Un vector este unitate dacă este de coordonate. Coordonate și vectori. Ghid cuprinzător (2020). Calcularea distanței de la un punct la un plan
Înainte de a trece la subiectul articolului, să ne amintim conceptele de bază.
Definiția 1
Vector– un segment de linie dreaptă caracterizat printr-o valoare și direcție numerică. Un vector este notat printr-o literă latină minusculă cu o săgeată deasupra. Dacă există puncte de limită specifice, desemnarea vectorului arată ca două litere latine majuscule (marcând limitele vectorului), de asemenea, cu o săgeată deasupra.
Definiția 2
Vector zero– orice punct din plan, desemnat ca zero cu o săgeată deasupra.
Definiția 3
Lungimea vectorului– o valoare egală sau mai mare decât zero care determină lungimea segmentului care alcătuiește vectorul.
Definiția 4
Vectori coliniari– culcat pe o linie sau pe linii paralele. Vectorii care nu îndeplinesc această condiție sunt numiți necoliniari.
Definiția 5Intrare: vectori a →Și b →. Pentru a efectua o operație de adăugare asupra lor, este necesar să se traseze un vector dintr-un punct arbitrar nedefinit A B →, egal cu vectorul a →; din punctul rezultat nedefinit – vector B C →, egal cu vectorul b →. Conectând punctele nedefinite și C, obținem un segment (vector) A C →, care va fi suma datelor originale. În caz contrar, se numește schema de adiție vectorială descrisă regula triunghiului.
Din punct de vedere geometric, adăugarea vectorială arată astfel:
Pentru vectori necoliniari:
Pentru vectori coliniari (codirecționali sau opuși):
Luând ca bază schema descrisă mai sus, avem posibilitatea de a efectua operația de adăugare a vectorilor într-o cantitate mai mare de 2: adăugând pe rând fiecare vector ulterior.
Definiția 6
Intrare: vectori a → , b → , c →, d → . Dintr-un punct arbitrar A pe plan este necesar să se traseze un segment (vector) egal cu vectorul a →; apoi de la sfârșitul vectorului rezultat se scoate un vector egal cu vectorul b →; apoi, vectorii următori sunt așezați folosind același principiu. Punctul final al ultimului vector amânat va fi punctul B, iar segmentul rezultat (vector) A B →– suma tuturor datelor inițiale. Se mai numește și schema descrisă pentru adăugarea mai multor vectori regula poligonului .
Geometric arată astfel:
Definiția 7
O schemă separată de acțiune pentru scădere vectorială nu, pentru că în esență o diferență vectorială a →Și b → este suma vectorilor a →Și - b → .
Definiția 8Pentru a efectua acțiunea de înmulțire a unui vector cu un anumit număr k, trebuie luate în considerare următoarele reguli:
- dacă k > 1, atunci acest număr va duce la întinderea vectorului de k ori;
-daca 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в
de 1 k ori;
- dacă k< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- daca k = 1, atunci vectorul ramane acelasi;
- dacă unul dintre factori este un vector zero sau un număr egal cu zero, rezultatul înmulțirii va fi un vector zero.
Date inițiale:
1) vector a → iar numărul k = 2;
2) vector b → iar numărul k = - 1 3 .
Din punct de vedere geometric, rezultatul înmulțirii în conformitate cu regulile de mai sus va arăta astfel:
Operațiile pe vectori descrise mai sus au proprietăți, dintre care unele sunt evidente, în timp ce altele pot fi justificate geometric.
Intrare: vectori a → , b → , c →și arbitrare numere realeλ și μ.
Proprietățile comutativității și asociativității fac posibilă adăugarea de vectori în orice ordine.
Proprietățile enumerate ale operațiilor vă permit să efectuați transformările necesare ale expresiilor vector-numerice într-un mod similar cu cele numerice obișnuite. Să ne uităm la asta cu un exemplu.
Exemplul 1
Sarcină: simplificați expresia a → - 2 · (b → + 3 · a →)
Soluţie
- folosind a doua proprietate de distribuție, obținem: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- folosim proprietatea asociativă a înmulțirii, expresia va lua următoarea formă: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = a → - 2 · b → - 6 a →
- folosind proprietatea comutativității, schimbăm termenii: a → - 2 b → - 6 a → = a → - 6 a → - 2 b →
- atunci folosind prima proprietate de distribuție obținem: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → O notație scurtă a soluției va arăta astfel: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
Răspuns: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Vor fi, de asemenea, sarcini pentru decizie independentă, la care puteți vedea răspunsurile.
