primul fel.

1.1.1. Definirea unei integrale curbilinii de primul fel

Lasă în avion Oxy curba dată (L). Fie pentru orice punct al curbei (L) funcția continuă definită f(x;y). Să rupem arcul AB linii (L) puncte A=P 0, P 1, P n = B pe n arcuri arbitrare P i -1 P i cu lungimi ( i = 1, 2, n) (Fig. 27)

Să alegem pe fiecare arc P i -1 P i punct arbitrar M i (x i ; y i), să calculăm valoarea funcției f(x;y) la punct M i. Să facem o sumă integrală

Lasă unde.

λ→0 (n→∞), independent de metoda de împărțire a curbei ( L)la părţi elementare, nici de la alegerea punctelor M i integrală curbilinie de felul I din functie f(x;y)(integrală curbilinie de-a lungul lungimii arcului) și notăm:

cometariu. Definiția integralei curbilinii a funcției este introdusă într-un mod similar f(x;y;z) de-a lungul curbei spațiale (L).

Semnificația fizică a unei integrale curbilinii de primul fel:

Dacă (L)- curbă plată cu un plan liniar, atunci masa curbei se găsește prin formula:

1.1.2. Proprietățile de bază ale unei integrale curbilinii de primul fel:

3. Dacă calea de integrare este împărțit în părți astfel încât , și au un singur punct comun, apoi .

4. Integrala curbilinie de primul fel nu depinde de direcția de integrare:

5. , unde este lungimea curbei.

1.1.3. Calculul unei integrale curbilinii de primul fel.

Calculul unei integrale curbilinie se reduce la calculul unei integrale definite.

1. Lasă curba (L) este dat de ecuație. Apoi

Adică, diferența de arc este calculată folosind formula.

Exemplu

Calculați masa unui segment de dreaptă dintr-un punct A(1;1) până la punctul B(2;4), Dacă .

Soluţie

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: .

Apoi ecuația dreptei ( AB): , .

Să găsim derivata.

Apoi . = .

2. Lasă curba (L) specificat parametric: .

Apoi, adică diferența de arc este calculată folosind formula.

Pentru cazul spațial al specificarii unei curbe: Apoi

Adică, diferența de arc este calculată folosind formula.

Exemplu

Aflați lungimea arcului curbei, .

Soluţie

Găsim lungimea arcului folosind formula: .

Pentru a face acest lucru, găsim diferența de arc.

Să găsim derivatele , , .Atunci lungimea arcului: .

3. Lasă curba (L) specificate în sistemul de coordonate polare: . Apoi

Adică, diferența de arc va fi calculată folosind formula.

Exemplu

Calculați masa arcului de linie, 0≤ ≤ dacă .

Soluţie

Găsim masa arcului folosind formula:

Pentru a face acest lucru, găsim diferența de arc.

Să găsim derivata.

1.2. Integrală curbilinie de al 2-lea fel

1.2.1. Definiția unei integrale curbilinii de al 2-lea fel


Lasă în avion Oxy curba dată (L). Dai drumul (L) este dată o funcție continuă f(x;y). Să rupem arcul AB linii (L) puncte A = P 0 , P 1 , P n = Bîn direcția din punct A până la punctul ÎN pe n arcuri arbitrare P i -1 P i cu lungimi ( i = 1, 2, n) (Fig. 28).

Să alegem pe fiecare arc P i -1 P i punct arbitrar M i (x i ; y i), să calculăm valoarea funcției f(x;y) la punct M i. Să facem o sumă integrală, unde - lungimea proiecției arcului P i -1 P i pe axă Oh. Dacă direcția de mișcare de-a lungul proiecției coincide cu direcția pozitivă a axei Oh, atunci se consideră proiecția arcurilor pozitiv, in caz contrar - negativ.

Lasă unde.

Dacă există o limită a sumei integrale la λ→0 (n→∞), independent de metoda de împărțire a curbei (L)în părți elementare, nici din alegerea punctelor M iîn fiecare parte elementară, atunci această limită se numește integrală curbilinie de felul 2 din functie f(x;y)(integrală curbilinie peste coordonată X) și notează:

Cometariu. Integrala curbilinie peste coordonata y este introdusă în mod similar:

Cometariu. Dacă (L) este o curbă închisă, apoi se notează integrala peste ea

Cometariu. Dacă este activat ( L) sunt date trei funcții deodată și din aceste funcții există integrale , , ,

atunci se numește expresia: + + integrală curbilinie generală de felul 2 si noteaza:

1.2.2. Proprietățile de bază ale unei integrale curbilinii de al 2-lea fel:

3. Când se schimbă direcția de integrare, integrala curbilinie de felul 2 își schimbă semnul.

4. Dacă calea de integrare este împărțită în părți astfel încât , și are un singur punct comun, atunci

5. Dacă curba ( L) se află în avion:

Axa perpendiculară Oh, atunci =0;

Axa perpendiculară Oi, Acea ;

Axa perpendiculară Oz, atunci =0.

6. O integrală curbilinie de al 2-lea fel peste o curbă închisă nu depinde de alegerea punctului de plecare (depinde doar de direcția de parcurgere a curbei).

1.2.3. Semnificația fizică a unei integrale curbilinii de al 2-lea fel.

Job A forțe atunci când se deplasează un punct material de unitate de masă dintr-un punct M exact N de-a lungul ( MN) este egal cu:

1.2.4. Calculul unei integrale curbilinii de al 2-lea fel.

Calculul unei integrale curbilinii de al 2-lea fel se reduce la calculul unei integrale definite.

1. Lasă curba ( L) este dat de ecuația .

Exemplu

Calculați unde ( L) - linie frântă OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Soluţie

Din moment ce (Fig. 29), atunci

1) Ecuația (OA): , ,

2) Ecuația unei drepte (AB): .

2. Lasă curba (L) specificat parametric: .

Cometariu.În cazul spațial:

Exemplu

calculati

Unde ( AB)- segment din A(0;0;1) inainte de B(2;-2;3).

Soluţie

Să găsim ecuația dreptei ( AB):

Să trecem la înregistrarea parametrică a ecuației dreptei (AB). Apoi .

Punct A(0;0;1) corespunde parametrului t egal: prin urmare, t=0.

