asemenea, utilizat pe scară largă acuratețea măsurătorilor − o caracteristică care reflectă apropierea rezultatelor acestora de valoarea reală a valorii măsurate. Cu alte cuvinte, precizia ridicată corespunde unor mici erori de măsurare. Prin urmare, precizia măsurării poate fi evaluată cantitativ prin reciproca modulului erorii relative.

3.2. Rotunjire

O sursă pentru obținerea numerelor aproximative este O rotunjire. Atât numerele exacte, cât și cele aproximative sunt rotunjite.

Rotunjire a unui număr dat la o anumită cifră se numește înlocuirea acestuia cu un număr nou, care se obține din cel dat prin aruncarea toate numerele lui notate La dreapta cifrele acestei cifre sau prin înlocuirea acesteia cu zerouri. Aceste zerouri de obicei subliniați sau scrieți-le mai mic. Pentru a asigura cea mai apropiată apropiere a numărului rotunjit de cel rotunjit, ar trebui să utilizați următoarele reguli:

Pentru a rotunji un număr la una dintr-o anumită cifră, trebuie să aruncați toate cifrele după cifra acestei cifre și să le înlocuiți cu zerouri în întregul număr. Sunt luate în considerare următoarele:

1 ) dacă prima (stânga) dintre cifrele aruncate mai putin de 5, atunci ultima cifră rămasă nu este modificată (rotunjind cu dezavantaj);

2 ) dacă prima cifră trebuie eliminată mai mare de 5 sau egal cu 5, apoi ultima cifră rămasă este mărită cu unu (rotunjind cu exces).*

De exemplu:

Rundă:Raspunsuri:

A) la zecimi 12,34; 12,34 ≈ 12,3;

b) la sutimile 3,2465; 1038,785; 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

V) la miimi 3,4335; 3,4335 ≈ 3,434;

G) până la mii 12.375, 320.729. 12.375 ≈ 12 000 ; 320 729 ≈ 321 000.

(* În urmă cu câțiva ani, în cazul aruncării unei singure cifre 5 savurat „regula numărului par”: ultima cifră a fost lăsată neschimbată dacă era par și mărită cu unu dacă era impar. Acum, „regulile cifrelor pare” Nu respectați: dacă o cifră este aruncată 5 , apoi se adaugă una la ultima cifră rămasă, indiferent dacă este pară sau impară).

3.3. Eroarea absolută și relativă a valorilor aproximative

(* Absolut Eroarea poate fi atât pozitivă, cât și negativă. De exemplu,1,68 ≈ 1,7 . Eroarea absolută este 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 .Limite eroarea este întotdeauna pozitivă).

Eroare absolută de limită a numărului aproximativ " A » este indicat prin simbol Δ A . Record

X ≈ a (Δa)

trebuie înțeles astfel: valoarea exactă a cantității X este între numere A +Δ A Și A –Δ A, care sunt numite în consecință fundȘi Limita superioarăX si denota N G X Și ÎN G X .

De exemplu, Dacă X ≈ 2,3 ( 0,1), Acea 2,2 < X < 2,4 .

Dimpotrivă, dacă 7,3 < X < 7,4 , Acea X ≈ 7,35 ( 0,05).

Eroare relativă se numește raportul dintre eroarea absolută și valoarea numărului aproximativ. Se numește raportul dintre eroarea absolută limită și numărul aproximativ eroare relativă limită; denotă-l astfel: Δ a/a . Erorile relative și marginale relative sunt de obicei exprimate ca în procente.

De exemplu, dacă măsurătorile arată că distanța dintre două puncte este mai mare 12,3 km, dar mai puțin 12,7 km, apoi pentru aproximativ sensul lui este acceptat in medie aceste două numere, adică al lor jumătate din sumă, Apoi limite eroarea absolută este jumătăți de diferențe aceste numere. În acest caz X ≈ 12,5 ( 0,2). Aici este limita absolut eroarea este egală cu 0,2 km, și granița relativ:

Erori absolute și relative

Eroare absolută de măsurare este o mărime determinată de diferența dintre rezultatul măsurării Xși valoarea adevărată a mărimii măsurate X 0:

Δ X = |X – X 0 |.

Valoarea δ, egală cu raportul dintre eroarea absolută de măsurare și rezultatul măsurării, se numește eroare relativă:

Exemplul 2.1. Valoarea aproximativă a lui π este 3,14. Atunci eroarea sa este 0.00159... . Eroarea absolută poate fi considerată egală cu 0,0016, iar eroarea relativă egală cu 0,0016 / 3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Cifre semnificative. Dacă eroarea absolută a valorii a nu depășește o unitate de loc a ultimei cifre a numărului a, atunci se spune că numărul are toate semnele corecte. Numerele aproximative trebuie notate, păstrând doar semnele corecte. Dacă, de exemplu, eroarea absolută a numărului 52.400 este 100, atunci acest număr ar trebui scris, de exemplu, sub forma 524 · 10 2 sau 0,524 · 10 5. Puteți estima eroarea unui număr aproximativ indicând cum multe cifre semnificative corecte pe care le conține. Când se numără cifrele semnificative, zerourile din partea stângă a numărului nu sunt numărate.

