Formula direct proporțională. Proporționalitate directă

Astăzi ne vom uita la ce cantități sunt numite invers proporționale, cum arată un grafic de proporționalitate inversă și cum toate acestea vă pot fi utile nu numai la lecțiile de matematică, ci și în afara școlii.

Proporții atât de diferite

Proporționalitate numiți două cantități care sunt reciproc dependente una de cealaltă.

Dependența poate fi directă și inversă. În consecință, relațiile dintre cantități sunt descrise prin proporționalitate directă și inversă.

Proporționalitate directă– aceasta este o astfel de relație între două cantități în care o creștere sau scădere a uneia duce la o creștere sau scădere a celeilalte. Aceste. atitudinea lor nu se schimbă.

De exemplu, cu cât depui mai mult efort pentru a studia pentru examene, cu atât ai notele mai mari. Sau cu cât iei mai multe lucruri cu tine în drumeție, cu atât rucsacul tău va fi mai greu de purtat. Aceste. Efortul depus pentru pregătirea examenelor este direct proporțional cu notele obținute. Iar numărul de lucruri ambalate într-un rucsac este direct proporțional cu greutatea acestuia.

Proporționalitate inversă– aceasta este o dependență funcțională în care o scădere sau o creștere de mai multe ori a unei valori independente (se numește argument) determină o creștere sau scădere proporțională (adică de același număr de ori) a unei valori dependente (se numește un funcţie).

Să ilustrăm exemplu simplu. Vrei să cumperi mere de la piață. Merele de pe blat și suma de bani din portofel sunt invers proporționale. Aceste. Cu cât cumpărați mai multe mere, cu atât veți avea mai puțini bani.

Funcția și graficul acesteia

Funcția de proporționalitate inversă poate fi descrisă ca y = k/x. În care x≠ 0 și k≠ 0.

Această funcție are următoarele proprietăți:

Domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
Gama este tot numere reale, cu excepția y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
Nu are valori maxime sau minime.
Este impar și graficul său este simetric față de origine.
Neperiodică.
Graficul său nu intersectează axele de coordonate.
Nu are zerouri.
Dacă k> 0 (adică argumentul crește), funcția scade proporțional pe fiecare dintre intervalele sale. Dacă k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
Pe măsură ce argumentul crește ( k> 0) valori negative funcțiile sunt în intervalul (-∞; 0), iar cele pozitive sunt (0; +∞). Când argumentul scade ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graficul unei funcții de proporționalitate inversă se numește hiperbolă. Se arată după cum urmează:

Probleme de proporționalitate inversă

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la mai multe sarcini. Nu sunt prea complicate, iar rezolvarea lor vă va ajuta să vizualizați ce este proporționalitatea inversă și cum aceste cunoștințe vă pot fi utile în viața de zi cu zi.

Sarcina nr. 1. O mașină se deplasează cu o viteză de 60 km/h. I-a luat 6 ore să ajungă la destinație. Cât timp îi va lua să parcurgă aceeași distanță dacă se mișcă cu o viteză de două ori mai mare?

Putem începe prin a scrie o formulă care descrie relația dintre timp, distanță și viteză: t = S/V. De acord, ne amintește foarte mult de funcția de proporționalitate inversă. Și indică faptul că timpul petrecut o mașină pe drum și viteza cu care se deplasează sunt invers proporționale.

Pentru a verifica acest lucru, să găsim V 2, care conform condiției este de 2 ori mai mare: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Apoi calculăm distanța folosind formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Acum nu este greu să aflăm timpul t 2 care ne este necesar în funcție de condițiile problemei: t 2 = 360/120 = 3 ore.

După cum puteți vedea, timpul de călătorie și viteza sunt într-adevăr invers proporționale: la o viteză de 2 ori mai mare decât viteza inițială, mașina va petrece de 2 ori mai puțin timp pe drum.

