Cazuri speciale de aplicare a integralei Bernoulli. Ecuația lui Bernoulli (integrala Bernoulli). Generalizări ale integralei Bernoulli

Eroarea lui Bernoulli După cum a înțeles bine Fechner, el nu a fost primul care a încercat să găsească o funcție care să conecteze intensitatea psihologică cu forță fizică stimul. În 1738, omul de știință elvețian Daniel Bernoulli a anticipat explicațiile lui Fechner și le-a aplicat relațiilor dintre

25. Ecuația lui Bernoulli

25. Ecuația lui Bernoulli Ecuația Gromeki este potrivită pentru a descrie mișcarea unui fluid dacă componentele funcției de mișcare conțin un fel de mărime de vortex. De exemplu, această mărime de vortex este conținută în componentele ?x, ?y, ?z ale vitezei unghiulare w. Condiția ca mișcarea

Derivarea formulei lui Torricelli din legea lui Bernoulli[ | ]

Când este aplicată curgerii unui fluid incompresibil ideal printr-o gaură mică din peretele lateral sau fundul unui vas lat, legea lui Bernoulli dă egalitatea presiunilor totale pe suprafața liberă a fluidului și la ieșirea din gaură:

De aici: v = 2 g h (\displaystyle v=(\sqrt (2gh))). Aceasta este formula lui Torricelli. Acesta arată că, atunci când curge afară, lichidul capătă viteza pe care ar obține-o un corp care cădea liber de la înălțime. h (\displaystyle h). Sau, dacă fluxul care curge dintr-o mică gaură din vas este îndreptat în sus, în punctul de sus (neglijând pierderile) curentul va ajunge la nivelul suprafeței libere din vas.

Alte manifestări și aplicații ale legii lui Bernoulli[ | ]

Aproximația fluidului incompresibil și, odată cu ea, legea lui Bernoulli sunt valabile și pentru fluxurile laminare de gaze, dacă doar vitezele de curgere sunt mici în comparație cu viteza sunetului.

De-a lungul coordonatei orizontale a conductei z (\displaystyle z) este constantă și ecuația lui Bernoulli ia forma: ρ v 2 2 + p = c o n s t (\displaystyle (\tfrac (\rho v^(2))(2))+p=\mathrm (const) ). Rezultă că atunci când secțiunea transversală a curgerii scade din cauza creșterii vitezei, presiunea scade. Efectul scăderii presiunii pe măsură ce viteza debitului crește este baza pentru funcționarea debitmetrului Venturi și a pompei cu jet.

Legea lui Bernoulli explică de ce navele care se deplasează pe un curs paralel pot fi atrase unele de altele (de exemplu, un astfel de incident a avut loc cu linia olimpica).

Aplicații hidraulice[ | ]

Aplicarea consecventă a legii lui Bernoulli a dus la apariția unei discipline tehnice hidromecanice - hidraulica. Pentru aplicații tehnice, ecuația lui Bernoulli este adesea scrisă sub forma în care toți termenii sunt împărțiți la „gravitatea specifică” ρ g (\displaystyle \rho g):

unde termenii cu dimensiunea lungimii din această ecuație pot avea următoarele denumiri:

Legea lui Bernoulli este valabilă numai pentru fluidele ideale în care nu există pierderi din cauza frecării vâscoase. Pentru a descrie fluxul fluidelor reale în mecanica tehnică a fluidelor (hidraulica), integrala Bernoulli este utilizată cu adăugarea de termeni care iau în considerare aproximativ diverse „pierderi de presiune hidraulică”.

Bernoulli integrală în curgerile barotrope[ | ]

Ecuația lui Bernoulli poate fi derivată și din ecuația mișcării fluidului. În acest caz, se presupune că debitul este staționar și barotrop. Acesta din urmă înseamnă că densitatea unui lichid sau a unui gaz nu este neapărat constantă (ca în lichidul incompresibil presupus anterior), ci este doar o funcție de presiune: ρ = ρ (p) (\displaystyle \rho =\rho (p)), care vă permite să intrați functie de presiune P = ∫ d p ρ (p) . (\displaystyle (\cal (P))=\int (\frac (\mathrm (d) p)(\rho (p))).)În aceste ipoteze, valoarea

este constantă de-a lungul oricărei linii de curgere și a oricărei linii de vortex. Relația este valabilă pentru flux în orice câmp potențial și g h (\displaystyle gh)înlocuit cu potențialul de forță de masă.

