Ce este un logaritm?

Atenţie!
Există suplimentare
material din Secțiunea Specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce este un logaritm? Cum se rezolvă logaritmii? Aceste întrebări îi încurcă pe mulți absolvenți. În mod tradițional, subiectul logaritmilor este considerat complex, de neînțeles și înfricoșător. Mai ales - ecuații cu logaritmi.

Acest lucru nu este absolut adevărat. Absolut! Nu crezi? Bun. Acum, timp de aproximativ 10 - 20 de minute:

1. Înțelegeți ce este un logaritm.

2. Învață să rezolvi o întreagă clasă ecuații exponențiale. Chiar dacă nu ai auzit de ei.

3. Învață să calculezi logaritmi simpli.

Mai mult, pentru aceasta va trebui doar să cunoașteți tabla înmulțirii și cum se ridică un număr la o putere ...

Simt că te îndoiești... Ei bine, ține timpul! Merge!

Mai întâi, rezolvă următoarea ecuație în minte:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Tabel de antiderivate ("integrale"). Tabelul integralelor. Integrale nedefinite tabelare. (Integrale simple și integrale cu un parametru). Formule de integrare pe părți. formula Newton-Leibniz.

Tabel de antiderivate ("integrale"). Integrale nedefinite tabelare. (Integrale simple și integrale cu un parametru).

Funcția de putere integrală.

Funcția de putere integrală.

O integrală care se reduce la o integrală a unei funcții de putere dacă x este condus sub semnul diferenţialului.

Integrala exponențială, unde a este un număr constant.

Integrală a unei funcții exponențiale complexe.

Integrala funcției exponențiale.

O integrală egală cu logaritmul natural.

Integrală: „Logaritm lung”.

Integrală: „Logaritm lung”.

Integrală: „Logaritm mare”.

Integrala, unde x în numărător este adus sub semnul diferenţialului (constanta de sub semn poate fi atât adunată, cât şi scăzută), ca urmare, este similară cu integrala egală cu logaritmul natural.

Integrală: „Logaritm mare”.

Integrală de cosinus.

Sine integrală.

O integrală egală cu tangentei.

O integrală egală cu cotangentei.

Integrală egală cu arcsinus și arcsinus

O integrală egală atât cu sinusul invers, cât și cu cosinusul invers.

O integrală egală atât cu arc tangente cât și cu arc cotangente.

Integrala este egală cu cosecantei.

Integrală egală cu secanta.

O integrală egală cu arcsecanta.

O integrală egală cu arcul cosecant.

O integrală egală cu arcsecanta.

O integrală egală cu arcsecanta.

O integrală egală cu sinusul hiperbolic.

O integrală egală cu cosinusul hiperbolic.

O integrală egală cu sinusul hiperbolic, unde sinhx este sinusul hiperbolic în engleză.

O integrală egală cu cosinusul hiperbolic, unde sinhx este sinusul hiperbolic în versiunea engleză.

O integrală egală cu tangentei hiperbolice.

O integrală egală cu cotangentei hiperbolice.

O integrală egală cu secantei hiperbolice.

O integrală egală cu cosecantei hiperbolice.

Formule de integrare pe părți. Reguli de integrare.

Formule de integrare pe părți. Formula Newton-Leibniz.Reguli de integrare.

Integrarea unui produs (funcție) printr-o constantă:

Integrarea sumei funcțiilor:

integrale nedefinite:

Formula de integrare prin părți

integrale definite:

formula Newton-Leibniz

integrale definite:

Unde F(a),F(b) sunt valorile antiderivatelor la punctele b și, respectiv, a.

Tabel de derivate. Derivate de tabel. Derivat al produsului. Derivat de privat. Derivată a unei funcții complexe.

Dacă x este o variabilă independentă, atunci:

Tabel de derivate. Derivate de tabel „derivat de tabel” - da, din păcate, așa sunt căutați pe internet

Derivata functiei de putere

Derivată a exponentului

Derivată a unei funcții exponențiale compuse

Derivată a funcției exponențiale

Derivată a unei funcții logaritmice

Derivată a logaritmului natural

Derivată a logaritmului natural al unei funcții

Derivat sinus

derivat de cosinus

Derivat cosecant

Derivată secantă

Derivată de arcsinus

Derivată de arc cosinus

Derivată de arcsinus

Derivată de arc cosinus

Derivată tangentă

Derivat cotangent

Derivată arc tangentă

Derivată a tangentei inverse

Derivată arc tangentă

Derivata tangentei inverse

Derivată arcsecantă

Derivată de arc cosecant

Derivată arcsecantă

Derivată de arc cosecant

Derivată a sinusului hiperbolic

Derivatul sinusului hiperbolic în versiunea engleză

Derivat cosinus hiperbolic

Derivatul cosinusului hiperbolic în versiunea engleză

Derivată a tangentei hiperbolice

Derivat al cotangentei hiperbolice

Derivat de secante hiperbolice

Derivată a cosecantei hiperbolice

Reguli de diferențiere. Derivat al produsului. Derivat de privat. Derivată a unei funcții complexe.

Derivată a unui produs (funcție) printr-o constantă:

Derivată a sumei (funcții):

Derivată a produsului (a funcțiilor):

Derivata coeficientului (de functii):

Derivata unei functii complexe:

Proprietățile logaritmilor. Formule de bază ale logaritmilor. zecimală (lg) și logaritmi naturali (ln).

Identitatea logaritmică de bază

Să arătăm cum orice funcție de forma a b poate fi făcută exponențială. Deoarece o funcție de forma e x se numește exponențială, atunci

Orice funcție de forma a b poate fi reprezentată ca o putere a zece

Logaritmul natural ln (baza logaritmului e = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

Seria Taylor. Expansiunea unei funcții într-o serie Taylor.

