Matematica, care îmi place. Cel mai mare număr din lume este 1 cu 100 de zerouri, așa cum se numește

În copilărie, m-a chinuit întrebarea care există cel mai mare număr și i-am chinuit pe aproape pe toată lumea cu această întrebare stupidă. După ce am aflat numărul un milion, am întrebat dacă există un număr mai mare de un milion. Miliard? Ce zici de mai mult de un miliard? Trilion? Ce zici de mai mult de un trilion? În cele din urmă, a fost cineva deștept care mi-a explicat că întrebarea este stupidă, deoarece este suficient să adăugați unul la cel mai mare număr și se dovedește că nu a fost niciodată cel mai mare, deoarece există numere și mai mari.

Și așa, mulți ani mai târziu, am decis să-mi pun o altă întrebare și anume: Care este cel mai mare număr care are propriul nume? Din fericire, acum există Internet și poți să înțelegi cu el motoarele de căutare pentru pacienți, ceea ce nu va numi întrebările mele idioate ;-). De fapt, asta am făcut și asta am aflat ca rezultat.

Există două sisteme de denumire a numerelor - american și englez.

Sistemul american este construit destul de simplu. Toate numele numerelor mari sunt construite astfel: la început există un număr ordinal latin, iar la sfârșit i se adaugă sufixul -milion. O excepție este numele „milion”, care este numele numărului mie (lat. mille) și sufixul de mărire -illion (vezi tabel). Așa obținem numerele trilion, cvadrilion, quintilion, sextilion, septillion, octillion, nonillion și decilion. Sistemul american este utilizat în SUA, Canada, Franța și Rusia. Puteți afla numărul de zerouri dintr-un număr scris după sistemul american folosind formula simplă 3 x + 3 (unde x este un număr latin).

Sistemul de denumire engleză este cel mai comun din lume. Este folosit, de exemplu, în Marea Britanie și Spania, precum și în majoritatea fostelor colonii engleze și spaniole. Numele numerelor din acest sistem sunt construite astfel: astfel: sufixul -milion se adaugă la cifra latină, următorul număr (de 1000 de ori mai mare) este construit conform principiului - același număr latin, dar sufixul - miliard. Adică după un trilion în sistemul englez există un trilion, și abia apoi un cvadrilion, urmat de un cvadrilion etc. Astfel, un cvadrilion conform sistemelor englez și american sunt numere complet diferite! Puteți afla numărul de zerouri dintr-un număr scris conform sistemului englez și care se termină cu sufixul -million, folosind formula 6 x + 3 (unde x este un număr latin) și folosind formula 6 x + 6 pentru numere care se termină în - miliard.

Doar numărul miliardului (10 9) a trecut din sistemul englez în limba rusă, ceea ce ar fi și mai corect să fie numit așa cum îl numesc americanii - miliard, de când am adoptat sistemul american. Dar cine la noi face ceva conform regulilor! ;-) Apropo, uneori, cuvântul trilion este folosit în rusă (puteți vedea acest lucru singur, executând o căutare în Google sau Yandex) și înseamnă, aparent, 1000 de trilioane, i.e. cvadrilion.

Pe lângă numerele scrise folosind prefixe latine după sistemul american sau englez, sunt cunoscute și așa-numitele numere non-sistem, adică. numere care au nume proprii fără prefixe latine. Există mai multe astfel de numere, dar vă voi spune mai multe despre ele puțin mai târziu.

Să ne întoarcem la scriere folosind numere latine. S-ar părea că pot scrie numere la infinit, dar acest lucru nu este în întregime adevărat. Acum voi explica de ce. Să vedem mai întâi cum se numesc numerele de la 1 la 10 33:

Și acum se pune întrebarea, ce urmează. Ce se află în spatele decilionului? În principiu, este, desigur, posibil, prin combinarea prefixelor, să se genereze monștri precum: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion și novemdecillion, dar acestea vor fi deja nume compuse, iar noi eram interesați de numerele noastre proprii. Prin urmare, conform acestui sistem, pe lângă cele indicate mai sus, puteți obține în continuare doar trei nume proprii - vigintillion (din Lat. viginti- douăzeci), centilion (din lat. centum- o sută) și milioane (din lat. mille- mie). Romanii nu aveau mai mult de o mie de nume proprii pentru numere (toate numerele de peste o mie erau compuse). De exemplu, romanii au numit un milion (1.000.000) decies centena milia, adică „zece sute de mii”. Și acum, de fapt, tabelul:

Astfel, conform unui astfel de sistem, este imposibil să se obțină numere mai mari de 10 3003, care să aibă un nume propriu, necompus! Dar, cu toate acestea, se cunosc numere mai mari de un milion - acestea sunt aceleași numere non-sistemice. Să vorbim în sfârșit despre ele.

