Metode de rezolvare a numerelor complexe. Tutorial: numere complexe. Principalele tipuri de sarcini

Să ne amintim informațiile necesare despre numerele complexe.

Număr complex este o expresie a formei o + bi, Unde o, b sunt numere reale și i- așa-numitul unitate imaginară, un simbol al cărui pătrat este egal cu –1, adică i 2 = –1. Număr o numit parte reală, și numărul b - parte imaginară număr complex z = o + bi. Dacă b= 0, atunci în schimb o + 0i ei pur și simplu scriu o. Se poate observa că numerele reale sunt caz special numere complexe.

Operații aritmetice pe numere complexe la fel ca și pentru cele reale: pot fi adunate, scăzute, înmulțite și împărțite între ele. Adunarea și scăderea au loc conform regulii ( o + bi) ± ( c + di) = (o ± c) + (b ± d)i, iar înmulțirea urmează regula ( o + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i(aici se foloseste ca i 2 = –1). Număr = o – bi numit conjugat complex La z = o + bi. Egalitatea z · = o 2 + b 2 vă permite să înțelegeți cum să împărțiți un număr complex la un alt număr complex (diferit de zero):

(De exemplu, .)

Numerele complexe au o reprezentare geometrică convenabilă și vizuală: numărul z = o + bi poate fi reprezentat printr-un vector cu coordonate ( o; b) pe planul cartezian (sau, ceea ce este aproape același lucru, un punct - capătul unui vector cu aceste coordonate). În acest caz, suma a două numere complexe este reprezentată ca suma vectorilor corespunzători (care poate fi găsită folosind regula paralelogramului). Conform teoremei lui Pitagora, lungimea vectorului cu coordonatele ( o; b) este egal cu . Această cantitate se numește modul număr complex z = o + biși se notează cu | z|. Unghiul pe care îl face acest vector cu direcția pozitivă a axei x (numărat în sens invers acelor de ceasornic) se numește argument număr complex z si este notat cu Arg z. Argumentul nu este definit în mod unic, ci doar până la adăugarea unei valori care este multiplu de 2 π radiani (sau 360°, dacă sunt numărați în grade) - la urma urmei, este clar că o rotație cu un astfel de unghi în jurul originii nu va schimba vectorul. Dar dacă vectorul lungimii r formează un unghi φ cu direcția pozitivă a axei x, atunci coordonatele sale sunt egale cu ( r cos φ ; r păcat φ ). De aici se dovedește formă trigonometricăînregistrări număr complex: z = |z| · (cos(Arg z) + i păcat (Arg z)). Este adesea convenabil să scrieți numere complexe în această formă, deoarece simplifică foarte mult calculele. Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică este foarte simplă: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i păcat (Arg z 1 + Arg z 2)) (la înmulțirea a două numere complexe, modulele acestora se înmulțesc și se adună argumentele). De aici urmează formulele lui Moivre: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i păcat( n· (Arg z))). Folosind aceste formule, este ușor să înveți cum să extragi rădăcini de orice grad din numere complexe. Rădăcină gradul al n-lea din numărul z- acesta este un număr complex w, Ce w n = z. Este clar că , și , unde k poate lua orice valoare din multime (0, 1, ..., n– 1). Aceasta înseamnă că există întotdeauna exact n rădăcini n gradul unui număr complex (în plan ele sunt situate la vârfurile regulatei n-gon).

§ 1. Numere complexe: definiții, interpretare geometrică, acțiuni în forme algebrice, trigonometrice și exponențiale

Definiția unui număr complex

Egalități complexe

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe

Modulul și argumentul unui număr complex

Formele algebrice și trigonometrice ale unui număr complex

Forma exponențială a unui număr complex

formulele lui Euler

§ 2. Funcţii întregi (polinoame) şi proprietăţile lor de bază. Rezolvarea ecuațiilor algebrice pe mulțimea numerelor complexe

Definirea unei ecuații algebrice de gradul al-lea

Proprietățile de bază ale polinoamelor

Exemple de rezolvare a ecuațiilor algebrice pe mulțimea numerelor complexe

Întrebări de autotest

Glosar

§ 1. Numere complexe: definiții, interpretare geometrică, acțiuni în forme algebrice, trigonometrice și exponențiale

Definiția unui număr complex ( Prezentați definiția unui număr complex)

Un număr complex z este o expresie de următoarea formă:

Număr complex în formă algebrică,(1)

unde x, y Î;

- număr complex conjugat numărul z ;

- număr opus numărul z ;

- zero complex ;

– așa se notează mulțimea numerelor complexe.