Soluția la această problemă poate fi scrisă și ca proporție. Deci, să creăm mai întâi această diagramă:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Săgețile indică o relație invers proporțională. De asemenea, ei sugerează că atunci când se întocmește o proporție, partea dreaptă a înregistrării trebuie răsturnată: 60/120 = x/6. De unde obținem x = 60 * 6/120 = 3 ore.

Sarcina nr. 2. Atelierul angajează 6 muncitori care pot finaliza o anumită cantitate de muncă în 4 ore. Dacă numărul de muncitori se reduce la jumătate, cât timp va dura muncitorilor rămași pentru a finaliza aceeași cantitate de muncă?

Să notăm condițiile problemei sub forma unei diagrame vizuale:

↓ 6 muncitori – 4 ore

↓ 3 muncitori – x h

Să scriem asta ca proporție: 6/3 = x/4. Și obținem x = 6 * 4/3 = 8 ore Dacă sunt de 2 ori mai puțini lucrători, cei rămași vor petrece de 2 ori mai mult timp făcând toată munca.

Sarcina nr. 3. Există două țevi care duc în piscină. Printr-o țeavă, apa curge cu o viteză de 2 l/s și umple piscina în 45 de minute. Printr-o altă conductă, piscina se va umple în 75 de minute. Cu ce viteză intră apa în piscină prin această conductă?

Pentru început, ne prezentăm toate datele referitoare la condițiile problemei cantităților la unități identice măsurători. Pentru a face acest lucru, exprimăm viteza de umplere a piscinei în litri pe minut: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Deoarece rezultă din condiția ca piscina să se umple mai lent prin a doua țeavă, aceasta înseamnă că debitul de apă este mai mic. Proporționalitatea este inversă. Să exprimăm viteza necunoscută prin x și să facem următoarea diagramă:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Și apoi alcătuim proporția: 120/x = 75/45, de unde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

În problemă, viteza de umplere a piscinei este exprimată în litri pe secundă să reducem răspunsul primit la aceeași formă: 72/60 = 1,2 l/s.

Sarcina nr. 4. O mică tipografie privată tipărește cărți de vizită. Un angajat al unei tipografii lucrează cu o viteză de 42 de cărți de vizită pe oră și lucrează o zi întreagă - 8 ore. Dacă ar lucra mai repede și ar tipări 48 de cărți de vizită într-o oră, cu cât mai devreme ar putea merge acasă?

Urmăm calea dovedită și întocmim o diagramă în funcție de condițiile problemei, desemnând valoarea dorită ca x:

↓ 42 cărți de vizită/oră – 8 ore

↓ 48 cărți de vizită/h – x h

Avem o relație invers proporțională: de câte ori mai multe cărți de vizită tipărește un angajat al unei tipografii pe oră, de aceeași număr de ori mai puțin timp va avea nevoie pentru a finaliza aceeași muncă. Știind acest lucru, să creăm o proporție:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ore.

Astfel, după ce a finalizat lucrarea în 7 ore, angajatul tipografiei putea pleca acasă cu o oră mai devreme.

Concluzie

Ni se pare că aceste probleme de proporționalitate inversă sunt cu adevărat simple. Sperăm că acum și tu te gândești la ei așa. Și principalul lucru este că cunoștințele despre dependența invers proporțională a cantităților vă pot fi cu adevărat utile de mai multe ori.

Nu numai la lecțiile și examenele de matematică. Dar și atunci, când te pregătești să pleci într-o excursie, să mergi la cumpărături, să te hotărăști să câștigi niște bani în plus în vacanță etc.

Spune-ne în comentarii ce exemple de relații proporționale inverse și directe observi în jurul tău. Să fie un astfel de joc. Vei vedea cât de interesant este. Nu uitați să distribuiți acest articol pe rețelele de socializare pentru ca și prietenii și colegii tăi să se poată juca.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Exemplu

1,6 / 2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 etc. Factorul de proporționalitate Se numește o relație constantă de mărimi proporționale

Proporționalitate directă

Proporționalitate directă factor de proporționalitate . Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate sunt pe unitatea alteia.- dependenta functionala, in care o anumita cantitate depinde de o alta marime in asa fel incat raportul acestora sa ramana constant. Cu alte cuvinte, aceste variabile se schimbă

proporţional

, în părți egale, adică dacă argumentul se schimbă de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.(x) = Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:x,Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă: = focon

Proporționalitate inversă

s t

Proporționalitate inversă

- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:

Proprietățile funcției:

Surse

Fundația Wikimedia. y 2010. I. Mărimi direct proporţionale. Lasă valoarea I. Mărimi direct proporţionale. depinde de marime X. Dacă la creşterea I. Mărimi direct proporţionale. de mai multe ori mai mare la crește cu aceeași cantitate, apoi astfel de valori

Şi

1 la se numesc direct proportionale.

2 Exemple. . Cantitatea de bunuri achiziționate și prețul de achiziție (cu un preț fix pentru o unitate de mărfuri - 1 bucată sau 1 kg etc.)).De câte ori s-au cumpărat mai multe bunuri, cu atât au plătit mai mult.

3 . Distanța parcursă și timpul petrecut pe ea (cu viteza constanta)

De câte ori este calea mai lungă, de câte ori mai mult timp va dura pentru a o finaliza.

. Volumul unui corp și masa acestuia. (

Dacă un pepene verde este de 2 ori mai mare decât altul, atunci masa lui va fi de 2 ori mai mare II. Proprietatea proporționalității directe a cantităților. Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale primei cantități este egal cu raportul dintre două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități. Sarcina 1. Pentru dulceata de zmeura am luat 12 kg zmeura si 8 kg

Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua?

9 kg zmeura? Soluţie. zmeura si Raționăm așa: să fie necesar 12:9 x kg zahăr pentru zmeura Masa de zmeură și masa de zahăr sunt cantități direct proporționale: de câte ori sunt mai puține zmeură, de același număr de ori mai puțin zahăr este nevoie. Prin urmare, raportul dintre zmeura luată (în greutate) (

12: 9=8: ) va fi egal cu raportul de zahăr luat (

8:x · 8: 12;

). Obținem proporția: X; pe zmeura si x=9 x=6. Răspuns:

trebuie luate zmeura 6 kg

Sahara. zmeura si x=9 Rezolvarea problemei Răspuns:

(Săgețile din figură sunt îndreptate într-o singură direcție, iar în sus sau în jos nu contează. Semnificație: de câte ori numărul 12 mai mult număr 9 , de același număr de ori 8 mai mult număr I. Mărimi direct proporţionale., adică aici există o relație directă).

X; pe zmeura si Trebuie să iau niște zmeură x=6. Răspuns:

Sarcina 2. Masina pentru 3 ore parcurs distanta 264 km. Cât îi va lua să călătorească? 440 km, dacă conduce cu aceeași viteză?

Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua?

Lasă pt x ore mașina va acoperi distanța 440 km.

X; va trece mașina 440 km in 5 ore.

Exemplu

1,6 / 2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 etc. Factorul de proporționalitate Se numește o relație constantă de mărimi proporționale

Proporționalitate directă

proporţional

Proporționalitate inversă

s t

Proporționalitate inversă

- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:

Proprietățile funcției:

A doua lege a lui Newton
Bariera Coulomb

Vedeți ce înseamnă „Proporționalitate directă” în alte dicționare:

proporționalitate directă- - [A.S. Goldberg. Dicționar energetic englez-rus. 2006] Subiecte energetice în general raport direct EN ... Ghidul tehnic al traducătorului

proporționalitate directă- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. proporţionalitate directă vok. direkte Proportionalität, f rus. proporţionalitate directă, f pranc. proportionnalité direct, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORȚIONALITATE- (din latină proportionalis proporțional, proporțional). Proporționalitate. Dicţionar cuvinte străine, inclus în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. PROPORȚIONALITATE lat. proportionalis, proportional. Proporționalitate. Explicație 25000... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

