Ir teikts, ka funkcija ir iekšā
Novads D. vietējais maksimums(minimums) Ja ir tik kaimiņattiecību lasītājs
Par katru punktu
kas tiek veikta nevienlīdzība

Ja funkcija ir punktā
vietējo maksimālo vai vietējo minimumu, tad viņi saka, ka tai ir šajā brīdī vietējais ekstrēms(vai. \\ t Just Extremum).

Teorēma (nepieciešamais nosacījums ekstrēmuma esamībai). Ja ekstrēmuma diferencētās funkcijas punktā
, tad katrs privātais atvasinājums no pirmā pasūtījuma no funkcijas Šajā brīdī palielina nulli.

Punkti, kuros visi privātie atvasinājumi pirmās kārtas apelācijas uz nulli sauc stacionārās funkcijas funkcijas
. Šo punktu koordinātas var atrast, izlemjot sistēmu no vienādojumi

.

Nepieciešamo nosacījumu ekstrēmuma esamībai diferencējamas funkcijas gadījumā var īsumā formulēt šādi: \\ t

Ir gadījumi, kad regulāri norāda uz dažiem privātiem atvasinājumiem ir nebeidzamas vērtības vai nepastāv (kamēr pārējie ir nulle). Šādi punkti tiek saukti kritiskie funkcijas punkti.Šie punkti arī ir jāuzskata par "aizdomīgiem" uz ekstrēmu, kā arī stacionāru.

Divu mainīgo lielumu gadījumā priekšnoteikums Estrēmum, proti, līdztiesības nulle privāto atvasinājumu (diferenciāli) pie ekstrēmuma punktā, ir ģeometriska interpretācija: pieskare
estrira punktā jābūt paralēli plaknei
.

20. Pietiekami nosacījumi ekstrēmuma esamībai

Izpilde kādā brīdī nepieciešamo nosacījumu pastāvēšanas ekstrēms negarantē klātbūtni ekstrēms tur. Piemēram, jūs varat veikt diferenciālo funkciju diferencēšanu
. Abi no saviem privātajiem atvasinājumiem, gan paša funkcija pārsūdzas līdz nullei.
. Tomēr jebkurā šā punkta apkārtnē ir gan pozitīvs (liels
) un negatīvs (mazāks)
) Šīs funkcijas vērtības. Līdz ar to šajā brīdī pēc definīcijas ekstrēmums netiek ievērots. Tāpēc ir nepieciešams zināt pietiekamus apstākļus, kādos punkts, aizdomīgs ekstrēmum, ir pētījuma funkcijas ekstrēmums.

Apsveriet divu mainīgo funkciju gadījumu. Pieņemsim, ka funkcija
tas ir noteikts nepārtraukti un ir nepārtraukti privātiem atvasinājumiem otrā kārtībā ieskaitot tuvumā noteiktā jautājumā.
kas ir fiksēta punkta funkcija
tas ir, atbilst nosacījumiem

,
.

Mēs ieviešam apzīmējumu:

Teorēma (pietiekami apstākļi ekstrēmuma esamībai). Ļaujiet funkcijai
atbilst iepriekš minētajiem nosacījumiem, proti: diferencēt dažās stacionārā punkta apkārtnē
un divreiz atšķiras pašā punktā
. Tad, ja


Ja
Šī funkcija
punktā
sasniedz

vietējais maksimumspriekš
un

vietējais minimumspriekš
.

Kopumā funkciju
pietiekams nosacījums pastāvēšanai vietā
vietējaisminimums(maksimums) ir pozitīvs(negatīvs) Otrā diferenciālā definīcija.

Citiem vārdiem sakot, šāds paziņojums ir pareizi.

Teorēma . Ja tajā brīdī
par funkciju

ikvienam, kas nav vienāds tajā pašā laikā nulle
Tad šajā brīdī funkcija ir minimums(līdzīgs maksimums, ja
).

18. piemērs.Atrast punktus Vietējās ekstrēmuma funkcijas

Lēmums. Mēs atrodam privātus atvasinājumus un pielīdzinām tos nullei:

Šīs sistēmas risināšana, mēs atrodam divus iespējamos ekstrēmuma punktus:

Mēs atradīsim privātus atvasinājumus otrā pasūtījuma šai funkcijai:

Tādēļ pirmajā stacionārajā punktā, un
Tāpēc šim punktam ir vajadzīgs papildu pētījums. Nozīmē funkciju
Šajā brīdī ir nulle:
Tālāk,

priekš

bet

priekš

Līdz ar to jebkurā punkta apkārtnē
funkcija
ņem vērtības kā liels
un mazāks
un, tad tajā brīdī
funkcija
Pēc definīcijas tas nav vietējais ekstrēmums.

Otrajā stacionārajā punktā



tāpēc, tāpēc, ka
tad vietā
funkcijai ir vietējais maksimums.

Definīcija: Punktu x0 punktu sauc par vietējo maksimālo (vai minimālo) punktu, ja dažās x0 punkta apkārtnē funkcija aizņem vislielāko (vai mazāko) vērtību, ti. Visiem X no XX punkta apkārtnē tiek veikts nosacījums F (x) f (x0) (vai F (x) f (x0)).