Derivarea integralei Bernoulli pentru curgerea barotropică

Formula Saint-Venant-Wancel[ | ]

atunci ecuația lui Bernoulli este exprimată după cum urmează (contribuția gravitației poate fi de obicei neglijată):

Folosind formula rezultată, se găsește viteza gazului care curge dintr-un vas de înaltă presiune printr-o gaură mică. Este convenabil să se ia presiunea și densitatea gazului într-un vas în care viteza gazului este zero ca p 0 , ρ 0 , (\displaystyle p_(0),\,\rho _(0),) atunci viteza de scurgere este exprimată în termeni de presiune externă p (\displaystyle p) conform formulei Saint-Venant-Wanzel pentru orice flux staționar al unui fluid ideal:

Unde w (\displaystyle w)- entalpia unității de masă, φ (\displaystyle \varphi )- potenţial gravitaţional (egal pentru staționar (∂ v → ∂ t = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\vec (v)))(\partial t))=0)) mișcarea unui fluid ideal într-un câmp gravitațional are forma:

unde accelerația datorată gravitației poate fi exprimată prin potențialul gravitațional al acestei ecuații pe vector unitar l → = v → v , (\displaystyle (\vec (l))=(\frac (\vec (v))(v)),) tangentă la linia de curgere dă:

Generalizări ale integralei Bernoulli[ | ]

Integrala Bernoulli este conservată și atunci când fluxul trece prin frontul undei de șoc, în cadrul de referință în care unda de șoc este în repaus. Cu toate acestea, în timpul unei astfel de tranziții, entropia mediului nu rămâne constantă (crește), prin urmare relația Bernoulli este doar una dintre cele trei relații Hugoniot, împreună cu legile de conservare a masei și a impulsului, care leagă starea mediului. în spatele frontului cu starea mijlocului în fața frontului și cu viteza undei de șoc.

Generalizările integralei Bernoulli sunt cunoscute pentru unele clase de fluxuri de fluide vâscoase (de exemplu, pentru curgeri plan-paralele), în magnetohidrodinamică, ferohidrodinamică. În hidrodinamica relativistă, când vitezele curgerii devin comparabile cu viteza luminii c (\displaystyle c), integrala este formulată în termeni de entalpie specifică și entropie specifică relativistic invariante.

Suma primilor doi termeni din partea stângă a ecuației (1) este egală cu potențialul total, iar al treilea termen este egal cu energia cinetică, referită la unități. masa lichida; În consecință, întreaga ecuație exprimă legea conservării energiei mecanice pentru un fluid în mișcare și stabilește o relație importantă între v, p și h. De exemplu, dacă, la o constantă h, viteza curgerii de-a lungul unei linii de curgere crește, atunci presiunea scade și invers. Această lege este utilizată atunci când se măsoară viteza folosind tuburi de măsurare și alte măsurători aerodinamice.

Ecuația lui Bernoulli este de asemenea reprezentată sub formă
h + p/γ + v 2 /2g = C sau
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(unde γ =ρg - gravitație specifică lichide). În prima egalitate, toți termenii au dimensiunea lungimii și se numesc înălțimi geometrice (nivelare), piezometrice și viteze corespunzătoare, iar în a 2-a - dimensiunile presiunii și, respectiv, se numesc greutate, presiune statică și dinamică.

În cazul general, atunci când fluidul este compresibil (gaz), dar barotrop, adică p în el depinde numai de ρ, și când mișcarea lui are loc în orice câmp, cu excepția potențialului, de forțe volumetrice (masă) (vezi Câmpul de forță), Bernoulli ecuația se obține ca o consecință a ecuațiilor Euler ale mecanicii fluidelor și are forma:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
unde P este energia potențială (potențialul) câmpului de forță volumetrică, raportată la unități. masa de lichid. Când gazele curg, valoarea lui P se modifică puțin de-a lungul liniei de curgere și poate fi inclusă în constantă, prezentând (3) sub forma:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

În aplicațiile tehnice, pentru debitul mediu pe secțiunea transversală a unui canal, așa-numitul ecuația Bernoulli generalizată: menținând forma ecuațiilor (1) și (3), partea stângă include munca forțelor de frecare și depășirea rezistenței hidraulice, precum și munca mecanica lichid sau gaz (funcționare cu compresor sau turbină) cu semnul corespunzător. Ecuația Bernoulli generalizată este utilizată pe scară largă în hidraulică la calcularea debitului de lichide și gaze în conducte și în inginerie mecanică la calcularea compresoarelor, turbinelor, pompelor și a altor mașini hidraulice și gaz.

Să presupunem că fluidul este ideal, forțele de masă sunt conservatoare, mișcarea este constantă și există barotropie pe linia de curgere.

Deoarece fluidul este ideal, ecuația mișcării este

Deoarece forțele de masă sunt conservatoare, atunci

iar ecuația (2.1) poate fi rescrisă ca

(2.3)

Asumarea barotropiei pe o linie simplă înseamnă că

unde C este constantă de-a lungul liniei de curgere.

În timpul mișcării constante, traiectoriile și liniile de curgere coincid. Să notăm cu dr(dx,dy,dz) deplasarea elementară de-a lungul liniei de curgere și să înmulțim scalar toți termenii (2.3) cu

Din moment ce streamline este și o traiectorie, atunci

In afara de asta,

Înlocuind (2.6) și (2.7) în (2.5), obținem

Având în vedere (2.4), introducem funcția P(p, C):

Luând în considerare (2.9), egalitatea (2.8) poate fi rescrisă ca

(2.11)

Egalitățile (2.10) și (2.11) au loc pe orice streamline, dar constanta din partea dreaptă a (2.11) se poate schimba atunci când se trece de la o streamline la alta.

