Este perimetrul acestor triunghiuri constant? Perimetrul unui triunghi care are două laturi egale. Conform acestor trei laturi

Cum se află perimetrul unui triunghi? Fiecare dintre noi a pus această întrebare în timp ce studia la școală. Să încercăm să ne amintim tot ce știm despre această figură uimitoare și, de asemenea, să răspundem la intrebare pusa.

Răspunsul la întrebarea cum să găsiți perimetrul unui triunghi este de obicei destul de simplu - trebuie doar să efectuați procedura de adăugare a lungimilor tuturor laturilor sale. Cu toate acestea, mai sunt câteva metode simple valoarea dorită.

Sfat

Dacă raza (r) cercului înscris în triunghi și aria lui (S) sunt cunoscute, atunci răspunsul la întrebarea cum să găsiți perimetrul triunghiului este destul de simplu. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați formula obișnuită:

Dacă se cunosc două unghiuri, să spunem α și β, care sunt adiacente laturii și lungimea laturii în sine, atunci perimetrul poate fi găsit folosind o formulă foarte, foarte populară, care arată astfel:

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а

Dacă cunoașteți lungimile laturilor adiacente și unghiul β dintre ele, atunci pentru a găsi perimetrul, trebuie să utilizați Perimetrul se calculează folosind formula:

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),

unde b2 și a2 sunt pătratele lungimilor laturilor adiacente. Expresia radicală este lungimea celei de-a treia laturi care este necunoscută, exprimată folosind teorema cosinusului.

Dacă nu știi cum să găsești perimetrul, atunci nu este nimic complicat aici. Calculați-l folosind formula:

unde b este baza triunghiului, a este laturile acestuia.

Pentru a găsi perimetrul unui triunghi obișnuit, utilizați cea mai simplă formulă:

unde a este lungimea laturii.

Cum să găsiți perimetrul unui triunghi dacă sunt cunoscute doar razele cercurilor care sunt circumscrise în jurul lui sau înscrise în el? Dacă triunghiul este echilateral, atunci trebuie aplicată formula:

P = 3R√3 = 6r√3,

unde R și r sunt razele cercului circumferitor și, respectiv, cercului înscris.

Dacă triunghiul este isoscel, atunci i se aplică formula:

P=2R (sinβ + 2sinα),

unde α este unghiul care se află la bază și β este unghiul opus bazei.

Adesea, rezolvarea problemelor matematice necesită o analiză aprofundată și o abilitate specifică de a găsi și de a deriva formulele necesare, iar aceasta, după cum mulți oameni știu, este o muncă destul de dificilă. Deși unele probleme pot fi rezolvate cu o singură formulă.

Să ne uităm la formulele care sunt de bază pentru a răspunde la întrebarea cum să găsim perimetrul unui triunghi, în raport cu o mare varietate de tipuri de triunghiuri.

Desigur, regula principală pentru găsirea perimetrului unui triunghi este această afirmație: pentru a găsi perimetrul unui triunghi, trebuie să adăugați lungimile tuturor laturilor sale folosind formula corespunzătoare:

unde b, a și c sunt lungimile laturilor triunghiului, iar P este perimetrul triunghiului.

Există mai multe cazuri speciale ale acestei formule. Să presupunem că sarcina ta este formulată după cum urmează: „cum să găsești perimetrul triunghi dreptunghic? În acest caz, ar trebui să utilizați următoarea formulă:

P = b + a + √(b2 + a2)

În această formulă, b și a sunt lungimile imediate ale catetelor triunghiului dreptunghic. Este ușor de ghicit că în locul laturii cu (ipotenuză) se folosește o expresie, obținută din teorema marelui om de știință al antichității - Pitagora.

Dacă trebuie să rezolvați o problemă în care triunghiurile sunt similare, atunci ar fi logic să folosiți această afirmație: raportul perimetrelor corespunde coeficientului de similitudine. Să presupunem că aveți două triunghiuri similare - ΔABC și ΔA1B1C1. Apoi, pentru a găsi coeficientul de similaritate, este necesar să împărțim perimetrul ΔABC la perimetrul ΔA1B1C1.