Cel mai mic astfel de număr este nenumărate(este chiar și în dicționarul lui Dahl), ceea ce înseamnă o sută de sute, adică 10 000. Acest cuvânt, însă, este depășit și practic nu este folosit, dar este curios că cuvântul „miriade” este folosit pe scară largă, ceea ce nu înseamnă un anumit număr, dar nenumărate, nenumărate multitudini de ceva. Se crede că cuvântul nenumărate a venit în limbile europene din Egiptul antic.

Google(din engleza googol) este numărul zece până la a suta putere, adică unul urmat de o sută de zerouri. Despre „googol” a fost scris pentru prima dată în 1938 în articolul „Nume noi în matematică” din numărul din ianuarie al revistei Scripta Mathematica de către matematicianul american Edward Kasner. Potrivit acestuia, nepotul său, Milton Sirotta, în vârstă de nouă ani, a sugerat să numească numărul mare „googol”. Acest număr a devenit cunoscut în general datorită motorului de căutare numit după el. Google. Vă rugăm să rețineți că „Google” este un nume de marcă, iar googol este un număr.

În celebrul tratat budist Jaina Sutra, datând din anul 100 î.Hr., numărul apare asankheya(din China asenzi- nenumărabil), egal cu 10 140. Se crede că acest număr este egal cu numărul de cicluri cosmice necesare pentru a atinge nirvana.

Googlelplex(Engleză) googolplex) - un număr inventat și de Kasner și nepotul său și care înseamnă unul cu un gol de zerouri, adică 10 10 100. Așa descrie Kasner însuși această „descoperire”:

Cuvintele de înțelepciune sunt rostite de copii cel puțin la fel de des ca și de oamenii de știință. Numele „googol” a fost inventat de un copil (nepotul de nouă ani al doctorului Kasner) căruia i s-a cerut să găsească un nume pentru un număr foarte mare, și anume, 1 cu o sută de zerouri după el. Era foarte sigur că acest număr nu era infinit și, prin urmare, la fel de sigur că trebuie să aibă un nume aceeași când a sugerat „googol”, a dat un nume pentru un număr încă mai mare: „Googolplex”. Un googolplex este mult mai mare decât un googol, dar este totuși finit, așa cum s-a grăbit să sublinieze inventatorul numelui.

Matematica și imaginația(1940) de Kasner și James R. Newman.

Un număr chiar mai mare decât googolplexul, numărul Skewes, a fost propus de Skewes în 1933. J. London Math. Soc. 8 , 277-283, 1933.) în demonstrarea ipotezei Riemann referitoare la numerele prime. Inseamna eîntr-o măsură eîntr-o măsură e la puterea lui 79, adică e e e 79. Mai târziu, te Riele, H. J. J. „On the Sign of the Difference P(x)-Li(x)." Matematică. Calculator. 48 , 323-328, 1987) a redus numărul Skuse la e e 27/4, care este aproximativ egal cu 8,185 10 370. Este clar că, deoarece valoarea numărului Skuse depinde de număr e, atunci nu este un număr întreg, deci nu îl vom lua în considerare, altfel ar trebui să ne amintim și alte numere nenaturale - pi, e, numărul lui Avogadro etc.

Dar trebuie remarcat faptul că există un al doilea număr Skuse, care în matematică este notat ca Sk 2, care este chiar mai mare decât primul număr Skuse (Sk 1). Al doilea număr Skewes, a fost introdus de J. Skuse în același articol pentru a desemna numărul până la care este valabilă ipoteza Riemann. Sk 2 este egal cu 10 10 10 10 3, adică 10 10 10 1000.

După cum înțelegeți, cu cât sunt mai multe grade, cu atât este mai dificil să înțelegeți care număr este mai mare. De exemplu, privind numerele Skewes, fără calcule speciale, este aproape imposibil de înțeles care dintre aceste două numere este mai mare. Astfel, pentru numere super-mari devine incomod să folosești puteri. Mai mult, poți veni cu astfel de numere (și au fost deja inventate) atunci când gradele de grade pur și simplu nu se potrivesc pe pagină. Da, asta e pe pagina! Nu se vor potrivi nici măcar într-o carte de dimensiunea întregului Univers! În acest caz, se pune întrebarea cum să le scrieți. Problema, după cum înțelegeți, este rezolvabilă, iar matematicienii au dezvoltat mai multe principii pentru scrierea unor astfel de numere. Adevărat, fiecare matematician care s-a întrebat despre această problemă a venit cu propriul mod de a scrie, ceea ce a dus la existența mai multor metode, fără legătură între ele, de scriere a numerelor - acestea sunt notațiile lui Knuth, Conway, Steinhouse etc.

Luați în considerare notația lui Hugo Stenhouse (H. Steinhaus. Instantanee matematice, edn. a 3-a. 1983), ceea ce este destul de simplu. Stein House a sugerat să scrieți numere mari în interiorul formelor geometrice - triunghi, pătrat și cerc:

Steinhouse a venit cu două numere noi super mari. El a numit numărul - Mega, iar numărul este Megiston.