Egalitatea (2.11) se numește integrala Bernoulli.

Să considerăm integrala Bernoulli pentru două cazuri importante.

1. Lichid incompresibil omogen. În acest caz, este constanta dată și . Integrala Bernoulli ia forma

Dacă forțele de masă sunt gravitația, atunci V = gz și integrala Bernoulli în acest caz

Termenii individuali din (2.14) au dimensiunea lungimii și se numesc corespunzător: - viteza, z - geometric, - înălțimi piezometrice. Egalitatea (2.14) ne permite să dăm următoarea formulare a intergalului Bernoulli: atunci când un fluid incompresibil omogen se mișcă într-un câmp gravitațional, suma vitezei, piezometrică și înălțimi geometrice constantă de-a lungul liniei de curgere.

2. Gaz perfect. În acest caz, ecuația de stare este ecuația Clapeyron. Conform ipotezelor făcute în acest capitol, Poisson adiabat (1.11) este valabil. Să introducem o nouă constantă. Apoi

Ținând cont de (2.15), calculăm:

Înlocuind (2.16) în (2.11), obținem integrala Bernoulli sub forma

Din fizică se știe că derivata este egală cu pătratul vitezei sunetului. În cazul unui proces adiabatic, se poate verifica că . Prin urmare,

Această formulă este una dintre formulele importante ale dinamicii gazelor. În dinamica gazelor, forțele de masă nu sunt de obicei luate în considerare, iar constanta C este notă cu . În acest caz, integrala Bernoulli ia forma

Aici v este viteza gazului și este viteza sunetului în același punct.

Pentru a determina constanta din partea dreaptă a lui (2.19), este suficient să cunoaștem caracteristicile în orice punct al curbei. Din (2.19) rezultă că viteza sunetului și a temperaturii și ținând cont de (2.15), atât presiunea, cât și densitatea vor fi maxime pe linia de curgere în punctul în care viteza este zero. Aceste cantități sunt de obicei notate cu și sunt numite parametri ai gazului frânat adiabatic (parametri de frânare). Cantitatea se numește entalpie (conținut de căldură). În consecință, constanta din partea dreaptă a integralei (2.19) se numește entalpie de stagnare. Punând viteza în (2.19), obținem o expresie pentru în ceea ce privește parametrii gazului retardat.

Conținutul articolului

HIDROAEROMECANICA– știința mișcării și echilibrului lichidelor și gazelor. La planificarea experimentelor fizice sau la efectuarea acestora, este necesar să se creeze modele teoretice care fie să prezică posibilele rezultate ale acestor experimente, fie să le explice pe cele deja obținute. Numai în interacțiunea strânsă dintre teorie și experiment putem înțelege ce se întâmplă în lumea fizică din jurul nostru. Pentru a crea unul sau altul model cantitativ sau calitativ al unui fenomen fizic, este necesară o bază matematică, pe baza căreia se construiesc astfel de modele. În acest caz, fundamentul matematic înseamnă acele ecuații diferențiale și acele condiții de limită și inițiale cu ajutorul cărora ar fi posibilă descrierea materiei luate în considerare. fenomen fizic. Mecanica fluidelor oferă modele și aparate pentru studierea fenomenelor care apar în lichide și gaze.

Pe ipoteza continuităţii mediului.

Hidroaeromecanica studiază mișcările lichidelor și gazelor într-o aproximație atunci când acestea pot fi considerate ca medii continue, adică. medii care umple continuu spațiul de curgere luat în considerare. Să rezolve probleme matematice asociate cu calculul mișcării diferitelor obiecte (avioane, rachete, nave etc.) în aer sau apă, cu studiul proceselor ondulatorii în lichide și gaze, cu curgerile acestora prin țevi și canale etc., a aparat matematic care descrie aceste fenomene. Acest aparat este ecuațiile hidroaeromecanicei, care se bazează pe ipoteza continuității mediului, adică. pe ipoteza că particulele de lichid sau gaz umplu continuu partea de spațiu fizic pe care o ocupă.

Se ridică o întrebare firească: în ce ipoteze este valabilă această ipoteză? Dacă pentru lichide (apă, metale lichide etc.) această ipoteză este mai mult sau mai puțin evidentă, atunci pentru gaze destul de rarefiate (de exemplu, ocupând spațiul cosmic, inclusiv atmosferele stelelor, planetelor și Soarelui), care constau din atomi individuali. sau molecule, precum și alte obiecte fizice cărora le este aplicabil aparatul de hidroaeromecanic, necesită justificarea acestuia. Deci, de exemplu, când se calculează frânarea sateliți artificiali Pe Pământ, utilizarea aparatului matematic al hidroaeromecanicii nu este posibilă, în timp ce acest aparat este folosit în calcularea frânării obiectelor spațiale care pătrund în straturile dense ale atmosferei Pământului și planetelor (de exemplu, meteoriți sau acelea). întorcându-se pe Pământ nave spațiale etc.). La această întrebare este ușor de răspuns la derivarea ecuațiilor. Totuși, din această concluzie rezultă că ipoteza continuității mediului este valabilă, în special, în cazul în care dimensiunea caracteristică a corpului aerodinamic L(de exemplu, raza unui satelit sferic) este mult mai mare decât calea liberă medie a atomilor de gaz sau a moleculelor l, i.e. lungimi între ciocniri succesive.