De exemplu, numărul 0,0283 are trei cifre semnificative valide, iar 2,5400 are cinci cifre semnificative valide.

Reguli pentru rotunjirea numerelor. Dacă numărul aproximativ conține cifre suplimentare (sau incorecte), atunci ar trebui să fie rotunjit. La rotunjire, apare o eroare suplimentară care nu depășește jumătate de unitate din locul ultimei cifre semnificative ( d) număr rotunjit. La rotunjire, sunt reținute doar cifrele corecte; caracterele suplimentare sunt eliminate, iar dacă prima cifră eliminată este mai mare sau egală cu d/2, apoi ultima cifră stocată este mărită cu unu.

Cifrele suplimentare în numere întregi sunt înlocuite cu zerouri, iar în zecimale sunt aruncate (la fel ca și zerourile suplimentare). De exemplu, dacă eroarea de măsurare este de 0,001 mm, atunci rezultatul 1,07005 este rotunjit la 1,070. Dacă prima dintre cifrele modificate cu zerouri și aruncată este mai mică de 5, cifrele rămase nu sunt modificate. De exemplu, numărul 148.935 cu o precizie de măsurare de 50 are o valoare de rotunjire de 148.900. Dacă prima dintre cifrele înlocuite cu zerouri sau aruncată este 5 și nu există cifre sau zerouri după el, atunci este rotunjit la cea mai apropiată. număr par. De exemplu, numărul 123,50 este rotunjit la 124. Dacă prima cifră zero sau scădere este mai mare de 5 sau egală cu 5, dar este urmată de o cifră semnificativă, atunci ultima cifră rămasă este incrementată cu unu. De exemplu, numărul 6783.6 este rotunjit la 6784.

Exemplul 2.2. La rotunjirea de la 1284 la 1300, eroarea absolută este 1300 – 1284 = 16, iar la rotunjirea la 1280, eroarea absolută este 1280 – 1284 = 4.

Exemplul 2.3. La rotunjirea numărului de la 197 la 200, eroarea absolută este 200 – 197 = 3. Eroarea relativă este 3/197 ≈ 0,01523 sau aproximativ 3/200 ≈ 1,5%.

Exemplul 2.4. Un vânzător cântărește un pepene verde pe o cântar. Cea mai mică greutate din set este de 50 g. Cântărirea a dat 3600 g. Acest număr este aproximativ. Greutatea exactă a pepenelor este necunoscută. Dar eroarea absolută nu depășește 50 g. Eroarea relativă nu depășește 50/3600 = 1,4%.

Erori la rezolvarea problemei pe PC

Trei tipuri de erori sunt de obicei considerate ca fiind principalele surse de eroare. Acestea se numesc erori de trunchiere, erori de rotunjire și erori de propagare. De exemplu, atunci când se utilizează metode iterative pentru căutarea rădăcinilor ecuațiilor neliniare, rezultatele sunt aproximative, spre deosebire de metodele directe care oferă o soluție exactă.

Erori de trunchiere

Acest tip de eroare este asociat cu eroarea inerentă sarcinii în sine. Poate fi din cauza inexactității în determinarea datelor sursă. De exemplu, dacă în declarația problemei sunt specificate dimensiuni, atunci, în practică, pentru obiectele reale, aceste dimensiuni sunt întotdeauna cunoscute cu o oarecare precizie. Același lucru este valabil și pentru orice alți parametri fizici. Aceasta include și inexactitatea formulelor de calcul și a coeficienților numerici incluși în acestea.

Erori de propagare

Acest tip de eroare este asociat cu utilizarea uneia sau alteia metode de rezolvare a unei probleme. În timpul calculelor, se produce inevitabil acumularea de erori sau, cu alte cuvinte, propagarea. Pe lângă faptul că datele originale în sine nu sunt exacte, apare o nouă eroare atunci când sunt înmulțite, adăugate etc. Acumularea erorilor depinde de natura și numărul de operații aritmetice utilizate în calcul.

Erori de rotunjire

Acest tip de eroare apare deoarece valoarea reală a unui număr nu este întotdeauna stocată cu acuratețe de computer. Când un număr real este stocat în memoria computerului, acesta este scris ca mantisă și exponent în același mod în care un număr este afișat pe un calculator.