1)z = 1 + iÞRe z= 1, Im z = 1, = 1 – eu, = –1 – i ;

2)z = –1 + iÞRe z= –1, Im z = , = –1 – eu, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ dacă sunt z= 0, atunci z = x- număr real;

4)z = 0 + 3i = 3iÞRe z= 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Þ dacă Re z= 0, atunci z = iy - număr pur imaginar.

Egalități complexe (Formulați sensul egalității complexe)

1) ;

2) .

O egalitate complexă este echivalentă cu un sistem de două egalități reale. Aceste egalități reale se obțin din egalitatea complexă prin separarea părților reale și imaginare.

1) ;

2) .

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe ( Care este reprezentarea geometrică a numerelor complexe?)

Număr complex z reprezentat printr-un punct ( x , y) pe planul complex sau vectorul rază al acestui punct.

Semn zîn al doilea trimestru înseamnă că sistemul coordonate carteziene va fi folosit ca un plan complex.

Modulul și argumentul unui număr complex ( Care este modulul și argumentul unui număr complex?)

Modulul unui număr complex este un număr real nenegativ

.(2)

Din punct de vedere geometric, modulul unui număr complex este lungimea vectorului care reprezintă numărul z, sau raza polară a unui punct ( x , y).

Desenați următoarele numere pe planul complex și scrieți-le în formă trigonometrică.

1)z = 1 + i Þ

Þ ;

5),

adică pentru z = 0 va fi

, j nedefinit.

Operatii aritmetice pe numere complexe (Dați definiții și enumerați proprietățile de bază ale operațiilor aritmetice pe numere complexe.)

Adunarea (scăderea) numerelor complexe

z 1 ± z 2 = (x 1 + iy 1) ± ( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + i (y 1 ± y 2),(5)

adică la adunarea (scăderea) numerelor complexe se adună (scad) părțile lor reale și imaginare.

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .

Proprietățile de bază ale adăugării

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Înmulțirea numerelor complexe în formă algebrică

z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + i 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + i (x 1y 2 + y 1x 2),

adică înmulțirea numerelor complexe în formă algebrică se realizează după regula înmulțirii algebrice a unui binom cu un binom, urmată de înlocuirea și reducerea celor similare în termeni reali și imaginari.

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .

Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică

z 1∙z 2 = r 1(cos j 1 + i păcat j 1)× r 2 (cos j 2 + i păcat j 2) =

= r 1r 2 (cos j 1cos j 2 + i cos j 1sin j 2 + i păcat j 1cos j 2 + i 2 păcat j 1sin j 2) =

= r 1r 2((cos j 1cos j 2 – păcat j 1sin j 2) + i(cos j 1sin j 2 + păcat j 1cos j 2))

Produsul numerelor complexe în formă trigonometrică, adică la înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică, modulele lor se înmulțesc și se adună argumentele lor.

Proprietățile de bază ale înmulțirii

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - comutativitate;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - asociativitate;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - distributivitatea în raport cu adunarea;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

Împărțirea numerelor complexe

Împărțirea este operația inversă a înmulțirii, deci

Dacă z × z 2 = z 1 și z 2 ¹ 0, atunci .

Când se efectuează împărțirea în formă algebrică, numărătorul și numitorul fracției sunt înmulțite cu conjugatul complex al numitorului:

Împărțirea numerelor complexe în formă algebrică.(7)

Când se efectuează împărțirea în formă trigonometrică, modulele sunt împărțite și argumentele sunt scăzute:

Împărțirea numerelor complexe în formă trigonometrică.(8)

2)
.

Ridicarea unui număr complex la o putere naturală

Este mai convenabil să efectuați exponențiarea în formă trigonometrică:

formula lui Moivre, (9)

adică atunci când un număr complex este ridicat la o putere naturală, modulul său este ridicat la această putere, iar argumentul este înmulțit cu exponent.

