Cunoștințele despre măsurarea Pământului au apărut în vremuri străvechi și s-au conturat treptat în știința geometriei. Acest cuvânt este tradus din greacă ca „agrimensiune”.

Măsura întinderii unei secțiuni plate a Pământului în lungime și lățime este suprafața. În matematică, este de obicei notat cu litera latină S (din engleză „pătrat” - „zonă”, „pătrat”) sau litera greacă σ (sigma). S desemnează aria unei figuri pe un plan sau aria suprafeței unui corp, iar σ este aria secțiunii transversale a unui fir în fizică. Acestea sunt simbolurile principale, deși pot exista și altele, de exemplu, în domeniul rezistenței materialelor, A este aria secțiunii transversale a profilului.

Formule de calcul

Cunoscând zonele figurilor simple, puteți găsi parametrii celor mai complexe.. Matematicienii antici au dezvoltat formule care pot fi folosite pentru a le calcula cu ușurință. Astfel de figuri sunt triunghi, patrulater, poligon, cerc.

Pentru a găsi aria unei figuri plane complexe, aceasta este împărțită în multe figuri simple, cum ar fi triunghiuri, trapeze sau dreptunghiuri. Apoi, folosind metode matematice, se obține o formulă pentru zona acestei figuri. O metodă similară este folosită nu numai în geometrie, ci și în analiza matematică pentru a calcula zonele figurilor delimitate de curbe.

Triunghi

Să începem cu cea mai simplă figură - un triunghi. Sunt dreptunghiulare, isoscele și echilaterale. Luați orice triunghi ABC cu laturile AB=a, BC=b și AC=c (∆ ABC). Pentru a-i găsi aria, să ne amintim teoremele sinusului și cosinusului cunoscute de la cursul de matematică din școală. Lăsând toate calculele, ajungem la următoarele formule:

  • S=√ - Formula lui Heron, cunoscută de toată lumea, unde p=(a+b+c)/2 este semiperimetrul triunghiului;
  • S=a h/2, unde h este înălțimea coborâtă pe latura a;
  • S=a b (sin γ)/2, unde γ este unghiul dintre laturile a și b;
  • S=a b/2, dacă ∆ ABC este dreptunghiular (aici a și b sunt catete);
  • S=b² (sin (2 β))/2, dacă ∆ ABC este isoscel (aici b este unul dintre „șolduri”, β este unghiul dintre „șoldurile” triunghiului);
  • S=a² √¾, dacă ∆ ABC este echilateral (aici a este o latură a triunghiului).

Patrulater

Să existe un patrulater ABCD cu AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Pentru a găsi aria S a unui 4-gon arbitrar, trebuie să o împărțiți cu diagonala în două triunghiuri, ale căror zone S1 și S2 nu sunt în general egale.

Apoi utilizați formulele pentru a le calcula și adăugați-le, adică S=S1+S2. Cu toate acestea, dacă un 4-gon aparține unei anumite clase, atunci aria sa poate fi găsită folosind formule cunoscute anterior:

  • S=(a+c) h/2=e h, dacă tetragonul este un trapez (aici a și c sunt bazele, e este linia mediană a trapezului, h este înălțimea coborâtă la una din bazele trapezului;
  • S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, dacă ABCD este un paralelogram (aici φ este unghiul dintre laturile a și b, h este înălțimea coborâtă pe latura a, d1 și d2 sunt diagonale);
  • S=a b=d²/2, dacă ABCD este un dreptunghi (d este o diagonală);
  • S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, dacă ABCD este un romb (a este latura rombului, φ este unul dintre unghiurile sale, P este perimetrul);
  • S=a²=P²/16=d²/2, dacă ABCD este un pătrat.

Poligon

Pentru a găsi aria unui n-gon, matematicienii o descompun în cele mai simple cifre egale - triunghiuri, găsiți aria fiecăruia dintre ele și apoi adăugați-le. Dar dacă poligonul aparține clasei regulate, atunci utilizați formula:

S=a n h/2=a² n/=P²/, unde n este numărul de vârfuri (sau laturi) poligonului, a este latura n-gonului, P este perimetrul acestuia, h este apotema, adică a segment trasat din centrul poligonului spre una dintre laturile acestuia la un unghi de 90°.