INSTITUȚIE DE ÎNVĂȚĂMÂNT MUNICIPAL

„ȘCOALA GENERALĂ KURLEK”

districtul Tomsk
"Matematică

în știință și viață”

„Lecția  seminar” pe tema:

„Valori aproximative ale cantităților”
(Despre orientarea aplicată a absolutului și relativului erori )
Algebra clasa a VII-a

Profesor de matematica:

Serebrennikova Vera Alexandrovna

Kurlek - 2006

„Matematica în știință și viață”
„Limbajul matematicii -

este limbajul universal al științei”
Subiect: Valori aproximative ale cantităților.(Lecție generală - seminar)

Ţintă: 1. Rezumați cunoștințele studenților pe această temă, ținând cont de focalizarea aplicată (în fizică, pregătirea muncii);

2. Abilitatea de a lucra în grupuri și de a participa la prezentări

Echipament: 2 rigle cu diviziuni de 0,1 cm și 1 cm, termometru, cântare, fișe (coală, hârtie carbon, cartonașe)
Cuvânt de deschidere și prezentare a participanților la seminar(profesor)

Să luăm în considerare una dintre problemele importante - calculele aproximative. Câteva cuvinte despre importanța sa.

Când rezolvați probleme practice, de multe ori trebuie să vă ocupați de valori aproximative ale diferitelor cantități.

Permiteți-mi să vă reamintesc în ce cazuri se obțin valori aproximative:

la numărarea unui număr mare de articole;
la măsurarea utilizând instrumente de diferite cantități (lungime, masă, temperatură);
la rotunjirea numerelor.

Să discutăm întrebarea: « Când calitatea măsurării, calculul va fi mai mare ».

Participanții la seminarul de astăzi vor fi 3 grupe: matematicieni, fizicieni și reprezentanți ai producției (practică).

(„Seniorii” reprezintă grupurile și le spun numele de familie.)

Activitatea seminarului va fi evaluată de invitați și de un juriu competent din public, care include „matematicieni”, „fizicieni” și „practicieni”.

Lucrările grupurilor și ale participanților individuali vor fi evaluate cu puncte.
Plan de muncă(Pe birou)

1. Spectacole

2. Munca independentă

3. Test

4. Rezultate
. Spectacole.

O măsură pentru aprecierea abaterii valorii aproximative față de cea exactă

servesc ca erori absolute și relative. Să luăm în considerare definițiile lor din punct de vedere orientare aplicată.
2
Eroarea absolută arată cât

valoarea aproximativă diferă de cea exactă, adică. acuratețea aproximării.

Eroarea relativă evaluează calitatea măsurării și

exprimat ca procent.

Dacă x ≈ α, unde x este valoarea exactă și α este o valoare aproximativă, atunci eroarea absolută va fi: │х – α │, iar eroarea relativă: │х – α │∕ │α│%

Exemple:

1 . Să aflăm erorile absolute și relative ale valorii aproximative obținute prin rotunjirea numărului 0,437 la zecimi.

Eroare absolută: │0,437 – 0,4 │= │0,037│= 0,037

Eroare relativă: 0,037: │0,4│= 0,037: 0,4 = 0,0925 = 9,25%

Să găsim valoarea aproximativă din graficul funcției y = x 2

funcții la x = 1,6

Dacă x = 1,6, atunci y ≈ 2,5

Folosind formula y = x 2, găsim valoarea exactă a lui y: y = 1,6 2 = 2,56;

Eroare absolută: │2,56 – 2,5 │= │0,06│= 0,06;

Eroare relativă: 0,06: │2,5│= 0,06: 2,5 = 0,024 = 2,4%

Dacă comparăm cele două rezultate ale unei erori relative de 9,25% și

2,4%, apoi în al doilea caz calitatea calculului va fi mai mare, iar rezultatul va fi mai precis.
Ce determină acuratețea valorii aproximative?

Depinde de multe motive. Dacă în timpul măsurării se obține o valoare aproximativă, atunci precizia acesteia depinde de dispozitivul cu care a fost efectuată măsurarea. Nicio măsurătoare nu poate fi făcută complet exact. Chiar și măsurile în sine conțin erori. Este extrem de dificil să faci rigle de contor complet precise, un kilogram de greutate sau o cană de litru, iar legea permite o anumită eroare în producție.

De exemplu, atunci când faceți o riglă de metru, este permisă o eroare de 1 mm. Măsurarea în sine introduce, de asemenea, inexactitate, eroare în greutăți și cântare. De exemplu, pe rigla pe care o folosim, diviziunile sunt marcate la fiecare 1 mm, adică. 0,1 cm, ceea ce înseamnă că precizia măsurării cu această riglă este de până la 0,1 (≤ 0,1). Pe un termometru medical, diviziunile sunt împărțite la 0,1 0, ceea ce înseamnă că precizia este de până la 0,1 (≤ 0,1). Diviziunile de pe scară sunt marcate la fiecare 200 g, ceea ce înseamnă că precizia este de până la 200 (≤ 200).