Matematicianul Leo Moser a rafinat notația lui Stenhouse, care era limitată de faptul că, dacă era necesar să se noteze numere mult mai mari decât un megston, au apărut dificultăți și neplăceri, deoarece multe cercuri trebuiau trase unul în celălalt. Moser a sugerat ca după pătrate să desenați nu cercuri, ci pentagoane, apoi hexagoane și așa mai departe. El a propus, de asemenea, o notație formală pentru aceste poligoane, astfel încât numerele să poată fi scrise fără a face imagini complexe. Notația Moser arată astfel:

Astfel, conform notației lui Moser, mega lui Steinhouse se scrie ca 2, iar megistonul ca 10. În plus, Leo Moser a propus numirea unui poligon cu numărul de laturi egal cu mega - megagon. Și a propus numărul „2 în Megagon”, adică 2. Acest număr a devenit cunoscut ca numărul lui Moser sau pur și simplu ca Moser.

Dar Moser nu este cel mai mare număr. Cel mai mare număr folosit vreodată în demonstrarea matematică este limita cunoscută ca Numărul Graham(Numărul lui Graham), folosit pentru prima dată în 1977 în demonstrarea unei estimări în teoria Ramsey. Este asociat cu hipercuburi bicromatice și nu poate fi exprimat fără un sistem special de 64 de nivele de simboluri matematice speciale introdus de Knuth în 1976.

Din păcate, un număr scris în notația lui Knuth nu poate fi convertit în notație în sistemul Moser. Prin urmare, va trebui să explicăm și acest sistem. În principiu, nici nu este nimic complicat. Donald Knuth (da, da, acesta este același Knuth care a scris „Arta programării” și a creat editorul TeX) a venit cu conceptul de superputere, pe care și-a propus să îl scrie cu săgețile îndreptate în sus:

ÎN vedere generala arata cam asa:

Cred că totul este clar, așa că să revenim la numărul lui Graham. Graham a propus așa-numitele numere G:

A început să fie numit numărul G 63 Numărul Graham(este adesea desemnat pur și simplu ca G). Acest număr este cel mai mare număr cunoscut din lume și este chiar inclus în Cartea Recordurilor Guinness. Ei bine, numărul Graham este mai mare decât numărul Moser.

P.S. Pentru a aduce un mare beneficiu întregii omeniri și pentru a deveni faimos de-a lungul secolelor, am decis să vin și să numesc cel mai mare număr. Acest număr va fi apelat stasplexși este egal cu numărul G 100. Ține minte, iar când copiii tăi întreabă care este cel mai mare număr din lume, spune-le că se numește acest număr stasplex.

Actualizare (4.09.2003): Vă mulțumesc tuturor pentru comentarii. S-a dovedit că am făcut mai multe greșeli când am scris textul. Voi încerca să o repar acum.

