Cum să găsiți toate rădăcinile unei ecuații aparținând unui segment. Aflarea rădăcinilor ecuației aparținând segmentului. O selecție de misiuni din anii anteriori

Obiectivul lecției:

O) consolidarea capacității de a rezolva ecuații trigonometrice simple;

b) învață să aleagă rădăcinile ecuații trigonometrice dintr-un interval dat

Progresul lecției.

1. Actualizarea cunoștințelor.

a)Verificarea temelor: clasa se acordă avansat teme pentru acasă– rezolvați ecuația și găsiți o modalitate de a selecta rădăcini dintr-un interval dat.

1) cos x= -0,5, unde xI [- ]. Răspuns:.

2) păcatul x= , unde xI . Raspuns: ; .

3) cos 2 x= -, unde xI. Răspuns:

Elevii notează soluția pe tablă, unii folosind un grafic, alții folosind metoda de selecție.

La ora aceasta ora lucrează pe cale orală.

Găsiți sensul expresiei:

a) tg – sin + cos + sin. Raspuns: 1.

b) 2arccos 0 + 3 arccos 1. Raspuns: ?

c) arcsin + arcsin. Răspuns:.

d) 5 arctg (-) – arccos (-). Răspuns:-.

– Să vă verificăm temele, să vă deschidem caietele cu temele.

Unii dintre voi au găsit soluția folosind metoda de selecție, iar alții folosind graficul.

2. Concluzie despre modalitățile de rezolvare a acestor sarcini și enunțarea problemei, adică comunicarea temei și a scopului lecției.

– a) Este dificil de rezolvat folosind selecția dacă este dat un interval mare.

– b) Metoda grafică nu oferă rezultate precise, necesită verificare și necesită mult timp.

– Prin urmare, trebuie să mai existe cel puțin o metodă, cea mai universală - să încercăm să o găsim. Deci, ce vom face astăzi în clasă? (Învățați să alegeți rădăcinile unei ecuații trigonometrice pe un interval dat.)

– Exemplul 1. (Elevul merge la tablă)

cos x= -0,5, unde xI [- ].

Întrebare: Ce determină răspunsul la această sarcină? (Din soluția generală a ecuației. Să scriem soluția în vedere generală). Soluția este scrisă pe tablă

x = + 2?k, unde k R.

– Să scriem această soluție sub forma unui set:

– Care credeți că este cea mai convenabilă soluție de notare pentru alegerea rădăcinilor pe un interval? (de la a doua intrare). Dar aceasta este din nou o metodă de selecție. Ce trebuie să știm pentru a obține răspunsul corect? (Trebuie să cunoașteți valorile lui k).

(Hai sa ne impacam model matematic pentru a găsi k).



deoarece kI Z, atunci k = 0, deci X= =	Din această inegalitate este clar că nu există valori întregi ale lui k.

Concluzie: Pentru a selecta rădăcini dintr-un interval dat atunci când rezolvați o ecuație trigonometrică, trebuie să:

pentru a rezolva o ecuație de forma sin x = a, cos x = a Este mai convenabil să scrieți rădăcinile ecuației ca două serii de rădăcini.
pentru a rezolva ecuații de forma tan x = a, ctg x = a notează formula generala rădăcini.
creați un model matematic pentru fiecare soluție sub forma unei inegalități duble și găsiți valoarea întreagă a parametrului k sau n.
înlocuiți aceste valori în formula rădăcină și calculați-le.

3. Consolidarea.

Rezolvați exemplele nr. 2 și nr. 3 din teme folosind algoritmul rezultat. Doi elevi lucrează la tablă în același timp, urmat de verificarea lucrării.

Pregătire pentru nivelul de specialitate al unui single examen de statîn matematică. Materiale utile despre trigonometrie, prelegeri video teoretice mari, analize video a problemelor și o selecție de sarcini din anii precedenți.

Materiale utile

Colecții video și cursuri online

Formule trigonometrice

Ilustrație geometrică a formulelor trigonometrice

Funcții arc. Cele mai simple ecuații trigonometrice

Ecuații trigonometrice

Teoria necesară pentru rezolvarea problemelor.
a) Rezolvați ecuația $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -\dfrac(3\pi)(2) \right]$.
a) Rezolvați ecuația $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ -3\pi; -\pi \right]$.
Rezolvați ecuația $\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$.
a) Rezolvați ecuația $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ -\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
a) Rezolvați ecuația $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$.
Rezolvați ecuația $\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$.
Rezolvați ecuația $\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \right)$.
a) Rezolvați ecuația $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right)$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
a) Rezolvați ecuația $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi\right]$.

Analiza video a sarcinilor

b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20) \right]$.

b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$.

b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30) \right]$.

a) Rezolvați ecuația $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \right)$.

a) Rezolvați ecuația $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[\dfrac(5\pi)(2); 4\pi \right]$.

b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.

a) Rezolvați ecuația $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[- \dfrac(5\pi)(2); -\pi \right]$.

a) Rezolvați ecuația $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.

a) Rezolvați ecuația $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[\dfrac(3\pi)(2); 3\pi \right]$.

a) Rezolvați ecuația $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.

a) Rezolvați ecuația $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$.