Calculați (1 + i)10.

Note

1. La efectuarea operațiilor de înmulțire și ridicare la o putere naturală în formă trigonometrică, se pot obține valori de unghi dincolo de o revoluție completă. Dar ele pot fi întotdeauna reduse la unghiuri sau prin scăderea unui număr întreg de rotații complete folosind proprietățile de periodicitate ale funcțiilor și .

2. Înțeles numită valoarea principală a argumentului unui număr complex;

în acest caz, valorile tuturor unghiurilor posibile sunt notate cu ;

este evident că , .

Extracția rădăcinilor grad natural dintr-un număr complex

formulele lui Euler (16)

conform căruia funcții trigonometrice iar o variabilă reală sunt exprimate prin functie exponentiala(exponent) cu un exponent pur imaginar.

§ 2. Funcţii întregi (polinoame) şi proprietăţile lor de bază. Rezolvarea ecuațiilor algebrice pe mulțimea numerelor complexe

Două polinoame de același grad n sunt identic egali între ei dacă și numai dacă coeficienții lor coincid pentru aceleași puteri ale variabilei x, adică

Dovada

w Identitatea (3) este valabilă pentru „xО (sau „xО)

Þ este valabil pentru ; înlocuind, obținem un = bn .

Să anulăm reciproc termenii din (3) unŞi bnși împărțiți ambele părți la x :

Această identitate este valabilă și pentru " x, inclusiv când x = 0

Þ presupunând x= 0, obținem un – 1 = bn – 1.

Să anulăm reciproc termenii din (3") un– 1 și o n– 1 și împărțiți ambele părți la x, ca rezultat obținem

Continuând raționamentul în mod similar, obținem că un – 2 = bn –2, …, O 0 = b 0.

Astfel, s-a dovedit că egalitatea identică a polinoamelor 2-x implică coincidența coeficienților lor la aceleași grade. x .

Afirmația inversă este pe bună dreptate evidentă, adică. dacă două polinoame au aceiași coeficienți, atunci sunt funcții identice, prin urmare, valorile lor coincid pentru toate valorile argumentului, ceea ce înseamnă că sunt identice egale. Proprietatea 1 a fost complet dovedită. v

La împărțirea unui polinom Pn (x) prin diferenta ( x – X 0) restul este egal cu Pn (x 0), adică

teorema lui Bezout,(4)

Unde Qn – 1(x) - partea întreagă a diviziunii, este un polinom de grad ( n – 1).

Dovada

w Să scriem formula de împărțire cu un rest:

Pn (x) = (x – X 0)∙Qn – 1(x) + O ,

Unde Qn – 1(x) - polinom de grad ( n – 1),

O- restul, care este un număr datorat algoritmului binecunoscut de împărțire a unui polinom la un binom „în coloană”.

Această egalitate este adevărată pentru " x, inclusiv când x = X 0 Þ

Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + O Þ

O = Pn (X 0), etc. v

Corolar al teoremei lui Bezout. La împărțirea unui polinom la un binom fără rest

Dacă numărul X 0 este zero al unui polinom, atunci acest polinom este împărțit la diferența ( x – X 0) fără rest, adică

Þ .(5)

1) , din moment ce P 3(1) º 0

2) pentru că P 4(–2) º 0

3) pentru că P 2(–1/2) º 0

Împărțirea polinoamelor în binoame „într-o coloană”:

Fiecare polinom de gradul n ³ 1 are cel puțin un zero, real sau complex

Dovada acestei teoreme depășește scopul cursului nostru. Prin urmare, acceptăm teorema fără demonstrație.

Să lucrăm la această teoremă și teorema lui Bezout cu polinomul Pn (x).

După n-aplicarea multiplă a acestor teoreme obţinem că

Unde o 0 este coeficientul la x n V Pn (x).

Corolar al teoremei fundamentale a algebrei. Despre descompunerea unui polinom în factori liniari

Orice polinom de grad din mulțimea numerelor complexe poate fi descompus în n factori liniari, adică

Expansiunea unui polinom în factori liniari, (6)

unde x1, x2, ... xn sunt zerourile polinomului.

