Două variabile aleatoare $X$ și $Y$ sunt numite independente dacă legea de distribuție a unei variabile aleatoare nu se modifică în funcție de valorile posibile pe care le ia cealaltă variabilă aleatoare. Adică, pentru orice $x$ și $y$ evenimentele $X=x$ și $Y=y$ sunt independente. Deoarece evenimentele $X=x$ și $Y=y$ sunt independente, atunci prin teorema produsului probabilităților evenimentelor independente $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\) dreapta)\dreapta)=P \stanga(X=x\dreapta)P\stanga(Y=y\dreapta)$.

Exemplul 1 . Lăsați variabila aleatorie $X$ să exprime câștigurile în numerar de la biletele unei loterie „Loto rusesc”, iar variabila aleatoare $Y$ exprimă câștigurile în numerar de la biletele unei alte loterie „Cheia de aur”. Este evident că variabilele aleatoare $X,\Y$ vor fi independente, deoarece câștigurile din biletele unei loterie nu depind de legea repartizării câștigurilor din biletele unei alte loterie. În cazul în care variabilele aleatoare $X,\Y$ ar exprima câștigurile aceleiași loterie, atunci, evident, aceste variabile aleatoare ar fi dependente.

Exemplul 2 . Doi muncitori lucrează în ateliere diferite și produc diverse produse care nu sunt legate între ele de tehnologiile de fabricație și de materiile prime utilizate. Legea distribuției pentru numărul de produse defecte fabricate de primul lucrător pe tură are următoarea formă:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
Numărul de \ defecte \ produse \ x & 0 & 1 \\
\hline
Probabilitate & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(matrice)$

Numărul de produse defecte produse de al doilea lucrător pe tură respectă următoarea lege de distribuție.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
Numărul de \ defecte \ produse \ y & 0 & 1 \\
\hline
Probabilitate & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end(matrice)$

Să găsim legea distribuției pentru numărul de produse defecte produse de doi lucrători pe schimb.

Fie variabila aleatoare $X$ numărul de produse defecte produse de primul muncitor pe tură și $Y$ numărul de produse defecte produse de al doilea muncitor pe tură. După condiție, variabilele aleatoare $X,\Y$ sunt independente.

Numărul de produse defecte produse de doi lucrători pe schimb este o variabilă aleatorie $X+Y$. Valorile sale posibile sunt $0,\1$ și $2$. Să găsim probabilitățile cu care variabila aleatoare $X+Y$ își ia valorile.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\dreapta) =0,8\cdot 0,7=0,56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ sau\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\dreapta) )P\stanga(Y=1\dreapta)+P\stanga(X=1\dreapta)P\stanga(Y=0\dreapta)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\dreapta)P\left(Y=1\dreapta) =0,2\cdot 0,3=0,06.$

Apoi legea distribuției numărului de produse defecte fabricate de doi lucrători pe tură:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
Număr de \ defecte \ produse & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Probabilitate & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\end(matrice)$

În exemplul anterior, am efectuat o operație pe variabile aleatoare $X,\Y$ și anume, am găsit suma lor $X+Y$. Să dăm acum o definiție mai riguroasă a operațiilor (adunare, diferență, înmulțire) asupra variabilelor aleatoare și să dăm exemple de soluții.

Definiția 1. Produsul $kX$ al unei variabile aleatoare $X$ de o variabilă constantă $k$ este o variabilă aleatorie care ia valori $kx_i$ cu aceleași probabilități $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\ dreapta)$.

Definiția 2. Suma (diferența sau produsul) variabilelor aleatoare $X$ și $Y$ este o variabilă aleatoare care ia toate valorile posibile de forma $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ sau $x_i\cdot y_i$) , unde $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, cu probabilitățile $p_(ij)$ ca variabila aleatoare $X$ să ia valoarea $x_i$, iar $Y$ valoarea $y_j$:

$$p_(ij)=P\stânga[\left(X=x_i\dreapta)\left(Y=y_j\dreapta)\dreapta].$$

Deoarece variabilele aleatoare $X,\Y$ sunt independente, atunci conform teoremei înmulțirii probabilității pentru evenimente independente: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ dreapta)= p_i\cdot p_j$.