Punct B(2;-2;3) corespunde parametrului t, egal: prin urmare, t=1.

La mutarea din A La ÎN,parametru t se schimba de la 0 la 1.

1.3. Formula lui Green. L) incl. M(x;y;z) cu axe Ox, Oy, Oz

Calculul unei integrale curbilinii peste coordonate.

Calculul unei integrale curbilinii peste coordonate se reduce la calculul unei integrale definite obișnuite.

Luați în considerare integrala curbilinie de al 2-lea fel sub arc:

(1)

Fie ecuația curbei de integrare dată în formă parametrică:

Unde t- parametru.

Atunci din ecuațiile (2) avem:

Din aceleași ecuații scrise pentru puncte AȘi ÎN,

haideti sa gasim valorile t AȘi t B parametri corespunzători începutului și sfârșitului curbei de integrare.

Înlocuind expresiile (2) și (3) în integrala (1), obținem o formulă pentru calcularea unei integrale curbilinii de al 2-lea fel:

Dacă curba de integrare este dată explicit în raport cu variabila y, adică la fel de

y=f(x), (6)

apoi acceptăm variabila X pe parametru (t=x)și obținem următoarea intrare a ecuației (6) sub formă parametrică:

De aici avem: , t A =x A , t B =x B, iar integrala curbilinie a celei de-a 2-a este redusă la o integrală definită peste variabilă X:

Unde y(x)– ecuația dreptei de-a lungul căreia se realizează integrarea.

Dacă ecuaţia curbei de integrare AB specificat în mod explicit în raport cu variabila X, adică la fel de

x=φ(y) (8)

apoi luăm variabila ca parametru y, scriem ecuația (8) sub formă parametrică:

Primim: , t A =y A , t B =y B, iar formula de calcul a integralei de al 2-lea fel va lua forma:

Unde X y)– ecuația dreptei AB.

Note.

1). Există o integrală curbilinie peste coordonate, adică există o limită finită a sumei integrale la n→∞ , dacă pe curba de integrare a funcției P(x, y)Și Q(x,y) sunt continue, iar funcţiile x(t)Și YT) sunt continue împreună cu derivatele lor primare și .

2). Dacă curba de integrare este închisă, atunci trebuie să urmați direcția de integrare, deoarece

Calculați integrala , Dacă AB dat de ecuațiile:

A). (x-1) 2 +y 2 =1.

b). y=x

V). y=x 2

Cazul A. Linia de integrare este un cerc de rază R=1 centrat într-un punct C(1;0). Ecuația sa parametrică este:

Găsim

Să determinăm valorile parametrilor t la puncte AȘi ÎN.

Punctul A. t A =π .

Cazul B. Linia de integrare este o parabolă. Noi acceptam X pe parametru. Apoi , , .

Primim:

Formula lui Green.

Formula lui Green stabilește o legătură între o integrală curbilinie de al 2-lea fel pe un contur închis și o integrală dublă peste o regiune D, limitat de acest contur.

Dacă funcţia P(x, y)Și Q(x, y) iar derivatele lor parţiale sunt continue în regiune D, limitat de contur L, atunci formula este valabilă:

(1)

    - Formula lui Green.

Dovada.

Luați în considerare în avion xOy regiune D, corectează în direcția axelor de coordonate BouȘi Oi.

LA ontur L Drept x=aȘi x=b este împărțit în două părți, pe fiecare dintre acestea y este o funcție cu o singură valoare a X. Lasă secțiunea superioară ADV conturul este descris de ecuație y=y 2 (X), și secțiunea inferioară DIA contur – ecuație y=y 1 (X).

Luați în considerare integrala dublă

Având în vedere că integrala interioară se calculează la x=const primim:

.

Dar prima integrală din această sumă, după cum urmează din formula (7), este o integrală curbilinie de-a lungul dreptei ACA, deoarece y=y 2 (X)– ecuația acestei drepte, adică

iar a doua integrală este integrala curbilinie a funcției P(x, y) de-a lungul liniei DIA, deoarece y=y 1 (X)– ecuația acestei drepte:

.

Suma acestor integrale este o integrală curbilinie pe o buclă închisă L din functie P(x, y) prin coordonate X.

Ca rezultat obținem:

(2)

Rupând conturul L Drept y=cȘi y=d la parcele GRĂDINĂȘi SVD, descrise respectiv de ecuații x=x 1 (y)Și x=x 2 (y) în mod similar, obținem:

Adunând laturile drepte și stângi ale egalităților (2) și (3), obținem formula lui Green:

.

Consecinţă.

Folosind o integrală curbilinie de al 2-lea fel, puteți calcula ariile figurilor plane.

Să stabilim care ar trebui să fie funcțiile pentru aceasta P(x, y)Și Q(x, y). Hai sa scriem:

sau, folosind formula lui Green,

Prin urmare, egalitatea trebuie să fie satisfăcută

ce este posibil, de exemplu, cu

De unde obținem:

(4)

Calculați aria înconjurată de o elipsă a cărei ecuație este dată în formă parametrică:

Condiție pentru independența integralei curbilinii asupra coordonatelor față de calea de integrare.

Am stabilit că, în sens mecanic, o integrală curbilinie de al 2-lea fel reprezintă munca unei forțe variabile pe un drum curbiliniu, sau cu alte cuvinte, munca de deplasare a unui punct material într-un câmp de forțe. Dar se știe din fizică că munca în câmpul gravitațional nu depinde de forma căii, ci depinde de poziția punctelor de început și de sfârșit ale căii. În consecință, există cazuri când o integrală curbilinie de al 2-lea fel nu depinde de calea integrării.

Să determinăm condițiile în care integrala curbilinie peste coordonate nu depinde de calea de integrare.

Lăsați într-o zonă D funcții P(x, y)Și Q(x, y)și derivate parțiale

Și continuu. Să luăm puncte în acest domeniu AȘi ÎNși leagă-le cu linii arbitrare DIAȘi AFB.

Dacă o integrală curbilinie de al 2-lea fel nu depinde de calea de integrare, atunci

,

(1)

Dar integrala (1) este o integrală în buclă închisă ACBFA.

În consecință, o integrală curbilinie de al 2-lea fel într-o regiune D nu depinde de calea de integrare dacă integrala peste orice contur închis din această regiune este egală cu zero.