Mai mult, dacă k numere din set X 1, X 2, … xn coincid între ele și cu numărul a, apoi în produsul (6) multiplicatorul ( x– a) k. Apoi numărul x= a se numește k-ori zero al polinomului Pn ( x) . Dacă k= 1, atunci se numește zero zero simplu al polinomului Pn ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - zero simplu, x 2 = 4 - triplu zero;

2)P 4(x) = (x – i)4 Þ x = i- multiplicitate zero 4.

Proprietatea 4 (despre numărul de rădăcini ale unei ecuații algebrice)

Orice ecuație algebrică Pn(x) = 0 de gradul n are exact n rădăcini pe mulțimea numerelor complexe, dacă numărăm fiecare rădăcină de câte ori multiplicitatea ei.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - ecuația algebrică de gradul doi

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± i- două rădăcini;

2)x 3 + 1 = 0 - ecuația algebrică de gradul trei

Þ x 1,2,3 = - trei rădăcini;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Þ x 1 = 1, deoarece P 3(1) = 0.

Împărțiți polinomul P 3(x) la ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Ecuația originală

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 Û( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - rădăcină simplă, x 2 = –1 - rădăcină dublă.

1) – rădăcini conjugate complexe pereche;

Orice polinom cu coeficienți reali este descompus în produsul lui liniar și funcții pătratice cu coeficienți reali.

Dovada

w Lasă x 0 = o + bi- zero al unui polinom Pn (x). Dacă toți coeficienții acestui polinom sunt numere reale, atunci este și zeroul său (prin proprietatea 5).

Să calculăm produsul binoamelor :

ecuație polinomială cu numere complexe

Primit ( x – o)2 + b 2 - trinom pătrat cu coeficienți reali.

Astfel, orice pereche de binoame cu rădăcini complexe conjugate în formula (6) duce la trinom pătratic cu cote reale. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Exemple de rezolvare a ecuațiilor algebrice pe mulțimea numerelor complexe ( Dați exemple de rezolvare a ecuațiilor algebrice pe mulțimea numerelor complexe)

1. Ecuații algebrice de gradul I:

, este singura rădăcină simplă.

2. Ecuații cuadratice:

, – are întotdeauna două rădăcini (diferite sau egale).

1) .

3. Ecuații binomiale de grad:

, – are întotdeauna rădăcini diferite.

Raspuns: , .

4. Rezolvați ecuația cubică.

O ecuație de gradul trei are trei rădăcini (reale sau complexe) și trebuie să numărați fiecare rădăcină de atâtea ori cât multiplicitatea ei. Deoarece toți coeficienții acestei ecuații sunt numere reale, rădăcinile complexe ale ecuației, dacă există, vor fi conjugate complexe de perechi.

Prin selecție găsim prima rădăcină a ecuației, deoarece .

Prin corolar teoremei lui Bezout. Calculăm această împărțire „în coloană”:

_

_

_

Acum, reprezentând polinomul ca produs al unui factor liniar și al unui factor pătrat, obținem:

Găsim și alte rădăcini ca rădăcini ale unei ecuații pătratice:

Raspuns: , .

5. Construiți o ecuație algebrică de cel mai mic grad cu coeficienți reali, dacă se știe că numerele x 1 = 3 și x 2 = 1 + i sunt rădăcinile sale și x 1 este o rădăcină dublă și x 2 - simplu.

Numărul este și rădăcina ecuației, deoarece coeficienții ecuației trebuie să fie reali.

În total, ecuația necesară are 4 rădăcini: x 1, x 1,x 2, . Prin urmare, gradul său este 4. Compunem un polinom de gradul 4 cu zerouri x

11. Ce este un zero complex?

13. Formulați sensul egalității complexe.

15. Care este modulul și argumentul unui număr complex?

17. Care este argumentul unui număr complex?

18. Care este numele sau semnificația formulei?

19. Explicați semnificația notației din această formulă:

27. Dați definiții și enumerați principalele proprietăți ale operațiilor aritmetice pe numere complexe.

28. Care este numele sau semnificația formulei?

29. Explicați semnificația notației din această formulă:

31. Care este numele sau semnificația formulei?

32. Explicați semnificația notației din această formulă:

34. Care este numele sau semnificația formulei?

35. Explicați semnificația notației din această formulă:

61. Enumeraţi principalele proprietăţi ale polinoamelor.

63. Precizați proprietatea despre împărțirea unui polinom la diferența (x – x0).

65. Care este numele sau semnificația formulei?

66. Explicați semnificația notației din această formulă:

67. ⌂ .