PROPORȚIONALITATE- PROPORȚIONALITATE, proporționalitate, plural. nu, femeie (carte). 1. abstract substantiv la proporţional. Proporționalitatea pieselor. Proporționalitatea corpului. 2. O astfel de relație între cantități atunci când acestea sunt proporționale (vezi proporțional ... Dicţionar Ushakova

Proporționalitate- Două mărimi dependente reciproc se numesc proporționale dacă raportul dintre valorile lor rămâne neschimbat Cuprins 1 Exemplu 2 Coeficient de proporționalitate ... Wikipedia

PROPORȚIONALITATE- PROPORȚIONALITATE și, feminin. 1. vezi proportional. 2. La matematică: o astfel de relație între mărimi în care o creștere a uneia dintre ele atrage după sine modificarea celeilalte în aceeași valoare. Linie dreaptă (cu o tăietură cu o creștere cu o valoare... ... Dicționarul explicativ al lui Ozhegov

proporționalitatea- Și; şi. 1. la Proporțional (1 cifră); proporționalitatea. P. piese. P. fizic. P. reprezentare în parlament. 2. Matematică. Dependența dintre cantitățile care se schimbă proporțional. Factorul de proporționalitate. Linie directă (în care cu... ... Dicţionar enciclopedic

Cele două mărimi sunt numite direct proporțională, dacă atunci când unul dintre ele crește de mai multe ori, celălalt crește cu aceeași cantitate. În consecință, atunci când unul dintre ele scade de mai multe ori, celălalt scade cu aceeași cantitate.

Relația dintre astfel de cantități este o relație direct proporțională. Exemple de dependență direct proporțională:

1) la viteza constanta, distanta parcursa este direct proportionala cu timpul;

2) perimetrul unui pătrat și latura acestuia sunt mărimi direct proporționale;

3) costul unui produs achiziționat la un preț este direct proporțional cu cantitatea acestuia.

Pentru a distinge o relație direct proporțională de una inversă, puteți folosi proverbul: „Cu cât mai departe în pădure, cu atât mai mult lemn de foc”.

Este convenabil să rezolvi probleme care implică mărimi direct proporționale folosind proporții.

1) Pentru a face 10 piese ai nevoie de 3,5 kg de metal. Cât metal va intra în fabricarea a 12 dintre aceste piese?

(Raționăm astfel:

1. În coloana completată, plasați o săgeată în direcția de la Mai mult la mai putin.

2. Cu cât sunt mai multe piese, cu atât este nevoie de mai mult metal pentru a le face. Aceasta înseamnă că aceasta este o relație direct proporțională.

Fie nevoie de x kg de metal pentru a face 12 părți. Alcătuim proporția (în direcția de la începutul săgeții până la sfârșitul acesteia):

12:10=x:3,5

Pentru a găsi , trebuie să împărțiți produsul termenilor extremi la termenul mediu cunoscut:

Aceasta înseamnă că vor fi necesare 4,2 kg de metal.

Răspuns: 4,2 kg.

2) Pentru 15 metri de țesătură au plătit 1680 de ruble. Cât costă 12 metri dintr-o astfel de țesătură?

(1. În coloana completată, plasați o săgeată în direcția de la cel mai mare număr la cel mai mic.

2. Cu cât cumperi mai puțină țesătură, cu atât mai puțin trebuie să plătești pentru ea. Aceasta înseamnă că aceasta este o relație direct proporțională.

3. Prin urmare, a doua săgeată este în aceeași direcție cu prima).

Fie că x ruble costă 12 metri de țesătură. Facem o proporție (de la începutul săgeții până la sfârșitul ei):

15:12=1680:x

Pentru a găsi termenul extrem necunoscut al proporției, împărțiți produsul termenilor de mijloc la termenul extrem cunoscut al proporției:

Aceasta înseamnă că 12 metri costă 1344 de ruble.

Răspuns: 1344 de ruble.