Sistem închis de ecuații ale hidroaeromecanicii.

Ecuațiile hidroaeromecanicii în forma lor simplificată sunt sistem complex ecuații diferențiale neliniare pentru densitatea masei r (masa lichidului sau a gazului pe unitate de volum), vectorul vitezei V si presiune p, care, la rândul lor, sunt funcții ale coordonatelor spațiale (de exemplu, X, yȘi zîn sistemul de coordonate carteziene) şi timp t. Fără a intra în detalii matematice ale derivării acestor ecuații, putem lua în considerare ideile principale ale acestei derivații, mai ales că aceste ecuații reprezintă legile de conservare a masei, impulsului și energiei, cunoscute chiar și din manualele școlare. Pentru a face acest lucru, considerăm un anumit volum fizic umplut continuu cu lichid sau gaz. În fig. 1 prezintă un lichid (sau gaz) în mișcare care umple continuu o parte a spațiului fizic. Să extragem ceva volum din el U(limitat de suprafața S), care pe tot parcursul mișcării constă din aceleași particule de lichid (acest volum este umbrit).

Evident, în timpul mișcării sale, masa de lichid conținută în volum U, rămâne constantă (cu excepția cazului în care, desigur, există surse suplimentare ale acestei mase), deși volumul în sine poate fi foarte deformat, deoarece particulele nu sunt ținute rigid împreună, ca într-un corp solid. Dacă selectăm un element infinitezimal D din volumul luat în considerare U, atunci este evident că în acest element masa de lichid sau gaz va fi egală cu rD U. Apoi legea conservării masei conținute într-un volum selectat U, se poate scrie sub forma

acestea. masa de lichid sau gaz conținută într-un volum dedicat U, nu se modifică în timp. Aici integrala este preluată asupra volumului selectat U, care se schimbă în timp t. Dacă folosim formula pentru derivata în timp a integralei pe un volum în mișcare, putem obține ecuația

Această ecuație în hidro-aeromecanică este de obicei numită ecuație de continuitate.

În mod similar, putem scrie acum legea conservării impulsului. Momentul unei unități de volum de lichid este egal cu r V , în volum elementar rD U, și în volumul alocat U –

unde p n este vectorul forță de suprafață care acționează asupra unui element de suprafață S cu un vector normal unitar n. Una dintre principalele probleme ale hidroaeromecanicii, rezolvată în cele din urmă la mijlocul secolului al XIX-lea, este determinarea explicită a forțelor de suprafață. În cadrul așa-numitei abordări fenomenologice utilizate aici pentru obținerea ecuațiilor hidroaeromecanicii, forțele de suprafață sunt determinate empiric. Diferențiând în funcție de timp integrala din stânga în ecuația momentului, așa cum sa făcut la derivarea ecuației de continuitate, și trecând de la integrala de suprafață din dreapta la integrala de volum, putem scrie ecuații diferențiale de mișcare pentru funcții continue în formă

si cantitatile u, vȘi w, și, de asemenea, sunt proiecții ale vectorilor viteze Vși gradientul de presiune pe axă Bou, OiȘi Oz respectiv.

Această ecuație, numită ecuația Navier-Stokes, este scrisă în cea mai simplă formă pentru un fluid incompresibil, unde forțele de suprafață se reduc la presiunea normală. R, iar ultimul termen din dreapta reprezintă forțe „vâscoase” (m este coeficientul de vâscozitate) în ipoteza că r = const.

Ecuația mișcării a fost derivată pentru prima dată la mijlocul secolului al XVIII-lea. L. Euler când lucra la Academia de Științe din Sankt Petersburg. Deoarece efectele vâscozității într-un lichid nu erau încă cunoscute la acel moment, Euler a obținut această ecuație pentru m = 0. În cinstea lui, aceste ecuații au fost numite ecuații lui Euler. Abia în 1822, inginerul francez Navier a introdus forțe asociate vâscozității, determinate de coeficientul m, în ecuațiile lui Euler. ÎN forma generala, care este valabil și pentru gazul compresibil, ecuația a fost obținută de Stokes și a fost numită ecuația Navier–Stokes.

Pentru un fluid incompresibil, ecuațiile diferențiale de continuitate și impuls (un scalar și un vector) sunt un sistem închis de ecuații pentru determinarea vectorului viteză. Vși presiunea scalară R(r = const). Dacă r № const, atunci este necesară o ecuație suplimentară. Această ecuație se obține din legea conservării energiei.