În concluzie, se poate observa că perimetrul unui triunghi poate fi găsit folosind o varietate de tehnici, în funcție de datele inițiale pe care le aveți. Trebuie adăugat că există câteva cazuri speciale pentru triunghiuri dreptunghiulare.

Informații preliminare

Perimetrul oricărei figuri geometrice plate pe un plan este definit ca suma lungimilor tuturor laturilor sale. Triunghiul nu face excepție de la aceasta. În primul rând, vă prezentăm conceptul de triunghi, precum și tipurile de triunghiuri în funcție de laturi.

Definiția 1

Vom numi un triunghi o figură geometrică care este formată din trei puncte legate între ele prin segmente (Fig. 1).

Definiția 2

În cadrul Definiției 1, vom numi punctele vârfurile triunghiului.

Definiția 3

În cadrul Definiției 1, segmentele vor fi numite laturile triunghiului.

Evident, orice triunghi va avea 3 vârfuri, precum și trei laturi.

În funcție de relația laturilor între ele, triunghiurile sunt împărțite în scalen, isoscel și echilateral.

Definiția 4

Vom numi un triunghi scalen dacă niciuna dintre laturile sale nu este egală cu oricare alta.

Definiția 5

Vom numi un triunghi isoscel dacă două dintre laturile sale sunt egale între ele, dar nu sunt egale cu a treia latură.

Definiția 6

Vom numi un triunghi echilateral dacă toate laturile sale sunt egale între ele.

Puteți vedea toate tipurile de aceste triunghiuri în Figura 2.

Cum se află perimetrul unui triunghi scalen?

Să ni se dă un triunghi scalen ale cărui lungimi ale laturilor sunt egale cu $α$, $β$ și $γ$.

Concluzie: Pentru a găsi perimetrul unui triunghi scalen, trebuie să adăugați toate lungimile laturilor sale împreună.

Exemplul 1

Aflați perimetrul triunghiului scalen egal cu $34$ cm, $12$ cm și $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Răspuns: $57$ cm.

Exemplul 2

Aflați perimetrul unui triunghi dreptunghic ale cărui catete sunt $6$ și $8$ cm.

Mai întâi, să găsim lungimea ipotenuzelor acestui triunghi folosind teorema lui Pitagora. Să o notăm cu $α$, atunci

$α=10$ Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi scalen, obținem

$P=10+8+6=24$ cm

Răspuns: 24$ vezi.

Cum se află perimetrul unui triunghi isoscel?

Să ni se dă un triunghi isoscel, lungimile laturilor vor fi egale cu $α$, iar lungimea bazei va fi egală cu $β$.

Determinând perimetrul unei figuri geometrice plate, obținem că

$P=α+α+β=2α+β$

Concluzie: Pentru a găsi perimetrul triunghi isoscel trebuie să adăugați de două ori lungimea laturilor sale la lungimea bazei sale.

Exemplul 3

Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă laturile sale sunt $12$ cm și baza lui este $11$ cm.

Din exemplul discutat mai sus, vedem că

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Răspuns: 35$ vezi.

Exemplul 4

Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă înălțimea lui trasă la bază este $8$ cm, iar baza este $12$ cm.

Să ne uităm la desen în funcție de condițiile problemei:

Deoarece triunghiul este isoscel, $BD$ este și mediana, deci $AD=6$ cm.

Folosind teorema lui Pitagora, din triunghiul $ADB$, găsim latura laterală. Să o notăm cu $α$, atunci

Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi isoscel, obținem

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Răspuns: 32$ vezi.

Cum se află perimetrul unui triunghi echilateral?

Să ni se dă un triunghi echilateral ale cărui lungimi ale tuturor laturilor sunt egale cu $α$.

Determinând perimetrul unei figuri geometrice plate, obținem că

$P=α+α+α=3α$

Concluzie: Pentru a afla perimetrul unui triunghi echilateral, înmulțiți lungimea laturii triunghiului cu $3$.