Cerc

Un cerc este un poligon perfect cu un număr infinit de laturi. Trebuie să calculăm limita expresiei din dreapta în formula pentru aria unui poligon cu numărul de laturi n care tind spre infinit. În acest caz, perimetrul poligonului se va transforma în lungimea unui cerc cu raza R, care va fi limita cercului nostru, și va deveni egal cu P=2 π R. Înlocuiți această expresie în formula de mai sus. Vom primi:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Să găsim limita acestei expresii ca n→∞. Pentru a face acest lucru, luăm în considerare că lim (cos (180°/n)) pentru n→∞ este egal cu cos 0°=1 (lim este semnul limitei), iar lim = lim pentru n→∞ este egal cu 1/π (am convertit măsura gradului într-un radian, folosind relația π rad=180°, și am aplicat prima limită remarcabilă lim (sin x)/x=1 la x→∞). Înlocuind valorile obținute în ultima expresie pentru S, ajungem la formula binecunoscută:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Unități de măsură

Se folosesc unități de măsură sistemice și nesistemice. Unitățile de sistem aparțin SI (System International). Acesta este un metru pătrat (metru pătrat, m²) și unități derivate din acesta: mm², cm², km².

În milimetri pătrați (mm²), de exemplu, măsoară aria secțiunii transversale a firelor în inginerie electrică, în centimetri pătrați (cm²) - secțiunea transversală a unei grinzi în mecanica structurală, în metri pătrați (m²) - într-un apartament sau casă, în kilometri pătrați (km²) - în geografie .

Cu toate acestea, uneori se folosesc unități de măsură nesistemice, cum ar fi: țesătură, ar (a), hectar (ha) și acre (as). Să prezentăm următoarele relații:

  • 1 sută de metri pătrați=1 a=100 m²=0,01 hectare;
  • 1 ha=100 a=100 acri=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
  • 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 acri = 0,405 hectare.

Pentru a rezolva probleme de geometrie, trebuie să cunoașteți formule - cum ar fi aria unui triunghi sau aria unui paralelogram - precum și tehnici simple pe care le vom acoperi.

Mai întâi, să învățăm formulele pentru zonele figurilor. Le-am adunat special într-o masă convenabilă. Printează, învață și aplică!

Desigur, nu toate formulele de geometrie sunt în tabelul nostru. De exemplu, pentru a rezolva probleme de geometrie și stereometrie din a doua parte a profilului Unified State Examination la matematică, se folosesc alte formule pentru aria unui triunghi. Cu siguranță vă vom spune despre ele.

Dar dacă trebuie să găsiți nu aria unui trapez sau a unui triunghi, ci aria unei figuri complexe? Există căi universale! Le vom arăta folosind exemple din banca de activități FIPI.

1. Cum să găsiți aria unei figuri nestandard? De exemplu, un patrulater arbitrar? O tehnică simplă - să împărțim această cifră în cele despre care știm totul și să îi găsim aria - ca suma suprafețelor acestor cifre.

Împărțiți acest patrulater cu o linie orizontală în două triunghiuri cu o bază comună egală cu . Înălțimile acestor triunghiuri sunt egale Și . Atunci aria patrulaterului este egală cu suma ariilor celor două triunghiuri: .

Raspuns: .

2. În unele cazuri, aria unei figuri poate fi reprezentată ca diferența unor zone.

Nu este atât de ușor să calculezi cu ce sunt egale baza și înălțimea acestui triunghi! Dar putem spune că aria sa este egală cu diferența dintre ariile unui pătrat cu o latură și trei triunghiuri dreptunghiulare. Ii vezi in poza? Primim: .

Raspuns: .

3. Uneori, într-o sarcină, trebuie să găsiți zona nu a întregii figuri, ci a unei părți a acesteia. De obicei, vorbim despre aria unui sector - o parte a unui cerc Găsiți aria unui sector al unui cerc cu raza a cărui lungime a arcului este .

În această imagine vedem o parte dintr-un cerc. Aria întregului cerc este egală cu . Rămâne să aflăm care parte a cercului este reprezentată. Deoarece lungimea întregului cerc este egală (din moment ce ), iar lungimea arcului unui sector dat este egală , prin urmare, lungimea arcului este de câteva ori mai mică decât lungimea întregului cerc. Unghiul la care se sprijină acest arc este, de asemenea, un factor mai mic decât un cerc complet (adică grade). Aceasta înseamnă că aria sectorului va fi de câteva ori mai mică decât aria întregului cerc.

Formula zonei este necesar să se determine aria unei figuri, care este o funcție cu valoare reală definită pe o anumită clasă de figuri din planul euclidian și care îndeplinește 4 condiții:

  1. Pozitivitate - Zona nu poate fi mai mică de zero;
  2. Normalizare - un pătrat cu unitate laterală are aria 1;
  3. Congruență - figurile congruente au aria egală;
  4. Aditivitate - aria unirii a 2 figuri fără puncte interne comune este egală cu suma ariilor acestor cifre.
Formule pentru aria figurilor geometrice.
Figura geometrică Formula Desen

Rezultatul adunării distanțelor dintre punctele medii ale laturilor opuse ale unui patrulater convex va fi egal cu semiperimetrul acestuia.