Generalizarea legii conservării energiei în cazul mișcării lichidelor și gazelor se obține în mod similar cu generalizarea celei de-a doua legi a lui Newton, totuși, datorită prezenței mișcării termice în lichide și gaze, energia pe unitatea de volum constă în energie kinetică rV 2 /2 și energie interna este asociat cu mișcarea termică a particulelor de gaz sau lichid. Energia totală în volumul elementului D U este egal cu r(V 2 /2 + e)D U.

Modificarea energiei totale în volumul alocat U este egal cu afluxul de căldură prin suprafața S datorită conductivității termice, precum și a muncii forțelor de masă și de suprafață, adică. În loc de legea conservării impulsului, obținem ecuația

Unde n– vector unitar normal pe suprafața S.

Pentru un gaz perfect e = CV T, Unde cu v– capacitate termică la volum constant, T– temperatura, iar pentru vectorul fluxului termic este de obicei acceptată legea empirică Fourier q= – l T(l – coeficientul de conductivitate termică). După o diferențiere adecvată în funcție de timp a părții stângi a ecuației de energie, trecerea de la integralele de suprafață la integralele de volum și folosind ecuația de continuitate și ecuația de mișcare, se poate obține așa-numita ecuație a fluxului de căldură pentru funcții continue.

Toate aceste ecuații, împreună cu ecuația de stare pentru un gaz perfect

p = r R T,

Unde R = (cu р – cu v) este constanta gazului și cu p– capacitatea termică la presiune constantă și legea lui Fourier

Formați un sistem închis de ecuații hidroaeromecanice pentru a determina vectorul viteză V, presiune p, densitatea r și temperatura T.

Dacă orice fenomen fizic depinde puțin de procesele disipative (vâscozitate și conductivitate termică), atunci aceste ecuații sunt reduse la ecuațiile hidroaeromecanice ale unui fluid ideal. În acest caz, sistemul închis de ecuații pentru determinare R,r, VȘi T este un sistem

Ultima ecuație este o lege adiabatică, care poate fi ușor redusă la legea conservării entropiei. Aici g = cu p/c v– indicele adiabatic, i.e. raportul dintre capacitatea termică la presiune constantă și capacitatea termică la volum constant.

Hidrostatică

este un caz special de hidroaeromecanica, care studiaza echilibrul lichidelor si gazelor, i.e. starea lor în absența vitezei hidrodinamice ( V= 0). Rezultatele si metodele hidrostaticii au mare importanță pentru multe sarcini care sunt importante atât din punct de vedere practic, cât și științific general. În hidrostatică se iau în considerare problemele legate de echilibrul apei din bazinele de apă și ale aerului din atmosfera Pământului, se rezolvă problemele de calcul a forțelor care acționează asupra corpurilor scufundate într-un lichid sau gaz, distribuțiile presiunii, densității, temperaturii în atmosfere ale planetelor, stelelor, Soarelui și multe alte sarcini.

Ecuațiile hidrostaticii se obțin din ecuațiile hidroaeromecanicii la V=0. În special, ecuația de conservare a impulsului dă

Unde, în special, vine legea lui Pascal, cunoscută din manualele școlare, conform căreia, în absența forțelor exterioare de masă ( F= 0) presiunea este constantă peste tot (p = const).

Echilibrul unui gaz perfect într-un câmp gravitațional.

Să fie gaz în câmpul gravitațional central. Ecuațiile de echilibru dintr-un sistem de coordonate sferice se vor scrie în acest caz ca:

Aici r, qȘi c– respectiv, distanța până la centrul de masă atrăgător M, plasat la origine, unghiul măsurat de la axa polară Oz, și unghiul în plan Oxy, G– constantă gravitațională egală cu 6,67Х10 –8 dină cm 2 g –2.

Din aceste ecuații este clar că într-un câmp gravitațional simetric central, presiunea depinde doar de distanța până la acest centru (este ușor de demonstrat că presiunea nu depinde de timp). De asemenea, este ușor să arăți că densitatea și temperatura depind, de asemenea, doar de coordonată r. Integrarea primei dintre aceste ecuații duce la așa-numita formulă barometrică, dacă este sub Mînțelegeți masa Pământului, planetei, stelei, Soarelui etc. Când folosiți ecuația de stare, formula barometrică are forma

Unde p 0– presiune la o anumită distanță r = r 0 din centrul de atragere (pentru Pământ, de exemplu, aceasta ar putea fi presiunea la nivelul mării). Această formulă determină distribuția presiunii în atmosferele stelelor, Pământului, planetelor, Soarelui etc., dacă se cunoaște distribuția temperaturii T(r), totuși, această temperatură adesea nu poate fi determinată din ecuația de aflux de căldură scrisă anterior, deoarece ia în considerare doar afluxul de căldură datorat conductivității termice, în timp ce pentru atmosferele enumerate există și alte surse de căldură care nu sunt luate în considerare în ecuația de mai sus. . De exemplu, atmosfera Soarelui este încălzită prin diferite tipuri de procese ondulatorii, iar atmosfera Pământului procesează energia radiației solare etc., prin urmare, pentru a determina distribuția presiunii în atmosferă. corpuri cerești dependențele empirice sunt adesea folosite folosind formula barometrică T(r).

