, Concurs „Prezentare pentru lecție”

Prezentare pentru lecție


































Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Experiența arată că atunci când se folosesc metode de predare practice, este posibil să se formeze la elevi o serie de tehnici mentale necesare identificării corecte a trăsăturilor esențiale și neesențiale atunci când se familiarizează cu figurile geometrice. Se dezvoltă intuiția matematică, gândirea logică și abstractă, se formează o cultură a vorbirii matematice, se dezvoltă abilitățile matematice și de proiectare, crește activitatea cognitivă, se formează interesul cognitiv, se dezvoltă potențialul intelectual și creativ forme în bucăți pentru a compune aceste părți creează o nouă figură. Elevii lucrează la teme în grupuri. Apoi fiecare grup își apără proiectul.

Două figuri se numesc compuse egal dacă, prin tăierea uneia dintre ele într-un anumit mod într-un număr finit de părți, este posibil (prin aranjarea diferită a acestor părți) să se formeze o a doua figură din ele. Deci, metoda de partiționare se bazează pe faptul că oricare două poligoane compuse egal au dimensiuni egale. Este firesc să punem întrebarea opusă: sunt două poligoane care au aceeași zonă egale ca mărime? Răspunsul la această întrebare a fost dat (aproape simultan) de matematicianul maghiar Farkas Bolyai (1832) și ofițerul german și pasionat de matematică Gerwin (1833): două poligoane având suprafețe egale sunt egal proporționale.

Teorema Bolyai-Gerwin afirmă că orice poligon poate fi tăiat în bucăți, astfel încât piesele să poată fi formate într-un pătrat.

Sarcina 1.

Tăiați dreptunghiul o X 2aîn bucăți pentru a putea fi făcute într-un pătrat.

Tăiem dreptunghiul ABCD în trei părți de-a lungul liniilor MD și MC (M este mijlocul lui AB)

Figura 1

Mutăm triunghiul AMD astfel încât vârful M să coincidă cu vârful C, catetul AM se deplasează către segmentul DC. Mutăm triunghiul MVS la stânga și în jos, astfel încât piciorul MV să se suprapună pe jumătate din segmentul DC. (Figura 1)

Sarcina 2.

Tăiați triunghiul echilateral în bucăți, astfel încât să poată fi pliate într-un pătrat.

Să notăm acest triunghi regulat ABC. Este necesar să tăiați triunghiul ABC în poligoane, astfel încât acestea să poată fi pliate într-un pătrat. Atunci aceste poligoane trebuie să aibă cel puțin un unghi drept.

Fie K punctul de mijloc al lui CB, T să fie punctul de mijloc al lui AB, alegeți punctele M și E de pe latura AC astfel încât ME=AT=TV=BK=SC= O, AM=EC= O/2.

Figura 2

Să desenăm segmentul MK și segmentele EP și TN perpendiculare pe acesta. Să tăiem triunghiul în bucăți de-a lungul liniilor construite. Rotim patrulaterul KRES în sensul acelor de ceasornic față de vârful K, astfel încât SC să se alinieze cu segmentul KV. Să rotim patrulaterul AMNT în sensul acelor de ceasornic față de vârful T, astfel încât AT să se alinieze cu TV. Să mutăm triunghiul MEP astfel încât rezultatul să fie un pătrat. (Figura 2)

Sarcina 3.

Tăiați pătratul în bucăți, astfel încât două pătrate să poată fi pliate din ele.

Să notăm pătratul original ABCD. Să marchem punctele medii ale laturilor pătratului - punctele M, N, K, H. Să desenăm segmentele MT, HE, KF și NP - părți ale segmentelor MC, HB, KA și respectiv ND.

Prin tăierea pătratului ABCD de-a lungul liniilor trasate, obținem pătratul PTEF și patru patrulatere MDHT, HCKE, KBNF și NAMP.

Figura 3

PTEF este un pătrat gata făcut. Din patrulaterele rămase vom forma al doilea pătrat. Vârfurile A, B, C și D sunt compatibile la un moment dat, segmentele AM ​​și BC, MD și KS, BN și CH, DH și AN sunt compatibile. Punctele P, T, E și F vor deveni vârfurile noului pătrat. (Figura 3)

Sarcina 4.