O selecție de misiuni din anii anteriori

a) Rezolvați ecuația $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$. (Examen de stat unificat 2018. Val timpuriu)
a) Rezolvați ecuația $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30) \right]$. (UTILIZARE 2018. Val timpuriu, zi de rezervă)
a) Rezolvați ecuația $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -2\pi; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Valul principal)
a) Rezolvați ecuația $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ 3\pi; \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Valul principal)
a) Rezolvați ecuația $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi\right]$. (USE-2018. Valul principal)
a) Rezolvați ecuația $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Valul principal)
a) Rezolvați ecuația $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$.
a) Rezolvați ecuația $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ 2\pi; \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Valul principal)
a) Rezolvați ecuația $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ \dfrac(5\pi)(2); 4\pi \right]$. (USE-2018. Valul principal)
a) Rezolvați ecuația $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ \dfrac(7\pi)(2); 5\pi \right]$. (USE-2018. Valul principal)
a) Rezolvați ecuația $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \right]$. (USE-2018. Valul principal)
a) Rezolvați ecuația $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Valul principal)
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Valul principal)
a) Rezolvați ecuația $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Val principal, zi de rezervă)
a) Rezolvați ecuația $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi\right]$. (USE-2018. Val principal, zi de rezervă)
a) Rezolvați ecuația $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$. (USE-2018. Val principal, zi de rezervă)
a) Rezolvați ecuația $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Val principal, zi de rezervă)
a) Rezolvați ecuația $x - 3\sqrt(x - 1) + 1 = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20) \right]$. (USE-2018. Val principal, zi de rezervă)
a) Rezolvați ecuația $2x\cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$. (UTILIZARE 2017, val principal, zi de rezervă)
a) Rezolvați ecuația $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$. (UTILIZARE 2017, val principal, zi de rezervă)
a) Rezolvați ecuația $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$. (UTILIZARE 2017, val principal, zi de rezervă)
a) Rezolvați ecuația $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (USE-2017, val principal)
a) Rezolvați ecuația $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (USE-2017, val principal)
a) Rezolvați ecuația $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$. (USE-2017, val principal)
a) Rezolvați ecuația $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$. (USE-2017, val principal)
a) Rezolvați ecuația $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2017, val principal)
a) Rezolvați ecuația $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$. (UTILIZARE 2017, val timpuriu)
a) Rezolvați ecuația $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$. (USE 2016, val principal, zi de rezervă)
a) Rezolvați ecuația $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$. (USE 2016, val principal, zi de rezervă)
a) Rezolvați ecuația $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) + 1$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE 2016, val principal, zi de rezervă)
a) Rezolvați ecuația $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (USE-2016, val principal)
a) Rezolvați ecuația $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (USE-2016, val principal)
a) Rezolvați ecuația $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$. (Examen de stat unificat 2016, val timpuriu)
a) Rezolvați ecuația $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right) = 0,25$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (Examen de stat unificat 2016, val timpuriu)
a) Rezolvați ecuația $\dfrac(13\sin^2 x - 5\sin x)(13\cos x + 12) = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (Examen de stat unificat 2016, val timpuriu)
a) Rezolvați ecuația $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \right)) = \sqrt(2)$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left$. (USE-2015, val principal)
a) Rezolvați ecuația $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ - \pi;\ 0\right]$. (USE-2015, val principal)
a) Rezolvați ecuația $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (USE-2015, val principal)
a) Rezolvați ecuația $\cos 2x - 5\sqrt(2)\cos x - 5 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (USE-2015, val principal)
a) Rezolvați ecuația $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (Examen de stat unificat 2015, val timpuriu)
a) Rezolvați ecuația $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (Examen de stat unificat 2015, val timpuriu)
a) Rezolvați ecuația $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$.
b) Indicaţi rădăcinile acestei ecuaţii care aparţin segmentului $\left[ \dfrac(5\pi)(2); \4\pi\right]$. (USE-2014, val principal)
a) Rezolvați ecuația $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$.
b) Indicaţi rădăcinile acestei ecuaţii aparţinând segmentului $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \3\pi\right]$. (USE-2014, val principal)
a) Rezolvați ecuația $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right) + 1 = 0$.
b) Indicaţi rădăcinile acestei ecuaţii care aparţin segmentului $\left[ -3\pi; \ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (USE-2014, val principal)
a) Rezolvați ecuația $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$.
b) Indicaţi rădăcinile acestei ecuaţii care aparţin segmentului $\left[ \dfrac(9\pi)(2); \6\pi\right]$. (Examen de stat unificat 2014, val timpuriu)
a) Rezolvați ecuația $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right)$.
b) Indicaţi rădăcinile acestei ecuaţii aparţinând segmentului $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); \ -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (USE-2013, val principal)
a) Rezolvați ecuația $6\sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$.
b) Indicaţi rădăcinile acestei ecuaţii care aparţin segmentului $\left[ -5\pi; \ - \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (USE-2012, al doilea val)

Sarcina nr. 1

Logica este simplă: vom proceda așa cum am făcut înainte, indiferent de faptul că acum funcțiile trigonometrice au un argument mai complex!

Dacă ar fi să rezolvăm o ecuație de forma:

Apoi vom scrie următorul răspuns:

Sau (din moment ce)

Dar acum rolul nostru este jucat de această expresie:

Apoi putem scrie:

Scopul nostru cu tine este să ne asigurăm că partea stângă stă simplu, fără „impurități”!

Să scăpăm treptat de ele!

În primul rând, să eliminăm numitorul de la: pentru a face acest lucru, înmulțiți egalitatea noastră cu:

Acum să scăpăm de el împărțind ambele părți:

Acum să scăpăm de cele opt:

Expresia rezultată poate fi scrisă ca 2 serii de soluții (prin analogie cu o ecuație pătratică, în care fie adunăm, fie scădem discriminantul)

Trebuie să găsim cel mai mare rădăcină negativă! Este clar că trebuie să rezolvăm.

Să ne uităm mai întâi la primul episod:

Este clar că dacă luăm, vom ajunge cu cifre pozitive, dar nu ne interesează.

Deci trebuie să o luați negativ. Lăsați-l să fie.

Când rădăcina va fi mai îngustă:

Și trebuie să găsim cel mai mare negativ!! Aceasta înseamnă că mersul în direcția negativă nu mai are sens aici. Și cea mai mare rădăcină negativă pentru această serie va fi egală cu.

Acum să ne uităm la a doua serie:

Și din nou înlocuim: , apoi:

Nu sunt interesat!

Atunci nu mai are sens să crești! Să o reducem! Lasă atunci:

Se potrivește!

