1. Calcul integral al funcțiilor unei variabile

2. Integrală antiderivată și nedefinită.

3. Proprietăţile integralei nedefinite.

4. Tabelul integralelor

Când se studiază diferențierea funcțiilor, sarcina a fost stabilită - pentru o funcție dată, găsiți derivata sau diferențiala acesteia. Multe întrebări de știință și tehnologie duc la formularea unei probleme inverse - pentru o funcție dată f(x) găsiți o astfel de funcție F(x), a căror derivată sau diferenţială sunt, respectiv, egale f(x) sau f(x)dx.

Definiția 1. Funcţie F(x) numit antiderivat în raport cu funcţia f(x) la un anumit interval (a, b), dacă pe acest interval funcţia F(x) este diferentiabila si satisface ecuatia

F′ (x) = f(x)

sau, ceea ce este la fel, relația

dF(x) = f(x)dx.

De exemplu, funcţia păcatului 5X- antiderivată pe orice interval în raport cu funcția f(X) = 5cos5 X, deoarece (păcat5 X)′ = 5cos5 X.

Este ușor de verificat că prezența unui antiderivat asigură prezența unor astfel de funcții într-un set infinit. De fapt, dacă F(x)- antiderivată a funcției f(x), Acea

Ф(x) = F(x) + C,

Unde CU- orice constantă este și antiderivată, deoarece

F′( X) = (F(X) + C)′ = F′( X) + 0 = f(X).

Următoarea teoremă oferă răspunsul la întrebarea cum să găsiți toate antiderivatele unei funcții date dacă una dintre ele este cunoscută.

Teorema 1(despre primitivi). Dacă F(X) − oarecare antiderivată a funcției f(X) pe interval ( a, b), atunci toate antiderivatele sale au forma F(X) + C, Unde CU- constantă arbitrară.

Geometric y = F(x) + Cînseamnă că graficul oricărei funcții antiderivate este obținut din graficul funcției y = F(X) prin simpla deplasare paralelă cu axa Oy cu o sumă CU(Vezi poza). Datorită faptului că aceeași funcție f(X) are infinit de antiderivate, se pune problema alegerii unui antiderivat care să rezolve una sau alta problemă practică.

Se știe că derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza punctului: S′( t) = V(t), prin urmare, dacă legea schimbării vitezei este cunoscută V(t), calea de mișcare a unui punct este o antiderivată a vitezei punctului, adică. S(t) =F(t) +C.

Pentru a găsi legea schimbării căii Sf) trebuie să utilizați condițiile inițiale, adică să știți care este distanța parcursă S0 la t = t0. Lasă la t = t0 avem S = S0. Apoi

Sf 0 ) = S 0 = F(t 0 ) + C. C = S 0 - F(t 0 ) Și S(t) = F(t) + S 0 - F(t 0 ).

Definiția 2. Dacă F(x)- unele antiderivate ale functiei f(x), apoi expresia F(x) + C, Unde CU- o constantă arbitrară, numită integrală nedefinită si este desemnat

∫f(X)dx= F(X) + C,

adică integrala nedefinită a funcției f(x) există un set de toate primitivele sale.

În acest caz, funcția f(x) numit integrand, si munca f(x)dx- integrand; F(x)- unul dintre prototipuri; X- variabila de integrare. Procesul de găsire a unui antiderivat se numește integrare.

Exemplul 1. Găsiți integrale nedefinite:

Teorema 2(existența unei integrale nedefinite). Dacă funcţia f(x) continuu pe (a, b), atunci există o antiderivată și, prin urmare, o integrală ∫ f(X)dx.

Proprietățile integralelor nedefinite:

1. (∫f(X)dx)′ = f(X) , adică derivata integralei nedefinite este egală cu integrandul.

2. d(∫f(X)dx) = f(X)dx, adică diferențiala integralei nedefinite este egală cu integrandul.

3. ∫dF(X) = F(X) + C.

4. ∫(C 1 f 1(X) + C 2 f 2 (X))dx= C 1∫f 1(X)dx+ C 2∫f 2(X)dx− proprietatea liniarității; C1, C2- permanentă.

5. Dacă ∫ f(X)dx= F(X) + C, Acea

Primele trei proprietăți decurg din definiția unei integrale nedefinite. Obținem proprietățile 4 și 5 prin diferențierea părților stânga și dreaptă ale ecuațiilor în raport cu X, folosind proprietatea 1 a integralelor și proprietățile derivatelor.

Exemplul 2. Aflați integrala nedefinită: a) ∫( e x+cos5 X)dx.

Soluţie. Folosind proprietățile 4 și 5, găsim:

Să prezentăm un tabel de integrale de bază, care joacă același rol în matematica superioară ca și tabelul înmulțirii în aritmetică.

Metode de integrare de bază

Se află trei principal metoda de integrare.

1. Integrare directă− calculul integralelor folosind un tabel de integrale și proprietățile de bază ale integralelor nedefinite.

Exemplul 3. Calculați integrala: ∫ tg 2 xdx.

2. Metoda de înlocuire . În multe cazuri, introducerea unei noi variabile de integrare face posibilă reducerea calculului a acestei integrale pentru a găsi unul tabelar. Această metodă se mai numește metoda de înlocuire a variabilei.

Teorema 3. Lasă funcția x = φ(t) definit, continuu si diferentiabil pe un anumit interval T lăsați-l să plece X- setul de valori ale acestei funcții, pe ea, adică pe T determinat functie complexa f(φ(t)). Atunci dacă ∫ f(x)dx= F(x)+ C, Acea

∫f(x)dx=∫f(φ(t)) φ ′ (t)dt. (1)

Formula (1) se numește formulă schimbarea unei variabile într-o integrală nedefinită.

Cometariu. După calcularea integralei ∫ f(φ(t)) φ ′ (t)dt trebuie să te întorci la variabilă X.

Exemplul 4. Aflați integrala: ∫cos 3 X păcat xdx.

a) Înlocuiește păcatul xdx pe (− d cos X), adică introducem funcția cos X sub semnul diferential. Primim

3. Metoda de integrare pe părți

Teorema 4. Lasă funcțiile u(x)Și v(x) definite şi diferenţiabile pe un anumit interval X lăsați-l să plece u′ (x)v(x) are o antiderivată pe acest interval, adică există o integrală ∫ u′( X)v(X)dx.

Atunci pe acest interval funcția are o antiderivată și u(x)v′ (X) iar formula este corecta:

∫u(X)v′( X)dx= u(X)v(X) −∫v(X)u′( X)dx(2)

∫udv= uv−∫vdu.(2′)

Formulele (2) și (2′) se numesc formule de integrare pe părți în integrala nedefinită.

Folosind metoda integrării pe părți, se calculează integralele următoarelor funcții: P(X)arcsin( topor),P(X)arccos( topor), P(X)arctg( topor), P(X)arcctg( topor),P(X)ln X, P(X)e kx, P(X)păcat kx, P(X)cos kx, Aici P(x)- polinom; e ax cos bx, e ax păcat bx.

Desigur, aceste funcții nu epuizează toate integralele care sunt calculate folosind metoda integrării pe părți.

Exemplul 6. Aflați integrala: ∫ arctg 3xdx.

Soluţie. Sa punem u= arctg 3X; dv= dx. Apoi

Conform formulei (2) avem

Această metodă se reduce la integrarea ecuației diferențiale a axei curbe a grinzii (9.1) cu legea cunoscută a modificării momentelor încovoietoare. M(X). Presupunând că rigiditatea la încovoiere a grinzii este constantă (EJ z= const) și integrând secvențial ecuația (9.1), obținem

În expresiile (9.5) și mai jos, pentru a simplifica notația, indicii momentelor de inerție și momentelor încovoietoare sunt omiși.

Expresiile (9.5) ne permit să obținem legi analitice pentru modificările deformațiilor și unghiurilor de rotație dintr-un fascicul. Constante de integrare incluse în (9.5) C 1și C 2 sunt supuse determinării din condițiile la limită cinematice și condițiile de conectare a secțiunilor grinzii.

Condițiile cinematice la limită reflectă natura fixării (suportului) grinzii și sunt stabilite în raport cu deviațiile și unghiurile de rotație. De exemplu, pentru o grindă susținută simplu (Fig. 9.4), condițiile la limită caracterizează absența deformațiilor pe suporturi: x = 0, x = /, v = 0. Pentru o grindă în consolă (Fig. 9.5), condițiile la limită caracterizează egalitatea deformației și unghiului de rotație în ansamblul rigid la zero: x = 0, v= 0; av = 0.

Condițiile de potrivire sunt stabilite la limitele secțiunilor cu legi diferite de modificare a momentelor încovoietoare. În absența balamalelor intermediare și a așa-numitelor mecanisme paralelograme (glisoare), condițiile de împerechere constau în egalitatea deflexiunilor și unghiurilor de rotație în secțiunile din stânga și din dreapta limitei secțiunilor, adică caracterizează continuitatea și netezimea axei curbe a fasciculului. De exemplu, pentru fasciculul din Fig. 9.4 se poate scrie: X = A,și = și

În prezența P secțiuni cu legi diferite de modificare a momentelor încovoietoare, expresia pentru deformare va conține 2 P constante de integrare. Folosind condițiile la limită și condițiile pentru conectarea secțiunilor, putem obține sistemul 2 P liniar ecuații algebrice raportat la aceste constante. După determinarea tuturor constantelor de integrare, se vor stabili legile modificării u(x) și ср(х) în fiecare secțiune a fasciculului. Să ne uităm la exemple de determinare a deformațiilor și unghiurilor de rotație în grinzi folosind metoda integrării directe.

Exemplul 9.1. Să determinăm expresii analitice pentru u(lc) și cp(x) într-o grindă cantilever încărcată cu o sarcină distribuită uniform (Fig. 9.6) și să calculăm valorile acestor cantități la capătul liber.

Momentul încovoietor al grinzii pe toată lungimea sa variază conform legii parabolei pătrate:

Să substituim această expresie în soluția (9.5) și să o integrăm:

Folosind condițiile la limită, determinăm constantele de integrare:

Să notăm expresiile finale pentru deviații și unghiuri de rotație în fascicul și să determinăm valorile acestor mărimi la capătul liber:

Exemplul 9.2. Pentru o grindă pur și simplu susținută încărcată la capăt cu o forță concentrată (Fig. 9.7), definim expresii pentru y(x) și (p(x) și calculăm valorile acestor mărimi în secțiuni caracteristice.

Diagramă M prezentat în Fig. 9.7. Momentele încovoietoare au legi diferite de modificare în prima și a doua secțiune a grinzii. Integram ecuația diferențială a axei curbe în fiecare secțiune.

Prima secțiune (0 2a):

Secțiunea a doua (2 A

Pentru a determina cele patru constante de integrare C, C 2, DxȘi D 2 stabilim condiții la limită și condiții pentru conectarea secțiunilor:

Din condiția de conjugare a secțiunilor, obținem egalitatea constantelor de integrare din prima și a doua secțiune: C ( = D v C 2 = D T Folosind condiții la limită, găsim valorile constantelor:

Să notăm expresiile finale pentru u(x) și cp(x) în fiecare secțiune:

În aceste expresii, o bară verticală cu un număr în partea de jos corespunde limitei fiecărei zone. În cadrul primei secțiuni vși cp sunt determinate de funcțiile până la linia verticală cu numărul 1, iar în cadrul celei de-a doua secțiuni - până la linia verticală cu numărul 2, adică de toate funcțiile.

Să calculăm vși (p în secțiunile caracteristice ale fasciculului:

În prima secțiune, semnul unghiului de rotație se schimbă în opus. Să setăm poziția secțiunii în care unghiul de rotație devine zero:

În secțiunea x =x Q deformarea fasciculului are un extremum. Ii calculăm valoarea:

Pentru comparație, determinăm cantitatea de deviere a fasciculului în mijlocul travei:

Se poate observa că deformarea extremă diferă foarte puțin (2,6%) de deformarea din mijlocul travei.

Să efectuăm un calcul numeric la P= 20 kN și A= 1,6 m. Să selectăm secțiunea grinzii sub forma unei grinzi în I de oțel laminat, luând factorul de fiabilitate a sarcinii y^= 1.2, coeficientul condițiilor de funcționare y c = 1, rezistența de proiectare a materialului R= 210 MPa = = 21 kN/cm 2 și modulul de elasticitate al oțelului E- 2,1 104 kN/cm2.

Acceptăm 120, W z = 184 cm 3, J= 1840 cm 4.

Să calculăm cele mai mari valori unghiul de rotație și deflexie în fascicul. Conform SNiP, efectuăm calcule bazate pe efectul sarcinilor standard.

Din exemplul luat în considerare este clar că dacă există mai multe secțiuni în grinda cu legi diferite de modificare a momentelor încovoietoare, metoda integrării directe devine greoaie și incomodă.

Nu putem calcula întotdeauna funcții antiderivate, dar problema diferențierii poate fi rezolvată pentru orice funcție. De aceea nu există o singură metodă de integrare care să poată fi utilizată pentru orice tip de calcul.

În a acestui material Vom analiza exemple de rezolvare a problemelor legate de găsirea integralei nedefinite și vom vedea pentru ce tipuri de integranți este potrivită fiecare metodă.

Metoda de integrare directă

Principala metodă de calcul a funcției antiderivate este integrarea directă. Această acțiune se bazează pe proprietățile integralei nedefinite, iar pentru calcule avem nevoie de un tabel de antiderivate. Alte metode nu pot decât să aducă integrala originală în formă tabelară.

Exemplul 1

Calculați mulțimea de antiderivate ale funcției f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Soluţie

Mai întâi, să schimbăm forma funcției în f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3.

Știm că integrala sumei funcțiilor va fi egal cu suma dintre aceste integrale, înseamnă:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Deducem coeficientul numeric din spatele semnului integral:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Pentru a găsi prima integrală, va trebui să ne referim la tabelul cu antiderivate. Luăm din el valoarea ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Pentru a găsi a doua integrală, veți avea nevoie de un tabel de antiderivate pentru funcția de putere ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , precum și de regula ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Prin urmare, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Avem următoarele:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

cu C = C 1 + 3 2 C 2

Răspuns:∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Am dedicat un articol separat integrării directe folosind tabele de antiderivate. Vă recomandăm să vă familiarizați cu el.

Metoda de înlocuire

Această metodă de integrare constă în exprimarea integrandului printr-o nouă variabilă introdusă special în acest scop. Ca rezultat, ar trebui să obținem o formă tabelară a integralei sau pur și simplu o integrală mai puțin complexă.

Această metodă este foarte utilă atunci când trebuie să integrați funcții cu radicali sau funcții trigonometrice.

Exemplul 2

Evaluați integrala nedefinită ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Soluţie

Să mai adăugăm o variabilă z = 2 x - 9 . Acum trebuie să exprimăm x în termeni de z:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Luăm tabelul antiderivatelor și aflăm că 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Acum trebuie să revenim la variabila x și să obținem răspunsul:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Răspuns:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Dacă trebuie să integrăm funcții cu iraționalitate de forma x m (a + b x n) p, unde valorile m, n, p sunt numere rationale, atunci este important să compuneți corect expresia pentru introducerea unei noi variabile. Citiți mai multe despre acest lucru în articolul despre integrarea funcțiilor iraționale.

După cum am spus mai sus, metoda de înlocuire este convenabilă de utilizat atunci când trebuie să integrați functie trigonometrica. De exemplu, folosind o substituție universală, puteți reduce o expresie la o formă fracțională rațională.

Această metodă explică regula de integrare ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Adăugăm o altă variabilă z = k x + b. Obținem următoarele:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Acum luăm expresiile rezultate și le adăugăm la integrala specificată în condiția:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Dacă acceptăm C 1 k = C și revenim la variabila inițială x, atunci obținem:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Modalitate de abonament la semnul diferential

Această metodă se bazează pe transformarea integrandului într-o funcție de forma f (g (x)) d (g (x)). După aceasta, efectuăm o substituție introducând o nouă variabilă z = g (x), găsim o antiderivată pentru aceasta și revenim la variabila inițială.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( g(x)) + C

Pentru a rezolva probleme mai rapid folosind această metodă, păstrați un tabel de derivate sub formă de diferențiale și un tabel de antiderivate la îndemână pentru a găsi expresia la care va trebui redus integrandul.

Să analizăm o problemă în care trebuie să calculăm setul de antiderivate ale funcției cotangente.

Exemplul 3

Calculați integrala nedefinită ∫ c t g x d x .

Soluţie

Să transformăm expresia originală sub integrală folosind formule trigonometrice de bază.

c t g x d x = cos s d x sin x

Ne uităm la tabelul derivatelor și vedem că numărătorul poate fi subsumat sub semnul diferențial cos x d x = d (sin x), ceea ce înseamnă:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x, adică. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Să presupunem că sin x = z, în acest caz ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Conform tabelului de antiderivate, ∫ d z z = ln z + C . Acum să revenim la variabila inițială ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Întreaga soluție poate fi scrisă pe scurt după cum urmează:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Răspuns: ∫ c t g x d x = ln sin x + C

Metoda de abonare la semnul diferențial este foarte des folosită în practică, așa că vă sfătuim să citiți un articol separat dedicat acestuia.

Metoda de integrare pe părți

Această metodă se bazează pe transformarea integrandului într-un produs de forma f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x)), după care formula ∫ u (x) d ( v (x)) = u (x) · v (x) - ∫ v (x) · d u (x). Aceasta este o metodă de rezolvare foarte convenabilă și comună. Uneori, integrarea parțială într-o singură problemă trebuie aplicată de mai multe ori înainte de a obține rezultatul dorit.

Să analizăm o problemă în care trebuie să calculăm setul de antiderivate ale arctangentei.

Exemplul 4

Calculați integrala nedefinită ∫ a r c t g (2 x) d x .

Soluţie

Să presupunem că u (x) = a r c t g (2 x), d (v (x)) = d x, în acest caz:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Când calculăm valoarea funcției v (x), nu ar trebui să adăugăm o constantă arbitrară C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Calculăm integrala rezultată folosind metoda de subsumare a semnului diferențial.

Deoarece ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , atunci 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

Răspuns:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Principala dificultate în utilizarea acestei metode este necesitatea de a alege ce parte să ia ca diferențială și care parte ca funcție u (x). Articolul despre metoda de integrare pe părți oferă câteva sfaturi cu privire la această problemă cu care ar trebui să vă familiarizați.

Dacă trebuie să găsim mulțimea de antiderivate ale unei funcții raționale fracțional, atunci trebuie mai întâi să reprezentăm integrandul ca o sumă de fracții simple și apoi să integrăm fracțiile rezultate. Pentru mai multe informații, consultați articolul despre integrarea fracțiilor simple.

Dacă ne integrăm exprimarea puterii de forma sin 7 x · d x sau d x (x 2 + a 2) 8, atunci ne vor fi utile formule recurente care pot reduce treptat gradul. Ele sunt derivate folosind integrarea secvențială repetată pe părți. Vă recomandăm să citiți articolul „Integrare folosind formule de recurență.

Să rezumam. Pentru a rezolva probleme, este foarte important să cunoașteți metoda integrării directe. Alte metode (substituție, substituție, integrare pe părți) vă permit, de asemenea, să simplificați integrala și să o aduceți în formă tabelară.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Deoarece acum vom vorbi doar despre integrala nedefinită, de dragul conciziei vom omite termenul „nedefinit”.

Pentru a învăța cum să calculezi integralele (sau, după cum se spune, să integrezi funcții), mai întâi trebuie să înveți tabelul integralelor:

Tabelul 1. Tabelul integralelor

2.
(
), u>0.

2a.
(α=0);

2b.
(α=1);

2c.
(α= ).

3a.

5a)

6a.

7a.

10.

10a.

11.

11a.

12.

13.

13a.

În plus, veți avea nevoie de capacitatea de a calcula derivata unei anumite funcții, ceea ce înseamnă că trebuie să vă amintiți regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare de bază:

Tabelul 2. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere:

6.a .

(păcat Și) = cos Și  Și

(cos u) = – sin Și Și

De asemenea, avem nevoie de capacitatea de a găsi diferența unei funcții. Amintiți-vă că diferența funcției
găsi prin formulă
, adică diferenţialul unei funcţii este egal cu produsul derivatei acestei funcţii şi diferenţialul argumentului ei. Este util să aveți în vedere următoarele relații cunoscute:

Tabelul 3. Tabelul diferențial

1.
(b= Const)

2.
(
)

5.
(b= Const)

10.

11.

12.

14.

15.

16.

17.

Mai mult, aceste formule pot fi folosite fie citindu-le de la stânga la dreapta, fie de la dreapta la stânga.

Să luăm în considerare secvenţial cele trei metode principale de calcul a integralei. Primul dintre ei se numește prin metoda integrarii directe. Se bazează pe utilizarea proprietăților integralei nedefinite și include două tehnici principale: extinderea unei integrale într-o sumă algebrică mai simplu şi subscriind la semnul diferenţial, iar aceste tehnici pot fi utilizate atât independent, cât și în combinație.

A) Sa luam in considerare expansiunea sumei algebrice– această tehnică presupune utilizarea transformărilor identice ale integrandului și proprietăților de liniaritate ale integralei nedefinite:
Și .

Exemplul 1. Aflați integralele:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Soluţie.

A)Să transformăm integrandul împărțind termenul numărătorului la termen:

Proprietatea puterilor este folosită aici:
.

b) Mai întâi, transformăm numărătorul fracției, apoi împărțim termenul numărător cu termen la numitor:

Proprietatea grade este folosită și aici:
.

Proprietatea folosită aici este:
,
.

Formulele 2 și 5 din tabelul 1 sunt utilizate aici.

Exemplul 2. Aflați integralele:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Soluţie.

A)Să transformăm integrandul folosind identitatea trigonometrică:

Aici folosim din nou împărțirea termen cu termen a numărătorului după numitor și formulele 8 și 9 din Tabelul 1.

b) Transformăm similar, folosind identitatea
:

c) Mai întâi, împărțiți termenul numărător cu termen la numitor și scoateți constantele din semnul integral, apoi folosiți identitatea trigonometrică
:

d) Aplicați formula de reducere a gradului:

e) Folosind identități trigonometrice, transformăm:

B) Să luăm în considerare tehnica de integrare, care se numește n punându-l sub semnul diferenţial. Această tehnică se bazează pe proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:

Dacă
, apoi pentru orice funcție diferențiabilă Și = Și(X) apare:
.

Această proprietate ne permite să extindem semnificativ tabelul de integrale simple, deoarece datorită acestei proprietăți formulele din tabelul 1 sunt valabile nu numai pentru variabila independentă Și, dar și în cazul în care Și este o funcție diferențiabilă a unei alte variabile.

De exemplu,
, dar de asemenea
, Și
, Și
.

Sau
Și
, Și
.

Esența metodei este de a izola diferența unei anumite funcții într-un integrand dat, astfel încât această diferență izolată, împreună cu restul expresiei, să formeze o formulă tabelară pentru această funcție. Dacă este necesar, în timpul unei astfel de conversii, constantele pot fi adăugate corespunzător. De exemplu:

(în ultimul exemplu scris ln(3 + X 2) în loc de ln|3 + X 2 | , deoarece expresia este 3 + X 2 este întotdeauna pozitiv).

Exemplul 3. Aflați integralele:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
; e)
;

și)
; h)
.

Soluţie.

A) .

Aici sunt utilizate formulele 2a, 5a și 7a din tabelul 1, ultimele două fiind obținute tocmai prin subsumarea semnului diferențial:

Integrați funcții de vizualizare
apare foarte des în cadrul calculului integralelor de funcții mai complexe. Pentru a nu repeta de fiecare dată pașii descriși mai sus, vă recomandăm să vă amintiți formulele corespunzătoare date în Tabelul 1.

Formula 3 din tabelul 1 este utilizată aici.

c) În mod similar, ținând cont de faptul că , transformăm:

.

Formula 2c din tabelul 1 este utilizată aici.

G)

.

d) ;

e)

.

și) ;

h)

.

Exemplul 4. Aflați integralele:

A)
b)

V)
.

Soluţie.

a) Să transformăm:

Formula 3 din tabelul 1 este de asemenea folosită aici.

b) Folosim formula de reducere a gradului
:

Formulele 2a și 7a din tabelul 1 sunt utilizate aici.

Aici, împreună cu formulele 2 și 8 din tabelul 1, sunt utilizate și formulele din tabelul 3:
,
.