69. Enunţaţi teorema: teorema fundamentală a algebrei.

70. Care este numele sau semnificația formulei?

71. Explicați semnificația notației din această formulă:

75. Prezentați proprietatea cu privire la numărul de rădăcini ale unei ecuații algebrice.

78. Prezentați proprietatea despre descompunerea unui polinom cu coeficienți reali în factori liniari și pătratici.

Glosar

K-fold zero al unui polinom este... (p. 18)

un polinom algebric se numește... (p. 14)

algebric ecuația a n-a gradul se numește... (pag. 14)

forma algebrică a unui număr complex se numește... (p. 5)

argumentul unui număr complex este... (pagina 4)

partea reală a unui număr complex z este... (pagina 2)

un număr conjugat complex este... (pagina 2)

zero complex este... (pagina 2)

un număr complex se numește... (pagina 2)

o rădăcină de gradul n a unui număr complex se numește... (p. 10)

rădăcina ecuației este... (p. 14)

coeficienții polinomului sunt... (p. 14)

unitatea imaginară este... (pagina 2)

partea imaginară a unui număr complex z este... (pagina 2)

modulul unui număr complex se numește... (p. 4)

zeroul unei funcții se numește... (p. 14)

forma exponențială a unui număr complex se numește... (p. 11)

un polinom se numește... (p. 14)

un zero simplu al unui polinom se numește... (p. 18)

numărul opus este... (pagina 2)

gradul unui polinom este... (p. 14)

forma trigonometrică a unui număr complex se numește... (p. 5)

Formula lui Moivre este... (p. 9)

Formulele lui Euler sunt... (pagina 13)

întreaga funcție se numește... (pag. 14)

un număr pur imaginar este... (p. 2)

Pentru a rezolva probleme cu numere complexe, trebuie să înțelegeți definițiile de bază. Scopul principal al acestui articol de revizuire este de a explica ce sunt numerele complexe și de a prezenta metode de rezolvare a problemelor de bază cu numere complexe. Deci, un număr complex va fi numit număr al formei z = a + bi, Unde a, b- numerele reale, care se numesc părțile reale și, respectiv, imaginare ale unui număr complex, și denotă a = Re(z), b=Im(z).
i numită unitatea imaginară. i 2 = -1. În special, orice număr real poate fi considerat complex: a = a + 0i, unde a este real. Dacă a = 0Şi b ≠ 0, atunci numărul este de obicei numit pur imaginar.

Acum să introducem operații pe numere complexe.
Luați în considerare două numere complexe z 1 = a 1 + b 1 iŞi z 2 = a 2 + b 2 i.

Să luăm în considerare z = a + bi.

Mulțimea numerelor complexe extinde mulțimea numerelor reale, care la rândul său extinde mulțimea numere raționale etc. Acest lanț de investiții poate fi văzut în figură: N – numere naturale, Z - numere întregi, Q - rațional, R - real, C - complex.

Reprezentarea numerelor complexe

Notație algebrică.

Luați în considerare un număr complex z = a + bi, această formă de scriere a unui număr complex se numește algebric. Am discutat deja despre această formă de înregistrare în detaliu în secțiunea anterioară. Următorul desen vizual este folosit destul de des

Forma trigonometrică.

Din figură se poate observa că numărul z = a + bi poate fi scris diferit. Este evident că a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, prin urmare z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) se numește argumentul unui număr complex. Această reprezentare a unui număr complex se numește formă trigonometrică. Forma trigonometrică a notației este uneori foarte convenabilă. De exemplu, este convenabil să îl utilizați pentru a ridica un număr complex la o putere întreagă, și anume, dacă z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Asta z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, această formulă se numește formula lui Moivre.

Forma demonstrativă.