Concept de vector
Înainte de a învăța totul despre vectori și operațiunile pe ei, pregătiți-vă să rezolvați o problemă simplă. Există un vector al antreprenoriatului tău și un vector al abilităților tale inovatoare. Vectorul antreprenoriatului te conduce la Obiectivul 1, iar vectorul abilităților inovatoare te duce către Scopul 2. Regulile jocului sunt de așa natură încât nu te poți deplasa pe direcțiile acestor doi vectori simultan și nu poți atinge două obiective deodată. Vectorii interacționează sau, vorbind în limbaj matematic, se efectuează o operațiune asupra vectorilor. Rezultatul acestei operațiuni este vectorul „Rezultat”, care vă conduce la Obiectivul 3.
Acum spune-mi: rezultatul cărei operațiuni pe vectorii „Antreprenoriat” și „Abilități inovatoare” este vectorul „Rezultat”? Dacă nu vă puteți da seama imediat, nu vă descurajați. Pe măsură ce progresați prin această lecție, veți putea răspunde la această întrebare.
După cum am văzut deja mai sus, vectorul vine în mod necesar dintr-un anumit punct Aîn linie dreaptă până la un punct B. Prin urmare, fiecare vector are nu numai valoare numerica- lungime, dar și fizică și geometrică - direcționalitate. De aici rezultă prima, cea mai simplă definiție a unui vector. Deci, un vector este un segment direcționat care vine dintr-un punct A până la punctul B. Se desemnează astfel: .
Și pentru a începe diverse operatii cu vectori , trebuie să ne familiarizăm cu încă o definiție a unui vector.
Un vector este un tip de reprezentare a unui punct care trebuie atins de la un punct de plecare. De exemplu, un vector tridimensional este de obicei scris ca (x, y, z) . În termeni foarte simpli, aceste numere înseamnă cât de departe trebuie să mergi în trei direcții diferite pentru a ajunge la un punct.
Fie dat un vector. în care X = 3 (mâna dreaptă arată spre dreapta), y = 1 (mâna stângă puncte înainte) z = 5 (sub punct este o scară care duce sus). Folosind aceste date, vei găsi un punct mergând 3 metri în direcția indicată de mâna dreaptă, apoi 1 metru în direcția indicată de mâna stângă, apoi te așteaptă o scară și, ridicându-se cu 5 metri, vei găsi în sfârșit. tu insuti la punctul final.
Toți ceilalți termeni sunt clarificări ale explicației prezentate mai sus, necesare pentru diferite operații pe vectori, adică rezolvarea unor probleme practice. Să trecem prin aceste definiții mai riguroase, concentrându-ne pe probleme tipice vectoriale.
Exemple fizice Mărimile vectoriale pot fi deplasarea unui punct material care se mișcă în spațiu, viteza și accelerația acestui punct, precum și forța care acționează asupra acestuia.
Vector geometric prezentate în spațiu bidimensional și tridimensional în formă segment direcţional. Acesta este un segment care are un început și un sfârșit.
Dacă A- începutul vectorului, și B- sfârșitul său, atunci vectorul este notat printr-un simbol sau unul litera mica. În figură, sfârșitul vectorului este indicat printr-o săgeată (Fig. 1)
Lungime(sau modul) a unui vector geometric este lungimea segmentului care îl generează
Cei doi vectori sunt numiți egal , daca pot fi combinate (daca directiile coincid) prin transfer paralel, i.e. dacă sunt paralele, îndreptate în aceeași direcție și au lungimi egale.
În fizică este adesea considerat vectori fixați, specificat de punctul de aplicare, lungime și direcție. Dacă punctul de aplicare al vectorului nu contează, atunci acesta poate fi transferat, menținându-și lungimea și direcția, în orice punct din spațiu. În acest caz, vectorul este numit gratuit. Vom fi de acord să luăm în considerare numai vectori liberi.
Operații liniare pe vectori geometrici
Înmulțirea unui vector cu un număr
Produsul unui vector pe număr este un vector care se obține dintr-un vector prin întindere (at ) sau comprimare (at ) cu un factor, iar direcția vectorului rămâne aceeași dacă , și se schimbă în opus dacă . (Fig. 2)
Din definiție rezultă că vectorii și = sunt întotdeauna situați pe una sau drepte paralele. Astfel de vectori se numesc coliniare. (Putem spune, de asemenea, că acești vectori sunt paraleli, dar în algebra vectorială se obișnuiește să spunem „coliniar”). Este adevărat și invers: dacă vectorii sunt coliniari, atunci ei sunt legați prin relația
În consecință, egalitatea (1) exprimă condiția de coliniaritate a doi vectori.
