Урок 1

Медианы треугольника. Точка пересечения медиан.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Доказательство:

Точка пересечения медиан треугольника является центром тяжести этого треугольника.

Задача 1 Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 4, 6 и 8. Найти длины медиан треугольника.

Решение. Пусть в треугольнике АВС AM, BE и CD - медианы, К – точка их пересечения, KС=4, KА=6 и КВ=8.

https://pandia.ru/text/78/182/images/image004_34.gif" width="76" height="50">, то есть на отрезок КА приходится 2 части, а на отрезок КМ – одна часть, то вся медиана АМ состоит из трех равных частей и https://pandia.ru/text/78/182/images/image006_24.gif" width="104" height="41">.

Аналогично,

,

Ответ: 6, 9 и 12

Задача 2 Медианы AM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 9 . Вычислить длины сторон АВ и ВС.

https://pandia.ru/text/78/182/images/image010_15.gif" width="104" height="41">,

поэтому и

, .

Кроме того

, .

Вычислим по теореме Пифагора длины отрезков AK и СМ, получаем

Теперь вычислим длины сторон АВ и ВС:

АВ=2АК=10, ВС=2СМ=.

Ответ : 10;.

Тест для самоконтроля.

1. Медиана треугольника делит пополам (выбрать один из вариантов ответов)

1) угол треугольника

2) сторону треугольника

3) две стороны треугольника

2. В каком отношении точка пересечения медиан треугольника делит каждую из медиан треугольника (выбрать правильные варианты ответов).


1) 2:1 считая от основания треугольника

2) 1:2 считая от вершины треугольника

3) 2:1 считая от вершины треугольника

4) 1:2 считая от основания треугольника

5) на две равные части

3. Если в треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника, то какую часть медианы АМ составляет отрезок АР? (выбрать один из вариантов ответов)

4. В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть медианы АМ составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)

5. В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть отрезка АР составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)

Посмотреть правильные ответы.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 6 см, 8 см и 12 см. Найдите длины медиан треугольника.

Посмотреть решение.

2. Медианы ВM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 15 и 36 . Найдите длины сторон АВ и АС.

Посмотреть решение.

3. Медианы треугольника равны 6, 9 и 12. На каком расстоянии от вершин находится точка пересечения медиан треугольника?

Посмотреть решение.

4. Медианы треугольника равны 9, 12 и 18. Найдите расстояния от середин сторон треугольника до центра тяжести данного треугольника.

Посмотреть решение.

5. Центр тяжести треугольника отстоит от середин его сторон на расстояния. Равные 5, 6 и 7. Найдите медианы данного треугольника.

Посмотреть решение.

6. Точка пересечения медиан треугольника удалена от середин его сторон на расстояния, равные 2, 3 и 4. На каких расстояниях от вершин треугольника находится эта точка?

Посмотреть решение.

Гомельская научно-практическая конференция школьников по математике, ее приложениям и информационным технологиям «Поиск»

Реферат на тему:

«Медианы треугольника»

Учеников:

9" класса государственного

учреждения образования

«Гомельская городская

Многопрофильная гимназия № 14»

Морозовой Елизаветы

Ходосовской Алеси

Научный руководитель-

Учитель математики высшей категории

Сафонова Алла Викторовна

Гомель 2009


Введение

1. Медианы треугольника и их свойства

2. Открытие немецкого математика Г. Лейбница

3. Применение медиан в математической статистике

4. Медианы тетраэдра

5. Шесть доказательств теоремы о медианах

Заключение

Список использованных источников и литературы

Приложение


Введение

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии, но он не символ. Треугольник – атом геометрии.

Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать о всех известных его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии. Мы хотим рассказать о медиане треугольника и ее свойствах, а так же о применении медиан.

Сначала вспомним, что медиана треугольника – это отрезок соединяющий вершины треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы имеют множество свойств. Но мы рассмотрим одно свойство и 6 различных его доказательств. Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (центром масс) и делятся в отношении 2:1.

Существует медианы не только треугольника, но и тетраэдра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противолежащей грани называется медианой тетраэдра. Мы так же рассмотрим свойство медиан тетраэдра.

Медианы используются в математической статистике. Например, для нахождения среднего значения некоторого набора чисел.


1. Медианы треугольника и их свойства

Как известно, медианами треугольника называются отрезки, соединяющие его вершины с серединами противоположных сторон. Все три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1:2.

Точка пересечения медиан является также центром тяжести треугольника. Если подвесить картонный треугольник в точке пересечения его медиан то он будет находиться в состоянии равновесия

Любопытно, что вcе шесть треугольников, на которые всякий треугольник разбивается своими медианами, имеют одинаковые площади.