Vietējie maksimāli vai minimālie punkti ir apvienoti kopējais nosaukums - vietējās ekstrēmuma funkcijas punkti.

Ņemiet vērā, ka vietējā ekstrēmuma punktos, funkcija sasniedz vislielāko vai vismazāk nozīme Tikai vietējā teritorijā. Var būt gadījumi, kad weaxuin vērtība.

Nepieciešamā zīme par vietējās ekstrēmuma funkcijas esamību

Teorēma . Ja nepārtrauktā funkcija Y \u003d F (x) ir vietējais ekstrēmums x0 punktā, tad šajā brīdī pirmais atvasinājums ir nulle vai neeksistē, t.i. Vietējais ekstrēmums notiek kritiskajos veidlapas punktos I.

Vietējos ekstrēmuma punktos vai nu 0x ass tangenciālā ass vai ir divi tangenti (skatīt attēlu). Ņemiet vērā, ka ir nepieciešami kritiskie punkti, bet vietējā ekstrēmuma trūkums. Vietējais ekstrēmums notiek tikai I tipa kritiskajos punktos, bet vietējais ekstrēmums notiek visos kritiskajos punktos.

Piemēram: Cubic Parabola Y \u003d X3, ir kritisks punkts x0 \u003d 0, kurā atvasinājums Y / (0) \u003d 0, bet kritiskais punkts x0 \u003d 0 nav ekstrēmum punkts, un ir pieplūdes punkts (skatīt zemāk).

Pietiekama vietējā ekstrēmuma funkcijas esamība

Teorēma . Ja no argumenta pārejas laikā caur kritisko punktu I ģints pa kreisi pa labi no pirmā atvasinājuma / (x)

maina zīmi no "+" uz "-", nepārtrauktai funkcijai (X) šajā kritiskajā punktā ir vietējais maksimums;

maina zīmi no "-" uz "+", tad nepārtrauktā funkcija (x) ir vietējā minimums šajā kritiskajā punktā

nemaina zīmi, tad šajā kritiskajā brīdī nav vietējā ekstrēmuma, ir pieplūdes punkts.

Vietējo maksimumu funkcijas pieauguma (Y / 0) laukums tiek aizstāts ar lielāku funkcijas platību (Y / 0). Par vietējo minimumu, samazinājuma reģions funkcijas (Y / 0) aizstāj ar platību palielināt funkciju (Y / 0).

Piemērs: Izpētīt funkciju y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 monotonijā, ekstrēmumā un veidojiet funkcijas grafiku.

Mēs atradīsim kritiskos punktus i no ģints, nosakot atvasinājumu (Y /) un pielīdzinot to ar nulli: at / \u003d 3x2 + 18x + 15 \u003d 3 (x2 + 6x + 5) \u003d 0

Pārpest laukums trīs samazinās, izmantojot diskriminējošu:

x2 + 6x + 5 \u003d 0 (a \u003d 1, b \u003d 6, c \u003d 5) d \u003d, x1k \u003d -5, x2k \u003d -1.

2) Mēs salauzt ciparu asi ar kritiskiem punktiem 3 apgabaliem un mēs definējam atvasinājuma pazīmes (Y /). Saskaņā ar šīm pazīmēm mēs atradīsim funkciju pieaugumu un samazināšanos) un mainot pazīmes, lai noteiktu vietējā ekstrēmuma punktus (maksimāli un minimāli).

Pētījuma rezultāti tiks iesniegti tabulas veidā, no kura var izdarīt šādus secinājumus:

  • 1. Attiecībā uz intervālu / (- 10) 0, funkcija monotoniski palielinās (atzīmēja derivatūras y, tika lēsts pie kontroles punktu X \u003d -10, kas ņemts šajā intervālā);
  • 2. Par intervālu (-5; -1) in / (- 2) 0, funkcija monotoniski samazinās (apzīmējums atvasinājuma Y tika lēsta kontroles punktā x \u003d -2, kas veikti šajā intervālā);
  • 3. Par intervālu / (0) 0, funkcija monotoni palielina (zīme atvasinājuma Y tika lēsts pie kontroles punktu x \u003d 0, kas pieņemts šajā intervālā);
  • 4. Pārejot caur kritisko punktu X1K \u003d -5, atvasinājums maina zīmi no "+" uz "-", tāpēc šis punkts ir vietējais maksimālais punkts
  • (Ymax (-5) \u003d (-5) 3 + 9 (-5) 2 +15 (-5) -9 \u003d -125 + 225 - 75 - 9 \u003d 16);
  • 5. Pārejot caur kritisko punktu X2K \u003d -1, atvasinājums maina zīmi no "-" uz "+", tāpēc šis punkts ir vietējais minimālais punkts
  • (Ymin (-1) \u003d -1 + 9 - 15 - 9 \u003d - 16).