Să determinăm ce condiții trebuie să îndeplinească funcția P(x, y)Și Q(x, y) pentru ca egalitatea să fie satisfăcută

, (2)

acestea. astfel încât integrala curbilinie peste coordonate nu depinde de calea de integrare.

Lasati in zona D funcții P(x, y)Și Q(x, y) iar derivatele lor parțiale sunt de ordinul întâi și continue. Apoi, pentru ca integrala curbilinie peste coordonate

nu depinde de calea integrării, este necesar și suficient ca în toate punctele regiunii D egalitatea a fost satisfăcută

Dovada.

În consecință, egalitatea (2) este satisfăcută, adică.

, (5)

pentru care este necesar să se îndeplinească condiția (4).

Apoi din ecuația (5) rezultă că egalitatea (2) este satisfăcută și, prin urmare, integrala nu depinde de calea integrării.

Astfel, teorema este demonstrată.

Să arătăm că starea

este satisfăcută dacă integrand

este diferența completă a unei funcții U(x, y).

Diferenţialul total al acestei funcţii este egal cu

. (7)

Fie integrandul (6) diferența totală a funcției U(x, y), adică

de unde rezultă că

Din aceste egalități găsim expresii pentru derivatele parțiale și:

, .

Dar derivatele parțiale a doua mixte nu depind de ordinea diferențierii, așadar, ceea ce trebuia demonstrat. curbilinii integrale. Ar trebui de asemenea... aplicații. Din teorie curbilinii integrale se știe că curbilinii integrala formei (29...

  • Calcul diferenţial al unei funcţii a unei variabile

    Rezumat >> Matematică

    ... (unitatea 2) Găsirea zonei curbilinii sectoare.  = f()   О  Pentru a găsi zona curbilinii sector introducem un... gradient polar cu o derivată în direcție. Multiplii integrale. Dubla integrale. Condiții pentru existența unei integrale duble. Proprietăți...

  • Implementarea modelelor matematice folosind metode de integrare în mediul MATLAB

    Lucrări de curs >> Informatică

    ... (i=1,2,…,n). Orez. 5 – Formula trapezoidală Apoi zona curbilinii trapez mărginit de dreptele x=a, x=b, y=0, y=f(x), ceea ce înseamnă (urmând... orice multipli integrale. 2. MATLAB – MEDIU DE SIMULARE MATLAB (Matrice...

  • Acțiuni cu cantități aproximative

    Rezumat >> Matematică

    Diverse ecuații, iar când se calculează anumite integrale, și în aproximarea funcției. Să ne uităm la diferite moduri...  x2… xk+m. În ecuația k este par multipli iar m este impar multipli rădăcini. Se descompune în (k+m) ecuații...

    • Definiție: Lăsați în fiecare punct al unei curbe netede L=AB in avion Oxy este dată o funcție continuă a două variabile f(x,y). Să împărțim în mod arbitrar curba L pe n piese cu puncte A = M 0, M 1, M 2, ... Mn = B. Apoi pe fiecare dintre părțile rezultate \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) selectăm orice punct \(\bar((M)_(i))\left (\ bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)\)și faceți suma $$(S)_(n)=\sum_(i=1) ^(n )f\left(\bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)\Delta (l)_(i)$$ unde \(\Delta (l) _(i)=(M)_(i-1)(M)_(i)\) - arc de arc \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i ))\) . Se numește suma primită suma integrală de primul fel pentru funcție f(x,y) , dat pe curba L.

    Să notăm prin d cea mai mare dintre lungimile arcului \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) (astfel d = \(max_(i)\Delta(l)_(i)\) )). Daca la d? 0 există o limită a sumelor integrale S n (independentă de metoda de împărțire a curbei L în părți și de alegerea punctelor \(\bar((M)_(i))\)), atunci această limită se numește integrală curbilinie de ordinul întâi din functie f(x,y) de-a lungul curbei L și se notează cu $$\int_(L)f(x,y)dl$$

    Se poate dovedi că dacă funcţia f(x,y) este continuă, atunci integrala dreaptă \(\int_(L)f(x,y)dl\) există.

    Proprietățile unei integrale curbilinii de primul fel

    O integrală curbilinie de primul fel are proprietăți similare cu proprietățile corespunzătoare ale unei integrale definite:

    • aditivitate,
    • liniaritate,
    • evaluarea modulului,
    • teorema valorii medii.

    Cu toate acestea, există o diferență: $$\int_(AB)f(x,y)dl=\int_(BA)f(x,y)dl$$ adică. o integrală de linie de primul fel nu depinde de direcția de integrare.

    Calculul integralelor curbilinie de primul fel

    Calculul unei integrale curbilinii de primul fel se reduce la calculul unei integrale definite. Și anume:

    1. Dacă curba L este dată de o funcție diferențiabilă continuu y=y(x), x \(\in \) , atunci $$(\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int \limits_a^b (f\left((x,y\left(x \right)) \right)\sqrt (1 + ((\left((y"\left(x \right))) \ dreapta))^ 2)) dx) ;)$$ în acest caz expresia \(dl=\sqrt((1 + ((\left((y"\left(x \right))) \right))^2 ))) dx \) se numește diferența de lungime a arcului.
    2. Dacă curba L este specificată parametric, i.e. sub forma x=x(t), y=y(t), unde x(t), y(t) sunt funcții diferențiabile continuu pe un anumit interval \(\left [ \alpha ,\beta \right ]\), apoi $$ (\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left ((x\left(t \right),), y \left(t \right)) \right)\sqrt (((\left((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left() t \right)) \right))^2)) dt)) $$ Această egalitate se extinde la cazul unei curbe spațiale L definită parametric: x=x(t), y=y(t), z=z( t), \(t\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\). În acest caz, dacă f(x,y,z) este o funcție continuă de-a lungul curbei L, atunci $$ (\int\limits_L (f\left((x,y,z) \right)dl) ) = ( \int \limits_\alpha ^\beta (f\left [ (x\left(t \right),y\left(t \right),z\left(t \right)) \right ]\sqrt ((( \left ((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left) (( z"\stânga(t\dreapta)) \dreapta))^2)) dt)) $$
    3. Dacă o curbă plană L este dată de ecuația polară r=r(\(\varphi \)), \(\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] \), atunci $$ (\int\ limits_L (f\ left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left((r\cos \varphi ,r\sin \varphi ) \right)\ sqrt ((r ^2) + (((r)")^2)) d\varphi)) $$

    Integrale curbilinii de primul fel - exemple

    Exemplul 1

    Calculați o integrală dreaptă de primul fel

    $$ \int_(L)\frac(x)(y)dl $$ unde L este arcul parabolei y 2 =2x, cuprins între punctele (2,2) și (8,4).