Să luăm în considerare z = rcos(φ) + rsin(φ)i- un număr complex în formă trigonometrică, scrieți-l într-o altă formă z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, ultima egalitate rezultă din formula lui Euler, astfel am obținut o nouă formă de scriere a unui număr complex: z = re iφ, care se numește indicativ. Această formă de notație este, de asemenea, foarte convenabilă pentru ridicarea unui număr complex la o putere: z n = r n e inφ, Aici n nu neapărat un număr întreg, dar poate fi un număr real arbitrar. Această formă de notație este destul de des folosită pentru a rezolva probleme.

Teorema fundamentală a algebrei superioare

Să ne imaginăm că avem o ecuație pătratică x 2 + x + 1 = 0. Evident, discriminantul acestei ecuații este negativ și nu are rădăcini reale, dar rezultă că această ecuație are două rădăcini complexe diferite. Deci, teorema fundamentală a algebrei superioare afirmă că orice polinom de grad n are cel puțin o rădăcină complexă. De aici rezultă că orice polinom de gradul n are exact n rădăcini complexe, ținând cont de multiplicitatea acestora. Această teoremă este un rezultat foarte important în matematică și este utilizată pe scară largă. Un simplu corolar al acestei teoreme este că există exact n rădăcini diferite de gradul n de unitate.

Principalele tipuri de sarcini

Această secțiune va acoperi principalele tipuri sarcini simple la numere complexe. În mod convențional, problemele care implică numere complexe pot fi împărțite în următoarele categorii.

Efectuarea de operații aritmetice simple pe numere complexe.
Găsirea rădăcinilor polinoamelor în numere complexe.
Ridicarea numerelor complexe la puteri.
Extragerea rădăcinilor din numere complexe.
Utilizarea numerelor complexe pentru a rezolva alte probleme.

Acum să luăm în considerare tehnici generale solutii la aceste probleme.

Cele mai simple operații aritmetice cu numere complexe sunt efectuate conform regulilor descrise în prima secțiune, dar dacă numerele complexe sunt prezentate în forme trigonometrice sau exponențiale, atunci în acest caz le puteți converti în formă algebrică și puteți efectua operații conform regulilor cunoscute.

Găsirea rădăcinilor polinoamelor se reduce de obicei la găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să presupunem că avem o ecuație pătratică, dacă discriminantul ei este nenegativ, atunci rădăcinile sale vor fi reale și pot fi găsite după o formulă binecunoscută. Dacă discriminantul este negativ, adică D = -1∙a 2, Unde o este un anumit număr, atunci discriminantul poate fi reprezentat ca D = (ia) 2, prin urmare √D = i|a|, și apoi puteți utiliza formula deja cunoscută pentru rădăcinile unei ecuații pătratice.

Exemplu. Să revenim la ecuația pătratică menționată mai sus x 2 + x + 1 = 0.
discriminant - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Acum putem găsi cu ușurință rădăcinile:

Ridicarea numerelor complexe la puteri se poate face în mai multe moduri. Dacă trebuie să ridicați un număr complex în formă algebrică la o putere mică (2 sau 3), atunci puteți face acest lucru prin înmulțire directă, dar dacă puterea este mai mare (în probleme este adesea mult mai mare), atunci trebuie să scrieți acest număr în forme trigonometrice sau exponențiale și folosiți metode deja cunoscute.

Exemplu. Se consideră z = 1 + i și se ridică la a zecea putere.
Să scriem z în formă exponențială: z = √2 e iπ/4.
Apoi z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Să revenim la forma algebrică: z 10 = -32i.

Extragerea rădăcinilor din numere complexe este operația inversă de exponențiere și, prin urmare, se realizează într-un mod similar. Pentru a extrage rădăcini, este adesea folosită forma exponențială de a scrie un număr.

Exemplu. Să găsim toate rădăcinile de gradul 3 de unitate. Pentru a face acest lucru, vom găsi toate rădăcinile ecuației z 3 = 1, vom căuta rădăcinile în formă exponențială.
Să substituim în ecuație: r 3 e 3iφ = 1 sau r 3 e 3iφ = e 0 .
Prin urmare: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, deci φ = 2πk/3.
Se obțin rădăcini diferite la φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Prin urmare 1, e i2π/3, e i4π/3 sunt rădăcini.
Sau sub formă algebrică:

Ultimul tip de probleme include o mare varietate de probleme și nu există metode generale de rezolvare a acestora. Să dăm un exemplu simplu de astfel de sarcină:

Găsiți suma sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Deși formularea acestei probleme nu vorbește despre numere complexe, ea poate fi ușor rezolvată cu ajutorul lor. Pentru a o rezolva, se folosesc următoarele reprezentări:

Dacă substituim acum această reprezentare în sumă, atunci problema se reduce la însumarea progresiei geometrice obișnuite.