Adunarea și scăderea vectorilor
Când adăugați vectori trebuie să știți asta Cantitate vectori și se numește vector, al cărui început coincide cu începutul vectorului, iar sfârșitul - cu sfârșitul vectorului, cu condiția ca începutul vectorului să fie atașat la sfârșitul vectorului. (Fig. 3)
Această definiție poate fi distribuită pe orice număr finit de vectori. Lasă-le să fie date în spațiu n vectori liberi. Când se adună mai mulți vectori, suma acestora este considerată ca fiind vectorul de închidere, începutul căruia coincide cu începutul primului vector și sfârșitul cu sfârșitul ultimului vector. Adică, dacă atașați începutul vectorului la sfârșitul vectorului și începutul vectorului la sfârșitul vectorului etc. și, în sfârșit, până la sfârșitul vectorului - începutul vectorului, apoi suma acestor vectori este vectorul de închidere 
, al cărui început coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul - cu sfârșitul ultimului vector. (Fig. 4)
Termenii se numesc componente ale vectorului, iar regula formulată este regula poligonului. Este posibil ca acest poligon să nu fie plat.
Când un vector este înmulțit cu numărul -1, se obține vectorul opus. Vectori și au aceleași lungimi si directii opuse. Suma lor dă vector zero, a cărui lungime este zero. Direcția vectorului zero nu este definită.
În algebra vectorială, nu este nevoie să luăm în considerare operația de scădere separat: scăderea unui vector dintr-un vector înseamnă adăugarea vectorului opus la vector, i.e. 
Exemplul 1. Simplificați expresia:
.
,
adică, vectorii pot fi adunați și înmulțiți cu numere în același mod ca polinoamele (în special, probleme de simplificare a expresiilor). De obicei, necesitatea de a simplifica expresii similare liniar cu vectori apare înainte de a calcula produsele vectorilor.
Exemplul 2. Vectori și servesc ca diagonale ale paralelogramului ABCD (Fig. 4a). Exprimați prin și vectorii , , și , care sunt laturile acestui paralelogram.
Soluţie. Punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelogram bisectează fiecare diagonală. Găsim lungimile vectorilor solicitați în enunțul problemei fie ca jumătate din sumele vectorilor care formează un triunghi cu cei solicitați, fie ca jumătate din diferențe (în funcție de direcția vectorului care servește drept diagonală), fie, ca și în ultimul caz, jumătate din suma luată cu semnul minus. Rezultatul sunt vectorii necesari în formularea problemei:
Există toate motivele să credem că acum ați răspuns corect la întrebarea despre vectorii „Antreprenoriat” și „Abilități inovatoare” de la începutul acestei lecții. Răspuns corect: pe acești vectori se efectuează o operație de adunare.
Rezolvați singur problemele vectoriale și apoi uitați-vă la soluții
Cum se află lungimea sumei vectorilor?
Această problemă ocupă un loc special în operațiile cu vectori, deoarece implică utilizarea proprietăților trigonometrice. Să presupunem că întâlniți o sarcină ca următoarea:
Lungimile vectorului sunt date 
și lungimea sumei acestor vectori. Aflați lungimea diferenței dintre acești vectori.
Soluțiile la aceasta și alte probleme similare și explicații despre cum să le rezolvi sunt în lecție " Adunarea vectorială: lungimea sumei vectorilor și teorema cosinusului ".
Și puteți verifica soluția la astfel de probleme la Calculator online „Latura necunoscută a unui triunghi (adunare vectorială și teorema cosinusului)” .
Unde sunt produsele vectorilor?
Produsele vector-vector nu sunt operații liniare și sunt considerate separat. Și avem lecții „Produs scalar al vectorilor” și „Produși vectoriali și mixți ai vectorilor”.
Proiecția unui vector pe o axă
Proiecția unui vector pe o axă este egală cu produsul dintre lungimea vectorului proiectat și cosinusul unghiului dintre vector și axă:
După cum se știe, proiecția unui punct A pe linie dreaptă (plan) se află baza perpendicularei căzute din acest punct pe dreapta (plan).