x -5 (-5; -1) -1

3) grafika veidošana, lai sekotu pētījuma rezultātiem, piesaistot papildu funkciju funkciju aprēķinus pārbaudes punktos:

mēs veidojam taisnstūra koordinātu sistēmu OHU;

mēs parādām maksimālo punktu koordinātas (-5; 16) un minimālo (-1; -16);

lai noskaidrotu grafiku, mēs aprēķinām funkcijas vērtību kontroles punktos, izvēloties tos pa kreisi un pa labi uz maksimālajiem punktiem un minimālo un vidējo intervālu, piemēram: Y (-6) \u003d (- 6) 3 +9 (-6) 2 + 15 (-6) -9 \u003d 9; y (-3) \u003d (- 3) 3 + 9 (-3) 2 + 15 (-3) -9 \u003d 0;

(0) \u003d -9 (-6; 9); (-3; 0) un (0; -9) - aprēķinātie kontroles punkti, kas tiek izmantoti, lai izveidotu grafiku;

rādīt grafiku līknes veidā, izlaižot pie maksimālā punkta un izlaižot minimālā vietā un iet caur aprēķinātajiem kontroles punktiem.

\u003e\u003e galējības

Galējā funkcija

Estremuma noteikšana

Funkcija y \u003d f (x) sauc pieaugošs (dilstošs) Dažos intervālos, ja pie x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) > F (x 2)).

Ja diferenciālā funkcija y \u003d f (x) uz segmenta palielinās (samazinās), tad tā atvasinājums šajā segmentā f " (x)> 0

(f "(x)< 0).

Punkts x. par izsaukts vietējā maksimuma punkts (minimums) Funkcijas f (x) ja ir apkārtne x O. Visiem punktiem ir uzticīgs nevienlīdzība F (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

Maksimālais un minimālais punktu sauc estrira punktiun funkcijas vērtības šajos punktos - tā galējības.

Estrira punkti

Nepieciešamie ekstrēmuma apstākļi . Ja punkts x. par ir ekstrēmum f punkts (x), tad vai nu f " (x o) \u003d 0 vai f(x o) nepastāv. Šādi punkti tiek saukti kritisks Turklāt pati funkcija ir definēta kritiskā punktā. Galējā funkcija būtu jāmeklē tās kritisko punktu vidū.

Pirmo pietiekamo stāvokli. Ļaut būt x. par - kritiskais punkts. Ja f " (x) pārslēdzoties caur punktu x. par maina zīmi plus uz mīnus, tad tajā brīdī x O. Funkcijai ir maksimāli, citādi, minimums. Ja pārejas laikā caur kritisko punktu atvasinājums nemaina zīmi, tad tajā brīdī x. par Estrēmum nav.

Otrais pietiekamais stāvoklis. Ļaujiet funkcijai f (x) būt
f " (x) punkta apkārtnē x. par un otrais atvasinājums pašā brīdī x O. . Ja f "(x O.) = 0, >0 ( <0), то точка x O. Tas ir vietējā minimālā (maksimālā) funkcijas punkts f (x). Ja \u003d 0, tad jums ir nepieciešams izmantot pirmo pietiekamo stāvokli vai piesaistīt augstāko.

Uz segmenta funkcija Y \u003d F (x) var sasniegt mazāko vai lielāko vērtību vai kritiskos punktus, vai arī segmenta galos.

3.22. Piemērs.

Lēmums.Kā f. " (

Uzdevumi ekstrēmuma funkciju meklēšanai

3.23. Piemērs. a.

Lēmums. x. un y. y.
0 ≤ x.≤
\u003e 0, un kad x\u003e A / 4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Funkcijas kV.. elfs).

3.24. Piemērs.p ≈

Lēmums.p P.
S "
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

3.22. Piemērs.Atrast Extrsmas funkciju f (x) \u003d 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Lēmums.Kā f. " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), tad funkcijas x 1 \u003d 2 un x 2 \u003d 3. galējības var būt tikai šajos punktos. Tā kā pārslēdzot caur punktu x 1 \u003d 2, atvasinājums maina zīmi plus uz mīnus, tad šajā brīdī funkcija ir maksimāli. Pārslēdzot caur x 2 \u003d 3, atvasinājums maina zīmi, atskaitot plus, tāpēc vismaz x 2 \u003d 3 funkcijā vismaz. Aprēķiniet funkciju vērtības punktos
x 1 \u003d 2 un x 2 \u003d 3, mēs atrodam funkcijas ekstrēmus: maksimālais F (2) \u003d 14 un vismaz f (3) \u003d 13.

3.23. Piemērs.Tas ir nepieciešams, lai izveidotu taisnstūra platformu pie akmens sienas, lai tas ir urbti off ar stiepļu sietu no trim pusēm, un blakus sienu pie sienas. Šim nolūkam ir pieejams a. Running acu modeļi. Ar kādu aspektu attiecību būs augstākā platība?