Concluzie

Numerele complexe sunt utilizate pe scară largă în matematică; acest articol de revizuire a examinat operațiile de bază asupra numerelor complexe, a descris mai multe tipuri de probleme standard și a descris pe scurt metodele generale de rezolvare a acestora, pentru un studiu mai detaliat al capacităților numerelor complexe; folosi literatura de specialitate.

Literatură

Clasă 12 . Numerele complexe.

12.1. Definirea numerelor complexe în formă algebrică. Compararea și reprezentarea numerelor complexe pe plan complex. Împerecherea complexă. Adunarea, înmulțirea, împărțirea numerelor complexe.

12.2. Modulul, argumentul unui număr complex.

12.3. Forme trigonometrice și exponențiale de scriere a unui număr complex.

12.4. Ridicarea la o putere întreagă și extragerea rădăcinii unui număr complex.

Definirea numerelor complexe în formă algebrică. Compararea și reprezentarea numerelor complexe pe plan complex. Împerecherea complexă. Adunarea, înmulțirea, împărțirea numerelor complexe.

Un număr complex în formă algebrică este numărul

Unde
numit unitate imaginarăŞi
- numere reale:
numit parte reală (reala).;
- parte imaginară număr complex . Numere complexe ale formei
sunt numite numere pur imaginare. Setul tuturor numerelor complexe este notat cu literă .

Prin definiție,

Mulțimea tuturor numerelor reale face parte din set
: . Pe de altă parte, există numere complexe care nu aparțin mulțimii
.
De exemplu,
.

Şi , pentru că Numerele complexe în formă algebrică apar în mod natural la rezolvare

ecuații pătratice cu un discriminant negativ.
.

Exemplul 1

. Rezolvați ecuația

,
.

Soluţie. , Prin urmare, ecuația pătratică dată are rădăcini complexe

,

,
.

Exemplul 2 ,

. Găsiți părțile reale și imaginare ale numerelor complexe
În consecință, părțile reale și imaginare ale numărului Orice număr complex
reprezentat printr-un vector pe planul complex , reprezentând un plan cu un sistem de coordonate carteziene
. Începutul vectorului se află în punct
, iar sfârșitul este în punctul cu coordonatele
(Figura 1.) Axa .

se numește axa reală, iar axa
- axa imaginară a planului complex
Numerele complexe sunt comparate între ele numai prin semne
. . .
Dacă cel puțin una dintre egalități:.

este încălcat, atunci Înregistrări de tip
nu au sens
Prin definiție, complex
număr
numit conjugatul complex al unui număr

În acest caz ei scriu

. Este evident că.

Peste tot mai jos, o bară deasupra unui număr complex va însemna o conjugare complexă.

De exemplu, .

Puteți efectua operații pe numere complexe, cum ar fi adunarea (scăderea), înmulțirea și împărțirea.

1. Adunarea numerelor complexe
facut asa: Proprietățile operației de adăugare:

- proprietatea comutativitatii; - proprietatea asociativităţii. Este ușor de observat că, din punct de vedere geometric, adunarea numerelor complexe

înseamnă adăugarea celor corespunzătoare acestora în avion Este ușor de observat că, din punct de vedere geometric, adunarea numerelor complexe

vectori conform regulii paralelogramului.

De exemplu, .

Operație de scădere a numărului

din mijloc

facut asa: 2. Înmulțirea numerelor complexe
Proprietățile operației de înmulțire:

- proprietatea asociativitatii;- legea distributivității.
3. Împărțirea numerelor complexe

fezabil numai cu si se face asa:
3. Împărțirea numerelor complexe

Exemplul 3
.

. Găsi

, Dacă .

Exemplul 4

. Calcula
z, pentru că notat cu ) este un număr nenegativ
, adică
.

Sensul geometric - lungimea vectorului reprezentând numărul pe plan complex .
Ecuaţie definește mulțimea tuturor numerelor (vectori per
.