Fie un vector arbitrar (Fig. 5) și și proiecțiile originii sale (puncte A) și sfârșit (puncte B) pe axă l. (Pentru a construi o proiecție a unui punct A) trageți o linie dreaptă prin punct A un plan perpendicular pe o dreaptă. Intersecția dreptei și a planului va determina proiecția necesară.
Componentă vectorială pe axa l se numește un astfel de vector situat pe această axă, al cărui început coincide cu proiecția începutului, iar sfârșitul cu proiecția sfârșitului vectorului.
Proiecția vectorului pe axă l număr numit
,
egală cu lungimea vectorului component pe această axă, luată cu semnul plus dacă direcția componentelor coincide cu direcția axei l, și cu semnul minus dacă aceste direcții sunt opuse.
Proprietățile de bază ale proiecțiilor vectoriale pe o axă:
1. Proiecțiile vectorilor egali pe aceeași axă sunt egale între ele.
2. Când un vector este înmulțit cu un număr, proiecția lui este înmulțită cu același număr.
3. Proiecția sumei vectorilor pe orice axă este egală cu suma proiecțiilor sumelor vectorilor pe aceeași axă.
4. Proiecția vectorului pe axă este egală cu produsul dintre lungimea vectorului proiectat și cosinusul unghiului dintre vector și axă:
.
Soluţie. Să proiectăm vectori pe axă l așa cum este definit în contextul teoretic de mai sus. Din Fig. 5a este evident că proiecția sumei vectorilor este egală cu suma proiecțiilor vectorilor. Calculăm aceste proiecții:
Găsim proiecția finală a sumei vectorilor:
Relația dintre un vector și un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu
A face cunoștință Sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu a avut loc în lecția corespunzătoare, este indicat să îl deschideți într-o fereastră nouă.
Într-un sistem ordonat de axe de coordonate 0xyz axă Bou numit axa x, axa 0y – axa y, și axa 0z – axa aplicată.
Cu un punct arbitrar M vector de conectare spațială
numit vector rază puncte Mși proiectați-l pe fiecare dintre axele de coordonate. Să notăm mărimile proiecțiilor corespunzătoare:
Numerele x, y, z sunt numite coordonatele punctului M, respectiv abscisă, ordonatăȘi aplica, și sunt scrise ca un punct ordonat de numere: M(x;y;z)(Fig. 6).
Se numește un vector de unitate de lungime a cărui direcție coincide cu direcția axei vector unitar (sau ortom) topoare. Să notăm prin
În consecință, vectorii unitari ai axelor de coordonate Bou, Oi, Oz
Teorema. Orice vector poate fi extins în vectori unitari ai axelor de coordonate:
(2)
Egalitatea (2) se numește expansiunea vectorului de-a lungul axelor de coordonate. Coeficienții acestei expansiuni sunt proiecțiile vectorului pe axele de coordonate. Astfel, coeficienții de expansiune (2) ai vectorului de-a lungul axelor de coordonate sunt coordonatele vectorului.
După alegerea unui anumit sistem de coordonate în spațiu, vectorul și tripletul coordonatelor sale se determină în mod unic unul pe celălalt, astfel încât vectorul poate fi scris sub forma
Reprezentările vectorului în forma (2) și (3) sunt identice.
Condiție de coliniaritate a vectorilor în coordonate
După cum am observat deja, vectorii sunt numiți coliniari dacă sunt legați prin relație
Să fie dați vectorii 
. Acești vectori sunt coliniari dacă coordonatele vectorilor sunt legate prin relație
,
adică coordonatele vectorilor sunt proporţionale.
Exemplul 6. Se dau vectori 
. Acești vectori sunt coliniari?
Soluţie. Să aflăm relația dintre coordonatele acestor vectori:
.
Coordonatele vectorilor sunt proporționale, prin urmare, vectorii sunt coliniari sau, ceea ce este același, paraleli.
Lungimea vectorului și cosinusurile de direcție
Datorită perpendicularității reciproce a axelor de coordonate, lungimea vectorului
egală cu lungimea diagonalei paralelipiped dreptunghiular, construit pe vectori
și se exprimă prin egalitate
(4)
Un vector este complet definit prin specificarea a două puncte (început și sfârșit), astfel încât coordonatele vectorului pot fi exprimate în termeni de coordonatele acestor puncte.