Lēmums.Apzīmē vietnes pusi x. un y. . Platība ir vienāda ar S \u003d XY. Ļaut būt y. - tas ir sienas blakus esošā sienas garums. Tad, ar nosacījumu, līdztiesība 2x + y \u003d A jāveic. Tāpēc y \u003d A - 2x un S \u003d X (A - 2X), kur
0 ≤ x.≤ a / 2 (vietas garums un platums nevar būt negatīvs).S "\u003d A - 4x, A - 4x \u003d 0 pie X \u003d A / 4, no kurienes
Y \u003d A - 2 × A / 4 \u003d A / 2. Ciktāl x \u003d A / 4 ir vienīgais kritiskais punkts, pārbaudiet, vai zīme pārejas laikā mainās caur šo punktu. Ar X A / 4 S "\u003e 0, un kad x\u003e A / 4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Funkcijas S (A / 4) \u003d A / 4 (A - A / 2) \u003d 2/8 (kV.. elfs). Tā kā S ir nepārtraukts un tās vērtības S (0) un S (A / 2) galos ir nulle, konstatētā vērtība būs vislielākā funkciju vērtība. Tādējādi visizdevīgākais vietnes proporcija šajos problēmas apstākļos ir y \u003d 2x.

3.24. Piemērs.Tas ir nepieciešams, lai izveidotu slēgtu cilindrisku tvertni ar jaudu v \u003d 16p ≈ 50 m 3. Kas būtu tvertnes izmēri (r rādiuss un augstums h), lai vismazāk izmantotu materiālu apjoms tā ražošanā?

Lēmums.Cilindra kopējās virsmas platība ir S \u003d 2p. R (r + h). Mēs zinām, tilpums cilindra v \u003dp r 2 h þ h \u003d v / p r 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R2. Tātad, s (r) \u003d 2p. (R 2 + 16 / R). Atrodiet šīs funkcijas atvasinājumu:
S "(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R2) \u003d 4 P (R- 8 / R2). S " (R) \u003d 0 pie R3 \u003d 8, tāpēc,
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

$ E apakšgrupa MathBB (R) ^ (n) $. Ir teikts, ka $ F $ ir vietējais maksimums Punktā x_ (0) \\ t e $, ja ir tāda apkārtne $ u $ punktiem $ x_ (0) $, ka visiem $ x u $, nevienlīdzība ir $ f \\ pa kreisi (x \\ t pa labi) leqlant f \\ pa kreisi (x_ (0) labo) $.

Vietējā maksimālā summa stingrs Ja $ u $ var izvēlēties, lai visiem $ x u $, atšķiras no $ x_ (0) $, tur bija $ F \\ pa kreisi (x labo)< f\left(x_{0}\right)$.

Definīcija
Ļaujiet $ f $ būt faktiskā funkcija atvērtā Set $ \u200b\u200bE apakšgrupa MathBB (R) ^ (n) $. Ir teikts, ka $ F $ ir vietējais minimums Punktā $ x_ (0) \\ t e $, ja ir tāda apkārtnē $ u $ punkti $ x_ (0) $, ka visiem $ x u $, nevienlīdzība $ f \\ pa kreisi (x \\ Pa labi) \\ GEQLANT F \\ T pa kreisi (x_ (0) labo) $.

Vietējo minimumu sauc par stingru, ja $ u $ var izvēlēties, lai visiem $ x u $, atšķiras no $ x_ (0) $, tur bija $ f, pa kreisi (x labajā)\u003e f \\ t Pa kreisi (x_ (0) labajā) $.

Vietējā ekstrēmums apvieno vietējā minimuma jēdzienus un vietējo maksimumu.

Teorēma (nepieciešamais nosacījums ekstrēmuma diferencējamas funkcijas)
Ļaujiet $ f $ būt faktiskā funkcija atvērtā Set $ \u200b\u200bE apakšgrupa MathBB (R) ^ (n) $. Ja punktu x_ (0) \\ t e $, $ F funkcija ir vietējais ekstrēmums un šajā brīdī, tad $$ teksts (d) f \\ pa kreisi (x_ (0) labajā) \u003d 0. $$ Līdztiesība nulle atšķirība ir līdzvērtīga faktu, ka visi ir nulle, t.i. $$ DisplayStyle FRAC (Daļēji f) (Daļēji X_ (i)) \\ T pa kreisi (x_ (0) labajā) \u003d 0. $$

Viendimensiju gadījumā tas ir. Apzīmējiet līdz $ phi \\ pa kreisi (t labajā) \u003d f \\ pa kreisi (x_ (0) + th labā) $, kur $ h $ ir patvaļīgs vektors. Funkcija $ phi $ ir definēts ar pietiekami mazām modulo vērtībām $ t $. Turklāt, saskaņā ar, tas ir diferencējams, un $ (\\ Phi) '\\ pa kreisi (t labajā) \u003d teksts (d) f \\ pa kreisi (x_ (0) + th labo) h $.
Ļaujiet $ F $ ir vietējais maksimums $ 0 $ punktu. Tas nozīmē, ka funkcija $ \\ Phi $ ar $ t \u003d 0 $ ir vietējais maksimums, un, saskaņā ar lauksaimniecības teorēmu, $ (Phi) '\\ pa kreisi (0 labajā) \u003d 0 $.
Tātad, mēs saņēmām, ka $ df \\ pa kreisi (x_ (0) labajā) \u003d 0 $, ti.e. Funkcijas $ F $ pie punkta X_ (0) $ ir nulle par jebkuru vektoru $ h $.