Exemplul 5. Aflați integralele:

A)
; b)

V)
; G)
.

Soluţie.

a) Munca
poate fi completat (vezi formulele 4 și 5 din Tabelul 3) la diferența funcției
, Unde AȘi b- orice constante,
. Într-adevăr, de unde
.

Atunci noi avem:

b) Folosind formula 6 din tabelul 3, avem
, și
, ceea ce înseamnă prezența în integrand a produsului
înseamnă un indiciu: sub semnul diferențial trebuie să introduceți expresia
. Prin urmare primim

c) La fel ca la punctul b), produsul
poate fi extinsă la funcții diferențiale
. Atunci obținem:

d) Mai întâi folosim proprietățile de liniaritate ale integralei:

Exemplul 6. Aflați integralele:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

Soluţie.

A)Având în vedere că
(formula 9 din tabelul 3), transformăm:

b) Folosind formula 12 din tabelul 3, obținem

c) Ținând cont de formula 11 din tabelul 3, transformăm

d) Folosind formula 16 din tabelul 3, obținem:

Exemplul 7. Aflați integralele:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

Soluţie.

A)Toate integralele prezentate în acest exemplu au o caracteristică comună: Integrandul conține un trinom pătratic. Prin urmare, metoda de calcul a acestor integrale se va baza pe aceeași transformare - izolarea pătratului complet din acest trinom pătratic.

b)

.

Metoda de substituire a unui semn diferențial este o implementare orală a unei metode mai generale de calcul a unei integrale, numită metoda substituției sau schimbarea variabilei. Într-adevăr, de fiecare dată, selectând o formulă potrivită în tabelul 1 pentru cea obţinută ca urmare a subsumării semnului diferenţial al funcţiei, am înlocuit mental litera Și functie introdusa sub semnul diferential. Prin urmare, dacă integrarea prin subsumarea semnului diferențial nu funcționează foarte bine, puteți schimba direct variabila. Mai multe detalii despre acest lucru în paragraful următor.

Deoarece acum vom vorbi doar despre integrala nedefinită, de dragul conciziei vom omite termenul „nedefinit”.

Pentru a învăța cum să calculezi integralele (sau, după cum se spune, să integrezi funcții), mai întâi trebuie să înveți tabelul integralelor:

Tabelul 1. Tabelul integralelor

2.
(
), u>0.

2a.
(α=0);

2b.
(α=1);

2c.
(α= ).

3a.

5a)

6a.

7a.

10.

10a.

11.

11a.

12.

13.

13a.

Tabelul 2. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere:

6.a .

(păcat Și) = cos Și  Și

(cos u) = – sin Și Și

Tabelul 3. Tabelul diferențial

1.
(b= Const)

2.
(
)

5.
(b= Const)

10.

11.

12.

14.

15.

16.

17.

Mai mult, aceste formule pot fi folosite fie citindu-le de la stânga la dreapta, fie de la dreapta la stânga.

Exemplul 1. Aflați integralele:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Soluţie.

A)Să transformăm integrandul împărțind termenul numărătorului la termen:

Proprietatea puterilor este folosită aici:
.

b) Mai întâi, transformăm numărătorul fracției, apoi împărțim termenul numărător cu termen la numitor:

Proprietatea grade este folosită și aici:
.

Proprietatea folosită aici este:
,
.

Formulele 2 și 5 din tabelul 1 sunt utilizate aici.

Exemplul 2. Aflați integralele:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Soluţie.

A)Să transformăm integrandul folosind identitatea trigonometrică:

Aici folosim din nou împărțirea termen cu termen a numărătorului după numitor și formulele 8 și 9 din Tabelul 1.

b) Transformăm similar, folosind identitatea
:

c) Mai întâi, împărțiți termenul numărător cu termen la numitor și scoateți constantele din semnul integral, apoi folosiți identitatea trigonometrică
:

d) Aplicați formula de reducere a gradului:

e) Folosind identități trigonometrice, transformăm:

B) Să luăm în considerare tehnica de integrare, care se numește n punându-l sub semnul diferenţial. Această tehnică se bazează pe proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:

Dacă
, apoi pentru orice funcție diferențiabilă Și = Și(X) apare:
.