Exemplul 3 . Variabilele aleatoare independente $X,\ Y$ sunt specificate de legile lor de distribuție a probabilității.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(matrice)$

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(matrice)$

Să formulăm legea distribuției variabilei aleatoare $Z=2X+Y$. Suma variabilelor aleatoare $X$ și $Y$, adică $X+Y$, este o variabilă aleatoare care ia toate valorile posibile de forma $x_i+y_j$, unde $i=1,\ 2 ,\dots ,\ n$ , cu probabilități $p_(ij)$ ca variabila aleatoare $X$ să ia valoarea $x_i$, iar $Y$ valoarea $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Deoarece variabilele aleatoare $X,\Y$ sunt independente, atunci conform teoremei înmulțirii probabilității pentru evenimente independente: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ dreapta)= p_i\cdot p_j$.

Deci, are legi de distribuție pentru variabilele aleatoare $2X$ și, respectiv, $Y$.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(matrice)$

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(matrice)$

Pentru comoditatea găsirii tuturor valorilor sumei $Z=2X+Y$ și probabilitățile acestora, vom compune un tabel auxiliar, în fiecare celulă din care vom plasa în colțul din stânga valorile sumei $ Z=2X+Y$, iar în colțul din dreapta - probabilitățile acestor valori obținute ca urmare a înmulțirii probabilităților valorilor corespunzătoare ale variabilelor aleatoare $2X$ și $Y$.

Ca rezultat, obținem distribuția $Z=2X+Y$:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(matrice)$

Evenimentele aleatoare sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu afectează în niciun fel probabilitatea apariției altor evenimente.

Exemplul 1 . Dacă există două sau mai multe urne cu bile colorate, atunci extragerea oricărei bile dintr-o urna nu va afecta probabilitatea de a extrage alte bile din urnele rămase.

Pentru evenimente independente este adevărat teorema înmulțirii probabilităților: probabilitate comună(simultan)apariția mai multor evenimente aleatoare independente este egală cu produsul probabilităților lor:

P(A 1 și A 2 și A 3 ... și A k) = P(A 1) ∙P(A 2) ∙…∙P(A k). (7)

Apariția comună (simultană) a evenimentelor înseamnă că evenimentele au loc și A 1,Și A 2,Și A 3… Și A k.

Exemplul 2 . Sunt două urne. Unul conține 2 bile negre și 8 albe, celălalt conține 6 bile negre și 4 albe. Lasă evenimentul A-alegerea la întâmplare a unei mingi albe din prima urna, ÎN- din a doua. Care este probabilitatea de a alege o minge albă la întâmplare din aceste urne în același timp, i.e. ceea ce este egal cu R (AȘi ÎN)?

Soluţie: probabilitatea de a extrage o minge albă din prima urna
R(A) = = 0,8 din secunda – R(ÎN) = = 0,4. Probabilitatea de a extrage simultan o minge albă din ambele urne este
R(AȘi ÎN) = R(A)· R(ÎN) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Exemplul 3: O dietă săracă în iod determină mărirea glandei tiroide la 60% dintre animalele dintr-o populație mare. Pentru experiment sunt necesare 4 glande mărite. Găsiți probabilitatea ca 4 animale alese aleatoriu să aibă o glanda tiroidă mărită.

Soluţie:Eveniment aleatoriu A– selecția aleatorie a unui animal cu glanda tiroidă mărită. În funcție de condițiile problemei, probabilitatea acestui eveniment R(A) = 0,6 = 60%. Atunci probabilitatea apariției comune a patru evenimente independente - o selecție aleatorie a 4 animale cu o glanda tiroidă mărită - va fi egală cu:

R(A 1 și A 2 și A 3 și A 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6) 4 ≈ 0,13 = 13%.

Evenimente dependente. Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente dependente

Evenimentele aleatoare A și B sunt numite dependente dacă apariția unuia dintre ele, de exemplu, A, modifică probabilitatea apariției unui alt eveniment, B. Prin urmare, două valori de probabilitate sunt utilizate pentru evenimente dependente: probabilități necondiționate și condiționate .