Definīcija
Punkti, kuros diferenciālis ir nulle, t.sk. Tāds, kuros visi privātie atvasinājumi ir nulle, tiek saukti par stacionāru. Kritiskie punkti Funkcijas $ F $ sauc par tādiem punktiem, kuros $ F $ nav diferencēts vai vienāds ar nulli. Ja punkts ir stacionārs, tas vēl nav sekot, ka šajā brīdī funkcija ir ekstrēms.

1. piemērs.
Ļaujiet $ F, pa kreisi (x, y labajā) \u003d x ^ (3) + y ^ (3) $. Tad $ \\ DOMYStyle FRAC (Daļēja f) (Daļēji x) \u003d 3 \\ CDOT X ^ (2) $, $ r displayStyle FRAC (Daļēji f) (Daļēji Y) \u003d 3 \\ T CDOT Y ^ (2 ) $, tāpēc $ \\ pa kreisi (0.0 labā) $ ir stacionārs punkts, bet šajā brīdī funkcija nav ekstrēmum. Patiešām, $ F \\ pa kreisi (0.0 labā) \u003d 0 $, bet tas ir viegli redzēt, ka jebkurā apkārtnē $ \\ kreisā punkta (0.0 labā) $ funkcija ņem gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības.

2. piemērs.
Funkcija ir $ F \\ pa kreisi (x, y labā) \u003d x ^ (2) - y ^ (2) $ start - stacionārs punkts, bet ir skaidrs, ka šajā brīdī nav ekstrēmum.

Teorēma (pietiekams ekstrēmums).
Ļaujiet funkcijai $ F $ dubultā nepārtraukti diferencējama atvērtā komplektā $ e \\ t Ļaujiet $ x_ (0) e $ - stacionārs punkts un $$ dispystyle Q_ (x_ (0)) \\ T pa kreisi (H labo) \\ t EQUIV SUM_ (I \u003d 1) ^ N \\ Sum_ (J \u003d 1 ) ^ n FRAC (Daļēji ^ (2) f) (Daļēji X_ (i) Daļēji x_ (j)) \\ T pa kreisi (x_ (0) labajā) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Tad

  1. ja $ Q_ (x_ (0)) $ -, tad funkcija $ f $ X_ (0) $ ir vietējais ekstrēmums, proti, vismaz, ja veidlapa ir pozitīvi definēta, un maksimālais, ja veidlapa negatīvi definēts;
  2. ja kvadrātiskā forma $ Q_ (x_ (0)) $ ir nenoteikts, tad funkcija $ f $ X_ (0) $ nav ekstrēmum.

Mēs izmantojam sadalīšanās ar Taylor formulu (12.7 p. 292). Ņemot vērā, ka pirmās kārtas individuālie atvasinājumi punkti X_ $ (0) $ ir nulle, mēs saņemam $$ displaystyle f \\ T pa kreisi (x_ (0) + h labajā) -f \\ T pa kreisi (x_ (0) \\ t ) \u003d FRAC (1) (2) \\ Sum_ (i \u003d 1) ^ n \\ Sum_ (j \u003d 1) ^ n FRAC (Daļēji ^ (2) f) (Daļēji X_ (i) Daļēja X_ ( j)) \\ T pa kreisi (x_ (0) + theta h labajā) h ^ (i) h ^ (j), $$, kur $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $, un $ Epsilon \\ T pa kreisi (H labraismojums - Right Right 0 $ ar $ H, Right Right 0 $, tad labajā pusē būs pozitīvs ar jebkuru vektoru $ h $ pietiekami maza garuma.
Tātad, mēs nonācām pie tā, ka dažās robežās no punktiem $ x_ (0) $ tas bija nevienlīdzība $ F \\ pa kreisi (x labajā)\u003e f \\ pa kreisi (x_ (0) \\ t pa labi) $, ja tikai $ x \\ NEQ X_ (0) $ (mēs likts $ x \u003d x_ (0) + h $ labajā). Tas nozīmē, ka pie punkta X_ (0) $ funkcijai ir stingra vietējā minimums, un tādējādi pierādīja mūsu teorijas pirmo daļu.
Pieņemsim, ka tagad, ka $ Q_ (x_ (0)) $ ir nenoteikta forma. Tad ir vektori $ H_ (1) $, $ H_ (2) $, piemēram, $ Q_ (X_ (0)) \\ T pa kreisi (H_ (1) labajā) \u003d \\ LAMBDA_ (1)\u003e 0 $, $ Q_ (x_ (0)) \\ T pa kreisi (H_ (2) labā) \u003d \\ LAMBDA_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Tad mēs saņemam $ $ F \\ pa kreisi (x_ (0) + th_ (1) labajā) -f (x_ (0) labajā) \u003d FRAC (1) (2) \\ pa kreisi [t ^ (2) \\ LAMBDA_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \\ t. Pa kreisi (th_ (1) labajā) \\ tEx] \u003d FRAC (1) (2) t ^ (2) \\ LEXT [\\ LAMBDA_ (1) + | H_ (1) | ^ (2) \\ epsilon \\ pa kreisi (th__ (1) labā) labā]. $$$ ar pietiekami maza $ t\u003e 0 $ labās puses ir pozitīvs. Tas nozīmē, ka jebkurā rajona apmērā $ x_ (0) $, $ f $ funkcija ņem vērtības $ f \\ pa kreisi (x labo) $, kas ir liels par $ f \\ pa kreisi (x_ (0) \\ t Pa labi) $.
Tāpat mēs iegūstam, ka jebkurā rajona apmērā $ x_ (0) $ funkcija $ f $ ņem vērtības, kas ir mazākas par $ f, pa kreisi (x_ (0) labajā) $. Tas kopā ar iepriekšējo, nozīmē to, ka pie punkta $ x_ (0) $ funkcija $ f $ nav ekstrēms.