Este posibil, de exemplu, să se calculeze distribuțiile presiunii în atmosfera Pământului până la distanțe de 11 km de suprafața sa. Dacă alegem un sistem de coordonate carteziene cu originea pe suprafața Pământului și direcționăm axa Oz vertical în sus, apoi în formula barometrică, în loc de coordonata r, trebuie să luați coordonatele z = r – R E, unde R E este raza Pământului. Deoarece această rază este mult mai mare decât grosimea atmosferei ( z R E), atunci formula barometrică pentru o atmosferă plată poate fi rescrisă ca

Aici am introdus notația pentru accelerația gravitației

unde T 0 – temperatura absolută la suprafața mării ( z= 0), D este o valoare empirică care înseamnă fizic o scădere a temperaturii cu o creștere de 100 m. Pentru atmosfera reală, D = 0,65 este adesea acceptat, T 0= 288K.

Dacă acceptăm această distribuție a temperaturii, atunci presiunea se scrie sub formă

Aceasta arată că relația liniară empirică acceptată T(z) este inacceptabilă pentru întreaga atmosferă a Pământului, deoarece la altitudini mai mari de 44 km, presiunea devine negativă. Cu toate acestea, este acceptabil pentru înălțimi care sunt de importanță practică. Din experimentele efectuate folosind sateliți, rachete de mare altitudine etc., reiese că la altitudini mari, temperatura este o funcție foarte complexă și nemonotonă a altitudinii. Această nemonotonitate se datorează procesului complex de procesare a energiei solare de către straturile superioare ale atmosferei Pământului, care nu sunt luate în considerare de ecuația influxului de căldură.

Echilibrul fluidelor incompresibile.

Dacă luăm în considerare un exemplu simplu de echilibru al unui fluid incompresibil în câmpul gravitațional al Pământului, atunci din condițiile de echilibru la r = const rezultă că

p = p 0-r gz sau R = p 0+r gh,

Unde h- adâncimea lichidului sub suprafața sa, p 0– presiunea la suprafata (Fig. 2). Această formulă, cunoscută din manualele școlare, arată cum presiunea dintr-un lichid crește odată cu adâncimea acestuia. Folosind această formulă, este ușor să calculați presiunea din fundul unui vas umplut cu lichid. Interesant este că această presiune depinde de adâncime, dar nu depinde de forma vasului. În special, în fig. 3, presiunea pe fundul vaselor 1 și 2 din aceeași zonă de fund S va fi aceeași sau forța care acționează asupra fundului acestor vase datorită presiunii lichidelor va fi aceeași.

Multe aplicații importante se bazează pe soluții ale ecuațiilor hidrostatice (legea lui Arhimede, stabilitatea echilibrului atmosferei stelelor și planetelor etc.).

UNELE IMPORTANTE ÎN APLICAȚII REZULTATE ALE SOLUȚIILOR LA ECUAȚII HIDROAEROMECANICE.

1. Model de fluid incompresibil.

Ecuațiile hidroaeromecanicei pentru lichide sau gaze vâscoase și termoconductoare în majoritatea problemelor care sunt foarte importante pentru practică pot fi rezolvate doar prin metode numerice. Cu toate acestea, aceste ecuații sunt simplificate semnificativ prin ipoteza că fluxul luat în considerare este supus ipotezei că este incompresibil (r = const). Deși lichide sau gaze strict incompresibile nu există în natură, cu toate acestea, în multe cazuri, de exemplu, un gaz compresibil poate fi considerat un lichid incompresibil, deoarece modificarea densității în multe fluxuri poate fi neglijată. În acest caz, ecuația de continuitate pentru un fluid incompresibil ia forma div = 0.

Împreună cu ecuația de conservare a impulsului, formează un sistem închis de ecuații pentru determinarea presiunii R si viteza V. Două criterii determină posibilitatea utilizării modelului de fluid incompresibil pentru, în general, gaz compresibil

Unde M– așa-numitul număr Mach, a – viteza de propagare a sunetului în gaz, V* – viteza caracteristică a curentului (de exemplu, viteza mișcării aerului în raport cu o aeronavă care zboară), t* – timpul caracteristic al mișcării nestaționare (de exemplu, timpul caracteristic al pulsațiilor parametrilor aerului în fața unei aeronave care zboară); L– dimensiunea caracteristică a problemei (de exemplu, dimensiunea corpului raționalizat). Pentru un flux constant, doar primul criteriu este suficient. Aceste criterii au o semnificație fizică clară. De exemplu, atunci când aeronavele zboară la viteze subsonice mari, modelul fluidului incompresibil poate fi utilizat pentru a calcula caracteristicile de curgere ale unei astfel de aeronave (glisare, portanță etc.). Dacă avionul zboară cu viteză supersonică, atunci se formează o așa-numită undă de șoc în fața lui, trăsătură caracteristică care sunt salturi bruște de presiune, viteză, densitate și temperatură. Formarea unei unde de șoc este un semn tipic al unei schimbări semnificative a densității, adică un semn tipic de compresibilitate a curgerii.