Din hârtie groasă sunt tăiate un triunghi echilateral și un pătrat. Tăiați aceste figuri în poligoane, astfel încât să poată fi pliate într-un pătrat, iar părțile trebuie să-l umple complet și să nu se intersecteze.

Tăiați triunghiul în bucăți și faceți un pătrat din ele, așa cum se arată în sarcina 2. Lungimea laturii triunghiului – 2a. Acum ar trebui să împărțiți pătratul în poligoane, astfel încât din aceste părți și pătratul care a ieșit din triunghi, să creați un pătrat nou. Luați un pătrat cu latura 2 O, să-l notăm LRSD. Să desenăm segmente reciproc perpendiculare UG și VF astfel încât DU=SF=RG=LV. Să tăiem pătratul în patrulatere.

Figura 4

Să luăm un pătrat format din părți ale unui triunghi. Să așezăm patrulaterele - părți ale pătratului, așa cum se arată în Figura 4.

Sarcina 5.

Crucea este formată din cinci pătrate: un pătrat în centru, iar celelalte patru adiacente laturilor sale. Tăiați-o în bucăți, astfel încât să puteți face un pătrat din ele.

Să conectăm vârfurile pătratelor așa cum se arată în Figura 5. Tăiați triunghiurile „exterioare” și mutați-le în spațiile libere din interiorul pătratului ABC.

Figura 5

Sarcina 6.

Redesenați două pătrate arbitrare într-unul singur.

Figura 6 arată cum să tăiați și să mutați piesele pătrate.

Sticlă- acest material este deosebit și diferă de alte materiale de construcție.

Acest material de construcție este extrem de fragil și în cea mai mare parte este transparent.

De aceea, înainte de a cumpăra sticlă și de a lucra cu ea, trebuie să începeți cumpărăturile cu instrumentul.

Dar nu ar trebui să cumpărați primul instrument pe care îl întâlniți, deoarece poate fi de proastă calitate și nu va putea tăia sticla după cum este necesar.

Este foarte important să stabiliți ce unealtă aveți nevoie, deoarece există mai multe tipuri de tăietoare de sticlă:

  1. rola;
  2. Diamant;
  3. Uleios;

Rolă

Dispozitivul de tăiere a sticlei cu role pentru tăierea sticlei are încorporat o rolă specială, care este realizată dintr-un aliaj de tungsten-cobalt foarte rezistent. Diametrul obișnuit al rolei este de 6,6 mm, acest diametru al rolei permite tăierea sticlei de până la 4 mm grosime.

Diamant

Cuțitorul de sticlă cu diamant este echipat cu un diamant corespunzător mic, acest diamant taie sticlă. Duritatea diamantului este bine cunoscută și, prin urmare, a fost folosit de mult timp pentru tăierea sticlei.

În zilele noastre, ca și înainte, un tăietor de sticlă cu diamant este considerat cel mai bun instrument pentru tăierea sticlei.

Uleios

Nu cu mult timp în urmă, pe lista tăietorilor de sticlă a fost adăugat un tăietor de sticlă cu ulei.

Acesta este în esență o unealtă cu rolă îmbunătățită, care are un rezervor încorporat în mâner pentru a furniza lubrifiant rolei. Acest lubrifiant leagă particulele care s-au format la tăierea sticlei, asigurând în același timp o mișcare lină. Acest tăietor de sticlă poate tăia sticlă de până la 20 mm.

  1. Înainte de a cumpăra orice tip de tăietor de sticlă, cel mai bine este să cereți vânzătorului să verifice.
  2. Dacă sunteți mulțumit de instrument, atunci îl puteți cumpăra, dar îl puteți cumpăra pe cel care vi s-a arătat.

Cum se taie sticla

O foaie de sticlă nu este atât de ușor de tăiat pe cât pare la început. Pentru a face o tăiere de sticlă, este necesară pregătirea.

Pregătirea

  1. Sticla absolut nouă va trebui doar curățată temeinic de praf și ștersă cu hârtie de ziar nu este potrivită pentru o astfel de muncă.
  2. Dacă trebuie să tăiați sticla veche, trebuie mai întâi să o degresați, după care paharul se spală bine cu apă și detergenți.
  3. După toate manipulările de mai sus, sticla va trebui să fie uscată într-o cameră închisă și curată.

Sticlă tăiată

Lucrările pregătitoare includ și tăierea sticlei și pregătirea recipientelor pentru colectarea deșeurilor. Ar trebui să existe două containere, adică pentru colectarea deșeurilor mici și pentru colectarea celor mai mari, care pot fi utile pentru ceva în viitor.

Când tăiați sticla, cel mai bine este să începeți cu sticlă simplă și apoi să treceți la opțiuni mai complexe.

Tehnica de tăiere a sticlei


Când utilizați un tăietor de sticlă cu diamant, trebuie să-l țineți chiar în partea de jos a mânerului și să trasați o linie netedă de-a lungul riglei, aproape fără a apăsa pe sticlă.

Când tăiați sticla cu un tăietor de sticlă cu role Este nevoie de puțină presiune și atunci când tăietorul de sticlă se mișcă, pe suprafața sticlei apare o dungă albicioasă, mai adâncă decât atunci când se folosește un instrument cu diamant.

Posibile erori

Când există un râu de sticlă sunt două greșeli:

  1. Presiunea cu un tăietor de sticlă poate fi prea puternică;
  2. Cuțitorul de sticlă se execută de mai multe ori în același loc.

Când tăiați sticla, încercați să apăsați unealta uniform pe toată lungimea tăieturii.

Dacă observați așchii în timp ce tăiați sticla, aceasta înseamnă doar că apăsați prea tare pe unealtă. Pentru a evita acest lucru, reduceți presiunea asupra tăietorului de sticlă.

Nu trageți niciodată de-a lungul unei linii de tăiere, deoarece acest lucru vă poate deteriora unealta.

Etapa finală este spargerea sticlei

Sticla subțire este spartă manual. Bucata de sticlă care a fost deja tăiată trebuie așezată pe marginea mesei, astfel încât linia de tăiere să fie deasupra și să iasă puțin dincolo de marginea mesei, iar partea principală a paharului să se afle pe masă.

Trebuie să apăsați foaia de sticlă cu o mână, iar cu cealaltă trebuie să apucați partea proeminentă a paharului și să apăsați ușor pe sticla cu mâna.

Dacă muchia care trebuie ruptă este mică și nu poate fi ruptă cu mâna, folosiți clești.

Cunoașterea teoriei tăierii oțelului vă permite să aplicați aceste cunoștințe în practică. Adică, puteți lua o bucată mică de sticlă și puteți exersa pe ea.

După ce vei încerca tăierea sticlei în practică, vei fi mai încrezător în abilitățile tale în viitor. Sperăm că aceste informații sunt utile. Vă dorim mult succes și răbdare!

Sargsyan Roman

Lucrarea de cercetare „Probleme de tăiere” a fost finalizată de elevii clasei a VIII-a

Elevii sunt introduse și explorate tehnici de tăiere a figurilor în jocurile „Pentamino”, „Tangram-uri”, puzzle-uri și demonstrarea teoremelor.

Descărcați:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com


Subtitrări din diapozitive:

Previzualizare:

Lucrări de cercetare pe această temă

„Probleme de tăiere”

Interpretat de: Roman Sargsyan, Anastasia Shavrova,

elevi de clasa a VIII-a

MBOU „Școala secundară Severomuyskaya”

Șef: profesor de matematică Ogarkova I.I.

  1. Introducere
  2. Context istoric
  3. Jocul „Pentamino”
  4. Jocul „Tangram”
  5. Problema "tort"
  6. Sarcina nr. 4 - „Tăiați dreptunghiul”
  7. Sarcina nr. 5 - „Tăiați două pătrate”
  8. Sarcina nr. 6 - „Tăiați două pătrate-2”
  9. Problema #7 – Cruce
  10. Sarcina nr. 8 – Crucea -2
  11. Problema nr 9 - Pătrat 8*8
  12. Problema nr. 10 Aria unui paralelogram
  13. Problema nr. 11 Aria unui trapez
  14. Problema nr. 12 Aria unui triunghi
  15. Concluzie
  16. Literatură.

Introducere

„Rezolvarea problemelor este o artă practică ca

înot, schi sau cânt la pian;

o poți învăța doar imitând binele

mostre și exersare constantă"

D. Poya

Pasiunea pentru matematică începe adesea cu a te gândi la o problemă care îți place în mod deosebit. O sursă bogată de astfel de probleme sunt diversele olimpiade - școală, oraș, învățământ la distanță, internațional. În pregătirea pentru olimpiade, am analizat multe sarcini diverse și am identificat un grup de probleme a căror abordare a rezolvării ni s-a părut interesantă și originală. Acestea sunt sarcini de tăiere. Am avut întrebări: care este particularitatea unor astfel de probleme, există metode și tehnici speciale pentru rezolvarea problemelor de tăiere.

Relevanță (Diapozitivul 2)

  1. Matematicienii descoperă noi conexiuni între obiectele matematice. În urma acestei lucrări, se găsesc metode generale de rezolvare a diferitelor probleme. Și aceste probleme primesc metode standard de rezolvare, trecând de la categoria creative la categoria tehnice, adică necesitând folosirea unor metode deja cunoscute pentru rezolvarea lor.
  2. Sarcinile de tăiere îi ajută pe școlari să formeze concepte geometrice cât mai devreme posibil folosind o varietate de materiale. La rezolvarea unor astfel de probleme, apare un sentiment de frumusețe, lege și ordine în natură.

Obiect de studiu: sarcini de tăiere

Subiect de cercetare: o varietate de probleme de tăiere, metode și tehnici de rezolvare a acestora.

Metode de cercetare: modelare, comparare, generalizare, analogii, studiul resurselor literare și internetului, analiza și clasificarea informațiilor.

(Diapozitiv 3) Principalscopul studiuluieste de a extinde cunoștințele despre varietatea sarcinilor de tăiere.

Pentru a atinge acest obiectiv, ne propunem să rezolvăm următoarele sarcini: (Diapozitivul 4)

  1. selectați literatura necesară
  2. învață să decupezi forme geometrice în părți necesare pentru a compune una sau alta formă geometrică, folosind proprietățile și caracteristicile acestora;
  3. învață să demonstrezi că ariile figurilor sunt egale, tăindu-le în anumite părți și dovedind că aceste figuri sunt compuse în mod egal;
  4. efectuează cercetări geometrice și proiectare în rezolvarea problemelor de diferite tipuri.
  5. selectați materialul pentru cercetare, alegeți informațiile principale, interesante și ușor de înțeles
  6. analiza si sistematiza informatiile primite
  7. găsiți diferite metode și tehnici de rezolvare a problemelor de tăiere
  8. clasifica problemele studiate
  9. găsiți modalități de a remodela: un triunghi într-un paralelogram echipartit; paralelogram într-un triunghi echilateral; trapez într-un triunghi echilateral.
  10. Creați o prezentare electronică a lucrării dvs

Ipoteză: Poate că varietatea problemelor de tăiere, natura lor „distractivă” și lipsa regulilor generale și a metodelor de rezolvare a acestora provoacă dificultăți pentru școlari atunci când le iau în considerare. Să presupunem că, la o examinare mai atentă a sarcinilor de tăiere, ne vom convinge de relevanța, originalitatea și utilitatea lor.

Când rezolvăm problemele de tăiere, nu avem nevoie de cunoștințe despre elementele de bază ale planimetriei, dar vom avea nevoie de ingeniozitate, imaginație geometrică și informații geometrice destul de simple, cunoscute de toată lumea.

(Diapozitivul 5) Context istoric

Problemele de tăiere, ca tip de puzzle, au atras atenția încă din cele mai vechi timpuri. Primul tratat, care tratează probleme de tăiere, a fost scris de celebrul astronom și matematician arab din Khorasan, Abu al-Wefa (940 - 998 d.Hr.). La începutul secolului al XX-lea, datorită creșterii rapide a periodicelor, rezolvarea problemelor de tăiere a figurilor într-un număr dat de părți și apoi alcătuirea lor într-o nouă figură a atras atenția ca mijloc de distracție a unor părți largi ale societății. Acum geometrii au luat în serios aceste probleme, mai ales că se bazează pe problema străveche a figurilor de dimensiuni egale și compuse egal, care datează de la geometrii antici. Specialiști cunoscuți în această ramură a geometriei au fost faimoșii clasici ai geometriei distractive și creatorii de puzzle-uri Henry E. Dudeney și Harry Lindgren.

O enciclopedie pentru rezolvarea diferitelor probleme de tăiere este cartea „Cutting Geometry” de Harry Lindgren. În această carte puteți găsi înregistrări pentru tăierea poligoanelor în forme date

Când luați în considerare soluții la problemele de tăiere, înțelegeți că nu există un algoritm sau o metodă universală. Uneori, un geometru începător poate depăși semnificativ o persoană mai experimentată în soluția sa. Această simplitate și accesibilitate stă la baza popularității jocurilor bazate pe rezolvarea unor astfel de probleme, de exemplu- (Diapozitivul 6) pentomino„rudele” lui Tetris, tangram.

(Slide7) Jocul „Pentamino” Regulile jocului

Esența jocului este de a construi diferite siluete de obiecte pe un avion. Jocul constă în adăugarea diferitelor piese dintr-un set dat de pentominoe. Setul de pentomino conține 12 figuri, fiecare fiind alcătuită din cinci pătrate identice, iar pătratele sunt „adiacente” între ele doar după laturile lor.

Jocul „Tangram” (Diapozitivul 8)

În jocul „tangram”, un număr semnificativ de figuri pot fi adăugate din șapte elemente de bază.Toate figurile asamblate trebuie să aibă o suprafață egală, deoarece asamblate din elemente identice. Rezultă că:

  1. Fiecare figură asamblată trebuie să includă cu siguranță toate cele șapte elemente.
  2. Atunci când compuneți o figură, elementele nu trebuie să se suprapună unele pe altele, adică. fi situat într-un singur plan.
  3. Elementele figurilor trebuie să fie adiacente între ele.

Misiuni

În jocul tangram, există 3 categorii principale de sarcini:

  1. Găsirea uneia sau mai multor modalități de a construi o figură dată sau o dovadă elegantă a imposibilității de a construi o figură.
  2. Găsirea unei modalități de a descrie siluetele animalelor, ale oamenilor și ale altor obiecte recunoscute cu cea mai mare expresivitate sau umor (sau ambele împreună).
  3. Rezolvarea diverselor probleme de geometrie combinatorie apărute în legătură cu alcătuirea figurilor din 7 tans.

Sarcina 3 (Diapozitivul 9)

Tort , decorat cu trandafiri, a fost împărțit în bucăți cu trei tăieturi drepte astfel încât fiecare bucată să conțină exact câte un trandafir. Care este cel mai mare număr de trandafiri care ar putea fi pe tort?

Comentariu. Rezolvarea problemei se bazează pe aplicarea axiomei:„O linie dreaptă împarte un plan în două semiplane.”Trebuie descrise toate cazurile posibile de aranjare a trei linii drepte. Din figură devine clar că cel mai mare număr de părți - 7 - se obține atunci când liniile se intersectează în perechi. Prin urmare, nu ar putea fi mai mult de 7 trandafiri pe tort.

Sarcina 4 (Diapozitivul 10)

Tăiați dreptunghiul, ax2a în astfel de părți încât din ele a fost posibil să se compună o dimensiune egală cu el:

1) triunghi dreptunghic;

2) pătrat.

Soluția problemei este clară din figurile 2 și 3.

Sarcina 5 (Diapozitivul 11)

Tăiați două pătrate1x1 și 3x3 în astfel de părți încât să poată fi folosite pentru a face un pătrat de dimensiune egală.