Lăsați-l să fie. Apoi

Apoi - cea mai mare rădăcină negativă!

Răspuns:

Sarcina nr. 2

Rezolvăm din nou, indiferent de argumentul cosinus complex:

Acum exprimăm din nou în stânga:

Înmulțiți ambele părți cu

Împărțiți ambele părți

Rămâne doar să îl mutați spre dreapta, schimbându-i semnul din minus în plus.

Obținem din nou 2 serii de rădăcini, una cu și alta cu.

Trebuie să găsim cea mai mare rădăcină negativă. Să ne uităm la primul episod:

Este clar că vom obține prima rădăcină negativă la, va fi egală cu și va fi cea mai mare rădăcină negativă din 1 serie.

Pentru a doua serie

Prima rădăcină negativă se va obține și la și va fi egală cu. Deoarece, atunci este cea mai mare rădăcină negativă a ecuației.

Răspuns: .

Sarcina nr. 3

Rezolvăm, indiferent de argumentul tangentei complexe.

Acum, nu pare complicat, nu?

Ca și înainte, exprimăm în partea stângă:

Ei bine, este grozav, există o singură serie de rădăcini aici! Să găsim din nou cel mai mare negativ.

Este clar că se dovedește dacă îl lași jos. Și această rădăcină este egală.

Răspuns:

Acum încercați să rezolvați singur următoarele probleme.

Teme pentru acasă sau 3 sarcini de rezolvat independent.

Rezolvați ecuația.
Rezolvați ecuația.
În rădăcină re-p-shi-th-the-mai mică-posibilă.
Rezolvați ecuația.
În rădăcină re-p-shi-th-the-mai mică-posibilă.

Gata? Să verificăm. Nu voi descrie în detaliu întregul algoritm de soluție mi se pare că a primit deja suficientă atenție mai sus.

Ei bine, este totul în regulă? Oh, sinusurile alea urâte, întotdeauna există un fel de probleme cu ele!

Ei bine, acum poți rezolva ecuații trigonometrice simple!

Consultați soluțiile și răspunsurile:

Sarcina nr. 1

Să ne exprimăm

Cea mai mică rădăcină pozitivă se obține dacă punem, din moment ce, atunci

Răspuns:

Sarcina nr. 2

Cea mai mică rădăcină pozitivă se obține la.

Va fi egal.

Răspuns: .

Sarcina nr. 3

Când primim, când avem.

Răspuns: .

Aceste cunoștințe te vor ajuta să rezolvi multe probleme pe care le vei întâlni la examen.

Dacă aplicați pentru un rating „5”, atunci trebuie doar să continuați să citiți articolul pentru nivel mediu, care va fi dedicat rezolvării ecuaţiilor trigonometrice mai complexe (sarcina C1).

NIVEL MEDIU

În acest articol voi descrie rezolvarea ecuațiilor trigonometrice mai mult tip complex și cum să-și aleagă rădăcinile. Aici mă voi baza pe următoarele subiecte:

Ecuații trigonometrice pentru nivel începător (vezi mai sus).

Ecuațiile trigonometrice mai complexe stau la baza problemelor complexitate crescută. Ele necesită atât rezolvarea ecuației în sine în formă generală, cât și găsirea rădăcinilor acestei ecuații aparținând unui anumit interval dat.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice se reduce la două subsarcini:

Rezolvarea ecuației
Selectarea rădăcinilor

Trebuie remarcat faptul că al doilea nu este întotdeauna necesar, dar în majoritatea exemplelor selecția este încă necesară. Dar dacă nu este necesar, atunci vă putem simpatiza - asta înseamnă că ecuația este destul de complexă în sine.

Experiența mea în analiza problemelor C1 arată că acestea sunt de obicei împărțite în următoarele categorii.

Patru categorii de sarcini de complexitate crescută (fostul C1)

Ecuații care se reduc la factorizare.
Ecuații reduse la formă.
Ecuații rezolvate prin schimbarea unei variabile.
Ecuații care necesită o selecție suplimentară de rădăcini din cauza iraționalității sau numitorului.

Pentru a spune simplu: dacă ești prins una dintre ecuaţiile primelor trei tipuri, atunci consideră-te norocos. Pentru ei, de regulă, trebuie să selectați suplimentar rădăcinile care aparțin unui anumit interval.

Dacă întâlniți o ecuație de tip 4, atunci ești mai puțin norocos: trebuie să o faci mai mult și mai atent, dar destul de des nu necesită o selecție suplimentară de rădăcini. Cu toate acestea, voi analiza acest tip de ecuații în articolul următor, iar acesta îl voi dedica rezolvării ecuațiilor din primele trei tipuri.

Ecuații care se reduc la factorizare

Cel mai important lucru pe care trebuie să-l amintești pentru a rezolva acest tip de ecuație este

După cum arată practica, de regulă, aceste cunoștințe sunt suficiente. Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul 1. Ecuația redusă la factorizare folosind formulele de reducere și sinus cu unghi dublu

Rezolvați ecuația
Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra tăieturii

Iată, așa cum am promis, formulele de reducere funcționează:

Atunci ecuația mea va arăta astfel:

Atunci ecuația mea va lua următoarea formă:

Un student miop ar putea spune: acum voi reduce ambele părți, voi obține cea mai simplă ecuație și mă voi bucura de viață! Și se va înșela amarnic!

REȚINEȚI: NU POȚI REDUCE NICIODATĂ AMBELE FEȚE ALE ECUATIEI TRIGONOMETRICE CU O FUNCȚIE CARE CONȚINE UN NECUNOSCUT! Așa că îți pierzi rădăcinile!

Deci ce să faci? Da, este simplu, mutați totul într-o parte și eliminați factorul comun:

Ei bine, am luat-o în calcul în factori, hai! Acum să decidem:

Prima ecuație are rădăcini:

Si al doilea:

Aceasta completează prima parte a problemei. Acum trebuie să selectați rădăcinile:

Decalajul este astfel:

Sau poate fi scris și așa:

Ei bine, haideți să luăm rădăcinile:

În primul rând, să lucrăm cu primul episod (și e mai simplu, ca să spunem cel puțin!)

Deoarece intervalul nostru este în întregime negativ, nu este nevoie să luăm cele nenegative, ele vor da în continuare rădăcini nenegative.

Să o luăm, atunci - e prea mult, nu lovește.

Lasă să fie, atunci - nu l-am lovit din nou.

Încă o încercare - apoi - da, am înțeles! Prima rădăcină a fost găsită!

Trag din nou: apoi am lovit din nou!

Ei bine, încă o dată: : - acesta este deja un zbor.

Deci din prima serie sunt 2 rădăcini aparținând intervalului: .

Lucrăm cu a doua serie (construim la puterea conform regulii):

Undershoot!

Mi-a lipsit din nou!

Am înţeles!

Zbor!

Astfel, intervalul meu are următoarele rădăcini:

Acesta este algoritmul pe care îl vom folosi pentru a rezolva toate celelalte exemple. Să exersăm împreună cu încă un exemplu.

Exemplul 2. Ecuația redusă la factorizare folosind formule de reducere

Rezolvați ecuația

Soluţie:

Din nou notoriile formule de reducere:

Nu încercați să reduceți din nou!

Prima ecuație are rădăcini:

Si al doilea:

Acum din nou căutarea rădăcinilor.

Voi începe cu al doilea episod, știu deja totul despre el din exemplul anterior! Priviți și asigurați-vă că rădăcinile aparținând intervalului sunt după cum urmează:

Acum primul episod și e mai simplu:

Dacă - potrivit

Dacă și asta e bine

Dacă este deja un zbor.

Apoi rădăcinile vor fi după cum urmează:

Munca independentă. 3 ecuații.

Ei bine, tehnica este clară pentru tine? Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice nu mai pare atât de dificilă? Apoi rezolvați rapid următoarele probleme și apoi vom rezolva alte exemple:

Rezolvați ecuația
Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra intervalului.
Rezolvați ecuația
Indicați rădăcinile ecuației care se află deasupra tăieturii
Rezolvați ecuația
Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află între ele.

Ecuația 1.

Și din nou formula de reducere:

Prima serie de rădăcini:

A doua serie de rădăcini:

Începem selecția pentru decalaj

Răspuns: , .

Ecuația 2. Verificarea muncii independente.

O grupare destul de complicată în factori (voi folosi formula sinusului cu unghi dublu):

apoi sau

Acest solutie generala. Acum trebuie să selectăm rădăcinile. Problema este că nu putem spune valoarea exactă a unui unghi al cărui cosinus este egal cu un sfert. Prin urmare, nu pot să scap doar de arc cosinus - atât de păcat!

Ce pot face este să-mi dau seama că așa, așa, atunci.

Să creăm un tabel: interval:

Ei bine, prin căutări dureroase am ajuns la concluzia dezamăgitoare că ecuația noastră are o singură rădăcină în intervalul indicat: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Ecuația 3: Test de lucru independent.

O ecuație înspăimântătoare. Cu toate acestea, poate fi rezolvată destul de simplu prin aplicarea formulei sinusului cu unghi dublu:

Să o reducem cu 2:

Să grupăm primul termen cu al doilea și al treilea cu al patrulea și să scoatem factorii comuni:

Este clar că prima ecuație nu are rădăcini, iar acum să luăm în considerare a doua:

În general, aveam să mă opresc asupra rezolvării unor astfel de ecuații puțin mai târziu, dar din moment ce a apărut, nu am nimic de făcut, trebuie să o rezolv...

Ecuații de forma:

Această ecuație se rezolvă prin împărțirea ambelor părți la:

Astfel, ecuația noastră are o singură serie de rădăcini:

Trebuie să le găsim pe cele care aparțin intervalului: .

Să construim din nou un tabel, așa cum am făcut mai devreme:

Raspuns: .

Ecuații reduse la forma:

Ei bine, acum este momentul să trec la a doua porțiune de ecuații, mai ales că am vărsat deja boabele în ce constă soluția la ecuații trigonometrice de un nou tip. Dar merită repetat că ecuația este de formă

Rezolvat prin împărțirea ambelor părți la cosinus:

Rezolvați ecuația
Indicați rădăcinile ecuației care se află deasupra tăieturii.
Rezolvați ecuația
Indicați rădăcinile ecuației care se află între ele.

Exemplul 1.

Primul este destul de simplu. Deplasați-vă la dreapta și aplicați formula cosinusului cu unghi dublu:

Da! Ecuația de formă: . Împărțim ambele părți la

Facem screening rădăcină:

Decalaj:

Răspuns:

Exemplul 2.

Totul este, de asemenea, destul de banal: să deschidem parantezele din dreapta:

Identitatea trigonometrică de bază:

Sinusul unghiului dublu:

În sfârșit obținem:

Screening rădăcină: interval.

Raspuns: .

Ei bine, cum vă place tehnica, nu este prea complicată? Sper că nu. Putem face imediat o rezervă: în forma lor pură, ecuațiile care se reduc imediat la o ecuație pentru tangentă sunt destul de rare. De obicei, această tranziție (diviziunea prin cosinus) este doar o parte a unei probleme mai complexe. Iată un exemplu pe care să îl exersați:

Rezolvați ecuația
Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra tăieturii.

Să verificăm:

Ecuația poate fi rezolvată imediat este suficient să împărțiți ambele părți la:

Screening rădăcină:

Raspuns: .

Într-un fel sau altul, încă nu am întâlnit ecuații de tipul pe care tocmai l-am examinat. Cu toate acestea, este încă prea devreme să numim asta: mai există încă un „strat” de ecuații pe care nu l-am analizat. Aşa:

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin schimbarea variabilelor

Totul este transparent aici: ne uităm atent la ecuație, o simplificăm pe cât posibil, facem o înlocuire, o rezolvăm, facem o înlocuire inversă! În cuvinte, totul este foarte ușor. Să vedem în acțiune:

Exemplu.

Rezolvați ecuația: .
Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra tăieturii.

Ei bine, aici înlocuitorul în sine ni se sugerează!

Atunci ecuația noastră se va transforma în asta:

Prima ecuație are rădăcini:

Iar al doilea este cam asa:

Acum să găsim rădăcinile aparținând intervalului

Raspuns: .

Să ne uităm împreună la un exemplu puțin mai complex:

Rezolvați ecuația
Indicați rădăcinile ecuației date, situate deasupra, între ele.

Aici înlocuirea nu este imediat vizibilă, în plus, nu este foarte evidentă. Să ne gândim mai întâi: ce putem face?

Ne putem, de exemplu, să ne imaginăm

Și în același timp

Atunci ecuația mea va lua forma:

Și acum atenție, concentrează-te:

Să împărțim ambele părți ale ecuației la:

Deodată, tu și cu mine am ajuns ecuație pătratică relativ! Să facem o înlocuire, apoi obținem:

Ecuația are următoarele rădăcini:

O a doua serie neplăcută de rădăcini, dar nu se poate face nimic! Selectăm rădăcini în interval.

Trebuie să luăm în considerare și asta

De când și, atunci

Răspuns:

Pentru a consolida acest lucru înainte de a rezolva singur problemele, iată un alt exercițiu pentru tine:

Rezolvați ecuația
Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află între ele.

Aici trebuie să ții ochii deschiși: acum avem numitori care pot fi zero! Prin urmare, trebuie să fii deosebit de atent la rădăcini!

În primul rând, trebuie să rearanjez ecuația astfel încât să pot face o înlocuire adecvată. Nu mă pot gândi la nimic mai bun acum decât să rescriu tangenta în termeni de sinus și cosinus:

Acum voi trece de la cosinus la sinus folosind identitatea trigonometrică de bază:

Și, în sfârșit, voi aduce totul la un numitor comun:

Acum pot trece la ecuația:

Dar la (adică la).

Acum totul este gata pentru înlocuire:

Apoi sau

Cu toate acestea, rețineți că dacă, atunci în același timp!

Cine suferă de asta? Problema cu tangentei este că nu este definită când cosinusul este egal cu zero (se produce împărțirea la zero).

Astfel, rădăcinile ecuației sunt:

Acum cernem rădăcinile în interval:


	- se potriveste
	- exagerat

Astfel, ecuația noastră are o singură rădăcină pe interval și este egală.

Vezi tu: apariția unui numitor (la fel ca și tangenta, duce la anumite dificultăți cu rădăcinile! Aici trebuie să fii mai atent!).

Ei bine, tu și cu mine aproape am terminat de analizat ecuațiile trigonometrice, mai rămâne foarte puțin - să rezolvi singur două probleme. Aici sunt.

Rezolvați ecuația
Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra tăieturii.
Rezolvați ecuația
Indicați rădăcinile acestei ecuații, situate deasupra tăieturii.

Hotărât? Nu este foarte greu? Să verificăm:

Lucrăm după formulele de reducere:
Înlocuiți în ecuație:
Să rescriem totul prin cosinus pentru a face mai ușor înlocuirea:
Acum este ușor să faci o înlocuire:
Este clar că este o rădăcină străină, deoarece ecuația nu are soluții. Apoi:
Căutăm rădăcinile de care avem nevoie în interval
Raspuns: .
Aici înlocuitorul este imediat vizibil:
Apoi sau

- se potrivește! - se potrivește!
- se potrivește! - se potrivește!
- multe! - de asemenea, multe!
Răspuns:

Ei bine, asta este acum! Dar rezolvarea ecuațiilor trigonometrice nu se termină aici, suntem lăsați în urmă în cele mai dificile cazuri: atunci când ecuațiile conțin iraționalitate sau diferite tipuri de „numitori complecși”. Vom analiza cum să rezolvăm astfel de sarcini într-un articol pentru un nivel avansat.

NIVEL AVANSAT

Pe lângă ecuațiile trigonometrice discutate în cele două articole precedente, vom lua în considerare o altă clasă de ecuații care necesită o analiză și mai atentă. Date exemple trigonometrice conţin fie iraţionalitate, fie un numitor, ceea ce face analiza lor mai complexă. Cu toate acestea, este posibil să întâlniți aceste ecuații în partea C lucrare de examen. Cu toate acestea, fiecare nor are o căptușeală de argint: pentru astfel de ecuații, de regulă, întrebarea care dintre rădăcinile sale aparține unui anumit interval nu se mai pune. Să nu ocolim tufișul, dar să trecem direct la exemple trigonometrice.

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația și găsiți rădăcinile care aparțin segmentului.

Soluţie:

Avem un numitor care nu trebuie să fie egal cu zero! Atunci rezolvarea acestei ecuații este la fel cu rezolvarea sistemului

Să rezolvăm fiecare dintre ecuații:

Și acum al doilea:

Acum să ne uităm la serie:

Este clar că această opțiune nu ne convine, deoarece în acest caz numitorul nostru este resetat la zero (vezi formula pentru rădăcinile celei de-a doua ecuații)

Dacă, atunci totul este în ordine, iar numitorul nu este zero! Atunci rădăcinile ecuației sunt următoarele: , .

Acum selectăm rădăcinile aparținând intervalului.


	- nu este potrivit	- se potriveste
	- se potriveste	- se potriveste
	exagerat	exagerat

Apoi rădăcinile sunt după cum urmează:

Vedeți, chiar și apariția unei mici perturbări sub forma numitorului a afectat semnificativ soluția ecuației: am aruncat o serie de rădăcini care au anulat numitorul. Lucrurile se pot complica și mai mult dacă dai peste exemple trigonometrice care sunt iraționale.

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația:

Soluţie:

Ei bine, cel puțin nu trebuie să luați rădăcinile și asta e bine! Să rezolvăm mai întâi ecuația, indiferent de iraționalitate:

Deci, asta e tot? Nu, vai, ar fi prea ușor! Trebuie să ne amintim că numai numerele nenegative pot apărea sub rădăcină. Apoi:

Soluția acestei inegalități este:

Acum rămâne să aflăm dacă o parte din rădăcinile primei ecuații a ajuns din greșeală acolo unde inegalitatea nu este valabilă.

Pentru a face acest lucru, puteți utiliza din nou tabelul:


	: , Dar	Nu!
		Da!
		Da!

Astfel, una dintre rădăcinile mele „a căzut”! Se dovedește că dacă îl lași jos. Apoi răspunsul poate fi scris după cum urmează:

Răspuns:

Vedeți, rădăcina necesită și mai multă atenție! Să facem totul mai complicat: acum să am o funcție trigonometrică sub rădăcină.

Exemplul 3.

Ca și înainte: mai întâi le vom rezolva pe fiecare separat, apoi ne vom gândi la ce am făcut.

Acum a doua ecuație:

Acum cel mai greu este să afli dacă funcționează valori negative sub rădăcina aritmetică, dacă înlocuim acolo rădăcinile din prima ecuație:

Numărul trebuie înțeles ca radiani. Deoarece un radian este de aproximativ grade, atunci radianii sunt de ordinul gradelor. Acesta este colțul celui de-al doilea trimestru. Care este semnul cosinusului celui de-al doilea sfert? Minus. Ce zici de sine? Plus. Deci, ce putem spune despre expresia:

Este mai puțin de zero!

Aceasta înseamnă că nu este rădăcina ecuației.

Acum este timpul.

Să comparăm acest număr cu zero.

Cotangenta este o functie care scade in 1 sfert (cu cat argumentul este mai mic, cu atat cotangenta este mai mare). radianii sunt aproximativ grade. În același timp

de când, atunci și deci
,

Raspuns: .

Ar putea deveni mai complicat? Vă rog! Va fi mai dificil dacă rădăcina este încă o funcție trigonometrică, iar a doua parte a ecuației este din nou o funcție trigonometrică.

Cu cât mai multe exemple trigonometrice, cu atât mai bine, vezi mai jos:

Exemplul 4.

Rădăcina nu este potrivită din cauza cosinusului limitat

Acum al doilea:

În același timp, prin definiția unei rădăcini:

Trebuie să ne amintim cercul unitar: și anume acele sferturi în care sinusul este mai mic decât zero. Ce sunt aceste sferturi? Al treilea și al patrulea. Atunci ne vor interesa acele soluții ale primei ecuații care se află în al treilea sau al patrulea trimestru.

Prima serie oferă rădăcini situate la intersecția celui de-al treilea și al patrulea sferturi. A doua serie - diametral opusă acesteia - dă naștere la rădăcini situate la granița primului și al doilea sferturi. Prin urmare, această serie nu este potrivită pentru noi.

Raspuns: ,

Și din nou exemple trigonometrice cu „iraționalitate dificilă”. Nu numai că avem din nou funcția trigonometrică sub rădăcină, dar acum este și în numitor!

Exemplul 5.

Ei bine, nu se poate face nimic - facem ca înainte.

Acum lucrăm cu numitorul:

Nu vreau să rezolv inegalitatea trigonometrică, așa că voi face ceva inteligent: voi lua și voi înlocui seria mea de rădăcini în inegalitate:

Dacă - este par, atunci avem:

deoarece toate unghiurile de vedere se află în al patrulea sfert. Și din nou întrebarea sacră: care este semnul sinusului în al patrulea trimestru? Negativ. Apoi inegalitatea

Dacă -impar, atunci:

În ce sfert se află unghiul? Acesta este colțul celui de-al doilea trimestru. Apoi, toate colțurile sunt din nou colțurile celui de-al doilea sfert. Sinusul de acolo este pozitiv. Exact ce ai nevoie! Deci seria:

Se potrivește!

Ne ocupăm de a doua serie de rădăcini în același mod:

Inlocuim in inegalitatea noastra:

Dacă - chiar, atunci

Colțuri din primul sfert. Sinusul de acolo este pozitiv, ceea ce înseamnă că seria este potrivită. Acum, dacă - impar, atunci:

se potriveste si!

Ei bine, acum scriem răspunsul!

Răspuns:

Ei bine, acesta a fost poate cel mai laborios caz. Acum iti propun probleme de rezolvat singur.

Antrenamentul

Rezolvați și găsiți toate rădăcinile ecuației care aparțin segmentului.

Solutii:

Prima ecuație:
sau
ODZ al rădăcinii:
A doua ecuație:
Selectarea rădăcinilor care aparțin intervalului
Răspuns:

Sau
sau
Dar

Să luăm în considerare: . Dacă - chiar, atunci
- nu se potriveste!
Dacă - ciudat, : - potrivit!
Aceasta înseamnă că ecuația noastră are următoarea serie de rădăcini:
sau
Selectarea rădăcinilor în interval:


	- nu este potrivit	- se potriveste
	- se potriveste	- mult
	- se potriveste	multe

Răspuns: , .

Sau
Din moment ce, atunci tangenta nu este definită. Aruncăm imediat această serie de rădăcini!

A doua parte:

Totodată, potrivit DZ se cere ca

Verificăm rădăcinile găsite în prima ecuație:

Dacă semnul:

Unghiurile primului sfert în care tangenta este pozitivă. Nu se potrivește!
Dacă semnul:

Colțul al patrulea sfert. Acolo tangenta este negativă. Se potrivește. Scriem răspunsul:

Răspuns: , .

Am analizat împreună exemple trigonometrice complexe în acest articol, dar ar trebui să rezolvați singur ecuațiile.

REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

O ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul se află strict sub semn functie trigonometrica.

Există două moduri de a rezolva ecuații trigonometrice:

Prima modalitate este utilizarea formulelor.

A doua cale este prin cercul trigonometric.

Vă permite să măsurați unghiuri, să găsiți sinusurile, cosinusurile, etc.

Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!

O egalitate care conține o necunoscută sub semnul unei funcții trigonometrice (`sin x, cos x, tan x` sau `ctg x`) se numește ecuație trigonometrică, iar formulele lor le vom lua în considerare în continuare.

Cele mai simple ecuații se numesc `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, unde `x` este unghiul care trebuie găsit, `a` este orice număr. Să notăm formulele rădăcinilor pentru fiecare dintre ele.

1. Ecuația `sin x=a`.

Pentru `|a|>1` nu are soluții.

Când `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ecuația `cos x=a`

Pentru `|a|>1` - ca si in cazul sinusului, solutii intre numere reale nu are.

Când `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Cazuri speciale pentru sinus și cosinus în grafice.

3. Ecuația `tg x=a`

Are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ecuația `ctg x=a`

Are, de asemenea, un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice din tabel

Pentru sinus:
Pentru cosinus:
Pentru tangentă și cotangentă:
Formule pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin funcții trigonometrice inverse:

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

Rezolvarea oricărei ecuații trigonometrice constă în două etape:

cu ajutorul transformării în cel mai simplu;
rezolvați cea mai simplă ecuație obținută folosind formulele rădăcinilor și tabelele scrise mai sus.

Să ne uităm la principalele metode de soluție folosind exemple.

Metoda algebrică.

Această metodă implică înlocuirea unei variabile și substituirea acesteia într-o egalitate.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faceți o înlocuire: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, apoi `2y^2-3y+1=0`,

găsim rădăcinile: `y_1=1, y_2=1/2`, din care urmează două cazuri:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Răspuns: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorizarea.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `sin x+cos x=1`.

Soluţie. Să mutăm toți termenii egalității la stânga: `sin x+cos x-1=0`. Folosind , transformăm și factorizăm partea stângă:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Răspuns: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducere la o ecuație omogenă

În primul rând, trebuie să reduceți această ecuație trigonometrică la una dintre cele două forme:

`a sin x+b cos x=0` (ecuația omogenă de gradul I) sau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ecuația omogenă de gradul II).

Apoi împărțiți ambele părți la `cos x \ne 0` - pentru primul caz și la `cos^2 x \ne 0` - pentru al doilea. Obținem ecuații pentru `tg x`: `a tg x+b=0` și `a tg^2 x + b tg x +c =0`, care trebuie rezolvate folosind metode cunoscute.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Soluţie. Să scriem partea dreaptă ca `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Aceasta este o ecuație trigonometrică omogenă de gradul doi, împărțim laturile ei stânga și dreapta la `cos^2 x \ne 0`, obținem:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Să introducem înlocuirea `tg x=t`, rezultând `t^2 + t - 2=0`. Rădăcinile acestei ecuații sunt `t_1=-2` și `t_2=1`. Apoi:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Trecerea la jumătate de unghi

Exemplu. Rezolvați ecuația: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Soluţie. Să aplicăm formulele unghiului dublu, rezultând: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Aplicând cele de mai sus metoda algebrică, obținem:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introducerea unghiului auxiliar

În ecuația trigonometrică `a sin x + b cos x =c`, unde a,b,c sunt coeficienți și x este o variabilă, împărțiți ambele părți la `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Coeficienții din stânga au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume suma pătratelor lor este egală cu 1 și modulele lor nu sunt mai mari de 1. Să-i notăm astfel: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, atunci:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Să aruncăm o privire mai atentă la următorul exemplu:

Exemplu. Rezolvați ecuația: `3 sin x+4 cos x=2`.

Soluţie. Împărțim ambele părți ale egalității la `sqrt (3^2+4^2)`, obținem:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Să notăm `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Deoarece `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, atunci luăm `\varphi=arcsin 4/5` ca unghi auxiliar. Apoi scriem egalitatea noastră sub forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicând formula pentru suma unghiurilor pentru sinus, scriem egalitatea noastră în următoarea formă:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ecuații trigonometrice raționale fracționale

Acestea sunt egalități cu fracții ai căror numărători și numitori conțin funcții trigonometrice.

Exemplu. Rezolvați ecuația. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Soluţie. Înmulțiți și împărțiți partea dreaptă a egalității cu `(1+cos x)`. Ca rezultat obținem:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Având în vedere că numitorul nu poate fi egal cu zero, obținem `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Să echivalăm numărătorul fracției cu zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Apoi `sin x=0` sau `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Având în vedere că ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, soluțiile sunt `x=2\pi n, n \in Z` și `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Răspuns. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometria, și în special ecuațiile trigonometrice, sunt folosite în aproape toate domeniile geometriei, fizicii și ingineriei. Studiul începe în clasa a X-a, există întotdeauna sarcini pentru examenul de stat unificat, așa că încercați să vă amintiți toate formulele ecuațiilor trigonometrice - vă vor fi cu siguranță utile!

Cu toate acestea, nici nu trebuie să le memorați, principalul lucru este să înțelegeți esența și să o puteți deriva. Nu este atât de dificil pe cât pare. Vedeți singuri vizionand videoclipul.

O) Rezolvați ecuația 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Arată soluția

Soluţie

O) Deschizând parantezele și mutând toți termenii în partea stângă, obținem ecuația 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Avand in vedere ca \cos x \neq 0, termenul 2 \sin x poate fi inlocuit cu 2 tan x \cos x, se obtine ecuatia 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,

1) care prin grupare se poate reduce la forma (1-tg x)(1-2 \cos x)=0. 1-tg x=0, tan x=1,

2) x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z; 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12,

b) x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z. Folosind cercul numeric, selectați rădăcinile aparținând intervalului

\left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) Răspuns \frac\pi 4+\pi n,

b) \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3,

\frac(9\pi )4.