Sectorul cercului.

Aria unui sector de cerc este egală cu produsul arcului său și jumătate din rază.

Segment de cerc.

Pentru a obține aria segmentului ASB, este suficient să scădeți aria triunghiului AOB din aria sectorului AOB.

S = 1 / 2 R(s - AC)

Aria elipsei este egală cu produsul dintre lungimile semiaxelor majore și minore ale elipsei și numărul pi.

Elipsă.

O altă opțiune pentru calcularea ariei unei elipse este prin două dintre razele sale.

Triunghi. Prin bază și înălțime.

Formula pentru aria unui cerc folosind raza și diametrul acestuia.

Patrat . Prin partea lui.

Aria unui pătrat este egală cu pătratul lungimii laturii sale.

Pătrat. Prin diagonalele sale.

Aria unui pătrat este egală cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.

Poligon regulat.

Pentru a determina aria unui poligon regulat, este necesar să-l împărțiți în triunghiuri egale care ar avea un vârf comun în centrul cercului înscris.

S= r p = 1/2 r n a

Aria unei figuri geometrice- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței limitată de conturul închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.

Formulele ariei triunghiulare

  1. Formula pentru aria unui triunghi după latură și înălțime
    Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură
  2. Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului circumferitor
  3. Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului înscris
    Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris.
    4. unde S este aria triunghiului,
    - lungimile laturilor triunghiului,
    - înălțimea triunghiului,
    - unghiul dintre laturi și,
    - raza cercului înscris,
    R - raza cercului circumscris,

Formule de suprafață pătrată

  1. Formula pentru aria unui pătrat cu lungimea laturii
    Suprafata patrata egal cu pătratul lungimii laturii sale.
  2. Formula pentru aria unui pătrat de-a lungul lungimii diagonalei
    Suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
    S=1 2
    2
    3. unde S este aria pătratului,
    - lungimea laturii pătratului,
    - lungimea diagonalei pătratului.

Formula zonei dreptunghiulare

    Aria unui dreptunghi egal cu produsul lungimilor celor două laturi adiacente ale sale

    unde S este aria dreptunghiului,
    - lungimile laturilor dreptunghiului.

Formule cu arii de paralelogram

  1. Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe lungimea și înălțimea laturii
    Aria unui paralelogram
  2. Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe două laturi și unghiul dintre ele
    Aria unui paralelogram este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.

    a b sin α

    3. unde S este aria paralelogramului,
    - lungimile laturilor paralelogramului,
    - lungimea înălțimii paralelogramului,
    - unghiul dintre laturile paralelogramului.

Formule pentru aria unui romb

  1. Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și înălțimea laturii
    Zona unui romb egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură.
  2. Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și unghiul laturii
    Zona unui romb este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului.
  3. Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimile diagonalelor sale
    Zona unui romb egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.
    4. unde S este aria rombului,
    - lungimea laturii rombului,
    - lungimea înălțimii rombului,
    - unghiul dintre laturile rombului,
    1, 2 - lungimile diagonalelor.

Formule ale zonei trapezoidale

  1. Formula lui Heron pentru trapez

    Unde S este aria trapezului,
    - lungimile bazelor trapezului,
    - lungimile laturilor trapezului,

Calcularea ariei unei figuri- Aceasta este poate una dintre cele mai dificile probleme din teoria zonei. În geometria școlii, ei sunt învățați să găsească zonele formelor geometrice de bază, cum ar fi, de exemplu, un triunghi, romb, dreptunghi, trapez, cerc etc. Cu toate acestea, de multe ori trebuie să vă ocupați de calcularea ariilor unor cifre mai complexe. Atunci când rezolvați astfel de probleme este foarte convenabil să utilizați calculul integral.

Definiţie.

Trapez curbiliniu numiți o figură G mărginită de dreptele y = f(x), y = 0, x = a și x = b, iar funcția f(x) este continuă pe segmentul [a; b] și nu își schimbă semnul de pe el (Fig. 1). Aria unui trapez curbat poate fi notată cu S(G).

Integrala definită ʃ a b f(x)dx pentru funcția f(x), care este continuă și nenegativă pe intervalul [a; b] și este aria trapezului curbat corespunzător.

Adică, pentru a găsi aria unei figuri G mărginită de liniile y = f(x), y = 0, x = a și x = b, este necesar să se calculeze integrala definită ʃ a b f(x)dx .