Apsvērt privātais gadījums Šis teorēma par funkciju $ f \\ pa kreisi (x, y labo) $ diviem mainīgajiem, kas definēti dažās Neighting of Point $ \\ pa kreisi (x_ (0), y_ (0) labo) $ un ar nepārtrauktiem privātajiem atvasinājumiem šajā apkārtne un otrais pasūtījums. Pieņemsim, ka $ \\ pa kreisi (x_ (0), y_ (0) labā) $ ir stacionārs punkts, un apzīmē $$ displaystyle a_ (11) \u003d FRAC (Daļēji ^ (2) f) (daļēja x ^ (2)) \\ T pa kreisi (x_ (0), y_ (0) labajā), A_ (12) \u003d FRAC (Daļēji ^ (2) f) (Daļēja x daļēja y) \\ pa kreisi (x_ ( 0), y_ (0) labajā pusē), A_ (22) \u003d FRAC (Daļēja ^ (2) f) (daļēji y ^ (2)) \\ T pa kreisi (x_ (0), y_ (0) \\ t ) $$ tad iepriekšējā teorēma veiks šādu formu.

Teorēma
Ļaujiet $ deltta \u003d a_ (11) \\ cdot a_ (22) - A_ (12) ^ $ 2. Tad:

  1. ja $ deltta\u003e 0 $, tad $ F funkcijai ir $ \\ pa kreisi (x_ (0), y_ (0) labo) $ vietējo ekstrēmumu, proti, vismaz, ja $ a_ (11)\u003e 0 $, un Maksimāli, ja $ A_ (11)<0$;
  2. ja $ deltā<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Problēmu risināšanas piemēri

Algoritms, lai atrastu ekstrēmum funkcijas daudziem mainīgajiem:

  1. Mēs atrodam stacionārus punktus;
  2. Mēs atrodam 2. Pasūtījumu diferenciālus visos stacionārajos punktos
  3. Izmantojot pietiekamu nosacījumu daudzu mainīgo ekstrēmuma funkcijām, mēs uzskatām, ka 2. kārtas diferenciālis katrā stacionārajā punktā
  1. Izpētiet funkciju Extremum $ F \\ T pa kreisi (x, y labo) \u003d x ^ (3) + 8 \\ cdot y ^ (3) + 18 \\ cdot x - 30 \\ cdot y $.
    Lēmums