Dacă AȘi ÎN evenimente dependente, apoi probabilitatea producerii evenimentului ÎN primul (adică înainte de eveniment A) se numește probabilitate necondiționată acest eveniment este desemnat R(ÎN).Probabilitatea apariţiei unui eveniment ÎN cu condiția ca evenimentul A sa întâmplat deja, se numește probabilitate condițională evenimente ÎN si este desemnat R(ÎN/A) sau R A(ÎN).

neconditionat - R(A) și condiționată – R(A/B) probabilitatea unui eveniment A.

Teorema de multiplicare a probabilității pentru două evenimente dependente: probabilitatea apariției simultane a două evenimente dependente A și B este egală cu produsul probabilității necondiționate a primului eveniment cu probabilitatea condiționată a celui de-al doilea:

R(A și B)= P(A)∙P(V/A) , (8)

A, sau

R(A și B)= P(ÎN)∙P(A/B), (9)

dacă evenimentul are loc mai întâi ÎN.

Exemplul 1. Într-o urnă sunt 3 bile negre și 7 bile albe. Găsiți probabilitatea ca 2 bile albe să fie extrase din această urnă una după alta (cu prima bilă nereturnată în urnă).

Soluţie: probabilitatea de a obține prima bilă albă (eveniment A) este egal cu 7/10. După ce este îndepărtat, în urnă au rămas 9 bile, dintre care 6 sunt albe. Apoi, probabilitatea apariției celei de-a doua bile albe (eveniment ÎN) este egal cu R(ÎN/A) = 6/9, iar probabilitatea de a obține două bile albe la rând este

R(AȘi ÎN) = R(A)∙R(ÎN/A) = = 0,47 = 47%.

Teorema dată pentru înmulțirea probabilităților pentru evenimente dependente poate fi generalizată la orice număr de evenimente. Mai exact, pentru trei evenimente legate între ele:

R(AȘi ÎNȘi CU)= P(A)∙ R(V/A)∙ R(S/AB). (10)

Exemplul 2. Un focar de boală infecțioasă a apărut în două grădinițe, fiecare frecventată de 100 de copii. Proporțiile bolnavilor sunt de 1/5, respectiv 1/4, iar în prima instituție 70%, iar în a doua - 60% dintre bolnavi - copii sub 3 ani. Un copil este selectat aleatoriu. Determinați probabilitatea ca:

1) copilul selectat aparține primei grădinițe (eveniment A) și bolnav (eveniment ÎN).

2) este selectat un copil din a doua grădiniță (eveniment CU), bolnav (eveniment D) și mai vechi de 3 ani (eveniment E).

Soluţie. 1) probabilitatea cerută -

R(AȘi ÎN) = R(A) ∙ R(ÎN/A) = = 0,1 = 10%.

2) probabilitatea cerută:

R(CUȘi DȘi E) = R(CU) ∙ R(D/C) ∙ R(E/CD) = = 5%.

Formula Bayes

= (12)

Exemplul 1. În timpul examinării inițiale a pacientului, se presupun 3 diagnostice N 1 , N 2 , N 3. Probabilitățile lor, potrivit medicului, sunt distribuite după cum urmează: R(N 1) = 0,5; R(N 2) = 0,17; R(N 3) = 0,33. Prin urmare, primul diagnostic pare provizoriu cel mai probabil. Pentru a o clarifica, de exemplu, este prescris un test de sânge, în care este de așteptat o creștere a VSH (eveniment A). Se știe dinainte (pe baza rezultatelor cercetării) că probabilitățile de creștere a VSH în bolile suspectate sunt egale:

R(A/N 1) = 0,1; R(A/N 2) = 0,2; R(A/N 3) = 0,9.

Analiza rezultată a înregistrat o creștere a VSH (eveniment A s-a întâmplat). Apoi, calculul folosind formula Bayes (12) oferă probabilitățile de boli așteptate cu o valoare VSH crescută: R(N 1 /A) = 0,13; R(N 2 /A) = 0,09;
R(N 3 /A) = 0,78. Aceste cifre arată că, luând în considerare datele de laborator, cel mai realist nu este primul, ci al treilea diagnostic, a cărui probabilitate s-a dovedit acum destul de mare.

