O mediană este un segment trasat de la vârful unui triunghi până la mijlocul laturii opuse, adică îl împarte în jumătate în punctul de intersecție. Punctul în care mediana intersectează latura opusă vârfului din care iese se numește bază. Fiecare mediană a triunghiului trece printr-un punct, numit punct de intersecție. Formula lungimii sale poate fi exprimată în mai multe moduri.

Formule pentru exprimarea lungimii medianei

  • Adesea, în problemele de geometrie, elevii trebuie să se ocupe de un segment, cum ar fi mediana unui triunghi. Formula pentru lungimea sa este exprimată în termeni de laturi:

unde a, b și c sunt laturile. Mai mult, c este partea pe care cade mediana. Așa arată cea mai simplă formulă. Medianele unui triunghi sunt uneori necesare pentru calculele auxiliare. Există și alte formule.

  • Dacă în timpul calculului se cunosc două laturi ale unui triunghi și un anumit unghi α situat între ele, atunci lungimea medianei triunghiului, coborâtă la a treia latură, se va exprima astfel.

Proprietăți de bază

  • Toate medianele au un punct comun de intersecție O și sunt împărțite de acesta într-un raport de doi la unu, dacă sunt numărate de la vârf. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului.
  • Mediana împarte triunghiul în alți doi triunghi ale căror arii sunt egale. Astfel de triunghiuri se numesc arie egală.
  • Dacă desenați toate medianele, triunghiul va fi împărțit în 6 cifre egale, care vor fi și triunghiuri.
  • Dacă toate cele trei laturi ale unui triunghi sunt egale, atunci fiecare dintre mediane va fi, de asemenea, o altitudine și o bisectoare, adică perpendiculară pe latura de care este desenat și bisectează unghiul din care iese.
  • Într-un triunghi isoscel, mediana trasă de la vârful care este opus laturii care nu este egală cu oricare alta va fi, de asemenea, altitudinea și bisectoarea. Medianele scăzute de la alte vârfuri sunt egale. Aceasta este, de asemenea, o condiție necesară și suficientă pentru isoscel.
  • Dacă un triunghi este baza unei piramide obișnuite, atunci înălțimea coborâtă la această bază este proiectată până la punctul de intersecție a tuturor medianelor.

  • Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată pe cea mai lungă latură este egală cu jumătate din lungimea sa.
  • Fie O punctul de intersecție al medianelor triunghiului. Formula de mai jos va fi adevărată pentru orice punct M.

  • Mediana unui triunghi are o altă proprietate. Formula pentru pătratul lungimii sale prin pătratele laturilor este prezentată mai jos.

Proprietățile laturilor pe care este trasată mediana

  • Dacă conectați oricare două puncte de intersecție ale medianelor cu laturile pe care sunt aruncate, atunci segmentul rezultat va fi linia mediană a triunghiului și va fi jumătate din latura triunghiului cu care nu are puncte comune.
  • Bazele altitudinilor și medianelor dintr-un triunghi, precum și punctele mijlocii ale segmentelor care leagă vârfurile triunghiului cu punctul de intersecție al altitudinilor, se află pe același cerc.

În concluzie, este logic să spunem că unul dintre cele mai importante segmente este mediana triunghiului. Formula sa poate fi folosită pentru a găsi lungimile celorlalte laturi ale sale.

Când studiezi orice subiect într-un curs școlar, poți selecta un anumit minim de probleme și, stăpânind metodele de rezolvare a acestora, studenții vor putea rezolva orice problemă la nivelul cerințelor programului pe tema studiată. Vă propun să luați în considerare probleme care vă vor permite să vedeți interrelațiile dintre subiectele individuale din cursul de matematică din școală. Prin urmare, sistemul compilat de sarcini este un mijloc eficient de repetare, generalizare și sistematizare a materialului educațional în cursul pregătirii elevilor pentru examen.

Pentru a promova examenul, va fi util să aveți informații suplimentare despre unele dintre elementele triunghiului. Să luăm în considerare proprietățile medianei unui triunghi și problemele de rezolvare a căror proprietăți pot fi utilizate. Sarcinile propuse implementează principiul diferențierii de nivel. Toate sarcinile sunt împărțite condiționat în niveluri (nivelul este indicat în paranteze după fiecare sarcină).

Să ne amintim câteva proprietăți ale medianei unui triunghi

Proprietatea 1. Demonstrați că mediana unui triunghi ABC, desenat din vârf O, mai puțin de jumătate din suma laturilor ABŞi A.C..

Dovada

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Proprietatea 2. Mediana taie triunghiul în două zone egale.