    Mēs atradīsim privātus atvasinājumus 1. kārtas: $$ displaystyle FRAC (Daļēji f) (Daļēji x) \u003d 3 \\ CDOT X ^ (2) - 6 \\ CDOT Y; $$$$ DisplayStyle FRAC ( F) (daļēji y) \u003d 24 \\ cdot y ^ (2) - 6 \\ cdot x. $$ marka un atrisināt sistēmu: $$ displaystyle \\ sāk sākt (gadījumi) \\ frac (daļēji f) (daļēji x) \u003d 0 0. \\ T FRAC (Daļēja f) (daļēji y) \u003d 0 - Beigas (gadījumi) \\ t Rindo Sākt (gadījumi) 3 \\ cdot x ^ (2) - 6 \\ cdot y \u003d 0 \\\\ 24 Cdot y ^ (2) - 6 \\ cdot x \u003d 0 \\ galdati (gadījumi) \\ tRowrowrow sākiet (lietas) x ^ (2) - 2 \\ cdot y \u003d 0 \\\\ 4 \\ cdot y ^ (2) - x \u003d 0 - 0 - end (gadījumi) $$ no 2. vienādojuma Express $ x \u003d 4 \\ cdot y ^ (2) $ - mēs aizstājam 1. vienādojumu: $$ displaystyle \\ pa kreisi (4 \\ cdot y ^ (2) \\ t Pa labi) ^ (2) -2 \\ cdot y \u003d 0 $$$ 16 \\ cdot y ^ (4) - 2 \\ cdot y \u003d 0 $$$$ 8 \\ cdot y ^ (4) - y \u003d 0 $$ $$ gadi (8 \\ T pa labi) \u003d 0 $$ Rezultātā 2 stacionārie punkti tika iegūti:
    1) $ y \u003d 0 rightrow x \u003d 0, m_ (1) \u003d \\ pa kreisi (0, 0 labā) $;
    2) $ \\ t DisplayStyle 8 \\ cdot y ^ (3) -1 \u003d 0 \\ LAZĀCIJA Y ^ (3) \u003d FRAC (1) (8) Rietojošais Y \u003d FRAC (1) (2) Riteņa x \u003d 1 , M_ (2) \u003d \\ pa kreisi (FRAC (1) (2), 1 labā) $
    Pārbaudiet pietiekamu ekstrēmuma apstākļu īstenošanu:
    $$ digityStyle FRAC (Daļēji ^ (2) f) (daļēji X ^ (2)) \u003d 6 \\ CDOT X; Frac (daļēji ^ (2) f) (daļēji x daļēji y) \u003d - 6; Frac (daļēji ^ (2) f) (daļēji y ^ (2)) \u003d 48 \\ cdot y $$
    1) Par punktu $ m_ (1) \u003d \\ pa kreisi (0.0 labā) $:
    $$ digitystyle a_ (1) \u003d FRAC (Daļēja ^ (2) f) (daļēja x ^ (2)) \\ T pa kreisi (0,0 labā) \u003d 0; B_ (1) \u003d FRAC (daļējs ^ (2) f) (daļēja x daļēja y) \\ pa kreisi (0,0 labā) \u003d - 6; C_ (1) \u003d FRAC (daļēji ^ (2) f) (daļēji y ^ (2)) \\ pa kreisi (0.0 labā) \u003d 0; $$
    $ A_ (1) \\ cdot b_ (1) - c_ (1) ^ (2) \u003d -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) par $ m_ (2) punktu $:
    $$ digityStyle a_ (2) \u003d FRAC (Daļēja ^ (2) f) (daļējs x ^ (2)) \\ T pa kreisi (1, FRAC (1) (2) labajā) \u003d 6; B_ (2) \u003d FRAC (daļēji ^ (2) f) (daļēji x daļēji Y) (1, FRAC (1) (2) labajā) \u003d - 6; C_ (2) \u003d FRAC (daļēji ^ (2) f) (daļēji y ^ (2)) \\ T pa kreisi (1, FRAC (1) (2) labajā) \u003d 24; $$
    $ A_ (2) \\ cdot b_ (2) - c_ (2) ^ (2) \u003d 108\u003e 0 $, tas nozīmē, vietā $ m_ (2) $ ir ekstrēms, un kopš $ a_ (2)\u003e 0 $, tas ir minimums.
    Atbilde: Point $ displaystyle m_ (2) \\ T pa kreisi (1, FRAC (1) (2) labajā) $ ir punkts minimālā funkcija $ f $.

  2. Izpētiet funkciju uz Extremum $ f \u003d y ^ (2) + 2 \\ cdot x \\ cdot y - 4 \\ cdot x - 2 \\ cdot y - $ 3.
    Lēmums

    Atrast stacionāros punktus: $$ dishstyle FRAC (Daļēji f) (Daļēji x) \u003d 2 \\ CDOT Y - 4; $$$$ DisplayStyle FRAC (Daļēji f) (Daļēji Y) \u003d 2 \\ CDOT Y + 2 \\ cdot x - 2. $$
    Mēs arī atrisināsim sistēmu: $$ dishstystyle (gadījumi) FRAC (Daļēji f) (Daļēji x) \u003d 0 \\\\\\ frac (daļēji f) (daļēji y) \u003d 0 - beigas (lietas) ) Rietojošais sākums (gadījumi) 2 cdot y - 4 \u003d 0 \\\\ 2 \\ t + 2 \\ t x \u003d 1 \\ galdati (gadījumi) Riteņbraukšana x \u003d -1 $$
    $ M_ (0) \\ T pa kreisi (-1, 2 labā) $ - stacionārs punkts.
    Pārbaudiet pietiekamu ekstrēmuma stāvokļa izpildi: $$ DisplayStyle A \u003d FRAC (Daļēji ^ (2) F) (daļēja x ^ (2)) \\ T pa kreisi (-1.2 labo) \u003d 0; B \u003d FRAC (Daļēji ^ (2) f) (daļēji x daļēji Y) \\ T pa kreisi (-1.2 labo) \u003d 2; C \u003d FRAC (daļēji ^ (2) f) (daļēji Y ^ (2)) \\ T pa kreisi (-1.2 labo) \u003d 2; $$
    $ A \\ cdot b - c ^ (2) \u003d -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Atbilde: galējības nav klāt.

Laika ierobežojums: 0

Navigācija (tikai darba numuri)

0 no 4 uzdevumiem beidzās

Informācija

Pabeigt šo testu, lai pārbaudītu savas zināšanas par daudzu daudzveidīgo funkciju vietējo elementu tēmām.