Exemplul 2. Determinați probabilitatea care estimează gradul de risc de mortalitate infantilă perinatală* la femeile cu pelvis îngust anatomic.

Soluţie: lăsați evenimentul N 1 – naștere reușită. Conform rapoartelor clinice, R(N 1) = 0,975 = 97,5%, atunci dacă H 2– faptul mortalității perinatale, deci R(N 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Să notăm A– faptul că o femeie în travaliu are bazinul îngust. Din studiile efectuate se cunoaște: a) R(A/N 1) – probabilitatea unui bazin îngust în timpul unei nașteri favorabile, R(A/N 1) = 0,029, b) R(A/N 2) – probabilitatea unui bazin îngust cu mortalitate perinatală,
R(A/N 2) = 0,051. Apoi probabilitatea dorită de mortalitate perinatală la o femeie în travaliu cu pelvis îngust este calculată folosind formula Bays (12) și este egală cu:

Astfel, riscul de mortalitate perinatală într-un pelvis anatomic îngust este semnificativ mai mare (aproape de două ori) decât riscul mediu (4,4% versus 2,5%).

  Variabile aleatoare dependente și independente

 Când studiați sisteme de variabile aleatoare, ar trebui să acordați întotdeauna atenție gradului și naturii dependenței acestora. Această dependență poate fi mai mult sau mai puțin pronunțată, mai mult sau mai puțin apropiată. În unele cazuri, relația dintre variabile aleatoare poate fi atât de strânsă încât, cunoscând valoarea unei variabile aleatoare, puteți indica cu exactitate valoarea alteia. În celălalt caz extrem, dependența dintre variabilele aleatoare este atât de slabă și îndepărtată încât pot fi considerate practic independente.
 Conceptul de variabile aleatoare independente este unul dintre conceptele importante ale teoriei probabilităților.
 O variabilă aleatoare \(Y\) se spune că este independentă de variabila aleatoare \(X\) dacă legea de distribuție a variabilei \(Y\) nu depinde de ce valoare a luat variabila \(X\).
 Pentru variabile aleatoare continue, condiția de independență a lui \(Y\) față de \(X\) poate fi scrisă ca: $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ pentru orice \(y) \).
 Dimpotrivă, dacă \(Y\) depinde de \(X\), atunci $$f(y\mid x) \neq f_(2)(y)$$  Să demonstrăm că dependenţa sau independenţa variabilelor aleatoare este întotdeauna reciprocă: dacă valoarea \(Y\) nu depinde de \(X\), atunci valoarea \(X\) nu depinde de \(Y\).
 Într-adevăr, fie \(Y\) independent de \(X\): $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ avem: $$f_(1)(x)f( y \mid x)=f_(2)(y)f(x\mid y)$$ din care obținem: $$f_(1)(x)=f(x\mid y)$$ care este ceea ce avem necesare pentru a dovedi.
 Deoarece dependența și independența variabilelor aleatoare sunt întotdeauna reciproce, putem da o nouă definiție a variabilelor aleatoare independente.
 Variabilele aleatoare \(X\) și \(Y\) se numesc independente dacă legea de distribuție a fiecăreia dintre ele nu depinde de ce valoare a luat-o cealaltă. În caz contrar, se numesc mărimile \(X\) și \(Y\). dependent.
 Pentru variabile aleatoare continue independente, teorema înmulțirii pentru legile distribuției ia forma: $$f(x, y)=f_(1)(x)f_(2)(y)$$ adică densitatea de distribuție a unui sistem de independente variabile aleatoare este egală cu produsul distribuțiilor densităților cantităților individuale incluse în sistem.
Adesea, prin însăși forma funcției \(f(x, y)\) putem concluziona că variabilele aleatoare \(X, Y\) sunt independente, și anume, dacă densitatea distribuției \(f(x, y) \) descompune în produs două funcții, dintre care una depinde doar de \(x\), cealaltă doar de \(y\), atunci variabilele aleatoare sunt independente.
Exemplul 1. Densitatea de distribuție a sistemului \((X, Y)\) are forma: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi ^(2)(x^(2)+y^( 2)+x ^(2)y^(2)+1))$$ Stabiliți dacă variabilele aleatoare \(X\) și \(Y\) sunt dependente sau independente.
Soluţie. Factorizarea numitorului, avem: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\frac(1)(\pi (y^(2)+1) ))$$ Deoarece funcția \(f(x, y)\) se împarte într-un produs a două funcții dintre care una depinde doar de \(x\), iar cealaltă doar de \(y\), concluzionăm că marimile \(X\) si \(Y\) trebuie sa fie independente. Într-adevăr, aplicând formulele, avem: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\int_(-\infty)^(\infty)(\ frac( dy)(\pi (y^(2)+1)))=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))$$ similar cu $$f(x, y)= (\frac (1)(\pi (y^(2)+1)))$$ de unde suntem convinși că $$f(x, y)=f_(1)(x)f_(2)(y )$$ și, prin urmare, mărimile \(X\) și \(Y\) sunt independente.