), ale căror capete se află pe cercul unitar
Argumentul numărului complex notat cu
(argument ) acesta este un unghi
în radiani între axa reală pe plan complex si numarul , și
pozitiv dacă se numără din la în sens invers acelor de ceasornic și negativ dacă
pozitiv dacă se numără din măsurată de pe axă.

în sensul acelor de ceasornic Deci argumentul numărului
se determină ambiguu, până la un termen
, Unde . Cu siguranță un argument de număr
determinat în cadrul unei runde a cercului unitar . în avion
De obicei, trebuie să găsești
,în cadrul intervalului această valoare se numește valoarea principală a argumentului număr
.

si este desemnat
Şi numere
poate fi găsită din ecuație , în timp ce Neapărat trebuie luate în considerare , în care sfert de avion se află capătul vectorului
:

- punct
Dacă (primul sfert de avion

- punct
), Că ; (al doilea sfert de avion

- punct
), Că; (primul sfert de avion

- punct
(al treilea sfert de avion (al patrulea sfert de avion

), Că .
De fapt, modulul și argumentul numărului
, acestea sunt coordonate polare
puncte determinat în cadrul unei runde a cercului unitar .

- sfârşitul vectorului Exemplul 5

. Găsiți modulul și valoarea principală a argumentului numere:
Argumente ale numerelor aflate pe axe , separând sferturile 1,2,3,4 ale planului complex .

, pot fi găsite imediat din reprezentările grafice ale acestor numere în plan

Forme trigonometrice și exponențiale de scriere a unui număr complex. Înmulțirea și împărțirea numerelor complexe în notație trigonometrică și exponențială. Notație trigonometrică
număr complex

, (2)

Unde are forma: - modul, - argumentul numărului complex

. Această reprezentare a numerelor complexe rezultă din egalități.(Indicativ exponenţială
număr complex

, (3)

Unde are forma: ) formă de scriere a unui număr complex - argumentul numărului

. (4)

. Posibilitatea reprezentării numerelor complexe în formă exponențială (3) rezultă din forma trigonometrică (2) și din formula lui Euler:

Această formulă este dovedită în cursul TFKP (Teoria funcțiilor unei variabile complexe). Exemplul 6

. Găsiți forme trigonometrice și exponențiale pentru numere complexe: din exemplul 5.

Soluţie. Să folosim rezultatele Exemplului 5, în care se găsesc modulele și argumentele tuturor numerelor specificate. ,

- forma trigonometrică a scrierii unui număr .

Soluţie. Să folosim rezultatele Exemplului 5, în care se găsesc modulele și argumentele tuturor numerelor specificate. ,

- forma trigonometrică a scrierii unui număr .

- forma exponentiala a scrierii unui numar ,

- forma trigonometrică a scrierii unui număr .

Soluţie. Să folosim rezultatele Exemplului 5, în care se găsesc modulele și argumentele tuturor numerelor specificate. ,

- forma trigonometrică a scrierii unui număr .

Forma trigonometrică a scrierii unui număr ,

Soluţie. Să folosim rezultatele Exemplului 5, în care se găsesc modulele și argumentele tuturor numerelor specificate. ,

Forma trigonometrică a unui număr .

Soluţie. Să folosim rezultatele Exemplului 5, în care se găsesc modulele și argumentele tuturor numerelor specificate. ,

- forma trigonometrică a scrierii unui număr .

Forma exponențială a scrierii numerelor complexe conduce la următoarea interpretare geometrică a operațiilor de înmulțire și împărțire a numerelor complexe. Lasă
- forme exponenţiale ale numerelor
.

1. La înmulțirea numerelor complexe, modulele lor sunt înmulțite și argumentele lor sunt adăugate.

2. La împărțirea unui număr complex pe număr se dovedește a fi un număr complex , modul care este egal cu raportul de module , și argumentul - diferențe
argumente numerice
.

Ridicarea la o putere întreagă și extragerea rădăcinii unui număr complex.

Prin definiție,

Când este ridicat la o putere întreagă număr complex
, ar trebui să procedați astfel: mai întâi găsiți modulul si argument acest număr; introduce în formă demonstrativă
;
găsi