Jūs jau esat iepriekš izturējis pārbaudi. Jūs nevarat palaist to vēlreiz.

Tests ir ielādēts ...

Lai sāktu pārbaudi, jums ir jāpiesakās vai jāreģistrējas.

Lai sāktu to, jums ir jāpabeidz šādi testi:

rezultāti

Pareizās atbildes: 0 no 4

Tavs laiks:

Laiks ir beidzies

Jūs ieguva 0 no 0 punktiem (0)

Jūsu rezultāts tika ierakstīts līderu tabulā

  1. Ar atbildi
  2. Ar marķieri

    4. uzdevums

    1 .
    Punktu skaits: 1

    Izpētiet funkciju $ f $ ekstrēmiem: $ F \u003d E ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \\ cdot y ^ (2)) $

    Pa labi

    Nepareizs

  1. 2. uzdevums no 4

    2 .
    Punktu skaits: 1

    Vai ir ekstrēmums funkcijas $ F \u003d 4 + \\ SQRT ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2) $

Funkcijas maiņa noteiktā punktā un ir definēts kā ierobežojums, palielinot funkciju ar argumenta pieaugumu, kas mēdz nulle. Lai to atrastu, izmantojiet atvasināto finanšu instrumentu tabulu. Piemēram, atvasināto funkciju y \u003d x3 būs vienāds ar y '\u003d x2.

Eclay Šis atvasinājums līdz nullei (šajā gadījumā x2 \u003d 0).

Atrodiet to mainīgo vērtību. Tie būs vērtības, ar šo atvasinājumu būs vienāda ar 0. Lai to izdarītu, aizvietotu patvaļīgus ciparus, nevis X, kurā visi izteiksmes kļūst nulle. Piemēram:

2-2x2 \u003d 0.
(1-x) (1 + x) \u003d 0
x1 \u003d 1, x2 \u003d -1

Uzklājiet iegūtās vērtības koordinētai tiešai un aprēķinātu atvasinājuma zīmi katram no iegūtajiem. Tiek atzīmēti koordinātu tiešie punkti, kas pieņemti atsauces sākumā. Lai aprēķinātu vērtību pēc intervāliem, aizvietot patvaļīgas vērtības, kas piemērotas kritērijiem. Piemēram, par iepriekšējo funkciju intervālu -1, jūs varat izvēlēties vērtību -2. No -1 līdz 1, jūs varat izvēlēties 0, un vairāk nekā 1 vērtības, izvēlieties 2. Aizstājiet skaitļus atvasinājumā un uzziniet atvasināto zīmi. Šādā gadījumā atvasinājums ar x \u003d -2 būs -0.24, ti. Negatīvs un šajā intervālā būs mīnus zīme. Ja x \u003d 0, tad vērtība būs 2, un šajā plaisā ir uzstādīta zīme. Ja x \u003d 1, atvasinājums būs arī -0,24 un ir mīnus.

Ja, izejot caur punktu uz koordinātu tiešu, atvasinājums maina savu zīmi no mīnus līdz plus, tad tas ir minimālais punkts, un, ja no plus mīnus, tad tas ir maksimālais punkts.

Video par tēmu

Noderīgi padomi

Lai atrastu atvasinājumu, ir tiešsaistes pakalpojumi, kas saskaita vēlamās vērtības un izejas rezultātu. Uz šādām vietām jūs varat atrast atvasinājumu līdz 5 pasūtījumiem.

Avoti:

  • Viens no pakalpojumu aprēķinu pakalpojumiem
  • maksimālās funkcijas punkts

Funkcijas maksimālie punkti kopā ar minimālajiem punktiem sauc par ekstrēmu punktiem. Šajos punktos funkcija maina uzvedības veidu. Galējības nosaka ierobežotos skaitliskos intervālos un vienmēr ir vietējie.

Instrukcija

Vietējo ekstrembu meklēšanas procesu sauc par funkciju un tiek veikta, analizējot pirmo un otro atvasināto funkciju. Pirms uzsākt pētījumu, pārliecinieties, vai norādītā argumentu vērtību intervāls pieder derīgām vērtībām. Piemēram, lai funkciju f \u003d 1 / x, tad argumenta vērtība x \u003d 0 ir nepieņemama. Vai par Y \u003d TG (x) funkciju, argumentu nevar būt vērtība x \u003d 90 °.

Pārliecinieties, ka funkcija Y ir diferencējams visos norādītajā segmentā. Atrodiet pirmo atvasinājumu Y. "Ir acīmredzams, ka līdz brīdim, kad tiek sasniegts vietējā maksimuma punkts, funkcija palielinās un pārvietojoties, funkcija kļūst samazinās. Pirmais atvasinājums tās fiziskajā nozīmē raksturo funkcijas maiņas ātrumu. Kamēr Funkcija palielinās, šī procesa ātrums ir pozitīvs. Pārejot pa vietējo maksimumu, funkcija sāk samazināties, un funkcijas maiņas procesa ātrums kļūst negatīvs. Funkcijas maiņas ātruma pāreja caur nulli notiek vietējā maksimālā punkta.