Dovada

Să desenăm din vârful B al triunghiului ABC mediana BD și înălțimea BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Deoarece segmentul BD este mediana, atunci

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Proprietatea 4. Medianele unui triunghi împart triunghiul în 6 triunghiuri egale.

Dovada

Să demonstrăm că aria fiecăruia dintre cele șase triunghiuri în care medianele împart triunghiul ABC este egală cu aria triunghiului ABC. Pentru a face acest lucru, luați în considerare, de exemplu, triunghiul AOF și lăsați o perpendiculară AK de la vârful A la linia BF.

Datorită proprietății 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Proprietatea 6. Mediana dintr-un triunghi dreptunghic tras de la vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză.

Dovada

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Consecințe:1. Centrul unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic se află la mijlocul ipotenuzei.

2. Dacă într-un triunghi lungimea medianei este egală cu jumătate din lungimea laturii pe care este trasată, atunci acest triunghi este dreptunghic.

SARCINI

La rezolvarea fiecărei probleme ulterioare, se folosesc proprietăți dovedite.

№1 Subiecte: Dublarea mediei. Dificultate: 2+

Semne și proprietăți ale unui paralelogram Note: 8,9

Stare

Pe continuarea mediei A.M. triunghi ABC pe punct M segment amânat M.D., egal A.M.. Demonstrați că patrulaterul ABDC- paralelogram.

Soluţie

Să folosim unul dintre semnele paralelogramului. Diagonalele unui patrulater ABDC se intersectează într-un punct Mși împărțiți-l în jumătate, deci patrulaterul ABDC- paralelogram.

Pentru a găsi mediana folosind laturile unui triunghi, nu trebuie să vă amintiți o formulă suplimentară. Este suficient să cunoaștem algoritmul de soluție.

Mai întâi, să ne uităm la problema în formă generală.

Dat un triunghi cu laturile a, b, c. Aflați lungimea medianei trasate pe latura b.

AB=a, AC=b, BC=c.

Pe raza BF graficăm segmentul FD, FD=BF.

Să conectăm punctul D cu punctele A și C.

Patrulaterul ABCD este un paralelogram (după atribut), deoarece diagonalele sale din punctul de intersecție sunt împărțite la jumătate.

Proprietatea diagonalelor unui paralelogram: suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale.

Prin urmare: AC²+BD²=2(AB²+BC²), ceea ce înseamnă b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². Prin construcție, BF este jumătate din BD, așadar

Aceasta este formula pentru a afla mediana unui triunghi pe baza laturilor sale. De obicei este scris astfel:

Să trecem la o anumită sarcină.

Laturile triunghiului sunt de 13 cm, 14 cm și 15 cm Aflați mediana triunghiului trasat pe latura lui de lungime medie.

Aplicând un raționament similar, obținem:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Proprietăți

  • Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care se numește centroid, și sunt împărțite de acest punct în două părți într-un raport de 2:1, numărând de la vârf.
  • Un triunghi este împărțit la trei mediane în șase triunghiuri egale.
  • Latura mai mare a triunghiului corespunde medianei mai mici.
  • Din vectorii care formează medianele se poate forma un triunghi.
  • Cu transformări afine, mediana devine mediana.
  • Mediana unui triunghi îl împarte în două părți egale.

Formule

  • Formula pentru mediana în termeni de laturi (derivată prin teorema lui Stewart sau prin extinderea la un paralelogram și folosind egalitatea în paralelogram a sumei pătratelor laturilor și a sumei pătratelor diagonalelor):
, unde m c este mediana laturii c; a, b, c sunt laturile triunghiului, prin urmare suma pătratelor medianelor unui triunghi arbitrar este întotdeauna de 4/3 ori mai mică decât suma pătratelor laturilor sale.
  • Formula secundară prin mediane:
, unde medianele laturilor corespunzătoare ale triunghiului sunt laturile triunghiului.

Dacă două mediane sunt perpendiculare, atunci suma pătratelor laturilor pe care sunt omise este de 5 ori pătratul celei de-a treia laturi.

Regulă mnemonică

maimuță mediană,
care are un ochi atent,
va sari chiar in mijloc
părțile în sus,
unde este acum?

Note

Vezi de asemenea

Legături


Fundația Wikimedia.

2010.