Comentariu. Această sarcină implică remodelarea unei figuri formate din două pătrate într-un pătrat de dimensiuni egale. Aria noului pătrat este 3 2 +1 2 , ceea ce înseamnă că latura unui pătrat egală cu suma acestor pătrate este egală, adică este ipotenuza unui dreptunghi cu catetele 3 și 1. Construcția unui astfel de pătrat este clară din figura 4

Sarcina 6 (Diapozitivul 12)

Tăiați două pătrate aleatoriiîn astfel de părți încât să poată fi folosite pentru a forma un pătrat de dimensiuni egale.

Soluția problemei este clară din figura 5. Aria noului pătrat este a 2 + b 2 , ceea ce înseamnă că latura unui pătrat egală cu suma acestor pătrate este egală cu

adică este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele a și b.

Sarcina 7 (Diapozitivul 13)

Cruce format din cinci pătrate: un pătrat în centru, iar celelalte patru adiacente laturilor sale. Tăiați-o în bucăți, astfel încât să puteți face un pătrat de dimensiune egală din ele.

Soluția problemei este clară din figura 6.

Sarcina 8 (Diapozitivul 14)

Cruce format din cinci pătrate: un pătrat în centru, iar celelalte patru adiacente laturilor sale. Cum să acoperiți suprafața unui bast cu șase astfel de cruci, fiecare față fiind egală ca dimensiune cu crucea.

Comentariu. Crucea este suprapusă pe margine (Fig. 7), nu este nevoie să tăiați și să lipiți din nou „urechile proeminente” - se deplasează la marginea adiacentă și ajung în locurile potrivite. Prin înfășurarea „urechilor proeminente” pe fețele adiacente, puteți acoperi astfel suprafața cubului cu șase cruci (Fig. 8).

Sarcina 9 (Diapozitivul 15)

Patrat 8x8 tăiat în patru părți, așa cum se arată în Figura 9. Din părțile rezultate se face un dreptunghi de 13x5. Aria unui dreptunghi este 65, iar aria unui pătrat este 64. Explicați unde este eroarea.

În fața ta se află o foaie de hârtie cu imaginea: a) unui triunghi, b) a unei stele cu cinci colțuri, c) a unui poligon în formă de lebădă înotătoare. În fiecare caz veni cu, cum să pliați o bucată de hârtie astfel încât forma corespunzătoare să poată fi apoi tăiată într-o tăietură dreaptă continuă cu foarfecele.

Cheie

În toate cazurile, soluția constă aproape în întregime din pași de două tipuri: trebuie să adăugați fie de-a lungul bisectoarei unora dintre unghiurile asociate figurii (pentru a „reduce” numărul de segmente care nu rămân pe aceeași linie) , sau de-a lungul perpendicularei pe unul dintre segmente (pentru a „potri” lungimea acestuia la lungimea dorită).

Soluţie

Figurile de mai jos arată cum să pliați formele din enunțul problemei pentru a le tăia apoi fiecare cu o tăietură.

Cu un triunghi, totul este mai mult sau mai puțin clar: adăugăm de-a lungul unei bisectoare, apoi de-a lungul celeilalte (Fig. 1).

Vedeta este, de asemenea, destul de ușor de tratat. Mai întâi trebuie să-l îndoiți în jumătate de-a lungul axei de simetrie (o acțiune complet naturală - deoarece puteți „înjumătăți” figura dintr-o singură lovitură). Apoi - combinați cele două raze ale stelei între ele, adăugând de-a lungul bisectoarei unghiului său „extern”. După aceasta, din contur vor rămâne doar trei segmente, care sunt ușor de combinat (Fig. 2).

Lebada este cel mai greu lucru. Acest lucru este de înțeles: o figură fără simetrii, cu un număr mare de laturi; prin urmare, va fi necesar un număr mare de pliuri. Diagrama pentru pliere este prezentată în Fig. 3. Liniile punctate simple reprezintă pliuri în jos; Mai întâi trebuie să marcați aceste pliuri separat, astfel încât foaia să ia forma acoperișului unei case și abia apoi să pliați foaia într-o formă plată.

O serie de fotografii arată întregul proces de pliere:

Citiți de unde provine un astfel de sistem ingenios de pliuri în postfață.