Exemplul 5

Aflați perimetrul unui triunghi echilateral dacă latura lui este $12$ cm.

Din exemplul discutat mai sus, vedem că

$P=3\cdot 12=36$ cm

Sfat

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а

Dacă cunoașteți lungimile laturilor adiacente și unghiul β dintre ele, atunci pentru a găsi perimetrul, trebuie să utilizați teorema cosinusului. Perimetrul se calculează folosind formula:

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),

unde b2 și a2 sunt pătratele lungimilor laturilor adiacente. Expresia radicală este lungimea celei de-a treia laturi care este necunoscută, exprimată folosind teorema cosinusului.

Dacă nu știi cum să găsești perimetrul unui triunghi isoscel, atunci nu este nimic complicat aici. Calculați-l folosind formula:

unde b este baza triunghiului, a este laturile acestuia.

Pentru a găsi perimetrul unui triunghi obișnuit, utilizați cea mai simplă formulă:

unde a este lungimea laturii.

P = 3R√3 = 6r√3,

unde R și r sunt razele cercului circumferitor și, respectiv, cercului înscris.

Dacă triunghiul este isoscel, atunci i se aplică formula:

P=2R (sinβ + 2sinα),

unde α este unghiul care se află la bază și β este unghiul opus bazei.

Să ne uităm la formulele care sunt de bază pentru a răspunde la întrebarea cum să găsim perimetrul unui triunghi, în raport cu o mare varietate de tipuri de triunghiuri.

unde b, a și c sunt lungimile laturilor triunghiului, iar P este perimetrul triunghiului.

Există mai multe cazuri speciale ale acestei formule. Să presupunem că problema ta este formulată după cum urmează: „cum să găsești perimetrul unui triunghi dreptunghic?” În acest caz, ar trebui să utilizați următoarea formulă:

P = b + a + √(b2 + a2)

Conţinut:

Perimetrul este lungime totală limitele unei forme bidimensionale. Dacă doriți să găsiți perimetrul unui triunghi, atunci trebuie să adăugați lungimile tuturor laturilor acestuia; Dacă nu cunoașteți lungimea a cel puțin unei laturi a triunghiului, trebuie să o găsiți. Acest articol vă va spune (a) cum să găsiți perimetrul unui triunghi având în vedere trei laturi cunoscute; (b) cum se află perimetrul unui triunghi dreptunghic atunci când se cunosc doar două laturi; (c) cum să găsești perimetrul oricărui triunghi atunci când sunt date două laturi și unghiul dintre ele (folosind teorema cosinusului).

Pași

1 Conform acestor trei laturi

1 Pentru a găsi perimetrul utilizați formula: P = a + b + c, unde a, b, c sunt lungimile celor trei laturi, P este perimetrul.
2 Aflați lungimile tuturor celor trei laturi.În exemplul nostru: a = 5, b = 5, c = 5.
- Este un triunghi echilateral deoarece toate cele trei laturi au aceeasi lungime. Dar formula de mai sus se aplică oricărui triunghi.
3 Adăugați lungimile tuturor celor trei laturi pentru a găsi perimetrul.În exemplul nostru: 5 + 5 + 5 = 15, adică P = 15.
- Un alt exemplu: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
4 Nu uitați să indicați unitatea de măsură în răspunsul dvs.În exemplul nostru, laturile sunt măsurate în centimetri, deci răspunsul final ar trebui să includă și centimetri (sau unitățile specificate în enunțul problemei).
- În exemplul nostru, fiecare latură are 5 cm, deci răspunsul final este P = 15 cm.