Fie, într-un sistem de coordonate dat, originea vectorului să fie în punct
iar sfârșitul este la punct
Din egalitate
Urmează asta
sau sub formă de coordonate
Prin urmare, coordonatele vectoriale sunt egale cu diferențele dintre aceleași coordonate ale sfârșitului și începutului vectorului . Formula (4) în acest caz va lua forma
Se determină direcția vectorului cosinus de direcție . Acestea sunt cosinusurile unghiurilor pe care le face vectorul cu axele Bou, OiȘi Oz. Să notăm aceste unghiuri în consecință α , β Și γ . Apoi cosinusurile acestor unghiuri pot fi găsite folosind formulele
Cosinusurile de direcție ale unui vector sunt, de asemenea, coordonatele vectorului acelui vector și, prin urmare, vectorul vectorului
.
Având în vedere că lungimea vectorului unitar este egală cu o unitate, adică
,
obținem următoarea egalitate pentru cosinusurile direcției:
Exemplul 7. Aflați lungimea vectorului X = (3; 0; 4).
Soluţie. Lungimea vectorului este
Exemplul 8. Puncte acordate:
Aflați dacă triunghiul construit pe aceste puncte este isoscel.
Soluţie. Folosind formula de lungime vectorială (6), găsim lungimile laturilor și determinăm dacă există două egale între ele:
Două laturi egale au fost găsite, prin urmare nu este nevoie să căutați lungimea celei de-a treia laturi, iar triunghiul dat este isoscel.
Exemplul 9. Aflați lungimea vectorului și cosinusurile direcției acestuia dacă 
.
Soluţie. Coordonatele vectoriale sunt date:
.
Lungimea vectorului este rădăcină pătrată din suma pătratelor coordonatelor vectoriale:
.
Găsirea cosinusurilor direcției:
Rezolvați singur problema vectorului și apoi uitați-vă la soluție
Operații pe vectori dați sub formă de coordonate
Fie dați doi vectori și, definiți prin proiecțiile lor:
Să indicăm acțiunile asupra acestor vectori.
Oxy
DESPRE A OA.
, Unde 
OA 
.
Prin urmare, 
.
Să ne uităm la un exemplu.
Exemplu.
Soluţie.
:
Răspuns:
Oxyz in spatiu.
A OA va fi o diagonală.
În acest caz (din moment ce OA 
OA 
.
Prin urmare, lungimea vectorului 
.
Exemplu.
Calculați lungimea vectorului 
Soluţie.
, prin urmare, 
Răspuns:
Linie dreaptă pe un plan
Ecuație generală
Ax + By + C ( > 0).
Vector = (A; B) este un vector normal.
În formă vectorială: + C = 0, unde este vectorul rază a unui punct arbitrar pe o dreaptă (Fig. 4.11).
Cazuri speciale:
1) Prin + C = 0- linie dreaptă paralelă cu axa Bou;
2) Ax + C = 0- linie dreaptă paralelă cu axa Oi;
3) Ax + By = 0- linia dreaptă trece prin origine;
4) y = 0- axa Bou;
5) x = 0- axa Oi.
Ecuația unei drepte în segmente
Unde a, b- valorile segmentelor tăiate de linie dreaptă pe axele de coordonate.
Ecuația normală a unei linii(Fig. 4.11)
unde este unghiul format normal cu dreapta și cu axa Bou; p- distanta de la origine la linia dreapta.
Reducerea ecuației generale a unei linii la forma normală:
Aici este factorul normalizat al liniei; semnul este ales opus semnului C, dacă și în mod arbitrar, dacă C=0.
Aflarea lungimii unui vector din coordonate.
Vom nota lungimea vectorului cu . Din cauza acestei notații, lungimea unui vector este adesea numită modulul vectorului.
Să începem prin a găsi lungimea unui vector pe un plan folosind coordonatele.
Să introducem un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în plan Oxy. Fie specificat un vector în el și să aibă coordonate. Obținem o formulă care ne permite să aflăm lungimea unui vector prin coordonatele și .
Să amânăm de la originea coordonatelor (de la punctul DESPRE) vector . Să notăm proiecțiile punctului A pe axele de coordonate ca si respectiv si consideram un dreptunghi cu diagonala OA.
În virtutea teoremei lui Pitagora, egalitatea , Unde . Din definirea coordonatelor vectoriale într-un sistem de coordonate dreptunghiular, putem afirma că și , iar prin construcție lungimea OA egală cu lungimea vectorului, prin urmare, .