Медианы треугольника через его стороны выражаются так:

, , .

Если две медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в 5 раз больше квадрата третьей стороны.

Построим треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника, тогда медианы построенного треугольника будут равны 3/4 сторон первоначального треугольника.

Данный треугольник назовем первым, треугольник из его медиан - вторым, треугольник из медиан второго - третьим и т. д. Тогда треугольники с нечетными номерами (1,3, 5, 7,...) подобны между собой и треугольники с четными номерами (2, 4, 6, 8,...) также подобны между собой.

Сумма квадратов длин всех медиан треугольника равняется ¾ суммы квадратов длин его сторон.


2. Открытие немецкого математика Г. Лейбница

Знаменитый немецкий математик Г. Лейбниц обнаружил замечательный факт: сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до вершин треугольника, лежащего в этой плоскости, равняется сумме квадратов расстояний от точки пересечения медиан до его вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния от точки пересечения медиан до выбранной точки.

Из этой теоремы следует, что точка на плоскости, для которой сумма квадратов расстояний до вершин данного треугольника является минимальной,- это точка пересечения медиан этого треугольника.

В то же время минимальная сумма расстояний до вершин треугольника (а не их квадратов) будет для точки, из которой каждая сторона треугольника видна под углом в 120°, если ни один из углов треугольника не больше 120° (точка Ферма), и для вершины тупого угла, если он больше 120°.

Из теоремы Лейбница и предыдущего утверждения легко найти расстояние d от точки пересечения медиан до центра описанной окружности. Действительно, это расстояние по теореме Лейбница равно корню квадратному из одной трети разности между суммой квадратов расстояний от центра описанной окружности до вершин треугольника и суммой

Квадратов расстояний от точки пересечения медиан до вершин треугольника. Получаем, что

.

Точка М пересечения медиан треугольника AВС является единственной точкой треугольника, для которой сумма векторов МА, MB и МС равна нулю. Координаты точки М (относительно произвольных осей) равны средним арифметическим соответствующих координат вершин треугольника. Из этих утверждений можно получить доказательство теоремы о медианах.

3. Применение медиан в математической статистике

Медианы бывают не только в геометрии, но и в математической статистике. Пусть нужно найти среднее значение некоторого набора чисел

, , ..., а п. Можно, конечно, за среднее принять среднее арифметическое

Но иногда это неудобно. Допустим, что нужно определить средний рост второклассников Москвы. Опросим наугад 100 школьников и запишем их рост. Если один из ребят в шутку скажет, что его рост равен километру, то среднее арифметическое записанных чисел окажется слишком большим. Гораздо лучше в качестве среднего взять медиану чисел

, ..., а п.

Предположим, что чисел - нечетное количество, и расставим их в неубывающем порядке. Число, оказавшееся на среднем месте, называется медианой набора. Например, медиана набора чисел 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 равна 2 (а среднее арифметическое значительно больше - оно равно 6).

4. Медианы тетраэдра

Оказывается, можно говорить о медианах не только для треугольника, но и для тетраэдра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противолежащей грани, называется медианой тетраэдра. Как и медианы треугольника, медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, центре масс или центроиде тетраэдра, но отношение, в котором они делятся в этой точке, иное – 3:1, считая от вершин. Эта же точка лежит и на всех отрезках, соединяющих середины противоположных ребер тетраэдра, его бимедианах, и делит их пополам. Это можно доказать, например, из механических соображений, поместив в каждую из четырех вершин тетраэдра грузики единичной массы.

5. Шесть доказательств теоремы о медианах

Давно замечено, что познакомиться с разными решениями одной задачи бывает полезнее, чем с однотипными решениями разных задач. Одной из теорем, допускающих, как и многие другие классические теоремы элементарной геометрии, несколько поучительных доказательств, является

Теорема о медианах треугольника. Медианы , В и С треугольника ABC пересекаются в некоторой точке М, причем каждая из них делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины: AM : M = BM : M = CM : M =2. (1)

Во всех приводимых далее доказательствах, кроме шестого, мы устанавливаем только, что медиана В проходит через точку М, которая делит медиану А в отношении 2:1. Если в соответствующем рассуждении заменить отрезок В на отрезок С , то мы получим, что и С проходит через М. Этим будет доказано, что все три медианы пересекаются в некоторой точке М, причем АМ:М - 2. Поскольку все медианы равноправны, можно заменить А на В или СС 1 отсюда вытекает (1).