Astfel, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Dacă funcția y = f(x) nu este pozitivă pe [a; b], atunci aria unui trapez curbat poate fi găsită folosind formula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Exemplul 1.

Calculați aria figurii delimitată de liniile y = x 3; y = 1; x = 2.

Soluţie.

Liniile date formează figura ABC, care este afișată prin hașurare orez. 2.

Aria necesară este egală cu diferența dintre ariile trapezului curbiliniu DACE și pătratul DABE.

Folosind formula S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), găsim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, rezolvăm un sistem de două ecuații:

(y = x 3,
(y = 1.

Astfel, avem x 1 = 1 – limita inferioară și x = 2 – limita superioară.

Deci, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (unități pătrate).

Raspuns: 11/4 mp. unitati

Exemplul 2.

Calculați aria figurii delimitată de liniile y = √x; y = 2; x = 9.

Soluţie.

Liniile date formează figura ABC, care este limitată mai sus de graficul funcției

y = √x, iar mai jos este un grafic al funcției y = 2. Figura rezultată este afișată prin hașura în orez. 3.

Aria necesară este S = ʃ a b (√x – 2). Să aflăm limitele integrării: b = 9, pentru a găsi a, rezolvăm un sistem de două ecuații:

(y = √x,
(y = 2.

Astfel, avem că x = 4 = a - aceasta este limita inferioară.

Deci, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (unități pătrate).

Răspuns: S = 2 2/3 mp. unitati

Exemplul 3.

Calculați aria figurii delimitată de liniile y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.

Soluţie.

Să reprezentăm grafic funcția y = x 3 – 4x pentru x ≥ 0. Pentru a face acest lucru, găsiți derivata y’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 la x = ±2/√3 ≈ 1,1 – puncte critice.

Dacă trasăm punctele critice pe dreapta numerică și aranjam semnele derivatei, aflăm că funcția scade de la zero la 2/√3 și crește de la 2/√3 la plus infinit. Atunci x = 2/√3 este punctul minim, valoarea minimă a funcției y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Să determinăm punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate:

dacă x = 0, atunci y = 0, ceea ce înseamnă că A(0; 0) este punctul de intersecție cu axa Oy;

dacă y = 0, atunci x 3 – 4x = 0 sau x(x 2 – 4) = 0, sau x(x – 2)(x + 2) = 0, de unde x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (nu este potrivit, deoarece x ≥ 0).

Punctele A(0; 0) și B(2; 0) sunt punctele de intersecție ale graficului cu axa Ox.

Liniile date formează figura OAB, care este afișată prin hașurare orez. 4.

Deoarece funcția y = x 3 – 4x ia o valoare negativă pe (0; 2), atunci

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Avem: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, de unde S = 4 sq. unitati

Răspuns: S = 4 mp. unitati

Exemplul 4.

Aflați aria figurii delimitată de parabola y = 2x 2 – 2x + 1, dreptele x = 0, y = 0 și tangenta la această parabolă în punctul cu abscisa x 0 = 2.

Soluţie.

Mai întâi, să creăm o ecuație pentru tangenta la parabola y = 2x 2 – 2x + 1 în punctul cu abscisa x₀ = 2.

Deoarece derivata y’ = 4x – 2, atunci pentru x 0 = 2 obținem k = y’(2) = 6.

Să aflăm ordonata punctului tangentei: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Prin urmare, ecuația tangentei are forma: y – 5 = 6(x ​​– 2) sau y = 6x – 7.

Să construim o figură delimitată de linii:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabolă. Puncte de intersecție cu axele de coordonate: A(0; 1) – cu axa Oy; cu axa Ox - nu există puncte de intersecție, deoarece ecuația 2x 2 – 2x + 1 = 0 nu are soluții (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, adică vârful punctului parabolă B are coordonatele B(1/2; 1/2).

Deci, figura a cărei zonă trebuie determinată este afișată prin hașurare orez. 5.

Avem: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Să găsim coordonatele punctului D din condiția:

6x – 7 = 0, adică x = 7/6, ceea ce înseamnă DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Găsim aria triunghiului DBC folosind formula S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. Astfel,

S ADBC ​​​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 mp. unitati

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (unități pătrate).

În cele din urmă obținem: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​​​= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (unități pătrate).

Răspuns: S = 1 1/4 mp. unitati

Ne-am uitat la exemple aflarea ariilor figurilor delimitate de linii date. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să fiți capabil să desenați linii și grafice ale funcțiilor pe un plan, să găsiți punctele de intersecție ale liniilor, să aplicați o formulă pentru a găsi aria, ceea ce implică capacitatea de a calcula anumite integrale.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.