O) Stare Rezolvați ecuația

b)(2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0. Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului

Arată soluția

Soluţie

O)\left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ; ODZ:

Ecuația originală de pe ODZ este echivalentă cu un set de ecuații

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(matrice)\dreapta.

Să rezolvăm prima ecuație. Pentru a face acest lucru, vom face o înlocuire \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Atunci \sin^24x=1-t^2.

Primim:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0, t_1=\frac12,

t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Să rezolvăm a doua ecuație.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Folosind cercul unitar, găsim soluții care satisfac ODZ.

Semnul „+” marchează sferturile 1 și 3, în care tg x>0. Se obține: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z;

b) x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. Să găsim rădăcinile aparținând intervalului

\left(0;\,\frac(3\pi )2\right]. x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12);

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) x=\frac(17\pi )(12). \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z;

b) \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12);

\frac(17\pi )(12). Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivel de profil

\frac(9\pi )4.

O)" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Rezolvați ecuația:

b)\cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3; Enumerați toate rădăcinile care aparțin intervalului

Arată soluția

Soluţie

O)\left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right]. Deoarece\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Că\sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, Mijloace, ecuația dată

este echivalentă cu ecuația \cos^2x=\cos ^22x, care, la rândul ei, este echivalentă cu ecuația \cos^2x-\cos ^2 2x=0. Dar \cos ^2x-\cos ^22x=(\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)

Şi

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, deci ecuația devine(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot

(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Atunci fie 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, fie 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Rezolvând prima ecuație ca o ecuație pătratică pentru \cos x, obținem:(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Prin urmare fie \cos x=1 fie\cos x=-\frac12. Dacă \cos x=1, atunci x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Dacă\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, \cos x=-\frac12,

x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z. În mod similar, rezolvând a doua ecuație, obținem fie \cos x=-1, fie\cos x=\frac12. Dacă \cos x=-1, atunci rădăcinile x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Dacă\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, \cos x=\frac12,

x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Să combinăm soluțiile obținute: x=m\pi , m \in \mathbb Z;

b) Să selectăm rădăcinile care se încadrează într-un interval dat folosind un cerc numeric.

Primim: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

\frac(9\pi )4.

O) Stare 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).

Arată soluția

Soluţie

O) 1. Conform formulei de reducere, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. Domeniul de definire al ecuației va fi astfel de valori ale lui x astfel încât \cos x \neq 0 și tan x \neq -1. Să transformăm ecuația folosind formula cosinusului cu unghi dublu 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Obținem ecuația:

5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx). Rețineți că \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), deci ecuația devine: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). De aici \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx),

\cos x+\sin x =\frac65. 2. Transformați \sin x+\cos x folosind formula de reducere și formula sumei cosinusurilor: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) =

\frac65. De aici\cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Mijloace, x-\frac\pi 4=

arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z, Mijloace, sau

-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z. De aceea

arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z, x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

b) Valorile găsite ale lui x aparțin domeniului definiției. Să aflăm mai întâi unde cad rădăcinile ecuației la k=0 și t=0. Acestea vor fi numere în consecință a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5

Şi

b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.<\frac{3\sqrt 2}2<1.

1. Să demonstrăm inegalitatea auxiliară: \frac(\sqrt 2)(2)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

într-adevăr, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<1^2=1, De asemenea, rețineți că \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1.

Mijloace (1) \frac(3\sqrt 2)5

2. Din inegalităţi

\frac65. Prin proprietatea arccosinus obținem:<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

arccos 1 \frac\pi 4+0

De asemenea,<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< -\frac\pi 4<\frac\pi 2,

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4

\frac\pi 4 Pentru k=-1 și t=-1 obținem rădăcinile ecuației a-2\pi și b-2\pi.\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).

În același timp -2\pi 2\pi

Pentru alte valori ale lui k și t, rădăcinile ecuației nu aparțin intervalului dat.

Într-adevăr, dacă k\geqslant 1 și t\geqslant 1, atunci rădăcinile sunt mai mari decât 2\pi. Dacă k\leqslant -2 și t\leqslant -2, atunci rădăcinile sunt mai mici

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) -\frac(7\pi )2.

b) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

\frac(9\pi )4.

O) Stare -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

b)\sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

Arată soluția

Soluţie

O) Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului ;

Să transformăm ecuația:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

b) x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

Găsim rădăcinile aparținând segmentului folosind cercul unitar. Intervalul indicat conține un singur număr

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) \frac\pi 2. \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

b) Intervalul indicat conține un singur număr

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

\frac(9\pi )4.

(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

nu este inclusă în DZ. Mijloace,

\sin x \neq 1. Împărțiți ambele părți ale ecuației cu un factor(\sin x-1), diferit de zero. Obținem ecuația\frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), sau ecuație 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Aplicând formula de reducere în partea stângă și formula de reducere în dreapta, obținem ecuația 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Această ecuație este prin substituție\cos x=t, Unde-1 \leqslant t \leqslant 1 reduceți-l la pătrat: 2t^2+t-1=0, ale căror rădăcini Acestea vor fi numere în consecință t_1=-1 t_2=\frac12. Revenind la variabila x, obținem\cos x = \frac12 sau\cos x=-1, unde x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k,

b) k \in \mathbb Z.

Să rezolvăm inegalitățile

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,) 3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, x=\pi +2\pi k,

1) n, -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56 ,

-\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12)..

2) \left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right] -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6),

-\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12). Nu există numere întregi în interval

3) \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\dreapta]. -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Această inegalitate este satisfăcută de k=-1, apoi x=-\pi.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, 3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, k \in \mathbb Z;

b) -\pi .


	- se potrivește!	- se potrivește!
	- se potrivește!	- se potrivește!
	- multe!	- de asemenea, multe!