Медиана – это одна из основных линий треугольника. Этот отрезок и прямая, на которой он лежит, соединяет точку во главе угла треугольника с серединой противолежащей стороны этой же фигуры. В равностороннем треугольнике медиана является также биссектрисой и высотой.

Свойство медианы, которое существенно облегчит решение многих задач, заключается в следующем: если в треугольнике провести медианы из каждого угла, то все они, пересекаясь в одной точке, будет делиться в соотношении 2:1. Соотношение следует отсчитывать от вершины угла.

Медиана имеет свойство разделять все поровну. Например, любая медиана делит треугольник на два других, равных по своей площади. А если провести все три медианы, то в большом треугольнике получится 6 маленьких, также равных по площади. Такие фигуры (с одинаковой площадью) называются равновеликими.

Биссектриса

Биссектриса представляет собой луч, который начинается в вершине угла и делит этот же угол пополам. Точки, лежащие на данном луче, равноудалены от сторон угла. Свойства биссектрисы хорошо помогают в решении задач, связанных с треугольниками.

В треугольнике биссектрисой называют отрезок, который лежит на луче биссектрисы угла и соединяет вершину с противолежащей стороной. Точка пересечения со стороной делит ее на отрезки, отношение которых равно отношению прилежащих к ним сторонам.

Если в треугольник вписать окружность, то ее центр будет совпадать с точкой пересечения всех биссектрис данного треугольника. Это свойство имеет отражение и в стереометрии - там роль треугольника играет пирамида, а окружности - шар.

Высота

Также как медиана и биссектриса, высота в треугольнике в первую очередь связывают вершину угла и противолежащую сторону. Это связь проистекает в следующем: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины, к прямой, которая содержит в себе противолежащую сторону.

Если высота проведена в прямоугольном треугольнике, то, касаясь противоположной стороны, она делит весь треугольник на два других, которые в свою очередь подобны первому.

Нередко понятие перпендикуляра применяется в стереометрии, чтобы определить взаиморасположения прямых в разных плоскостях и расстояние между ними. В этом случае отрезок, выполняющий функцию перпендикуляра, должен иметь прямой угол с обеими прямыми. Тогда числовое значение данного отрезка будет показывать расстояние между двумя фигурами.

Урок 3

Медиана делит площадь треугольника пополам

Два треугольника называются равновеликими . Если они имеют одинаковую площадь.

Теорема 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Доказательство:

Пусть ВМ – медиана треугольника АВС. Докажем, что

https://pandia.ru/text/78/448/images/image002_97.jpg" width="289" height="227">

Проведем высоту BH треугольника АВС. Тогда

,

https://pandia.ru/text/78/448/images/image005_99.gif" width="136" height="34 src=">.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image007_80.gif" width="217" height="55 src=">.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2 . Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

Из теоремы, в частности следует, что если точку пересечения медиан треугольника соединить со всеми его вершинами, то треугольник разобьется на три равновеликие части.

Задача 1 Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.

Решение.

Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и ВЕ равны 3 и 4 соответственно, , К – точка пересечения медиан.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image013_46.gif" width="120" height="47 src=">.

Так как треугольник АВК прямоугольный с прямым углом ВКА, то .

Так как медиан делят треугольник на 6 равновеликих частей, то .

Ответ: 8

Задача 2 Медианы треугольника равны 6, 8 и 10, найти площадь треугольника.

Решение.

Пусть медианы А M , BE и CD данного треугольника соответственно равны 6, 8 и 10, К – точка их пересечения. Отложим на продолжении луча ВЕ за точку Е отрезок EF = KE . Соединим точки С, F и A.

Рассмотрим треугольник KAF .


https://pandia.ru/text/78/448/images/image018_31.gif" width="152" height="41 src=">

https://pandia.ru/text/78/448/images/image020_25.gif" width="67" height="19 src=">, так как CKAE – параллелограмм (по признаку параллелограмма: ели диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, до данный четырехугольник параллелограмм), получаем .

Так как https://pandia.ru/text/78/448/images/image023_26.gif" width="125" height="20 src=">, то по обратной теореме Пифагора (если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный) треугольник KAF – прямоугольный и .

Вычислим площадь треугольника AKF:

https://pandia.ru/text/78/448/images/image026_24.gif" width="104" height="41 src=">.gif" width="104" height="41 src=">.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image030_18.gif" width="16 height=41" height="41"> от площади самого треугольника.

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Вопросы для самопроверки:

1. Какие треугольники называются равновеликими?

2. Площадь треугольника равна S. Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые его разбивает медиана, проведенная к какой-либо стороне этого треугольника?

3. На сколько равновеликих частей разбивают треугольник проведенные в нем три медианы?