1. Am făcut câteva greșeli doar menționând numărul lui Avogadro. În primul rând, mai multe persoane mi-au subliniat că de fapt 6.022 10 23 este cel mai bun numar natural. Și în al doilea rând, există o părere, și mi se pare corectă, că numărul lui Avogadro nu este deloc un număr în sensul propriu, matematic, al cuvântului, deoarece depinde de sistemul de unități. Acum este exprimat în „mol -1”, dar dacă este exprimat, de exemplu, în moli sau altceva, atunci va fi exprimat ca un număr complet diferit, dar acesta nu va înceta să fie deloc numărul lui Avogadro.
2. 10.000 - întuneric
   100.000 - legiune
   1.000.000 - leodr
   10.000.000 - corb sau corvid
   100.000.000 - punte
   În mod interesant, slavii antici iubeau și ei numerele mari și puteau număra până la un miliard. Mai mult, ei au numit un astfel de cont un „cont mic”. În unele manuscrise, autorii au considerat și „ scor mare„, ajungând la numărul 10 50. Despre numerele mai mari decât 10 50 se spunea: „Și mai mult decât asta nu poate fi înțeles de mintea umană.” Numele folosite în „număr mic” au fost transferate la „număr mare”, dar cu alt sens.Astfel, întunericul însemna nu 10.000, ci un milion, legiune - întunericul celor (un milion de milioane); leodr - o legiune de legiuni (puterea 10 la a 24-a), apoi spunea - zece leodri, o o sută de leodrov, ..., și în cele din urmă, o sută de mii acele legiune leodrov (10 în 47); leodr leodrov (10 în 48) a fost numit corb și, în cele din urmă, o punte (10 în 49).
3. Subiectul numelor naționale de numere poate fi extins dacă ne amintim despre sistemul japonez de denumire a numerelor pe care l-am uitat, care este foarte diferit de sistemele engleză și americană (nu voi desena hieroglife, dacă este pe cineva interesat, acestea sunt ):
   10 0 - ichi
   10 1 - jyuu
   10 2 - hyaku
   10 3 - sen
   10 4 - om
   10 8 - ok
   10 12 - chou
   10 16 - kei
   10 20 - gai
   10 24 - jyo
   10 28 - tu
   10 32 - kou
   10 36 - kan
   10 40 - sei
   10 44 - sai
   10 48 - goku
   10 52 - gougasya
   10 56 - asougi
   10 60 - nayuta
   10 64 - fukashigi
   10 68 - muryoutaisuu
4. În ceea ce privește numerele lui Hugo Steinhaus (în Rusia, din anumite motive, numele lui a fost tradus ca Hugo Steinhaus). botev asigură că ideea de a scrie numere foarte mari sub formă de numere în cercuri nu îi aparține lui Steinhouse, ci lui Daniil Kharms, care cu mult înaintea lui a publicat această idee în articolul „Raising a Number”. De asemenea, vreau să-i mulțumesc lui Evgeniy Sklyarevsky, autorul celui mai interesant site de matematică de divertisment pe internetul în limba rusă - Arbuza, pentru informațiile că Steinhouse a venit nu numai cu numerele mega și megiston, ci a sugerat și un alt număr. zona medicala, egal (în notația sa) cu „3 într-un cerc”.
5. Acum despre număr nenumărate sau mirioi. Există opinii diferite despre originea acestui număr. Unii cred că este originar din Egipt, în timp ce alții cred că s-a născut doar în Grecia antică. Oricum ar fi, de fapt, multitudinea și-a câștigat faima tocmai datorită grecilor. Miriadă era numele pentru 10.000, dar nu existau nume pentru numere mai mari de zece mii. Cu toate acestea, în nota sa „Psammit” (adică, calculul nisipului), Arhimede a arătat cum să construiască și să numească în mod sistematic numere arbitrar mari. În special, plasând 10.000 (miriade) de boabe de nisip într-o sămânță de mac, el constată că în Univers (o minge cu un diametru de o multitudine de diametre ale Pământului) nu pot încăpea mai mult de 1063 de boabe de nisip (în notația noastră). Este curios că calculele moderne ale numărului de atomi din Universul vizibil duc la numărul 10 67 (în total de o miriade de ori mai mult). Arhimede a sugerat următoarele nume pentru numere:
   1 miriade = 10 4 .
   1 di-myriad = miriade de miriade = 10 8 .
   1 tri-myriad = di-myriad di-myriad = 10 16 .
   1 tetra-miriadă = trei-miriade trei-miriade = 10 32 .
   etc.

Daca aveti comentarii -

faimos sistem de căutare, iar compania care a creat acest sistem și multe alte produse, este numită după numărul googol - unul dintre cele mai mari numere din setul infinit de numere naturale. Cu toate acestea, cel mai mare număr nu este nici măcar un googol, ci un googolplex.

Numărul googolplex a fost propus pentru prima dată de Edward Kasner în 1938; acesta reprezintă unul urmat de un număr incredibil de zerouri. Numele provine de la un alt număr - googol - unul urmat de o sută de zerouri. De obicei, numărul googol este scris ca 10100 sau00000000000000000000000000000 000 000 000 000 000 000 000.

Googolplex, la rândul său, este numărul zece al puterii googol. De obicei se scrie așa: 10 10 ^100 și asta înseamnă mult, multe zerouri. Sunt atât de multe, încât dacă ai decide să numeri numărul de zerouri folosind particule individuale din univers, ai rămâne fără particule înainte de a rămâne fără zerouri în googolplex.

Potrivit lui Carl Sagan, scrierea acestui număr este imposibilă deoarece scrierea lui ar necesita mai mult spațiu decât există în universul vizibil.

Cum funcționează „brainmail” - transmiterea mesajelor de la creier la creier prin Internet

10 mistere ale lumii pe care știința le-a dezvăluit în sfârșit

10 întrebări principale despre Univers la care oamenii de știință caută răspunsuri chiar acum

Mister științific de 2.500 de ani: de ce căscăm

3 dintre cele mai stupide argumente pe care oponenții Teoriei Evoluției le folosesc pentru a-și justifica ignoranța

Universurile paralele pot exista de fapt, conform unei noi teorii

Oricare două obiecte aflate în vid vor cădea cu aceeași viteză

Există numere care sunt atât de incredibil, incredibil de mari încât ar fi nevoie de întregul univers chiar și pentru a le scrie. Dar iată ce este cu adevărat nebunesc... unele dintre aceste numere nespus de mari sunt cruciale pentru înțelegerea lumii.

Cand spun "nu" număr mai mareîn Univers'', în realitate mă refer la cel mai mare semnificativ număr, numărul maxim posibil care este util într-un fel. Sunt mulți concurenți la acest titlu, dar vă avertizez imediat: există într-adevăr riscul ca încercarea de a înțelege totul să vă explodeze mintea. Și în plus, cu prea multă matematică, nu te vei distra prea mult.

Googol și googolplex

Edward Kasner

Am putea începe cu cele care sunt, probabil, cele mai mari două numere despre care ai auzit vreodată, iar acestea sunt într-adevăr cele mai mari două numere care au definiții general acceptate în Limba engleză. (Există o nomenclatură destul de precisă folosită pentru a desemna numere atât de mari pe cât ați dori, dar aceste două numere nu le veți găsi în dicționare în zilele noastre.) Googol, de când a devenit celebru în lume (deși cu erori, rețineți. de fapt este googol). ) sub forma Google, născut în 1920 ca o modalitate de a-i face pe copii interesați de numerele mari.

În acest scop, Edward Kasner (foto) și-a luat pe cei doi nepoți, Milton și Edwin Sirott, la o plimbare prin New Jersey Palisades. I-a invitat să vină cu orice idee, iar apoi Milton, în vârstă de nouă ani, le-a sugerat „googol”. Nu se știe de unde a primit acest cuvânt, dar Kasner a decis asta sau un număr în care o sută de zerouri urmează unității se va numi de acum înainte googol.

Dar tânărul Milton nu s-a oprit aici; a propus un număr și mai mare, googolplex. Acesta este un număr, potrivit lui Milton, în care primul loc este 1 și apoi câte zerouri ai putea scrie înainte să te obosești. Deși ideea este fascinantă, Kasner a decis că este nevoie de o definiție mai formală. După cum a explicat în cartea sa din 1940, Mathematics and the Imagination, definiția lui Milton lasă deschisă posibilitatea riscantă ca un bufon accidental să devină un matematician superior lui Albert Einstein pur și simplu pentru că are o rezistență mai mare.

Așa că Kasner a decis că un googolplex ar fi , sau 1, și apoi un googol de zerouri. În caz contrar, și în notație similară cu cea cu care ne vom ocupa pentru alte numere, vom spune că un googolplex este . Pentru a arăta cât de fascinant este acest lucru, Carl Sagan a remarcat odată că este imposibil din punct de vedere fizic să notezi toate zerourile unui googolplex, deoarece pur și simplu nu există suficient spațiu în univers. Dacă umplem întregul volum al Universului observabil particule mici praf de aproximativ 1,5 microni, numărul de moduri diferite în care aceste particule pot fi aranjate ar fi aproximativ egal cu un googolplex.

Din punct de vedere lingvistic, googol și googolplex sunt probabil cele mai mari două numere semnificative (cel puțin în limba engleză), dar, așa cum vom stabili acum, există infinite moduri de a defini „semnificația”.

Lumea reala

Dacă vorbim despre cel mai mare număr semnificativ, există un argument rezonabil că asta înseamnă cu adevărat că trebuie să găsim cel mai mare număr cu o valoare care există de fapt în lume. Putem începe cu populația umană actuală, care este în prezent în jur de 6920 de milioane. PIB-ul mondial în 2010 a fost estimat la aproximativ 61.960 de miliarde de dolari, dar ambele aceste cifre sunt nesemnificative în comparație cu cele aproximativ 100 de trilioane de celule care alcătuiesc corpul uman. Desigur, niciunul dintre aceste numere nu se poate compara cu numărul total de particule din Univers, care este în general considerat a fi aproximativ , iar acest număr este atât de mare încât limba noastră nu are un cuvânt pentru el.

Ne putem juca puțin cu sistemele de măsuri, făcând numerele din ce în ce mai mari. Astfel, masa Soarelui în tone va fi mai mică decât în ​​lire sterline. O modalitate excelentă de a face acest lucru este să utilizați sistemul de unități Planck, care sunt cele mai mici măsuri posibile pentru care încă se aplică legile fizicii. De exemplu, vârsta Universului în timpul Planck este de aproximativ . Dacă ne întoarcem la prima unitate de timp Planck după Big bang, atunci vom vedea că densitatea Universului era atunci . Primim din ce în ce mai mult, dar nici măcar nu am ajuns la googol.

Cel mai mare număr cu orice aplicație din lumea reală - sau în acest caz aplicație din lumea reală - este probabil una dintre cele mai recente estimări ale numărului de universuri din multivers. Acest număr este atât de mare încât creierul uman literalmente nu va putea percepe toate aceste universuri diferite, deoarece creierul este capabil doar de configurații aproximative. De fapt, acest număr este probabil cel mai mare număr care are sens practic, cu excepția cazului în care țineți cont de ideea multiversului în ansamblu. Cu toate acestea, există încă un număr mult mai mare care pândește acolo. Dar pentru a le găsi trebuie să mergem în domeniul matematicii pure și nu există un loc mai bun pentru a începe decât numerele prime.

numere prime de Mersenne

O parte a provocării este să vină cu o definiție bună a ceea ce este un număr „semnificativ”. O modalitate este de a gândi în termeni de numere prime și compuse. Un număr prim, după cum probabil vă amintiți de la matematica scolara, este orice număr natural (notă nu este egală cu unu), care este divizibil doar prin el însuși. Deci, și sunt numere prime și și sunt numere compuse. Aceasta înseamnă că orice număr compus poate fi reprezentat în cele din urmă de factorii săi primi. În anumite privințe, numărul este mai important decât, să zicem, , deoarece nu există nicio modalitate de a-l exprima în termeni de produs al unor numere mai mici.

Evident că putem merge puțin mai departe. , de exemplu, este de fapt doar , ceea ce înseamnă că într-o lume ipotetică în care cunoștințele noastre despre numere sunt limitate la , un matematician poate încă exprima numărul . Dar următorul număr este prim, ceea ce înseamnă că singura modalitate de a-l exprima este să știi direct despre existența lui. Aceasta înseamnă că cele mai mari numere prime cunoscute joacă un rol important, dar, să zicem, un googol - care în cele din urmă este doar o colecție de numere și , înmulțite împreună - de fapt nu are. Și deoarece numerele prime sunt practic aleatoare, nu există nicio modalitate cunoscută de a prezice că un număr incredibil de mare va fi de fapt prim. Până astăzi, descoperirea de noi numere prime este o întreprindere dificilă.

Matematicieni Grecia antică avea un concept de numere prime cel puțin încă din 500 î.Hr., iar 2000 de ani mai târziu oamenii încă știau care numere erau prime doar până la aproximativ 750. Gânditorii din vremea lui Euclid vedeau posibilitatea simplificării, dar până la Renaștere, matematicienii nu puteau pune cu adevărat. ea în practică. Aceste numere sunt cunoscute ca numere Mersenne, numite după omul de știință francez Marin Mersenne din secolul al XVII-lea. Ideea este destul de simplă: un număr Mersenne este orice număr de forma . Deci, de exemplu, , și acest număr este prim, același lucru este valabil și pentru .

Este mult mai rapid și mai ușor să determinați numerele prime Mersenne decât orice alt tip de număr prim, iar computerele au lucrat din greu în căutarea lor în ultimele șase decenii. Până în 1952, cel mai mare număr prim cunoscut a fost un număr – un număr cu cifre. În același an, computerul a calculat că numărul este prim, iar acest număr este format din cifre, ceea ce îl face mult mai mare decât un googol.

Calculatoarele au fost la vânătoare de atunci, iar în prezent numărul Mersenne este cel mai mare număr prim cunoscut de omenire. Descoperit în 2008, se ridică la un număr cu aproape milioane de cifre. Este cel mai mare număr cunoscut care nu poate fi exprimat în termeni de numere mai mici, iar dacă doriți ajutor pentru a găsi un număr Mersenne și mai mare, dvs. (și computerul dvs.) vă puteți conecta oricând la căutare la http://www.mersenne.org. /.

Număr înclinat

Stanley Skews

Să ne uităm din nou la numerele prime. După cum am spus, ei se comportă fundamental greșit, ceea ce înseamnă că nu există nicio modalitate de a prezice care va fi următorul număr prim. Matematicienii au fost forțați să recurgă la unele măsurători destul de fantastice pentru a găsi o modalitate de a prezice numere prime viitoare, chiar și într-un mod nebulos. Cea mai reușită dintre aceste încercări este probabil funcția de numărare a numerelor prime, care a fost inventată la sfârșitul secolului al XVIII-lea de legendarul matematician Carl Friedrich Gauss.

Te voi cruța mai mult matematică complexă- într-un fel sau altul, mai avem multe de urmat - dar esența funcției este aceasta: pentru orice număr întreg putem estima câte numere prime sunt mai mici decât . De exemplu, dacă , funcția prezice că ar trebui să existe numere prime, dacă ar trebui să existe numere prime mai mici decât , și dacă , atunci ar trebui să existe numere mai mici care sunt prime.

Dispunerea numerelor prime este într-adevăr neregulată și este doar o aproximare a numărului real de numere prime. De fapt, știm că există numere prime mai mici decât , numere prime mai mici decât , și numere prime mai mici decât . Aceasta este o estimare excelentă, cu siguranță, dar este întotdeauna doar o estimare... și, mai precis, o estimare de sus.

În toate cazurile cunoscute până la , funcția care găsește numărul de numere prime supraestimează ușor numărul efectiv de numere prime mai mici decât . Matematicienii s-au gândit cândva că acesta va fi întotdeauna cazul, la infinit, și că acest lucru s-ar aplica cu siguranță unor numere neînchipuit de uriașe, dar în 1914 John Edensor Littlewood a demonstrat că pentru un număr necunoscut, neînchipuit de mare, această funcție va începe să producă mai puține numere prime. , iar apoi va comuta între estimarea de sus și estimarea de jos de un număr infinit de ori.

Vânătoarea a fost pentru punctul de plecare al curselor, iar apoi a apărut Stanley Skewes (vezi foto). În 1933, el a demonstrat că limita superioară atunci când o funcție care aproximează numărul de numere prime produce mai întâi o valoare mai mică este numărul . Este greu de înțeles cu adevărat chiar și în cel mai abstract sens ce reprezintă de fapt acest număr și din acest punct de vedere a fost cel mai mare număr folosit vreodată într-o demonstrație matematică serioasă. De atunci, matematicienii au reușit să reducă limita superioară la un număr relativ mic, dar numărul inițial rămâne cunoscut sub numele de numărul Skewes.

Deci, cât de mare este numărul care depășește chiar și puternicul googolplex? În Dicționarul Penguin al numerelor curioase și interesante, David Wells relatează un mod în care matematicianul Hardy a putut să conceptualizeze dimensiunea numărului Skuse:

„Hardy a crezut că este „cel mai mare număr servit vreodată pentru un anumit scop în matematică” și a sugerat că, dacă un joc de șah s-ar juca cu toate particulele universului ca piese, o mișcare ar consta în schimbarea a două particule și jocul s-ar opri când aceeași poziție s-ar repeta a treia oară, apoi numărul tuturor jocurilor posibile ar fi aproximativ egal cu numărul lui Skuse.'

Un ultim lucru înainte de a trece mai departe: am vorbit despre cel mai mic dintre cele două numere Skewes. Există un alt număr Skuse, pe care matematicianul l-a descoperit în 1955. Primul număr este derivat din faptul că așa-numita ipoteză Riemann este adevărată - aceasta este o ipoteză deosebit de dificilă în matematică care rămâne nedovedită, foarte utilă când vine vorba de numere prime. Totuși, dacă ipoteza Riemann este falsă, Skuse a constatat că punctul de plecare al salturilor crește la .

Problemă de amploare

Înainte de a ajunge la numărul care face chiar și numărul Skewes să pară mic, trebuie să vorbim puțin despre scară, pentru că altfel nu avem cum să evaluăm unde vom ajunge. Mai întâi să luăm un număr - este un număr mic, atât de mic încât oamenii pot înțelege în mod intuitiv ce înseamnă. Există foarte puține numere care se potrivesc acestei descrieri, deoarece numerele mai mari de șase încetează să mai fie numere separate și devin „mai multe”, „multe”, etc.

Acum să luăm , i.e. . Deși de fapt nu putem în mod intuitiv, așa cum am făcut pentru număr, să înțelegem ce este acesta, este foarte ușor să ne imaginăm ce este. Până acum, bine. Dar ce se întâmplă dacă ne mutăm la? Aceasta este egală cu , sau . Suntem foarte departe de a ne putea imagina această cantitate, ca orice alta foarte mare - pierdem capacitatea de a înțelege părți individuale undeva în jur de un milion. (Serios, este o nebunie un numar mare de Ar dura ceva timp pentru a număra de fapt până la un milion de orice, dar adevărul este că suntem încă capabili să percepem acel număr.)

Cu toate acestea, deși nu ne putem imagina, suntem cel puțin capabili să înțelegem în termeni generali ce este 7600 de miliarde, poate comparându-l cu ceva de genul PIB-ului SUA. Am trecut de la intuiție la reprezentare la înțelegere simplă, dar cel puțin mai avem o oarecare lacună în înțelegerea noastră a ceea ce este un număr. Asta e pe cale să se schimbe pe măsură ce urcăm o altă treaptă pe scară.

Pentru a face acest lucru, trebuie să trecem la o notație introdusă de Donald Knuth, cunoscută sub numele de notație cu săgeți. Această notație poate fi scrisă ca . Atunci când mergem la , numărul pe care îl obținem va fi . Acesta este egal cu unde este totalul de trei. Acum am depășit cu mult și cu adevărat toate celelalte cifre despre care am vorbit deja. La urma urmei, chiar și cel mai mare dintre ei avea doar trei sau patru termeni în seria de indicatori. De exemplu, chiar și numărul super-Skuse este „doar” - chiar și ținând cont de faptul că atât baza, cât și exponenții sunt mult mai mari decât , este încă absolut nimic în comparație cu dimensiunea unui turn de numere cu un miliard de membri .

Evident, nu există nicio modalitate de a înțelege numere atât de mari... și totuși, procesul prin care sunt create poate fi înțeles în continuare. Nu am putut înțelege cantitatea reală care este dată de un turn de puteri cu un miliard de tripleți, dar practic ne putem imagina un astfel de turn cu mulți termeni, iar un supercomputer cu adevărat decent ar fi capabil să stocheze astfel de turnuri în memorie chiar dacă ar fi nu a putut calcula valorile lor reale.

Acest lucru devine din ce în ce mai abstract, dar se va înrăutăți. Ai putea crede că un turn de grade a cărui lungime a exponentului este egală (într-adevăr, în versiunea anterioară a acestei postări am făcut exact această greșeală), dar este simplu. Cu alte cuvinte, imaginați-vă că puteți calcula valoarea exactă a unui turn de putere de tripleți care este alcătuit din elemente, apoi ați luat acea valoare și ați creat un nou turn cu tot atâtea câte... asta dă .

Repetați acest proces cu fiecare număr următor ( Notă incepand de la dreapta) pana cand o faci de ori, si apoi in cele din urma obtii . Acesta este un număr care este pur și simplu incredibil de mare, dar cel puțin pașii pentru a-l obține par de înțeles dacă faci totul foarte încet. Nu mai putem înțelege numerele și nici nu ne putem imagina procedura prin care sunt obținute, dar cel puțin putem înțelege algoritmul de bază, doar într-un timp suficient de lung.

Acum haideți să pregătim mintea să o sufle cu adevărat.

Numărul Graham (Graham)

Ronald Graham

Așa obțineți numărul lui Graham, care deține un loc în Cartea Recordurilor Guinness ca fiind cel mai mare număr folosit vreodată într-o demonstrație matematică. Este absolut imposibil de imaginat cât de mare este și la fel de dificil de explicat exact ce este. Practic, numărul lui Graham apare atunci când avem de-a face cu hipercuburi, care sunt forme geometrice teoretice cu mai mult de trei dimensiuni. Matematicianul Ronald Graham (vezi fotografia) a vrut să afle la ce număr cel mai mic de dimensiuni ar rămâne stabile anumite proprietăți ale unui hipercub. (Îmi pare rău pentru o explicație atât de vagă, dar sunt sigur că toți trebuie să obținem cel puțin două grade academice la matematică pentru a fi mai precis.)

În orice caz, numărul lui Graham este o estimare superioară a acestui număr minim de dimensiuni. Deci, cât de mare este această limită superioară? Să revenim la numărul, atât de mare încât nu putem înțelege decât vag algoritmul pentru obținerea lui. Acum, în loc să mai sărim un nivel până la , vom număra numărul care are săgeți între primele și ultimele trei. Acum depășim chiar și cea mai mică înțelegere a ceea ce este acest număr sau chiar ce trebuie să facem pentru a-l calcula.

Acum să repetăm ​​acest proces o dată ( Notă la fiecare pas următor scriem numărul de săgeți, egală cu numărul obţinute în pasul precedent).

Acesta, doamnelor și domnilor, este numărul lui Graham, care este cu un ordin de mărime mai mare decât punctul de înțelegere umană. Este un număr care este mult mai mare decât orice număr pe care ți-l poți imagina – este mult mai mare decât orice infinit pe care ai putea spera vreodată să-l imaginezi – sfidează pur și simplu chiar și cea mai abstractă descriere.

Dar iată un lucru ciudat. Deoarece numărul Graham este practic doar tripleți înmulțiți împreună, cunoaștem unele dintre proprietățile sale fără a-l calcula efectiv. Nu putem reprezenta numărul Graham folosind vreo notație familiară, chiar dacă am folosit întregul univers pentru a-l scrie, dar vă pot spune ultimele douăsprezece cifre ale numărului Graham chiar acum: . Și asta nu este tot: știm cel puțin ultimele cifre ale numărului lui Graham.

Desigur, merită să ne amintim că acest număr este doar o limită superioară în problema inițială a lui Graham. Este foarte posibil ca numărul real de măsurători necesare pentru a atinge proprietatea dorită să fie mult, mult mai mic. De fapt, se crede încă din anii 1980, conform celor mai mulți experți în domeniu, că există de fapt doar șase dimensiuni – un număr atât de mic încât îl putem înțelege intuitiv. Limita inferioară a fost ridicată de atunci la , dar există încă șanse foarte mari ca soluția la problema lui Graham să nu fie aproape de un număr la fel de mare ca numărul lui Graham.

Spre infinit

Deci, există numere mai mari decât numărul lui Graham? Există, desigur, pentru început există numărul Graham. În ceea ce privește numărul semnificativ... ei bine, există unele domenii diabolic de complexe ale matematicii (în special domeniul cunoscut sub numele de combinatorie) și informatică în care apar numere chiar mai mari decât numărul lui Graham. Dar aproape că am atins limita a ceea ce pot să sper că va fi vreodată explicat rațional. Pentru cei suficient de nesăbuiți pentru a merge și mai departe, lecturi suplimentare sunt sugerate pe propriul risc.

Ei bine, acum un citat uimitor care este atribuit lui Douglas Ray ( Notă Sincer, sună destul de amuzant:

„Văd grupuri de numere vagi care sunt ascunse acolo în întuneric, în spatele micului punct de lumină pe care îl dă lumânarea rațiunii. Se șoptesc unul altuia; conspirând despre cine știe ce. Poate că nu ne plac foarte mult pentru că i-am capturat pe frații lor mai mici în mintea noastră. Sau poate pur și simplu duc o viață cu o singură cifră, acolo, dincolo de înțelegerea noastră.