O pereche ordonată (X, Y) de variabile aleatoare X și Y se numește o variabilă aleatoare bidimensională sau un vector aleator în spațiul bidimensional. O variabilă aleatoare bidimensională (X,Y) se mai numește și sistem de variabile aleatoare X și Y. Mulțimea tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare discrete cu probabilitățile lor se numește legea de distribuție a acestei variabile aleatoare. O variabilă aleatoare bidimensională discretă (X, Y) este considerată dată dacă legea sa de distribuție este cunoscută:

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Scopul serviciului. Folosind serviciul, conform unei legi de distribuție date, puteți găsi:

  • seriile de distribuție X și Y, așteptarea matematică M[X], M[Y], varianța D[X], D[Y];
  • covarianța cov(x,y), coeficientul de corelație r x,y, seria de distribuție condiționată X, așteptarea condiționată M;
În plus, este dat răspunsul la întrebarea „Sunt variabile aleatoare X și Y dependente?”.

Instrucțiuni. Specificați dimensiunea matricei de distribuție a probabilității (număr de rânduri și coloane) și tipul acesteia. Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word.

Exemplul nr. 1. O variabilă aleatoare discretă bidimensională are un tabel de distribuție:

Y/X 1 2 3 4
10 0 0,11 0,12 0,03
20 0 0,13 0,09 0,02
30 0,02 0,11 0,08 0,01
40 0,03 0,11 0,05 q
Aflați valoarea lui q și coeficientul de corelație al acestei variabile aleatoare.

Soluţie. Găsim valoarea lui q din condiția Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. De unde provine q = 0,09?

Folosind formula ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), găsim seria de distribuție X.

Așteptările M[Y].
M[y] = 1*0,05 + 2*0,46 + 3*0,34 + 4*0,15 = 2,59
Varianta D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Deviație standardσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0,64) = 0,801

Covarianta cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 ·20·0,02 + 1·30·0,02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 ·0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Coeficient de corelație r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736

Exemplul 2. Datele din prelucrarea statistică a informațiilor privind doi indicatori X și Y sunt reflectate în tabelul de corelare. Necesar:

  1. scrieți seriile de distribuție pentru X și Y și calculați mediile eșantionului și abaterile standard ale eșantionului pentru acestea;
  2. scrieți seria de distribuție condiționată Y/x și calculați mediile condiționate Y/x;
  3. descrieți grafic dependența mediilor condiționate Y/x de valorile X;
  4. se calculează coeficientul de corelație al eșantionului Y pe X;
  5. scrieți un eșantion de ecuație de regresie directă;
  6. descrieți geometric datele din tabelul de corelare și construiți o linie de regresie.
Soluţie. O pereche ordonată (X,Y) de variabile aleatoare X și Y se numește o variabilă aleatoare bidimensională sau un vector aleator în spațiul bidimensional. O variabilă aleatoare bidimensională (X,Y) se mai numește și un sistem de variabile aleatoare X și Y.
Setul tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare discrete cu probabilitățile lor se numește legea de distribuție a acestei variabile aleatoare.
O variabilă aleatoare bidimensională discretă (X,Y) este considerată dată dacă legea sa de distribuție este cunoscută:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2..,m
X Y20 30 40 50 60
11 2 0 0 0 0
16 4 6 0 0 0
21 0 3 6 2 0
26 0 0 45 8 4
31 0 0 4 6 7
36 0 0 0 0 3
Evenimentele (X=x i, Y=y j) formează un grup complet de evenimente, deci suma tuturor probabilităților p ij ( i=1,2...,n, j=1,2..,m) indicat în tabel este egal cu 1.
1. Dependența variabilelor aleatoare X și Y.
Găsiți seriile de distribuție X și Y.
Folosind formula ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), găsim seria de distribuție X.
X11 16 21 26 31 36
P2 10 11 57 17 3 ∑P i = 100
Așteptări M[X].
M[x] = (11*2 + 16*10 + 21*11 + 26*57 + 31*17 + 36*3)/100 = 25,3
Varianta D[X].
D[X] = (11 2 *2 + 16 2 *10 + 21 2 *11 + 26 2 *57 + 31 2 *17 + 36 2 *3)/100 - 25,3 2 = 24,01
Abaterea standard σ(x).

Folosind formula ∑P(x i,y j) = q j(i=1..m), găsim seria de distribuție Y.

Y20 30 40 50 60
P6 9 55 16 14 ∑P i = 100
Așteptările M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42,3
Varianta D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42,3 2 = 99,71
Abaterea standard σ(y).

Deoarece P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, atunci variabilele aleatoare X și Y dependent.
2. Legea distribuției condiționate X.
Legea distribuției condiționate X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Așteptări matematice condiționate M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Varianta condiționată D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Legea distribuției condiționate X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Așteptări matematice condiționate M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Varianta condiționată D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Legea distribuției condiționate X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Așteptări matematice condiționate M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Varianta condiționată D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Legea distribuției condiționate X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Așteptări matematice condiționate M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Varianta condiționată D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Legea distribuției condiționate X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Așteptări matematice condiționate M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Varianta condiționată D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Legea distribuției condiționate Y.
Legea distribuției condiționate Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Așteptări matematice condiționate M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Varianta condiționată D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Legea distribuției condiționate Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Așteptări matematice condiționate M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Varianta condiționată D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Legea distribuției condiționate Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Așteptări matematice condiționate M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Varianta condiționată D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Legea distribuției condiționate Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Așteptări matematice condiționate M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Varianta condiționată D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Legea distribuției condiționate Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Așteptări matematice condiționate M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Varianta condiționată D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Legea distribuției condiționate Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Așteptări matematice condiționate M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Varianta condiționată D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Covarianta.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 30 3 4 + 40 31 4 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Dacă variabilele aleatoare sunt independente, atunci covarianța lor este zero. În cazul nostru, cov(X,Y) ≠ 0.
Coeficient de corelație.


Ecuația de regresie liniară de la y la x este:

Ecuația de regresie liniară de la x la y este:

Să găsim caracteristicile numerice necesare.
Mediile eșantionului:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25,3
Variante:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
De unde obținem abaterile standard de la:
σ x = 9,99 și σ y = 4,9
si covarianta:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 30 3 4 + 40 31 4 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Să determinăm coeficientul de corelație:


Să scriem ecuațiile dreptelor de regresie y(x):

și calculând, obținem:
y x = 0,38 x + 9,14
Să scriem ecuațiile dreptelor de regresie x(y):

și calculând, obținem:
x y = 1,59 y + 2,15
Dacă trasăm punctele determinate de tabel și de liniile de regresie, vom vedea că ambele drepte trec prin punctul cu coordonatele (42.3; 25.3) iar punctele sunt situate aproape de liniile de regresie.
Semnificația coeficientului de corelație.