Curgerea unui fluid vâscos într-o conductă cilindrică (flux Hagen–Poiseuille).

O sarcină importantă este de a lua în considerare fluxul de fluide vâscoase incompresibile într-o țeavă cilindrică cu o secțiune transversală circulară de rază. R(Fig. 4) sub influența diferenței de presiune la capetele acestei conducte P = (p 2 – p 1)/L, Unde L– lungimea conductei. Presupunând că lungimea țevii este atât de mare încât orificiul de admisie este presiunea p 2, iar ieșirea, unde presiunea p 1 (p 2 > p 1) nu afectează debitul în cea mai mare parte a acestei conducte, atunci este ușor să obțineți o soluție analitică exactă a ecuației Navier-Stokes sub forma

Unde u– viteza fluidului de-a lungul axei X, care coincide cu axa de simetrie a conductei și r– distanta fata de aceasta axa. Din aceasta se poate observa că profilul de viteză în conductă este parabolic. La pereții țevii, viteza devine zero datorită aderenței lichidului din cauza efectului de vâscozitate. Această tendință a fost studiată la mijlocul secolului al XIX-lea. Poiseuille și Hagen, folosind exemplul fluxurilor de lichid în capilare, au primit denumirea de flux Hagen-Poiseuille.

Evident, cu un flux constant (independent de r) a lichidului la intrarea în conductă și la secțiunea inițială a acesteia, profilul de viteză nu va coincide cu soluția dată. Profilul parabolic este instalat doar la o distanță suficient de mare de secțiunea de admisie, motiv pentru care pentru a obține o soluție este necesar să presupunem că conducta este suficient de lungă, iar pentru astfel de conducte această soluție exactă este de acord cu datele experimentale.

Soluția rezultată descrie un flux staționar, stratificat neted, care este de obicei numit laminar. Cu toate acestea, se știe din practică că uneori fluxul în conducte este instabil, cu pulsații de viteză, cu amestecare între straturi; acest flux este de obicei numit turbulent. Experimentele lui Reynolds efectuate în 1883 au arătat că pentru valori suficient de mari ale numărului r U L/m, unde U– viteza medie a fluidului pe secțiunea transversală a conductei, profilul parabolic devine instabil în raport cu micile perturbații, iar odată cu o creștere suplimentară a acestui număr, debitul în conductă devine turbulent. Acest număr se numește numărul Reynolds (Re), care joacă un rol foarte important în diferite probleme ale mecanicii fluidelor. În special, caracterizează raportul dintre forțele inerțiale (partea stângă a ecuației) și forțele vâscoase și adesea forțele vâscoase pot fi neglijate, iar ecuațiile hidroaeromecanice ale unui fluid ideal pot fi utilizate numai atunci când Re >> 1.

Fluxuri de lichide și gaze ideale.

Problemele importante în aplicații sunt adesea luate în considerare pe baza ecuațiilor hidroaeromecanicei unui fluid ideal, mai degrabă decât pe ecuații complete. Acest lucru se datorează faptului că din punct de vedere matematic ecuațiile hidroaeromecanicii ideale sunt mult mai simple. Dacă trebuie să determinați forța de susținere a unei aripi de avion la viteze subsonice mici, atunci forțele vâscoase sunt neglijabile și nu este nevoie să folosiți ecuațiile Navier-Stokes. Cu toate acestea, pentru a determina rezistența unei astfel de aripi atunci când se mișcă în aer, forțele vâscoase se dovedesc a fi decisive și este necesar să se folosească un aparat matematic mai complex asociat cu ecuațiile Navier-Stokes.

Bernoulli integral.

În anumite ipoteze, ecuațiile hidromecanice ale unui fluid ideal pot fi integrate o singură dată; au soluții, dintre care una este integrala Bernoulli pentru fluxuri staționare (numită după contemporanul lui Euler, matematicianul Bernoulli, care a obținut prima integrală)

Unde P (p) = t dp/r(p) – funcție de presiune, U– potențialul forțelor de masă externe, CU– constantă de-a lungul liniei de curgere l (linia de curgere coincide cu vectorul vitezei curgerii V Deci, de exemplu, pentru un fluid incompresibil din câmpul gravitațional, această ecuație are forma

Pentru fluxurile adiabatice, integrala Bernoulli în absența forțelor de masă exterioare are forma

Ca exemplu de utilizare a integralei Bernoulli, putem determina debitul unui fluid incompresibil dintr-un vas (Fig. 5). Când lichidul curge din acest vas, nivelul lichidului scade, adică. viteza de suprafață a lichidului este, în general, diferită de zero. Cu toate acestea, cu un vas suficient de lat cu o deschidere de ieșire îngustă, se poate presupune că V z 1 – z 2). Pentru o baie cu o înălțime de apă umplută de aproximativ 0,5 m, viteza de scurgere V 2 » 3,1 m/sec.