    Soluție: Aflați diferența arcului dl pentru curba \(y=\sqrt(2x)\). Avem:

    \((y)"=\frac(1)(\sqrt(2x)) \) $$ dl=\sqrt(1+\left ((y)" \right)^(2)) dx= \sqrt( 1+\left (\frac(1)(\sqrt(2x)) \right)^(2)) dx = \sqrt(1+ \frac(1)(2x)) dx $$ Prin urmare, această integrală este egală cu : $ $\int_(L)\frac(x)(y)dl=\int_(2)^(8)\frac(x)(\sqrt(2x))\sqrt(1+\frac(1)( 2x) )dx= \int_(2)^(8)\frac(x\sqrt(1+2x))(2x)dx= $$ $$ \frac(1)(2)\int_(2)^( 8) \sqrt(1+2x)dx = \frac(1)(2).\frac(1)(3)\left (1+2x \right)^(\frac(3)(2))|_ (2 )^(8)= \frac(1)(6)(17\sqrt(17)-5\sqrt(5)) $$

    Exemplul 2

    Calculați integrala curbilinie de primul fel \(\int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl \), unde L este cercul x 2 +y 2 =ax (a>0).

    Rezolvare: Să introducem coordonatele polare: \(x = r\cos \varphi \), \(y=r\sin \varphi \). Atunci, deoarece x 2 +y 2 =r 2, ecuația cercului are forma: \(r^(2)=arcos\varphi \), adică \(r=acos\varphi \), iar diferența al arcului $$ dl = \ sqrt(r^2+(2)"^2)d\varphi = $$ $$ =\sqrt(a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi )d \varphi=ad\varphi $$ .

    În acest caz, \(\varphi\in \left [- \frac(\pi )(2) ,\frac(\pi )(2) \right ] \). Prin urmare, $$ \int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl=a\int_(-\frac(\pi )(2))^(\frac(\pi )(2))acos \varphi d\varphi =2a^2 $$

    Pentru cazul în care domeniul de integrare este un segment al unei anumite curbe situat într-un plan. Notația generală pentru o integrală de linie este următoarea:

    Unde f(X, y) este o funcție a două variabile și L- curba, de-a lungul unui segment AB care are loc integrarea. Dacă integrandul este egal cu unu, atunci integrala dreaptă este egală cu lungimea arcului AB .

    Ca întotdeauna în calculul integral, o integrală de linie este înțeleasă ca limita sumelor integrale ale unor părți foarte mici ale ceva foarte mare. Ce se rezumă în cazul integralelor curbilinii?

    Să fie un segment în plan AB vreo curbă L, și o funcție a două variabile f(X, y) definite în punctele curbei L. Să realizăm următorul algoritm cu acest segment al curbei.

    1. Curba împărțită ABîn părți cu puncte (imaginile de mai jos).
    2. Selectați liber un punct în fiecare parte M.
    3. Găsiți valoarea funcției în punctele selectate.
    4. Valorile funcției se înmulțesc cu
      • lungimi ale pieselor în caz integrală curbilinie de primul fel ;
      • proiecții ale pieselor pe axa de coordonate în caz integrală curbilinie de al doilea fel .
    5. Găsiți suma tuturor produselor.
    6. Găsiți limita sumei integrale găsite cu condiția ca lungimea celei mai lungi părți a curbei să tinde spre zero.

    Dacă limita menționată există, atunci aceasta limita sumei integrale și se numește integrală curbilinie a funcției f(X, y) de-a lungul curbei AB .


    primul fel

    Cazul unei integrale curbilinii
    al doilea fel

    Să introducem următoarea notație.

    Meu ( ζ eu; η i)- un punct cu coordonatele selectate pe fiecare site.

    feu ( ζ eu; η i)- valoarea funcției f(X, y) în punctul selectat.

    Δ si- lungimea unei părți dintr-un segment de curbă (în cazul unei integrale curbilinii de primul fel).

    Δ Xi- proiecția unei părți a segmentului de curbă pe axă Bou(în cazul unei integrale curbilinii de al doilea fel).

    d= maxΔ s i- lungimea celei mai lungi părți a segmentului de curbă.

    Integrale curbilinii de primul fel

    Pe baza celor de mai sus despre limita sumelor integrale, o integrală de linie de primul fel se scrie după cum urmează:

    .

    O integrală de linie de primul fel are toate proprietățile pe care le are integrala definita. Cu toate acestea, există o diferență importantă. Pentru o integrală definită, atunci când limitele integrării sunt schimbate, semnul se schimbă în opus:

    În cazul unei integrale curbilinii de primul fel, nu contează în ce punct al curbei AB (A sau B) este considerat începutul segmentului și care este sfârșitul, adică

    .

    Integrale curbilinii de al doilea fel

    Pe baza celor spuse despre limita sumelor integrale, o integrală curbilinie de al doilea fel se scrie după cum urmează:

    .

    În cazul unei integrale curbilinii de al doilea fel, atunci când începutul și sfârșitul unui segment de curbă sunt schimbate, semnul integralei se schimbă:

    .

    La compilarea sumei integrale a unei integrale curbilinii de al doilea fel, valorile funcției feu ( ζ eu; η i) poate fi, de asemenea, înmulțit cu proiecția părților unui segment de curbă pe axă Oi. Apoi obținem integrala

    .

    În practică, se utilizează de obicei unirea integralelor curbilinie de al doilea fel, adică două funcții f = P(X, y) Și f = Q(X, y) și integrale

    ,

    și suma acestor integrale

    numit integrală curbilinie generală de al doilea fel .

    Calculul integralelor curbilinie de primul fel

    Calculul integralelor curbilinie de primul fel se reduce la calculul integralelor definite. Să luăm în considerare două cazuri.