Prin urmare, formula pentru determinarea lungimii unui vector după coordonatele sale pe plan are forma .
Dacă vectorul este reprezentat ca o descompunere în vectori de coordonate , apoi lungimea sa este calculată folosind aceeași formulă , deoarece în acest caz coeficienții și sunt coordonatele vectorului într-un sistem de coordonate dat.
Să ne uităm la un exemplu.
Exemplu.
Aflați lungimea vectorului dat în sistemul de coordonate carteziene.
Soluţie.
Aplicam imediat formula pentru a afla lungimea vectorului din coordonate :
Răspuns:
Acum obținem formula pentru găsirea lungimii vectorului prin coordonatele sale într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz in spatiu.
Să trasăm vectorul de la origine și să notăm proiecțiile punctului A pe axele de coordonate ca și . Apoi putem construi un paralelipiped dreptunghiular pe laturi, în care OA va fi o diagonală.
În acest caz (din moment ce OA– diagonala unui paralelipiped dreptunghiular), de unde . Determinarea coordonatelor unui vector ne permite să scriem egalități și lungimea OA egală cu lungimea vectorului dorită, prin urmare, .
Prin urmare, lungimea vectorului în spațiu este egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale, adică găsit prin formula .
Exemplu.
Calculați lungimea vectorului , unde sunt vectorii unitari ai sistemului de coordonate dreptunghiulare.
Soluţie.
Ni se oferă o descompunere vectorială în vectori de coordonate de forma , prin urmare, . Apoi, folosind formula pentru găsirea lungimii unui vector din coordonate, avem .
1. Definirea unui vector. Lungimea vectorului. Coliniaritatea, coplanaritatea vectorilor.
Un vector este un segment direcționat. Lungimea sau modulul unui vector este lungimea segmentului direcționat corespunzător.
Modul vectorial A notat cu . Vector A se numeste unitate daca . Vectorii sunt numiți coliniari dacă sunt paraleli cu aceeași dreaptă. Vectorii sunt numiți coplanari dacă sunt paraleli cu același plan.
2. Înmulțirea unui vector cu un număr. Proprietăți de funcționare.
Înmulțirea unui vector cu un număr dă un vector direcționat opus, care este de două ori mai lung. Înmulțirea unui vector cu un număr sub formă de coordonate se face prin înmulțirea tuturor coordonatelor cu acest număr:
Pe baza definiției, obținem o expresie pentru modulul vectorului înmulțit cu numărul:
Similar numerelor, operația de adăugare a unui vector la sine poate fi scrisă prin înmulțire cu un număr:
Și scăderea vectorilor poate fi rescrisă prin adunare și înmulțire:
Pe baza faptului că înmulțirea cu nu modifică lungimea vectorului, ci doar direcția și ținând cont de definiția unui vector, obținem:
3. Adunarea vectorilor, scăderea vectorilor.
În reprezentarea în coordonate, vectorul sumă se obține prin însumarea coordonatelor corespunzătoare ale termenilor:
Pentru a construi geometric un vector sumă, se folosesc diverse reguli (metode), dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată.
Regula triunghiului
Regula triunghiului rezultă cel mai firesc din înțelegerea unui vector ca transfer. Este clar că rezultatul aplicării secvenţiale a două transferuri la un anumit punct va fi acelaşi cu aplicarea unui transfer simultan, care corespunde acestei reguli. Pentru a adăuga doi vectori conform regulii triunghi ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât începutul unuia dintre ei coincide cu sfârșitul celuilalt. Apoi vectorul sumă este dat de a treia latură a triunghiului rezultat, iar începutul său coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul său cu sfârșitul celui de-al doilea vector.
Această regulă poate fi generalizată direct și natural la adăugarea oricărui număr de vectori, transformându-se în regula liniei întrerupte:
Regula poligonului
Începutul celui de-al doilea vector coincide cu sfârșitul primului, începutul celui de-al treilea cu sfârșitul celui de-al doilea și așa mai departe, suma vectorilor este un vector, începutul coincide cu începutul primului, iar sfârșitul coincide cu sfârșitul al-lea (adică este reprezentat de un segment direcționat care închide linia întreruptă) . Denumită și regula liniei întrerupte.