    Vedeți ce înseamnă „mediana unui triunghi” în alte dicționare:

    Mediana: Mediana unui triunghi în planimetrie, un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse în statistică, mediana este valoarea populației care împarte seria de date clasate în jumătate Median (statistici) ... . .. Wikipedia

    Mediană: Mediana unui triunghi în planimetrie, un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse Mediană (statistică) 0,5 cuantilă Mediană (urmă) linia de mijloc a unei urme trasate între dreapta și stânga... Wikipedia

    Triunghiul și medianele sale. Mediana unui triunghi este un segment din interiorul unui triunghi care leagă vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse, precum și o linie dreaptă care conține acest segment. Cuprins 1 Proprietăți 2 Formule ... Wikipedia O linie care leagă vârful unui triunghi de mijlocul bazei sale. Un dicționar complet de cuvinte străine care au intrat în uz în limba rusă. Popov M., 1907. median (lat. mediana medie) 1) geol. un segment care leagă vârful unui triunghi cu... ...

    Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse Mediană (din latină mediana media) în geometrie, un segment care leagă unul dintre vârfurile unui triunghi cu mijlocul laturii opuse. Cele trei triunghiuri M. se intersectează într-un punct, care uneori este numit „centrul de greutate” al triunghiului, deci...

    O linie dreaptă a unui triunghi (sau segmentul său în interiorul unui triunghi) care leagă vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Trei triunghiuri se intersectează într-un punct, care se numește centru de greutate al triunghiului, centroid sau... ... Enciclopedie matematică

    - (din latină mediana middle) un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse... Dicţionar enciclopedic mare

    MEDIAN, mediani, femei. (Latina mediana, lit. mijloc). 1. Linie dreaptă trasată de la vârful triunghiului până la mijlocul laturii opuse (mat.). 2. În statistică, pentru o serie de multe date, o cantitate care are proprietatea că numărul de date,... ... Dicționarul explicativ al lui Ușakov

    MEDIAN, s, femeie. În matematică: un segment de dreaptă care leagă vârful unui triunghi de mijlocul laturii opuse. Dicționarul explicativ al lui Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Şvedova. 1949 1992... Dicționarul explicativ al lui Ozhegov

    MEDIAN (din latină mediana middle), un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse... Dicţionar enciclopedic

Mediana unui triunghi- acesta este un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse a acestui triunghi.

Proprietățile medianelor triunghiulare

1. Mediana împarte un triunghi în două triunghiuri de arie egală.

2. Medianele triunghiului se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârf. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului (centroid).

3. Întregul triunghi este împărțit de medianele sale în șase triunghiuri egale.

Lungimea medianei trase în lateral: ( demonstrație prin construirea unui paralelogram și folosind egalitatea într-un paralelogram de două ori suma pătratelor laturilor și suma pătratelor diagonalelor )

T1. Cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct M, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârfurile triunghiului. Dat: ∆ ABC, SS 1, AA 1, BB 1 - mediane
∆ABC. Demonstrați: și

D-vo: Fie M punctul de intersecție al medianelor CC 1, AA 1 ale triunghiului ABC. Să notăm A 2 - mijlocul segmentului AM și C 2 - mijlocul segmentului CM. Atunci A 2 C 2 este linia de mijloc a triunghiului AMS. Mijloace, A 2 C 2|| AC

şi A2C2 = 0,5*AC. CU 1 O 1 - linia de mijloc a triunghiului ABC. Deci A 1 CU 1 || AC și A 1 CU 1 = 0,5*AC.

Patrulater A 2 C 1 A 1 C 2- un paralelogram, deoarece laturile sale opuse sunt A 1 CU 1 Şi A 2 C 2 egale și paralele. Prin urmare, A 2 M = MA 1 Şi C2M = MC 1 . Aceasta înseamnă că punctele A 2Şi Mîmpărțiți mediana AA 2în trei părți egale, adică AM = 2MA 2. La fel ca CM = 2MC 1 . Deci, punctul M al intersecției a două mediane AA 2Şi CC 2 triunghiul ABC împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârfurile triunghiului. Se dovedește într-un mod complet similar că punctul de intersecție al medianelor AA 1 și BB 1 împarte fiecare dintre ele în raport 2:1, numărând de la vârfurile triunghiului.

Pe mediana AA 1 un astfel de punct este punctul M, deci punct Mși există punctul de intersecție al medianelor AA 1 și BB 1.

Astfel, n

T2. Demonstrați că segmentele care leagă centroidul cu vârfurile triunghiului îl împart în trei părți egale. Dat: ∆ABC, - mediana sa.