    Să fie dată o curbă pe plan y = y(X) și un segment de curbă AB corespunde unei modificări a variabilei X din A inainte de b. Apoi în punctele curbei funcția integrand f(X, y) = f(X, y(X)) ("Y" trebuie exprimat prin "X") și diferența arcului iar integrala dreaptă poate fi calculată folosind formula

    .

    Dacă integrala este mai ușor de integrat peste y, apoi din ecuația curbei trebuie să exprimăm X = X(y) („x” prin „y”), unde calculăm integrala folosind formula

    .

    Exemplul 1.

    Unde AB- segment de linie dreaptă între puncte A(1; −1) și B(2; 1) .

    Soluţie. Să facem o ecuație a unei linii drepte AB, folosind formula (ecuația unei drepte care trece prin două puncte date A(X1 ; y 1 ) Și B(X2 ; y 2 ) ):

    Din ecuația dreptei exprimăm y prin X :

    Atunci și acum putem calcula integrala, deoarece mai avem doar „X”-uri:

    Să fie dată o curbă în spațiu

    Apoi în punctele curbei funcția trebuie exprimată prin parametru t() și diferența de arc , prin urmare integrala curbilinie poate fi calculată folosind formula

    În mod similar, dacă este dată o curbă pe plan

    ,

    atunci integrala curbilinie se calculează prin formula

    .

    Exemplul 2. Calculați integrala dreaptă

    Unde L- parte a unei linii circulare

    situat în primul octant.

    Soluţie. Această curbă este un sfert de linie de cerc situată în plan z= 3 . Corespunde cu valorile parametrilor. Deoarece

    apoi diferenţialul arcului

    Să exprimăm funcția integrand prin parametru t :

    Acum că avem totul exprimat printr-un parametru t, putem reduce calculul acestei integrale curbilinie la o integrală definită:

    Calculul integralelor curbilinii de al doilea fel

    La fel ca în cazul integralelor curbilinii de primul fel, calculul integralelor de al doilea fel se reduce la calculul integralelor definite.

    Curba este dată în coordonate dreptunghiulare carteziene

    Fie o curbă pe plan dată de ecuația funcției „Y”, exprimată prin „X”: y = y(X) iar arcul curbei AB corespunde schimbării X din A inainte de b. Apoi substituim expresia „y” prin „x” în integrand și determinăm diferența acestei expresii a „y” față de „x”: . Acum că totul este exprimat în termeni de „x”, integrala dreaptă de al doilea fel este calculată ca o integrală definită:

    O integrală curbilinie de al doilea fel este calculată în mod similar atunci când curba este dată de ecuația funcției „x” exprimată prin „y”: X = X(y) , . În acest caz, formula de calcul a integralei este următoarea:

    Exemplul 3. Calculați integrala dreaptă

    , Dacă

    A) L- segment drept O.A., Unde DESPRE(0; 0) , A(1; −1) ;

    b) L- arc de parabolă y = X² de la DESPRE(0; 0) la A(1; −1) .

    a) Să calculăm integrala curbilinie pe un segment de dreaptă (albastru în figură). Să scriem ecuația dreptei și să exprimăm „Y” prin „X”:

    .

    Primim dy = dx. Rezolvăm această integrală curbilinie:

    b) dacă L- arc de parabolă y = X², primim dy = 2xdx. Calculăm integrala:

    În exemplul tocmai rezolvat, am obținut același rezultat în două cazuri. Și aceasta nu este o coincidență, ci rezultatul unui model, deoarece această integrală satisface condițiile următoarei teoreme.

    Teorema. Dacă funcţiile P(X,y) , Q(X,y) iar derivatele lor parţiale sunt continue în regiune D funcții și în punctele din această regiune derivatele parțiale sunt egale, atunci integrala curbilinie nu depinde de calea de integrare de-a lungul liniei L situat in zona D .

    Curba este dată sub formă parametrică

    Să fie dată o curbă în spațiu

    .

    iar în integranții înlocuim

    exprimând aceste funcţii printr-un parametru t. Obținem formula pentru calcularea integralei curbilinii:

    Exemplul 4. Calculați integrala dreaptă

    ,

    Dacă L- parte a unei elipse

    îndeplinirea condiției y ≥ 0 .

    Soluţie. Această curbă este partea elipsei situată în plan z= 2 . Ea corespunde valorii parametrului.

    putem reprezenta integrala curbilinie sub forma unei integrale definite și o putem calcula:

    Dacă este dată o integrală de curbă și L este o linie închisă, atunci o astfel de integrală se numește integrală în buclă închisă și este mai ușor de calculat folosind Formula lui Green .

    Mai multe exemple de calcul a integralelor de linii

    Exemplul 5. Calculați integrala dreaptă

    Unde L- un segment de dreaptă între punctele sale de intersecție cu axele de coordonate.

    Soluţie. Să determinăm punctele de intersecție ale dreptei cu axele de coordonate. Înlocuirea unei linii drepte în ecuație y= 0, obținem ,. Înlocuind X= 0, obținem ,. Astfel, punctul de intersecție cu axa Bou - A(2; 0) , cu axa Oi - B(0; −3) .

    Din ecuația dreptei exprimăm y :

    .

    , .

    Acum putem reprezenta integrala dreaptă ca o integrală definită și începem să o calculăm:

    În integrand selectăm factorul și îl mutăm în afara semnului integral. În integrantul rezultat folosim subscriind la semnul diferenţialși în sfârșit o obținem.

    Catedra de Matematică Superioară

    Integrale curbilinii

    Instrucțiuni

    Volgograd


    UDC 517.373(075)

    Referent:

    Lector superior Catedra de Matematică Aplicată N.I. Koltsova

    Publicat prin hotărâre a consiliului editorial și editorial

    Universitatea Tehnică de Stat din Volgograd

    Integrale curbilinii: metoda. instructiuni / comp. M.I. Andreeva,

    O.E. Grigorieva; Universitatea Tehnică de Stat din Volga. – Volgograd, 2011. – 26 p.

    Orientările sunt un ghid pentru finalizarea sarcinilor individuale pe tema „Integrale curbilinii și aplicațiile lor la teoria câmpului”.

    Prima parte a ghidului conține materialul teoretic necesar pentru îndeplinirea sarcinilor individuale.