Regula paralelogramului
Pentru a adăuga doi vectori și conform regulii paralelogram ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât originile lor să coincidă. Atunci vectorul sumă este dat de diagonala paralelogramului construit pe ele, pornind de la originea lor comună. (Este ușor de observat că această diagonală coincide cu a treia latură a triunghiului când se folosește regula triunghiului).
Regula paralelogramului este deosebit de convenabilă atunci când este nevoie de a descrie vectorul sumă ca fiind aplicat imediat în același punct la care sunt aplicați ambii termeni - adică de a descrie toți cei trei vectori ca având o origine comună.
Modulul sumei vectoriale
Modulul sumei a doi vectori poate fi calculat folosind teorema cosinusului:
Unde este cosinusul unghiului dintre vectori.
Dacă vectorii sunt reprezentați în conformitate cu regula triunghiului și unghiul este luat conform desenului - între laturile triunghiului - care nu coincide cu definiția obișnuită a unghiului dintre vectori și, prin urmare, cu unghiul din cele de mai sus formula, atunci ultimul termen capătă semnul minus, care corespunde teoremei cosinusului în formularea sa directă.
Pentru suma unui număr arbitrar de vectori se aplică o formulă similară, în care există mai mulți termeni cu cosinus: un astfel de termen există pentru fiecare pereche de vectori din mulțimea însumată. De exemplu, pentru trei vectori formula arată astfel:
Scădere vectorială
Doi vectori și vectorul lor diferență
Pentru a obține diferența în formă de coordonate, trebuie să scădeți coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:
Pentru a obține un vector de diferență, începuturile vectorilor sunt conectate și începutul vectorului va fi sfârșitul, iar sfârșitul va fi sfârșitul. Dacă îl scriem folosind puncte vectoriale, atunci.
Modul de diferență vectorială
Trei vectori, ca și în cazul adunării, formează un triunghi, iar expresia pentru modulul de diferență este similară:
unde este cosinusul unghiului dintre vectori
Diferența față de formula pentru modulul sumei este în semnul din fața cosinusului; în acest caz, trebuie să monitorizați cu atenție ce unghi este luat (versiunea formulei pentru modulul sumei cu unghiul dintre laturile unui triunghi atunci când se însumează conform regulii triunghiului nu diferă ca formă de această formulă pentru modulul diferenței, dar trebuie să aveți Rețineți că aici sunt luate unghiuri diferite: în cazul unei sume, unghiul este luate atunci când vectorul este transferat la capătul vectorului; când se caută un model de diferență, se ia unghiul dintre vectori aplicați la un punct; expresia pentru modulul sumei utilizând același unghi ca în expresia dată pentru modulul a diferenței, diferă prin semnul din fața cosinusului).
| " |
Definiție
Cantitatea scalară- o cantitate care poate fi caracterizată printr-un număr. De exemplu, lungimea, suprafața, masa, temperatura etc.
Vector numit segmentul direcționat $\overline(A B)$; punctul $A$ este începutul, punctul $B$ este sfârșitul vectorului (Fig. 1).
Un vector este notat fie cu două litere mari - începutul și sfârșitul său: $\overline(A B)$, fie cu o literă mică: $\overline(a)$.
Definiție
Dacă începutul și sfârșitul unui vector coincid, atunci se numește un astfel de vector zero. Cel mai adesea, vectorul zero este notat cu $\overline(0)$.
Vectorii sunt numiți coliniare, dacă se află fie pe aceeași linie, fie pe linii paralele (Fig. 2).
Definiție
Sunt numiți doi vectori coliniari $\overline(a)$ și $\overline(b)$ co-regiat, dacă direcţiile lor coincid: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Fig. 3, a). Sunt numiți doi vectori coliniari $\overline(a)$ și $\overline(b)$ îndreptată opus, dacă direcțiile lor sunt opuse: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Fig. 3, b).
Definiție
Vectorii sunt numiți coplanare, dacă sunt paralele cu același plan sau se află în același plan (Fig. 4).
Doi vectori sunt întotdeauna coplanari.
Definiție
Lungime (modul) vector $\overline(A B)$ este distanța dintre începutul și sfârșitul său: $|\overline(A B)|$
Teorie detaliată despre lungimea vectorului la link.
Lungimea vectorului zero este zero.
Definiție
Un vector a cărui lungime este egală cu unu se numește vector unitar sau ortom.
Vectorii sunt numiți egal, dacă sunt situate pe una sau drepte paralele; direcțiile lor coincid și lungimile lor sunt egale.
Căutare
Vă putem anunța despre articole noi,