2 Pentru două laturi date ale unui triunghi dreptunghic

1 Amintiți-vă de teorema lui Pitagora. Această teoremă descrie relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic și este una dintre cele mai cunoscute și aplicate teoreme din matematică. Teorema afirmă că în orice triunghi dreptunghic laturile sunt legate prin următoarea relație: a 2 + b 2 = c 2, unde a, b sunt catetele, c este ipotenuza.
2 Desenați un triunghi și etichetați laturile ca a, b, c. Latura cea mai lungă a unui triunghi dreptunghic este ipotenuza. Se află opus unui unghi drept. Etichetați ipotenuza drept „c”. Picioare (laturile adiacente unghi drept) notează „a” și „b”.
3 Înlocuiți valorile laturilor cunoscute în teorema lui Pitagora (a 2 + b 2 = c 2).În loc de litere, înlocuiți numerele date în enunțul problemei.
- De exemplu, a = 3 și b = 4. Înlocuiți aceste valori în teorema lui Pitagora: 3 2 + 4 2 = c 2.
- Un alt exemplu: a = 6 și c = 10. Atunci: 6 2 + b 2 = 10 2
4 Rezolvați ecuația rezultată pentru a găsi latura necunoscută. Pentru a face acest lucru, mai întâi pătrați lungimile cunoscute ale laturilor (pur și simplu înmulțiți numărul dat de la sine). Dacă căutați ipotenuza, adăugați pătratele celor două laturi și extrageți din suma rezultată rădăcină pătrată. Dacă sunteți în căutarea unui picior, scădeți pătratul picior celebru se ia rădăcina pătrată a ipotenuzei și coeficientul rezultat.
- În primul exemplu: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 = c 2 ; 25= c2; √25 = s. Deci c = 25.
- În al doilea exemplu: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 = 100. Mutați 36 în partea dreaptă a ecuației și obțineți: b 2 = 64; b = √64. Deci b = 8.
5
- În primul nostru exemplu: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- În al doilea exemplu: P = 6 + 8 + 10 = 24.

3 După două laturi date și unghiul dintre ele

1 Orice latură a unui triunghi poate fi găsită folosind legea cosinusurilor dacă vi se dau două laturi și unghiul dintre ele. Această teoremă se aplică oricăror triunghiuri și este o formulă foarte utilă. Teorema cosinusului: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos(C), unde a, b, c sunt laturile triunghiului, A, B, C sunt unghiurile opuse laturilor corespunzătoare ale triunghiului.
2 Desenați un triunghi și etichetați laturile ca a, b, c; etichetați unghiurile opuse laturilor corespunzătoare ca A, B, C (adică unghiul opus laturii „a”, etichetați-l „A” și așa mai departe).
- De exemplu, având în vedere un triunghi cu laturile 10 și 12 și un unghi între ele de 97°, adică a = 10, b = 12, C = 97°.
3 Înlocuiți valorile date în formulă și găsiți partea necunoscută „c”. Mai întâi, pătrați lungimile laturilor cunoscute și adăugați valorile rezultate. Apoi găsiți cosinusul unghiului C (folosind un calculator sau un calculator online). Înmulțiți lungimile laturilor cunoscute cu cosinusul unghi datși cu 2 (2abcos(C)). Scădeți valoarea rezultată din suma pătratelor celor două laturi (a 2 + b 2) și obțineți c 2. Luați rădăcina pătrată a acestei valori pentru a afla lungimea laturii necunoscute „c”. În exemplul nostru:
- c 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos(97)
- c 2 = 100 + 144 – (240 × -0,12187)
- c 2 = 244 – (-29,25)
- c 2 = 244 + 29,25
- c2 = 273,25
- c = 16,53
4 Adăugați lungimile celor trei laturi pentru a găsi perimetrul. Reamintim că perimetrul se calculează cu formula: P = a + b + c.
- În exemplul nostru: P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.

Triunghiul este unul dintre elementele fundamentale forme geometrice, reprezentând trei segmente de linie care se intersectează. Această cifră era cunoscută de oamenii de știință Egiptul antic, Grecia anticăŞi China antică, care a derivat majoritatea formulelor și modelelor folosite de oamenii de știință, ingineri și designeri până în prezent.

Principalele componente ale triunghiului includ:

Vârfurile sunt punctele de intersecție ale segmentelor.

Laturile sunt segmente de linie care se intersectează.