    A doua parte examinează exemple de îndeplinire a tuturor tipurilor de sarcini incluse în sarcinile individuale pe această temă, ceea ce contribuie la o mai bună organizare a muncii independente a elevilor și la stăpânirea cu succes a subiectului.

    Orientările sunt destinate studenților din anul I și II.

    © Statul Volgograd

    Universitatea Tehnică, 2011

    1. INTEGRAL CURVILINEAR DE FEL I

    Definirea unei integrale curbilinii de primul fel

    Lasă È AB– arcul unui plan sau curba netedă în bucăți L, f(P) este o funcție continuă definită pe acest arc, A 0 = A, A 1 , A 2 , …, A n – 1 , A n = B ABȘi P i– puncte arbitrare pe arcele parțiale È A i – 1 A i, ale căror lungimi sunt D eu (i = 1, 2, …, n

    la n® ¥ și D max eu® 0, care nu depinde de metoda de împărțire a arcului È AB puncte A i, nici din alegerea punctelor P i pe arcuri parțiale È A i – 1 A i (i = 1, 2, …, n). Această limită se numește integrală curbilinie a primului tip de funcție f(P) de-a lungul curbei L si este desemnat

    Calculul unei integrale curbilinii de primul fel

    Calculul unei integrale curbilinie de primul fel poate fi redus la calculul unei integrale definite folosind diferite metode de specificare a curbei de integrare.

    Dacă arc È AB curba plană este dată parametric de ecuaţiile unde X(t) Și y(t t, și X(t 1) = x A, X(t 2) = x B, Acea

    Unde - diferenţa lungimii arcului curbei.

    O formulă similară este valabilă în cazul unei specificații parametrice a unei curbe spațiale L. Dacă arc È AB strâmb L este dat de ecuațiile , și X(t), y(t), z(t) – funcții continuu diferențiabile ale parametrului t, Acea

    unde este diferența dintre lungimea arcului curbei.

    în coordonate carteziene

    Dacă arc È AB curbă plată L dat de ecuaţie Unde y(X

    iar formula de calcul a integralei curbilinii este:

    La specificarea unui arc È AB curbă plată L la fel de X= X(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
    Unde X(y) este o funcție diferențiabilă continuu,

    iar integrala curbilinie se calculează prin formula

    (1.4)

    Specificarea unei curbe de integrare printr-o ecuație polară

    Dacă curba este plată L este dat de ecuația din sistemul de coordonate polare r = r(j), j О , unde r(j) este o funcție diferențiabilă continuu, atunci

    Și

    (1.5)

    Aplicații ale integralei curbilinii de primul fel

    Folosind o integrală curbilinie de primul fel, se calculează următoarele: lungimea arcului unei curbe, aria unei părți a unei suprafețe cilindrice, masa, momentele statice, momentele de inerție și coordonatele centrului de greutate al unui curba materialului cu o densitate liniară dată.

    1. Lungimea l curbă plană sau spațială L se gaseste prin formula

    2. Aria unei părți a unei suprafețe cilindrice paralelă cu axa OZ generator şi situat în plan XOY ghid L, închis între avion XOY iar suprafața dată de ecuație z = f(X; y) (f(P) ³ 0 la P Î L), este egal cu

    (1.7)

    3. Greutate m curba materialului L cu densitatea liniară m( P) este determinată de formula

    (1.8)

    4. Momente statice despre axe BouȘi Oiși coordonatele centrului de greutate al unei curbe de material plan L cu densitatea liniară m( X; y) sunt, respectiv, egale:

    (1.9)

    5. Momente statice despre avioane Oxy, Oxz, Oyzși coordonatele centrului de greutate al unei curbe de material spațial cu densitatea liniară m( X; y; z) sunt determinate de formulele:

    (1.11)

    6. Pentru o curbă de material plat L cu densitatea liniară m( X; y) momente de inerție față de axe Bou, Oiși originea coordonatelor sunt, respectiv, egale:

    (1.13)

    7. Momente de inerție ale unei curbe de material spațial L cu densitatea liniară m( X; y; z) relativ la planurile de coordonate se calculează folosind formulele

    (1.14)

    iar momentele de inerție în jurul axelor de coordonate sunt egale cu:

    (1.15)

    2. INTEGRAL CURVILINEAR DE FEL 2

    Definiția unei integrale curbilinii de al 2-lea fel

    Lasă È AB– arcul unei curbe netede orientate în bucăți L, = (un x(P); Ay(P); a z(P)) este o funcție vectorială continuă definită pe acest arc, A 0 = A, A 1 , A 2 , …, A n – 1 , A n = B– scindare arbitrară a arcului ABȘi P i– puncte arbitrare pe arcuri parțiale A i – 1 A i. Fie un vector cu coordonatele D x i,D y eu,D z i(i = 1, 2, …, n), și este produsul scalar al vectorilor și ( i = 1, 2, …, n). Apoi există o limită a succesiunii de sume integrale

    la n® ¥ și max ÷ ç ® 0, care nu depinde de metoda de împărțire a arcului AB puncte A i, nici din alegerea punctelor P i pe arcuri parțiale È A i – 1 A i
    (i = 1, 2, …, n). Această limită se numește integrală curbilinie a celui de-al doilea tip de funcție ( P) de-a lungul curbei L si este desemnat

    În cazul în care funcția vectorială este specificată pe o curbă plană L, la fel avem:

    Când direcția de integrare se schimbă, integrala curbilinie de al 2-lea fel își schimbă semnul.

    Integrale curbilinii de primul și al doilea fel sunt legate prin relație

    (2.2)

    unde este vectorul unitar al tangentei la curba orientată.

    Folosind o integrală curbilinie de al 2-lea fel, puteți calcula munca unei forțe atunci când mutați un punct material de-a lungul arcului unei curbe L:

    (2.3)

    Direcția pozitivă de parcurgere a unei curbe închise CU, delimitând o regiune pur și simplu conectată G, se ia în considerare traversarea în sens invers acelor de ceasornic.

    Integrală curbilinie de al 2-lea fel peste o curbă închisă CU se numeste circulatie si se noteaza

    (2.4)

    Calculul unei integrale curbilinii de al 2-lea fel

    Calculul unei integrale curbilinii de al 2-lea fel se reduce la calculul unei integrale definite.

    Definirea parametrică a curbei de integrare

    Dacă È AB curba plană orientată este dată parametric de ecuaţiile unde X(t) Și y(t) – funcții continuu diferențiabile ale parametrului t, și apoi

    (2.5)

    O formulă similară are loc în cazul unei specificații parametrice a unei curbe orientate în spațiu L. Dacă arc È AB strâmb L este dat de ecuațiile , și – funcții continuu diferențiabile ale parametrului t, Acea

    (2.6)

    Specificarea explicită a unei curbe de integrare plană

    Dacă arc È AB L este dat în coordonate carteziene de ecuaţia unde y(X) este o funcție diferențiabilă continuu, atunci

    (2.7)

    La specificarea unui arc È AB curbă orientată plană L la fel de
    X= X(y), y Î [ y 1 ; y 2], unde X(y) este o funcție diferențiabilă continuu, formula este valabilă

    (2.8)

    Lasă funcțiile sunt continue împreună cu derivatele lor

    într-o regiune plată închisă G, delimitat de o curbă netedă, închisă, auto-disjunctă, orientată pozitiv CU+ . Apoi formula lui Green este valabilă:

    Lăsa G– regiune conectată la suprafață, și

    = (un x(P); Ay(P); a z(P))

    este un câmp vectorial specificat în această regiune. Camp ( P) se numește potențial dacă există o astfel de funcție U(P), Ce

    (P) = grad U(P),

    Condiție necesară și suficientă pentru potențialul unui câmp vectorial ( P) are forma:

    putrezi( P) = , unde (2.10)

    (2.11)

    Dacă câmpul vectorial este potențial, atunci integrala curbilinie de al 2-lea fel nu depinde de curba de integrare, ci depinde doar de coordonatele începutului și sfârșitului arcului. M 0 M. Potenţial U(M) al câmpului vectorial se determină până la un termen constant și se găsește prin formula

    (2.12)

    Unde M 0 M– o curbă arbitrară care leagă un punct fix M 0 și punct variabil M. Pentru a simplifica calculele, o linie întreruptă poate fi aleasă ca cale de integrare M 0 M 1 M 2 M cu legături paralele cu axele de coordonate, de exemplu:

    3. exemple de îndeplinire a sarcinilor

    Exercitiul 1

    Calculați o integrală curbilinie de primul fel

    unde L este arcul curbei, 0 ≤ X ≤ 1.

    Soluţie. Folosind formula (1.3) pentru a reduce o integrală curbilinie de primul fel la o integrală definită în cazul unei curbe definite în mod explicit în plan neted:

    Unde y = y(X), X 0 ≤ X ≤ X 1 – ecuația arcului L curba de integrare. În exemplul luat în considerare Găsiți derivata acestei funcții

    și diferența de lungime a arcului curbei L

    ,

    apoi, substituind în această expresie în loc de y, primim

    Să transformăm integrala curbilinie într-o integrală definită:

    Calculăm această integrală folosind substituție. Apoi
    t 2 = 1 + X, X = t 2 – 1, dx = 2t dt; la x = 0 t= 1; A X= 1 corespunde . După transformări obținem

    Sarcina 2

    Calculați o integrală curbilinie de primul fel de-a lungul unui arc L strâmb L:X= cos 3 t, y= păcatul 3 t, .

    Soluţie. Deoarece L este un arc de curbă plană netedă, dat în formă parametrică, apoi folosim formula (1.1) pentru reducerea unei integrale curbilinii de primul fel la una definită:

    .

    În exemplul luat în considerare

    Să găsim diferența de lungime a arcului

    Înlocuim expresiile găsite în formula (1.1) și calculăm:

    Sarcina 3

    Aflați masa arcului dreptei L cu plan liniar m.

    Soluţie. Greutate m arcuri L cu densitatea m( P) se calculează folosind formula (1.8)

    .

    Aceasta este o integrală curbilinie de primul fel peste un arc neted definit parametric al unei curbe în spațiu, de aceea este calculată folosind formula (1.2) pentru reducerea unei integrale curbilinie de primul fel la o integrală definită:

    Să găsim derivate

    și diferența de lungime a arcului

    Inlocuim aceste expresii in formula pentru masa:

    Sarcina 4

    Exemplul 1. Calculați integrala curbilinie de al 2-lea fel

    de-a lungul unui arc L curba 4 X + y 2 = 4 din punct A(1; 0) la punct B(0; 2).

    Soluţie. Arc plat L este specificat implicit. Pentru a calcula integrala, este mai convenabil să se exprimi X prin y:

    și găsiți integrala folosind formula (2.8) pentru transformarea unei integrale curbilinii de al 2-lea fel într-o integrală definită peste o variabilă y:

    Unde un x(X; y) = X y – 1, Ay(X; y) = X y 2 .

    Luând în considerare alocarea curbei

    Folosind formula (2.8) obținem

    Exemplul 2. Calculați integrala curbilinie de al 2-lea fel

    Unde L- linie frântă ABC, A(1; 2), B(3; 2), C(2; 1).

    Soluţie. Prin proprietatea de aditivitate a unei integrale curbilinii

    Fiecare dintre termenii integrali este calculat folosind formula (2.7)

    Unde un x(X; y) = X 2 + y, Ay(X; y) = –3X y.

    Ecuația unui segment de dreaptă AB: y = 2, y¢ = 0, X 1 = 1, X 2 = 3. Inlocuind aceste expresii in formula (2.7), obtinem:

    Pentru a calcula integrala

    să facem o ecuație a unei linii drepte B.C. conform formulei

    Unde x B, y B, xC, Y c– coordonatele punctelor BȘi CU. Primim

    y – 2 = X – 3, y = X – 1, y¢ = 1.

    Inlocuim expresiile rezultate in formula (2.7):

    Sarcina 5

    Calculați o integrală curbilinie de al 2-lea fel de-a lungul unui arc L

    0 ≤ t ≤ 1.

    Soluţie. Deoarece curba de integrare este dată parametric de ecuații x = x(t), y = y(t), t Î [ t 1 ; t 2], unde X(t) Și y(t) – funcții diferențiabile continuu t la t Î [ t 1 ; t 2 ], apoi pentru a calcula integrala curbilinie de al doilea fel folosim formula (2.5) reducând integrala curbilinie la cea definită pentru o curbă plană dată parametric

    În exemplul luat în considerare un x(X; y) = y; Ay(X; y) = –2X.