Postfaţă

Toate opțiunile propuse în condiție sunt doar cazuri speciale ale întrebării generale, care sună astfel:

Având în vedere un poligon pe o coală plată de hârtie, este posibil să se îndoiască această foaie astfel încât poligonul să poată fi tăiat cu o tăietură dreaptă?

Se pare că, indiferent de forma poligonului, răspunsul la această întrebare este întotdeauna pozitiv: da, poți. (Desigur, acum discutăm această problemă din punct de vedere al matematicii și nu ne atingem de latura „fizică” a problemei: este imposibil să îndoiți o foaie de hârtie de prea multe ori. Se crede că este imposibil de împăturit chiar și hârtia foarte subțire de mai mult de 7-8 ori. Este aproape așa: cu unele, dacă încercați, puteți face 12 îndoiri, dar este puțin probabil să puteți face mai multe.)

Mai mult, dacă sunt desenate mai multe poligoane, atunci foaia poate fi în continuare pliată, astfel încât toate să poată fi tăiate cu o singură tăietură (și nu se va decupa nimic în plus). Ideea este că următoarele sunt adevărate teorema:

Să fie desenat un grafic arbitrar pe o bucată de hârtie. Apoi, această foaie poate fi pliată, astfel încât acest grafic să poată fi tăiat cu o singură tăietură și nu va fi tăiat nimic inutil.

Această teoremă are o demonstrație algoritmică. Adică, dovada sa oferă o rețetă explicită pentru cum se construiește sistemul necesar de pliuri.

Pe scurt, esența este aceasta. Mai întâi trebuie să construim un schelet drept. Acesta este un set de linii - traiectoriile vârfurilor poligonului original - de-a lungul cărora se deplasează în timpul compresiei sale speciale. Compresia funcționează astfel: mutăm laturile poligonului „înăuntru” cu o viteză constantă, astfel încât fiecare parte să se miște fără a-și schimba direcția. După cum puteți vedea cu ușurință, la început vârfurile se vor târâ de-a lungul bisectoarelor colțurilor poligonului. Adică, această construcție ciudată la prima vedere generalizează pur și simplu ideea propusă în indiciu: că ar trebui să încercați să adăugați de-a lungul bisectoarelor colțurilor unui poligon. Rețineți că în timpul procesului de compresie, poligonul se poate „destrăma” în bucăți, așa cum sa întâmplat în Fig. 5.

După obținerea scheletului, din fiecare vârf al acestuia este necesar să se deseneze raze perpendiculare pe acele laturi ale figurii originale pe care pot fi desenate. Dacă raza întâlnește o linie din schelet, atunci după ce o traversează ar trebui să continue nu drept, ci de-a lungul imaginii în oglindă în raport cu această linie. Sistemul de pliere constă din linii desenate.

Mai multe informații despre aceasta și despre modul de determinare a direcției de pliere („sus” sau „jos”) pot fi găsite în articolul E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Folding and Cutting Paper. Un scurt istoric și o altă abordare a rezolvării problemei se găsesc pe pagina lui Eric Demain, unul dintre autorii demonstrației teoremei. Puteți citi și o poveste ceva mai populară despre această teoremă (din păcate, tot în engleză). Și, în sfârșit, vă sfătuiesc să urmăriți desenul animat „Etudii matematice”, în care puteți vedea clar cum să pliați un triunghi și o stea și apoi să le decupați cu o singură tăietură.

În cele din urmă, observ că întrebări similare cu cele discutate mai sus au fost ridicate de ceva timp. De exemplu, într-o carte japoneză din 1721, ca una dintre probleme, cititorii au fost rugați să decupeze o figură din trei romburi unite folosind o singură tăietură (Fig. 6). Mai târziu, celebrul iluzionist Harry Houdini a explicat în cartea sa metoda de a decupa o stea. Apropo, conform legendei, tocmai pentru că o astfel de stea poate fi tăiată rapid din hârtie sau țesătură, acum vedem stele cu cinci colțuri pe steagul SUA: croitoreasă Betsy Ross, care, conform legendei, a cusut primul steag, a reușit să-l convingă pe George Washington că sunt mai bine folosite pentru steag decât cele cu șase colțuri pe care Washington a vrut să le folosească inițial.