Când rotunjiți o fracție zecimală la zecimi, precizia va fi de până la 0,1 (≤ 0,1); până la sutimi – precizie până la 0,01 (≤ 0,01).

Cele mai precise măsurători din lume sunt efectuate în laboratoarele Institutului

Este întotdeauna posibil să găsiți erori absolute și relative?

Nu intotdeauna este posibil să găsiți eroarea absolută, deoarece este necunoscută

valoarea exactă a cantității și, prin urmare, eroarea relativă.

În acest caz, se acceptă în general că eroarea absolută nu depășește diviziunea la scară a instrumentului. Acestea. dacă, de exemplu, scara unei rigle este de 1 mm = 0,1 cm, atunci eroarea absolută va fi exactă la 0,1 (≤ 0,1) și se va determina doar estimarea erorii relative (adică ≤ ce număr %).

Deseori întâlnim asta în fizică. la demonstrarea experimentelor, la efectuarea lucrărilor de laborator.

Sarcină. Să găsim eroarea relativă la măsurarea lungimii unei foi de caiet cu rigle: una - cu o precizie de 0,1 cm (diviziuni la fiecare 0,1 cm); al doilea - cu o precizie de 1cm (diviziuni la fiecare 1cm).

ℓ 1 = 20,4 cm ℓ 2 = 20,2 cm

0,! : 20,4 = 0,0049 = 0,49% 1: 20,2 = 0,0495 = 4,95%

Ei spun că eroarea relativă în primul caz este de până la 0,49% (adică ≤ 0,49%), în al doilea caz până la 4,95% (adică ≤ 4,95%).

În primul caz, precizia măsurării este mai mare. Nu vorbim de mărime

eroare relativă, ci evaluarea acesteia.

In productie la fabricarea pieselor pe care le folosim

șubler (pentru măsurarea adâncimii; diametrul: extern și interior).

Eroare absolută La măsurarea cu acest dispozitiv, precizia este de până la 0,1 mm. Vom găsi estimarea erorii relative când se măsoară cu un șubler:

d = 9,86 cm = 98,6 mm

0,1: │98,6│= 0,1: 98,6 = 0,001 = 0,1%
Eroare relativă cu o precizie de 0,1% (adică ≤ 0,1%).

Dacă îl comparăm cu cele două măsurători anterioare, precizia măsurării este mai mare.

Din trei exemple practice putem concluziona: că valorile exacte nu pot fi obținute făcând măsurători în condiții normale.

Dar pentru a efectua măsurarea cu mai multă acuratețe, trebuie să luați un dispozitiv de măsurare a cărui valoare a diviziunii este cât mai mică posibil.

4
. Lucru independent asupra opțiunilor, urmat de verificare(copie la indigo).

Opțiunea 1	Opțiunea 2
1. Reprezentați grafic funcția y = x 3	1. Reprezentați grafic funcția y = x 2
dacă x = 1,5, atunci y ≈ dacă x = -0,5, atunci y ≈ b) y = 4 pentru x ≈	Utilizând graficul, finalizați înregistrarea: dacă x = 2,5, atunci y ≈ dacă x = -1,5, atunci y ≈ b) y = 5 pentru x ≈
2. Rotunjiți numărul 0,356 la zecimi și găsiți: a) eroare absolută se apropie; b) eroare relativă apropiindu-se	2. Rotunjiți numărul 0,188 la zecimi și găsiți: a) eroare absolută se apropie; b) eroare relativă apropiindu-se

(Juriul verifică munca independentă)

. Test.(Pentru fiecare răspuns corect – 1 punct)

În ce exemple sunt exacte valorile cantităților și în care sunt aproximative?

Exemple:

1. În clasă sunt 36 de elevi

2. În satul muncitoresc sunt 1000 de locuitori

3. Sina de cale ferată are 50 m lungime

4. Muncitorul a primit 10 mii de ruble de la casa de marcat

5. Aeronava Yak are 40.120 de locuri pentru pasageri

6. Distanța dintre Moscova și Sankt Petersburg 650 km

7. Un kilogram de grâu conține 30.000 de boabe

8. Distanța de la Pământ la Soare 1,5 ∙ 10 8 km

9. Unul dintre elevi, întrebat câți elevi sunt la școală, a răspuns: „1000”, iar celălalt a răspuns „950”. Al cui răspuns este mai corect dacă în școală sunt 986 de elevi?

10. O pâine cântărește 1 kg și costă 2500 de ruble.

11. Un caiet de 12 coli costă 600 de ruble. si are o grosime de 3 mm

v. Rezumând, plin de satisfacții