4. Площадь треугольника равна S. Цент тяжести этого треугольника соединили с его вершинами. Чему равна площадь каждого из получившихся треугольников?

5. Площадь треугольника равна 48, чему равна площадь треугольника, составленного из медиан этого треугольника?

6. Площадь треугольника, составленного из медиан некоторого треугольника равна 24, чему равна площадь треугольника?

Посмотреть ответы.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треугольника.

Посмотреть решение.

2. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 найти площадь треугольника.

Посмотреть решение.

3. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку М пересечения медиан треугольника с вершинами треугольника. Найти площадь треугольника ВМС.

Посмотреть решение.

4. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Посмотреть решение.

При решении геометрических задач полезно следовать такому алгоритму. Во время чтения условия задачи необходимо

  • Сделать чертеж. Чертеж должен максимально соответствовать условию задачи, так его основная задача помочь найти ход решения
  • Нанести все данные из условия задачи на чертеж
  • Выписать все геометрические понятия, которые встречаются в задаче
  • Вспомнить все теоремы, которые относятся к этим понятию
  • Нанести на чертеж все соотношения между элементами геометрической фигуры, которые следуют из этих теорем

Например, если в задаче встречается слова биссектриса угла треугольника, нужно вспомнить определение и свойства биссектрисы и обозначить на чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.

В этой статье вы найдете основные свойства треугольника, которые необходимо знать для успешного решения задач.

ТРЕУГОЛЬНИК.

Площадь треугольника.

1. ,

здесь - произвольная сторона треугольника, - высота, опущенная на эту сторону.


2. ,

здесь и - произвольные стороны треугольника, - угол между этими сторонами:

3. Формула Герона:

Здесь - длины сторон треугольника, - полупериметр треугольника,

4. ,

здесь - полупериметр треугольника, - радиус вписанной окружности.


Пусть - длины отрезков касательных.


Тогда формулу Герона можно записать в таком виде:

5.

6. ,

здесь - длины сторон треугольника, - радиус описанной окружности.

Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:


Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Медиана треугольника

Это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.


Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший - радиусу описанной окружности.

Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: R=2r

Длина медианы произвольного треугольника

,

здесь - медиана, проведенная к стороне , - длины сторон треугольника.

Биссектриса треугольника

Это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.

Высота треугольника

Это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.


Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника , проведенную к стороне , нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой:

Центр окружности, описанной около треугольника , лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам:

Здесь - длины сторон треугольника, - площадь треугольника.

,

где - длина стороны треугольника, - противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.

Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны:

Напротив большей стороны лежит больший угол; напротив большего угла лежит большая сторона:

Если , то и наоборот.

Теорема синусов:

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:


Теорема косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Прямоугольный треугольник

- это треугольник, один из углов которого равен 90°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Гипотенуза - это сторона, которая лежит против угла 90°. Гипотенуза является наибольшей стороной.

Теорема Пифагора:

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов :

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

,

здесь - радиус вписанной окружности, - катеты, - гипотенуза:


Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:


Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе , равна половине гипотенузы.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса прямоугольного треугольника смотрите

Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:


Катет, лежащий против угла равен половине гипотенузы:

Равнобедренный треугольник.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Угол при вершине.

И - боковые стороны,

И - углы при основании.

Высота, биссектриса и медиана.

Внимание! Высота, биссектриса и медиана, проведенные к боковой стороне не совпадают.

Правильный треугольник

(или равносторонний треугольник ) - это треугольник, все стороны и углы которого равны между собой.

Площадь правильного треугольника равна

где - длина стороны треугольника.

Центр окружности, вписанной в правильный треугольник , совпадает с центром окружности, описанной около правильного треугольника и лежит в точке пересечения медиан.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший - радиусу описанной окружности.

Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник правильный.

Средняя линия треугольника

Это отрезок, соединяющий середины двух сторон.

На рисунке DE - средняя линия треугольника ABC.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AC, AC=2DE

Внешний угол треугольника

Это угол, смежный какому либо углу треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.


Тригонометрические функции внешнего угла:

Признаки равенства треугольников:

1 . Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.


2 . Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.


3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.


Важно: поскольку в прямоугольном треугольнике два угла заведомо равны, то для равенства двух прямоугольных треугольников требуется равенство всего двух элементов: двух сторон, или стороны и острого угла.

Признаки подобия треугольников:

1 . Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.

2 . Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

3 . Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Важно: в подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов.

Теорема Менелая

Пусть прямая пересекает треугольник , причем – точка ее пересечения со стороной , – точка ее пересечения со стороной , и – точка ее пересечения с продолжением стороны . Тогда