Dovedi: S AMB =S BMC =S AMC .Dovada. ÎN, au în comun. deoarece bazele lor sunt egale și înălțimea trasă de la vârf M, au în comun. Apoi

În mod similar se demonstrează că S AMB = S AMC . Astfel, S AMB = S AMC = S CMB.n

Bisectoare de triunghi. Teoreme legate de bisectoare de triunghi. Formule pentru găsirea bisectoarelor

Bisectoarea unghiului- o rază cu început la vârful unui unghi, împărțind unghiul în două unghiuri egale.

Bisectoarea unui unghi este locul punctelor din interiorul unghiului care sunt echidistante de laturile unghiului.

Proprietăți

1. Teorema bisectoarei: Bisectoarea unui unghi interior al unui triunghi împarte latura opusă într-un raport egal cu raportul celor două laturi adiacente

2. Bisectoarele unghiurilor interioare ale unui triunghi se intersectează într-un punct - incentrul - centrul cercului înscris în acest triunghi.

3. Dacă două bisectoare dintr-un triunghi sunt egale, atunci triunghiul este isoscel (teorema Steiner-Lemus).

Calculul lungimii bisectoarei

l c - lungimea bisectoarei trase pe latura c,

a,b,c - laturile triunghiului opuse vârfurilor A,B,C, respectiv,

p este semiperimetrul triunghiului,

a l , b l - lungimile segmentelor în care bisectoarea l c împarte latura c,

α, β, γ - unghiuri interioare ale triunghiului la vârfurile A, B, C, respectiv,

h c este înălțimea triunghiului, coborâtă pe latura c.


Metoda zonei.

Caracteristicile metodei. După cum sugerează și numele, obiectul principal al acestei metode este zona. Pentru un număr de figuri, de exemplu pentru un triunghi, aria este pur și simplu exprimată prin diferite combinații de elemente ale figurii (triunghi). Prin urmare, o tehnică foarte eficientă este atunci când se compară diferite expresii pentru aria unei figuri date. În acest caz, apare o ecuație care conține elementele cunoscute și dorite ale figurii, prin rezolvarea cărora determinăm necunoscutul. Aici se manifestă principala caracteristică a metodei zonei - „face” o problemă algebrică dintr-o problemă geometrică, reducând totul la rezolvarea unei ecuații (și uneori a unui sistem de ecuații).

1) Metoda comparației: asociată cu un număr mare de formule S ale acelorași cifre

2) Metoda relației S: bazată pe probleme de suport de urme:



teorema lui Ceva

Fie că punctele A", B", C" se află pe liniile BC, CA, AB ale triunghiului. Liniile AA", BB", CC" se intersectează într-un punct dacă și numai dacă

Dovada.

Să notăm prin punctul de intersecție al segmentelor și . Să coborâm perpendicularele din punctele C și A pe dreapta BB 1 până când se intersectează cu ea în punctele K și, respectiv, L (vezi figura).

Deoarece triunghiurile au o latură comună, ariile lor sunt legate ca înălțimi trasate de această latură, de exemplu. AL și CK:

Ultima egalitate este adevărată, deoarece triunghiurile dreptunghiulare și sunt similare în unghi ascuțit.

În mod similar, obținem Şi

Să înmulțim aceste trei egalități:

Q.E.D.

Comentariu. Un segment (sau continuarea unui segment) care leagă vârful unui triunghi cu un punct situat pe partea opusă sau continuarea acestuia se numește ceviana.

Teorema (inversa teoremei lui Ceva). Fie punctele A", B", C" să se afle pe laturile BC, CA și, respectiv, AB ale triunghiului ABC. Să fie satisfăcută relația

Apoi segmentele AA",BB",CC" se intersectează într-un punct.

teorema lui Menelaus

teorema lui Menelaus. Fie că o dreaptă intersectează triunghiul ABC, cu C 1 punctul de intersecție cu latura AB, A 1 punctul de intersecție cu latura BC și B 1 punctul de intersecție cu prelungirea laturii AC. Apoi

Dovada . Să tragem o dreaptă paralelă cu AB prin punctul C. Să notăm cu K punctul său de intersecție cu dreapta B 1 C 1 .

Triunghiurile AC 1 B 1 și CKB 1 sunt similare (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Prin urmare,

Triunghiurile BC 1 A 1 și CKA 1 sunt de asemenea similare (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Mijloace,

Din fiecare egalitate exprimăm CK:

Unde Q.E.D.

Teorema (teorema inversă a lui Menelaus). Fie dat triunghiul ABC. Fie punctul C 1 să se afle pe latura AB, punctul A 1 pe latura BC și punctul B 1 pe continuarea laturii AC și să fie valabilă următoarea relație:

Atunci punctele A 1, B 1 și C 1 se află pe aceeași linie.