Ecuațiile de mișcare ale unui fluid ideal au o altă integrală pentru curgeri instabile, care se numește integrala Cauchy-Lagrange. Este valabil pentru fluxuri în care nu există vârtejuri. Este adesea folosit, de exemplu, atunci când se iau în considerare mișcările ondulatorii ale unui lichid sau gaz.

Undele de șoc ca una dintre manifestările importante ale compresibilității gazelor.

Matematic, ecuațiile hidroaeromecanicii ideale admit soluții discontinue, i.e. solutii care au salturi in parametrii gazului (densitate, presiune, viteza si temperatura). Una dintre astfel de manifestări în natură este formarea unei unde de șoc în apropierea unui corp care zboară cu viteză supersonică în straturile dense ale atmosferei Pământului. De exemplu, formarea unei unde de șoc în apropierea aeronavelor supersonice zburătoare sau a undelor de șoc în apropierea meteoriților care invadează straturile dense ale atmosferei Pământului la viteze supersonice mari. In conditii spațiul cosmic Sunt bine cunoscute undele de șoc interplanetare, care de cele mai multe ori rezultă din procese active asupra Soarelui (de exemplu, erupții).

Se știe că nu se formează unde de șoc în apropierea aeronavelor de pasageri care zboară în principal cu cele subsonice mari. Să existe un corp sferic de rază R(Fig. 6), care zboară în aer cu viteză supersonică. Apoi se formează o undă de șoc în fața unui astfel de corp ÎN, care este granița dintre regiunile 1 și 2, care diferă în valorile parametrilor gazului. În sistemul de coordonate asociat corpului zburător. un flux de gaz curge pe un corp în repaus. Lasă axa Oh este îndreptată de-a lungul vitezei curgerii și V 1 , p 1, r1 și T 1 – viteza, presiunea, densitatea si respectiv temperatura intr-un flux de gaz netulburat de corp (inainte de unda de soc). Nicio perturbare din partea corpului nu intră în regiunea 1, deoarece corpul se mișcă cu viteză supersonică. Deoarece viteza gazului în punctul frontal al corpului A merge la zero, apoi din punct A până la punctul CU pe unda de șoc există o regiune a vitezei gazului subsonic, la care se ajunge prin perturbațiile aerului din corpul zburător. Sensul fizic al formării undei de șoc constă în separarea fluxurilor de gaz neperturbate și perturbate. Dacă prin V

Aceasta înseamnă că viteza din spatele undei de șoc scade, iar presiunea, densitatea și temperatura cresc. Creșterea puternică a temperaturii din spatele undei de șoc explică topirea navelor spațiale care se întorc pe Pământ și meteoriții care intră în atmosferă la viteze supersonice mari. Astfel de unde de șoc sunt numite unde de șoc de compresie (densitatea gazului crește). Interesant este că undele de șoc rarefacție în care scăderea densității nu au fost niciodată observate în natură. Din punct de vedere matematic, formarea undelor de șoc rarefacție este interzisă de teorema lui Zemplen, cunoscută în hidroaeromecanică.

Relațiile dintre parametrii cu indici „1” și „2” pot fi obținute din legile integrale de conservare a masei, impulsului și energiei, deoarece acestea sunt valabile și pentru funcțiile discontinue. Astfel de relații se numesc relații Hugoniot și au forma (în sistemul de coordonate asociat cu unda de șoc)

r1 Vn 1 = r2 Vn 2; r1 Vn 1V 1 + p 1 n=r2 Vn 2V 2 + p 2 n ;

Vn 1 = Vn 2.

Împreună cu ecuația de stare, aceste relații fac posibilă determinarea valorilor parametrilor gazului din spatele undei de șoc (indicele „2”) din valorile parametrilor fluxului de gaz neperturbat de șoc val (indice „1”).

Aparatul matematic descris al hidroaeromecanicii este utilizat în multe domenii ale științelor naturii, în timp ce pentru utilizarea corectă a acestui aparat este necesar doar îndeplinirea criteriului de continuitate a mediului, adică. pentru gaze, de exemplu, calea liberă a particulelor ar trebui să fie mult mai mică decât dimensiunile caracteristice ale obiectelor de curgere luate în considerare. În special, în spațiul cosmic mediul este adesea foarte rarefiat. În astfel de medii, desigur, calea liberă medie a particulelor este foarte mare, dar dimensiunile obiectelor de studiu în sine se dovedesc a fi în multe cazuri semnificativ mai mari, de exemplu. metodele hidroaeromecanice sunt de asemenea aplicabile unor astfel de obiecte.

În biomecanică, folosind metode hidromecanice, studiem caracteristici interesante fluxurile de fluide biologice prin vase, iar în hidrogeologie, de exemplu, sunt studiate problemele dinamicii straturilor interne ale Pământului. Toate acestea mărturisesc importanța științei numite „hidroaeromecanica”.

Vladimir Baranov