Pe baza acestora componente, formulați concepte precum perimetrul unui triunghi, aria lui, cerc înscris și circumscris. Se știe încă de la școală că perimetrul unui triunghi este o expresie numerică a sumei tuturor celor trei laturi ale sale. În același timp, se cunosc o mare varietate de formule pentru găsirea acestei valori, în funcție de datele inițiale pe care le deține cercetătorul într-un anumit caz.

1. Cel mai simplu mod de a găsi perimetrul unui triunghi este folosit atunci când valori numerice toate cele trei laturi ale sale (x,y,z), ca o consecință:

2. Perimetrul unui triunghi echilateral poate fi găsit dacă ne amintim că toate laturile acestei figuri, totuși, ca toate unghiurile, sunt egale. Cunoscând lungimea acestei laturi, perimetrul unui triunghi echilateral poate fi determinat prin formula:

3. Într-un triunghi isoscel, spre deosebire de un triunghi echilateral, doar două laturi laterale au aceeași valoare numerică, deci în acest caz în vedere generală Perimetrul va fi după cum urmează:

4. Următoarele metode sunt necesare în cazurile în care valorile numerice ale tuturor părților nu sunt cunoscute. De exemplu, dacă un studiu are date pe două laturi și unghiul dintre ele este cunoscut, atunci perimetrul triunghiului poate fi găsit prin determinarea celei de-a treia laturi și a unghiului cunoscut. În acest caz, acest terț va fi găsit folosind formula:

z= 2x+2y-2xycosβ

Pe baza acestui fapt, perimetrul triunghiului va fi egal cu:

P= x+y+2x+(2y-2xycos β)

5. În cazul în care lungimea nu mai mult de o latură a triunghiului este inițial dată și valorile numerice ale celor două unghiuri adiacente acestuia sunt cunoscute, atunci perimetrul triunghiului poate fi calculat pe baza teoremei lui sinusuri:

P = x+sinβ x/(sin(180°-β)) + sinγ x/(sin(180°-γ))

6. Sunt cazuri când, pentru a afla perimetrul unui triunghi, se folosesc parametrii cunoscuți ai cercului înscris în acesta. Această formulă este, de asemenea, cunoscută de majoritatea oamenilor de la școală:

P= 2S/r (S este aria cercului, în timp ce r este raza acestuia).

Din toate cele de mai sus reiese clar că valoarea perimetrului unui triunghi poate fi găsită în multe feluri, pe baza datelor pe care le are cercetătorul. În plus, există mai multe cazuri speciale de găsire a acestei valori. Astfel, perimetrul este una dintre cele mai importante mărimi și caracteristici ale unui triunghi dreptunghic.

După cum știți, un astfel de triunghi este o figură ale cărei două laturi formează un unghi drept. Perimetrul unui triunghi dreptunghic se găsește prin expresia numerică a sumei ambelor catete și a ipotenuzei. În cazul în care cercetătorul cunoaște date despre doar două laturi, cea rămasă poate fi calculată folosind celebra teoremă a lui Pitagora: z = (x2 + y2), dacă ambele catete sunt cunoscute, sau x = (z2 - y2), dacă se cunosc ipotenuza si catetul.

Dacă lungimea ipotenuzei și unul dintre unghiurile adiacente ale acestuia sunt cunoscute, atunci celelalte două laturi se găsesc folosind formulele: x= z sinβ, y= z cosβ. În acest caz, perimetrul va fi egal cu:

P= z(cosβ + sinβ +1)

De asemenea, un caz special este calculul perimetrului unui triunghi regulat (sau echilateral), adică o figură în care toate laturile și toate unghiurile sunt egale. Calcularea perimetrului unui astfel de triunghi de-a lungul unei laturi cunoscute nu este o problemă, totuși, cercetătorul cunoaște adesea alte date. Deci, dacă raza cercului înscris este cunoscută, perimetrul unui triunghi obișnuit se află prin formula:

Și dacă este dată raza cercului circumscris, perimetrul unui triunghi regulat va fi găsit după cum urmează:

Formulele trebuie memorate pentru a fi aplicate cu succes în practică.