    Luând în considerare setarea curbei L primim:

    Înlocuim expresiile găsite în formula (2.5) și calculăm integrala definită:

    Sarcina 6

    Exemplul 1. C + Unde CU : y 2 = 2X, y = X – 4.

    Soluţie. Desemnare C+ indică faptul că circuitul este parcurs în sens pozitiv, adică în sens invers acelor de ceasornic.

    Să verificăm că pentru a rezolva problema putem folosi formula lui Green (2.9)

    Din moment ce funcţiile un x (X; y) = 2y – X 2 ; Ay (X; y) = 3X + yși derivatele lor parțiale continuă într-o regiune plată închisă G, limitat de contur C, atunci formula lui Green este aplicabilă.

    Pentru a calcula integrala dublă, descriem regiunea G, având în prealabil determinate punctele de intersecție ale arcelor de curbe y 2 = 2XȘi
    y = X– 4, alcătuind conturul C.

    Vom găsi punctele de intersecție prin rezolvarea sistemului de ecuații:

    A doua ecuație a sistemului este echivalentă cu ecuația X 2 – 10X+ 16 = 0, de unde X 1 = 2, X 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

    Deci, punctele de intersecție ale curbelor: A(2; –2), B(8; 4).

    Din moment ce zona G– corectă în direcția axei Bou, apoi pentru a reduce integrala dublă la una repetată, proiectăm regiunea G pe axă OYși folosește formula

    .

    Deoarece A = –2, b = 4, X 2 (y) = 4+y, Acea

    Exemplul 2. Calculați o integrală curbilinie de al 2-lea fel de-a lungul unui contur închis Unde CU– conturul unui triunghi cu vârfuri A(0; 0), B(1; 2), C(3; 1).

    Soluţie. Denumirea înseamnă că conturul triunghiului este parcurs în sensul acelor de ceasornic. În cazul în care integrala curbilinie este preluată peste un contur închis, formula lui Green ia forma

    Să descriem zona G, limitat de un contur dat.

    Funcții și derivate parțiale Și continuu in regiune G, astfel încât formula lui Green poate fi aplicată. Apoi

    Regiune G nu este corectă în direcția vreuneia dintre axe. Să desenăm un segment de linie dreaptă X= 1 și imaginează-ți G la fel de G = G 1 È G 2 unde G 1 și G 2 zone corecte în direcția axei Oi.

    Apoi

    Pentru a reduce fiecare dintre integralele duble cu G 1 și G 2 pentru a repeta vom folosi formula

    Unde [ A; b] – proiecția zonei D pe axă Bou,

    y = y 1 (X) – ecuația curbei de limite inferioare,

    y = y 2 (X) – ecuația curbei de limitare superioară.

    Să notăm ecuațiile limitelor domeniului G 1 și găsiți

    AB: y = 2X, 0 ≤ X ≤ 1; ANUNȚ: , 0 ≤ X ≤ 1.

    Să creăm o ecuație pentru graniță B.C. regiune G 2 folosind formula

    B.C.: unde 1 ≤ X ≤ 3.

    DC: 1 ≤ X ≤ 3.

    Sarcina 7

    Exemplul 1. Găsiți munca de forță L: y = X 3 de la punct M(0; 0) la punct N(1; 1).

    Soluţie. Lucru efectuat de o forță variabilă atunci când se deplasează un punct material de-a lungul unui arc de curbă L determinat prin formula (2.3) (ca o integrală curbilinie a celui de-al doilea tip de funcție de-a lungul curbei L) .

    Deoarece funcția vectorială este dată de ecuație și arcul curbei orientate plan este definit explicit de ecuație y = y(X), X Î [ X 1 ; X 2], unde y(X) este o funcție diferențiabilă continuu, apoi prin formula (2.7)

    În exemplul luat în considerare y = X 3 , , X 1 = x M = 0, X 2 = xN= 1. Prin urmare

    Exemplul 2. Găsiți munca de forță când se deplasează un punct material de-a lungul unei linii L: X 2 + y 2 = 4 din punct M(0; 2) la punct N(–2; 0).

    Soluţie. Folosind formula (2.3), obținem

    .

    În exemplul luat în considerare, arcul curbei L(È MN) este un sfert de cerc dat de ecuația canonică X 2 + y 2 = 4.

    Pentru a calcula o integrală curbilinie de al doilea fel, este mai convenabil să mergeți la definiția parametrică a unui cerc: X = R cos t, y = R păcat tși folosiți formula (2.5)

    Deoarece X= 2cos t, y= 2sin t, , , primim

    Sarcina 8

    Exemplul 1. Calculați modulul de circulație al unui câmp vectorial de-a lungul conturului G:

    Soluţie. Pentru a calcula circulația unui câmp vectorial de-a lungul unui contur închis G să folosim formula (2.4)

    Deoarece câmpul vectorial spațial este dat și buclă închisă spațială G, apoi trecând de la forma vectorială de scriere a integralei curbilinii la forma de coordonate, obținem

    Curba G definită ca intersecția a două suprafețe: un paraboloid hiperbolic z = x 2 – y 2 + 2 și cilindri X 2 + y 2 = 1. Pentru a calcula integrala curbilinie este convenabil să mergeți la ecuațiile parametrice ale curbei G.

    Ecuația unei suprafețe cilindrice poate fi scrisă astfel:
    X=cos t, y= păcat t, z = z. Expresie pentru zîn ecuaţiile parametrice ale curbei se obţine prin substituire X=cos t, y= păcat tîn ecuația unui paraboloid hiperbolic z = 2 + cos 2 t– păcatul 2 t= 2 + cos 2 t. Asa de, G: X=cos t,
    y= păcat t, z= 2 + cos 2 t, 0 ≤ t≤ 2p.

    Deoarece cele incluse în ecuaţiile parametrice ale curbei G funcții
    X(t) = cos t, y(t) = păcat t, z(t) = 2 + cos 2 t sunt funcții continuu diferențiabile ale parametrului t la tО , atunci găsim integrala curbilinie folosind formula (2.6)