Folosind tabelul lui Student cu nivelul de semnificație α=0,05 și grade de libertate k=100-m-1 = 98, găsim t crit:
t crit (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
unde m = 1 este numărul de variabile explicative.
Dacă se observă t > t critic, atunci valoarea rezultată a coeficientului de corelație este considerată semnificativă (se respinge ipoteza nulă care afirmă că coeficientul de corelație este egal cu zero).
Deoarece t obs > t crit, respingem ipoteza că coeficientul de corelație este egal cu 0. Cu alte cuvinte, coeficientul de corelație este semnificativ statistic.

Exercițiu. Numărul de accesări ale perechilor de valori ale variabilelor aleatoare X și Y în intervalele corespunzătoare este dat în tabel. Folosind aceste date, găsiți coeficientul de corelație al eșantionului și ecuațiile eșantionului dreptelor de regresie ale lui Y pe X și X pe Y.
Soluţie

Exemplu. Distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare bidimensionale (X, Y) este dată de un tabel. Aflați legile de distribuție a mărimilor componente X, Y și coeficientul de corelație p(X, Y).
Descărcați soluția

Exercițiu. O mărime discretă bidimensională (X, Y) este dată de o lege de distribuție. Aflați legile de distribuție a componentelor X și Y, covarianța și coeficientul de corelație.

Există evenimente dependente și independente. Două evenimente sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu modifică probabilitatea de apariție a celuilalt. De exemplu, dacă există două linii automate care funcționează într-un atelier, care nu sunt interconectate din cauza condițiilor de producție, atunci opririle acestor linii sunt evenimente independente.

Sunt numite mai multe evenimente colectiv independent, dacă oricare dintre ele nu depinde de niciun alt eveniment și de vreo combinație a celorlalte.

Evenimentele sunt numite dependent, dacă unul dintre ele afectează probabilitatea celuilalt. De exemplu, două fabrici de producție sunt conectate printr-un singur ciclu tehnologic. Atunci probabilitatea eșecului unuia dintre ele depinde de starea celuilalt. Se numește probabilitatea unui eveniment B, calculată presupunând apariția unui alt eveniment A probabilitate condițională evenimentele B și sunt notate cu P(A|B).

Condiția pentru independența evenimentului B față de evenimentul A se scrie ca P(B|A)=P(B), iar condiția pentru dependența sa ca P(B|A)≠P(B).

Probabilitatea unui eveniment în testele Bernoulli. formula lui Poisson.

Teste independente repetate, Teste Bernoulli sau circuit Bernoulli astfel de teste sunt numite dacă pentru fiecare test există doar două rezultate - apariția evenimentului A sau și probabilitatea acestor evenimente rămâne neschimbată pentru toate testele. Acest design simplu de testare aleatoare este de mare importanță în teoria probabilității.

Cel mai faimos exemplu de teste Bernoulli este experimentul cu aruncarea secvențială a unei monede corecte (simetrice și uniforme), unde evenimentul A este pierderea, de exemplu, a unei „steme” („cozi”).

Fie într-un experiment probabilitatea evenimentului A să fie egală cu P(A)=p, atunci , unde p+q=1. Să realizăm experimentul de n ori, presupunând că încercările individuale sunt independente, ceea ce înseamnă că rezultatul niciunuia dintre ele nu este legat de rezultatele încercărilor anterioare (sau ulterioare). Să aflăm probabilitatea de apariție a evenimentelor A exact de k ori, să spunem doar în primele k încercări. Fie evenimentul că în n încercări evenimentul A va apărea exact de k ori în primele încercări. Evenimentul poate fi reprezentat ca

Din moment ce am presupus că experimentele sunt independente, atunci

41)[pagina 2] Dacă punem întrebarea despre apariția evenimentului A k ori în n încercări în ordine aleatorie, atunci evenimentul poate fi reprezentat sub forma

Numărul de termeni diferiți din partea dreaptă a acestei egalități este egal cu numărul de încercări de la n la k, prin urmare probabilitatea evenimentelor, pe care o vom desemna, este egală cu

Secvența evenimentelor formează un grup complet de evenimente independente . Într-adevăr, din independența evenimentelor obținem