Se dovedește că majoritatea practic întâlnit funcţiile matematice pot fi reprezentate cu orice precizie în vecinătatea unui anumit punct sub formă de serii de puteri care conţin puterile variabilei în ordine crescătoare. De exemplu, în vecinătatea punctului x=1:

Când folosiți rânduri numite Taylor rows, funcțiile mixte care conțin, de exemplu, funcții algebrice, trigonometrice și exponențiale pot fi exprimate ca funcții pur algebrice. Cu ajutorul seriei, diferențierea și integrarea pot fi adesea realizate rapid.

Seria Taylor din vecinătatea punctului a are următoarele forme:

1) , unde f(x) este o funcție care are derivate de toate ordinele la x=a. R n - termenul rămas din seria Taylor este determinat de expresie

2)

k-al-lea coeficient (la x k) al seriei este determinat de formula

3) Un caz special al seriei Taylor este seria Maclaurin (=McLaren) (descompunerea are loc in jurul punctului a=0)

pentru a=0

membrii seriei sunt determinati de formula

Condiții de aplicare a seriei Taylor.

1. Pentru ca funcția f(x) să fie extinsă într-o serie Taylor pe intervalul (-R;R), este necesar și suficient ca termenul rămas din formula Taylor (Maclaurin (=McLaren)) pentru aceasta funcția tinde spre zero la k →∞ pe intervalul specificat (-R;R).

2. Este necesar să existe derivate pentru această funcție în punctul în vecinătatea căruia urmează să construim o serie Taylor.

Proprietățile seriei Taylor.

    Dacă f este o funcție analitică, atunci seria sa Taylor în orice punct a din domeniul lui f converge către f într-o vecinătate a lui a.

    Există funcții infinit diferențiabile a căror serie Taylor converge, dar diferă de funcția din orice vecinătate a lui a. De exemplu:

Seriile Taylor sunt utilizate în aproximare (aproximație - metodă științifică, care constă în înlocuirea unor obiecte cu altele, într-un sens sau altul apropiat de originalul, dar mai simplu) funcții prin polinoame. În special, liniarizarea ((din linearis - liniar), una dintre metodele de reprezentare aproximativă a sistemelor neliniare închise, în care studiul unui sistem neliniar este înlocuit cu o analiză a unui sistem liniar, într-un sens echivalent cu cel original. .) de ecuații are loc prin extinderea într-o serie Taylor și tăierea tuturor termenilor de mai sus de ordinul întâi.

Astfel, aproape orice funcție poate fi reprezentată ca un polinom cu o precizie dată.

Exemple de expansiuni comune ale funcțiilor de putere din seria Maclaurin (=McLaren,Taylor în vecinătatea punctului 0) și Taylor în vecinătatea punctului 1. Primii termeni de extindere a funcțiilor principale din seria Taylor și MacLaren.

Exemple de expansiuni comune ale funcțiilor de putere din seria Maclaurin (= MacLaren, Taylor în vecinătatea punctului 0)

Exemple de expansiuni comune ale seriei Taylor în jurul punctului 1

Tabelul primitivelor.

Proprietățile integralei nedefinite ne permit să găsim antiderivată din diferenţialul cunoscut al unei funcţii. Astfel, folosind egalitățile și poate fi din tabelul derivatelor principale functii elementare alcătuiește un tabel de primitive.


Amintiți-vă tabel de derivate, îl scriem sub formă de diferențiale.





De exemplu, să găsim integrala nedefinită a funcției de putere.

Folosind tabelul diferenţial , prin urmare, prin proprietățile integralei nedefinite avem . De aceea sau într-o altă intrare

Aflați mulțimea de antiderivate ale funcției putere pentru p = -1 . Avem . Referindu-ne la tabelul diferențialelor pentru logaritmul natural , Prin urmare, . De aceea .

Sper că înțelegi ideea.

Tabelul antiderivate ( integrale nedefinite).

Formulele din coloana din stânga a tabelului se numesc antiderivate de bază. Formulele din coloana din dreapta nu sunt de bază, dar sunt foarte des folosite atunci când se găsesc integrale nedefinite. Ele pot fi verificate prin diferențiere.

Integrare directă.

Integrarea directă se bazează pe utilizarea proprietăților integralelor nedefinite , , reguli de integrare și tabele de primitive.

De obicei, integrandul trebuie mai întâi să fie ușor transformat, astfel încât să poată fi utilizate tabelul integralelor de bază și proprietățile integralelor.

Exemplu.

Găsiți integrala .

Soluţie.

Coeficientul 3 poate fi scos de sub semnul integral pe baza proprietății:

Transformăm integrandul (după formule de trigonometrie):

Deoarece integrala sumă este egală cu suma integrale, atunci

Este timpul să apelăm la tabelul de primitive:

Răspuns:

.

Exemplu.

Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Soluţie.

Ne întoarcem la tabelul cu antiderivate pentru funcția exponențială: . Acesta este, .

Dacă folosim regula integrării , atunci noi avem:

Astfel, tabelul de antiderivate, împreună cu proprietățile și regula de integrare, ne permite să găsim o mulțime de integrale nedefinite. Cu toate acestea, este departe de a fi întotdeauna posibil să se transforme integrandul pentru a utiliza tabelul antiderivate.

De exemplu, în tabelul de antiderivate nu există o integrală a funcției logaritm, funcțiile arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent, tangentă și cotangentă. Pentru a le găsi, se folosesc metode speciale. Dar mai multe despre asta în secțiunea următoare: